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对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。
- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。
把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。
2. 对面积的曲面积分的计算方法。
- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。
- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。
- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。
- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。
- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。
第21章 曲线积分和曲面积分的计算 教学目的： 教学重点和难点：§1 第一类曲线积分的计算设函数(),,f x y z 在滑腻曲线l 上有概念且持续，l 的方程为()()()()0x x t y y t t t T z z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩则()()()(),,,,Tlt f x y z ds f x t y t z t =⎡⎣⎰⎰。
特别地，若是曲线l 为一条滑腻的平面曲线，它的方程为()y x ϕ=，()a x b≤≤，那么有((,) , ()blaf x y ds f x x ϕ=⎰⎰。
例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。
求22()l x y ds +⎰。
例：设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段，计算第一类曲线积分lyds ⎰。
例：计算积分2lx ds ⎰，其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。
例：求()lI x y ds =+⎰，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。
§2 第一类曲面积分的计算一 曲面的面积（1）设有一曲面块S ，它的方程为 (),z f x y =。
(),f x y 具有对x 和y 的持续偏导数，即此曲面是滑腻的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的。
则该曲面块的面积为xyS σ=。
（2）若曲面的方程为 ()()(),,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 令222u u u E x y z =++，u v u v u v F x x y y z z =++，222v v v G x y z =++，则该曲面块的面积为S ∑=。
例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
闭合曲面和非闭合曲面的求积分公式==================================在数学和物理学中，曲面上的积分问题是一个重要的研究领域。
曲面上的积分可以帮助我们计算曲面的重心、质心以及对流体力学和电磁学等领域中的一些问题进行求解。
本文将介绍闭合曲面和非闭合曲面的求积分公式，并探讨它们在实际问题中的应用。
闭合曲面的求积分公式---------------------1. 对于向量场的曲面积分对于向量场F(x, y, z)和曲面S，闭合曲面积分的公式为∬_S F*dS = ∬∬_D F(r(u, v))·(ru×rv)dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，dA为面积微元。
2. 对于标量场的曲面积分对于标量场f(x, y, z)和曲面S，闭合曲面积分的公式为∬_S f*dS = ∬∬_D f(r(u, v))·|ru×rv|dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，|r u×rv|为面积元素的模长。
非闭合曲面的求积分公式-----------------------1. 对于向量场的曲面积分对于向量场F(x, y, z)和曲面S，非闭合曲面积分的公式为∬_S F*dS = ∬∬_D F(r(u, v))·(ru×rv)dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，dA为面积微元。
2. 对于标量场的曲面积分对于标量场f(x, y, z)和曲面S，非闭合曲面积分的公式为∬_S f*dS = ∬∬_D f(r(u, v))·|ru×rv|dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，|ru×rv|为面积元素的模长。
第5讲 曲面积分一.第一型曲面积分的计算1(,,)lim (,,)niiiid i Sf x y z dS f Sξηζ→==∆∑⎰⎰1.曲面的面积设曲面S 的方程为：(,)z f x y = (,)xy x y D ∈.xyD S =⎰⎰若曲面方程为(,)x x y z =,将曲面投影到yOz 面上(投影域为yz D )yzD S =⎰⎰若曲面方程为(,)y y z x =,将曲面投影到zOx 面上(投影域为zx D )zxD S =例1 求球面2222x y z R ++=(0z ≥)介于平面(0)z h h R =<<和平面0z =之间部分的面积.2. 第一型曲面积分的计算设S 的方程为：(,)z z x y = (,)xy x y D ∈.(,,)(,,(,xySD f x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰若曲面方程为(,)x x y z =(,,)((,),,yzSD f x y z dS f x y z y z =⎰⎰⎰⎰若曲面方程为(,)y y z x =(,,)(,(,),zxSD f x y z dS f x y z x z =⎰⎰⎰⎰例1 计算SxzdS ⎰⎰,其中S 是锥面z =被圆柱面222(0)x y ax a +=>所截下部分.例2 计算SzdS ⎰⎰,其中S 是由圆柱面222x y R +=,平面0z =和z x R -=所围立体的表面.二、向量值函数在有向曲面上的积分 1、曲面的侧空间曲面方程：(,)(,)(,)(,,)0(,)(,)(,)(,)(,)(,)z z x y x y D x y F x y z y y z x z x D z x x x y z y z D y z =∈⎧⎪=⇔=∈⎨⎪=∈⎩任一点处的法向量(,,)x y z n F F F =在光滑曲面S 上取一定点0M ，则曲面S 在点0M 处的单位法向量有两个方向，选取其中的一个方向作为曲面S 在点0M 处的单位法向量，记为0n .双侧曲面：S 上的动点M 从点0M 出发,在曲面S 上连续移动而不超过S 的边界回到0M 时,其单位法向量与出发前的0n 相同。
曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是数学中重要的概念，在物理学和工程学等领域也有广泛的应用。
本文将以生动、全面和有指导意义的方式介绍曲线积分和曲面积分的公式及其应用。
首先，我们来介绍曲线积分。
曲线积分是沿一个曲线对矢量场进行积分运算的方法。
它可以用于求解电流的环流、质点的环量以及力场中的功等问题。
曲线积分的公式是：∮C F·dr = ∫ab F(r(t))⋅r'(t) dt其中，∮C表示沿曲线C的积分，F是一个矢量场，r(t)是曲线C上的参数化表示，ab是曲线C上的取点区间。
r'(t)是r关于t的导数，表示曲线C的切向量。
这个公式用于计算矢量场F沿曲线C的积分。
曲线积分的计算方法是首先确定曲线C的参数化表示r(t)，然后计算矢量场F在曲线C上的取点区间ab的取值并代入公式中进行积分运算。
最后得到曲线C上的积分值。
举个例子来说明曲线积分的应用。
假设有一个力场F(x, y) = (y, x)，现在我们需要计算力场F沿曲线C的积分。
曲线C是一个由点A(0, 0)到点B(1, 1)的直线段。
我们可以将这条曲线表示为r(t) = (t, t)，其中t的取值范围是0到1。
根据曲线积分的公式，把r(t)代入公式中得到：∫0^1 (t, t)⋅(1, 1) dt = ∫0^1 2t dt = [t^2]0^1 = 1因此，力场F沿曲线C的积分结果为1。
接下来，我们来介绍曲面积分。
曲面积分是对标量场或矢量场在曲面上的积分运算。
它可以用于求解电场的通量、热传导的通量以及流体力学中的流量等问题。
曲面积分的公式有两种情况。
对于标量场的曲面积分，公式如下：∬S f dS = ∫∫S f(r(u, v)) |ru × rv| dudv其中，∬S表示对曲面S的积分，f是一个标量场，r(u, v)是曲面S上的参数化表示，ru和rv是r关于u和v的偏导数，ru × rv 表示曲面S的法向量，|ru × rv|是它的模。
对面积的曲面积分的计算方法(一)对面积的曲面积分的计算方法曲面积分是对曲面上的某个物理量的积分，计算曲面积分需要对曲面进行参数化，然后将积分变为对参数的积分。
针对计算对面积的曲面积分，需要注意以下几个方面。
曲面的参数化首先需要对曲面进行参数化，将曲面表示为一个参数方程，这样才能进行对参数的积分。
对于一个光滑曲面，可以采用以下方法进行参数化。
•隐式参数化：将曲面方程化为F(x,y,z)=0的形式，然后通过某些手段解得一个参数方程。
•显式参数化：即直接给出x,y,z三个自变量的函数表达式。
参数变换曲面积分需要对参数的积分，而参数变换可以将曲面积分转化为对一个标准区域D的积分，即曲面上的每一个点都与标准区域D上的一个点对应。
这样可以帮助我们更容易地对参数进行积分。
曲面积分的计算公式对于面积元素dσ，面积分的计算公式如下：∬fS (x,y,z)dσ=∬fD(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|n|dudv其中|n|表示n向量在(x,y,z)点的模长，也即面积元素dσ的面积大小。
实例演示以球体 x 2+y 2+z 2=R 2 为例，设 f (x,y,z )=z ，现计算 f 在球体上的曲面积分。
首先可以把球体用下面的参数方程表示出来：{x =Rsinϕcosθy =Rsinϕsinθz =Rcosϕ然后可以计算出 dσ 及其对应的模长：dσ=R 2sinϕdϕdθ|n |=√(∂x ∂u ×∂x ∂v )2+(∂y ∂u ×∂y ∂v )2+(∂z ∂u ×∂z ∂v)2=√2Rsinϕ 所以曲面积分可以写成：∬z S dσ=∫∫(Rcosϕ)π02π0⋅(R 2sinϕ)dϕdθ=0 因此，f 在球体上的曲面积分等于 0。
综上，对面积的曲面积分的计算方法需要进行曲面的参数化、参数变换和计算公式的应用。
掌握这些知识，可以更好地解决曲面积分的问题。
注意事项在计算曲面积分的过程中，需要注意以下几个方面：• 对于面积元素 dσ，需要注意其符号，在计算曲面积分时要与曲面的法向量 n 的方向一致。
曲线积分与曲面积分计算曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，用于计算沿曲线的路径或曲面上的某个向量场的总体效应。
本文将介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用领域。
一、曲线积分曲线积分是计算沿曲线的路径的某个向量场的总体效应的方法。
当我们想要计算曲线上的某个物理量时，曲线积分可以提供有效的工具。
下面以一个简单的例子来说明曲线积分的计算方法。
设有一条光滑曲线C，其参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b。
在曲线C上有一个向量场F=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，我们想要计算该向量场沿曲线C的积分。
曲线积分的计算方法为∫CF·dr，其中CF=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))·(dx, dy, dz)。
由此可知，曲线积分等于向量场F与路径元素的内积，再对路径元素求累积。
在具体计算中，我们可以先求得路径元素dx, dy, dz，再分别与向量场F的各个分量进行乘法运算，最后求和即可得到曲线积分的结果。
二、曲面积分曲面积分是计算曲面上的某个向量场的总体效应的方法。
与曲线积分类似，曲面积分也可以用于计算物理量在曲面上的分布情况。
下面以一个简单的例子来说明曲面积分的计算方法。
设有一个光滑曲面S，其参数方程为r(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中(a≤u≤b, c≤v≤d)。
在曲面S上有一个向量场F=(P(x, y, z), Q(x, y, z),R(x, y, z))，我们想要计算该向量场在曲面S上的积分。
曲面积分的计算方法为∬SF·dS，其中SF=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))·(dSx, dSy, dSz)。
由此可知，曲面积分等于向量场F与曲面元素的内积，再对曲面元素求累积。
