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,m α，
,
,n β；则分别为
},m α和},n β。
当局中人Ⅰ选定纯策略i α和局中人Ⅱ选定纯策略后，就形成了一个纯局)j ，这样的纯局势共有m n ⨯个。
对任一纯局势赢得值为ij a ，称
12122
212n n m m mn a a a a a ⎤⎥⎥⎥⎥⎦
为局中人Ⅰ的赢得矩阵。
局中人Ⅱ的赢得矩阵就是当局中人Ⅰ，Ⅱ的策略集12,S S 及局中人Ⅰ的赢得矩阵对策也就给定了，记为{}12,,G S S A =。
在齐王赛马的例子中，齐王的赢得矩阵
},
,m α，
},n β，max ）
成立，记其值为）成立的纯局势()
,i j αβ**
在纯策略意义下的解（或鞍点）
},m α，},n S β，
1,2,
,,m x ∑1,2,
,,n y ∑分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略集分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混合策略（或策略），对
),m x 可设想成当两个局中人多次重复进行对策
12,,
,m ααα的频率。
若只进行一次时对策，混合
对策可设想成局中人Ⅰ对各纯策略的偏爱程度。
求解混合策略的问题有图解法，迭代法、线性方程组法和线性规划法，在。
矩阵对策问题及其解法背景对策论研究具有竞争性质的现象。
有权决定⾃⾝⾏为的对策参加者称为局中⼈，所有局中⼈构成集合I，在⼀局对策中可供剧中⼈选择的⼀个实际可⾏的完整的⾏动⽅案成为策略，对于任意剧中⼈i∈I，都有⾃⼰的策略集S i。
⼀局对策中由各剧中⼈选定的策略构成的策略组称为局势s=(s1,...,s n)，⽽全体局势集合S=S1×...×S n。
局势决定了对策的结果，对局势s∈S，局中⼈i可以得到收益H i(s)，也称为局中⼈i的赢得函数。
矩阵对策即⼆⼈有限零和对策，是⼀类较为简单的对策模型。
矩阵对策基础我们假设，局中⼈ I 有纯策略α1,...,αm，局中⼈ II 有纯策略β1,...,βn，⼆者各选择⼀个纯策略则构成m×n个纯局势 (αi,βj)，将 (αi,βj)下 I 的赢得值记为a i,j，设矩阵A=[a i,j]，称为 I 的赢得矩阵或 II 的⽀付矩阵。
局中⼈ II 的赢得矩阵就是 −A T。
最优纯策略若纯局势 (a i∗,b j∗) 满⾜max i minj a i,j=minjmaxi a i,j=a i∗,j∗则称为矩阵对策 {S1,S2;A} 的最优纯策略。
显然，最有纯策略在赢得矩阵中对应的元素⼀定满⾜，其是所在⾏的最⼩元素，也是所在列的最⼤元素，即矩阵的鞍点。
混合策略当纯策略不存在时，我们希望给出⼀个选取不同策略的概率分布。
我们记 I,II 的概率分布向量分别为x,y，所有概率分布向量构成的集合为S1,S2，则局中⼈ I 的赢得函数为E(x,y)=x T Ay。
纯策略是混合策略的特例。
若混合局势 (x∗,y∗) 满⾜max x miny E(x,y)=minymaxx E(x,y)=E(x∗,y∗)则称为矩阵对策 {S1,S2;A} 的最优混合策略。
同样，混合策略 (x∗,y∗) 是最有混合策略的充要条件也是 (x∗,y∗) 是函数E(x,y) 的鞍点。
SWOT矩阵是一种常用的战略分析工具，用于评估一个组织或项目的优势、劣势、机会和威胁。
基于SWOT矩阵的分析结果，可以制定相应的组合策略。
以下是几种常见的SWOT矩阵组合策略：1. SO策略（Strengths-Opportunities，优势-机会）：SO策略是利用组织或项目的优势来抓住市场机会。
这种策略强调通过充分利用自身的优势来实现增长和发展。
例如，如果一个公司具有强大的品牌声誉和广泛的分销网络（优势），并且市场上出现了一个新兴的高增长领域（机会），那么公司可以利用自身的优势进入该领域并获取更多市场份额。
2. ST策略（Strengths-Threats，优势-威胁）：ST策略是通过利用组织或项目的优势来应对潜在的威胁。
这种策略旨在保持现有业务的竞争优势并抵御潜在的风险。
例如，如果一个公司在某个市场上具有领先地位（优势），同时面临来自竞争对手的激烈竞争（威胁），公司可以通过进一步提升产品质量和降低成本来保持竞争优势。
3. WO策略（Weaknesses-Opportunities，劣势-机会）：WO策略是通过克服组织或项目的劣势来抓住市场机会。
这种策略强调通过改善劣势领域来实现增长和发展。
例如，如果一个公司在技术创新方面存在不足（劣势），但市场上出现了一个高增长的市场领域（机会），公司可以通过加强研发和技术投入来弥补技术劣势，并进入该领域。
4. WT策略（Weaknesses-Threats，劣势-威胁）：WT策略是通过减轻组织或项目的劣势来应对潜在的威胁。
这种策略旨在强化组织的竞争地位并减少潜在风险。
例如，如果一个公司在供应链管理方面存在问题（劣势），同时面临着供应链中断或原材料涨价等威胁（威胁），公司可以通过与供应商建立更紧密的合作关系或寻找替代供应商来减轻劣势和应对威胁。
以上是一些常见的SWOT矩阵组合策略，具体的策略选择应根据具体情况进行评估和决策。
博弈论算法一、博弈的战略式表述及纳什均衡的定义在博弈论里，一个博弈可以用两种不同的方式来表述：一种是战略式表述（strategic form representation ），另一种是扩展式表述（或译为“展开式表述”）（extensive form representation ）。
从分析的角度看，战略式表述更适合于静态博弈，而扩展式表述更适合于讨论动态博弈。
1.1博弈的战略式表述战略式表述又称为标准式表述（normal form representation ）。
在这种表述中，所参与人同时选择各自的战略，所有参与人选择的战略一起决定每个参与人的支付。
战略式表述给出：1.博弈的参与人集合：(),1,2,,i n ∈ΓΓ=。
2.每个参与人的战略空间：,1,2,,i S i n =。
3.每个参与人的支付函数：12(,,,),1,2,,i n u s s s i n =。
我们用()11,,;,,n n G S S u u =代表战略式表述博弈。
例如在两个寡头产量博弈里，企业是参与人，产量是战略空间，利润是支付;战略式表述博弈为：{}121122120, 0; (,), (,)G q q q q q q ππ=≥≥ (1.1)这里i q 、i π别表示第i 个企业的产量和利润。
1.2纳什均衡的定义有n 个参与人的战略式表述博弈()11,,;,,n n G S S u u =，战略组合{}1,,,,i n s s s s ****=是一个纳什均衡。
如果对于每一个i 、i s *是给定其他参与人选择{}111,,,,,i i i n s s s s s *****--+=的情况下第个参与人的最优战略，即(,)(,),,i i i i i i i i u s s u s s s S i***--≥∀∈∀ (1.2)或者用另一种表述方式，i s *是下述最大化问题的解:111argmax (,...,,,,...,),1,2,..., ;i i i i i n i i s u s s s s s i n s S *****-+∈=∈(1.3)我们用这个定义来检查一个特定的战略组合是否是一个纳什均衡。
