考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

2013年新课标数学40个考点总动员 考点03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（教师版）热点一 简单的逻辑联结词1.（2012年高考（山东文））设命题p :函数sin 2y x =的最小正周期为2π;命题q :函数cos y x = 的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是 （ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真【方法总结】1.“p ∨q ”、“p ∧q ”、“¬q”形式命题真假的判断步骤：(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∨q ”、“p ∧q ”、“¬q”形式命题的真假．2. 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③判断复合命题的真假． 热点二 全称量词与存在量词2.（2012年高考（辽宁理））已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是(A) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0 (B) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0 (C) ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<0 (D) ∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<03．（2012年高考（湖北理））命题“0x ∃∈R Q ð，30x ∈Q ”的否定是A ．0x ∃∉R Q ð，30x ∈QB ．0x ∃∈R Q ð，30x ∉QC ．x ∀∉R Q ð，3x ∈QD ．x ∀∈R Q ð，3x ∉Q【答案】D【解析】本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别.根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。

第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲要求 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p 与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p∨q”的否定是“(綈p)∧(綈q)”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.2.已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案 B解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题.3.命题：“∃x0∈R，x20－ax0＋1<0”的否定为________.答案∀x∈R，x2－ax＋1≥04.(2020·唐山模拟)已知命题p：f(x)＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)＝x cos x的图象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是()A.綈pB.qC.p∧qD.p∧(綈q)答案 D解析根据题意，对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，p为真命题；对于g(x)＝x cos x，有g(－x)＝(－x)cos(－x)＝－x cos x，为奇函数，其图象关于原点对称，q为假命题，则綈p为假命题，q为假命题，p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题.5.(2021·郑州质检)已知命题p：∀x>0，3x>1；命题q：若a<b，则a2<b2，下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(綈q)C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)答案 B解析p：∀x>0，3x>1为真命题，则綈p为假命题，取a＝－2，b＝－1，则a2>b2，所以q为假，綈q为真命题，因此p∧(綈q)为真命题.6.(2021·合肥调研)能说明命题“∀x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可). 答案－1(任意负数)解析当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x<0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.考点一含有逻辑联结词的命题1.(2020·西安检测)已知命题p：若a>|b|，则a2>b2；命题q：m，n是直线，α为平面，若m∥α，n⊂α，则m∥n.下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧(綈q)C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)答案 B解析若a>|b|，则a2>b2，∴p真，对于命题q：由m∥α，n⊂α，则m与n异面或平行，∴q假，则綈q为真，因此p∧(綈q)为真命题.2.(2021·成都调研)已知命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)的最小值为22；命题q：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0.下列命题为真命题的是() A.(綈p)∧q B.p∨qC.p∧(綈q)D.(綈p)∧(綈q)答案 D解析命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y>22sin x·sin x＝22，等号取不到，所以命题p是假命题.命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以綈p为真，綈q为真.因此，只有(綈p)∧(綈q)为真命题. 3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(綈p)∨(綈q)B.p∧(綈q)C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q答案 A解析命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q).4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1∧p4②p1∧p2③綈p2∨p3④綈p3∨綈p4答案①③④解析p1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p 4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知綈p 2，綈p 3，綈p 4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题.感悟升华 1.“p ∨q ”，“p ∧q ”，“綈p ”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题的真假. 2.p ∧q 形式是“一假必假，全真才真”，p ∨q 形式是“一真必真，全假才假”，綈p 与p 的真假性相反.考点二 全称量词与存在量词【例1】 (1)(2021·江南十校联考)已知f (x )＝sin x －tan x ，命题p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)<0，则( )A.p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B.p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C.p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D.p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0(2)已知命题p ：∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，命题q ：∃x ∈R ，2x ＋21－x ＝22，则下列命题中是真命题的是( ) A.p ∧q B.(綈p )∧q C.p ∧(綈q ) D.(綈p )∧(綈q )答案 (1)C (2)A解析 (1)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，sin x <1，tan x >1.此时sin x －tan x <0， 故命题p 为真命题. 由于命题p 为特称命题， 所以命题p 的否定为全称命题， 则綈p 为：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0.(2)由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象的位置关系，知∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫13x成立，p 为真命题.又2x ＋21－x ≥22x ·21－x ＝22，当且仅当2x ＝21－x ， 即x ＝12时，上式取等号，则q 为真命题.因此p ∧q 为真命题.感悟升华 1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论. 2.判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.【训练1】 (1)已知集合A 是奇函数集，B 是偶函数集.若命题p ：∀f (x )∈A ，|f (x )|∈B ，则綈p 为( ) A.∀f (x )∈A ，|f (x )|∉BB.∀f (x )∉A ，|f (x )|∉BC.∃f (x )∈A ，|f (x )|∉BD.∃f (x )∉A ，|f (x )|∉B(2)(2020·兰州诊断)已知命题p ：“∃x 0∈R ，1x 0＋1>0”的否定是“∀x ∈R ，1x ＋1<0或x ＋1＝0”；命题q ：“x <2 021”的一个充分不必要条件是“x <2 020”，则下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.綈q C.p ∧(綈q ) D.(綈p )∧q答案 (1)C (2)A解析 (1)全称命题的否定为特称命题需：改写量词，否定结论. ∴綈p ：∃f (x )∈A ，|f (x )|∉B .(2)命题p ：“∃x 0∈R ，1x 0＋1>0”的否定是“∀x ∈R ，1x ＋1<0或x ＋1＝0”，故命题p 是真命题.命题q ：“x <2 021”的一个充分不必要条件是“x <2 020”，为真命题. 故p ∧q 为真命题，其余为假命题. 考点三 由命题的真假求参数【例2】 (1)已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(綈p )∧q 为真命题，则x 的值为( ) A.1B.－1C.2D.－2(2)(经典母题)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________. 答案 (1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞解析 (1)因为綈p ：∃x ∈R ，2x ≥3x ，要使(綈p )∧q 为真，所以綈p 与q 同时为真.由2x≥3x，得⎝ ⎛⎭⎪⎫23x≥1，所以x ≤0.①由x 2＝2－x ，得x ＝1或x ＝－2.② 由①②知x ＝－2.(2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0， 当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ， 由f (x )min ≥g (x )min ， 得0≥14－m ，所以m ≥14.【迁移】 本例(2)中，若将“∃x 2∈[1，2]”改为“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是_________________________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，对∀x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]使得f (x 1)≥g (x 2)等价于f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.感悟升华 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 【训练2】 (2021·豫北名校联考)已知p ：函数f (x )＝x 2－(2a ＋4)x ＋6在(1，＋∞)上是增函数，q ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋2a －3>0，若p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－∞，－1]解析依题意，p为真命题，綈q为真命题.若p为真命题，则2a＋42≤1，解得a≤－1.①若綈q为真命题，则∃x0∈R，x20＋ax0＋2a－3≤0成立.∴a2－4(2a－3)≥0，解之得a≥6或a≤2.②结合①②，知a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].A级基础巩固一、选择题1.命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为()A.∀x>1，x2－1≤0B.∀x≤1，x2－1≤0C.∃x0>1，x20－1≤0D.∃x0≤1，x20－1≤0答案 C解析命题p：“∀x>1，x2－1>0”，则綈p：∃x0>1，x20－1≤0.2.(2020·贵阳检测)命题p：存在实数x0，使得对任意实数x，sin(x＋x0)＝－sin x恒成立；q：∀a>0，f(x)＝ln a＋xa－x为奇函数，则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.(綈p)∧(綈q)C.p∧(綈q)D.(綈p)∧q答案 A解析当x0＝π时，∀x∈R，sin(x＋π)＝－sin x，因此p为真，綈p为假；f(x)的定义域为(－a，a)，关于原点对称，且f(－x)＋f(x)＝ln a－xa＋x＋lna＋xa－x＝ln⎝⎛⎭⎪⎪⎫a－xa＋x×a＋xa－x＝0，所以函数f(x)为奇函数，因此q为真命题，綈q为假命题，故p∧q为真，(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)，(綈p)∧q为假命题.3.命题“∃n0∈N*，f(n0)∈N*，且f(n0)≤n0”的否定形式是()A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>nC.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0答案 B解析因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃n0∈N*，f(n0)∈N*且f(n0)≤n0”的否定形式是“∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n”.4.已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A.(－∞，0)B.[0，4]C.[4，＋∞)D.(0，4) 答案 D解析因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，所以其否定为“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋14>0”是真命题.则Δ＝(a－2)2－4×4×14＝a2－4a<0，解得0<a<4.5.命题p：函数y＝log2(x－2)的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为()A.p∧qB.p∨qC.p∧(綈q)D.綈q答案 B解析 由于y ＝log 2(x －2)的单调递增区间是(2，＋∞)，所以命题p 是假命题.由3x >0，得3x ＋1>1，所以0<13x ＋1<1， 所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1)，故命题q 为真命题，綈q 为真命题. 所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题.6.已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 答案 D解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞). 7.已知命题p ：∀x >0，e x >x ＋1，命题q ：∃x ∈(0，＋∞)，ln x ≥x ，则下列命题正确的是( )A.p ∧qB.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q )答案 C解析 令f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )>f (0)＝0，即e x >x ＋1，则命题p 真；令g (x )＝ln x －x ，x >0，则g ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当x ∈(0，1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，即当x ＝1时，g (x )取得极大值，也是最大值，所以g (x )max ＝g (1)＝－1<0，∴g (x )<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q 假，因此綈q 为真，故p ∧(綈q )为真.8.已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A.[e ，4]B.(－∞，e]C.[e ，4)D.[4，＋∞)答案 A解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题.由∀x ∈[0，1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4. 二、填空题9.命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是____________.答案 ∃x 0∈R ，f (x 0)·g (x 0)＝0解析 命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是“∃x 0∈R ，f (x 0)·g (x 0)＝0”.10.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题，则实数m 的最大值为________. 答案 1解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，得1≤tan x ＋2≤2＋ 3.∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π3，m ≤tan x ＋2”为真命题， 则m ≤1.∴实数m 的最大值为1.11.下列四个命题：p 1：任意x ∈R ，2x >0；p 2：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0；p 3：任意x ∈R ，sin x <2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x >x 2＋x ＋1.其中是真命题的为________. 答案 p 1，p 4解析 ∀x ∈R ，2x >0恒成立，∴p 1是真命题.又x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴p 2是假命题. 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π＝1>2－32π， ∴p 3是假命题.取x ＝－12时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝32， 但x 2＋x ＋1＝34<32，∴p 4为真. 综上，p 1，p 4为真命题，p 2，p 3是假命题.12.(2021·安徽六校联考)若命题“∃x 0∈R ，使得k >x 20＋1成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________.答案 (－∞，1]解析 “∃x 0∈R ，使得k >x 20＋1成立”是假命题等价于“∀x ∈R ，都有k ≤x 2＋1恒成立”是真命题.因为x 2＋1≥1，即x 2＋1的最小值为1，要使k ≤x 2＋1恒成立，只需k ≤(x 2＋1)min ，即k ≤1.B 级 能力提升13.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D.∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20答案 D解析 改变量词，否定结论.∴该命题的否定应为：∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20.14.(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题 ①p ∨q ；②綈p ∨q ；③p ∧綈q ；④綈p ∧綈q .这四个命题中，所有真命题的编号是( )A.①③B.①②C.②③D.③④答案 A解析 由不等式组画出平面区域D ，如图阴影部分所示，在图中画出直线2x ＋y ＝9，可知p 为真命题，綈p 为假命题，作出直线2x ＋y ＝12，2x ＋y ≤12表示直线及其下方区域，易知命题q 为假命题；命题綈q 为真命题；∴p ∨q 为真，綈p ∨q 为假，p ∧綈q 为真，綈p ∧綈q 为假.故真命题的编号为①③.15.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解；命题q ：若m ＝19，则f [f (－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是____________(填序号).①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∧(綈q ).答案 ②解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0，所以命题p 为假命题，命题綈p 为真命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，命题綈q 为假命题；逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题.16.(2021·豫南九校联考)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数；命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立.如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞) 解析 若命题p ：函数y ＝c x 为减函数为真命题，则0<c <1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号). 若命题q 为真命题，则1c <2，结合c >0可得c >12，∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，故p 与q 一真一假；(1)p 真q 假时，⎩⎨⎧0<c <1，0<c ≤12，则有0<c ≤12； (2)p 假q 真时，⎩⎨⎧c ≥1，c >12，则有c ≥1. 综上，c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞).。

第三节
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【知识重温】
一、必记3个知识点
1．简单的逻辑联结词
(1) 命 题 中 的 ________
_________ 叫 做 逻 辑 联 结
判断真假 、 __________
判断为真 、判断为假
词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
真
真
p且q
若q，则p
1
－x
＋e ≥2，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0 ＝ ，则下列判断正确的是
2
(
)
A．p∧q是真命题
B．(綈p)∧(綈q)是真命题
C．p∧(綈q)是真命题
D．(綈p)∧q是真命题
1
x
－x
x
解析：因为e ＋e ＝e ＋ ≥2成立，所以命题p是真命题；又由
e
1
2x0 ＝ ＝2 － 1 ，得x0 ＝－1∉(0，＋∞)，所以命题q是假命题．所以
______
真
假
______
綈q，则綈p
假
假
真
假
假
假
p或q
若______
p，则綈q
真
____
没有关系
____
必要
非p
假
相同
__
____
充分
____
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任何一个”在逻辑中通常叫做全
充分不必要
称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做________.
不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，
可先判断其否定的真假.
命题

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．逻辑联结词命题中的“或”“且”“非”称为____________________．2．全称量词“所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做____________，通常用符号“________”表示．含有全称量词的命题称为____________，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．3．存在量词“存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做______________，通常用符号“________”表示．含有存在量词的命题称为______________，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．注：特称命题也称存在性命题．4．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)因此，全称命题的否定是________命题；特称命题的否定是________命题．5．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断(真值表)注：“p∧q”“p∨q”“綈p”统称为复合命题，构成复合命题的p命题，q命题称为简单命题．p q p∧qp∨q綈p真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假○10⑪⑫自查自纠：1．逻辑联结词2．全称量词∀全称命题3．存在量词∃特称命题4．∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)特称全称5．①真②真③假④假⑤真⑥假⑦假⑧真⑨真○10假⑪假⑫真(2014·湖南)设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则綈p为()A．∃x0∈R，x20＋1＞0 B．∃x0∈R，x20＋1≤0C．∃x0∈R，x20＋1＜0 D．∀x0∈R，x20＋1≤0解：全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p的否定为“∃x0∈R，x20＋1≤0”．故选B.下列命题中的假命题．．．是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解：对于B选项，x＝1时，(x－1)2＝0 ，故选B.(2014·重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)解：显然p真，由x＞2⇒x＞1，而x＞1x＞2，因此“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，q假，綈q真，p∧(綈q)是真命题．故选D.给出下列结论：①命题“若綈p，则q”的逆否命题是“若p，则綈q”；②命题“∃n∈N*，n2＋3n能被10整除”的否定是“∀n∈N*，n2＋3n不能被10整除”；③命题“∀x∈R，x2＋2x＋3＞0”的否定是“∃x∈R，x2＋2x＋3＜0”．其中结论正确的是________．解：由于逆否命题是把原命题否定了的结论作条件，否定了的条件作结论得到的命题，故①不正确；特称命题的否定是全称命题，故②正确；全称命题的否定是特称命题，故③不正确．综上，只有②正确，故填②.已知p：x2－2x－3<0；q：1x－2<0，若p且q为真，则x的取值范围是________．解：若p为真，则由x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)<0，得－1<x<3；若q为真，则由1x－2<0，得x<2.∵p且q为真，∴－1<x<2.故填(－1，2)．类型一含有逻辑联结词的命题及其真假判断指出下列命题的构成形式，并对该命题进行分解，然后判断其真假．(1)矩形的对角线相等且垂直；(2)3≥3；(3)10是2或5的倍数；(4)10是2和5的倍数；(5)2是4和6的约数；(6)2是4和6的公约数．解：(1)是“p∧q”形式的命题．其中p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线垂直．该命题为假命题．(2)是“p∨q”形式的命题．其中p：3＞3，q：3＝3.该命题是真命题．(3)是“p∨q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(4)是“p∧q”形式的命题．其中p：10是2的倍数，q：10是5的倍数．该命题是真命题．(5)是“p∧q”形式的命题．其中p：2是4的约数，q：2是6的约数．该命题是真命题．(6)既不是“p∨q”命题，也不是“p∧q”命题，是一个简单命题．这个命题的等价命题是：4和6的公约数是2.按公约数的定义，该命题是：给出4和6，2是它们的公约数，即给出判断．该命题是真命题．点拨：正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键．在解具体问题时，不但要看命题中是否含有逻辑联结词，而且要看命题的内容结构是否具有逻辑联结词的含义，如本例中的第(6)小题．分别写出由下列各组命题构成的“p 或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：菱形的对角线一定相等，q：菱形的对角线互相垂直；(3)p：π是有理数，q：π是无理数．解：(1)p或q：3是9或18的约数，是真命题；p且q：3是9的约数且是18的约数，真命题；非p：3不是9的约数，假命题．(2)p或q：菱形的对角线一定相等或互相垂直，真命题；p且q：菱形的对角线一定相等且互相垂直，假命题；非p：菱形的对角线不一定相等，真命题．(3)p或q：π是有理数或无理数，真命题；p且q：π是有理数且是无理数，假命题；非p：π不是有理数，真命题．类型二含有逻辑联结词命题的综合问题已知p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增，q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．解：设p，q都为真．则由p：函数y＝x2＋mx＋1在(－1，＋∞)内单调递增⇔－m2≤－1，解得m≥2，由q：函数y＝4x2＋4(m－2)x＋1大于零恒成立⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0，解得1＜m＜3.∵p或q为真，p且q为假，∴p，q中一个为假，另一个为真．(1)当p真，q假时，根据命题与集合之间的对应关系，得p真时，m≥2，q假时，m≤1或m≥3.∴p真q假时，⎩⎪⎨⎪⎧m≥2，m≤1或m≥3，得m≥3.(2)当p假，q真时，根据命题与集合之间的对应关系，得p假时，m＜2，q真时，1＜m＜3.∴p假q真时，⎩⎪⎨⎪⎧m＜2，1＜m＜3，得1＜m＜2.综合(1)(2)可得，m的取值范围为(1，2)∪[3，＋∞)．点拨：由“p或q”为真，“p且q”为假判断出p和q一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．(1)当m为何值时，p或q为真？(2)当m为何值时，p且q为真？解：若p为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m2－4＞0，x1＋x2＝－m＜0，x1x2＝1＞0(x1，x2为方程x2＋mx＋1＝0的两个实根)，解得m＞2；若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16＜0，解得1＜m＜3.(1)若p或q为真，则p，q至少有一个为真．∴若p或q为真时，m的取值范围是(1，＋∞)．(2)若p且q为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m＞2，1＜m＜3，得2＜m＜3.故当m∈(2，3)时，p且q为真．类型三全称命题与特称命题的否定写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p1：∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(2)p2：至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)p3：∃x∈{x|x∈Z}，log2x＞0；(4)p 4：∀x ∈R ，x 2－x ＋14＞0.解：(1)綈p 1：∃x ∈{x |x 是无理数}，x 2不是无理数，是真命题．(2)綈p 2：所有的整数，都不能被2整除或不能被5整除，是假命题．(3)綈p 3：∀x ∈{x |x ∈Z }，log 2x ≤0，是假命题．(4)綈p 4：∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0，是真命题．点拨：命题的否定，是对该命题的结论进行否定，根据判断对象是部分和全体，分为特称命题和全称命题．否定的原则是：否定全称是特称，否定特称是全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定．(2014·天津)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)·e x ＞1，则綈p 为( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)ex 0≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)ex 0≤1C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤1解：全称命题的否定是特称命题．故选B .1．含有逻辑联结词命题真假的判断判断一个含有逻辑联结词命题的真假，应先对该命题进行分解，判断出构成它的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．2．全称命题与特称命题真假的判断 (1)要判断全称命题是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．在有些命题中，逻辑联结词“或”“且”“非”是以另一种形式出现的．如“x ＝±1”中含逻辑联结词“或”，“≥”表示“大于或等于”；“綊”表示“平行且等于”，“并且”的含义为“且”；“∉”表示“不属于”，“不是”的含义为“非”等．4．一些常用的正面叙述的词语及它们的否定词语表：正面词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜) 是都是否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是不都是正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的一定 否定词语 至少有两个 一个也没有某个 某些不一定1．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是( ) A ．a 和b 至少有一个是偶数 B ．a 和b 至多有一个是偶数 C ．a 是偶数，b 不是偶数 D ．a 和b 都是偶数解：“a 和b 都不是偶数”的否定形式是“a 和b 至少有一个是偶数”．故选A.2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 解：根据特称命题的否定是全称命题，需先将“存在”改为“任意”，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B.3．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解：y ＝sin2x 的最小正周期T ＝π，很明显命题p 是一个假命题．函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，所以命题q 也是假命题．因此，p ∧q 为假，故选C.4．(2014·湖北)命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x 解：全称命题的否定是特称命题．故选D .5．已知命题p ：∃x ∈R ，使得x ＋1x<2；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，下列命题为真的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC. p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )解：对于命题p ：当x ＝－1时，x ＋1x ＝－2＜2，所以命题p 是真命题，则綈p 是假命题；对于q ，Δ＝1－4＝－3＜0，所以不等式x 2＋x ＋1＞0的解集为R ，所以命题q 是真命题，则綈q 是假命题，所以p ∧q 为真命题．故选A.6．下列命题中为真命题的是( )A ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝1.5B ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos xC ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞1＋x解：A ：sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜1.5，故A 错；B ：x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π时，sin x ＞cos x ，x ＝π4时，sin x ＝cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，cos x ＞sin x ，故B 错； C ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34＞0，∴x 2＋x ＞－1，故C 错．故选D .7．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，是真命题的是________________________．解：∵p 1是真命题，p 2是假命题，∴q 1：p 1∨p 2是真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题， q 3：(綈p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(綈p 2)为真命题．∴真命题是q 1，q 4.故填q 1，q 4.8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解：由命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题得其否定“∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”是真命题，所以(a －1)2－4×2×12＜0，解得－1＜a ＜3.故填(－1，3)．9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，写出它们的否定形式，并判断否定形式的真假．(1)若a ＞0且a ≠1，则对任意实数x ，a x ＞0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2； (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1＜0.解：(1)全称命题，其否定形式为：若a >0且a ≠1，则∃x ∈R ，a x ≤0，显然该命题为假命题．(2)全称命题，其否定形式为：∃x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，使tan x 1≥tan x 2，该命题为真命题．例如取x 1＝0，x 2＝π，有x 1＜x 2，但tan x 1＝tan x 2＝0，又当x 1＝0，x 2＝2π3时，有x 1＜x 2，但tan0＝0，tan 2π3＝－3，所以tan x 1＞tan x 2.(3)特称命题，其否定形式为：∀T ∈R ，|sin(x ＋T )|≠|sin x |，该命题是假命题．例如T 0＝π时，有|sin(x ＋π)|＝|sin x |.(4)特称命题，其否定形式为∀x ∈R ，x 2＋1≥0.∵x ∈R 时，x 2≥0，∴x 2＋1≥1＞0，故为真命题．10．已知命题p ：∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题p ∧q 是真命题，求实数a 的取值范围．解：∵命题p ∧q 是真命题，∴命题p ，q 均为真．对于命题p ，当x ∈[1，2]时，a ≤x 2恒成立， 即a ≤(x 2)min ＝1；对于命题q ，∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋a 2＝a 2＋a －2，即(x ＋a )2＝(a －1)(a ＋2)≥0，得a ≤－2或a ≥1. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1， 得a ≤－2或a ＝1.因此，实数a 的取值范围为{}a |a ≤－2或a ＝1.11．已知a >0，设命题p ：函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋a16的定义域为R ；命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 时，函数y＝x ＋1x >1a恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求a 的取值范围．解：由a ＞0，命题p ：函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋a16的定义域为R 可知，Δ＝1－a24＜0，解得a ＞2.因此，命题p 为真时，a ＞2.对于命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数y ＝x ＋1x ＞1a恒成立，即函数y ＝x ＋1x 在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2的最小值y min ＞1a， ∵y min ＝2，∴1a ＜2.又a ＞0，∴a ＞12.因此，命题q 为真时，a ＞12.∵命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，∴命题p 与q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，可得a ∈∅；当p 假q 真时，可得12＜a ≤2.综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，2.已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解：(1)∵对任意x ∈[0，1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．(2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1，1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m ＞1， 得1＜m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1或m ＞2，m ≤1， 得m ＜1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1，2]．。