关于柯西微分中值定理的一种推广
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![ f (b) - f (a) ] [ g(b ) - g (a) ]h#(x )
再由定理条件 ( 3), 在上式两边同除以 [f ( b) - f (a) ] [g (b) - g (a) ] [ h( b) - h (a) ] 可得
f (b) - f (a)f#(
) + g (b) - g (a)g#(
[ 2]华东师范大学数学系. 数学分析 (第二版 ) [M ]. 北京: 高等教育出版社, 2000.
[ 3]严于鲜. 微分中值定理的一种统一证明方法 [ J]. 中国民航飞行学院学报, 2007, ( 2): 63- 64.
[ 4] Tom M. A. M athematical Analysis( 2nd) Be ijing: China M ach ine Press, 2004. 113.
上的光滑函数. [4]
推论 设 fi (x ), ( i = 1, 2, &, n) 是定义在区间 (a, b) 上的 n个光滑函数, 若 fi (x), ( i = 1, 2, &,
n) 满足 fi (a) ∃ fi ( b), ( i = 1, 2, &, n), 则方程
1f1 ( b) -
n f1
)
+
h(
b)
! -h
( a )h #(
)
=
0
于是定理 2. 1成立.
定理 2. 2 设 fi (x ), ( i = 1, 2, &, n) 是定义在区间 [ a, b] 上的 n个函数, 而 ai, ( i = 1, 2, &, n) 是
n
个实数,
且
n
∀
i= 1
i
=
0. 若 fi (x ),
(i =
g(a) ] + ![f (b) - f (a) ] [ g( b) - g (a) ] [ h(x ) - h(a) ]
由于
10 显然 F (a) = 0, 而 F (b) = [f (b) - f (a) ] [g (b) - g(a) ] [h( b) - h(a) ] ( + + !) = 0, 故
1, 2, &, n) 满足
(1) 在闭区间 [ a, b] 上连续;
(2) 在开区间 (a, b) 上可导;
(3)fi (a) ∃ fi (b), ( i = 1, 2, &, n). 则至少存在一点 ∀ (a, b), 使得
∀n
i= 1
fi
(b)
i
-
fi
(a)fi #(
)=
0
证明
设 F(x)
=
n
疑具有理论及实践的指导意义.
3 应用举例
例 证明方程
F (x )
=-
6x +
∃2 cos( ∃2x ) +
6e6x e6 -
1+
41 ∃ x2 +
1=
0
在区间 (0, 1) 上至少有一个根.
证 容易验证: F ( 0) > 0, F (1) > 0, 因为 F (0)F ( 1) > 0, 所以此时连续函数根的存在定理失效.
由 Rolle中值定理条件知,
F #(x )
=
n
∀
i= 1
n
# ( f ( b) j = 1, j∃ i j
-
fj (a) )
∋
f#i (x )
∀ (a, b) 使 F#( ) = 0, 即有
F #(
)=
n
∀
i= 1
n
# ( f j= 1, j∃ i j ( b) - fj ( a) )
f#i (
)
第 19卷 第 5期 2008年 9月
陇东学院学报
Journal of Longdong University
V o.l 19 N o. 5 Sep. 2008
关于柯西微分中值定理的一种推广
邓 勇*
(新 疆喀什师范学院 数学系, 新疆 喀什 844006)
摘 要: 微分中值定理是微积分学中的重要定理, 其中柯西中值定理的应用尤为广泛. 为拓展它的 应用范围, 利用相同的手法, 将涉及两个光滑函数的柯西微分中值定理推广到了 n个光滑函数的情 形, 得到另一种推广的微分中值公式. 关键词: 柯西; 微分; 光滑函数; 中值定理; 推广 中图分类号: D172. 1 文献标识码: A 文章编号: 1674 1730( 2008) 05 0004 03
有 F ( b) = F (a) = 0; 20 由已知条件知, F (x ) 也在 [ a, b] 连续, 在 (a, b) 上可导, 且
F #(x ) = [ g( b) - g(a) ] [h( b) - h(a) ]f#(x) + [f (b) - f (a) ] [h( b) - h (a) ]g#(x ) +
但由于
F (x ) =
1 2
1( 12 -
4 1 2
( ( 02
1 2
x2
)
#+
sin ∃2∋
1 1-
sin ∃2∋
[ 0
sin(
∃2 x
)
]
#
+
e6x1
1 -
e6x0
( e6x
) #+
1 a rc tan1 -
arctan0(
arctanx )#=
0
设
f1 (x ) = - 6x, f2 (x ) = s in ( ∃2x ), f3 (x ) = e6x, f4 (x) = arctanx
(a)f1 #(x)
+
f2
(
b)
1 -
f2
(a ) f2
#( x
)
+
fn (b)
1 -
fn
(
a
)
f
#n (
x
)
=
0
在开区间 (a, b) 上至少有一个根. [5]
证明
在定理 2. 2中分别取 a1 =
1n
n,
ai
=
1 n
(
i
=
2, 3, L, n), 并由定理 2. 2的结论即可得证.
定理 2. 2是确定某些对称方程在指定区间上是否存在根的一个有效方法, 对于根的近似计算无
![ f (b) - f (a) ] [ g(b ) - g (a) ]h#(x ) 由 Rolle中值定理条件知, ∀ (a, b), 使 F#( ) = 0, 即有
F #(x ) = [ g( b) - g(a) ] [h( b) - h(a) ]f#(x) + [f (b) - f (a) ] [h( b) - h (a) ]g#( ) +
们先将柯西微分中值定理推广到三个函数的情形得到
定理 2. 1 设 f (x ), g(x ), h (x ) 是同时定义在区间 [ a, b] 上的三个函数, 而 , , !是三个实数, 且
有 + + != 0. 若 f (x ), g (x ), h(x ) 满足
(1) 在闭区间 [ a, b] 上连续;
[ 5] RudinW. P rinciples of Mathem atical Analysis( 3rd). Beijing: China Machine Press, 2004. 107.
)责任编辑 赵建萍∗
显然, 它们都是区间 ( 0, 1) 上的光滑函数, 且 fi (0) ∃ fi (1), ( i = 1, 2, 3, 4). 故由定理 2. 2的推论知 F (x ) 在 (0, 1) 上至少有一个根.
参考文献:
[ 1]侯谦民. 中值定理的推广 [ J]. 武汉职业技术学院学报, 2003, ( 6): 81- 82.
1 问题提出
微分中值定理是微积分学中的重要定理, 微积分的许多命题和不等式证明都要以它为依据, 特别 是在证明有关中值问题时, 显示了其不可替代的重要作用. 在微分中值定理中, 柯西 ( Cauchy)微分中 值定理是最一般的情况, 而拉格朗日 ( Lagrange)和罗尔 ( Rolle)中值定理都是它的特例.
个函数, 且满足
(1) 在闭区间 [ a, b] 上连续; (2) 在开区间 (a, b) 上可导; ( 3) 对 x ∀ (a, b), g#(x ) ∃ 0.
则至少存在一点 ∀ (a, b), 使得
f#( g #(
) )
=
f(b) - f(a) g(b) - g (a)
* 收稿日期: 2008 04 28 作者简介: 邓 勇 ( 1967% ), 男, 四川遂宁人, 副教授, 主要从事基础数学教学研 究.
=
0
6
陇东学院学报
第 19卷
根据定理条件
(
3),
上式两边同除以
n
#
j= 1
( fj
(b)
-
fj
(a) ) 可得
定理 2. 2证毕. [ 3]
n
∀
i= 1
fi
(b)
i
-
fi
(a)fi #(
)=
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义 若函数 f (x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续, 在开区间 (a, b) 上可导, 则称函数 f (x )为区间 (a, b)
(2) 在开区间 (a, b) 上可导;
(3)f (a) ∃ f (b), g(a) ∃ g( b), h (a) ∃ h(b). 则至少存在一点 ∀ (a, b), 使得
