人教新课标版数学高一-人教数学B版必修二 圆的标准方程

2·3 圆的方程2·3·1.圆的标准方程圆的定义①运动的观念：平面内一条线段绕着一个端点旋转，另一个端点形成的轨迹；其中，静止的端点叫做圆心，线段的长等于半径.②集合的观念：平面内与定点的距离等于定长的点的集合.其中定点叫做圆心，定长等于半径.现在求以C(a,b)为圆心，r 为半径的圆的方程.设M （x,y ）是圆C 上的任意一点.点M 在圆C 上的条件是r CM =||也就是说，如果点M 在圆C 上，则r CM =||.反之，如果r CM =||，则点M 在圆C 上. 由两点间的距离公式，所说条件可转化为方程表示：r b y a x =-+-22)(）（.两边平方，得1）显然，圆C 上任意一点M 的坐标（x,y ）适合方程（1）；如果平面上一点M 的坐标（x,y ）适合方程（1），可得r CM =||，则点M 在圆C 上.所以方程（1）就是以点C （a,b ）为圆心，r 为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程.如果圆心在坐标原点，这时a=0,b=0,圆的标准方程就是222r y x =+容易看出，如果点),(111y x M 在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r ，即22121)()(r b y a x >-+-如果点),(222yx M 在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径r ，即22222)()(r b y a x <-+-1. 设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.【解析】设动点P 的坐标为（x ，y ），由=a （a >0）得=a ，化简，得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a =1时，方程化为x =0. 当a ≠1时，方程化为（x －c ）2+y 2=（）2.所以当a =1时，点P 的轨迹为y轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（c ，0）为圆心，||为半径的圆.说明：本题采用了直接求法，即根据题给条件，寻找等量关系，然后代入坐标得到方程.主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求. 同时也考查了分类讨论这一数学思想.2. 已知圆心在x 轴上，半径是5，且以A （5，4）为中点的弦长是2，求这个圆的方程.【解析】设圆心坐标为B （a ，0)，以A 为中点的弦的一个端点为C ，则圆的方程为(x －a)2+y 2=25由于|AB|2+|AC|2=|BC|2从而，（a －5)2+16+5=25得a=7或a=3.故这个圆的方程为(x 2222=25 说明：本题采用的是待定系数法，即设出圆的方程，其中含有一个参数a ，根据题给条件求出即可3. 求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点（5，2）和（3，－2）的圆的方程.【解析】设圆方程为（x －a ）2＋（y －b ）2 ＝r2依题意得||||PB PA 2222)()(y c x y c x +-++1122-+a a 122-a ac1122-+a a 122-a ac5解之得a ＝2，b ＝1，r2＝10，∴所求的圆方程为 （x －2）2 ＋（y －1）2 ＝104. 下列方程表示什么图形？（1）x 2 ＋ y 2 ＋ 5x - 3y ＋ 1 ＝ 0（2）x 2 ＋ y 2 ＋ 4x ＋ 4 ＝ 0（3）x 2 ＋ y 2 ＋ x ＋ 2 ＝ 0（4）x 2 ＋ y 2＋2by ＝0【解析】（1）表示以为圆心，以为半径的一个圆（2）表示一个点（ -2，0 ）（3）不表示任何图形（4）圆心为（0，－b ），半径为|b|，注意半径不为b.2a －b －3＝0（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2（3－a ）2＋（－2b ）2＝r 253(,)22-2。

2、圆的特征是什么？
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程？
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程？
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
若圆心在X轴上，则方程为：( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上，则方程为： 2 + ( − )2 = 2
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件，求圆的方程：
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
⑵圆心在点C(1,3)，并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点（0,1）和点（2,1），半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
解：（1）∵点（2，-2）在圆上，∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为：( − 2)2 +( + 3)2 = 25

(6)y 9 x2
拓展练习:
1、的三AB个C 顶点的坐标分别A(5,1),B(7,3),C(2,8)求它的外接圆的方程. 2.求过点C(1, 4)，圆心在直线3x y 0 上且与
y 轴相切的圆的方程.
3、证明：一个圆的直径的端点是A（x1,y1）, B （x2,y2） 则圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
y
C
Ao
•
Bx
因此，圆拱桥的 750.21
课堂练习（四）
讨论下列方程分别表示什么图形
(1)x2 y2 9
(3)(x 1)2 9 ( y 2)2
(5)y 9 x2
(2)x2 y2 0 (4) y2 9 x2
32 (4)2
5
因此，所求的圆的方程 是
(x 1)2 ( y 3)2 256 25
实际应用：
赵州桥的跨度是37.02m,圆拱高约为7.2m， 求这座圆拱桥的拱圆方程（精确到0.01m）.
解：如图所示，以AB的中点为原点，
y
x轴通过AB建立直角坐标系。
C
根据已知条件，B,C的坐标分别为
例2.求过两点A(0, 4), B(4, 6) 且圆心在直线 x 2y 2 0
上的圆的标准方程。
课堂练习三：
3、求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y7=0相切的圆的方程。
解：因为圆和直线相切，所以半径等于圆心到这 条直线的距离。 由点到直线的距离公式，得
r | 31 4 3 7 | 16
与圆有关的最值问题：
已知实数x,y满足方程(x-2)2 y2 3 (1)在圆上求一点P使P点到A(2,4)的距离最小； (2)求x2 +y2的最大值和最小值。

第四章 圆 与 方 程 4.1 圆 的 方 程 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程圆心为C(x 0，y 0)，半径为r 的圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，特别地，圆心在原点时，圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2．(1)如果圆的标准方程为(x ＋x 0)2＋(y ＋y 0)2＝a 2(a ≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？ 提示：圆心为(－x 0，－y 0)，半径为|a|.(2)如果点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，那么x 20 ＋y 20 ＝r 2，若点P 在圆内呢？圆外呢？提示：若点P 在圆内，则x 20 ＋y 20 ＜r 2；若点P 在圆外，则x 20 ＋y 20 ＞r 2.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( √ ) (2)方程(x －a)2＋(y －b)2＝m 2一定表示圆．( × )(3)原点在圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2上，则x 20 ＋y 20 ＝r 2.( √ ) 提示：(1)如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的． (2)当m ＝0时，表示点(a ，b).(3)原点在圆上，则(0－x 0)2＋(0－y 0)2＝r 2，即x 20 ＋y 20 ＝r 2. 2．圆(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，0)，3B ．(1，0)，3C ．()－1，0， 3D ．()1，0 ， 3【解析】选D.根据圆的标准方程可得，(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标为(1，0)，半径为 3 . 3．到原点的距离等于 3 的点的坐标所满足的方程是________．【解析】设点的坐标为(x ，y)，根据到原点的距离等于 3 以及两点间的距离公式，得（x －0）2＋（y －0）2＝ 3 ，两边平方得x 2＋y 2＝3，是半径为 3 的圆． 答案：x 2＋y 2＝3类型一 圆的标准方程的定义及求法(数学抽象、数学运算)1．以点(2，－1)为圆心，以 2 为半径的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝ 2 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝ 2【解析】选C.由题意，圆的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝2. 2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，3)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．x 2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝1【解析】选C.由题意，设圆的标准方程为x 2＋(y －b)2＝1，由于圆过点(1，3)，可得1＋(3－b)2＝1，解得b ＝3，所以所求圆的方程为x 2＋(y －3)2＝1.3．已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25【解析】选C.圆C 的圆心坐标C(6，8)，则OC 的中点坐标为E(3，4)，半径|OE|＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.4．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程为________． 【解析】方法一(几何性质法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a). 因为该圆经过A ，B 两点，所以|CA|＝|CB|，所以（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2 ＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2 ， 解得a ＝－2，所以圆心为C(－1，－2)，半径长r ＝10 . 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由题设条件知，⎩⎨⎧a －2b －3＝0，（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得a ＝－1，b ＝－2，r ＝10 (负值舍去)， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法三(几何性质法)：线段AB 的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB 的斜率k AB ＝－3＋52＋2 ＝12， 所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝－2，所以弦AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0. 又圆心是直线2x ＋y ＋4＝0与直线x －2y －3＝0的交点， 所以圆心坐标为(－1，－2)，所以圆的半径长r ＝（2＋1）2＋（－3＋2）2 ＝10 ， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝101．直接法求圆的方程圆的方程由圆心、半径决定，因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程． 2．待定系数法求圆的方程(圆心(a ，b)、半径为r)特殊位置 标准方程 圆心在x 轴上 (x －a)2＋y 2＝r 2 圆心在y 轴上 x 2＋(y －b)2＝r 2 与x 轴相切 (x －a)2＋(y －b)2＝b 2 与y 轴相切(x －a)2＋(y －b)2＝a 23.利用圆的性质求方程求圆的方程时，可以利用圆的性质求圆心、半径，如弦的垂直平分线过圆心，过切点垂直于切线的直线过圆心等．类型二点与圆的位置关系的判断(数学抽象、数学运算)1．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定【解析】选A.把P(m，5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24，所以点P在圆外．2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)满足( )A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外【解析】选C.因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点P(3，2)在圆内．3．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．【解析】因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，所以m＝10.则圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.答案：(x＋2)2＋y2＝10.4．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．【解析】由题意知，点A在圆C上或圆C的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，所以2a＋5≥0，所以a≥－52.因为a≠0，所以a的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞).【思路导引】1.将点P的坐标代入圆的方程，看方程的等于号变成了什么符号，然后进行判断．2．验证点P与圆心的距离与半径之间的关系．3．将点的坐标代入圆的方程，解方程即可得出m的值，进而得方程．4．不在圆的内部，即在圆上或圆外．点与圆位置关系的判断与应用(1)位置关系的判断：①几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；②代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r 2的大小． (2)位置关系的应用：代入点的坐标，利用不等式求参数的范围．【补偿训练】1.若点(3，a)在圆x 2＋y 2＝16的内部，则a 2的取值范围是( ) A ．[0，7) B ．(－∞，7) C ．{7}D ．(7，＋∞)【解析】选A.由点在圆的内部，得9＋a 2<16得a 2<7，又a 2≥0，所以0≤a 2<7. 2．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1【解析】选D.因为点(2a ，a －1)在圆的内部，所以d ＝（2a ）2＋（a －2）2 ＝4a 2＋a 2－4a ＋4 ＝5a 2－4a ＋4 ＜ 5 ， 解得－15 ＜a ＜1，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 .3．若点A(a ＋1，3)在圆C ：(x －a)2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0，5)D ．[0，5]【解析】选C.由题意，得(a ＋1－a)2＋(3－1)2>m ，即m<5， 又由圆的方程知m>0，所以0<m<5.类型三 与圆有关的最值问题(数学抽象、数学运算)角度1 与几何意义有关的最值问题【典例】已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．【思路导引】首先由条件观察x 、y 满足的条件，然后分析x 2＋y 2的几何意义，求出其最值． 【解析】由题意知，x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12 ＝32 ，最小距离为1－12 ＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94，14.1．本例条件不变，试求yx的取值范围．【解析】设k＝yx，变形为k＝y－0x－0，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，由k＝yx，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即|－k|k2＋1≤12，解得－33≤k≤33.即yx的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.2．本例条件不变，试求x＋y的最值．【解析】令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b|2＝12，解得b＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.角度2 距离的最值问题【典例】1.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．2【解析】选B.|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径长．因为圆的圆心为(3，－1)，半径长为2，所以|PQ|的最小值为3－(－3)－2＝4.2．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2，3)到圆上的点的距离的最大值为________．【解析】由题意知，点M在圆O内，O为圆心，MO的延长线与圆O的交点到点M(2，3)的距离最大，最大距离为（2－3）2＋（3－4）2＋5＝5＋ 2 .答案：5＋ 2【思路导引】1.转化为圆心到直线x＝－3的距离减去半径；2．转化为M到圆心的距离加半径．1．与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb在y轴上的截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．2．求圆外一点到圆的最大距离和最小距离的方法采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值或最小值．1．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋ 2 C．2＋22D．1＋2【解析】选B.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为 2 ，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2 .2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )A．2 B．1 C．0 D．－1【解析】选B.x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0，0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为(14－13)2＝1.3．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值．【解析】方法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时yx最大，过圆心A(2，0)作切线l的垂线交于B，在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝ 3 .所以切线l的倾斜角为60°，所以yx的最大值为 3 .同理可得yx的最小值为－ 3 .方法二：令yx＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，所以－ 3 ≤n≤ 3 ，即yx的最大值和最小值分别为 3 ，－ 3 .【补偿训练】1.已知圆C的圆心为C(x0，x)，且过定点P(4，2).(1)求圆C的标准方程．(2)当x为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．【解析】(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝r2(r≠0).因为圆C过定点P(4，2)，所以(4－x0)2＋(2－x)2＝r2(r≠0).所以r2＝2x2－12x＋20.所以圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20.(2)因为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20＝2(x－3)2＋2，所以当x＝3时圆C的半径最小，则圆C的面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.2．已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝14，求（x－2）2＋（y－3）2的取值范围．【解析】（x－2）2＋（y－3）2可以看成圆上的点P(x，y)到A(2，3)的距离．圆心C(0，1)到A(2，3)的距离为d＝（0－2）2＋（1－3）2＝2 2 ，由图可知，圆上的点P(x ，y)到A(2，3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .即（x －2）2＋（y －3）2 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .。

数学人教版必修二圆的方程知识点
数学人教版必修二中关于圆的方程的内容主要涉及以下几个知识点：
1. 圆的标准方程：圆的标准方程为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。

2. 圆的一般方程：圆的一般方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。

一般方程推导出标准方程的方法是完成平方并合并同类项。

3. 圆的参数方程：若圆的圆心为(a, b)，半径为r，则圆的参数方程为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中θ为参数。

4. 圆的切线方程：过圆上的一点M(x₁, y₁)的切线方程为xx₁ + yy₁ = r²，其中r为圆的半径。

5. 过圆心的直线方程：过圆心的直线方程为x/a + y/b = 1，其中a和b分别为圆心的横纵坐标。

6. 圆与直线的位置关系：可以利用圆的一般方程和直线的方程，通过解方程组来判断
圆与直线的位置关系。

以上是数学人教版必修二中有关圆的方程的主要知识点。

希望对你有所帮助！。

•直径的圆的方已程知，两并点判P断1(M4(,69,)9和)、P2(Q6(,53,)3，)是求在以圆P1上P2？为
圆外？圆内？
• [分析] (1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半 径．
• (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已 知点[到解析圆]心由的已距知离条与件半可径得圆的心大坐小标关为系M来(5,判6)，断半．径为 r＝12
• 3．以点A(－5,4)为圆心，且与y轴相切的圆的方程
是( )
• A．(x－5)2＋(y＋4)2＝25 B．(x＋5)2＋(y－4)2＝
25
• C．(x－5)2＋(y＋4)2＝16 D．(x＋5)2＋(y－4)2＝
16
• [答案] B
• [解析] ∵与y轴相切，∴r＝5，方程为(x＋5)2＋(y
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
此求圆的方程必须具备三个独立条件．
• 3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为： (x_圆－_心_a_)2在_＋_(原_y_－点_b_)、_2＝_半_r_2 径__为__r_的，圆称方作程圆为的x标2＋准y方2＝程r．2. 特别地，
• 4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关
r2＝5
故△ABC 的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。

(1) (x+2)2+(y-1)2 = 25
(2) (x-1)2+(y-3)2 = 9
(3) (x-1)2+(y+1)2 = 5 或 (x-1)2+(y-3)2 = 5
圆的标准方程
练习1
求满足下列条件的圆的方程：
(1)已知点A（2，3），B（4，9）, 圆以线段AB为直径；
(2)圆心为(0,-3)，过(3,1);
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此 必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已 知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆 心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。
(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程 解决实际问题。
圆切 x 轴 ]
圆切 y 轴
圆切两坐标轴
方程 （x a)2 （y b)2 b2 （x a)2 （y b)2 a2 （x a)2 （y a)2 a2
圆的标准方程 例题1、根据下列条件，求圆的方程。 （1）圆心在点C（-2,1），并过点A（2，-2）； （2）圆心在点C（1，3），并与直线3x-4y-6=0相切; （3）过点 (0,1) 和点 (2,1) , 半径为 5 。
答案： (x-3)2+(y-2)2 = 13
练习2、回答下列圆的圆心坐标和半径：
C1 : x 2 y 2 5 (0,0)
5
C 2 : ( x 3)2 y 2 4 (3,0) r = 2
C 3 : x 2 ( y 1)2 2 (0,-1) , r = 2
C4 : ( x 2)2 ( y 1)2 3
的内部，则实数a的取值范围是（ D ）
(A) | a | 1
(B) a 1 13

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2.3.1圆的标准方程【目标要求】（1）了解圆标准方程的概念．（2）理解公式的推导过程，掌握过圆的标准方程的求法．（3）通过圆标准方程推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 【巩固教材——稳扎马步】1． 圆心为坐标原点，半径为最小的完全平方数，则圆的方程为（ ）A ．()()22111x y -+-=B ． 221x y += C ．()2214x y -+= D ． 224x y +=2．已知圆的方程为()()22229x y -++=，点()2,3和该圆的位置关系是（ ）A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法确定 3． 圆过点()2,3A -和点()4,5B ，并且直径是AB 那么圆的方程为（ ）A ． ()()221217x y -+-= B ． ()()222134x y -+-= C ．()()222117x y -+-= D ． ()()222117x y -+-= 4．集合(){},1,1A x y x y =≤≤，()()(){22,B x y x a y a =-+-＜}1，若AB =Φ，则实数a 的取值范围是____________。

A ． 212a ≥+B ． a ＞212+ C ． 12a ≥+ D ．a ＞12+ 【重难突破——重拳出击】5．若直线过点(0,2)，且被圆224x y +=截得的弦长等于2，则此直线的斜率等于：（ ）A ．32±B.33± C.3± D.2±6. 圆22(1)(1)8x y +++=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有：（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7．圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ，的坐标都使不等式0≥++c y x 成立，则c 的取值范围是（ ）．A.(]0，∞- B. [21,)++∞ C.[21,)-+∞ D.[12,)-+∞ 8．已知111222(,),(,)P x y P x y ，则下列方程中不是以线段12P P 为直径的圆的方程的是：（ ） A.1212()()()()0y y y y x x x x --+--=B.222212121212()()()()2222x x y y x x y yx y ++---+-=+ C.12121y y y y x x x x --⋅=--- D.2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=9．已知圆心在x 轴上，半径为5，且以(5,4)A 为中点的弦长是25，则这个圆的方程为：（ ）A.22(3)25x y -+= B.22(7)25x y -+=C.22(3)25x y ±+= D.22(3)25x y -+=或22(7)25x y -+=10．设直线 230x y --=与y 轴交点为P ，点P 把圆()22125x y ++=的直径分为两段，则其长度之比为（ ）A ．73或37 B ． 47或 74 C ． 75或 57 D ．67或 7611．若实数x y 、满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值是（ ） A ．5 B ．9 C ．10 D ．525+12．一束光线从点A （-1，1）出发经x 轴反射到圆C ：()()22231x y -+-=的最短路程是（ ）A ．4B ．5C ． 321-D ． 26 【巩固提高——登峰揽月】13．已知过(0,1)A 和(4,)B a 且与x 轴相切的圆只有一个，求a 的值，及此时圆的方程。

y 轴相切的圆的方程.
3.已知圆的方程为 x2 y2 25，求过圆上一点 巩
A(4,3) 的切线方程.
固
你能归纳出具有一般性的结论吗？
提
已知圆的方程是 x2 y 2 r 2 ，经过圆上一点
高
M (x0 , y0 ) 的切线的方程是什么？
应
用
如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨 举
货车能不能驶入这个隧道？
启
迪
思
维
返回
应
用
如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨 举
度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需 例
用一个支柱支撑，求支柱A2 P2 的长度(精确到0.01m)
P2
巩
A
A1 A2 A3 A4 B
固 提
高
返回
1.求轨迹的一般思路：
坐标法
2.利用图形变换进行平移
②加深对数形结合思想的理解和 加强对待定系数法的运用；
景 分 析
③增强学生用数学的意识.
返 回
教学目标
教
情感目标: ①培养学生主动探究知识、合作
学 背
交流的意识；
景
②在体验数学美的过程中激发学 分生的学习兴趣. Nhomakorabea析
返 回
教
教学的重点和难点
学
重 点:
背
圆的标准方程的求法及其应用. 景
难 点:
分
①会根据不同的已知条件求圆的标 析
方 法
小
结
①圆心在C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为：
反 思
(x a)2 ( y b)2 r2
圆心在原点时，半径为r的圆的标准方程为：

平移变换定义
将圆沿x轴和y轴分别平移h和k个单位，得到新的 圆。
方程变化
原方程(x-a)²+(y-b)²=r²变为(x-a-h)²+(y-bk)²=r²。
几何意义
平移变换不改变圆的大小和形状，只改变圆的位 置。
伸缩变换与方程变化
伸缩变换定义
几何意义
将圆的半径r按照一定比例进行伸缩， 得到新的圆。
伸缩变换改变圆的大小，但不改变圆 的位置和形状。
几何意义
对称变换改变圆的 位置，但不改变圆 的大小和形状。
04
直线与圆的位置关系判断
直线与圆相交条件
圆心到直线的距离小于半径
当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆有两个交点，即直线与圆相交。
直线方程与圆方程联立有实数解
将直线方程与圆方程联立，若得到的方程有实数解，则直线与圆相交。
直线与圆相切条件
曲线与圆相切条件
判别式法
通过求解曲线与圆的方程联立得到的二次方程的判别式，若 判别式等于0，则曲线与圆相切。
圆心到直线距离法
计算圆心到曲线的距离，若距离等于圆的半径，则曲线与圆 相切。
曲线与圆相离条件
判别式法
通过求解曲线与圆的方程联立得到的 二次方程的判别式，若判别式小于0 ，则曲线与圆相离。
圆心到直线距离法
THANKS
感谢观看
标准方程推导过程
01
以圆心为原点，建立平 面直角坐标系。
02
设圆上任意一点 $P(x, y)$，则 $P$ 到圆心 $O(a, b)$ 的距离等于 半径 $r$。
03
04
根据两点间距离公式， 有 $sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}} = r$。

解： 〔待定系数法〕设圆的方程为 ，由题意得： ，故圆的方程为 。
〔用垂径定理〕线段AB的垂直平分线方程为 ，由 ，得圆心 的坐标为 ，所以所求圆的半径 ，故圆的方程为 .
4、求圆心在直线 上，且与 轴相切于点 的圆的标准方程。
解：由题意可得：圆心为 ，半径为 ，故圆的方程为
变：圆心在直线 上，且与直线 切于点 ,求圆的标准方程。
解：可由待定系数法得 即为所求圆的方程。
选练：〔1〕两条直线 与 的交点 在圆 上，求常数 的值。
解：1或
〔2〕点 在圆 的内部，那么实数 的取值X围是
四、回顾反思：
圆的标准方程〔x―a)2＋(y―b)2＝r2
教学反思
二次备课
3、情感问题的兴趣。
教学重点圆的标准方程的理解、掌握。
教学难点圆的标准方程的应用。
教学准备预习书P96-97
教学过程
一、问题情境：
1、某某省赵县的赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，如果知道赵州桥的跨度和圆拱高度，如何写出这个圆拱所在的圆的方程？
练：〔1〕设圆方程 ，那么圆心，半径
〔2〕求以下圆的方程
①圆心在原点，半径为
②圆心在 ，半径为
三、数学应用：
1、P97例1
2、隧道的截面是半径为 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为 ，高为 的货车能不能驶入这个隧道？
变：假设货车的最大宽度为 ，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
解：
3、求过点 ，且圆心 在直线 上的圆的方程。
圆的标准方程
教学目标
1、知识技能目标：掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；
会选择适当的坐标系解决与圆有关的实际问题；

般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依据条件，可得出关于D、E、F
的三个方程．
[解答] (1)所求圆的圆心在线段 OP 的垂直平分线上，线 段 OP 的中点为12，12，∵直线 OP 的斜率为 1，∴线段 OP 的垂 直平分线的斜率为－1，方程为：y－12＝－x－12，即 x＋y－1
1 [2010·金华模拟] 圆 C 的半径为 1，圆 心在第一象限，与 y 轴相切，与 x 轴相交于点 A、B，若|AB| ＝ 3，则该圆的标准方程是________________．
[思路] 由|AB|＝ 3，通过几何关系求得圆心的纵
坐标，进而写出圆的标准方程．
[答案]
(x－1)2＋y－122＝1
[解答] 以 A、B 所确定的直线为 x 轴，AB 的中点 O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
∵|AB|＝10， ∴A(－5,0)，B(5,0)． 设某地 P 的坐标为(x，y)，且 P 地居民选择 A 地购买商品便宜， 并设 A 地的运费为 3a 元/公里，B 地的运费为 a 元/公里．因为 P 地
[解答] 所求圆的圆心应为线段 AB 的垂直平分线与线段 BC 的垂
直
平
分
线
的
交
点
．
∵
kAB
＝
5－ －1－
－2 －2
＝7，线段 AB 的中点为
－1＋ －2

2
5＋ －2 ，2
＝－32，32.
∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y－32＝－17x＋32，即 x＋7y－
准方程：___(_x_－__a_)_2_＋__(_y_－__b_)_2＝__r_2_______.
特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为

圆的标准方程三维目标：知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。

（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件r=①化简可得：222()()x a y b r-+-=②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上（3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）： ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。

1．以点(4,4)为圆心，4为半径的圆的方程是() A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝16C．x2＋y2＝2 D．(x－4)2＋(y－4)2＝16解析：由圆的标准方程易知选D.答案：D2．圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是() A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝5C．(x－3)2＋(y－4)2＝25D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25解析：∵圆心为(3,4)，且圆过点(0,0)．∴圆的半径为r＝32＋42＝5∴圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.答案：C3．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是() A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．不确定解析：设圆心为O，则|OP|＝m4＋25≥5>24，故点P在圆外．答案：B4．以原点为圆心，且过点(3，－4)的圆的标准方程为______，那么点(23，3)的位置在圆________(内，上，外)．解析：r＝(3－0)2＋(－4－0)2＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25.又∵(23)2＋32＝21<25，∴点(23，3)在圆内．答案：x2＋y2＝25内5．(2011·辽宁高考)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．解析：依题意设所求圆的方程为：(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程得，⎩⎪⎨⎪⎧ (5－a )2＋1＝r 2(1－a )2＋9＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2r 2＝10，所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 答案：(x －2)2＋y 2＝106．在平面直角坐标系中，求与x 轴相交于A (1,0)和B (5,0)两点且半径为5的圆的标准方程．解：法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5.因为点A ，B 在圆上，所以可得到方程组：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(0－b )2＝5，(5－a )2＋(0－b )2＝5，解得a ＝3，b ＝±1. 所以圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.法二：由A 、B 两点在圆上，那么线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可以设圆心为C (3，b )，又|AC |＝5得(3－1)2＋b 2＝ 5.解得b ＝1或b ＝－1.因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.。

课堂探究探究一直接法求圆的标准方程(1)①由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可知，圆心为(a，b)，半径为r，它体现了圆的几何性质；②圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中有三个参数a，b，r，只要求出a，b，r，圆的方程也就确定了，因此确定圆的方程需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．(2)几种特殊形式的圆的标准方程A.(x－3)2＋(y＋4)2＝5 B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：因为圆心是C(－3,4)，半径长为5，所以圆的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25.答案：D(2)已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为__________．解析：AB的中点坐标即为圆心坐标C(1，－3)，又圆的半径r＝|AC|＝29，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.答案：(x－1)2＋(y＋3)2＝29探究二待定系数法求圆的标准方程1．待定系数法求圆的标准方程，需求出圆心和半径，即列出关于a，b，r的方程组，求出a，b，r.一般步骤如下：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a，b，r，代入圆的方程中，求出圆的标准方程．2．有时求圆的方程时，用上初中所学圆的几何性质往往使问题容易解决． 圆的常用几何性质如下：(1)圆心在过切点，且与切线垂直的直线上； (2)圆心必是两弦中垂线的交点；(3)不过圆心的弦，弦心距d ，半弦长m 及半径r 满足r 2＝d 2＋m 2；(4)直径所对的圆周角是90°，即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直．【典型例题2】 一个圆经过两点A(10,5)，B(－4,7)，半径为10，求圆的方程． 思路分析：本题考查了圆的标准方程的求解，可根据题目中的条件，利用待定系数法求解．解法一：设圆心为(a ，b)，则2222(10)(5)100,(4)(7)100.a b a b ⎧-+-=⎪⎨++-=⎪⎩　① ②①－②整理得7a －b －15＝0，即b ＝7a －15.③ 将③代入①得a 2－6a ＋8＝0，所以2,1a b =⎧⎨=-⎩或4,13.a b =⎧⎨=⎩故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝100或(x －4)2＋(y －13)2＝100. 解法二：线段AB 的中点坐标为(3,6)，k AB ＝－17， 则线段AB 的垂直平分线方程为y －6＝7(x －3)，即y ＝7x －15. 设圆心为(a ，b)，由于圆心在AB 的垂直平分线上，所以b ＝7a －15.③ 又因为(a －10)2＋(b －5)2＝100，④将③代入④可得a ＝2或a ＝4.(以下同解法一) 【典型例题3】 求下列圆的方程：(1)圆心在直线y ＝－2x 上，且与直线y ＝1－x 相切于点(2，－1)； (2)圆心C(3,0)，且截直线y ＝x ＋1所得的弦长为4.(3)已知一个圆关于直线2x ＋3y －6＝0对称，且经过点A(3,2)，B(1，－4)． 思路分析：利用圆的标准方程，把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解． 解：(1)设圆心为(a ，－2a)，半径为r ，则圆的方程为(x －a)2＋(y ＋2a)2＝r 2.由21(1)1,2a a r -+⎧⋅-=-⎪-⎨⎪=⎩解得1,a r =⎧⎪⎨=⎪⎩所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)设圆的半径为r ，则圆的方程为(x －3)2＋y 2＝r 2，利用点到直线的距离公式可以求得d，所以r所以所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝12. (3)AB 的垂直平分线为y ＋1＝－3124-+ (x －2)，即x ＋3y ＋1＝0. 因为圆心在弦AB 的垂直平分线上，也在对称轴上，则由2360,310,x y x y +-=⎧⎨++=⎩得7,8.3x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩即圆心为87,3⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以半径为r所以圆的方程为(x －7)2＋283y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝3409.探究三 点与圆的位置关系判断点P(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系有几何法和代数法两种： (1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小； (2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，左端与r 2比较．【典型例题4】 已知在平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上，为什么？思路分析：先确定出过其中三点的一个圆的方程，再验证第四个点是否在这个圆上，即可得出答案．解：设经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.① 把A ，B ，C 的坐标分别代入①，得222222222(1),(2)(1),(3)(4),a b r a b r a b r ⎧+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩解此方程组，得21,3,5.a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以，经过A ，B ，C 三点的圆的标准方程是(x －1)2＋(y －3)2＝5. 把点D 的坐标(－1,2)代入上述圆的方程，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5.所以，点D 在经过A ，B ，C 三点的圆上，即A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上． 探究四易错辨析易错点：因考虑问题不全面而致误【典型例题5】 已知圆C 的半径为2，且与y 轴和直线4x －3y ＝0都相切，试求圆C的标准方程．错解：由题意可设圆C 的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝4，又圆C 与y 轴相切，可知a ＝2，又圆C 与4x －3y ＝02，解得b ＝6或b ＝－23. 所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －6)2＝4或(x －2)2＋223y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝4.错因分析：圆C 与y 轴相切意味着|a|＝2，而不是a ＝2.正解：设圆C 的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝4，由题意可得|a|＝2，即a ＝±2. 当a ＝2时，由圆C 与4x －3y ＝0相切，得4235b ⨯-＝2，解得b ＝－23或b ＝6； 当a ＝－2时，由4(2)35b ⨯--＝2，解得b ＝－6或b ＝23.综上可知，满足条件的圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －6)2＝4或(x －2)2＋223y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝4或(x ＋2)2＋(y ＋6)2＝4或(x ＋2)2＋223y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝4.。

《圆的标准方程》一．教学目标：1.掌握圆的标准方程及其特点，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；能从圆的标准方程中熟练地求出它的圆心坐标、半径；2.会根据不同的已知条件，利用待定系数法建立圆的标准方程；3．能运用圆的标准方程解决一些实际问题二．教学重点：根据条件求出圆的标准方程三．教学难点：运用圆的标准方程解决一些实际问题四．教学过程：（一）复习引入：1．圆的定义；2．提出问题：根据圆的定义，怎样求出圆心是(,)C a b ，半径是r 的圆的方程？（二）新课讲解：1．圆的标准方程 （由学生推导）设(,)M x y 是圆上任意一点，由点M 到圆心C 的距离等于r ，此方程即为圆心是(,)C a b ，半径是r 的圆的方程。

我们把它叫做圆的标准方程． 说明：（1）圆的标准方程由圆心和半径确定，已知圆心坐标和半径就可写出圆的 标准方程；由圆的标准方程也可直接得到圆心坐标和半径；（2）如果圆心在原点，那么圆的方程就是222x y r +=．（三）例题分析：例1．求以(1,3)C 为圆心，并且和直线3470x y --=相切的圆的方程。

（学生思考后口答或板演）解：由题意：圆的半径165r ==， 又圆心为(1,3)C ，∴所求的圆的方程为22256(1)(3)25x y -+-=．例2．一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上，求此圆的方程。

（学生思考、探索不同解法）解法一：∵圆心在直线2y x =+上， ∴设圆心坐标为(,2)a a +，则圆的方程为222()(2)x a y a r -+--=，∵点(0,0)O 和(1,3)P 在圆上，∴222222(0)(02)(1)(32)a a r a a r ⎧-+--=⎪⎨-+--=⎪⎩，解得214258a r ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， x y O ∙所以，所求的圆的方程为221725()()448x y ++-=． 解法二：由题意：圆的弦OP 的斜率为3，中点坐标为13(,)22， ∴弦OP 的垂直平分线方程为311()232y x -=--，即350x y +-=， ∵圆心在直线2y x =+上，且圆心在弦OP 的垂直平分线上，∴由2350y x x y =+⎧⎨+-=⎩解得1474x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即圆心坐标为C 17(,)44-，又∵圆的半径||r OC === 所以，所求的圆的方程为221725()()448x y ++-=． 说明：（1）圆的标准方程中有,,a b r 三个量，要求圆的标准方程即要求,,a b r 三个量，有时可用待定系数法；（2）要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用例3．如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度20AB m =，拱高4OP m =，在建造时每隔4m 需用一个支柱支撑，求支柱22A P 的长度（精确到0.01m ）．解：建立坐标系如图，圆心在y 轴上，由题意：(0,4)P ，(10,0)B ，设圆的方程为222()x y b r +-=，∵点(0,4)P 和(10,0)B 在圆上， ∴2222220(4)10(0)b r b r⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得：2210.514.5b r =-⎧⎨=⎩， ∴这个圆的方程是222(10.5)14.5x y ++=，设点2P 0(2,)y -，由题意00y >，代入圆方程得：2220(2)(10.5)14.5y -++=，解得010.514.3610.5 3.86y =≈-=()m ， 答：支柱22A P 的长度约为3.86m ．五．课堂练习：课本练习1，2．六．小结：1．圆的标准方程；2．圆的标准方程中有,,a b r 三个量，要求圆的标准方程，需有三个独立条件．3．求圆的标准方程常用待定系数法。