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理解数学是教好数学的前提章建跃（人民教育出版社 １０００８１） 随着课改的不断深入，人们越来越清楚地认识到，回归数学教育的本来面目，着眼于学生的长期利益，发挥数学的内在力量，挖掘数学内容所蕴含的价值观资源，以提高数学素养、发展思维能力、培育理性精神为核心，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考，成为善于认识问题、解决问题的人才，这是数学教育发展的大势所趋．为此，数学教师必须在理解数学、理解学生、理解教学上狠下功夫．我认为，这“三个理解”是教师专业化发展的基石，是数学教学质量的根本保证，也是广大数学教师在教改大潮中“以不变应万变”的法宝．数学教育理论界在研究教学问题时有一个潜在假设：凡数学教师，对所教的知识都是了如指掌的，都已具备“理解数学”的能力．因此理论界更热衷于对“如何教”的讨论，在数学教师专业发展方面，认为数学学科教学知识更加关键．然而，大量课堂观察表明，数学教学质量低下的原因，追本溯源，主要来自于教师的数学理解不到位．教师在数学的内容知识、实质性结构知识等方面的欠缺，导致他们对知识的发生发展过程、重点、难点和关键等不甚了了，从而就抓不住内容的核心，不能设置有利于学生理解知识的教学主线，也很难在教学中提出具有启发性和挑战性的问题，对学生数学学习指导的针对性、有效性也就大打折扣．我认为，这种现状与师范教育的课程设置不当、培养过程与中学教学实际脱节等有直接关系．因此，改进师范教育课程体系和培养模式是当务之急．如何改进呢？徐章韬博士的《面向教学的数学知识———基于数学发生发展的视角》（科学出版社，２０１３年９月版）给出了一个比较全面的回答．例如，书中提出，以具体课例为载体，从数学知识的发生发展过程角度分析面向教学的数学知识，可以避免（职前职后）教师培训中的空泛议论，极大地增强培训课程的实效性；从内蕴于数学知识中的认识视角、思想与方法等角度全面解析数学课程内容，由此生发教育上的见解并付之于数学教育的实践，这是发展面向教学的数学知识的一种值得尝试的路径；等等．这里我想就本书构建的“面向教学的数学知识的模型”谈几点认识．首先，这一模型强调了数学知识与教学知识的并列关系，表明这两方面的素养对于一名合格教师的同等重要性．进一步地，数学知识具有根基性的地位，它能解决自身的可教性问题，“有关学科知识的教学法存在于学科知识和学科之中”．这表明“理解数学”是首要的，是实现数学育人的根基．面向教学的数学知识模型由数学知识组块和学科教学知识组块组成．前一组块含内容知识、实质性结构知识和句法性知识，后一组块含内容与学生的知识、内容与教学的知识、内容与课程的知识．在数学知识组块中，教师拥有扎实的数学双基是关键，否则他就没有教学话语权．很难想象一个对所教知识似懂非懂的人能引导学生的数学思考．因此，当前被某些“教育家”制造出来的起源于“教师水平差，所以让学生自己学”的教改典型，实在是违反常规，非常搞笑．我们知道，数学是思维的科学，对学生数学思维火花的敏感性首先来源于教师的数学素养．教师想引导学生的数学思考，其前提是他自己知道怎么想；教师想让学生学会发现，首先他自己要成为发现者．其次，教学的目的是使学生从“学会”而逐步达到“会学”，这就需要教师拥有“实质性结构知识”，这实际上就是“数学知识的教学表达”方面的知识，这是数学教师区别于其他群体（乃至数学１６２０１５年 第５４卷 第１期 数学通报家）的重要特征之一．我们常常看到，优秀数学教师用一个“信手拈来”的比喻就解释了一个难懂的数学原理，从而使学生领会了知识的精髓，这就是他们“实质性结构知识”丰富的表现．因此，本模型指明了数学教师专业化发展的一个可操作性方向———理解数学知识的本质，积累数学知识的教学表达经验．再看“句法性知识”，对于这种“学术形态的数学知识”，我的理解是它涉及了数学的“元知识”，同时也包含了关于数学哲学、数学思想史等方面的知识．这方面的知识水平高，表明教师对数学理论体系的构建方式有深刻了解，具有用高观点解释初等数学的能力．例如，对于“数系扩充的基本思想、过程及其结构体系”的理解、定性平面几何的逻辑起点及发展出的知识体系、平行性在定量平面几何中扮演的角色等．从我的教师培训经验看，数学教师在这方面的知识缺陷很大，有的老师甚至近似于零，而造成这种状况的原因主要应归咎于师范教育的缺失．学科教学知识组块，显然与“理解学生”、“理解教学”相对应．首先，关于“内容与学生的知识”，说白了就是教师应知道学生到底是“怎么学”的．这方面的知识，在本书的模型中强调了“培养学生的数学思考”、“矫正学生的学习错误”的方法，这是至关重要的．显然，学生有自己理解数学知识的角度和方式，这是由他们的认知基础决定的．教师在“内容与学生的知识”上的水平高低决定了他的教学行为的有效性，因为学习毕竟是学生自己的事情，教学必须以学生的认知基础为出发点，为学生的学服务．但是，我们又必须注意到，这种“内容与学生的知识”必须具体化，否则是不能产生实效的．例如大家都知道“从错误中学习”的重要性，但大量老师为什么又总是采取“题型示范＋模仿训练”的教学而尽力让学生避免犯错呢？归根到底还是他们缺失“内容与学生的知识”，以至于不知道该如何培养学生的数学思考，不知道该如何对学生的学习错误对症下药，于是只能采取“我讲你听”、“我示范你模仿”的注入式教学．所以，从学生中学习，增强“理解学生”的能力（对于每一个核心内容，知道学生是如何学习的），这是教师专业化发展的主要路径之一．关于“内容与教学的知识”，可能是教师的知识结构中最多的知识，但也可能是最模糊而杂乱的知识，这样的知识的可利用性不强．例如，我们常常看到，教学中选用的素材适切性不强，教学过程的安排不能体现学生抽象数学概念、应用概念进行推理以及用所学知识解决问题的需要，教师不能及时捕捉到课堂生成而促进学生的数学理解，不能恰时恰点地提出具有挑战性的问题推动学生的数学思考，不能通过启发性提示语帮助学生提炼、升华自己的观点等，这些都是“教的知识”欠缺的表现．显然，“内容与教学的知识”越丰富、越具结构性，那么教师的教学机智就越强，教学质量也就越有保障．关于“内容与课程的知识”是对当前“脱离教材搞教学”现象的一记警钟．有些教师认为，课程的知识离教学太远，而教材内容和要求又不足以应付升学考试，更有甚者，有的老师在没有认真研读教材的情况下就轻浮地否定教材．我认为，造成这种现状的深层次原因是这些教师缺乏“内容与课程的知识”，他们不懂得作为课程知识物化形式的“课标”对学校的数学教育到底意味着什么，教材对教学又意味着什么，对“课标”规定的“内容和要求”不清楚，对教材的结构体系、素材选择、呈现方式缺乏必要的了解，甚至他们并不懂得如何理解教材．例如，对于“有理数一章的结构体系是什么？”“引入一种新的数要完成哪些事情？”“定义关于新数的运算应遵循什么原则？”“教材是如何讲解运算法则的合理性的？”“教材中的某句话为什么不能改为别的说法？”（如“要使‘随着前一乘数逐次递减１，积逐次递减３’的规律在引入负数后仍然成立，那么（－１）×３＝ ”为什么不能改为“请你利用‘随着前一乘数逐次递减１，积逐次递减３’的规律填空：（－１）×３＝ ”）等问题，许多老师没有认真思考过，甚至茫然无知．其结果必然使教学成为一笔糊涂帐，使学生学会“数学地思维”则更是奢谈．最后，从本书的论述中可以发现，“面向教学的数学知识模型”中的六部分知识是一个相互融合的整体，但“厚实的数学学科知识”居于核心主干地位．例如，只有教师具有充分的数学实质性结构知识，才能有效地引导学生“用数学的眼光看世界”，否则只能是“外行看热闹”；教学方法是否恰当，首先表现在是否符合教学内容的特点上；而２６数学通报 ２０１５年 第５４卷 第１期对教学内容及其蕴含的数学思想方法的把握程度会直接影响对学生认知的分析；探寻数学知识发生发展过程的自然脉络，对数学家发现数学规律的过程进行“复盘”，并从中寻找指导这种发现的宏观思想，能给教师设置自然的、水到渠成的、直击数学本质的教学过程提供方向；等等．所以，“面向教学的数学知识”不仅给数学教师的专业化发展、提高教学水平和教学能力指明了路径，而且也给出了师范生培养和教师职后培训的一种课程体系，应引起我国数学教育界的重视．（上接第６０页）续表序号特殊状态点次序解数解的步骤数列８Ｏ→Ａ→…Ｄ→…→［Ｃ…Ｅ］８ １２，１４，１６，１８；１６，１８，２０，２２９Ｏ→Ｄ→…Ａ→…→［Ｃ…Ｅ］３ １５，１７，１９１０Ｏ→Ｄ→…Ｂ→…→［Ｃ…Ｅ］４ １２，１６；１７，２１１１Ｏ→Ａ→…Ｂ→…Ｃ→…→［Ｄ…Ｅ］２４ １０，１２，１６，１７，１５，１７；１２，１４，１８，１９，１７，１９；１４，１６，２０，２１，１９，２１；１６，１８，２２，２３，２１，２３；１２Ｏ→Ａ→…Ｂ→…Ｄ→…→［Ｃ…Ｅ］１６ １３，１５，１７，１９；１５，１７，１９，１９；１７，１９，２１，２３；１９，２１，２３，２３１３Ｏ→Ａ→…Ｃ→…Ｂ→…→［Ｄ…Ｅ］６ １４，１７，２１；１６，１９，２３１４Ｏ→Ａ→…Ｄ→…Ｂ→…→［Ｃ…Ｅ］１０ １４，１８，１９，２３；１６，２０；１８，２２；２０，２４１５Ｏ→Ｄ→…Ａ→…Ｂ→…→［Ｃ…Ｅ］１８ １３，１５，１９，２０，１８，２０；１５，１７，２１，２２，２０，２２；１７，１９，２３，２４，２２，２４１６Ｏ→Ｄ→…Ｂ→…Ａ→…→［Ｃ…Ｅ］６ １６，１８，２０；２０，２２，２４最后对全部解列表中的每一类解的数量进行累加，可得到本文示例问题的全部解有１２１个．对全部解，按照解的步骤数分类统计，可得：表３ 本文示例问题全部解的按步骤数分类统计步骤数７ ８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５解个数１ ０ １ ３ ２ ７ ５ ９ ７步骤数１６ １７ １８ １９ ２０ ２１ ２２ ２３ ２４解个数１４ １２ １１ １３ ９ ８ ７ ８ ４从表３可知，本分油问题有１个７步操作的最优解，有４个２４步操作的最长解．５ 总结（１）本文提出了一种新的三桶分油问题求解方法———完整状态转移图法．它不同于普通的图解法，它比后者功能更强大，可以求解三桶分油问题的全部解及各种特殊要求的解；在形状上，它比后者更直观，更易于找出分油问题的最优解．（２）完整状态转移图法使三桶分油问题得到了拓展，能够对解提出各种特殊要求，如最优解、最长解、经过某一油量状态的最优解或全部解、经过某一倒油操作的最优解或全部解、符合指定倒油次数的全部解，等等．（３）根据图解法的几何坐标状态图，能够很轻松地绘制出完整状态转移图．从而使得功能强大的完整状态转移图法易于使用．参考文献１ 刘强．轻巧夺冠优化训练．三年级数学（上）（北师大版）［Ｍ］．北京：北京教育出版社，２０１２，８２ ｈａｉｚｈｕｔｉａｎｄｉ．经典趣味数学题—分油问题的一般性求解．ｈｔ－ｔｐ：／／ｂｌｏｇ．ｓｉｎａ．ｃｏｍ．ｃｎ／ｓ／ｂｌｏｇ＿６９ｅ７６ｅａ７０１００ｋｘｋｗ．ｈｔｍｌ３ 常保田．由分油问题想到的［Ｊ］．晋中师范高等专科学校学报，１９９７，１４ 分油问题＿百度文库．ｈｔｔｐ：／／ｗｅｎｋｕ．ｂａｉｄｕ．ｃｏｍ／ｖｉｅｗ／ｄ６３０６８ｆｃ７００ａｂｂ６８ａ９８２ｆｂ３６．ｈｔｍｌ５ 赵翌，韦健．关于分油问题的数学模型［Ｊ］．桂林师范高等专科学校学报，２００４，４３６２０１５年 第５４卷 第１期 数学通报。
对新课标下“理解数学、理解学生、理解教学”的理解“理解数学、理解学生、理解教学是课改的三大基石”，是张建跃老师在文章《中学数学课改的十个论题》中提出的重要理念。
下面笔者结合数学课程标准（2011年版）（以下简称课程标准）谈谈自己的理解。
一、理解数学理解数学是进行课堂教学的前提，教师只有理解数学，才能准确地确定教学目标。
理解数学就是要“了解数学知识的背景，准确的把握数学概念、定理、法则、公式等的逻辑意义，深刻领悟内容所反映的思想方法，把握知识之间的多元联系；能挖掘数学知识所蕴涵的科学方法、理性精神和价值观资源与技术，善于区分核心知识和非核心知识，准确把握每块知识产生的背景，在教材中的地位、前后的联系、后续学习的必要性，其中蕴涵的数学思想方法有哪些，这些数学思想方法在学习其它知识时，是否可以利用、类比、推广等。
有些教师没有很好地理解课标，随意地拔高，或降低教学目标，这样会给学生加重学习的负担，造成学习的困难，或者没有达到教学要求，掌握必备的知识或技能。
例如，课标中要求：“通过实例体会反证法的含义”，并没有要求理解或掌握反证法，这里教师在制定目标时要把握好这个“度”。
又如，数学分类思想是初中阶段的一种重要的数学思想，从开始的渗透到理解再到应用，应逐步提高要求，使学生能确定分类的标准，进行分类讨论。
因此，只有理解课标，理解教材，理解数学，才能准确地确定教学目标。
二、理解学生课程标准中明确：学生是学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。
学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
认真听讲，积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的主要方式。
学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。
学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索等方式。
学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己实践，学生在获得知识技能的过程中，只有亲身参与教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。
落实“三个理解”，实现“三会”目标—学习《5.2图形的运动》课堂有感何胜鑫【摘要】章建跃教授提出课堂教学要关注“三个理解”，即理解数学、理解学生、理解教学，旨在解决“教什么”“怎么教”“为什么这样教”的问题。
在“三个理解”理论指导下的课堂教学，要求执教者追溯知识源头，重塑数学知识的产生过程，体现数学文明的探索历程，让学生感悟数学与现实世界的紧密联系。
教师要努力做到知其然，知其所以然，知其所以必然，从而揭开数学神秘的面纱，激发学生学习的内驱力。
【关键词】三个理解；初中数学教学；现实世界“三个理解”是有效进行课堂教学的根本保证，是教师专业化发展的基石。
落实“三个理解”，要清楚数学知识从哪里来，到哪里去。
数学教学是还原和重现数学知识的产生的过程，一切课堂教学行为都是为了知识的生长。
史宁中教授说过：“数学学习的最终目标，是让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。
数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是建模。
”教师只有落实“三个理解”，才能实现“三会”目标。
落实“三个理解”体现在课堂教学的每一个环节，比如创设情境导入新课环节，可以创设体现数学知识产生发展需要、数学与生活联系的情境，使学生感悟数学知识产生的必然性；设计学生活动开展研究环节，可以采取问题引导学习的方式，让学生带着问题开展探索活动，将学生学习方式的转变落在实处。
要注重学生参与，让学生有主动学习的机会，教师可适时进行预设性提问，让学生的思维得到发展。
当学生“心求通而未得，口欲言而未能”的时候，教师相机诱导，通过有目的性、针对性的追问方式，进行点拨指引，让学生“开其意”“达其辞”，从而推动学生理解数学。
笔者有幸观摩了周海东老师执教的《5.2 图形的运动》一课，周老师教学设计的每一环节都很精致、精准、精深，真正落实了“三个理解”。
下面笔者结合这节课，谈谈自己的学习感受与思考，不当之处敬请指正。
基于“四个理解”的观点看对勾函数教学摘要：本文以“四个理解”为导向研究对勾函数的教学，希望教师形成教学一般观念，实现教师的教和学生的学相统一，提升学生核心素养，从而落实立德树人的根本任务。
关键词：四个理解；对勾函数；核心素养面对当下有些教师在“理解教学”上不到位，“理解学生”上不深入，教学“无灵魂”，技术“不钻研”的现象。
章建跃先生提出“四个理解”是落实核心素养的关键，理解数学，理解学生，理解教学，理解技术是提高数学教学质量和效益的决定性因素[1]。
因此，作为一名教师，应秉承“教书育人”的教育观念，把学生当作有思想的人，在深入理解数学的基础上教会学生学会构建数学知识的整体框架。
本文以“探究对勾函数的图象与性质”为例。
一、理解数学，把握对勾函数内涵理解数学首先应明白数学对象是如何定义的，而后才能把握数学内容的本质以及所蕴含的思想方法。
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲线，是形如的函数。
若将对勾函数分为与两个函数看待的话，其实就是正比例函数与反比例函数的“合成”。
因此，对勾函数的研究必定与正比例函数、反比例函数有着密不可分的联系。
而教材中并没有直接展现对勾函数的教学内容，而是设定了“探究与发现”这一栏目，即探究函数的图象与性质，将对勾函数的学习归入“数学建模与数学探究活动”中，其实也意味着提醒教师要注重学生探究发现的过程，形成研究函数的一般框架。
但从联系生活的角度看，在生产生活中都存在着对勾函数的“身影”。
因此，我们要理解对勾函数研究的必要性，学会从定义出发把握对勾函数内容的本质，探索并理解研究对勾函数所蕴含的思想方法。
二、理解学生，明确现有的知识储备理解学生，首先应把学生当作有活力有思想的个体。
在了解学生个性品质发展的同时要理解学生思维发展规律，把握学生的认知特点。
其次，应关注学生现有的知识储备，寻找搭建“知”与“不知”最近发展区的桥梁。
从而实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同发展”的课程理念。
教学感悟２０２３年１１月下半月㊀㊀㊀三个理解 视角下的初中数学优化教学设计与思考以 三角形的边 为例◉江苏省如皋市实验初中㊀马卫华㊀㊀摘要:以 三角形的边 一课的教学设计为例,提出 三个理解 视角下的初中数学教学,应当站在理解数学㊁理解教学㊁理解学生的视角,以 单元整体教学 为指引,以数学基本活动为途径,以实现数学核心素养培养目标为宗旨展开优化教学设计．关键词:三个理解;三角形的边;数学核心素养㊀㊀章建跃博士指出:高水平的教学设计是建立在 三个理解 上的． 在数学教学中,教师如果能从 理解数学 理解教学 理解学生 的角度着手,挖掘数学知识中所凝结的思维活动方式与价值观资源,基于对数学教学目标㊁方式㊁规律㊁特征等的理解制定教学目标,基于对学生心理特点㊁学习支撑因素等方面的理解设计教学过程,就能让数学教学更好地为学生的学服务,从而让学生更好地理解数学本质,发展数学思维,提升数学素养．现基于 三个理解 的角度对 三角形的边 一课的优化教学设计谈一些自己的思考与观点．１三个理解 视角下 三角形的边 的具体教学设想１．１从理解数学 的角度分析本课的教学内容理解数学是开展教与学的前提,如果不能真正理解数学,数学教学则只能是 无本之木 [１]．理解数学就是深入研究学生的 学 ,就本课而言,需要研究 三角形的边 涉及的数学知识背景,需要厘清 三角形的边 这一部分知识对 三角形 整章知识体系的作用与价值,需要明晰本节课应体现哪些数学方法㊁落实哪些核心素养等．教材中呈现了一个思考栏目和一个探究栏目,即思考如何将三角形按边㊁角元素进行分类,在画三角形的实践活动中猜想并验证三角形的三边关系．研究涉及数学知识发展的背景,对于思考栏目,需要有序分类(从边㊁角元素出发进行归类)三角形知识基础;对于探究栏目,需要先猜想与判定 能否构成三角形 ,再运用数学原理及不等变形说理论证 三边关系 ．在教学 三角形三边关系 时,可从 两边之和 与 第三边 的大小比较中提出构成三角形的问题,此处可以设计分类讨论的教学活动,即创造性地整合教材中的例１,从等腰三角形的特殊性展开分类讨论．教学中,还可以借助具体实例逐渐推广三角形三边关系的一般性,以渗透从特殊到一般的研究方法．在 能否构成三角形 的探究活动中可以水到渠成地培养直观想象素养和抽象素养;在运用已知的数学原理证明三边关系的活动中可以自然而然地培养推理素养．１．２从理解学生 的角度分析本课的具体学情学生是教学活动的主体,因此深入研究学生㊁理解学生是必不可少的环节之一．分析学情并了解学生的认知基础,明确学生学习的困难,从而使后续问题情境的设计更贴合学生的具体实际,且能降低学生学习过程中的困难．此时的学生已经可以灵活辨析三角形的概念,并对三角形的边角元素㊁三角形的分类㊁两点间线段最短㊁不等关系等知识认识深刻,也具备了在实验中发现问题㊁提出问题㊁解决问题的学习经验,但应用已知数学原理论证数学命题却是摆在学生面前最现实的困难．基于以上思考,笔者确立如下教学目标:①在经历三角形三边关系的探索过程中理解性质并学会判断是否能构成三角形;②在体会三角形三边关系的论证过程中,理解并学会自主证明．教学难点:通过 能否构成三角形 的数学体验活动来证明三边关系．㊀１．３从理解教学 的角度分析本课的教学设计理解教学首先需落实教师的主导地位和学生的主体地位,并在分析学情和教学内容的基础上设计教学活动,搭建学生 学 的桥梁,让学生在积极思考㊁深入探索㊁深度合作中习得知识,培养思维,发展素养[２]．基于上述理解,笔者设计了如下教学活动:活动１:整合栏目,思维预热．问题１㊀小学阶段我们已经与三角形有过亲密接触,那你们认识的三角形是什么样的呢?从自己的理６８２０２３年１１月下半月㊀教学感悟㊀㊀㊀㊀解去说一说．问题２㊀从 三角形的角 出发,可以将三角形分成几类?从 三角形的边 出发又能分成几类呢?说明:活动１中的问题让学生在列举三角形种类的基础上,回顾一些本节课所需的基础知识,并调动学生原有知识经验,在经历 有序分类 的过程中体验如何按边㊁角分类．活动２:创设情境,温故知新．问题３㊀试着用自己的话描述 什么是三角形 ,并分别说一说图１所示的①②③是否是三角形?图１说明:针对学生对 三角形 概念理解不完善的情形来设计问题,让学生在观察和辨析中获得对三角形的深刻认识．同时,这一环节的设计也为后续实验活动的展开提供了知识与经验上的支撑．活动３:探索猜想,推理论证．问题４㊀现有３厘米㊁５厘米㊁８厘米㊁９厘米４根小棒,从中选择３根进行拼三角形的实验,并将结果填入表１．观察表１中生成的数据,你能发现什么?其中存在什么数量关系?为什么能构成三角形?表１能拼成三角形不能拼成三角形哪３根小棒?你发现了什么?哪３根小棒?你发现了什么?㊀㊀说明:通过选小棒拼三角形的操作实验,学生获得了切实的实验感悟,并在对数据的分析中发现 能否构成三角形 的奥秘,为后续 三角形三边关系 的提炼提供经验支持．问题５㊀从选择的３根小棒中继续选取２根,对于这２根小棒,从中选取１根并将其剪成两段,再与另外１根小棒一起完成拼三角形的实验,你能拼出三角形吗?追问:若选取的这２根小棒的长度相同,能拼出一个三角形吗问题６㊀通过问题５中的实验,你能发现三角形三边间的数量关系吗你会证明这个关系吗?追问:三角形的两边之差与第三边也同样存在某种数量关系吗?说明:在问题５的剪拼活动中,学生收获了两种不同的实验结果,随之也渗透了分类思想．教师适时的追问引领了 两根小棒之和等于第三根是否可以构成三角形 的探索,让活动探索得以完善．问题６则将教材中的探究栏目推到台前,让学生在深入探索中自然发展演绎推理能力和抽象思维能力．２ 三个理解 视角下的优化教学设计的实施建议２．１以单元整体教学为指引单元整体教学更有利于知识网络的构建,其整体性特征可以让学生整体把握一个知识体系中所涉及的数学概念关系,从而实现较高层次的知识建构．因此, 三个理解 视角下的数学教学设计需以 单元整体教学 为指引全方位解读教材,如此才能在教学中聚焦数学本质．２．２以数学基本活动为途径数学教学中探究活动始终贯穿其中,这样不仅可以激起学生的学习兴趣,还可以让学生经历概念探究的过程,更能渗透思想方法和落实核心素养．在本节课的教学设计中,通过创设情境引导学生进行思考交流,通过 做数学 的活动引领学生在亲身经历中达成对数学知识的理解性建构,更加深对知识本质㊁数学思想等的感悟．２．３以数学核心素养为目标教学目标是实施教学活动的起点与归宿,恰当的教学目标是教与学活动顺利开展的重要前提．在数学教学中,渗透思想方法,落实数学核心素养具有十分重要的意义．本节课中,教师基于 三个理解 的角度,以核心素养的落实为目标,站在学生发展的角度,从几何命题活动和落实素养这两条主线展开教学,用核心素养统领整个教学活动,努力增强学生的课堂学习活力,让学生的直观想象㊁数学抽象㊁逻辑推理等素养得以落实．３结论总之, 三个理解 视角下的初中数学教学,应当站在理解数学㊁理解教学㊁理解学生的视角,以 单元整体教学 为指引,以数学基本活动为途径,以实现数学核心素养培养目标为宗旨[３]．因此,我们需要重新审视数学课堂,增强学生的课堂学习活力,落实课改理念,构建 三个理解 视角下的优质数学课堂．参考文献:[１]凌英渡．理解数学,理解学生钻研教材,优化设计[J]．数学学习与研究,２０１１(６):７．[２]徐淮源．基于教材理解下的高中数学概念教学设计 以 三角函数的周期性 为例[J]．教育研究与评论(中学教育教学),２０１０(２):７３Ｇ７８．[３]夏炳文．强化 三个理解 打造活力课堂 以一节试卷讲评课为例[J]．中国数学教育,２０１６(１０):４２Ｇ４４,５６．Z７８。
理解数学理解学生理解教学作者：章建跃来源：人民教育出版社各位代表，老师们，同志们，大家好。
受本届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动组委会、评委会的委托，我给大会作总结报告。
本次活动受到全国高中数学教师、数学教研部门、各会员单位的高度重视，来自全国除西藏、港澳台以外的所有省、直辖市、自治区，行业的近830名代表参加了本次活动，覆盖范围广，参与热情高。
各会员单位做了大量前期工作，很多会员单位从两年前就开始布置、落实本项活动，把工作细化在过程中，积极组织当地广大高中青年数学教师参与观摩活动，引领广大教师交流教学经验，以观摩与评比活动带动课堂教学研究，在研究中不断深化课堂教学改革，切实提高课堂教学质量和效益。
我代表组委会对各会员单位为本次活动作出的贡献表示衷心感谢。
承办方河南省教育学会中学数学教学专业委员会，河南省基础教育教学研究室为本次活动投入了很大精力，付出了辛苦的劳动。
承办大型活动非常不易，需要考虑的问题很多，需要做的具体工作很繁重，承担的风险很大。
我代表组委会对你们做出的努力表示衷心的感谢！本次大会的协办方卡西欧（上海贸易有限公司）、《中国数学教育》&《数学周报》社为本项活动提供了资金、技术、奖品以及人力、物力的大力支持，我代表组委会对他们做出的贡献表示衷心的感谢！特别要感谢各位参赛选手，你们付出了巨大的智力劳动，承受了巨大的心理压力，为本次活动做出了特殊的贡献。
我代表大会组委会、评委会对你们的付出表示衷心的感谢，祝贺你们取得优异的成绩，祝贺你们在教师专业化成长的道路上迈出了重要而坚实的一步。
由于本次活动组织方式的改变，对评委提出了高要求。
各位评委不仅要事先对参赛选手的教学设计、教学设计说明和课堂实录进行仔细阅读、观摩，在现场还要聚精会神地观察选手的表现，根据参赛选手的预设和现场生成，做出评判，并给出点评。
本次活动的圆满成功，与各位评委的无私奉献、辛勤劳动直接相关，我代表组委会对各位评委的高度热情和负责精神表示衷心感谢。
“函数单调性”教学应处理好“三个矛盾”作者：杨兴军来源：《中学数学杂志(高中版)》2014年第06期章建跃博士指出：“高水平的教学设计要建立在如下三个基本点上：理解数学、理解学生、理解教学.其中，理解数学是指对数学的思想、方法及其精神的理解；理解学生是指对数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律；理解教学是指对数学教学规律、特点的理解.…三个理解‟是数学教师专业发展的基石.”数学教学过程总是充满了矛盾，如教与学的矛盾、学生认知特点与数学学科特点的矛盾、学生认知发展水平与数学教学内容的矛盾等.有矛盾才能有发展，其中，学生现有的知识基础、能力水平与教学要求之间的矛盾是数学教学的决定性动力.作为教师，应努力做到敏锐地发现、深刻地认识各种矛盾，进而在教学中科学合理地暴露、“创设”甚至“激化”矛盾，以帮助学生在解决矛盾的过程中发展自己的认知结构、提升自己的数学素养，这可以充分体现出教师的专业水平、教学能力与教学智慧.“函数的单调性”是反映函数变化规律的一个最基本的性质，是学生学习了函数概念后研究的第一个函数性质，也是学生在高中阶段遇到的第一个用数学符号语言刻画的概念，对学生进一步学习函数的其它性质具有示范和引领作用.本节课汇集了数学教学的诸多矛盾，如何在教学中处理好这些矛盾，特别是其中的主要矛盾，对每个数学教师都是一项极具挑战性的任务.笔者认为，“函数的单调性”教学，关键是要深刻认识、科学处理以下“三个矛盾”.1 “上升”、“下降”、“单调”等名词的数学意义与学生的生活理解之间的矛盾“函数的单调性”教学，通常是从现实生活入手——展示某地某天的气温变化图、举出生活中描述“升降”变化规律的成语（如蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏）并画出相应的函数图象等，然后让学生观察得到：函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，而在另一个区间内呈下降趋势，此时教师指出：函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质——单调性，接下来引导学生用自然语言进行描述，并体验单调性是函数的局部特征（教师可在此处提前介绍“增函数”、“减函数”、“单调区间”等名词）.这里，“上升”、“下降”、“单调”的数学意义与学生在日常生活中的理解有一定的“矛盾”：在生活中，若从A到B是“上升”，则从B到A就是“下降”，如同“上坡”“下坡”那样，仅仅考虑了铅垂方向；而在数学中，若x增大时y也随之增大，则称函数y=f（x）“上升”，若x增大时y随之减小，则称函数y=f（x）“下降”，是水平与铅垂这两个方向的“合成”.在生活中，“单调”是指“重复而缺少变化”；而在数学中，“单调”是指“随着自变量的增大，函数值始终增大或始终减小”，是不断变化的.对此，有些学生可能会因区分不清而产生错误理解.例如，对于函数y=x2（x≥0），有学生认为：x由小到大时，y是“上升”的，x由大到小时，y是“下降”的；又如，对于函数y=2，有学生认为它是“单调”的，理由是“y始终没有变化”.因此，在本节课的教学中，教师应明确地指导学生将数学名词与日常概念区分开：（1）对于同一段函数图象来说，在数学上它究竟是“上升”还是“下降”，应该是确定的，不能产生歧义.因此，我们选择x轴正方向作为参照，从左往右，沿着图象“策马前行”，函数图象的“上升”“下降”就有了统一的规则和统一的结论；（2）数学上的“单调”，其本身也含有“重复而缺少变化”的意味，但它不是指函数值始终保持不变，而是指函数在某个区间“上升”“下降”（或“增加”“减少”）具有不变的规律性，反映的是一种“变中的不变性”，当然也显得“单调”.2 学生已有的知识基础和认知习惯与新知学习的必要性之间的矛盾我们知道，“精确定量思维方式”是数学教育所能给予学生的最重要和最基本的数学素质，也是培养学生理性精神的最好体现.在高中阶段，“函数的单调性”定义之所以要进一步符号化（形式化），正是基于数学精确化、严谨性的要求.只有这样，学生才可以通过准确的计算进行推理论证，以保证结论的严密性，在此过程中逐渐培养并形成“算法的思维”.然而，学生在初中已经接触过一次、二次、反比例函数，对函数的单调性已经初步有了直观形象的认识：图象从左往右上升（y随x的增大而增大）是增函数，图象从左往右下降（y 随x的增大而减小）是减函数.他们会觉得这种定义通俗易懂、易于接受，用它解决函数的单调性问题时也没遇到过什么困难，进而产生疑问：为什么还要费尽周折地去学习符号化（形式化）定义呢？岂不是“多此一举”！学生一旦在心理上排斥新知，那么教与学的效果都将大打折扣，这是一个很重要的问题.因此，在学习抽象的定义之前，教师应针对性地设置“认知冲突”，以便让学生充分体验到学习新知的必要性，增强研究的兴趣和积极主动性.例如，可让学生依据函数单调性的图象特征或自然语言描述，尝试判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.由于学生对该函数的图象性质并不熟悉，因此无法判断函数图象呈现什么样的变化趋势，也难以根据函数解析式描述其变化规律.此时，学生就会自然意识到自己知识上的欠缺，认识到用精确的数学语言刻画定义的必要性，从而进入一种“愤悱状态”，产生较强劲的学习动力.3 学生现有的思维水平与函数单调性定义的思维要求之间的矛盾这是本节课教学的核心矛盾.刚进入高一的学生，其思维处于从经验型水平向理论型水平转变的阶段，仍然偏于简单化、直观化，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.函数单调性的定义，是数学概念形式化的典型案例，具有高度的抽象性.从“随着x增大，y也增大”这一自然语言转换到“对于某区间上任意的x1<；x2，有f（x1）<；f（x2）”这一数学符号语言，跳跃性较大，学生非常不习惯，特别是为什么要用“任意”二字，在区间上“任意”取两个大小不等的x1<；x2，通过比较f（x1）与f（x2）的大小来刻画函数的单调性，学生更是感到难以理解，容易产生思维障碍.为此，教师应精心设置一系列问题，让学生充分参与函数单调性定义的符号化过程，感悟数学的研究方法，积累基本的数学活动经验.首先，要紧紧抓住新旧知识间的内在联系，使得形式化定义是在文字语言描述的基础上自然“生长”出来的，而不是“天上掉下个林妹妹”.其次，对于单调性概念中“自变量不可能被穷尽”这一本质（也是难点），应及时唤醒学生已有经验，使他们自然想到用“任意”突破“无限”.最后，对于学生中出现的错误认识，应引导他们结合具体例子（最好是由学生自己举出）、分别用图形语言和文字语言进行辨析，以逐步形成对概念正确、全面而深刻的理解.以下是笔者施教这一环节时的具体设计：问题1 如何用符号化的数学语言来表述“当x增大时，函数值f（x）随之增大”？教师引导学生分析其中的关键词“增大”的含义及其符号表示，得出：增大，刻画的是一种相对性，说明第二个量比第一个量大，它是两个数值之间的大小比较.因此，可将x的第一个取值记为x1，第二个值记为x2，则将文字语言“当x增大时，函数值f（x）随之增大”用符号语言表示即为“当x1<；x2时，f（x1）<；f（x2）”.问题2 能否取满足x1<；x2的若干组具体数值，只要验证相应的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以断定函数f（x）的单调性？教师应尽量放手让学生思考讨论，若学生作肯定回答，则追问“为什么”；若学生作否定回答，则让其举出反例，以不断完善学生的认知结构，必要时教师应进行引导：以函数f（x）=x2（x∈R）为例，由于自变量x的取值“无限”，因此，不论验证多少次也无法穷尽.虽然当-1<；2<；3<；…时，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但这并不能保证f（x）=x2（x∈R）的图象从左往右始终“上升”.可见，具体验证是不可靠的.问题3 在此之前，你有没有遇到过“无法穷尽”的情况？当时是怎么处理的？教师引导学生回忆“子集”的证明方法：设A、B是两个无穷集合，要证明AB，逐一验证A中的每一个元素都属于B是不可能的，于是，为了突破“无限”这个障碍，就一般性地“任取”一个元素x∈A，只要能证明x∈B就行了.至此，学生不难理解，在函数f（x）的单调性中，x1、x2也应该是“任意”的.问题4 设区间D是函数f（x）的定义域I内的某个区间，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）来刻画函数f（x）在区间D上是增函数、减函数呢？学生尝试用数学符号语言表达单调增（减）函数的定义，师生共同修正.在此过程中，学生可能会有一定的模仿的成分，这也是一种内化的过程，对初学者来说是正常的，也是必要的.问题5 请你尝试利用上述定义判断函数y=x+1x在[1，+∞）内的单调性.这是对前述“遗留问题”的呼应，由学生尽量独立完成，教师可在“作差”、“变形”等关键环节适时予以指导，解决该问题后，师生共同概括出用定义证明函数单调性的一般步骤.显然，由之前的“不能”到现在的“能”，既加深了学生对定义的理解与掌握，也体现了定义的应用价值，学生从中可以获取成功的学习体验和心理上的满足感.问题6 判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）设函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），若取x1=0，且对于任意的x2>；0，都有f （x2）>；f（0），则f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；（2）下图是三个分段函数（定义域均为R）的图象，它们都是R上的增函数；（3）反比例函数y=1x的单调递减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）.这是利用变式教学和构造反例帮助学生继续对概念进行反思辨析、进一步理解概念的内涵和外延，特别是如何才能否定一个函数的单调性尤为重要，可以加深对“任意”二字的理解，逐步实现对概念本质意义的综合贯通.结语当前，MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，即“数学教学内容知识”）是数学教育研究的一个热点问题.如何发展数学教师的MPCK？途径之一就是致力于研究教学中的各种“矛盾”.一个数学教师，只有主动地对教学内容、学生特点等进行广泛而深入的独立思考，多反思、多质疑，才可能及时捕捉到其中的矛盾；只有对数学教育心理学等有着科学的理解并内化为自己的数学教育理念，才可能全面而深刻地剖析这些矛盾；只有遵循了数学教学规律，立足实践性反思与反思性实践，才可能创造性地处理好这些矛盾，不断地发现矛盾、分析矛盾与解决矛盾的过程，也正是教师自身的MPCK得以持续提升的过程.。
