曲面积分精解

1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k ) ( k ) x y
f(x,y,z)dS
f(k,k,z(k,k))
1 z x 2 (k ,k ) z y 2 (k ,k )( k ) x y
f(k,k,z(k,k))
定理 设有光滑曲面
z
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
O
y
f(x,y,z)dS存在, 且有
x Dxy
(k)xy (k,k,k)
f(x,y, Dxy
证明 由定义知
)
n
lim
0 k 1
而
(k)x y 1 zx 2 (x ,y ) zy2 (x ,y )d x d y
用球面坐标
zRcos
dSR2sindd
R3
2πd
π
2sincosd
0
0
R 2πd
π
2sind
0
0
思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?
例5 计算
z22(xyz).
其中 是球面 x2 y2
解 显然球心为 (1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
z
1
计算 I f(x,y,z)dS.
x Dxy y
解 锥面 z x2y2与上半球面 z a2x2y2的
交线为Βιβλιοθήκη 设1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的
投影域为 D x y (x ,y )x 2 y 2 1 2 a 2 ,则
I (x2y2)dS 1

O
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).

曲面积分的定义和计算方法曲面积分是多变量微积分中的重要概念，用于计算曲面上的物理量或表示某一场量穿过曲面的总量。

它在物理学、工程学、计算机图形学等领域具有广泛的应用。

本文将介绍曲面积分的定义和计算方法。

一、曲面积分的定义曲面积分可以理解为将一个二元函数在曲面上的各个点上的取值进行累积的过程。

设曲面S是一个光滑曲面，可以表示为z=f(x,y)，其中f(x,y)是定义在S上的连续函数。

曲面积分的定义如下：∬F·dS = ∬f(x,y)·dS其中，F=(P,Q,R)是定义在曲面S上的向量场，dS表示曲面元素的面积。

曲面积分的结果是一个标量，表示向量场F穿过曲面S的总量。

二、曲面积分的计算方法1. 参数化方法参数化方法是计算曲面积分的常用方法之一。

当曲面S可以由参数方程表示时，可以通过将参数方程代入曲面积分的定义进行计算。

设曲面S由参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，(u,v)∈D表示，其中D为(u,v)平面上的闭区域。

曲面元素dS的面积可以表示为：dS = ∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥ dudv其中，∂r/∂u和∂r/∂v分别为参数方程x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)对u和v的偏导数，×表示向量的叉乘，∥∥表示向量的模。

根据曲面积分的定义，曲面积分可以表示为：∬F·dS = ∬f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) · (∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥ dudv)2. 投影法投影法是一种简化计算的方法，适用于曲面S与坐标平面之间存在投影关系的情况。

我们可以将曲面S在某一坐标平面上投影，然后计算投影面上的曲线积分。

设曲面S的投影在xy平面上的投影为D，f(x,y,z)为定义在曲面S 上的连续函数。

曲面积分可以表示为：∬F·dS = ∬f(x,y,z) · dS= ∬f(x,y,z) ·∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥ dudv= ∬[f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ·∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥] dudv= ∫∫[f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) · ∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥] du dv其中，[f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ·∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥]是曲线积分的被积函数。

曲面积分计算技巧(一)曲面积分计算技巧•曲面积分是多元函数积分的重要内容之一，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍曲面积分的各种计算技巧。

一、曲面积分的定义•曲面积分是对曲面上的某个量进行积分的一种数学操作。

它可以看作是对曲面上的函数在曲面上的投影进行积分的过程。

二、曲面积分的计算方法1.参数化曲面–曲面积分的第一步是将曲面参数化。

参数化是找到一个映射，将曲面上的点映射到一个参数域上。

2.计算曲面积分1.第一类曲面积分•第一类曲面积分是对曲面上的标量函数进行积分。

我们可以使用参数化曲面的方法将其转化为对参数域上的函数进行积分。

2.第二类曲面积分•第二类曲面积分是对曲面上的向量函数进行积分。

它的计算方法是将曲面分成小面元，然后求每个面元上的积分再求和。

三、曲面积分的技巧1.选择合适的参数化–在计算曲面积分时，选择合适的参数化是非常重要的。

一个好的参数化可以简化计算过程，提高计算效率。

2.利用对称性简化计算–如果曲面具有某种对称性，可以利用对称性简化曲面积分的计算过程。

3.使用曲面积分的性质–曲面积分具有一些性质，如线性性质、积分过程与参数化无关等。

我们可以灵活运用这些性质来简化计算。

4.应用变换减少计算复杂度–在某些情况下，可以通过对曲面进行变换，将复杂的曲面积分转化为更简单的形式，进而简化计算过程。

四、曲面积分的应用领域•曲面积分在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着丰富的应用。

例如，曲面积分可用于计算物体的体积、质量、重心位置等。

五、结论•曲面积分是一种重要的数学工具，在实际应用中有着广泛的应用。

掌握曲面积分的计算技巧和应用领域，对于从事相关领域的专业人士来说是非常必要的。

希望本文能够对读者加深对曲面积分的理解和应用提供一些帮助。

六、参考文献•[1] Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Boston, MA: Cengage Learning.•[2] Marsden, J. E., & Tromba, A. J. (2011).Vector calculus. New York, NY: Freeman and Company.•[3] Oprea, J. (2018). Differential geometry and its applications. Providence, RI: AmericanMathematical Society.•[4] Adams, C. J., Essex, C., & Martin, C.(2015). Calculus: A Complete Course. Boston, MA: PearsonEducation.•[5] Weisstein, E. W. Surface Integral. From MathWorld–A Wolfram Web Resource.以上是一些相关的参考文献，如果你对曲面积分有更深入的兴趣，可以参考这些文献进一步学习。

| xyz| dS 4 xyzdS d S 1 (2 x )2 (2 y )2 d x d y
1
4 xy (x2 y2) 1(2x)2(2y)2d xd y
D x y
42d1r2co ssinr21 4 r2rd r 00
极 坐 标
22sin2d1r5 14r2dr
0
0
u
(3) 若曲面 ：xx(y,z)
则 f(x,y,z)dS f [x(y,z), y, z] 1x2 yxz2dydz D yz
对面积的曲面积分
计算面积的曲面积分的解题步骤：
1、应根据曲面Σ选好投影面. 2、确定投影域并写出 曲面Σ的显函数形式,
并算出曲面面积元素dS.
3、将曲面方程代入被积函数,化为二 重积分进行计算.
Dxy
对面积的曲面积分
补充
设分片光滑的 曲面Σ关于yOz面对称,则
f(x, y,z)dS
0,
当f(x,y,z)为x的奇函数
2f(x,y,z)dS.
当f(x,y,z)为x的偶函数
1
其中 1 :x x (y ,z ) 0 .
对面积的曲面积分
例 计算 |xy|zdS,
其为 中抛 zx 2物 y2 (0 面 z 1 ).
1 5 u(u1)2du 125 51
41
4
420
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,
平 z 面 x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
z
z
z
O
x
y
O
x
y
O
x
y
对面积的曲面积分
例 计算xdS, 其中 是圆x2柱 y2面 1,

曲面积分总结曲面积分有第一型曲面积分和第二型曲面积分。

第一型曲面积分的实际意义是空间物质曲面的质量，第二型曲面积分的实际意义是流速场中沿某曲面某一侧的流量。

一、第一型曲面积分1、引例：设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在xoy 平面上的投影区域为D , 物质曲面的密度函数为),,(z y x f ，则S 的质量为⎰⎰=Sds z y x f m ),,(.此种积分称为第一型曲面积分。

2计算方法定理1、设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在x o y 平面上的投影区域为D , ),,(z y x f 在S 上连续，则⎰⎰⎰⎰++=D y x S dxdy z z y x z y x f ds z y x f 221)),(,,(),,(。

二、第二型曲面积分1、引例：设有流速场)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P F = ，在此场中有一双侧光滑曲面S ，指定一侧为正侧，则通过此曲面的流量为 ⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(。

这种形式的积分称为第二型曲面积分。

上述积分上是三个积分的和⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(⎰⎰=S dydz z y x P ),,(⎰⎰+S dxdz z y x Q ),,(⎰⎰+Sdxdy z y x R ),,(2、计算方法设函数),,(z y x R 在光滑曲面S ：),(y x z z =，D y x ∈),(, 上连续，则 ⎰⎰⎰⎰±=DS dxdy y x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(。

当曲面S 的正侧法线方向与z 轴成锐角时取正号，成钝角时取负号。

也就是说，曲面上侧为正侧时取正号，曲面下侧为正侧时取负号。

曲面积分的计算方法曲面积分是向量场在曲面上的积分，它在物理、工程、数学等领域有着广泛的应用。

在实际问题中，我们常常需要计算曲面上某个物理量的总量，而曲面积分就是用来描述这种总量的。

本文将介绍曲面积分的计算方法，包括参数化曲面、曲面积分的定义和计算公式等内容。

首先，我们来介绍曲面的参数化。

对于一个曲面S，我们可以用参数方程来描述它。

通常情况下，我们可以用两个参数u和v来表示曲面上的任意一点，即P(u, v)。

通过参数方程，我们可以将曲面S上的点表示为P(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中x(u, v)、y(u, v)、z(u, v)分别是u和v的函数。

这样，曲面S就被参数化了。

接下来，我们来介绍曲面积分的定义。

设F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))是定义在曲面S上的向量场，曲面积分的定义如下：∬S F·dS = ∬S (P·n)dS + ∬S (Q·n)dS + ∬S (R·n)dS。

其中n是曲面S在点P(u, v)处的单位法向量，dS表示曲面S上的面积元素。

上式右边的三个积分分别表示F在曲面S上的法向分量P、Q、R与dS的点积之和。

这就是曲面积分的定义。

然后，我们来介绍曲面积分的计算公式。

对于参数化曲面S，曲面积分可以表示为：∬S F·dS = ∬D F(x(u, v), y(u, v), z(u, v))·|ru ×rv|dudv。

其中D是参数空间的投影区域，ru和rv分别是曲面S对参数u和v的偏导数，|ru × rv|表示它们的叉乘的模长。

上式右边的积分表示在参数空间D上对F(x(u, v), y(u, v), z(u, v))·|ru × rv|进行积分。

这就是曲面积分的计算公式。

最后，我们来举一个例子来说明曲面积分的计算方法。

)
（1）确定 的方程: z z(x, y);
（2）确定在xoy 面上的投影区域 Dx y
（3）将曲面方程 z z(x, y) 及
dS
1
zx2
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)
d
xd
y
代入 f (x, y, z) d S中即可。 一投、二代、三换
说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
1
z
2 x
z
2 y
d
xd
y
2d xd y,
Dx2y {( x, y) | x2 y2 1}, xdS x 2d xd y 0,
2
Dx2 y
例5. 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
f (x, y, z) d S f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 d y d z
或
Dyz
y y(x, z), (x, z) Dxz
f (x, y, z) d S f [x, y(x, z), z] 1 yx2 yz2 d x d z
Dxz
2）若 是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
: x2 y2 z2 a2
2
d
1 2
2a
0
0
a r 2 r dr a2 r2
1 a4 (8 5
6
2)
思考: 若例3 中被积函数改为
计算结果如何 ?
例4. 计算| xyz | d S 为抛物面 z x2 y2（ 0 z 1）.

对坐标的曲面积分的计算方法(一)对坐标的曲面积分的计算方法1. 引言曲面积分是微积分中的一种重要计算方法，用来求解三维空间中曲面上的某种量的总量。

其中，对坐标的曲面积分是其中一种常见的计算方法。

本文将详细介绍对坐标的曲面积分的计算方法。

2. 曲面积分的定义对坐标的曲面积分是指将一个函数在曲面上的每一点上的值乘以一个微小面积后进行累加得到的总量。

数学上，对坐标的曲面积分的公式如下：[曲面积分公式](其中，[f(x, y, z)]( 是定义在曲面上的函数，[dS]( 表示微小面积。

3. 计算方法对坐标的曲面积分的计算方法可以分为以下几种：3.1 参数化曲面法参数化曲面法是最常用的计算方法之一。

它将曲面上的点表示为二维参数域上的点，然后通过将参数域上的点映射到三维空间，从而得到曲面上的点坐标。

根据参数化曲面的定义，可以将对坐标的曲面积分转化为对参数域上的曲面积分的计算。

3.2 曲面积分的直接计算法对于某些特定的曲面，可以直接计算对坐标的曲面积分。

例如，球面、平面等特殊曲面具有简单的几何形状，可以直接进行计算。

3.3 曲面积分的换元计算法曲面积分的换元计算法是通过选择适当的变量替换来简化计算。

例如，对于某些问题，可以通过使用球坐标、柱坐标或其他坐标系来简化计算。

3.4 曲面积分的参数消去法对于某些特殊的曲面，可以通过参数消去法来简化计算。

参数消去法通过选择适当的参数变换，将曲面的方程转化为简化形式，从而简化对坐标的曲面积分的计算。

4. 结论对坐标的曲面积分的计算方法有很多种，可以根据具体的曲面和问题选择合适的方法。

参数化曲面法、直接计算法、换元计算法和参数消去法都是常用的计算方法。

在实际应用中，需要根据具体情况灵活选择合适的方法来求解对坐标的曲面积分。

以上是对坐标的曲面积分的计算方法的一些简要介绍，希望对读者有所帮助。

（以上内容仅供参考，具体计算方法以教材和相关资料为准。

）5. 参数化曲面法详解参数化曲面法是计算对坐标的曲面积分最常用的方法之一，下面将详细介绍该方法的步骤：5.1 确定参数域首先，需要确定参数域，即一个二维参数空间。

第四节 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分． 一 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体，在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,，求此物体的质量． 求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =)，其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =)，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度．于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ．总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =)，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,．即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ．其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．二 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定，曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ，函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数（即曲面∑是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1． 设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆，则i S ∆可以表示为下面的二重积分：()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点，()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点，所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=，从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22． 这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=，曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ；3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16 计算曲面积分dSz ∑⎰⎰，其中曲面∑是由平面()a h h z <<=0截球面 2222a z y x =++的顶部．图13-16 解： 曲面∑的方程为222y x a z --=，它在坐标面xoy 上的投影为圆形的闭区域：2222h a y x -≤+．222221yx a a z z y x --=++，所以dS z ∑⎰⎰＝222xyD adxdy a x y --⎰⎰ 利用极坐标计算上面的积分，得到()2222222220022012ln 2ln2xya h D a h dS ardrd ardrd d z a r a r aa a r a hπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17 计算曲面积分()⎰⎰∑++21y x dS，其中曲面∑是由平面1=++z y x 以及三个坐标面所围成的四面体的表面．图13-17解：如上图，曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成，其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ，0,0,0===z y x 上的部分．()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS；()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS；()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS；()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS． 所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节 对坐标的曲面积分一 对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明． 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向n ，当点P 在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量n 也随着连续变动，这种连续变动又回到P 时，法线向量n 总是不改变方向，则称曲面∑是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=，如果z 轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面()y x z z ,=，若取定的法向量n 是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量n 是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面． 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v ，又设n 是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ，斜高为||v 的斜柱体，其体积即流量为n v A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量．对于一般的曲面∑，我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑，在∑是光滑的和v 是连续的前提下，只要i ∆∑的直径很小，我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速，以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量，从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=，（i S ∆为i ∆∑的面积） 于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ；()zx i i i S S ∆=∆βcos ；()xy i i i S S ∆=∆λcos ．因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时，上面和的极限就是流量Φ的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义． 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ．类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下：()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ；()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ．在应用中通常是上面三种积分的和，即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．如果∑是有向封闭曲面，通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，并规定取曲面的外侧．4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法 下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角，曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值．若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．如果积分曲面取∑的下侧，那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值，从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．类似地，如曲面∑由方程()z y x x ,=给出，则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰；等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号． 简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算． 例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ，其中∑是半球面1222=++z y x ，0≥z 的上侧．解：球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x n =，速度},,{z y x v =，所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分．解：将曲面∑分为21,∑∑两部分，1∑的方程为2211y x z ---=；2∑的方程为2221y x z --=．2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节 两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出，∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ，函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数，()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。

曲面积分与高斯定理曲面积分与高斯定理是微积分学中的重要概念和定理，它们在物理学、工程学以及其他领域的应用非常广泛。

本文将介绍曲面积分和高斯定理的基本概念和原理，并探讨它们在实际应用中的重要性。

一、曲面积分曲面积分是对向量场在曲面上进行积分的一种方法。

它的计算方法与一元函数的定积分类似，可以通过将曲面分割成小面元，并将每个小面元上的贡献相加来求得曲面积分的值。

对于一个曲面S，可以用参数方程表示为r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，其中u和v分别为参数。

曲面积分可以表示为：∬S F·dS其中F=(P,Q,R)为三维向量场，dS为曲面元素。

曲面元素dS的计算方法可以通过对曲面的参数方程分别求导得到。

曲面积分具有重要的物理意义，比如可以用来计算电场通过一个闭合曲面的总通量，或者计算流体通过一个曲面的总流量等。

二、高斯定理高斯定理是曲面积分的一个重要定理，它建立了曲面积分与体积分之间的联系。

高斯定理也被称为“散度定理”。

高斯定理的表述如下：对于一个闭合曲面S，它围绕着一个有限的空间区域V。

如果三维向量场F在这个区域内具有连续的偏导数，那么有：∬S F·dS = ∭V ∇·F dV其中∇·F为向量场F的散度，dV为体积元素。

高斯定理的意义是将曲面积分转化为体积分，从而简化了计算。

通过高斯定理，我们可以将复杂的曲面积分问题转化为更容易处理的体积分问题，大大提高了计算效率。

三、应用举例曲面积分和高斯定理在物理学和工程学中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用举例：1. 电场和电荷分布：高斯定理可以帮助我们计算电场通过一个闭合曲面的总通量，从而得出闭合曲面内的电荷总量。

这在电磁学和电路设计中具有重要的意义。

2. 流体力学：曲面积分可以用来计算流体通过一个曲面的总流量，从而帮助我们分析流体在管道、河流等环境中的运动规律。

这对于水利工程和航空航天工程等领域非常重要。

高考数学冲刺复习曲面积分考点速记在高考数学的复习征程中，曲面积分犹如一座峻峭的山峰，令不少同学望而生畏。

然而，只要我们掌握了正确的方法和要点，这座山峰并非不可逾越。

接下来，让我们一起深入探讨曲面积分这个重要考点，为高考冲刺做好充分准备。

一、曲面积分的基本概念曲面积分包括第一型曲面积分和第二型曲面积分。

第一型曲面积分，也称为对面积的曲面积分，它是与曲面的面积有关的积分。

如果有一个曲面Σ，函数 f(x,y,z) 在Σ 上有定义，那么第一型曲面积分就可以表示为：∫∫Σ f(x,y,z) dS 。

这里的 dS 表示曲面Σ 上的面积元素。

第二型曲面积分，也称为对坐标的曲面积分，它与曲面的侧有关。

比如，设有有向曲面Σ，函数 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 在Σ 所围成的空间闭区域Ω 上具有一阶连续偏导数，那么第二型曲面积分可以表示为：∫∫Σ P(x,y,z) dydz ＋ Q(x,y,z) dzdx ＋ R(x,y,z) dxdy 。

二、曲面积分的计算方法1、第一型曲面积分的计算通常需要将其转化为二重积分来计算。

首先要把曲面Σ 用参数方程表示出来，比如Σ：x ＝ x(u,v)，y ＝ y(u,v)，z ＝ z(u,v) ，（u,v)∈D ，然后计算出曲面的面积元素 dS ，再将函数 f(x,y,z) 代入，最后转化为在区域 D 上的二重积分进行计算。

2、第二型曲面积分的计算计算第二型曲面积分需要注意曲面的侧。

对于封闭曲面，一般使用高斯公式来计算；对于非封闭曲面，需要添加辅助面使其成为封闭曲面，再用高斯公式，最后减去辅助面上的积分。

以计算∫∫Σ P(x,y,z) dydz 为例，假设Σ 的方程为 z ＝ z(x,y) ，（x,y)∈D ，则将其转化为二重积分：∫∫D P(x,y,z(x,y)）（∂z/∂x) dxdy 。

三、曲面积分的应用1、计算曲面的面积通过第一型曲面积分可以直接计算曲面的面积。

曲面积分的计算方法
曲面积分是对曲面上某个量的积分，常用于物理学、工程学和数学等领域的问题求解。

计算曲面积分的方法包括两类：对面积元素的积分和对参数的积分。

方法一：对面积元素的积分
1. 将曲面划分为小面元，每个面元的面积为ΔS。

2. 在每个面元上选择一个点P，计算该点上的量F的值。

3. 计算量F在每个面元上的微元积分dΦ=F(P)ΔS。

4. 对所有面元上的微元积分进行求和，即可得到曲面积分的近似值。

方法二：对参数的积分
1. 将曲面用参数方程表示，即将曲面上的点P(x,y,z)表示为参数u和v的函数：P(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))。

2. 计算参数u和v的范围，并确定积分的积分区域D。

3. 计算向量积dS=|∂P/∂u × ∂P/∂v|dudv，其中∂P/∂u和∂P/∂v分别表示参数u和v对应的偏导数。

4. 将量F用参数表示，即F(P(x,y,z))=F(x(u,v),y(u,v),z(u,v))。

5. 计算量F在参数区域D上的积分：∬F(P)dS =
∫∫F(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|∂P/∂u × ∂P/∂v|dudv。

这两种方法都可以用于计算曲面积分，根据具体的问题选用合适的方法。

需注意，在计算中要注意曲面的参数化表示和确定积分区域，以及正确计算面积元素或微元积分。

p
1 0 0
闭曲面外侧． 解：对第一个积分可以用高斯公式，即
is
1 ， 4
2
2 2
Ò òò
S
xy z 2 dxdy + x y 2 zdydz ，其中 S 为由曲面 z = x 2 + y 2 与平面 z = 1 所围成的
x 2 + y 2 £1 x ³ 0, y ³ 0
对于第二个积分不能用高斯公式，因为 x y z = P 在 x = 0 处偏导数不存在，只能投影，将 曲面 S 分成两块， S1 z = 1, x + y £ 1 上侧， S 2：z = x + y , 0 £ z £ 1 下侧， 因为 z = 1 垂直于 yoz 平面，所以 对于积分
第二类曲面积分计算、高斯公式
p 1 a4 = - [2p a 4 + 4p òp cos j sin j dj ] + ap a 2 a 4 2
p 3 p a + p a3 = - a3 ． 2 2 方法 2：投影法：曲面 S 投影到 yoz 平面上应分成前后两块，即
= -2p a 3 +
S前：x = a 2 - x 2 - y 2 ü ï ý 2 2 2 S后：x = - a - x - y ï þ
=
，
cos g =
2z 4x + 4 y + 4z
2 2 2
=
z x + y2 + z2
2
所以
例 4． 计算
I1 = òò xy z 2 dxdy = òòò xy
S W
= 2 òòò xy zdv = 8òòò xyzdv
W W1
nR
1 x +y

D x y f( x ,y ,z ( x ,y ) )1 z x 2 ( x ,y ) z y 2 ( x ,y ) d x d y
5
例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
D xy:x2y2a2h2 1zx2 z2y
h o
D x y ay x
dS z
adxdy
2
Dxy a2x2y2 a 0 d
z H
z dz
o
y
x
11
课堂练习、复习
3.计算三重 I积 (x2分 y2)dxdydz， 由 x2y2z2和 za
围成。请考角 察坐 ：标 利系 用先 直一 二后 后 , 柱 二 一面 、 坐标系，球面坐标系。
12
§2 第二型曲面积分(对坐标的曲面积分)
一、曲面的侧及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四*、两类曲面积分的联系
32
一、高斯 ( Gauss ) 公式
推广
Green 公式
Gauss 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲
面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在
上有连续的一阶偏导数 , 则有
P d yd z Q d zd x R d xd y (Gauss 公式)
下面先证: RzdxdydzRdxdy
的外侧 , 计算
I S2xcdoysd2 zx
解: 利用轮换对称性, 有
dxd y z cos2 z
S
2d xd z cos2
y z
,
Scdzod2sxySdcxod2syz0
I
S

曲面积分的计算计算曲面积分是微积分中的一个重要概念，它用于求解曲面上某个标量或向量场的总量。

本文将介绍曲面积分的概念、计算方法以及相关的应用。

一、曲面积分的概念曲面积分是对曲面上某个标量或向量场进行积分的过程。

在三维空间中，一个曲面可以表示为参数方程形式：S：{x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v)}, 其中(u,v)为某个参数域。

对于一个标量场f(x,y,z)而言，曲面积分的定义可以表示为：∬S f(x,y,z) dS在这个式子中，dS表示曲面元素，它是曲面上某点的面积和法向量的乘积。

曲面积分实际上就是将标量场在整个曲面上的取值进行加总。

对于一个向量场F(x,y,z)而言，曲面积分的定义为：∬S F·n dS其中F·n表示向量场F与曲面的法向量n的点积，dS表示曲面元素。

曲面积分实际上就是将向量场在整个曲面上的投影进行加总。

二、曲面积分的计算方法曲面积分的计算方法有多种，下面将介绍常用的两种方法：参数化和面积微元法。

1. 参数化法参数化法是根据曲面的参数方程对曲面上的点进行参数化，然后将曲面积分转化为参数域上的二重积分。

具体步骤如下：1.1 确定参数域D：确定参数方程中参数u和v的取值范围，得到参数域D。

1.2 求曲面元素和法向量：通过计算参数方程的偏导数得到曲面元素dS和法向量n。

1.3 转化为二重积分：将曲面积分的积分区域由曲面上转化为参数域上，得到在参数域上的积分表达式。

1.4 计算二重积分：利用二重积分的计算方法，计算积分的结果。

2. 面积微元法面积微元法是根据面积微元的性质对曲面进行离散化，将整个曲面分割为许多微小的面元，然后通过面积微元的近似求和来逼近曲面积分的值。

具体步骤如下：2.1 分割曲面：将曲面分割为许多微小的面元，可以采用三角形、四边形等形状进行分割。

2.2 计算面元面积：根据面元的几何形状计算面元的面积。

2.3 计算面元的法向量：对于每个面元，计算其法向量。

曲面积分（小结）1、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：∑⎰⎰=→∑∆=ni i i i i S f dS z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ ①第一类曲面积分（对面积的曲面积分）计算----化为二重积分： (1)若将曲面∑向xoy 面投影，投影域为xy D ，:(,)z z x y ∑=，则.),(),(1)],(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f(2)若将曲面∑向yoz 面投影，投影域为yz D ，:(,)x x y z ∑=，则(,,)((,),,yzD f x y z dS f x y z y z ∑=⎰⎰⎰⎰；(3)若将曲面∑向xoz 面投影，投影域为xz D ，:(,)y y x z ∑=，则(,,)(,(,),xzD f x y z dS f x y x z z ∑=⎰⎰⎰⎰.注：将曲面∑向哪个坐标面投影是需要选定的，要求：①∑的投影面积不能为0（即投影不能是直线或曲线）；（例如书P125，习题9-4：4（4））②对∑尽量少分块。

（例如书P125，习题9-4：4（1）） ②几何意义：当(,,)1f x y z =时，(,,)f x y z dS dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰表示积分曲面∑的面积；③奇偶对称性：当曲线∑所围成的空间区域关于xoz 面对称，则12(,,), (,,)(,,);(,,)0, (,,)(,,) .f x y z dS f x y z f x y z f x y z dS f x y z f x y z ∑∑⎧-=⎪=⎨⎪-=-⎩⎰⎰⎰⎰其中1∑是∑在xoz 面右侧的部分：{}1(,,)0x y z y ∑=∈∑≥； 当曲线∑所围成的空间区域关于xoy 面对称，则22(,,), (,,)(,,);(,,)0, (,,)(,,) .f x y z dS f x y z f x y z f x y z dS f x y z f x y z ∑∑⎧-=⎪=⎨⎪-=-⎩⎰⎰⎰⎰其中2∑是∑在xoy 面上方的部分：{}2(,,)0x y z z ∑=∈∑≥；当曲线∑所围成的空间区域关于yoz 面对称，则32(,,), (,,)(,,);(,,)0, (,,)(,,) .f x y z dS f x y z f x y z f x y z dS f x y z f x y z ∑∑⎧-=⎪=⎨⎪-=-⎩⎰⎰⎰⎰其中2∑是∑在yoz 面前侧的部分：{}3(,,)0x y z x ∑=∈∑≥； 注：计算对面积的曲面积分的常用技巧：①应用代入法简化计算，例如：若:(,,)f x y z a ∑=，则(,,)f x y z d Sa d S∑∑=⎰⎰⎰⎰.（例如书P125，习题9-4：4（2））②应用对称性简化计算。

曲面积分的第一型和第二型曲面积分是数学中一个非常重要的概念，它广泛应用于物理和工程学中。

曲面积分有两个主要类型：第一型和第二型曲面积分。

本文将对这两种曲面积分进行详细的阐述和讲解。

一、第一型曲面积分第一型曲面积分是指对于向量函数在曲面上的积分。

换句话说，它是对曲面上的某个标量值函数的积分。

其计算公式为：∬S f(x,y,z) dS其中，S表示曲面，f(x,y,z)为被积函数，dS为曲面面积元素。

在计算第一型曲面积分时，我们需要知道曲面的参数方程。

通常，参数方程可以表示为：x = g(u,v)y = h(u,v)z = k(u,v)其中，u和v是曲面上的自变量，x、y和z是对应的函数值。

对曲面进行参数化之后，我们就可以将第一型曲面积分转化为一个二重积分：∬D f(g(u,v),h(u,v),k(u,v)) ||r_u × r_v|| du dv其中，D表示曲面的投影区域，||r_u ×r_v||是曲面的面积元素，r_u과 r_v分别是曲面参数方程的偏导数。

值得注意的是，有些曲面的参数方程比较复杂，因此需要使用微积分技巧对其进行简化。

此外，在计算第一型曲面积分时，我们还需要考虑曲面的方向。

有时候，我们需要在某个指定方向上计算曲面积分，这时我们需要用到曲面的法向量。

如果曲面法向量朝外，则为正方向；反之，则为负方向。

二、第二型曲面积分第二型曲面积分是指对向量函数在曲面上的积分。

也就是说，它是对曲面上的某个向量值函数的积分。

其计算公式为：∬S F · dS其中，S表示曲面，F为被积函数，dS为曲面衡量元素。

与第一型曲面积分相比，第二型曲面积分更加复杂一些。

在计算第二型曲面积分时，我们需要对被积函数进行向量积分。

我们需要将向量函数投影到曲面切平面上，然后再计算切平面上的积分。

这样才能得到正确的曲面积分结果。

与第一型曲面积分类似，对于第二型曲面积分我们也需要考虑曲面的法向量。

如果曲面法向量朝上，则为正方向；反之，则为负方向。