一般曲面的方程和图形

一般曲面的方程和图形
一,曲面方程的概念 二,柱面方程与图形 三,旋转曲面方程与图形 四,锥面方程与图形
一,曲面方程的概念 z
在空间解析几何中,任何 在空间解析几何中 任何 曲面都看作点的几何轨迹. 曲面都看作点的几何轨迹
S
F ( x , y, z ) = 0
如果曲面 如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y , z ) = 0
. 球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 ),半径为R的球面方程
特别地 , 球心在原点时 , 方程为 x + y + z = R .
2 2 2 2
例2 求过点 ( 1,2,5) 且和三个坐标平面都相 切
的球面方程 .
解 根据题意可知该球面位 于第七卦限 . 设球面半径为 a . 则球心坐标为 ( a , a , a ).
π 两直线的夹角 两直线的夹角 α (0 < α < ) 2 叫做圆锥面的半顶角 .
α
设圆锥面的顶点在 设圆锥面的顶点在 坐标原点 O , 旋转轴为 z 轴, 半顶角为 α .
在 在 yOz 坐标面上, 直线 L 的 方程为 z = y cot α ,
z
α
M 1 (0, y1 , z1 ) M ( x, y, z )
C
设在 设在 yOz 坐标面上有一已知 曲线 C ,它的方程是 f ( y , z ) = 0,
把该曲线绕 把该曲线绕 z 轴旋转一周 , 得到一个以 z 轴为轴的旋转曲面 .
x
O
y
设 设 M 1 (0, y1 , z1 ) 为曲线 C 上任 一点, 那么有 f ( y1 , z1 ) = 0.
动直线 L 叫做柱面的母线 .
设柱面 设柱面 ∑ 的母线平行于 z 轴, 准线 C 是 xOy 面上的一 条曲线, 其方程为 F ( x , y ) = 0.
对空间中的点 M ( x , y , z ), 对空间中的点 如果其横坐标 x 和纵坐标 y
O
z
M( x, y, z)
y
M1 ( x, y,0)
化简可得
2 x 6 y + 2 z 7 = 0.
表示怎样的曲面? 例 方程 x2 + y2 = R2 表示怎样的曲面? 解 面上表示圆心在原点O, 方程 x2 + y2 = R2 在xOy面上表示圆心在原点 , 面上表示圆心在原点 半径为R的圆 的圆. 半径为 的圆. 在空间直角坐标 系中,此方程不含 , 系中,此方程不含z, 仅含x,y,故此方程: 仅含 ,故此方程:
2 2
曲线 C : f ( x , y ) = 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面 :
f ( x ,± y 2 + z 2 ) = 0.
曲线 C : f ( x , z ) = 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面 :
f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0. 其余依此类推. 其余依此类推
例6 (1) 解
x2 + y2 = R2.
表示母线平行于z 表示母线平行于z轴 的圆柱面, 的圆柱面,它的准线 平面上的圆: 是xOy平面上的圆: 平面上的圆
x2 + y2 = R2.
二,柱面方程与图形
平行于定直线并 平行于定直线并 沿 定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面叫做柱面 .
L
C
定曲线 C 叫做柱面的准线 ,
因为旋转轴为 z 轴,
将方程中的 y 改成 ± x + y ,
2 2
O
x
y
便得到圆锥面的方程
z = ± x 2 + y 2 cot α
或者
z 2 = a 2 ( x 2 + y 2 ),
其中 a = cot α .
�
z
M 1 (0, y1 , z1 )
当曲线 C 绕 z 轴旋转时,
点 M 1绕 z 轴转到另一点 M ( x , y , z ), 这时 z = z1 保持不变 ,
M
C
O
y
且点 M 到 z 轴的距离 d =
x 2 2 x + y = y1 .
将 z1 = z , y1 = ± x 2 + y 2 代入 f ( y1 , z1 ) = 0, 有 f ( ± x + y , z ) = 0.
旋转椭球面
x2 z2 ( 3) zOx 面上的双曲线 2 2 = 1 绕 z 轴旋转 . a b
解
z 不变, x → ± x + y
2
2
x2 + y2 z2 2 = 1 单叶旋转双曲面面 2 a b
x z (4) zOx 面上的双曲线 2 2 = 1 绕 x 轴旋转 . a b 解 z → ± y2 + z2 x 不变 ,
球面方程为 ( x + a )2 + ( y + a )2 + ( z + a )2 = a 2
将点( 1,2,5)代入球面方程后, 经整理得 a 8a + 15 = 0,
2
可解得 a = 3或a = 5.
球面方程为 ( x + 3) 2 + ( y + 3) 2 + ( y + 3) 2 = 3 2 或 ( x + 5) 2 + ( y + 5) 2 + ( y + 5) 2 = 5 2
2
2
x2 y2 + z2 =1 2 2 a b
双叶旋转双曲面面
x2 轴旋转, 把xOz面上的抛物线 2 = z 绕z轴旋转,所得曲面叫 面上的抛物线 轴旋转 a 做旋转抛物面 .
四,圆锥面方程与图形
直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周 , 所得 直线 旋转曲面叫做圆锥面 .
两直线的交点叫做 两直线的交点叫做 圆锥面 的顶点 .
2 2
此即所求旋转曲面的方程. 此即所求旋转曲面的方程
曲线 C : f ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面 :
f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0.
曲线 C : f ( y , z ) = 0 绕 y 轴旋转的旋转曲面 :
f ( y , ± x + z ) = 0.
平面 x z = 0.
母线平行于 y 轴, 准线是 xOz 面上的直线 x z = 0.
三,旋转曲面方程与图形
一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一 周所成的曲面叫做旋转曲面. 周所成的曲面叫做旋转曲面 z 旋转曲线叫做旋转曲面的母线, 旋转曲线叫做旋转曲面的母线 定直线叫做旋转曲面的轴. 定直线叫做旋转曲面的轴
o x
有下述关系 : (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足 方程; ( 2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足 方程,
y
那么 那么, 方程就叫做曲面 S 的方程 ,曲面 S 就叫做方 程的图形.
例1 设动点 M ( x , y , z ) 到定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 的距离
直平分面的方程 .
解 由题意可知 , 所求的平面就是与 A和B等距离
的点的几何轨迹 .
设 ( x , y , z ) 为所求平面上的任一点 , 由于 AM = BM ,
所以 ( x 1) 2 + ( y 2) 2 + ( z 3) 2 = ( x 2) 2 + ( y + 1) 2 + ( z 4) 2 ,
例3 方程x 2 + y 2 + z 2 2 x + 4 y = 0表示怎样的曲面 ? 解 通过配方 原方程可以改写成 通过配方,
( x 1)2 + ( y + 2)2 + z 2 = 5. 原方程表示球心在点 M 0 (1,2,0), 半径为 R = 5的球面.
例4 设有点 A(1,2,3) 和 B( 2,1,4), 求线段 AB 的垂
2
0
线为 xoy 面上的椭圆
-2 -1 0 1 2
-2
x2 y2 2 + 2 = 1. a b
抛物柱面
方程y=2px2称为母线平行于z轴的抛物柱面.
双曲柱面
y2 方程 b2 x2 a2 = 1称为母线平行于z轴的双曲柱面.
z
x y=0
O
z
xz=0
y
x
O
y
x
平面 x y = 0. 母线平行于 z 轴, 准线是 xOy 面上的直线 x y = 0.
C
x 满足方程 F ( x , y ) = 0, 则点 M 1 ( x , y ,0) 在准线 C 上,于
是点 M ( x , y , z ) 在过 M 1 的母线上,即 M 在柱面 ∑ 上.
反之 反之 , 对柱面 ∑ 上的任一点 M ( x , y , z ),它在 xOy 面上的垂足 M 1 ( x , y ,0) 在准线 C 上, 故点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y 满足方程 F ( x , y ) = 0.
为定长 R, 求动点 M 满足的曲面方程 .
解
根据题意有 M 0 M = R,
2 2 2
( 即 x x 0 ) + ( y y0 ) + ( z z 0 ) = R,
(x 所求方程为 所求方程为 x 0 ) + ( y y0 ) + ( z z 0 ) = R 2 .
2 2 2
yOz 面上的抛物线 y 2 = 2 pz 绕 z + y 2
x 2 + y 2 = 2 pz
( 2)
解
旋转抛物面
y2 z2 yOz 面上的椭圆 2 + 2 = 1 绕 y 轴旋转 . a b
y 不变,