苏教版高二数学期末试卷及答案

江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2010-2011学年第二学期高二年级期末考试 数学试卷答案 命题人葛寄宇（满分160分 时间 120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.-2； 2.2； 3．725-；4.64； 5．3+ 6．1a =-；8. 4π； 9. 5；10.21；11.①、②；12.2222c b a ++；13.3；14．（0，1）二、解答题：15．解:(1)由已知:2cos tan 2sin bc A A bc A ⋅==∴sin A =∵锐角△ABC , ∴3A π=…………7分 (2)原式=cos5050sin 70(150)sin 70cos50︒-︒︒⋅-︒=︒⋅︒=2cos(5060)2cos110sin 70sin 70cos50cos50︒+︒︒︒︒⋅=︒︒=2sin 20cos 20sin 401cos50sin 40-︒︒-︒==-︒︒14分16．（1）证明：连接1A B ，交1AB 于点O , 连接OD . ∵O 、D 分别是1A B 、BC 的中点， ∴1A C ∥OD ． ………3分∵1AC ⊄平面1AB D ，OD ⊂平面1AB D ， ∴1A C ∥平面1AB D ． ………6分 （2）M 为1CC 的中点． ………7分 证明如下：∵在正三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，∴四C 11C边形11BCC B 是正方形．∵M 为1CC 的中点，D 是BC 的中点，∴1B BD BCM ∆≅∆，……9分 ∴1BB D CBM ∠=∠，1BDB CMB ∠=∠． 又∵112BB D BDB π∠+∠=，12CBM BDB π∠+∠=，∴1BM B D ⊥． …11分∵ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥．∵平面ABC ⊥平面11BB C C , 平面ABC I 平面11BB C C BC =，AD ⊂平面ABC ， ∴AD ⊥平面11BB C C ． ∵BM ⊂平面11BB C C ，∴AD ⊥BM ． ……13分 ∵1AD B D D =I ， ∴BM ⊥平面1AB D ． ∵1AB ⊂平面1AB D ，∴1MB AB ⊥． …14分 17. （本小题满分15分）17.解：（1）由题意，得(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，即220s t +=， 又因为过点M 要分别修建与OA 、OB 平行的栈桥MG 、MK ，所以510s ≤≤211(10)(10)50,51022z s t s s s s =⋅=-=--+≤≤ 所以z 的取值范围是75502z ≤≤。

江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.六个数5，7，7，8，10，11的方差是_______．2.已知复数（是虚数单位），则=_______．3.命题“”的否定是____________．4.某工厂生产三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出样本容量为的样本，样本中型产品有16件，则样本容量n为 .5.已知集合，，则________．6.如果执行下面的程序框图，那么输出的______．7.如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是________.8.已知一个质点在腰长为4的等腰直角三角形内随机运动，则某时刻该质点距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为_____9.口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.45，摸出红球或黄球的概率为0.65，则摸出红球或蓝球的概率为___．10.观察下列等式：，，，，……猜想：_____（）.11.已知条件条件且是的充分不必要条件，则a的取值范围可以是______．12.已知正数满足,则的最小值为______．13.点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是14.已知奇函数是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数k的值是．二、解答题1.已知复数满足 (为虚数单位)，复数的虚部为2，且是实数.(1)求及；(2)求及.2.从参加数学竞赛的学生中抽出20名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题：（1）这一组的频率和频数分别为多少？（2）估计该次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）；（3）若从第一组和第三组的所有学生中随机抽取两人，求他们的成绩相差不超过10分的概率．3.设命题：；命题：函数的定义域为R.(1)若且是真命题，求实数的取值范围；(2)若或是真命题，且是假命题，求实数的取值范围．4.若二次函数满足，且.(1)求的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)解关于的不等式.5.在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为(米/单位时间),单位时间内用氧量为 ;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为.(1)将表示为的函数;(2)试确定下潜速度,使总的用氧量最少.6.已知函数，，，其中，且.⑴当时，求函数的最大值；⑵求函数的单调区间；⑶设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.7.（矩阵与变换）若点在矩阵的变换下分别得到点.（Ⅰ）求矩阵；（Ⅱ）若曲线C在的作用下的新曲线为，求曲线C的方程．8.（坐标系与参数方程）求直线（）被曲线所截的弦长。

苏州市2023～2024学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高二数学2024.1注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3～请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：10x ++=的倾斜角为（）A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2214x y -=的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O 的对称点为B ，则AF BF -=（）A ．-B ．C ．4-D ．43．若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b c + ，b ，b c-B ．a ，a b + ，a b-C ．a b + ，a b - ，cD ．a b + ，a b c ++ ，c4．已知{}n a 是等比数列，若243a a a =，458a a =，则1a =（）A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：0mx y m +-=被圆M ：224210x y x y +--+=截得的最短弦的长度为（）A B ．2C ．D ．46．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知平面{}00P n P P α=⋅= ，其中点()01,2,3P ，法向量()1,1,1n =，则下列各点中不在平面α内的是（）A ．()3,2,1B ．()2,5,4-C ．()3,4,5-D ．()2,4,8-7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过()1,0A -，且与圆C ：()2219x y -+=相切，则圆心P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．拋物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、1R 为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、2R 为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且1235R R =，3AB CD =，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：221x y m m +=-，则下列说法正确的有（）A ．若1m >，则C 是椭圆B ．若2m >，则C 是椭圆C ．若0m <，则C 是双曲线D ．若1m <，则C 是双曲线10．已知数列{}n a 满足11a =，1n n a pa q +=+（p ，q ∈R ，*n ∈N ），设{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的有（）A ．若1p =-，3q =，则102a =B ．若1p =-，3q =，则1030S =C ．若2p =，1q =，则101024a =D ．若2p =，1q =，则102036S =11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知11AB AD AA ===，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，E 为棱1CC 上一点，且12C E EC =，则A ．1A E BD ⊥B ．1A E ⊥平面11BDD BC ．1BD =D ．直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，T 是C 的准线与x 轴的交点．若124k k =-，则（）A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在1k ，2k ，使得52AB =C ．AOB △面积的最小值为34D ．AF AT BFBT=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知荾形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程：______．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,2A ，记抛物线C ：24y x =上的动点P 到准线的距离为d ，则d PA -的最大值为______．15．已如圆台的高为2，上底面圆1O 的半径为2，下底面圆2O 的半径为4，A ，B 两点分别在圆1O 、圆2O 上，若向量1O A 与向量2O B的夹角为60°，则直线AB 与直线12O O 所成角的大小为______．16．函数[]y x =被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如：[]11-=-，[]4.24=．已知数列{}n a 的通项公式为()2log 21n a n =+⎡⎤⎣⎦，设{}n a 的前n 项和为n S ，则使得300n S ≤的最大正整数n 的值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程；（2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()4211n n S n a =++（*n ∈N ）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF BE =，11B F C E ⊥．（1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥1A AEF -的体积最大时，求平面1A EF 与平面11ACC A 夹角的余弦值20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为（1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{}n a 满足11a =，11cos πn n a a n +=++（*n ∈N ）．（1）求2a ，3a 及{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22b =且2121k k b a --=，2223k k b b +=（*k ∈N ），记{}n b 的前n 项和为n S ，试求所有的正整数m ，使得2212m m S S -=成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：222212x y a a -=+的右焦点为()2,0F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以12A A 为直径的圆为圆O ．（1）当l 与圆O 相切时，求DE ；（2）求证：直线AQ 与直线2A P 的交点S 在圆O 内．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A 【解析】35πtan 36k αα==-⇒=，选A 2．【答案】D【解析】由双曲线的定义知24AF BF a -==，选D 3．【答案】C【解析】对于A ，()()12b bc b c ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向是b c + ，b ，b c - 共面对于B ，()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，三个向量a ，a b + ，a b -共面对于D ，()()c a b c a b =++-+，所以三个向量a b + ，a b c ++ ，c 共面对于C ，若()()c x a b y a b =++- ，不存在实数x ，y 使得等式成立，所以a b + ，a b - ，c不共面选C4．【答案】A【解析】由224333a a a a a =⇒=，所以30a >，则31a =，由233453888a a a q q =⇒=⇒=，所以2q =所以31214a a q ==，选A 5．【答案】C【解析】直线l ：0mx y m +-=过定点()1,0A ，圆M ：()()22214x y -+-=，圆心()2,1M ，半径2R =因为点()1,0A 在圆M 内，由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时，弦长最短为==，选C6．【答案】B【解析】对于B ，若点()2,5,4P -，则()03,3,1P P =-，则033110n P P ⋅=-++=≠ ，所以点()2,5,4-不在平面a 内，选B 7．【答案】B【解析】因为点A 在圆C 内，所以圆P 内切与圆C ，由两圆内切的关系可知，3C P PC r r AP =-=-从而32AP PC AC +=>=，所以点P 轨迹是以AC 为焦点的椭圆8．【答案】A【解析】法1：不妨设13R =，25R =，CD m =，则3AB m =，253MB R AB m =-=-，132OM R MB m =-=-所以21324151MD R OM OC CD m R m m m ==++=-++=+=⇒=所以13a c OC R -===①，212329a AC MA OM OC R m R ==++=+-+=②联立①②解得92a =，32c =，所以椭圆离心率1e 3c a ==选A法2：13R =，25R =，设轨道Ⅱ得长轴和焦距分别为2a 和2c25AM DM R ===，3OB OC ==则()2AB AM MB AM OB OM OM=-=--=+()2CD MD MC MD OC OM OM=-=-+=-3AB CD =，得：1OM =则6OA OM AM a c =+==+，3OC a c==-()2a c a c +=-，得：3a c =，故1e 3=，选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BC 10．【答案】AD【解析】若1p =-，3q =，则13n n a a ++=，213n n a a +++=，两式相减可得2n n a a +=，所以{}n a 为周期2的周期数列11a =，22a =，则1022a a ==，A 正确；()101255315S a a =+=⨯=，B 错误若2p =，1q =，则()1121121n n n n a a a a ++=+⇒+=+，因为112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，则21n n a =-，所以1010211023a =-=，C 错误()10111021210212203612S -=-=-=-，D 正确故选AD11．【答案】ACD【解析】易知11A AB A AD ≌△△，所以11A D A B =，设AC BD O = ，O 为BD 中点，则1AO BD ⊥，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，所以BD ⊥平面11A ACC ，1A E ⊂平面11A ACC ，所以1A E BD ⊥，A正确；对于B ，因为1123A E AA AB AD =-++，所以211111112221110333223A E AA AA AB AD AA AA AB AA AD AA ⎛⎫⋅=-++⋅-+⋅+⋅=-++=≠ ⎪⎝⎭，所以1A E 与1AA 不垂直，即1A E 与1BB不垂直所以1A E 与平面11BDD B 不垂直，B 错误对于C ，11111BD BA AA A D AB AA AD =++=-++，所以()()()2222211111222BD AB AA AD ABAA ADAB AA AB AD AA AD=-++=++-⋅-⋅+⋅111132222222BD =-⨯-⨯+⨯=⇒=C 正确对于D ，选项A 中已经证明BD ⊥平面11A ACC ，所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角即为直线1BD 与BD 所成角的余角，BD AD AB =-，而1BD = ，()()111BD BD AD AB AB AA AD ⋅=-⋅-++=所以111cos ,2BD BD BD BD BD BD ⋅==⋅，所以直线1BD 与BD 所成角为π4所以直线1BD 与平面11ACC A 所成角为π4，D 正确故选ACD法2：{}1,,AB AD AA为空间基底来解决问题由题意知：1112AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=1111111233A E AE AA AC CE AA AB AD AA AA AB AD AA =-=+-=++-=+- DB AB AD =-，则：2211122033A E DB AB AD AA AB AA AD ⋅=--⋅+⋅= 2111111121033A E BB A E AA AB AA AD AA AA ⋅=⋅=⋅+⋅-=≠ 故A 正确，B 错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，则：1BD == ，C 正确；显然有BD AC ⊥，且1BD =又()11110BD AA AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅= 故1BD AA ⊥，从而易得：BD是平面11ACC A 的一个法向量()()1111111112222BD BD AD AA AB AD AB ⋅=+-⋅-=--= 设1BD 与平面11ACC A 所成角为θ，则1sin cos ,BD BD θ== ，D 正确；因此，选ACD ．12．【答案】ABD【解析】()11,A x y ，()22,B x y ，则1212121244y y k k x x y y ===-得：2121y y p =-=-，故直线AB 过焦点F ，选项AD 正确22AB p ≥=，故选项B 正确；设直线AB 的倾斜角为θ，则2112sin 2sin 2AOBp S θθ==≥△，选项C 错误；（或注意到当AB 为通径时，213224AOB p S ==<△，故选项C 错误）因此，选ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】2214x y +=（答案不唯一）14．【答案】5【解析】由抛物线的定义知，d PF =，所以()()2221205d PA PF PA AF -=-≤=-+-=当点P 位于射线AF 与抛物线交点时，取最大值515．【答案】3π【解析】法1：AB 在12O O 上的投影向量为12O O ，故212124AB O O O O ⋅== ()221122124416216AB AO O O O BO A O B =++=++-⋅=设直线AB 与直线12O O 所成角为θ，则12121cos 2AB O O AB O O θ⋅== ，即3πθ=法2：如图，12O A O C ∥，则260BO C ︒∠=，2BO C △为等边三角形，点A 在圆2O 上的射影为D ，则D 为2O C 中点，所以224223BD =-=，2AD =，在Rt ADB △中tan 3BDBAD AD∠==，则π3BAD ∠=即AB 与12O O 所成角为π3法3：以2O 为原点建系，()10,0,2O ，()0,2,2A ，()23,2,0B 故12121241cos ,242AB O O AB O O AB O O ⋅===⨯，即所成角为π3．16．【答案】59【解析】12k a k -=，()122log 211k k a k +⎡⎤=+=+⎣⎦故122k k n -≤<时，n a k =，共11222k k k ---=项其和为()()1121222k k k k k k --⋅=-⋅--⋅()()()()1021121021212021222121k k k k S k k k --=⋅--⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+-⋅--⋅=-⋅+6321321300k S S -==>又3263n ≤<时，6n a =，故60303S =，59297S =因此，所求正整数n 的最大值为59.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）因为E 为BD 中点，()2,0B ，()0,1D ，所以11,2E ⎛⎫⎪⎝⎭．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB CD ∥，由()1,1A --，()2,0B ，得13AB k =，所以13CD AB k k ==．由l CD ⊥知直线l 的斜率为3-，所以直线l 的方程为()1312y x -=--，即所求直线l 的方程为6270x y +-=．（2）因为四边形ABCD 为平行四边形，且()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ，设(),C m n ，由BC AD = 得212,m n -=⎧⎨=⎩解得()3,2C ，又由1BD BC k k ⋅=-得BC BD ⊥，且BC =，所以点C 为圆心，与直线BD 相切的圆的标准方程为()()22325x y -+-=．18．【解析】（1）令1n =得11a =因为()4211n n S n a =++（*n ∈N ），所以()114211n n S n a --=-+（2n ≥，*n ∈N ），两式相减得()()142121n n n a n a n a -=+--（2n ≥，*n ∈N ），即()()12321n n n a n a --=-．所以12123n n a n a n --=-（2n ≥，*n ∈N ），所以3212135211323n n a a a n a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅-，即121n a n a =-，所以21n a n =-（2n ≥，*n ∈N ），又11a =，所以21n a n =-（*n ∈N ）．（2）由（1）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111111121335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19．【解析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，因为90BAC ∠=︒，所以AB ，AC ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系（如图），设1AA a =（0a >），AF BE λ==（02λ<<）又2AB AC ==，所以可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()10,0,A a ，()12,0,B a ，()10,2,C a ，()2,0,0E λ-，()0,,0F λ，所以()12,,B F a λ=-- ，()12,2,C E a λ=---，因为11B F C E ⊥，所以110B F C E ⋅= ，所以22420a λλ--+=，所以2a =，即该直三棱柱的高为2．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，有1AA ⊥平面AEF ，又90BAC ∠=︒，由（1）知12AA =，AE BE λ==（02λ<<），所以()111112333A AEF AEF V S AA λλ-=⋅=⋅-≤△，当且仅当1λ=时取“＝”即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥1A AEF -的体积最大．此时()1,0,0E ，()0,1,0F ，()10,0,2A ，所以()11,0,2A E =- ，()10,1,2A F =-，设()1,,n x y z =是平面1A EF 的一个法向量，则11110,0,A E n A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x z y z -=⎧⎨-=⎩取1z =，得()12,2,1n = ，又平面11ACC A 的一个法向量为()21,0,0n =，所以12121222cos ,313n n n n n n ⋅===⨯⋅，因为平面1A EF 与平面11ACC A 的夹角θ为锐角，所以2cos 3θ=．20．【解折】（1）由题意2c =c ==，又因为2a b =，所以4a =，2b =，所以C 的标准方程为221164x y +=．（2）设直线l ：12y x m =+（0m ≠），()11,A x y ，()22,B x y ，()33,P x y ．将12y x m =+代入C ：221164x y +=中，化简整理得222280x mx m ++-=，于是有2122123240,2,28,m x x m x x m ⎧∆=->⎪+=-⎨⎪=-⎩所以12AB x =-===因为点O 关于l 的对称点为P ，所以333302,0001,222y x y x m -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅+⎪⎩解得334,58.5x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即48,55P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为P 在C 上，所以2248551164m m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得22517m =．又因为点O 到直线l的距离d ==，所以由对称性得2OAB OAPB S S AB d ==⋅=四边形△22==第二问法2：设l：12y x m=+，OP：2y x=-，则(),2P x x-，0x≠=，0x≠，解得45mx=-，则48,55m mP⎛⎫- ⎪⎝⎭代入C：221612525m m+=，得：22517m=，则5OP==22222222804160y x mx mx mx y=+⎧⇒++-=⎨+-=⎩A Bx x-==A BAB x=-=故110111217S AB OP=⋅=．21．【解析】（1）将2,3n=代入11cosπn na a n+=++，得21a=，33a=，令2,21n k k=-，得2122k ka a+=+，221k ka a-=，所以21212k ka a+-=+，又11a=，从而()2112121ka k k-=+-=-，所以22121k ka a k-==-，从而,,1,.nn nan n⎧=⎨-⎩为奇数为偶数（2）由212121k kb a k--==-，又22b=，2223k kb b+=，所以{}2k b是以2为首项、3为公比的等比数列，所以1223kkb-=⋅，所以()()*1*2,21,23,2,nnn n k kbn k k-⎧=-∈⎪=⎨⎪⋅=∈⎩NN因为2212m mS S-=，所以221m mb S-=．因为()()21122113212422m m m mS b b b b b b b b b----=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()11223112131231mmm mm---+-=+=+--，所以1122331m m m--⋅=+-，即1231m m-=-当1m=时，1231m m-=-无解；当1m >时，因为()22211112230333mm mm m m m -+---++-=<，所以当且仅当2m =时，2113m m --取最大值1，即1231m m -=-的解为2m =．综上所述，满足题意的m 的值为2．第2问法2：（2）212121k k b a k --==-，2223k k b b +=，22b =，则2223k kb b +=故{}2n b 是首项为2，公比为3的等比数列，则1122323n n n b b --=⋅=⋅()()21321242m m m S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()222133113m m m m ⋅-=+=+--2212m m S S -=，即()2222m m m S S b =-，即222m mS b =213143m m m -+-=⋅，即1231m m -=-令()2113n n f n --=，则()()2221212231333nn nn n n n n f n f n -+--+++-=-=1n =时，()()10f n f n +->，即()()12f f <2n ≥时，()()10f n f n +-<，即()()()234f f f >>>⋅⋅⋅()10f =，2n ≥时，()()21f n f <=故满足方程1231m m -=-的正整数m 只有2即使得2212m m S S -=成立的正整数m 为222．【解析】（1）因为()2,0F ，所以()2224a a ++=．所以21a =，所以圆O 的半径1r =．由题意知l 的斜率存在，设l ：()2y k x =-（0k ≠）．当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d r =，1=，解得33k =±由()222,0,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()22223440k x k x k --+=，即2210x x +-=，解得1D x =-，12E x =，所以D E DE x =-=（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由()222,1,3y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得()222234430k x k x k --++=，此时0k ≠，0∆>，21224303k x x k +=<-，解得203k <<，且21222212224124,3343154,33k x x k k k x x k k ⎧+==+⎪⎪--⎨+⎪==+⎪--⎩所以()1212514x x x x =+-，因为()11,0A -，()21,0A ，所以1AQ ：()2211y y x x =++，2A P ：()1111yy x x =--，联立1AQ ，2A P 方程，消去y 得()()()()()()2121121212121221112221111222x y k x x x x x x x x x y k x x x x x x ++-+--+===------+．所以()()121212121212211221125931223224443531221221444x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+----+--===---++---+-++，即131x x +=--，所以12x =．将12x =代入2A P 方程得()1121y y x -=-，即()111,221y S x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭．因为11x <-，所以()()()()()2211121111313132310,214141441x x y x x x x -⎛⎫+⎡⎤-⎛⎫===+∈ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪---⎝⎭-⎣⎦⎝⎭所以()221111221y x ⎛⎫-⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即直线1AQ ，2A P 的交点S 在圆O 内．法2：（1）2224a a ++=，得：21a =，故C ：2213y x -=()2,0F ，圆O 半径为1，设l ：2x my =+1=，得：23m =()22222311212003x my m y my y x =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩231D E y y m -=-，则243331D E DE y m =-==-；（2）证：设l ：2x my =+，33,,33m ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11,P x y ，()22,Q x y ()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩1221231m y y m -+=-，122931y y m =-，显然有()121234my y y y =-+()1212211212222y y x y x y my y y y ++=++=，21121222x y x y y y -=-()()()2212122112122112121211211311:1221321:11212A P y y y x y x y y y A Q y x x x x y x y y y y y y y A P y x y k x x ⎧⎧-⎪⎪++-=+===⎪⎪+⎪-++-⇒⎨⎨⎪⎪=-=-=-⎪⎪--⎪⎩⎩即211,22A P S k ⎛⎫-⎪⎝⎭，双曲线的渐近线斜率为2A P k <所以1OS =<，因此，点S 在圆O 内。

江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若集合，则▲．2.若函数的最小正周期为，则▲．3.命题“若，则”的否命题为▲．4.函数的单调递增区间为_▲__．5.，则= ▲．6.将函数的图象向左平移1个单位，所得函数的解析式为▲．7.设的内角所对的边长分别为，则“”是“为锐角三角形”成立的▲条件（填充分不必要；必要不充分；充要；既不充分也不必要）．8.满足的锐角▲．9.若函数在处取得极值，则实数▲．10.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是▲．11.已知，且，则▲．12.设的内角所对的边长分别为，且则的值为__▲__．13.已知函数为奇函数，则的取值范围是▲．14.设函数，若有三个不同的根，则实数的取值范围是▲．二、解答题1.本小题满分14分）已知．（1）求的值；（2）求的值．2.（本小题满分14分）已知命题：方程有两个不相等的负实数根；命题：函数无零点．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若或为真，且为假，求实数的值的集合．3.（本小题满分15分）已知函数，．（1）求的值；（2）证明；（3）若，，求的值．4.（本小题满分15分）如图，某市拟在道路AE的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段ABC，该曲线段为函数()，的图象，且图象的最高点为；赛道的中间部分为千米的水平跑道；赛道的后一部分为以O为圆心的一段圆弧．（1）求的值和角的值；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记，求当“矩形草坪”的面积最大时的值．5.（本小题满分16分）已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.设f (x)=x2+ax，g(x)=x+b(R)，=2x2+3x-1，h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数. （1）设，若h (x)为偶函数，求；（2）设，若h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；6.（本小题满分16分）已知函数（1）若函数在处的切线方程为，求的值；（2）任取，且，恒有，求的取值范围；（3）讨论方程的解的个数，并说明理由。

2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁U M，则（）A．N⊆M B．M⊆∁U N C．∁U M＝∁U N D．M⊆N2．（5分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（）A．13B．23C．1D．24．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x，y，z（单位：本）．现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有（）A．9本B．10本C．11本D．12本5．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）从x到x+Δx的平均变化率为f(x+Δx)−f(x)Δx=√x+Δx+√x−1x2+x⋅Δx，则f（x）的单调增区间是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（2，+∞）6．（5分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝ae bx（其中e ＝2.71828⋯）拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：已知回归方程z=0.52x+1.44，则m的值约为（）A．1.96B．2C．6.9D．7.47．（5分）已知A，B为某随机试验的两个事件，A为事件A的对立事件．若P(A)=23，P(B)=58，P(AB)=12，则P(B|A)=（）A．38B．58C．14D．348．（5分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝e a﹣a，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高二下学期期末考试文科数学试卷一、填空题1．函数()cos 2f x x =的最小正周期是 ． 210y ++=的倾斜角是 ．3．复数2ii -的虚部是 ．4．ABC ∆中，“6A π=”是“1sin 2A =”的 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）． 5．幂函数()()f x xR αα=∈过点(，则()4f = ．6．)2lg 2lg 2lg5lg51++-= ．7．如果复数z 满足2z i -=，那么1+z 的最大值是 ．8．函数()ln xf x x =的单调递增区间是 ．9．圆()()22:112C x y -++=，过点()2,3的直线l 与圆相交于,A B 两点，90ACB ∠=,则直线l 的方程是 ．10．已知:q 不等式240x mx -+≥对x R ∈恒成立，若q ⌝为假，则实数m 的范围是 ． 11．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边BC 上的四等分点，则tan EAF ∠= ．C12．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ<π≤在R 上的部分图象如图所示，则()f x = ．13．已知函数y=f(x)(x∈(0，2))的图象是如图所示的圆C 的一段圆弧．现给出如下命题：①(1)0f '=；②()0f x '≥；③()f x '为减函数；④若()()0f a f b ''+=，则a+b=2． 其中所有正确命题的序号为 ．14．有n 个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为 ． 二、解答题15．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}|||1B x x a =-<,U R =．（1）当3a =时，求A B ； （2）若U A C B ⊆，求实数a 的取值范围．16．已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=-． （1）求cos()αβ-的值； （2）求sin β的值．17．已知函数1()21xf x m =++，R m ∈． （1）若12m =-，求证：函数()f x 是R 上的奇函数；（2）若函数()f x 在区间(1,2)上没有零点，求实数m 的取值范围．18．已知ABC ∆中，M 是BC的中点，AM ，设内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c，且cos cos A C =（1）求角A 的大小； （2）若角,6B π=求ABC ∆的面积； （3）求ABC ∆面积的最大值．19．在矩形ABCD 中，以DA 所在直线为x 轴，以DA 中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点B 的坐标为(3,2)，E 、F 为AD 的两个三等分点，AC 和BF 交于点G ，BEG ∆的外接圆为⊙H ．（1）求证：EG BF ⊥； （2）求⊙H 的方程；（3）设点(0,)P b ，过点P 作直线与⊙H 交于M ，N 两点，若点M 恰好是线段PN 的中点，求实数b 的取值范围．20．已知函数),0,(ln )1(2)(2>∈∈--=*a R a N k x a x x f k 且（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若2014=k 时，关于x 的方程ax x f 2)(=有唯一解，求a 的值；（3）当2013=k 时，证明: 对一切),0(+∞∈x ，都有)21(2)(2ex e a x x f x ->-成立．参考答案一、填空题1．π解：函数()cos 2f x x =的最小正周期是2||T πω==π。

2022-2023学年全国高二下数学期末试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 若，，则（ ）A.或B.C.D.2. 在平行六面休中，若，则等于（ ）A.B.C.D.3. 现有名队员，名老队员（男女）和名新队员（男女），从中选出男女队员参加辩论比赛．要求其中有且仅有名老队员，则不同的选法有（ ）A.种B.种C.种D.种4. 根据气象资料记载：一年中下雨天数的比例：威海为，淄博为，两地同时下雨为，假A ={x|−2x −3<0}x 2B ={x|x >1}(A)∩B =∁R {x|x >1x ≤−1}{x|1<x <3}{x|x >3}{x|x ≥3}ABCD −A'B'C'D'=x +2y +3z AC'−→−AB −→−BC −→−C'C −→−x +y +z 116765623732141312189101120%15%6%设某一天威海下雨，则这一天淄博也下雨的概率为（ ）A.B.C.D.5. 是的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6. 函数 的零点个数为 A.B.C.D.7. 设，，，则 A.B.C.D.8. 设函数，则不等式的解集是（ ）A.B.C.6%15%30%40%a >b >0≥a +b 2ab −−√f(x)={ln x −+2,x >0,x 22x +1,x ≤0()123a =3log 12b =()130.2c =213()a <b <cc <b <ac <a <bb <a <cf (x)=x lg −1−x 1+x 14−x 2−−−−−√f (x +1)≤f (−)1212[−1,0)[−3,+∞)(−4,−3]∪[−1,0)(−∞,−3]∪[−1,+∞)D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（ ）附：若随机变量服从正态分布，则A.若红玫瑰的日销售量范围在 ）的概率是，则红玫瑰的日销售量的平均数约为B.白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售量更集中C.红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售量更集中D.白玫瑰的日销售量范围在的概率约为10. 已知的二项展开式中二项式系数之和为，则下列结论正确的是( )A.二项展开式中各项系数之和为B.二项展开式中二项式系数最大的项为C.二项展开式中无常数项D.二项展开式中系数最大的项为11. 设{，，}是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ）A.，，可以为任意向量B.对空间任一向量，存在唯一有序实数组，使＝C.若，，则D.{，，}可以作为构成空间的一组基底12. 某学校共有个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择到每个餐厅概率相同)，则下列结论正确的是( )A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为B.四人去了同一餐厅就餐的概率为C.四人中恰有人去了第一餐厅就餐的概率为(−∞,−3]∪[−1,+∞)N (μ,)302N (280,)402X N (μ,)σ2P (μ−σ<X <μ+σ)≈0.6826(μ−30,2800.6826250(280,320)0.3413(2x +)1x −√n 6472990x32240x 3(x,y,z)x +y +z⊥⊥⊥+2+2+26518112962252162D.四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设的分布列为又设，则等于________.14. 已知命题“，使得”是真命题，则实数的最大值是________.15. 已知函数，若，则实数的取值范围为________．16. 四棱锥中，底面，底面是正方形，且＝，＝，是的重心，则与面所成角的正弦值为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为”．问题：已知二项式，若________（填写条件前的序号），求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中含项的系数．（注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分） 18. 流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄患病人数求关于的线性回归方程；23ξξ1234P 16161313η=2ξ+5E (η)p :∀x ≥32x −1≥m m f(x)=x |x |+3xf(a)+f(−2)<0a 2a P −ABCD PD ⊥ABCD ABCD PD 1AB 3G △ABC PG PAB θ6422(1+3x)n (1)(2)x 2(x)23456(y)2222171410(1)y x (2)计算变量，的相关系数（计算结果精确到），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若，则，相关性很强；若，则，相关性一般；若，则，相关性较弱．）参考数据：参考公式：，，相关系数. 19. 第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取户居民进行调查，得到如下的列联表已知在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；已知在试点前分类意识强的户居民中，有户自觉垃圾分类在年以上，现在从试点前分类意识强的户居民中，随机选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，求的分布列及数学期望参考公式 ,其中.下面的临界值表仅供参考：20. 年“双十一”购物节之后，某网站对购物超过元的名购物者进行年龄调查，得到如下统计表：分组编号年龄分组购物人数（1）从这名购物者中随机抽取人，求该购物者的年龄不低于岁的概率；（2）从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人进一步做调查问卷，再从这人中随机抽取人中奖求中奖的人中年龄在,内各有一人的概率．21. 如图，在三棱柱中，，，，分别是，的中点.(2)x y r 0.01|r|∈[0.75,1]x y |r|∈[0.3,0.75)x y |r|∈[0,0.25]x y ≈5.47730−−√==b ^(−)(−)∑i=1n x i x ¯¯¯y iy ¯¯¯(−∑i=1n x i x ¯¯¯)2−n ∑i=1n x i y i x ¯¯¯y ¯¯¯−n ∑i=1n x 2i x ¯¯¯2=−a ^y ¯¯¯b ^x ¯¯¯r =(−)(−)∑i=1n x i x ¯¯¯y i y ¯¯¯∑i=1n (−)x i x ¯¯¯2∑i=1n (−)y i y ¯¯¯2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√.502×2.5010.58.(1)2×299.5%(2)93129312X X .:=K 2n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)n =a +b +c +d 20201000200001[20,30)55002[30,40)45003[40,50)3a 4[50,60)30005[60,70]4a20000150[50,70]7722[50,60)[60,70]ABC −A 1B 1C 1AB =AC M N D ，A 1B 1A 1C 1BC求证：；若三棱柱是直三棱柱，，求二面角的正弦值.22. 已知函数在区间上有两个不同的零点，.求实数的取值范围；求证：.(1)AD ⊥MN (2)ABC −A 1B 1C 1AB =A ，∠ABC =A 1π6M −AD −N f (x)=−ax (a ∈R)e x−1(0,2)x 1x 2(1)a (2)>x 1x 21a参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二下数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】左侧图片未给出解析．【解答】解：由于，，所以或，所以．故选．2.【答案】B【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】由题意，，结合条件，求出，，，即可得出结论．【解答】解：由题意，，∵，∴，，，∴．A ={x|−2x −3<0}x 2={x|−1<x <3}A =∁R {x|x ≤−1x ≥3}(A)∩B ={x|x ≥3}∁R D =++AC'−→−AB −→−BC −→−CC'−→−x y z =++AC'−→−AB −→−BC −→−CC'−→−=x +2y +3z AC'−→−AB −→−BC −→−C'C −→−x =1y =12z =−13x +y +z =1+−=121376故选：．3.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】分两类，即选出的队员为名女老队员和名女新队员，名新男队员，和选出的队员为名男老队员和名女新队员，然后求出各个的选法，由此即可求解．【解答】解：选出的队员为名女老队员和名女新队员，名新男队员，共有种选法，选出的队员为名男老队员和名女新队员，共有种选法，所以共有种选法.故选.4.【答案】C【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】根据题意，易得某一天威海下雨的概率为，淄博下雨的概率为，进而根据根据相互独立事件概率的乘法公式可得答案．【解答】解：根据题意，易得某一天威海下雨的概率为，淄博下雨的概率为，根据相互独立事件概率的乘法公式可得，两地同时下雨的概率为，故选．5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断B 11112111=3C 1312=6C 12C 233+6=9B 0.20.150.20.150.2×0.15=0.3=30%C基本不等式【解析】由基本不等式可知：“，是正数”能推得“”，但由“”不能推出“，是正数”，由充要条件的定义可得答案．【解答】解：由基本不等式可知：能推得，当且仅当时取到等号，但由不能推出，例如取，，显然有成立，此时不是正数．故是的充分不必要条件.故选.6.【答案】D【考点】根的存在性及根的个数判断函数的零点与方程根的关系【解析】本题考查函数零点个数问题思路：数形结合等价转哈为找图像交点个数问题【解答】解：对于函数的零点个数，可转化为方程的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数，如图．由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数的根的个数是：.故函数的零点个数为.故选．a b ≥a +b 2ab −−√≥a +b 2ab −−√a b a >b >0≥a +b 2ab −−√a =b ≥a +b 2ab −−√a >b >0a =1b =0≥1+021×0−−−−√b a >b >0≥a +b 2ab −−√A f (x)=ln x −+2(x >0)x 2ln x =−2(x >0)x 22x +1=0(x ≤0)−12f(x)3D7.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】利用指数函数和对数函数的性质，结合中间值求解即可.【解答】解：∵，，，故.故选.8.【答案】C【考点】函数单调性的性质奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知是定义域为的偶函数，因为函数与在上单调递增，且，，所以在上单调递减，在上也是单调递减，所以在上单调递减，所以等价为且，解得或．所以不等式的解集是．a =3<1=0log 12log 120<<=1()130.2()130c =>=121320c >b >a A f (x)(−1,1)m(x)=x n (x)=lg =lg(−1)1+x 1−x 21−x (0,1)m(x)>0n (x)>0y =x lg =−m(x)n (x)1−x 1+x (0,1)h (x)=−14−x 2−−−−−√(0,1)f (x)(0,1)f (x +1)≤f (−)1212−1<x +1<112|x +1|≥|−|1212−4<x ≤−3−1≤x <0f (x +1)≤f (−)1212(−4,−3]∪[−1,0)C故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C,D【考点】正态分布的密度曲线【解析】由已知结合原则求得，判断A 正确；比较方差的大小判断C 正确，B 错误；再由原则求得白玫瑰日销售量范围在的概率判断D 正确．【解答】解：若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则，即．∴红玫瑰日销售量的平均数约为，故正确；∵红玫瑰日销售量的方差，白玫瑰日销售量的方差，红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故正确，错误；白玫瑰日销售量范围在的概率，故正确．故选．10.【答案】A,D【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式定理的应用【解析】由二项式系数之和为，可得，得，所以二项式为，然后写出二项式展开式的通式公式，然后逐个分析判断．【解答】C σμσ（280，320）（μ−30，280）0.6826μ+30=280μ=250250A =900σ21=1600σ22C B （280，320）P =（μ＜X ＜μ+σ）=P （μ−σ＜X ＜μ+σ）≈0.341312D ACD 64=642n n =6(2x +)1x−√6=T r+1C r 6(2x)6−r()1x −√r 2x +)1n解：因为的二项展开式中二项式系数之和为，所以，得，所以二项式为，则二项式展开式的通式公式.对于，令，可得二项展开式中各项系数之和为，故正确；对于，第项的二项式系数最大，此时，则二项展开式中二项式系数最大的项为，故错误；对于，令，则，所以二项展开式中的常数项为，故错误；对于，令第项的系数最大，则解得，因为，所以时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为，故正确．故选．11.【答案】B,D【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】根据{，，}是空间的一组基底，利用空间向量基本定理，对选项中的命题判断正误即可．【解答】对于，{，，}是空间的一组基底，则，，，不是任意向量；对于，根据空间向量的基本定理知，存在唯一有序实数组，，使＝；对于，由，，能得出与所确定的平面，但与，所以错误；对于，设（）（）（）＝＝；由向量相等的定义知，，解得＝＝＝，所以{，，，正确；12.【答案】A,C,D(2x +)1x−√n64=642nn =6(2x +)1x−√6==T r+1C r 6(2x)6−r()1x−√rC r 626−r x6−r32A x =1=72936AB 4r =3==160T 4C 3626−3x 6−×332x32B C 6−r =032r =4=60C 4626−4x 6−×432C D r {≥,C r 626−r C r−1626−(r−1)≥,C r 626−r C r−1626−(r+1)≤r ≤5373r ∈N ∗r =2==240T 3C 2624x 3x 3D AD A B (x y x +z C ⊥⊥C D x +y +z +(2x +y)x y z 0+2+5D【考点】相互独立事件的概率乘法公式条件概率与独立事件【解析】此题暂无解析【解答】解：四名同学每人随机选择一家餐厅就餐，一共有种等可能方法，对于，四人去了四个不同餐厅就餐有种等可能，则其概率为，故正确；对于，四人去了同一餐厅就餐有种等可能，则其概率为，故错误；对于，四人恰好有人去了第一餐厅就餐有种等可能，则其概率为，故正确；对于，因为选择到每个餐厅概率相同，则符合等概率二项分布~，则四人中去每个餐厅就餐的人数的期望是相等的，则，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由随机变量的概率分布列先求出 ，再由数学期望的性质能求出的值．【解答】解：由随机变量的概率分布列，得：，64A A 46P ==A 4664518A B A 16P ==A 16641216B C 2C 2452P==C 24526425216C D X B(4,)16E(X)=4×=1623D ACD 323ξE (ξ)E (2ξ+5)ξE (ξ)=1×+2×+3×+4×=16161313176(2ξ+5)=2E (ξ)+5=2×+5=1732.故答案为：．14.【答案】【考点】全称命题与特称命题命题的真假判断与应用【解析】将原题等价为在恒成立，即可求解【解答】解：命题“，使得”是真命题，∴在恒成立，∵，∴.故答案为：.15.【答案】【考点】已知函数的单调性求参数问题奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】由题，可先用单调性的判断规则判断出单调性，利用奇偶性定义得出函数的奇偶性，由此将不等式转化为，解不等式即可得出所求．【解答】解：函数则 ，即函数为奇函数，且在上单调递增，若，则，E (2ξ+5)=2E (ξ)+5=2×+5=1763233235m ≤(2x −1)minx ∈[3,+∞)p :∀x ≥32x −1≥m m ≤2x −1x ∈[3,+∞)2x −1≤5m ≤55(−2,1)f(+2)+f(3x)<0x 2+2<−3x x 2f (x)=x|x|+3x ={−+3x,x <0，x 2+3x,x ≥0，x 2f (−x)=−f (x)f (x)R f (a)+f (−2)<0a 2f (−2)<−f (a)=f (−a)a 2−2<−a2所以，解得：.故答案为：．16.【答案】【考点】直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：若选填条件①，即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为，则，即．若选填条件②，即展开式中前三项的二项式系数之和为，则，即．当时，展开式共项，∴二项式系数最大的项为第项，即．∴的展开式的通项公式为，令，则展开式中的系数为．【考点】二项式系数的性质二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：若选填条件①，即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为，则，即．−2<−a a 2−2<a <1(−2,1)64==644n2n 2n n =622++=22C 0n C 1n C 2n n =6(1)n =674=⋅=540T 4C 36(3x)3x 3(2)(1+3x)6==T k+1C k 6(3x)k C k 63k x kk =2x 2=135C 263264==644n2n 2n n =6若选填条件②，即展开式中前三项的二项式系数之和为，则，即．当时，展开式共项，∴二项式系数最大的项为第项，即．∴的展开式的通项公式为，令，则展开式中的系数为．18.【答案】解：由题意得，，由公式求得，，∴.，∵，∴说明负相关.又，∴说明相关性很强.【考点】线性相关关系的判断求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，，由公式求得，，∴.22++=22C 0n C 1n C 2n n =6(1)n =674=⋅=540T 4C 36(3x)3x 3(2)(1+3x)6==T k+1C k 6(3x)k C k 63k x kk =2x 2=135C 2632(1)=4x ¯¯¯=17y¯¯¯==−3.2b ^(−)(−)∑i=1nx i x ¯¯¯y i y ¯¯¯(−∑i=1nx i x ¯¯¯)2=−b =17+3.2×4=29.8a^y ¯¯¯x¯¯¯=−3.2x +29.8y ^(2)r =(−)(−)∑i=1nx i x ¯¯¯y i y ¯¯¯∑i=1n (−)x i x ¯¯¯2∑i=1n(−)y i y ¯¯¯2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==−3210×108−−−−−−−√−16330−−√≈−0.97r <0x,y |r|∈[0.75,1]x,y (1)=4x ¯¯¯=17y¯¯¯==−3.2b ^(−)(−)∑i=1nx i x ¯¯¯y i y ¯¯¯(−∑i=1n x i x ¯¯¯)2=−b =17+3.2×4=29.8a ^y ¯¯¯x¯¯¯=−3.2x +29.8y^−)(−)n，∵，∴说明负相关.又，∴说明相关性很强.19.【答案】解：根据在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为,可得分类意识强的有户，故可得 ×列联表如下：因为 的观测值，所以有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．在从试点前分类意识强的户居民中，选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为,则 .故则的分布列为∴【考点】离散型随机变量的分布列及性质离散型随机变量的期望与方差(2)r =(−)(−)∑i=1nx i x ¯¯¯y i y ¯¯¯∑i=1n (−)x i x ¯¯¯2∑i=1n(−)y i y ¯¯¯2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==−3210×108−−−−−−−√−16330−−√≈−0.97r <0x,y |r|∈[0.75,1]x,y (1)5010.582922K 2k==≈9.934≥7.87950(20×16−5×9)225×25×29×21605060999.5%(2)9312X X =0,1,2,3P(X =0)==,P(X =1)==,C 36C 39521C 26C 13C 391528P(X =2)==,P(X =3)==,C 16C 23C 39314C 33C 39184X X 0123P 5211528314184E(X)=0×+1×+2×+3×=1.5211528314184独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：根据在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为,可得分类意识强的有户，故可得 ×列联表如下：因为 的观测值，所以有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．在从试点前分类意识强的户居民中，选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为,则 .故则的分布列为∴20.【答案】∵参与调查的总人数为人，由表中数据可得＝，解得＝，∴从这名购物者中随机抽取人，该购物者的年龄不低于岁的概率为：＝＝＝．由（1）知这名购物者中，年龄在的有人，年龄在的有人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人，则年龄在的抽取人，用，，，表示，年龄在的抽取人，用，，表示，在这人中，随机抽取人中奖的所有可能情况有种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，中奖的人中年龄在,内各有一人包含的基本事件有种，分别为：，，，，，，，，，，，，(1)5010.582922K 2k==≈9.934≥7.87950(20×16−5×9)225×25×29×21605060999.5%(2)9312X X =0,1,2,3P(X =0)==,P(X =1)==,C 36C 39521C 26C 13C 391528P(X =2)==,P(X =3)==,C 16C 23C 39314C 33C 39184X X 0123P 5211528314184E(X)=0×+1×+2×+3×=1.5211528314184200005500+4500+3a +3000+4a 20000a 10002000150P 10.3520000[50,60)3000[60,70]4000[50,70]7[60,70]4A B C D [50,60)3a b c 7221AB AC AD Aa Ab Ac BC BD Ba Bb Bc CD Ca Cb Cc Da Db Dc ab ac bc 2[50,60)[60,70]12Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc Da Db Dc∴从这人中随机抽取人中奖，中奖的人中年龄在,内各有一人的概率为＝．【考点】古典概型及其概率计算公式列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】（1）先求出＝，由此能求出从这名购物者中随机抽取人，该购物者的年龄不低于岁的概率．（2）这名购物者中，年龄在的有人，年龄在的有人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人，则年龄在的抽取人，用，，，表示，年龄在的抽取人，用，，表示，在这人中，随机抽取人中奖，利用列举法能求出中奖的人中年龄在,内各有一人的概率．【解答】∵参与调查的总人数为人，由表中数据可得＝，解得＝，∴从这名购物者中随机抽取人，该购物者的年龄不低于岁的概率为：＝＝＝．由（1）知这名购物者中，年龄在的有人，年龄在的有人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人，则年龄在的抽取人，用，，，表示，年龄在的抽取人，用，，表示，在这人中，随机抽取人中奖的所有可能情况有种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，中奖的人中年龄在,内各有一人包含的基本事件有种，分别为：，，，，，，，，，，，，∴从这人中随机抽取人中奖，中奖的人中年龄在,内各有一人的概率为＝．21.【答案】证明：∵是的中点，，∴.∵，分别是的中点，∴.在三棱柱中，，∴，∴.解：如图，设，作，722[50,60)[60,70]P a 1000200015020000[50,60)3000[60,70]4000[50,70]7[60,70]4A B C D [50,60)3a b c 722[50,60)[60,70]200005500+4500+3a +3000+4a 20000a 10002000150P 10.3520000[50,60)3000[60,70]4000[50,70]7[60,70]4A B C D [50,60)3a b c 7221AB AC AD Aa Ab Ac BC BD Ba Bb Bc CD Ca Cb Cc Da Db Dc ab ac bc 2[50,60)[60,70]12Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc Da Db Dc 722[50,60)[60,70]P (1)D BC AB =AC AD ⊥BC M N ，A 1B 1A 1C 1MN//B 1C 1ABC −A 1B 1C 1BC//B 1C 1MN//BC AD ⊥MN (2)A =2A 1AH//BC由知，∴.由已知得，，两两互相垂直，由得，.以为坐标原点，，，所在方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，，，，，，，，∴，，.设平面的一个法向量为，则，，∴取，解得∴是平面的一个法向量，同理可求得平面的一个法向量.设二面角的平面角的大小为，则.∵，∴，∴二面角的正弦值是.【考点】用空间向量求平面间的夹角空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】证明：∵是的中点，，∴.(1)AD ⊥BC AD ⊥AH AH AD AA 1∠ABC =π6∠BAH =π6∠BAD =π3A AH AD AA 1x y z A −xyz A(0,0,0)(0,0,2)A 1D(0,1,0)B(,1,0)3–√(,1,2)B 13–√C(−,1,0)3–√(−,1,2)C 13–√M(,,2)3–√212N(−,,2)3–√212=(0,1,0)AD −→−=(,,2)AM −→−3–√212=(−,,2)AN −→−3–√212ADM =(x,y,z)n →⊥n →AD −→−⊥n →AM −→− y =0，x +y +2z =0，3–√212z =−3–√{x =4，y =0，=(4,0,−)n →3–√ADM ADN =(4,0,)m →3–√M −AD −N θ|cos θ|==|⋅|m →n →||||m →n →13190<θ<πsin θ==1−θcos 2−−−−−−−−√83–√19M −AD −N 83–√19(1)D BC AB =AC AD ⊥BC ，A B A C∵，分别是的中点，∴.在三棱柱中，，∴，∴.解：如图，设，作，由知，∴.由已知得，，两两互相垂直，由得，.以为坐标原点，，，所在方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，，，，，，，，∴，，.设平面的一个法向量为，则，，∴取，解得∴是平面的一个法向量，同理可求得平面的一个法向量.设二面角的平面角的大小为，M N ，A 1B 1A 1C 1MN//B 1C 1ABC −A 1B 1C 1BC//B 1C 1MN//BC AD ⊥MN (2)A =2A 1AH//BC (1)AD ⊥BC AD ⊥AH AH AD AA 1∠ABC =π6∠BAH =π6∠BAD =π3A AH AD AA 1x y z A −xyz A(0,0,0)(0,0,2)A 1D(0,1,0)B(,1,0)3–√(,1,2)B 13–√C(−,1,0)3–√(−,1,2)C 13–√M(,,2)3–√212N(−,,2)3–√212=(0,1,0)AD −→−=(,,2)AM −→−3–√212=(−,,2)AN −→−3–√212ADM =(x,y,z)n →⊥n →AD −→−⊥n →AM −→− y =0，x +y +2z =0，3–√212z =−3–√{x =4，y =0，=(4,0,−)n →3–√ADM ADN =(4,0,)m →3–√M −AD −N θcos θ|==⋅|→→则.∵，∴，∴二面角的正弦值是.22.【答案】解：由，得，设，，即直线与曲线在上有个交点，又，当时，，单调递减，时，，单调递增．所以，而，当时，，所以．证明：，由，得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增．因为，为的两个零点，不妨设，则，且取对数原不等式等价于，等价于，等价于，即证，因为，所以，所以，即证，即，即，，，设，，易知，|cos θ|==|⋅|m →n →||||m →n →13190<θ<πsin θ==1−θcos 2−−−−−−−−√83–√19M −AD −N 83–√19(1)f (x)=0a =e x−1x h(x)=e x−1x x ∈(0,2)y =a y =h (x)(0,2)2(x)=h ′(x −1)e x−1x 2x ∈(0,1)(x)<0h ′h (x)x ∈(1,2)(x)>0h ′h (x)(x)=h (1)=1h min h (2)=e 2x ∈(0,1)h (x)∈(1,+∞)a ∈(1,)e 2(2)(x)=−a f ′e x−1(x)=0f ′x =1+ln a x ∈(0,1+ln a)(x)<0f ′f (x)<0(0,1+ln a)x ∈(1+ln a,2)(x)>0f ′f (x)(1+ln a,2)x 1x 2f (x)<x 1x 20<<1+ln a <<2x 1x 2{=a ,e −1x 1x 1=a ,e −1x 2x 2{−1=ln a +ln ,x 1x 1−1=ln a +ln ,x 2x 2ln +ln >−ln a x 1x 2+−2−2ln a >−ln a x 1x 2+>2+ln a x 1x 2>1+1+ln a −=1−ln x 1x 2x 21+ln a <<2x 2ln(1+ln a)<ln <ln 2x 21−ln 2<1−ln <1−ln(1+ln a)<1x 20=f()<f(1−ln )x 1x 2−(1−ln )>0e −ln x 2e −1x 2x 2x 21−(1−ln )>0e −1x 2x 2+ln >1e 1−x 2x 2∈(1+ln a,2)x 2m(x)=+ln x e 1−x (x)=m ′−x e x−1xe x−1>x(x >1)e x−1(x)>0′m(x)(0,+∞)故，在上单调递增，故，故．所以．【考点】由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，设，，即直线与曲线在上有个交点，又，当时，，单调递减，时，，单调递增．所以，而，当时，，所以．证明：，由，得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增．因为，为的两个零点，不妨设，则，且取对数原不等式等价于，等价于，等价于，即证，因为，所以，所以，即证，即，即，，，设，，(x)>0m ′m(x)(0,+∞)m(x)>m(1+ln a)>m(1)=1ln +ln +ln a >0x 1x 2>x 1x 21a(1)f (x)=0a =e x−1x h(x)=e x−1x x ∈(0,2)y =a y =h (x)(0,2)2(x)=h ′(x −1)e x−1x 2x ∈(0,1)(x)<0h ′h (x)x ∈(1,2)(x)>0h ′h (x)(x)=h (1)=1h min h (2)=e 2x ∈(0,1)h (x)∈(1,+∞)a ∈(1,)e 2(2)(x)=−a f ′e x−1(x)=0f ′x =1+ln a x ∈(0,1+ln a)(x)<0f ′f (x)<0(0,1+ln a)x ∈(1+ln a,2)(x)>0f ′f (x)(1+ln a,2)x 1x 2f (x)<x 1x 20<<1+ln a <<2x 1x 2{=a ,e −1x 1x 1=a ,e −1x 2x 2{−1=ln a +ln ,x 1x 1−1=ln a +ln ,x 2x 2ln +ln >−ln a x 1x 2+−2−2ln a >−ln a x 1x 2+>2+ln a x 1x 2>1+1+ln a −=1−ln x 1x 2x 21+ln a <<2x 2ln(1+ln a)<ln <ln 2x 21−ln 2<1−ln <1−ln(1+ln a)<1x 20=f()<f(1−ln )x 1x 2−(1−ln )>0e −ln x 2e −1x 2x 2x 21−(1−ln )>0e −1x 2x 2+ln >1e 1−x 2x 2∈(1+ln a,2)x 2m(x)=+ln x e 1−x (x)=m ′−x e x−1xe x−1>x(x >1)x−1易知，故，在上单调递增，故，故．所以．>x(x >1)e x−1(x)>0m ′m(x)(0,+∞)m(x)>m(1+ln a)>m(1)=1ln +ln +ln a >0x 1x 2>x 1x 21a。

江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设l ，m ，n 表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若l ⊥α，m ⊥l ，m ⊥β，则α⊥β；②若m ⊂β，n 是l 在β内的射影，m ⊥l ，则m ⊥l ；③若m 是平面α的一条斜线，A ∉α，l 为过A 的一条动直线，则可能有l ⊥m 且l ⊥α； ④若α⊥β，α⊥γ，则γ∥β 其中真命题的个数 ．2.已知直线x+y=a （a ＞0）与圆x 2+y 2=4交于A ，B 两点，且|+|=|﹣|（其中O 为坐标原点），则实数a 是 ．3.已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=4，则QF 等于 ．4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =n 2a n （n ∈N *），可归纳猜想出S n 的表达式 ．5.直线与圆x 2+y 2=r 2相切，则圆的半径最大时，a 的值是 ．6.若直线y=k （x ﹣4）与曲线有公共的点，则实数k 的取值范围 ．7.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，底面边长为，则这个球的表面积是 ．8.已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上不存在点P ，使得∠APB 为直角，则实数m 的取值范围是 ．9.已知直线ax+by+c=0与圆：x 2+y 2=1相交于A 、B 两点，且，则= ． 10.已知c 是椭圆（a ＞b ＞0）的半焦距，则的取值范围是 ．11.已知点P （m ，4）是椭圆+=1（a ＞b ＞0）上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为 ．12.设抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2）．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为 ．13.观察下列等式： （1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为 ．二、选择题下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为：“若x 2=1，则x≠1”B ．“m=1”是“直线x ﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1＜0”D ．命题“已知x ，y 为一个三角形的两内角，若x=y ，则sinx=siny”的逆命题为真命题三、解答题1.如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AC=BC=2，AA 1=4，，M ，N 分别是棱CC 1，AB 中点．（Ⅰ）求证：CN ⊥平面ABB 1A 1； （Ⅱ）求证：CN ∥平面AMB 1； （Ⅲ）求三棱锥B 1﹣AMN 的体积．2.如图，A ，B ，C 是椭圆M ：=1（a ＞b ＞0）上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC ⊥BC ，BC=2AC ．（1）求椭圆的离心率；（2）若y 轴被△ABC 的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程．3.在三棱锥P ﹣ABC 中，D 为AB 的中点．（1）与BC 平行的平面PDE 交AC 于点E ，判断点E 在AC 上的位置并说明理由如下： （2）若PA=PB ，且△PCD 为锐角三角形，又平面PCD ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥PC ． 4.已知圆C 的方程为：x 2+y 2=4（1）求过点P （2，1）且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）直线l 过点D （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB|=2，求直线l 的方程；（3）圆C 上有一动点M （x 0，y 0），=（0，y 0），若向量=+，求动点Q 的轨迹方程．5.已知椭圆的左焦点F 为圆x 2+y 2+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离的最小值为．（1）求椭圆的方程；（2）已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点，求×的值．6.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求的取值范围；（3）若B 点在于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．江苏高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.设l ，m ，n 表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若l ⊥α，m ⊥l ，m ⊥β，则α⊥β；②若m ⊂β，n 是l 在β内的射影，m ⊥l ，则m ⊥l ；③若m 是平面α的一条斜线，A ∉α，l 为过A 的一条动直线，则可能有l ⊥m 且l ⊥α； ④若α⊥β，α⊥γ，则γ∥β 其中真命题的个数 ． 【答案】2【解析】利用空间线面关系定理分别对四个命题分析选择．①由面面垂直的判定定理可知正确；②由三垂线定理可证；③④可举反例说明错误．解：由l ，m ，n 表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，知： 在①中，若l ⊥α，m ⊥l ，m ⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故①正确；在②中，若m ⊂β，n 是l 在β内的射影，m ⊥l ，则由三垂线定理得m ⊥l ，故②正确； ③若m 是平面α的一条斜线，A ∉α，l 为过A 的一条动直线，则可能有l ⊥m 且l ⊥α； 若m 是平面α的一条斜线，l ⊥α，则l 和m 不可能垂直，故③错误； ④若α⊥β，α⊥γ，则γ∥β错误，如墙角的三个面的关系，故④错误． 故答案为：2．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．2.已知直线x+y=a （a ＞0）与圆x 2+y 2=4交于A ，B 两点，且|+|=|﹣|（其中O 为坐标原点），则实数a 是 ． 【答案】2【解析】以OA 、OB 为邻边作□AOBC ，由已知得□AOBC 为正方形，由此能求出a=2． 解：以OA 、OB 为邻边作□AOBC ， 则||=||，∴□AOBC 为矩形，又||=||，∴四边形AOBC 为正方形， ∵a ＞0，∴直线x+y=a 经过点（0，2）， ∴a=2．故答案为：2．【考点】直线与圆的位置关系．3.已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若=4，则QF 等于 ． 【答案】3【解析】求得直线PF 的方程，与y 2=8x 联立可得x=1，利用|QF|=d 可求． 解：设Q 到l 的距离为d ，则|QF|=d ， ∵=4， ∴|PQ|=3d ，∴不妨设直线PF 的斜率为﹣=2，∵F （2，0），∴直线PF 的方程为y=﹣2（x ﹣2）， 与y 2=8x 联立可得x=1， ∴|QF|=d=1+2=3， 故答案为：3．【考点】抛物线的简单性质．4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =n 2a n （n ∈N *），可归纳猜想出S n 的表达式 ． 【答案】【解析】利用条件分别求出S 1，S 2，S 3，S 4的值，寻找规律，得到表达式． 解：因为a 1=1，S n =n 2a n ，所以S 1=a 1=1，当n=2时，S 2=a 1+a 2=4a 2，解得， 当n=3时，S 3=a 1+a 2+a 3=9a 3，解得，所以，，所以，故答案为：．【考点】归纳推理． 5.直线与圆x 2+y 2=r 2相切，则圆的半径最大时，a 的值是 ．【答案】±1【解析】由题意可得圆心到直线的距离等于半径，即=r ，由基本不等式可得r 取得最大值时a 的值．解：由题意可得，圆心（0，0）到直线ax+y+2=0的距离等于半径r ， 即=r ，由基本不等式可得r≤=，当且仅当a 2=1，即a=±1时，取等号，故答案为：±1．【考点】圆的切线方程．6.若直线y=k （x ﹣4）与曲线有公共的点，则实数k 的取值范围 ．【答案】[﹣]．【解析】由题意可知直线过定点P （4，0），把曲线方程整理，作出图形，由点到直线的距离公式求出直线和半圆相切时的k 值得答案．解：直线y=k （x ﹣4）过定点P （4，0）， 曲线化为x 2+y 2=4（y≥0）， 如图，由原点O （0，0）到直线kx ﹣y ﹣4k=0的距离d=，得k=或k=．∴实数k 的取值范围时[﹣]．故答案为：[﹣]．【考点】直线与圆的位置关系．7.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，底面边长为，则这个球的表面积是 ． 【答案】16π【解析】正四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO 1上，记为O ，如图．求出AO 1，OO 1，解出球的半径，求出球的表面积．解：正四棱锥P ﹣ABCD 的外接球的球心在它的高PO 1上， 记为O ，PO=AO=R ，PO 1=3，OO 1=3﹣R ， 在Rt △AO 1O 中，AO 1=AC=，由勾股定理R 2=3+（3﹣R ）2得R=2，∴球的表面积S=16π故答案为：16π．【考点】球的体积和表面积．8.已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是．【答案】（0，4）∪（6，+∞）【解析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最值即为|OP|的最值，可得结论．解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），若∠APB=90°，则⊥，∴×=（a+m）（a﹣m）+b2=0，∴m2=a2+b2=|OP|2，∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值为5﹣1=4，∴m的取值范围是（0，4）∪（6，+∞）．故答案为：（0，4）∪（6，+∞）．【考点】直线与圆的位置关系．9.已知直线ax+by+c=0与圆：x2+y2=1相交于A、B两点，且，则= ．【答案】【解析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，不难确定∠AOB的大小，即可求得×的值．解：依题意可知角∠AOB的一半的正弦值，即sin =所以：∠AOB="120°"则×=1×1×cos120°=．故答案为：．【考点】向量在几何中的应用．10.已知c是椭圆（a＞b＞0）的半焦距，则的取值范围是．【答案】（1，]【解析】根据题意，化简（）2，结合椭圆的性质，可得其取值范围；进而可得答案．解：根据题意，，即1＜（）2≤2解可得，1＜≤；故答案为（1，]．【考点】椭圆的简单性质．11.已知点P （m ，4）是椭圆+=1（a ＞b ＞0）上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率为 ．【答案】【解析】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，|F 1F 2|=2c ，由椭圆的定义可得m+n=2a ，再由三角形的面积公式以及内切圆的圆心与三个顶点将三角形△PF 1F 2分成三个小三角形，分别求面积再求和，得到a ，c 的方程，由离心率公式计算即可得到．解：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，|F 1F 2|=2c ， 由椭圆的定义可得m+n=2a ， 由三角形的面积公式可得 =×2c×4=4c ，由△PF 1F 2的内切圆的半径为， 则=×（m+n+2c ）=（2a+2c ）=（a+c ），即有4c=（a+c ）， 即为5c=3a ， 则离心率e==． 故答案为：．【考点】椭圆的简单性质．12.设抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2）．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为 ． 【答案】【解析】根据抛物线方程可表示出焦点F 的坐标，进而求得B 点的坐标代入抛物线方程求得p ，则B 点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B 到该抛物线准线的距离． 解：依题意可知F 坐标为（，0） ∴B 的坐标为（，1）代入抛物线方程得=1，解得p=，∴抛物线准线方程为x=﹣所以点B 到抛物线准线的距离为+=， 故答案为【考点】抛物线的定义；抛物线的简单性质．13.观察下列等式： （1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为 ． 【答案】2n ×1×3×5…（2n ﹣1）【解析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n 个等式．解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n 个等式的左边含有n 项相乘，由括号内数的特点归纳第n 个等式的左边应为： （n+1）（n+2）（n+3）…（n+n ），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n 个等式的右边为2n ×1×3×5…（2n ﹣1）．所以第n 个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n ）=2n ×1×3×5…（2n ﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n ）=2n ×1×3×5…（2n ﹣1）． 【考点】归纳推理．二、选择题下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为：“若x 2=1，则x≠1”B ．“m=1”是“直线x ﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1＜0”D ．命题“已知x ，y 为一个三角形的两内角，若x=y ，则sinx=siny”的逆命题为真命题【答案】D【解析】对于A 根据否命题的意义即可得出； 对于B 按照垂直的条件判断；对于C 按照含有一个量词的命题的否定形式判断； 对于D 按照正弦定理和大角对大边原理判断．解：对于A ，根据否命题的意义可得：命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为：“若x 2≠1，则x≠1”，因此原命题不正确，违背否命题的形式；对于B ，“m=1”是“直线x ﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件不准确，因为“直线x ﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件是m 2=1，即m=±1．对于命题C ：“∃x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定的写法应该是：“∀x ∈R ，均有x 2+x+1≥0”，故原结论不正确 对于D ，根据正弦定理，∵x=y ⇔sinx=siny”，所以逆命题为真命题是正确的． 故答案选：D ．【考点】命题的真假判断与应用．三、解答题1.如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AC=BC=2，AA 1=4，，M ，N 分别是棱CC 1，AB 中点．（Ⅰ）求证：CN ⊥平面ABB 1A 1； （Ⅱ）求证：CN ∥平面AMB 1； （Ⅲ）求三棱锥B 1﹣AMN 的体积． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）由题可得AA 1⊥CN 且CN ⊥AB 又因为AA 1∩AB=A 所以CN ⊥平面ABB 1A 1．（Ⅱ）由题意得CM ∥NG ，CM=NG 所以四边形CNGM 是平行四边形，所以CN ∥MG ．又因为CN ⊄平面AMB 1，GM ⊂平面AMB 1，所以CN ∥平面AMB 1． （Ⅲ）所以先求△AB 1N 的面积，由（Ⅱ）知GM ⊥平面AB 1N ，三棱锥的高是GM ，所以根据三棱锥的体积公式可得体积为．解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC 又因为CN ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥CN ． 因为AC=BC=2，N 是AB 中点， 所以CN ⊥AB ． 因为AA 1∩AB=A ，所以CN ⊥平面ABB 1A 1．（Ⅱ）证明：取AB 1的中点G ，连接MG ，NG ， 因为N ，G 分别是棱AB ，AB 1中点，所以NG ∥BB 1，． 又因为CM ∥BB 1，，所以CM ∥NG ，CM=NG ．所以四边形CNGM 是平行四边形． 所以CN ∥MG ．因为CN ⊄平面AMB 1，GM ⊂平面AMB 1， 所以CN ∥平面AMB 1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知GM ⊥平面AB 1N ． 所以．故答案为：．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．2.如图，A ，B ，C 是椭圆M ：=1（a ＞b ＞0）上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC ⊥BC ，BC=2AC ．（1）求椭圆的离心率；（2）若y 轴被△ABC 的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程． 【答案】（1）（2）【解析】（1）确定△OAC 是以角C 为直角的等腰直角三角形，可得点的坐标，代入椭圆方程，可得a ，b 的关系，即可求椭圆的离心率；（2）求出△ABC 的外接圆的方程，由垂径定理得，求出a ，可得b ，即可求椭圆方程．解：（1）因为BC 过椭圆M 的中心，所以BC=2OC=2OB ，又AC ⊥BC ，BC=2AC ，所以△OAC 是以角C 为直角的等腰直角三角形， 则，所以，则a 2=3b 2，所以；（2）△ABC 的外接圆圆心为AB 中点，半径为，则△ABC 的外接圆为：，由垂径定理得得a=6，所以所求的椭圆方程为．【考点】椭圆的简单性质．3.在三棱锥P ﹣ABC 中，D 为AB 的中点．（1）与BC 平行的平面PDE 交AC 于点E ，判断点E 在AC 上的位置并说明理由如下： （2）若PA=PB ，且△PCD 为锐角三角形，又平面PCD ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥PC ． 【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据线面平行的性质进行判断即可： （2）根据面面垂直的性质定理进行证明． （1）解：E 为AC 中点．理由如下： 平面PDE 交AC 于E ，即平面PDE∩平面ABC=DE ，而BC ∥平面PDF ，BC ⊂平面ABC ， 所以BC ∥DE ，在△ABC 中，因为D 为AB 的中点，所以E 为AC 中点； （2）证：因为PA=PB ，D 为AB 的中点， 所以AB ⊥PD ，因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD∩平面ABC=CD ， 在锐角△PCD 所在平面内作PO ⊥CD 于O ， 则PO ⊥平面ABC ， 因为AB ⊂平面ABC ， 所以PO ⊥AB又PO∩PD=P ，PO ，PD ⊂平面PCD ， 则AB ⊥平面PCD ， 又PC ⊂平面PCD ，所以AB ⊥PC ．【考点】平面与平面垂直的判定．4.已知圆C 的方程为：x 2+y 2=4（1）求过点P （2，1）且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）直线l 过点D （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB|=2，求直线l 的方程；（3）圆C 上有一动点M （x 0，y 0），=（0，y 0），若向量=+，求动点Q 的轨迹方程． 【答案】（1）x=2或3x+4y ﹣10=0；（2）3x ﹣4y+5=0或x=1；（3）+=1．【解析】（1）分两种情况考虑：当直线l 的斜率不存在时，直线x=2满足题意；当k 存在时，变形出l 方程，利用圆心到l 的距离d=r 列出方程，求出方程的解得到k 的值，确定出此时l 方程，综上，得到满足题意直线l 的方程； （2）分两种情况考虑：当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x=1，直线l 与圆的两个交点距离为2，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y ﹣2=k （x ﹣1），求出圆心到直线l 的距离d=1，利用点到直线的距离公式列出关于k 的方程，求出方程的解得到k 的值，确定出此时直线方程，综上，得到满足题意直线l 的方程；（3）设Q （x ，y ），表示出，，代入已知等式中化简得到x=x 0，y=2y 0，代入圆方程变形即可得到Q 轨迹方程．解：（1）当k 不存在时，x=2满足题意；当k 存在时，设切线方程为y ﹣1=k （x ﹣2），由=2得，k=﹣，则所求的切线方程为x=2或3x+4y ﹣10=0；（2）当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x=1，l 与圆的两个交点坐标为（1，）和（1，﹣），这两点的距离为2，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y ﹣2=k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k+2=0， 设圆心到此直线的距离为d ， ∴d==1，即=1，解得：k=，此时直线方程为3x ﹣4y+5=0，综上所述，所求直线方程为3x ﹣4y+5=0或x=1； （3）设Q 点的坐标为（x ，y ），∵M （x 0，y 0），=（0，y 0），=+， ∴（x ，y ）=（x 0，2y 0）， ∴x=x 0，y=2y 0， ∵x 02+y 02=4， ∴x 2+（）2=4，即+=1． 【考点】直线与圆的位置关系；与直线有关的动点轨迹方程．5.已知椭圆的左焦点F 为圆x 2+y 2+2x=0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离的最小值为．（1）求椭圆的方程；（2）已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点，求×的值．【答案】（1）+y 2=1；（2）﹣【解析】（1）先求出圆心坐标，再根据题意求出a 、b ，得椭圆的标准方程．（2）根据直线的斜率是否存在，分情况设直线方程，再与椭圆方程联立方程组，设出交点坐标，结合韦达定理根与系数的关系，利用向量坐标运算验证．解：（1）∵圆x 2+y 2+2x=0的圆心为（﹣1，0）， 依据题意c=1，a ﹣c=﹣1， ∴a=，b==1， ∴椭圆的标准方程是：+y 2=1；（2）①当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程是：x=﹣1， 得A （﹣1，），B （﹣1，﹣），×=（，）×（，﹣）=﹣=﹣；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为 y=k （x+1）， 代入椭圆方程，可得（1+2k 2）x 2+4k 2x+2k 2﹣2=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1x 2=，x 1+x 2=﹣，×=（x 1+，y 1）×（x 2+，y 2）=x 1x 2+（x 1+x 2）++k 2（x 1x 2+x 1+x 2+1）=（1+k 2）x 1x 2+（k 2+）（x 1+x 2）+k 2+=（1+k 2）（）+（k 2+）（﹣）+k 2+=+=﹣2+=﹣综上×=﹣．【考点】椭圆的简单性质．6.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求的取值范围；（3）若B 点在于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．【答案】（1）（2））（3）证明见解析【解析】（1）由题意知，，利用点到直线的距离公式可求b ，结合a 2=b 2+c 2可求a ，即可求解 （2）由题意设直线l 的方程为y=k （x ﹣4），联立直线与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据方程的根与系数关系求出x 1+x 2，x 1x 2，由△＞0可求k 的范围，然后代入=x 1x 2+y 1y 2==中即可得关于k 的方程，结合k 的范围可求的范围（3）由B ，E 关于x 轴对称可得E （x 2，﹣y 2），写出AE 的方程，令y=0，结合（2）可求（1）解：由题意知，，即b=又a 2=b 2+c 2∴a=2，b=故椭圆的方程为 （2）解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y=k （x ﹣4）由可得：（3+4k 2）x 2﹣32k 2x+64k 2﹣12=0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则△=322k 4﹣4（3+4k 2）（64k 2﹣12）＞0∴∴x 1+x 2=，x 1x 2=① ∴=x 1x 2+y 1y 2====∵∴∴∴） （3）证明：∵B ，E 关于x 轴对称∴可设E （x 2，﹣y 2）∴直线AE 的方程为令y=0可得x=∵y 1=k （x 1﹣4），y 2=k （x 2﹣4）∴==1 ∴直线AE 与x 轴交于定点（1，0）【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．。

江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设集合，，则．2.若命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围为．3.已知向量，若λ为实数，，则λ=．4.若，则．5.函数有极值的充要条件是．6.在等比数列中，，，则．7.函数在区间上的最大值是．8.已知函数有三个不同零点，则实数a的取值范围为．9.函数的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则．10.定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且；A为△ABC的内角，且满足，则A的取值范围是．11.已知曲线，点及点，从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是．12.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连接原点与点，若用表示线段上除端点外的整点个数，．二、选择题1.在△ABC中，若，，则．2.下列命题中，正确命题的序号是．①函数关于点（1，1）对称；②定义在R上的奇函数中一定有；③函数满足；④△ABC中，，则存在．三、解答题1.己知函数，且，,（Ⅰ）求的最大值与最小值；（Ⅱ）求的单调增区间．2.在锐角中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，为△ABC 的外心．（1）若，求的值；（2）已知，，，求的值．3.已知二次函数： （1）若函数在区间上存在零点，求实数q 的取值范围； （2）问：是否存在常数t （），当时，的值域为区间D ，且D 的长度为．4.现要设计一个如图所示的金属支架（图中实线所示），设计要求是：支架总高度AH 为6米，底座BCDEF 是以B 为顶点，以CDEF 为底面的正四棱锥，C ，D ，E ，F 在以半径为1米的圆上，支杆AB ⊥底面CDEF ．市场上，底座单价为每米10元，支杆AB 单价为每米20元．设侧棱BC 与底面所成的角为θ．（1）写出的取值范围；（2）当θ取何值时，支架总费用y （元）最少？5.把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表： 设是位于这个三角形数表中从上往下数第m 行、从左往右数第n 个数．（1）求；（2）若，求m ，n 的值；（3）已知函数，若记三角形数表中从上往下数第n 行各数的和为b n ，求数列{f （b n ）}的前n 项和．6.已知函数.（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数a 、b 的值；（2）若是函数的极值点，求实数a 的值； （3）若，且对任意，都有，求实数t 的取值范围．江苏高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.设集合，，则．【答案】【解析】由集合，可得，由可得，∴，故答案为：．【考点】交集及其运算．2.若命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】命题“，使”的否定是：““，使”即：，∴，故答案是.【考点】命题的真假判断与应用；一元二次不等式的应用．3.已知向量，若λ为实数，，则λ=．【答案】【解析】∵向量．∴，∵，∴，即，故答案为：.【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．4.若，则．【答案】【解析】由诱导公式可得：，∴，，∴，∴．故答案为：.【考点】运用诱导公式化简求值．5.函数有极值的充要条件是．【答案】【解析】求得导函数，若，三次函数有极值，则有不相等的两个解，∴，∴，若，导函数，令，则；令，则；∴函数在处取得极小值．综上得，故答案为：．【考点】利用导数研究函数的极值．6.在等比数列中，，，则．【答案】或3【解析】在等比数列中，设公比为q，∵，又∵，∴，，或，，①当，时，则，∴；②当，时，则，∴．综合①②可得，或3．故答案为：或3．【考点】等比数列的通项公式．7.函数在区间上的最大值是．【答案】【解析】∵，∴，令，解得，又，∴，当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数，则当时，函数取最大值，最大值为．故答案为：【考点】二倍角的余弦；余弦函数的定义域和值域．8.已知函数有三个不同零点，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】画出图象如图所示，则当时，的图象与x轴只有一个交点，要使函数有三个不同零点，只有当时，函数的图象与x轴有两个交点即可，而是由上下平移而得到，因此．故答案为：．【考点】函数零点的判定定理．9.函数的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则．【答案】8【解析】过P作轴，如图所示：∵函数，且P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，∴，，即，，，∴，在中，，在中，，∴．故答案为：8【考点】两角和与差的正切函数；正弦函数的图象．10.定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且；A为△ABC的内角，且满足，则A的取值范围是．【答案】【解析】由题意定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且f（）=0；函数在（﹣∞，0）上减，且，由得，由余弦函数的性质知，故答案为.【考点】余弦函数的单调性；函数单调性的性质；偶函数．11.已知曲线，点及点，从点A观察点B，要使视线不被C挡住，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】如图，要使视线不被C挡住，则直线AB和C没有公共点或相切；直线AB的方程为；∴方程组有唯一解或无解；∴有唯一解或无解；∴；解得；∴实数a的取值范围是．故答案为：．【考点】二次函数的性质．12.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连接原点与点，若用表示线段上除端点外的整点个数，．【答案】804【解析】∵线段斜率，所在直线方程为，∴n为5的倍数，才能找出比n小的整数x，使得y也为整数．∴当n=5，10，15，20，…，2010时，线段OA上有除端点外的2个整点．n数列5，10，15，20，…，2010是首项为5，公差为5的等差数列，其通项公式为．由知，∴，故答案为：804【考点】函数的值．二、选择题1.在△ABC中，若，，则．【答案】【解析】∵,∴,∴.故答案为：【考点】向量在几何中的应用．2.下列命题中，正确命题的序号是．①函数关于点（1，1）对称；②定义在R上的奇函数中一定有；③函数满足；④△ABC中，，则存在．【答案】③【解析】①在的图象上任取点，其关于（1，1）的对称点为（x，y）；则，即，；则，整理可得，，∴的图象关于对称的曲线方程不为，即函数图象的不关于点对称，故错误；②∵定义在R上的奇函数，∴，解得：，∴，解得：，整理可得：，故错误；③由，故正确；④若成立，∴，∴，即，整理可得：．∵，∴，，，，∴．矛盾，故错误．故答案为：③．【考点】命题的真假判断与应用．三、解答题1.己知函数，且，,（Ⅰ）求的最大值与最小值；（Ⅱ）求的单调增区间．【答案】（Ⅰ）最大值为，最小值为；（Ⅱ）.【解析】本题主要考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的单调性与最值，突出辅助角公式的应用，考查学生的分析与应用能力、转化能力、计算能力，属于中档题．第一问，由，可得：，于是可得，从而可求的最大值与最小值；第二问，由第一问得，令，，即可求得其单调增区间．试题解析：（Ⅰ）由，可得：，∴，∴当（）时，f（x）取得最大值，为；当（）时，f（x）取得最小值，为；（Ⅱ）令，，则，，∴的单调增区间为，．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．2.在锐角中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，为△ABC的外心．（1）若，求的值；（2）已知，，，求的值．【答案】（1）2；（2）.【解析】本题主要考查平面向量的数量积运算，正弦、余弦定理，三角形的面积公式，圆周角定理，熟练掌握定理、公式及法则是解本题的关键．第一问，设外接圆半径为R，由题意和余弦定理求出，由向量的数量积运算求出的值；第二问，利用三角形的面积公式和条件求出，由为锐角三角形、特殊角的正弦值求出，由余弦、正弦定理求出a和R，由圆的性质和求出，由向量的数量积运算求出的值．试题解析：（1）设外接圆半径为R，在中，且，由余弦定理得，，∴；（2）∵，，，∴，解得，∵为锐角三角形，∴，则，根据余弦定理得：，解得，由正弦定理可得，，则，∵为的外心，∴，∴．【考点】平面向量数量积的运算．3.已知二次函数：（1）若函数在区间上存在零点，求实数q的取值范围；（2）问：是否存在常数t（），当时，的值域为区间D，且D的长度为．【答案】（1）；（2）存在t.【解析】本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键，是中档题．第一问，求出二次函数的对称轴，得到函数在上为单调函数，要使函数在区间上存在零点，则，由此可解q的取值范围；第二问，分，最大值是；，最大值是；三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是求出t的值，验证范围后即可得到答案．试题解析：（1）∵二次函数的对称轴是，∴函数在区间上单调递减∴要使函数在区间上存在零点，须满足．即，解得．所以使函数在区间上存在零点的实数q的取值范围是；（2）当时，即时，的值域为：，即．∴．∴，∴．经检验不合题意，舍去．当时，即时，的值域为：，即．∴．∴，经检验不合题意，舍去．当时，的值域为：，即，∴，∴，∴或．经检验或满足题意，所以存在常数t（），当时，的值域为区间D，且D的长度为．【考点】二次函数的性质；函数的零点．4.现要设计一个如图所示的金属支架（图中实线所示），设计要求是：支架总高度AH为6米，底座BCDEF是以B为顶点，以CDEF为底面的正四棱锥，C，D，E，F在以半径为1米的圆上，支杆AB⊥底面CDEF．市场上，底座单价为每米10元，支杆AB 单价为每米20元．设侧棱BC 与底面所成的角为θ．（1）写出的取值范围；（2）当θ取何值时，支架总费用y （元）最少？ 【答案】（1）；（2）当时，费用y 最小.【解析】本题给出实际应用问题，考查解三角形、数学上的换元思想和用基本不等式求函数最值等知识，解答的关键是利用三角函数得出总费用y 的函数表达式．第一问，因支架总高度AH 为6米，且C ，D ，E ，F 在以半径为1米的圆上，所以的最大值为6，从而得出的取值范围；第二问，先写出支架总费用y 的函数表达式：，设，其中通过换元转化成积是定值；求和的最小值问题；再利用基本不等式解．试题解析：（1）因支架总高度AH 为6米，且C ，D ，E ，F 在以半径为1米的圆上， ∴的最大值为6．可得（3分） （2）（7分），（8分） 设，其中（9分） 则，..（11分）当时，；当时，；当时，；（13分）则当时，取得最小值，满足（14分）则当时，费用y 最小（15分）【考点】在实际问题中建立三角函数模型．5.把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表： 设是位于这个三角形数表中从上往下数第m 行、从左往右数第n 个数．（1）求；（2）若，求m ，n 的值；（3）已知函数，若记三角形数表中从上往下数第n 行各数的和为b n ，求数列{f （b n ）}的前n 项和．【答案】（1）47；（2）、；（3）.【解析】本题是一道关于数列的应用题，考查等差数列的前n 项和、错位相减法求和、归纳推理等基础知识，主要考查学生的分析问题、解决问题的能力、转化能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．第一问，利用前行共有数的个数为可确定每行第1个数的值，通过每行数构成公差为2的等差数列，进而计算即得结论；第二问，通过每行第1个数的值可确定，进而利用等差数列的知识计算即得结论；第三问，通过（1）可知第n 行第1个数为、最后一个数为，进而，利用错位相减法计算即得结论．试题解析：（1）根据题意可知：前行共有个数，∴第t 行第1个数为，∴；（2）由（1）可知：第45行第1个数为：，第46行第1个数为：，又∵，∴，∴，解得：，综上，当时，、；（3）由（1）可知：第n行第1个数为，最后一个数为：，∴，∵函数，∴，∴，，两式相减得：，∴．【考点】数列的求和；归纳推理．6.已知函数.（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数a、b的值；（2）若是函数的极值点，求实数a的值；（3）若，且对任意，都有，求实数t的取值范围．【答案】（1），；（2）；（3）或.【解析】本题主要考查导数的运算、利用导数研究曲线上某点处的切线方程、利用导数研究函数的极值和最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析解决问题的能力、转化能力、计算能力，属难题．第一问，求导数，利用曲线在处的切线的方程为，即可求实数a、b的值；第二问，若是函数的极值点，，即可求实数a的值；第三问，，，函数在上单调递增，不妨设，则，可化为，设，则在上是减函数，进一步等价于在上恒成立，即可求实数t的取值范围．试题解析：（1）∵，∴，∵曲线在处的切线的方程为，∴，∴，，∴，；（2）∵是函数的极值点，∴，∴；（3），，函数在上单调递增不妨设，则，可化为，设，则在上是减函数．又，∴等价于在上恒成立设，则，∴，∵，∴，∴或．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．。

江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知复数，则复数的虚部为．2.命题：“”的否定是．3.已知函数，则．4.双曲线的渐近线方程为．5.按如下图所示的流程图，输出的结果为．6.若集合满足，则命题“”是命题“”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）7.已知复数满足，则．8.下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设，若，则或”是一个假命题；③“”是“”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是．（写出所有不正确命题的序号）9.在中，，则的外接圆半径；类比到空间，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，则三棱锥的外接球的半径．10.设函数的导数为，且，则．11.过点作直线交椭圆于两点，若点恰为线段的中点，则直线的方程为．12.若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是．13.设为抛物线上的两动点，且线段的长为6，为线段的中点，则点到轴的最短距离为．14.过椭圆的左顶点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点，为中点，定点满足：对于任意的都有，则点的坐标为．二、解答题1.已知复数．试求实数分别为什么值时，分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．2.已知．（1）是的什么条件？（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．3.根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件根据统计资料，每日产品废品率与日产量（件）之间近似地满足关系式（日产品废品率=×100％）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额）（1）将该车间日利润（千元）表示为日产量（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？4.设分别是椭圆的左右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为2，且，求椭圆的方程．5.阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为短轴长为．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2））后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值（用表示）；（2）结论：椭圆上任一点处的切线的方程为．记椭圆的方程为．①过椭圆的右准线上任一点向椭圆引切线，切点分别为，求证：直线恒过一定点；②设点为椭圆上位于第一象限内的动点，为椭圆的左右焦点，点为的内心，直线与轴相交于点，求点横坐标的取值范围．6.已知函数的图像在点处切线的斜率为，记奇函数的图像为．（1）求实数的值；（2）当时，图像恒在的上方，求实数的取值范围；（3）若图像与有两个不同的交点，其横坐标分别是，设，求证：．[来江苏高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.已知复数，则复数的虚部为．【答案】-2【解析】的实部是3，虚部是-2，故填：-2.【考点】复数2.命题：“”的否定是．【答案】【解析】特称命题的否定是全称命题，并且后面结论否定，所以“”的否定是.【考点】特称命题的否定3.已知函数，则．【答案】【解析】，所以，故填：2016.【考点】导数4.双曲线的渐近线方程为．【答案】【解析】，，所以，双曲线的渐近线方程是，故填：.【考点】双曲线的简单几何性质5.按如下图所示的流程图，输出的结果为．【答案】11【解析】当时，，，进入循环，输出.【考点】循环结构6.若集合满足，则命题“”是命题“”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）【答案】必要不充分【解析】根据条件可得集合是集合的真子集，所以命题p不能推出命题q,但命题q能推出命题p,所以命题p 是命题q的必要不充分条件，故填：必要不充分.【考点】充分必要条件7.已知复数满足，则．【答案】【解析】，所以.【考点】复数的代数运算8.下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设，若，则或”是一个假命题；③“”是“”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是．（写出所有不正确命题的序号）【答案】①②【解析】①互为逆否命题的两个命题等价，逆命题与否命题互为逆否，所以一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，所以①错误；②当命题不方便判断时，可以判断其逆否命题“且，则”是真命题，所以原命题也是真命题，所以②错误；③的解集是或，而是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，③正确；④一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以否命题为真，它的逆命题一定为真，④正确，所以不正确的有①②.【考点】命题9.在中，，则的外接圆半径；类比到空间，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，则三棱锥的外接球的半径．【答案】【解析】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将此三棱锥补全为以为棱的长方体，而长方体的外接球就是三棱锥的外接球，长方体的对角线就是其外接球的直径，所以,故填：.【考点】类比推理10.设函数的导数为，且，则．【答案】【解析】，而，所以，，故填：.【考点】导数11.过点作直线交椭圆于两点，若点恰为线段的中点，则直线的方程为．【答案】【解析】设，，代入方程，两式相减得到：，当时，整理为：，而，所以直线方程为，整理为：，故填：.【考点】点差法12.若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】根据数形结合，和都是过原点的直线，并且，当在原点处相切时，，所以不等式恒成立，只需，故填：.【考点】1.数形结合；2.导数的几何意义.13.设为抛物线上的两动点，且线段的长为6，为线段的中点，则点到轴的最短距离为．【答案】2【解析】轴，轴，当直线AB不过焦点F时，点A,B,F能构成三角形ABF,此时点M到x轴的距离，而,,而,所以,当直线AB过焦点时，此时A,B,F在一条直线上，点M到x轴的距离，而, ,而,所以，所以点到轴的最短距离为2.【考点】抛物线的几何性质14.过椭圆的左顶点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点，为中点，定点满足：对于任意的都有，则点的坐标为．【答案】【解析】设直线方程，与椭圆方程联立，，消元得到：，化简得：，所以，，所以，又点P为AC 的中点，所以，则，令，得，假设存在点，使,则即，所以恒成立，所以，解得，因此定点Q的坐标为.【考点】直线与椭圆的位置关系二、解答题1.已知复数．试求实数分别为什么值时，分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．【答案】（1）；（2）且；（3）【解析】当时，若z是实数，则虚部，若z是虚数，则虚部不等于0，若z是纯虚数，则实部为0，虚部不等于0，还要注意实部的分母的条件.试题解析：解：（1）当为实数时，，（2）当为虚数时，，（3）当为纯虚数时，，【考点】复数2.已知．（1）是的什么条件？（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）充分不必要条件；（2）【解析】（1）首先求解两个命题中不等式的解集，然后求两个不等式的解集，判定集合间的关系，得到结果，或是利用互为逆否的两个命题等价，将是的什么条件转化为是的什么条件判断；（2）求r不等式的解集，再求其补集，若是的必要非充分条件，集合是集合的真子集，根据数轴判断端点的大小.试题解析：（1），.∴，∴是的充分不必要条件．（2）.∴：.∵是的必要非充分条件．∴.∴的取值范围是.【考点】充分必要条件3.根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件根据统计资料，每日产品废品率与日产量（件）之间近似地满足关系式（日产品废品率=×100％）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额）（1）将该车间日利润（千元）表示为日产量（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？【答案】（1），（2）详见解析.【解析】（1）该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额，所以，代入函数的关系式，得到产量与利润的含关系；（2）根据（1）的结论，利用导数分别求两段函数的导数，分析函数的单调性与极值，比较得到函数的最大值.试题解析：（1）由题意可知，，（2）考虑函数，当时，，令，解得当时，，函数在区间上单调递增，当时，，函数在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，又是整数，，，所以当时，函数由最大值当时，，所以函数在上单调递减，当时，函数取值最大值.【考点】1.函数的实际应用；2.导数与函数的单调性与极值和最值.4.设分别是椭圆的左右焦点，是上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为2，且，求椭圆的方程．【答案】（1），（2）详见解析.【解析】（1）该车间的日利润日正品赢利额日废品亏损额，所以，代入函数的关系式，得到产量与利润的含关系；（2）根据（1）的结论，利用导数分别求两段函数的导数，分析函数的单调性与极值，比较得到函数的最大值.试题解析：（1）由题意可知，，（2）考虑函数，当时，，令，解得当时，，函数在区间上单调递增，当时，，函数在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，又是整数，，，所以当时，函数由最大值当时，，所以函数在上单调递减，当时，函数取值最大值.【考点】1.函数的实际应用；2.导数与函数的单调性与极值和最值.5.阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为短轴长为．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2））后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为，求的值（用表示）；（2）结论：椭圆上任一点处的切线的方程为．记椭圆的方程为．①过椭圆的右准线上任一点向椭圆引切线，切点分别为，求证：直线恒过一定点；②设点为椭圆上位于第一象限内的动点，为椭圆的左右焦点，点为的内心，直线与轴相交于点，求点横坐标的取值范围．【答案】（1）；（2）①详见解析；②.【解析】（1）焦点到长轴端点的距离为或，若球与球桌的接触点是长轴端点，那么第一次回到原焦点的长度分别为或，如果不是长轴端点，而是其他点，根据椭圆的定义，再次回到原焦点，会走两个到焦点的距离和；（2）①设设，再分别写出过点A,B的切线方程，因为都过点M,所以代入点M，得到两个同类形的方程，这个方程就是直线AB的方程，与无关，即得直线AB所过的定点；②：椭圆在处的切线，根据现象（2）可知直线，这样根据切线方程，根据垂直关系，可得点的坐标表示为，这样可求得坐标的范围.试题解析：解（1）记，因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，所以；（2）①设，则，代入，得，则点的坐标均满足方程，所以，直线恒过定点；②由（2）的结论知：椭圆在处的切线的方程为，由事实现象（2）知：直线，令，得点的横坐标为，．【考点】1.直线与椭圆的位置关系；2.新定义做题.6.已知函数的图像在点处切线的斜率为，记奇函数的图像为．（1）求实数的值；（2）当时，图像恒在的上方，求实数的取值范围；（3）若图像与有两个不同的交点，其横坐标分别是，设，求证：．[来【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）根据导数的几何意义，求得，再根据函数是奇函数，可求得；（2）根据（1）的结论，可将问题转化为恒成立，通过讨论自变量的正负，参变分离后可将问题转化为，这样设函数，利用导数求函数的最值，即得的取值范围；（3）点A,B在曲线上，设出点的坐标，经过指对互化，表示，再通过分析法证明.试题解析：解：（1），为奇函数，；（2）由（1）知，，因为当时，图像恒在的上方，所以恒成立，，记，则，由，在单调减，在单调减，在单调增，，，综上，所求实数的取值范围是；（3）由（2）知，设，，，，要证，即证，令，即证，令，即证，，在上单调减，在上单调减，，所以，【考点】1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性以及最值；3.分析法.。

江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.命题p ：∀x ∈R ，x 2+1＞0的否定是 ．2.抛物线y 2=4x 的准线方程是 ．3.设复数z=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是 ．4.“x ＜1”是“log 2x ＜0”的 条件． （在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）5.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=4x+2y 的最大值为 ．6.函数f （x ）=（x ﹣3）e x 的单调递增区间是 ．7.若x ＞1，则x+的最小值是 ． 8.曲线在点（0，f （0））处的切线方程为 ．9.记不等式x 2+x ﹣6＜0的解集为集合A ，函数y=lg （x ﹣a ）的定义域为集合B ．若“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ．10.若不等式x 2+px+q ＜0的解集是{x|1＜x ＜2}，则不等式≥0的解集是 ．11.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2=a 2+b 2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O ﹣LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么你类比得到的结论是 ．12.已知复数z=x+yi （x ，y ∈R ，x≠0）且|z ﹣2|=，则的范围为 ．13.函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+a 2在x=1时有极值为10，则a+b 的值为 ．二、选择题已知椭圆：+=1，左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AF 2+BF 2的最大值为5，则椭圆方程为 ．三、解答题1.已知z 是复数，z+2i ，均为实数（i 为虚数单位），且复数（z+ai ）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．2.给出下面两个命题，命题p ：方程+=1表示焦点在x 轴上的椭圆命题q ：双曲线﹣=1的离心率e ∈（1，2）已知￢p ∨￢q 为假，求实数m 的取值范围．3.已知f （x ）=．（1）若f （x ）＞k 的解集为{x|x ＜﹣3或x ＞﹣2}，求k 的值；（2）若对任意x ＞0，f （x ）≤t 恒成立，求实数t 的取值范围．4.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y=+10（x ﹣6）2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．5.已知函数f （x ）=x 2+alnx ．（1）若a=﹣1，求函数f （x ）的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若a=1，求函数f （x ）在[1，e]上的最值；（3）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f （x ）的图象在g （x ）=x 3的图象下方．6.如图，点F 1，F 2分别是椭圆C ：的左、右焦点．点A 是椭圆C 上一点，点B 是直线AF 2与椭圆C 的另一交点，且满足AF 1⊥x 轴，∠AF 2F 1=30°．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若△ABF 1的周长为，求椭圆C 的标准方程；（3）若△ABF 1的面积为，求椭圆C 的标准方程．江苏高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.命题p ：∀x ∈R ，x 2+1＞0的否定是 ． 【答案】∃x ∈R ，x 2+1≤0．【解析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可解：∵命题“∀x ∈R ，x 2+1＞0”∴命题“∀x ∈R ，x 2+1＞0”的否定是“∃x ∈R ，x 2+1≤0”故答案为：∃x ∈R ，x 2+1≤0．【考点】命题的否定．2.抛物线y 2=4x 的准线方程是 ．【答案】x=﹣1【解析】先根据抛物线的标准方程形式求出p ，再根据开口方向，写出其准线方程．解：∵2p=4，∴p=2，开口向右， ∴准线方程是x=﹣1．故答案为x=﹣1．【考点】抛物线的简单性质．3.设复数z=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部是 ．【答案】-1【解析】化简复数可得z=﹣i ，由复数实虚部的定义可得答案．解：z=====﹣i 故其虚部为：﹣1故答案为：﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．4.“x ＜1”是“log 2x ＜0”的 条件． （在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）【答案】必要不充分【解析】由log 2x ＜0，解得0＜x ＜1，即可判断出关系．解：由log 2x ＜0，解得0＜x ＜1，∴x ＜1”是“log 2x ＜0”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．5.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=4x+2y 的最大值为 ． 【答案】10 【解析】先画出约束条件 ，的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=4x+2y 的最大值． 解：由约束条件，得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A （2，1），B （1，2），C （0，1）将三个代入得z 的值分别为10，8，2直线z=4x+2y 过点A （2，1）时，z 取得最大值为10；故答案为：10．【考点】简单线性规划．6.函数f （x ）=（x ﹣3）e x 的单调递增区间是 ．【答案】（2，+∞）【解析】首先对f （x ）=（x ﹣3）e x 求导，可得f′（x ）=（x ﹣2）e x ，令f′（x ）＞0，解可得答案．解：f′（x ）=（x ﹣3）′e x +（x ﹣3）（e x ）′=（x ﹣2）e x ，令f′（x ）＞0，解得x ＞2．故答案为：（2，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．7.若x ＞1，则x+的最小值是 ． 【答案】3【解析】x+=x ﹣1++1，利用基本不等式可求函数的最值． 解：∵x ＞1，∴x+=x ﹣1++1+1=3， 当且仅当x ﹣1=即x=2时取等号，∴x=2时x+取得最小值3， 故答案为：3．【考点】基本不等式．8.曲线在点（0，f （0））处的切线方程为 ．【答案】x ﹣y+2=0【解析】把x=0代入曲线方程求出相应的y 的值确定出切点坐标，然后根据求导法则求出曲线方程的导函数，把x=0代入求出的导函数值即为切线方程的斜率，由求出的切点坐标和斜率写出切线方程即可．解：把x=0代入曲线方程得：f （0）=2，所以切点坐标为（0，2），求导得：f′（x ）==，把x=0代入导函数得：f′（0）=1，所以切线方程的斜率k=1，则切线方程为：y ﹣2=x ﹣0，即x ﹣y+2=0．故答案为：x ﹣y+2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．9.记不等式x 2+x ﹣6＜0的解集为集合A ，函数y=lg （x ﹣a ）的定义域为集合B ．若“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】（﹣∞，﹣3] 【解析】根据条件求出A ，B ，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可． 解：由x 2+x ﹣6＜0得﹣3＜x ＜2，即A （﹣3，2），由x ﹣a ＞0，得x ＞a ，即B=（a ，+∞），若“x ∈A”是“x ∈B”的充分条件，则A ⊆B ，即a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3]【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．10.若不等式x 2+px+q ＜0的解集是{x|1＜x ＜2}，则不等式≥0的解集是 ．【答案】{x|x≥2或x≤1}【解析】根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系求出p ，q ，结合分式不等式的性质进行求解即可． 解：∵不等式x 2+px+q ＜0的解集是{x|1＜x ＜2}，∴1，2是方程x 2+px+q=0的根，则1+2=﹣p ，即p=﹣3，1×2=q ，即q=2，则不等式≥0等价为≥0，∵x 2﹣x+6＞0恒成立，∴不等式≥0等价为x 2﹣3x+2≥0，即x≥2或x≤1，即不等式的解集为{x|x≥2或x≤1}，故答案为：{x|x≥2或x≤1}．【考点】其他不等式的解法．11.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2=a 2+b 2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O ﹣LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么你类比得到的结论是 ．【答案】【解析】从平面图形到空间图形，同时模型不变． 解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：． 故答案为：．【考点】类比推理．12.已知复数z=x+yi （x ，y ∈R ，x≠0）且|z ﹣2|=，则的范围为 ． 【答案】【解析】利用复数的运算法则和模的计算公式、直线与圆有公共点的充要条件即可得出．解：∵|z ﹣2|=|x ﹣2+yi|，，∴．∴（x ﹣2）2+y 2=3．设，则y=kx ．联立，化为（1+k 2）x 2﹣4x+1=0．∵直线y=kx 与圆有公共点， ∴△=16﹣4（1+k 2）≥0，解得．∴则的范围为． 故答案为．【考点】复数求模．13.函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+a 2在x=1时有极值为10，则a+b 的值为 ． 【答案】-7 【解析】首先对f （x ）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得 ，解方程得出a ，b 的值，最后求它们的即可．解：对函数f （x ）求导得 f′（x ）=3x 2+2ax+b ，又∵在x=1时f （x ）有极值10，∴， 解得 或 ， 验证知，当a=﹣3，b=3时，在x=1无极值，故 a+b 的值﹣7．故答案为：﹣7【考点】函数在某点取得极值的条件．二、选择题已知椭圆：+=1，左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AF 2+BF 2的最大值为5，则椭圆方程为 ．【答案】【解析】|AF 2|+|BF 2|=4a ﹣|AB|=8﹣|AB|，根据|AF 2|+|BF 2|的最大值为5，可得|AB|的最小值为3．由题意可设直线l 的方程为：my=x+c ，（直线l 的斜率为0不必考虑），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．与椭圆方程联立可得：（b 2m 2+4）y 2﹣2mcb 2y+b 2c 2﹣4b 2=0，再利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．解：|AF 2|+|BF 2|=4a ﹣|AB|=8﹣|AB|，∵|AF 2|+|BF 2|的最大值为5，∴|AB|的最小值为3．由题意可设直线l 的方程为：my=x+c ，（直线l 的斜率为0不必考虑），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立，化为：（b 2m 2+4）y 2﹣2mcb 2y+b 2c 2﹣4b 2=0，c 2=4﹣b 2．∴y 1+y 2=，y 1y 2=． ∴|AB|===，当m=0时，|AB|=b 2；当m≠0时，|AB|=4+＞b 2．∴b 2=3．∴椭圆的标准方程为：， 故答案为：． 【考点】椭圆的简单性质．三、解答题1.已知z是复数，z+2i，均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【答案】2＜a＜6【解析】设出复数的代数形式，整理出代数形式的结果，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．解：设复数z=m+ni（m，n∈R），由题意得z+2i=m+ni+2i=m+（n+2）i∈R，∴n+2=0，即n=﹣2．又∵，∴2n+m=0，即m=﹣2n=4．∴z=4﹣2i．∵（z+ai）2=（4﹣2i+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i对应的点在复平面的第一象限，横标和纵标都大于0，∴解得a的取值范围为2＜a＜6．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．2.给出下面两个命题，命题p：方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）已知￢p∨￢q为假，求实数m的取值范围．【答案】7＜m＜15【解析】分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解．解：当命题p为真，则，即，即7＜m＜16，∵双曲线的离心率e∈（1，2），∴a2=5，b2=m＞0，c2=5+m，∵e∈（1，2），∴e2∈（1，4），即1＜＜4，得0＜m＜15，即q：0＜m＜15即当命题q为真，0＜m＜15，∵￢p∨￢q为假，∴p∧q为真，即p，q同时为真，则，得7＜m＜15，则所求实数m的取值范围是7＜m＜15．【考点】复合命题的真假．3.已知f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值；（2）若对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）﹣（2）[，+∞）【解析】（1）根据题意，把f（x）＞k化为kx2﹣2x+6k＜0，由不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值；（2）化简f（x），利用基本不等式，求出f（x）≤t时t的取值范围．解：（1）∵f（x）＞k，∴＞k；整理得kx2﹣2x+6k＜0，∵不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，∴方程kx 2﹣2x+6k=0的两根是﹣3，﹣2；由根与系数的关系知，﹣3+（﹣2）=，即k=﹣；（2）∵x＞0，∴f（x）==≤=，当且仅当x=时取等号；又∵f（x）≤t对任意x＞0恒成立，∴t≥，即t的取值范围是[，+∞）．【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题．4.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x 的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：x （3，4） 4 （4，6）f'（x） + 0 ﹣f（x）单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【考点】函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．5.已知函数f（x）=x2+alnx．（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值；（3）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．【答案】（1）极小值f（1）=；（2）e2+1；（3）证明见解析【解析】（1）代入a=﹣1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及极值即可；（2）代入a=1，从而化简f（x）并求其定义域，再求导判断函数的单调性及求函数的最值；（3）代入a=1，令F（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣x2﹣lnx，从而化在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g （x）=x3的图象下方为F（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，再化为函数的最值问题即可．解：（1）当a=﹣1时，f（x）=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣=；故f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故f（x）在x=1处取得极小值f（1）=；（2）当a=1时，f （x ）=x 2+lnx 的定义域为（0，+∞），f′（x ）=x+＞0；故f （x ）在[1，e]上是增函数，故f min （x ）=f （1）=，f max （x ）=f （e ）=e 2+1；（3）证明：令F （x ）=g （x ）﹣f （x ）=x 3﹣x 2﹣lnx ；则F′（x ）=2x 2﹣x ﹣=，∵x ∈[1，+∞），∴F′（x ）=≥0， ∴F （x ）在[1，+∞）上是增函数，故F （x ）≥F （1）=﹣=＞0；故在区间[1，+∞）上，函数f （x ）的图象在g （x ）=x 3的图象下方．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．6.如图，点F 1，F 2分别是椭圆C ：的左、右焦点．点A 是椭圆C 上一点，点B 是直线AF 2与椭圆C 的另一交点，且满足AF 1⊥x 轴，∠AF 2F 1=30°．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若△ABF 1的周长为，求椭圆C 的标准方程；（3）若△ABF 1的面积为，求椭圆C 的标准方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）通过求解直角三角形得到A 的坐标，代入椭圆方程整理，结合隐含条件求得椭圆C 的离心率e ；（2）通过椭圆定义结合三角形的周长及隐含条件求得答案；（3）由（1）得到a 与c ，b 与c 的关系，设直线AF 2的方程为，代入2x 2+3y 2=6c 2化简整理，求得B 的坐标，再由点到直线的距离公式结合三角形面积求得答案．解：（1）Rt △AF 1F 2中，∵∠AF 2F 1=30°，∴， 则，代入并利用b 2=a 2﹣c 2化简整理， 得3a 4﹣2a 2c 2﹣3c 4=0，即（a 2﹣3c 2）（3a 2﹣c 2）=0，∵a ＞c ， ∴，∴．（2）由椭圆定义知AF 1+AF 2=BF 1+BF 2=2a ，∴△ABF 1的周长为4a ，∴，则，，故椭圆C 的标准方程为； （3）由（1）知，则， 于是椭圆方程可化为，即2x 2+3y 2=6c 2， 设直线AF 2的方程为，代入2x 2+3y 2=6c 2化简整理得3x 2﹣2cx ﹣5c 2=0，∴x=﹣c 或，则点B的横坐标为，∴点B到直线AF的距离为，1∴△ABF的面积为，1解得c=3，∴，故椭圆C的标准方程为．【考点】椭圆的简单性质．。

江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.命题“对任何”的否定是____▲____2.“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的▲条件（填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分亦不必要之一）3.函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调递增区间是▲4.对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题有▲个A．若m⊥，m⊥n，则n∥B．若m∥，n∥，则m∥nC．若m，n∥，则m∥n D．若m、n与所成的角相等，则n∥m5.曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为▲6.设a∈R，若函数y=ex+ax有大于0的极值点，则实数a的取值范围是▲7.将直线y=3x绕原点逆时针旋转900，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为▲8.过点P的直线l将圆C：(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k= ▲9..已知椭圆的两个焦点是F1、F2,满足=0的点M总在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是▲10.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=" " ▲11.对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包涵Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是▲（写出所有凸集相应图形的序号）.12.正方体中，，是的中点，则四棱锥的体积为______▲_______．13.椭圆中，以点M（-1，2）为中点的弦所在的直线斜率为▲14.已知，设在R上单调递减，的定义域为R，如果“或”为真命题，“或”也为真命题，则实数的取值范围是______▲___．二、解答题1.（本题满分14分）已知两个命题r(x):sinx+cosx>m;s(x):x2+mx+1>0.如果对于任意实数x，r(x)s(x) 为假，r(x)s(x)为真，求实数m的取值范围。

江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，集合，则__________.2.已知是虚数单位，若是实数，则实数_______.3.若函数的最小正周期为，则正数的值为___________4.函数的定义域为________.5.已知角的终边经过点，则的值是．6.已知幂函数的图象经过点，则的值为___________.7.已知函数，则_________.8.已知半径为1的扇形面积为，则此扇形的周长为___________.9.函数的单调递增区间为_____________.10.已知，且，则 ___________.11.已知函数在区间上存在零点，则___________.12.已知定义在上的函数满足，且，若，则实数的取值范围为______.13.函数，对任意的，总有，则实数的取值为_____________.14.已知函数对任意的，都有，求实数的取值范围__________.二、解答题1.已知复数，（为虚数单位，）（1）若复数在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数的值；（2）当实数时，求的值.2.已知函数（1）化简；（2）若，求，的值.3.已知函数的部分图象如图所示（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的取值范围.4.生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需要另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元），当年产量不小于80千件时，（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完 .（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式（利润=销售额-成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大.5.已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在区间上的单调性并说明理由；（3）当时，函数的值域为，求实数的值.6.已知函数（1）设为偶函数，当时，，求曲线在点处的切线方程；（2）设，求函数的极值；（3）若存在，当时，恒有成立，求实数的取值范围.江苏高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.已知集合，集合，则__________.【答案】【解析】由交集的定义可得.2.已知是虚数单位，若是实数，则实数_______.【答案】4【解析】由复数的运算法则： ,该数为实数，则： .3.若函数的最小正周期为，则正数的值为___________【答案】3【解析】由正弦型函数的最小正周期公式可得： .4.函数的定义域为________.【答案】【解析】函数有意义，则：，求解关于实数x的不等式组可得函数的定义域为.点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．5.已知角的终边经过点，则的值是．【答案】【解析】根据三角函数定义：，其中，所以【考点】三角函数定义6.已知幂函数的图象经过点，则的值为___________.【答案】2【解析】设幂函数的解析式为：，则：，即：.7.已知函数，则_________.【答案】【解析】由函数的解析式有：，则： .点睛：求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．8.已知半径为1的扇形面积为，则此扇形的周长为___________.【答案】【解析】设扇形的弧长为，则：，则此扇形的周长为.9.函数的单调递增区间为_____________.【答案】（0，1）【解析】函数有意义，则：，且：，由结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为（0，1）.10.已知，且，则 ___________.【答案】【解析】由题意可得： ,结合角的范围和同角三角函数可知：，即.点睛：利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．11.已知函数在区间上存在零点，则___________.【答案】5【解析】函数的零点满足： ,即：，绘制函数的图象观察可得 .12.已知定义在上的函数满足，且，若，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】由题意可得，函数是定义在区间上的减函数，不等式即：，据此有：，求解关于实数t的不等式可得实数的取值范围为.点睛：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．13.函数，对任意的，总有，则实数的取值为_____________.【答案】3【解析】当时，不等式即：，令，则，函数在区间内单调递减，，此时，同理当时可得，则实数的取值为3.14.已知函数对任意的，都有，求实数的取值范围__________.【答案】【解析】问题等价于在区间上，，分类讨论：当时，函数在区间上单调递增，则：，即，此时；当时，函数在区间上单调递减，则：，即，此时，当时，不等式明显成立，综上可得实数的取值范围是.二、解答题1.已知复数，（为虚数单位，）（1）若复数在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数的值；（2）当实数时，求的值.【答案】(1) (2)【解析】(1)由题意得到关于实数,m的方程，解方程可得；(2)首先求得复数z的值为，然后利用复数模的运算法则可得的值为.试题解析：（1）因为复数所对应的点在一、三象限的角平分线上，所以，解得.（2）当实数时，.，所以的值为.2.已知函数（1）化简；（2）若，求，的值.【答案】(1) (2) ，【解析】(1)利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简可得(2)利用同角三角函数基本关系结合题意可得，.试题解析：(1)(2)由，平方可得，即. ，，又，，，,.3.已知函数的部分图象如图所示（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】(1)首先求得函数的解析式为.据此可得函数的单调递减区间为；(2)由函数的定义域结合(1)中的解析式可得的取值范围是.试题解析：（1）由图象得A="2." 最小正周期T=.,由得，，又得，所以，所求函数的解析式为.由得.所以，函数的单调减区间为.（2），即的取值范围是.点睛：三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．4.生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需要另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元），当年产量不小于80千件时，（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完 .（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式（利润=销售额-成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大.【答案】(1) (2) 当年产量为100 千件时,生产该商品获利润最大.【解析】(1)由题意将利润函数写成分段函数的形式：(2)利用导函数讨论函数的单调性，结合函数的定义域可得当年产量为100 千件时,生产该商品获利润最大.试题解析：(1)因为每件商品售价为万元,则千件商品销售额为万元,依题意得，当时,=当时,.(2)当时, .，.此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950（万元）当时,，当且仅当,即x=100时,L(x)取得最大值1000（万元）. 因为，所以当年产量为100千件时,生产该商品获利润最大.答：当年产量为100 千件时,生产该商品获利润最大.5.已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在区间上的单调性并说明理由；（3）当时，函数的值域为，求实数的值.【答案】(1) (2)见解析（3）【解析】(1)由奇函数的定义可得；(2)利用题意结合函数单调性的定义可得当时在上是减函数，当时在上是增函数；(3)利用题意分类讨论可得.试题解析：（1）由已知条件得对定义域中的均成立，所以,即即对定义域中的均成立，得，当时显然不成立，所以.（2）由（1）知，其定义域为设，当时，，所以；当时，，即，所以当时在上是减函数，同理：当时在上是增函数；（3），其定义域为，(i) ,所以在上为增函数，要使值域为，则（无解）.(ii) ，则，所以在上为减函数，要使值域为，则所以.6.已知函数（1）设为偶函数，当时，，求曲线在点处的切线方程；（2）设，求函数的极值；（3）若存在，当时，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)见解析（3）【解析】(1)利用题意首先求得函数的解析式，然后利用导函数与切线的关系可得切线方程为.(2)由函数的解析式对参数分类讨论即可求得函数的极值；(3)分离系数后构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围是.试题解析：（1）当时，=.令，又为偶函数，所以，当时，，由点斜式方程得切线方程为.（2）由已知.所以，当所以上单调递增，无极值.若，则当，当，所以，当时，,无极小值.（3）由已知，令 ,当时恒成立.,,即，不合题意.解得，.当从而当即，综上述，.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。

江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设集合,集合,则．2.为虚数单位，复数= ．3.函数的定义域为．4.“”是“函数为奇函数”的条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）5.函数在处的切线的斜率为．6.若tan+ =4则sin2= ．7.点A（2,2）关于直线x-y-1=0的对称点的坐标为 .8.已知，则．9.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是．10.已知函数是定义在上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式恒成立，则实数b的取值范围是．11.设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：(i)；(ii)对任意，当时，恒有.那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合.①；②；③；④，其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号).12.已知点，若分别以为弦作两外切的圆和圆，且两圆半径相等，则圆的半径为．13.若关于的不等式的解集中的正整数解有且只有3个，则实数的取值范围是．二、选择题函数的值域为．三、解答题1.已知，命题，命题.⑴若命题为真命题，求实数的取值范围；⑵若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围.2.已知函数的最小正周期为.⑴求函数的对称轴方程；⑵设，，求的值.3.已知函数（为实数，），，⑴若，且函数的值域为，求的表达式；⑵设，且函数为偶函数，求证：.4.如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数，时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧.⑴试确定A，和的值；⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设(弧度)，试用来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）5.如图，圆与坐标轴交于点.⑴求与直线垂直的圆的切线方程；⑵设点是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，直线交直线于点，①若点坐标为，求弦的长；②求证：为定值.6.已知函数，函数.⑴当时，函数的图象与函数的图象有公共点，求实数的最大值；⑵当时，试判断函数的图象与函数的图象的公共点的个数；⑶函数的图象能否恒在函数的上方？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由．江苏高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.设集合,集合,则．【答案】.【解析】易知2为A,B两个集合的公共元素，所以.【考点】集合的交集运算.2.为虚数单位，复数= ．【答案】.【解析】=.【考点】复数的运算.3.函数的定义域为．【答案】.【解析】只需，解得.【考点】对数型函数定义域的求法.4.“”是“函数为奇函数”的条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）【答案】充分不必要.【解析】易知，当为奇函数，但当函数为奇函数时，有（），所以填充分不必要条件.【考点】充分必要条件的判断.5.函数在处的切线的斜率为．【答案】e.【解析】因为，所以.【考点】导数的几何意义.6.若tan+ =4则sin2= ．【答案】.【解析】因为tan+=，所以故.【考点】同角三角函数的基本关系：商数关系，平方关系；二倍角的正弦公式.7.点A（2,2）关于直线x-y-1=0的对称点的坐标为 .【答案】.【解析】设，根据题意有：解得，故的坐标为.【考点】求点关于已知直线对称点问题.8.已知，则．【答案】.【解析】观察易知：，又，所以，故.【考点】观察，归纳，特殊到一般数学思想.9.已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是．【答案】.【解析】因为原函数即为，如图所示，又函数过定点，当过与时，，而当过与时，，又否则与平行不符合题意，结合图形可知当时，函数的图象与函数的图象恰有两个交点.【考点】分段函数，斜率公式，数形结合思想.10.已知函数是定义在上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式恒成立，则实数b的取值范围是．【答案】.【解析】由题意可知有：恒成立，即为恒成立，又，则，所以，，又，当时，，由上有：解得：.【考点】恒成立问题，三角函数的值域，解一元二次不等式.11.设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：(i)；(ii)对任意，当时，恒有.那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合.①；②；③；④，其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号).【答案】②③④.【解析】“保序同构”的集合是指存在一函数满足：（1）.S是的定义域，T是值域，（2）. 在S上递增.对于①，若任意，当时，可能有，不是恒有成立，所以①中的两个集合不一定是保序同构，对于②，取符合保序同构定义，对于③，取函数符合保序同构定义，对于④，取符合保序同构定义，故选②③④.【考点】新概念信息题，单调函数的概念，蕴含映射思想.12.已知点，若分别以为弦作两外切的圆和圆，且两圆半径相等，则圆的半径为．【答案】.【解析】易知圆和圆的圆心分别在弦的垂直平分线上，设，由于B为两圆的切点，且两圆半径相等，所以B为M与N的中点，则，解得，又BC的垂直平分线方程为：，且N在此直线上，所以，所以两圆的半径为.【考点】圆的性质，两圆的位置关系，中点坐标公式.13.若关于的不等式的解集中的正整数解有且只有3个，则实数的取值范围是．【答案】.【解析】原不等式可化为（其中，否则原不等式无解），令，则，令，得且令有，且当，所以的简图如图所示，当时，，当时，，当时，，又且，要使不等式的解集中正整数有且只有3个，由图可知即包含，，，所以只需，故.【考点】导数的应用，数形结合思想.二、选择题函数的值域为．【答案】.【解析】因为=，所以.【考点】三角函数中的归一公式，三角函数值域问题.三、解答题1.已知，命题，命题.⑴若命题为真命题，求实数的取值范围；⑵若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）.【解析】（1）此小题即为恒成立问题，只需当时，恒成立即可；（2）对于q为真，只要，而命题为真命题，命题为假命题反映的是命题p与命题q一个为真另一个为假，分类讨论即可.试题解析：因为命题，令，所以，根据题意，只要时，即可，也就是，即；⑵由⑴可知，当命题p为真命题时，，命题q为真命题时，，解得，因为命题为真命题，命题为假命题，所以命题p与命题q一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，当命题p为假，命题q为真时，，综上所述：或.【考点】恒成立问题，复合命题的基本概念，解不等式组，分类讨论的数学思想.2.已知函数的最小正周期为.⑴求函数的对称轴方程；⑵设，，求的值.【答案】（1），（2）.【解析】（1）此小题重点考查正余弦函数的周期公式与对称轴公式；（2）要求，只需分别求出，由已知条件，代入函数中易求得的值，但要注意诱导公式的应用及相应角的范围.试题解析：⑴由条件可知，，则由为所求对称轴方程；⑵，因为，所以，，因为，所以，．【考点】正余弦函数的周期公式：，余弦函数的对称轴公式：，两角和的余弦公式，诱导公式.3.已知函数（为实数，），，⑴若，且函数的值域为，求的表达式；⑵设，且函数为偶函数，求证：.【答案】（1），（2）证明略.【解析】（1）由于的表达式与有关，而确定的表达式只需求出待定系数，因此只要根据题目条件联立关于的两个关系即可；（2）由为偶函数可先确定，而可不妨假设，则，代入的表达式即可判断的符号.试题解析：⑴因为，所以，因为的值域为，所以，所以，所以，所以；⑵因为是偶函数，所以，又，所以，因为，不妨设，则，又，所以，此时，所以；【考点】二次函数表达式的求解，分段函数求值问题，化归与转化的思想.4.如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数，时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧.⑴试确定A，和的值；⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设(弧度)，试用来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）【答案】（1）,，；（2）造价预算，，造价预算最大值为（）万元.【解析】（1）此小题实质是考查利用三角函数图像求三角解析式问题，由最高点B的坐标可求得A的值，又四分之一周期为3，易求得，在此情况下，把B点坐标代入三角解析式中可求得；（2）本小题中步行道分两部分组成，（如图）一部分在扇形中利用弧长公式：求得，另一部分在中利用直角三角形的边角关系求得，两项相加可得关于的造价预算函数，再用导数工具求得其最值.试题解析：⑴因为最高点B（-1，4），所以A=4；又，所以，因为，代入点B（-1，4），，又；⑵由⑴可知：，得点C即，取CO中点F，连结DF，因为弧CD为半圆弧，所以，即，则圆弧段造价预算为万元，中，，则直线段CD造价预算为万元，所以步行道造价预算，．由得当时，，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减，所以在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．（图）【考点】利用三角函数图像求三角解析式问题，导数求函数最值问题（要关注函数定义域），数形结合思想.5.如图，圆与坐标轴交于点.⑴求与直线垂直的圆的切线方程；⑵设点是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，直线交直线于点，①若点坐标为，求弦的长；②求证：为定值.【答案】（1），（2）①：2，②：证明略.【解析】（1）所求直线与垂直，则斜率为负倒数关系，因此可依方程设出所求直线方程，利用圆心到此直线的距离为半径可求出此直线方程；（2）①为常考点，利用弦心距，半径，弦长的一半三者构成勾股定理的关系求解；②设直线的方程为：，把转化为含的代数式进行运算，也可设，把转化为含的代数式进行运算.试题解析：，直线，⑴设所求切线方程为：，则，所以：；⑵①：，圆心到直线的距离，所以弦的长为；（或由等边三角形亦可）.②解法一：设直线的方程为：存在，，则由，得，所以或，将代入直线，得，即，则，：，，，得，所以为定值．解法二：设，则，直线，则，，直线，又，与交点，，将，代入得，所以，得为定值.【考点】点到线的距离公式，直线的点斜式，斜截式方程，直线与圆相交问题，化归与转化思想6.已知函数，函数.⑴当时，函数的图象与函数的图象有公共点，求实数的最大值；⑵当时，试判断函数的图象与函数的图象的公共点的个数；⑶函数的图象能否恒在函数的上方？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由．【答案】（1）的最大值为，（2）时，无公共点，时，有一个公共点，时，有两个公共点；（3）当或时函数的图象恒在函数的图象的上方.【解析】（1）当时，由图形可知一次函数与对数函数相切时，取最大值，可以用导数的几何意义完成；（2）要研究两函数的公共点个数，由函数的定义域可知只需考虑情况，当时，令得，则原命题等价于研究直线与函数的图象的公共点的个数，因此利用导数研究函数图象变化情况，易得结论；（3）把问题转化为：在时恒成立问题，要注意对取值情况的讨论.试题解析：⑴，由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时取最大值，设切点横坐标为，，, 即实数的最大值为，⑵，即原题等价于直线与函数的图象的公共点的个数，，在递增且，在递减且，时，无公共点，时，有一个公共点，时，有两个公共点；⑶函数的图象恒在函数的上方；即在时恒成立，①时图象开口向下，即在时不可能恒成立，②时，由⑴可得，时恒成立，时不成立，③时，若则，由⑵可得无最小值，故不可能恒成立，若则，故恒成立，若则，故恒成立，综上，或时，函数的图象恒在函数的图象的上方．【考点】导数的几何意义，用导数分析函数的单调性，最值，恒成立问题，渗透数形结合思想，分类讨论的数学思想。

江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.已知的展开式中第三项的系数比第二项的系数大162求（1）的值；（2）的一次项系数2.若矩阵属于特征值6的特征向量为，并且点在矩阵的变换下得到点，求矩阵。

3.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱，为中点，作交于（1）求PF：FB的值（2）求平面与平面所成的锐二面角的正弦值。

4.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．江苏高二高中数学期末考试答案及解析一、解答题1.已知的展开式中第三项的系数比第二项的系数大162求（1）的值；（2）的一次项系数【答案】（1）n=9…………………………………………………………5分（2）-672…………………………………………………………………10分【解析】略2.若矩阵属于特征值6的特征向量为，并且点在矩阵的变换下得到点，求矩阵。

【答案】设由条件……………………………………………………………………6分化简得：……………………………………………………………………8分解得：所以…………………………………………………………………………10分【解析】略3.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱，为中点，作交于（1）求PF：FB的值（2）求平面与平面所成的锐二面角的正弦值。

【答案】（1）以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

设，PF：PB=则为中点，，，解得，所以PF：FB=1:2……………………………………5分（2）由（1）可得，可求得平面的一个法向量为；又，可得为平面的一个法向量；设平面与平面所成的锐二面角为，则……………………………………10分【解析】略4.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．【答案】（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故，从而；………………4分（Ⅱ）显然，随机变量，故，．………………10分【解析】略。