微分中值定理的推广及应用

利用微分中值定理解题的一些技巧

微分中值定理是微分学的理论基础。它是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理。可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特例或推广。熟练应用中值定理真的不容易，尤其是引入辅助函数，更是五花八门。下面给出微分中值定理在一些证明题中的巧妙运用。

一、微分中值定理的主要应用

1. 证明等式;

2. 证明恒等式;

3. 证明不等式;

4.讨论方程实根(或函数零点)的存在性。

二、掌握微分中值定理应用方法的关键

——在分析解题思路时，必须紧紧抓住 “定理”、“函数”、“区间”三要素

“定理” ——适用定理的选择

“函数” ——辅助函数的构造

“区间” ——讨论区间的确定。

三、运用中值定理证明关于两个中间点等式的方法

方法一:构造一个辅助函数，在两个不同的区间应用拉格朗日定理或柯西定理，然后对定理的结论做一些运算。 方法二:构造两个辅助函数，在相同的区间内应用拉格朗日定理或柯西定理，然后对定理的结论做一些运算。

方法:构造两个辅助函数，在两个不同的区间应用拉格朗日定理或柯西定理，然后对定理的结论做一些运算。

微分中值定理证明试题范例

设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: (1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]1 第二问最后少打了等号，应该是f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1

(1)证明：由介值定理知，至少存在一点ζ∈(0, 1/2), 使f(ξ)=1/2再由介值定理知，至少存在一点η∈(ζ,1),即存在η∈(1/2,1),使f(η)=η

(2) 证明：构造函数F(x)=e^(-λx)[f(x)-x]则F(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导F(η)=0, F(0)=0∴由罗尔定理知，必存在ξ∈(0,η), 使F'(ξ)=0即-λe^(-λξ)[f(ξ)-ξ]+e^(-λξ)[f'(ξ)-1]=0∴f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1

十堰大学学报(综合版)198年第一期

微分中值定理的证明及推广

尤玉成

微分中值定理是微分学的基本定理。

一般是指Rlol定理,

La

即ange

定理及C

翻。

hy

中值定理。

它们是建立在闭区间上连续函数的性质的基础上,

用函数在一点及附近的性

质来研究函数在整个区间上的性质的工具。

所以对它们的结构,

它们之间的关系,

以及

证明中如何设置辅助函数等问题。

对于教者及学者都是十分重要的。

为此先将上述几个

定理简述如下:

定理1(Roll)设函数f(x)在闭区间(a。

b)上连读,

在开区间(a.

b)内可微,

且

f(a

)=f(b)。

则区间(ab)内必有一点邑,

使得f,

(乙)=0。

这个定理确定了函数f(x

)满足定理条件的前题下,

和它的导数在某点之的值

为o,

即f,(专)二o之间的关系。

这个定理急待发展,

即如果函数f(x

)在〔ab〕端点

的值不等,

(其它条件如定理所述)那么它的导数f,(x

)在某内点应存在何值呢?下

面的定理作了正面的回答。

定理2(Lagarn

,)设函数f(x

)在闭区间〔ab〕上连续,

在开区间(a、

b)内

可微,

则区间内(a

b)必有一点七,

使得f(b)

一f(。

)·

f`

(七)(b一a

)

定理的证明是在分析了函数f(x

)的几何性质后,

指出要设置一个辅助函数甲(x

),

它是这函数f(二

)与它在区间〔a、

b〕端点的值和两点(a,

f(a

)),

(b、

f(b))的

线性函数之差。

很lfI(x

)与其在〔a

b〕上的弦之差由于f(x

)和它在该区间上的弦

都过同样两端点即甲(x)在(.ab〕端点的值必同为0。

且线性函数满足连续,

可微的条

件是没有问题的`

所以甲(x

)符合Roll定理的条件,

使用Roll定理就得到本定理的证明:

;。,`_、

_

“_、_。;`。、

二f(b)一f(a

),___、、

**口。,:

*,`,

设甲(x

)=f(x

)一

〔f(a

)+之￡绍亡~

舟止退(x一a

)〕。

它满足Ro

ll定理的条

~丫、一’一、一、一、一`’

b一a、

一一,沪.

目’

门

~`“.

“`一”J

币

毕业论文(设计)

题目名称： 微分中值定理的推广及应用

题目类型： 理论研究型

学生姓名： 邓奇峰

院 (系)： 信息与数学学院

专业班级： 数学10903班

指导教师： 熊骏

辅导教师： 熊骏

时 间： 2012年12月 至 2013年6月

目 录

毕业设计任务书 .......................................................................................................................... I

开题报告 ....................................................................................................................................... II

指导老师审查意见 ................................................................................................................... III

评阅老师评语 ............................................................................................................................ IV

微分中值定理及其应用

一、本文概述

《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。

文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。

本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。

《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。

二、微分中值定理概述

微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。

微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。

这些定理在实际应用中具有广泛的价值。例如，在物理学中，它们可以用来描述物体在运动过程中的加速度和速度之间的关系；在经济学中，它们可以用来分析市场供需平衡状态下的价格变动规律；在工程学中，它们可以用来优化设计方案，提高工程效率。