运筹学作业解答(7)讲解

第二章 线性规划73P 4. 将下面的线性规划问题化成标准形式12312312312max 2..236230316x x x s t x x x x x x x x −+⎧⎪−+≥⎪⎪+−≤⎨⎪≤≤⎪⎪−≤≤⎩解：将max 化为 min ， 3x 用45x x −代替，则1245124512451245min 2()..23()62()30316,0x x x x s t x x x x x x x x x x x x −+−−⎧⎪−+−≥⎪⎪+−−≤⎪⎨≤≤⎪⎪−≤≤⎪≥⎪⎩令221x x ′=+，则1245124512451245min12()..2(1)3()62(1)()30307,0x x x x s t x x x x x x x x x x x x ′−+−−−⎧⎪′−−+−≥⎪⎪′+−−−≤⎪⎨≤≤⎪⎪′≤≤⎪≥⎪⎩将线性不等式化成线性等式，则可得原问题的标准形式12451245612457182912456789min221..23342437,,,,,,,0x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ′−+−+−⎧⎪′−+−−=⎪⎪′+−++=⎪⎨+=⎪⎪′+=⎪′≥⎪⎩73P 5、用图解法求解下列线性规划问题：(1) 121212min 3..206122x x s t x x x x +⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩解：图2.1的阴影部分为此问题的可行区域.将目标函数的等值线123x x c +=(c 为常数)沿它的负法线方向()13T−−，移动到可行区域的边界上.于是交点T），（812就是该问题的最优解，其最优值为36.75P 16. 用单纯形法求解下列线性规划问题：(1) 123123123123min 2..360210200,1,2,3j z x x x s t x x x x x x x x x x j ⎧=−−+⎪++≤⎪⎪−+≤⎨⎪+−≤⎪⎪≥=⎩解：将此问题化成标准形式123123412351236min 2..360210200,1,2,3,4,5,6j z x x x s t x x x x x x x x x x x x x j ⎧=−−+⎪+++=⎪⎪−++=⎨⎪+−+=⎪⎪≥=⎩以456,,x x x 为基变量，可得第一张单纯形表为以1x 为进基变量，5x 为离基变量旋转得以2x 为进基变量，6x 为离基变量旋转得1x 2x 3x 4x 5x 6x RHS z2 1 -1 0 000 4x 31 1 1 0060 5x 1-121010 6x 11 -1 0 01201x 2x 3x 4x 5x 6x RHS z0 3 -5 0 -20-204x 0 4 -5 1 -3030 1x 1-1 2 0 1010 6x 02-3-11101 注意单纯形表的格式！2 要用记号把转轴元标出来 3要记住在单纯形表的左边，用进基变量代替离基变量注（零行元素的获得）：先将目标函数化成求最小值的形式，再把所有变量移到等式左边，常数移到等式右边。

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第二章第七题
某公司正在制造两种产品，产品1和产品2，每天的产量分别是30个和120个，利润分别为500元/个，和400元/个，公司负责制造的副总经理希望了解是否可以通过改变这两种产品的数量而提高公司的利润。

公司各个车间的加工能力和制造单位产品所需要的加工工时，如下表所示：
车间产品1 产品2 车间的加工能力（每天
加工工时数）
1 2 0 300
2 0
3 540
3 2 2 440
4 1.2 1.
5 300
由上表可知：
(1)最优解为（150，70），目标函数最优值为103000。

(2)第一、第三车间的加工工时数用完，第二、第四车间的加工工时数没有用完，第二车间的松弛变量为330，第四车间的松弛变量为15。

（3）第一、第二、第三、第四车间加工工时的对偶价格分别为50、0、200、0。

对偶价格的定义为：在约束条件常数项中增加一个单位而使目标函数值得到改进的数量。

即：在第一车间中每增加一个工时，那么总利润将增加50元，第三车间每增加一个单位的工时，总利润增加200元;第二、第四车间增加工时，对总利润没有影响。

(4)目标函数中系数的灵敏度分析：
当目标函数的斜率小于等于—1时，此最优解不变。

当产品1的利润不变时，产品2的利润在【0,500】这个范围内变化时，此最优解不变；当产品2的利润不变时，产品1的利润大于等于400时，此最优解不变。

运筹学课后习题答案运筹学课后习题答案运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。

它涉及到数学、统计学和计算机科学等多个领域，旨在解决实际问题中的优化和决策难题。

在学习运筹学的过程中，课后习题是巩固知识和理解概念的重要方式。

下面将为大家提供一些运筹学课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 线性规划问题线性规划是运筹学中最基本的问题之一。

它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小值的决策变量的取值。

以下是一个线性规划问题的示例及其答案：问题：某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元。

产品A每单位需要2个工时，产品B每单位需要3个工时。

公司总共有40个工时可用。

如果公司希望最大化利润，应该生产多少单位的产品A和产品B？答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y。

根据题目中的约束条件可得到以下线性规划模型：目标函数：Maximize 3x + 4y约束条件：2x + 3y ≤ 40x ≥ 0, y ≥ 0通过求解这个线性规划模型，可以得到最优解为x = 10，y = 10。

也就是说，公司应该生产10个单位的产品A和10个单位的产品B，以最大化利润。

2. 项目管理问题项目管理是运筹学的一个重要应用领域。

它涉及到如何合理安排资源、控制进度和降低风险等问题。

以下是一个项目管理问题的示例及其答案：问题：某公司需要完成一个项目，该项目包含5个任务。

每个任务的完成时间和前置任务如下表所示。

为了尽快完成项目，应该如何安排任务的执行顺序？任务完成时间（天）前置任务A 4 无B 6 无C 5 AD 3 BE 7 C, D答案：为了确定任务的执行顺序，可以使用关键路径方法。

首先，计算每个任务的最早开始时间和最晚开始时间。

然后，找到所有任务的最长路径，即关键路径。

关键路径上的任务不能延迟，否则会延误整个项目的完成时间。

根据上表中的信息，可以得到以下关键路径：A → C → E，最长时间为4 + 5 + 7 = 16天因此，任务的执行顺序应为A → C → E。

《运筹学》作业答案作业一一、是非题：1.图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。

（√）2.线性规划问题的每一个基解对应可行解域的一个顶点。

（╳）3.如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定可以在可行解域的顶点上获得。

（√）4.用单纯形法求解Max型的线性规划问题时，检验数Rj＞0对应的变量都可以被选作入基变量。

（√）5.单纯形法计算中，如果不按最小比值规划选出基变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。

（√）6.线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。

（╳）7.若线性规划问题具有可行解，且可行解域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。

（╳）8.对一个有n个变量，m个约束的标准型线性规划问题，其可行域的顶点数恰好为mnC个。

（╳）9.一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。

（√）10.求Max型的单纯形法的迭代过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解。

（√）二、线性规划建模题：1.某公司一营业部每天需从A、B两仓库提货用于销售，需提取的商品有：甲商品不少于240件，乙商品不少于80台，丙商品不少于120吨。

已知：从A仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品4件，乙商品2台，丙商品6吨，运费200元/每部；从B仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品7件，乙商品2台，丙商品2吨，运费160元/每部。

问：为满足销售量需要，营业部每天应发往A、B两仓库各多少部汽车，并使总运费最少解：设营业部每天应发往A、B两仓库各x1，x2部汽车,则有：12 121212min200160 47240 2280 621200(1,2)jW x xx xx xx xx j=++≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥=⎩2.现有一家公司准备制定一个广告宣传计划来宣传开发的新产品，以使尽可能多的未来顾客特别是该企业计划用于此项广告宣传的经费预算是80万元，此外要求：①至少有200万人次妇女接触广告宣传；②电视广告费用不得超过50万元, ③电视广告至少占用三个单元一般时间和两个单元黄金时间, ④广播和报纸广告单元均不少于5个单元而不超过10个单元。

第一部分绪论第二部分线性规划与单纯形法1 判断下列说法是否正确：(a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同,但从几何上理解,两者是一致的；(b)线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围一般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大；(c)线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点；(d)如线性规划问题存在可行域,则可行域一定包含坐标的原点；(e)对取值无约束的变量x i,通常令其中,在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现(f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时,与对应的变量都可以被选作换入变量；(g)单纯形法计算中,如不按最小比值原则选取换出变量,则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；(h)单纯形法计算中,选取最大正检验数δk对应的变量x k作为换入变量,将使目标函数值得到最快的增长；(i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后,则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除,而不影响计算结果；(j)线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；(k)若x1,x2分别是某一线性规划问题的最优解,则也是该线性规划问题的最优解,其中λ1,λ2可以为任意正的实数；(1)线性规划用两阶段法求解时,第一阶段的目标函数通常写为X ai为人工变量),但也可写为,只要所有k i均为大于零的常数；(m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题,其可行域的顶点恰好为个；(n)单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转转换到目标函数值更大的另一个可行解；(o)线性规划问题的可行解如为最优解,则该可行解一定是基可行解；(p)若线性规划问题具有可行解,且其可行域有界,则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；(q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值,则该顶点处的目标函数值达到最优；(r)将线性规划约束条件的“≤”号及“≥”号变换成“＝”号,将使问题的最优目标函数值得到改善；(s)线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值；(t)一个企业利用3种资源生产4种产品,建立线性规划模型求解得到的最优解中,最多只含有3种产品的组合；(u)若线性规划问题的可行域可以伸展到无限,则该问题一定具有无界解；(v)一个线性规划问题求解时的迭代工作量主要取决于变量数的多少,与约束条件的数量关系相对较小。

运筹学课后习题集规范标准答案林齐宁版本北邮出版社No .1 线性规划1、某织带⼚⽣产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加⼯⽽(1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最⼤；(2) 如果组织这次⽣产具有⼀次性的投⼊20万元，模型有什么变化？对模型的解是否有影响？解：(1)设A 的产量为x 1，B 的产量为x 2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3+(406-140)x 4=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4s.t. ??=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i(2)如果组织这次⽣产有⼀次性的投⼊20万元，由于与产品的⽣产量⽆关，故上述模型只需要在⽬标函数中减去⼀个常数20万，因此可知对模型的解没有影响。

2、将下列线性规划化为极⼤化的标准形式解：将约束条件中的第⼀⾏的右端项变为正值，并添加松弛变量x 4，在第⼆⾏添加⼈⼯变量x 5，将第三⾏约束的绝对值号打开，变为两个不等式，分别添加松弛变量x 6, x 7，并令，则有max[-f (x )]= {-2 x 1 -3 x 2 -5()+0 x 4 -M x 5+0 x 6 +0 x 7}±≥≤+-=-+--≥-+++=不限321321321321321 ,0,13|5719|169765..532)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x fs.t. 0,,,,,,,1355719 13 5571916 9976 5 7654332173321633215332143321≥'''=+''+'-+-=+''-'+-=+''+'-+-=+''-'+--??x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x3、⽤单纯形法解下⾯的线性规划≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.021********* ..352)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 解：在约束⾏1,2,3分别添加x 4, x 5, x 6松弛变量，有初始基础可⾏解和单纯答：最优解为x1 =244.375, x2 =0, x3 =123.125, 剩余变量x6 =847.1875；最优解的⽬标函数值为858.125。

《运筹学》第七章决策分析习题1． 思考题（1）简述决策的分类及决策的程序； （2）试述构成一个决策问题的几个因素；（3）简述确定型决策、风险型决策和不确定型决策之间的区别。

不确定型决策能否转化成风险型决策？（4）什么是决策矩阵？收益矩阵，损失矩阵，风险矩阵，后悔值矩阵在含义方面有什么区别；（5）试述不确定型决策在决策中常用的四种准则，即等可能性准则、最大最小准则、折衷准则及后悔值准则。

指出它们之间的区别与联系； （6）试述效用的概念及其在决策中的意义和作用；（7）如何确定效用曲线；效用曲线分为几类，它们分别表达了决策者对待决策风险的什么态度；（8）什么是转折概率？如何确定转折概率？（9）什么是乐观系数，它反映了决策人的什么心理状态？ 2． 判断下列说法是否正确（1）不管决策问题如何变化，一个人的效用曲线总是不变的；（2）具有中间型效用曲线的决策者，对收入的增长和对金钱的损失都不敏感； （3）3． 考虑下面的利润矩阵(表中数字矩阵为利润)准则（3）折衷准则（取λ=0．5）（4）后悔值准则。

4． 某种子商店希望订购一批种子。

据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000公斤。

假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。

要求：（1）建立损益矩阵；（2）分别用悲观法、乐观法（最大最大）及等可能法决定该商店应订购的种子数；（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。

5． 根据已往的资料，一家超级商场每天所需面包数（当天市场需求量）可能是下列当中的某一个：100，150，200，250，300，但其概率分布不知道。

如果一个面包当天卖不掉，则可在当天结束时每个0.5元处理掉。

新鲜面包每个售价1.2元，进价0.9元，假设进货量限制在需求量中的某一个，要求 （1）建立面包进货问题的损益矩阵；（2）分别用处理不确定型决策问题的各种方法确定进货量。

6．有一个食品店经销各种食品，其中有一种食品进货价为每个3元，出售价是每个4元，如果这种食品当天卖不掉，每个就要损失0．8元，根据已往销售情况，这种食品每天销售1000，2000，3000个的概率分别为０．３，０．５和０．２，用期望值准则给出商店每天进货的最优策略。

附录一 习题解答Appendix 1Solutions of Exercises第一章 线性规划一、以下集合中，哪些是凸集，哪些不是凸集？（1） {(x 1,x 2)| x 1+x 2≤1} 是凸集 （2） {(x 1,x 2,x 3)| x 1+x 2≤1,x 1-x 3≤2} 是凸集 （3） {(x 1,x 2)| x 1-x 2=0} 是凸集 （4） {(x 1,x 2,x 3)| x 1≥x 2,x 1+x 2+x 3≤6} 是凸集 （5） {(x 1,x 2)| x 1=1,|x 2|≤4} 是凸集 （6） {(x 1,x 2,x 3)| x 3=|x 2|, x 1≤4} 不是凸集 二、求出以下不等式组所定义的多面体的所有极点。

（1）x 1 +x 2 +x 3 ≤5-x 1 +x 2 +2x 3 ≤6 x 1,x 2,x 3≥0解：引进松弛变量x 4，x 5≥0 x 1 +x 2 +x 3 +x 4=5 -x 1 +x 2 +2x 3 +x 5 =6 x 1, x 2,x 3x 4,x 5≥0令 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==102110111154321a a a a a A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=65b 在A 矩阵中，一共有10个行列式不等于0的方阵，即10个基。

[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1111211a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-2112121212121211165x x b B[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==2111312a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-3113431313132311265x x b B[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0111413a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-116651110x x 4113b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1101514a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-115651101x x 5114b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==2111325a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-14651112x x 3215b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0111426a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-15651110x x 4216b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1101527a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-15651101x x 5217b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0211438a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-236510x x 21214318b B[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1201539a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-45651201x x 5319b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==10015410a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-65651001x x 54110b B 相应的基础解是X 1= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（-1/2，11/2，0，0，0） X 2= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（4/3，0，11/3，0，0） X 3= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（-6，0，0，11，0） X 4= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（5，0，0，0，11） X 5= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，4，1，0，0） X 6= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，5，0，-1，0） X 7= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，5，0，0，1） X 8= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，3，2，0） X 9= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，5，0，-4） X 10=（x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，0，5，6）其中B 2、B 4、B 5、B 7、B 8、B 10是可行基，相应的基础可行解为： X 2= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（4/3，11/3，0，0，0） X 4= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（5，0，0，0，11） X 5= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，4，1，0，0） X 7= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，5，0，0，1） X 8= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，3，2，0） X 10=（x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，0，5，6）原问题的极点是：X 2= （x 1，x 2，x 3）=（4/3，11/3，0） X 4= （x 1，x 2，x 3）=（5，0，0） X 5= （x 1，x 2，x 3）=（0，4，1） X 7= （x 1，x 2，x 3）=（0，5，0） X 8= （x 1，x 2，x 3）=（0，0，3） X 10=（x 1，x 2，x 3）=（0，0，0） （2）x 1 +x 2 +x 3 ≤1 -x 1 +2x 2 ≤4x 1,x 2,x 3≥0解：引进松弛变量x 4，x 5≥0 x 1 +x 2 +x 3 +x 4=1 -x 1 +2x 2 +x 5 =4 x 1, x 2,x 3x 4,x 5≥0令 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==10210111154321a a a a a A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41b A 矩阵中共有9个基。