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八年级数学完全平方公式

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八年级奥数完全平方公式讲解

八年级奥数完全平方公式讲解

性质：两数和(或差)的平⽅，等于它们的平⽅和，加上(或减去)它们的积的2倍。

叫做完全平⽅公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平⽅公式，后者叫做两数差的完全平⽅公式。

左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍;左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这⾥说项时未包括其符号在内).公式中的字母可以表⽰具体的数(正数或负数)，也可以表⽰单项式或多项式等数学式.注意：1左边是⼀个⼆项式的完全平⽅。

2右边是⼆项平⽅和，加上(或减去)这两项乘积的⼆倍，a和b可是数，单项式，多项式。

3不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后⼀项都是加号，不要因为前⾯的符号⽽理所当然的以为下⼀个符号。

概念：完全平⽅公式即(a±b)2=a2±2ab+b2。

该公式是进⾏代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常⽤到的公式。

【使⽤误解】①漏下了⼀次项②混淆公式③运算结果中符号错误④变式应⽤难于掌握。

【学习⽅法】公式特征学会⽤⽂字概述公式的含义:两数和(或差)的平⽅，等于它们的平⽅和，加上(或减去)它们的积的2倍。

叫做完全平⽅公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平⽅公式，后者叫做两数差的完全平⽅公式。

这两个公式的结构特征：左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅和，加上或减去这两项乘积的2倍;左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这⾥说项时未包括其符号在内).公式中的字母可以表⽰具体的数(正数或负数)，也可以表⽰单项式或多项式等数学式.【完全平⽅公式】前平⽅，后平⽅，⼆倍乘积在中央。

同号加、异号减，符号添在异号前。

即 (a+b)∧2=a∧2+b∧2+2ab(a-b)∧2=a∧2+b∧2-2ab【公式变形】变形的⽅法(⼀)、变符号：(⼆)、变项数：(三)、变结构【注意事项】1、左边是⼀个⼆项式的完全平⽅。

完全平方公式-完整版PPT课件

完全平方公式-完整版PPT课件
解：15－a2＝25－10a＋a2； 2－3m－4n2＝9m2＋24mn＋16n2； 3－3a＋b2＝9a2－6ab＋b2
二 添括号法则 去括号 abc = abc; a- bc = a - b – c 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a b c=a b c; a–b–c=a– b c
“首平方，尾平方，首尾2倍在中央”
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
1y2=2 y2
×
y2 =22y y2
2 -y2 =2 -y2
×
-y2 =2 -2y y2
3 - y2 =22y y2
× - y2 =2 -2y y2
4 2y2 =42 2y y2
× 2 y2 =424y y2
直接求：总面积=（abab源自b间接求：总面积=a2ababb2
你发现了什么？
a
（ab2=a22abb2
a
b
讲授新课
一 完全平方公式
合作探究
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p12=p1p1=
p22p1
（2） （m22=m2m2= （3） （p-12=p-1p-1=
m24m4 p2-2p1
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
142 乘法公式
1422 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释（重点） 2灵活应用完全平方公式进行计算（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种如图 用不 同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较

人教版八年级上册数学：完全平方公式精品课件PPT

人教版八年级上册数学：完全平方公式精品课件PPT
合作探究
思考：怎样添括号才能够变成 乘法公式的结构？
例5 运用乘法公式计算: 找到相同和相反项
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
(2) (a + b +c ) 2.
变成两个项的和
解：(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) （2）（a + b +c ) 2
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y- 3) ] = [ (a+b) +c ]2
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.2 完全平 方公式
尝试练习
1.先将式子变形，后自选两道题再计算。
(1) (a + 2b – 1 ) 2 (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
2
= _[_a_+_(_2_b_-_1_)]____ =_[_2_x_+_(_y_+_z_)_]_[_2_x_-_(_y_+_z_)]
= x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9)
三=平=个a方2数(和+a和2，+a的b再b)完加2+全+上b2平2每(+方两a2等+数ab于c乘)c这+积2+三的bc个2c2倍数+。c的2
= x2-4y2+12y-9.
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
点拨：此式需用添括号变形成平方差和完全平方公式 公式结构，再运用公式使计算简便。

新人教版八年级数学上4.3.2 公式法---完全平方公式

新人教版八年级数学上4.3.2 公式法---完全平方公式

2、分解因式 （1）a2+8a+16
解:原式=(a+4)2 （2）-1-a2+2a
解:原式=-(1+a2-2a)=-(1-a)2
（3）xy-8xy2+16xy3 解:原式=xy(1-8y+16y2)=xy(1-4y)2
（4）(a+2b)2-6(a2+2ab)+9a2 解:原式=(a+2b-3a)2=［2(b-a)］2
a2-2ab+b2=(a-b)2． 2：完全平方公式的结构特点是什么？
完全平方式的特点： 1. 必须是三项式（或可以看成三项的）
2. 有两个同号的平方项 3. 有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中
央。
六、作业
1、课堂练习 119页第1-2题
2、课外作业 119页复习巩固第3题、第5题
解： ∵ a2+2b2+c2-2b(a+c)=0
∴ a2+2b2+c2-2ab-2bc=0 (a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)=0 即
(a-b)2+(b-c)2=0 ∴ a-b=0，b-c=0 ∴ a=b=c 所以 △ABC是等边三角形
四、结
1：如何用符号表示完全平方公式？
a2+2ab+b2=(a+b)2，
温馨提示： 从整体看，(x2+y2)2-4x2y2符合
平方差公式的特点，可先用平方差公式分解 ，然后再用完全平方式进行分解。 解：(x2+y2)2-4x2y2
=[(x2+y2)+2xy][(x2+y2)-2xy] =(x+y)2(x-y)2

人教版八年级数学上册完全平方公式

人教版八年级数学上册完全平方公式

例题讲解
例 在等号右边的括号内填上适当的项：
(1) a+b−c=a+( +b−c ) ； 添括号法则：
+b −c
括号前面是正号，到括号 里的各项都不变符号．
例题讲解
例 在等号右边的括号内填上适当的项：
(2) a−b+c=a−( +b−c )； +b −c
添括号法则： 括号前面是负号，括到括 号里的各项都改变符号．
(1) (−2x+5)2
= [−(2x−5)] 2
解： (1) ( − 2 x + 5 ) 例 在等号右边的括号内填上适当的项：
2
= [−(a−b)]2
=[(a−2b)−1]2
= [− ( 2 x − 5 ) ] 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
= 4x2−20x+25;
2
方法二：
(−x)2=x2.
巩固练习
练习 下列计算结果为2ab−a2−b2的是( D ) ．
A ． (a−b)2 C．−(a+b)2
B．(−a−b)2 D．−(a−b)2
添括号法则： 括号前面是负号， 括到括号里的各项 都改变符号．
2ab−a2−b2
= −(a2−2ab+b2) 两数差的完全平方公式：
= −(−2ab+a2+b2) = −(a−b)2 ．
探究新知
∵(−a+b)2 = [−(a−b)]2 = (a−b)2 ， ∴ (−a+b)2= (a−b)2 ．
∵(−a−b)2 = [−(a+b)]2 = (a+b)2 ， ∴(−a−b)2 =(a+b)2 ．

人教版八年级数学上《完全平方公式》知识全解

人教版八年级数学上《完全平方公式》知识全解

《完全平方公式》知识全解
课标要求
掌握完全平方公式，会用它进行运算，会逆用这个公式。

知识结构
（1）完全平方公式
公式：（a+b)2=a2+2ab+b2; （a-b)2=a2-2ab+b2
文字叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。

（2）添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

内容解析
本小节从探究另一种特殊形式的多项式乘法入手，介绍了完全平方公式的运算方法，并从图形的角度说明了它的正确性。

接着给出了一些适合用公式解决的问题，让学生熟悉、巩固公式的应用。

第二部分介绍了添括号法则，这个法则应用很广泛，添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检验。

重点难点
重点是：熟练运用完全平方公式进行运算，熟练运用添括号法则解决问题。

难点是：熟练运用完全平方公式进行运算，熟练运用添括号法则解决问题。

教法导引
教师以引导为主，鼓励学生自主学习，讨论交流。

学法建议
学生阅读教材，以自主学习为主，注意与同学的交流。

人教版数学八年级上册第十四章 完全平方公式课件

人教版数学八年级上册第十四章 完全平方公式课件
(3)(m＋2)2＝________________；
可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许 (a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)(a＋b＋c)2.
他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性．
教学设计
四、再探新知 1．现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据 二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片， 尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义：
教学设计
(2)(a＋b＋c)2 ＝[(a＋b)＋c]2 ＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2 ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2 ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
教学设计
讲解此例之前可先让学生自学教材第111页的“添括号法 则”并完成教材第111页练习第1题．然后给出例5题目，让 学生思考选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学 生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的 项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a，b对照， 其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小 题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公 式．
＝9 801. ＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因． 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括；
此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路， (1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22
在解此例的过程中，应注意边辩析各项的符号特征，边 对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过 程，帮助学生理解这一公平方公式有了哪些认识？它与平方差 公式有什么区别和联系？ 作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．

八年级数学完全平方公式

八年级数学完全平方公式

八年级数学完全平方公式
15.3.2 完全平方公式
知识要点
1．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．即：两数的和（或差）的平方，•等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的两倍，这两个公式叫做完
全平方公式．
2．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不
变符合；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
典型例题
例．计算：①（2a+3b）2（2a-3b）2 ；②2（x+y）（x-y）-（x+y）2- （x-y）2 ；
③（a-b+c）（a+•b-c）
分析：直接用多项式的乘法比较复杂，可抓住式子的特征确定简单的方法．•第①题先逆用积的乘方，再利用平方差公式和完全平方公式计算；第
②题可将x+y 看着a，•把x-y 看着b，再逆用完全平方公式计算．第③题可以先利用添括号法则将式子变为能用平方差公式计算的结构形式，再运用完
全平方公式计算
解：①（2a+3b）2（2a-3b）2=[（2a+3b）（2a-3b）]2
=（4a2-9b2）2=16a4-72a2b2+81b4
②2（x+y）（x-y）-（x+y）2-（x-y）2
=-[（x+y）2-2（x+y）（x-y）+（x-y）2]
=-[（x+y）-（x-y）]2
=-（2y）2=-4y2。

八年级数学完全平方公式

八年级数学完全平方公式
例如，将一个边长为 $a+b$ 的正方形划分为多 个小正方形和矩形，每个部分的面积都可以表 示为 $a^2$、$ab$ 或 $b^2$，从而得到 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
04
完全平方公式的应用举例
代数表达式化简
将复杂的代数表达式通过完全平方公 式进行化简，使其更易于理解和计算。
VS
例如，将$(a+b)^2$展开为 $a^2+2ab+b^2$，可以简化复杂的 代数表达式。
解决实际问题
通过完全平方公式解决一些实际问题，如计算面积、周长等。
例如，计算矩形的面积和周长，可以将矩形分成两个相同的直角三角形，然后利用完全平方公式计算 。
在数学竞赛中的应用
在数学竞赛中，完全平方公式是重要的解题工具之一。
完全平方公式在解决数学问题时 具有重要的作用，如求代数式的
值、因式分解、解方程等。
02
完全平方公式的基本形式
公式表达
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
公式的结构特点
完全平方公式由三部分组成：首平方、尾平方和两倍首尾积 的二倍。
通过大量的练习题，熟悉 公式的应用场景和变化形 式，提高解题能力和技巧。
总结归纳
将完全平方公式的应用进 行归纳总结，形成系统化 的知识体系，有助于加深 理解和记忆。
THANKS
推导方法二：通过代数运算
利用代数运算，将一个多项式表示为另一个多项式的平方 。
例如，$(a+b)^2$ 可以展开为 $a^2 + 2ab + b^2$，其中 $2ab$ 是 $a$ 和 $b$ 的两倍乘积，$b^2$ 是 $b$ 的平方。

八上完全平方公式

八上完全平方公式

八上完全平方公式完全平方公式是在数学中非常有用的公式之一，主要用于求解几个数的平方和。

下面将详细介绍完全平方公式的概念、应用和示例。

一、完全平方公式的基本概念完全平方公式是指：如果有一个数x，那么(a ± b)² = a²± 2ab + b²其中，a和b是两个数，表示它们之间的差或和。

这个公式可以用来求解a、b的平方和。

二、完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有很多应用，比如求多项式的平方和、解方程组等等。

其中最常见的是求解一元二次方程的根。

例如，对于方程x² + 2x + 3 = 0，可以通过求二次项系数a²和常数项b²的和的平方减去4倍的二次项系数a²来求解这个方程。

三、完全平方公式的示例以下是一些完全平方公式的示例：1. 求两个数的平方和：(3 + 4)² = 3² + 4² + 2 × 3 ×4 = 53 2. 求三个数的平方和：(1 - 2)² + (2 - 3)² + (4 -5)² = 2 - 2 × (2 × 2 +3 × 4 + 5 × 5) = -14以上这些示例说明完全平方公式不仅在求解两个数的平方和非常有用，而且也可以解决三个数的平方和的问题。

当然，当数字超过三个时，可以考虑其他数学方法。

四、总结通过上述介绍，我们了解了完全平方公式的基本概念、应用以及一些示例。

完全平方公式是数学中的一个重要工具，它能够解决许多数学问题，特别是求几个数的平方和的问题。

通过灵活运用完全平方公式，可以提高解题效率和准确性。

人教版数学八年级上册14.2.2.1《完全平方公式》教学设计

人教版数学八年级上册14.2.2.1《完全平方公式》教学设计

人教版数学八年级上册14.2.2.1《完全平方公式》教学设计一. 教材分析《完全平方公式》是中学数学中的一个重要概念，也是八年级上册的教学内容。

本节内容主要介绍完全平方公式的定义、推导过程以及应用。

完全平方公式是数学中的一种基本公式，能够帮助学生更好地理解和掌握二次方程的解法，为学生进一步学习函数、几何等数学知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的乘方、平方差公式等基础知识。

但部分学生对完全平方公式的理解可能存在困难，需要通过具体例题和练习来加深对公式的理解。

同时，学生对于公式的应用能力和解题策略也需要进一步培养和提高。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握完全平方公式的定义和推导过程，能够灵活运用完全平方公式解题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的自主学习意识和团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：完全平方公式的定义和推导过程。

2.难点：完全平方公式的灵活运用和解题策略。

五. 教学方法1.自主学习法：鼓励学生自主探究完全平方公式的推导过程，培养学生的自主学习能力。

2.合作交流法：引导学生通过小组合作交流，共同解决问题，提高学生的团队合作能力。

3.案例分析法：通过具体例题和练习，让学生学会运用完全平方公式解题，提高学生的解题能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，内容包括完全平方公式的定义、推导过程、例题和练习等。

2.练习题：准备一些有关完全平方公式的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

3.教学素材：收集一些与完全平方公式相关的教学素材，如数学故事、数学历史等，用于激发学生的学习兴趣。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用数学故事或数学历史素材，引出完全平方公式的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示完全平方公式的定义和推导过程，引导学生理解并掌握公式的含义。

八年级上数学人教版《 平方差公式、完全平方公式》笔记

八年级上数学人教版《 平方差公式、完全平方公式》笔记

《平方差公式、完全平方公式》笔记
一、平方差公式
1.公式描述：两数和乘两数差，等于两数平方差。

2.公式结构：(a+b)(a−b)=a2−b2
3.公式说明：此公式是整式乘法中的重要公式之一，它适用于任何具有此结
构的式子，可以简化计算。

4.公式应用：在解决数学问题时，此公式可以用于计算两数之和与两数之差
的积，也可以用于分解因式和求值。

二、完全平方公式
1.公式描述：首平方又末平方，二倍首末在中央；和的平方加再加，先减后
加差平方。

2.公式结构：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2
3.公式说明：此公式是整式乘法中的另一个重要公式，它适用于任何具有此
结构的式子，可以简化计算。

4.公式应用：在解决数学问题时，此公式可以用于计算一个数的平方加上或
减去两倍的此数与另一数的积再加上或减去两倍的此数的平方，也可以用于分解因式和求值。

三、注意事项
1.在使用公式时要注意公式的结构以及字母的含义，避免出现错误。

2.在进行计算时要注意运算顺序和符号，确保计算结果的准确性。

3.在解决实际问题时要注意公式的应用范围和限制条件，避免出现错误的应
用。

初中课件-八上数学八年级数学第十四章14.2.2乘法公式(完全平方公式)_ppt课件

初中课件-八上数学八年级数学第十四章14.2.2乘法公式(完全平方公式)_ppt课件
（2）少了首项与尾项乘积的2倍这一项 ；即丢 了中间项： 2•(2x)•(3y) ; （3）中间项漏乘了2.
比一比 赛一赛
回答下列问题: (1) (a+2y)2是哪两个数的和的平方? (a+2y)2 =( a ) 2+2( a )( 2y )+( 2y ) 2 (2) (2x−5y)2是哪两个数的差的平方? (2x -5y)2 =( 2x ) 2 -2(2x)( 5y )+( 5y ) 2
3、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以 另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加.
(a+b) (m+n)= am+an + bm+bn
4、探究 计算下列各式,你能发现什么规律?
2+2p+1 (1) (p+1)2 = (p+1) (p+1) = P ______ 2+4m+4 2 m (m+2) = _________;
(2x−5y)2可以看成哪两个数的和的平方?
(2x−5y)2可以看成2x与 −5y的和的平方.
例1、运用完全平方公式计算：
2 (1)(4m+n)
解: (4m+n)2=(4m)2 +2•(4m) •n +n2
(a
2 +b) = 2 a
+
2ab
+
2 b
2 =16m
+8mn +n2
2 (2)(x-2y)
= a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2 .
14.2.2完全平方公式
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2

人教版数学八年级上册14.2.2.1《完全平方公式》教案1

人教版数学八年级上册14.2.2.1《完全平方公式》教案1

人教版数学八年级上册14.2.2.1《完全平方公式》教案1一. 教材分析完全平方公式是八年级数学的重要内容，它对于学生理解代数式的构成和解决实际问题具有重要意义。

本节课通过讲解完全平方公式的概念、推导过程以及应用，使学生掌握完全平方公式的运用，为后续学习平方差公式、立方公式等打下基础。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了有理数的乘方，对代数式有一定的了解。

但完全平方公式的推导和应用还需要学生具备一定的逻辑思维能力和转化能力。

因此，在教学过程中，要关注学生的知识基础，引导学生逐步理解和掌握完全平方公式。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解完全平方公式的概念，掌握完全平方公式的推导过程和应用。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳、推理等方法，培养学生解决代数问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。

四. 教学重难点1.完全平方公式的推导过程。

2.完全平方公式的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法、讲解法等，引导学生主动参与，发挥学生的积极性、主动性和创造性。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示生活中的完全平方现象，如足球场、篮球场的尺寸，让学生感受完全平方公式的实际应用。

引导学生思考：这些尺寸是如何得出的？激发学生对完全平方公式的兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解完全平方公式的定义和推导过程，如：(a + b)² = a² + 2ab + b²通过举例说明完全平方公式的应用，如：(3 + 4)² = 3² + 2×3×4 + 4²25 + 24 + 16 = 813.操练（10分钟）让学生在课堂上完成练习题，巩固对完全平方公式的理解和运用。

练习题包括：(1)计算下列完全平方：(2)如果一个正方形的边长是6cm，那么它的面积是多少？4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，互相讲解练习题的解题过程，巩固对完全平方公式的掌握。

八上数学公式大全总结

八上数学公式大全总结

八年级上册数学公式总结1．平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。

2．完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²。

3．添括号法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

4．同底数幂的除法法则：a^m / a^n = a^(m-n)。

5．单向式相除：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

6．多项式除以单向式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

7．把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这个变换叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

8．两数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)=a²-b²。

9．两数的平方和加上或减去这两数的积的平方等于这两数的和或差的平方，即a²+b²=(a+b)²=(a-b)²。

10．两个数的和乘以或除以这两个数的差的平方等于这两个数的和或差的平方，即(a+b)²=(a-b)²或(a+b)/(a-b)=a²+b²/(a-b)²。

11．弦图定理：三个数（或线段）连续排列，顺次顺序可以构成三角形时，则它们的平方和等于中心线段的平方（即第一、三个数（或线段）的平方和等于中间数（或线段）的平方）。

12．勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。

即c²=a²+b²，其中c为斜边，a、b为直角边。

13．余弦定理：三角形的任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍。

即a²=b²+c²-2bc cosA，其中A为边a所对的角。

14．在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去这两直角边的乘积的两倍。

人教版数学八年级上册说课稿14.2.2《完全平方公式》

人教版数学八年级上册说课稿14.2.2《完全平方公式》

人教版数学八年级上册说课稿14.2.2《完全平方公式》一. 教材分析完全平方公式是数学中一个重要的概念，它在解决二次方程和几何问题中起着关键的作用。

人教版数学八年级上册第14章第二节的内容完全平方公式，通过实例和推导，让学生理解和掌握完全平方公式的含义和应用。

二. 学情分析学生在学习完全平方公式之前，已经学习了有理数的乘法、完全平方和平方差公式等知识。

因此，学生对于完全平方公式的理解需要建立在这些知识的基础上。

同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力和空间想象力，才能理解和应用完全平方公式。

三. 说教学目标1.让学生理解完全平方公式的含义和推导过程。

2.让学生能够运用完全平方公式解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

四. 说教学重难点1.完全平方公式的推导和理解。

2.完全平方公式的应用和解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，通过提问和解答的方式，引导学生思考和探索完全平方公式的推导过程。

2.使用多媒体教学手段，通过动画和图形展示，帮助学生直观地理解完全平方公式的含义和应用。

六. 说教学过程1.引入：通过提问和解答的方式，引导学生回顾完全平方和平方差公式的知识，为学习完全平方公式做铺垫。

2.推导：通过实例和数学推导，引导学生理解和掌握完全平方公式的推导过程。

3.应用：通过解决实际问题，让学生运用完全平方公式进行计算和解答。

4.练习：布置相关的练习题，让学生巩固和加深对完全平方公式的理解和掌握。

七. 说板书设计板书设计应包括完全平方公式的表达式和推导过程，以及相关的实例和练习题。

板书设计应简洁明了，突出完全平方公式的关键信息，方便学生理解和记忆。

八. 说教学评价教学评价可以通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习题的正确率来进行。

对于学生的课堂表现，可以关注学生对于完全平方公式的理解和掌握程度，以及学生解决问题的能力和逻辑思维能力。

对于作业完成情况，可以关注学生对于完全平方公式的应用和解决实际问题的能力。

人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式教案

人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式教案
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式教案
一、教学内容
人教版八年级上册数学14.2：平方差公式与完全平方公式
1.平方差公式：
- (a+b)(a-b)=a²-b²
- (a+b)²=(a-b)²+4ab
- (a-b)²=(a+b)²-4ab
2.完全平方公式：
- (a+b)²=a²+2ab+b²
- (a-b)²=a²-2ab+b²
- (a±b)²=a²±2ab+b²
3.应用平方差公式与完全平方公式进行因式分解：
- a²-b²=(a+b)(a-b)
- a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²)
பைடு நூலகம்- a⁶-b⁶=(a³+b³)(a³-b³)
4.典型例题：
-利用平方差公式与完全平方公式解决实际问题
-利用平方差公式与完全平方公式进行因式分解
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方差公式与完全平方公式的基本概念。平方差公式是指(a+b)(a-b)=a²-b²这一规律，它在简化计算和因式分解中起着重要作用。完全平方公式则是指(a±b)²=a²±2ab+b²，它帮助我们快速计算某些特定形式的乘方。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。计算(3x+4)²，通过完全平方公式的应用，我们可以得到3x²+2*3x*4+4²，从而简化计算过程。
今天的学习，我们了解了平方差公式与完全平方公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这两个公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

人教版初中数学八年级上册第十四章 完全平方公式

人教版初中数学八年级上册第十四章 完全平方公式

课堂检测
基础巩固题
14.2 乘法公式/
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是( A )
A．a2–4a+4
B．a2–2a+4
C．a2–4
D．a2–4a–4
2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( D )
A．(a–b)2
B．(–a–b)2
C．–(a＋b)2
D．–(a–b)2
课堂检测
14.2 乘法公式/
= x2–4y2+12y–9.
巩固练习
14.2 乘法公式/
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2 ＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c ＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)] ＝12–(2x–y)2 ＝1–4x2＋4xy–y2.
3. 体验归纳添括号法则. 2. 灵活应用完全平方公式进行计算.
1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、 结构特点、几何解释.
探究新知
14.2 乘法公式/
知识点 1 完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边 长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如 图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
=y2
–y
+
1 4
.
巩固练习
14.2 乘法公式/
利用完全平方公式计算： (1)(5–a)2； (3)(–3a＋b)2.
(2)(–3m–4n)2；
解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2； (2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
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222)2b a ab b ．
倍：222()
2a b a ab b ．
ab b 2)2
+-
2．课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2的面积来表示．
（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．
224
12xy x y的是（
2)
2
-C、
1xy
+
ax是一个完全平方式，则a的值等于（
216
B．4
8x k是一个完全平方式，则
B
、利用完全平方公式计算
)(2)
b a b
22
b c ab bc ac求证：
3、（1）计算：(－2x 3)2＋x 2(－3x 2)2
（2）先化简，再求值：[(a －2b)2－(a ＋2b)(a －2b)]÷2b ，其中a ＝－1，41
b
1、如图，根据计算正方形ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ）
A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2
B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2
C ．(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2
D ．a(a －b)＝a 2－ab 2、从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四
个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）。