n
( , ) H aibi i 1
则上式定义了一个内积,C n是酉空间.
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定义: 设1,L , n是酉空间V一组基,令aij ( i , j ),
则称矩阵A=(aij )为基1,L
,
的度量矩阵
n
,或Gram矩阵
.
定理:
设矩阵A=(aij
)为酉空间V的一组基1,L
,
的
n
度量矩阵,则
(1) AH A;
xi H Bx j ij .
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定理 6 设n n矩阵 A AH , B BH，且B正定，与B共扼 向量系x1 , x2 ,L , xn具有以下性质， （1） xi 0 ( i 1, 2,L ,n ) ; （2） x1 , x2 ,L , xn 线性无关 ; （3）i与xi满足方程Axi i Bxi ; （4）若令X ( x1 , x2 ,L , xn ) , X H BX E , X H AX diag( 1 , 2 ,L ,n )
定义 4 ( x, y) 0
向量 x和y正交,记为 x y
勾股定理： x y
|| x y ||2 || x ||2 || y ||2
垂线最短定理：欧氏空间Vn ( R) 中的一个固定向量 和一个子空间中各向量的距离“垂线最短”.
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定义5
n维欧氏空间V中向量1 ,2 ,L ,k的Gram行列式 :
b
(f (x), g(x)) a f ( x )g( x )dx
证明: C[a,b]是欧氏空间.
b
f ( x ), g( x ), a f ( x )g( x )dx 是唯一确定实数
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1
f
,
g
b
a
