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余弦定理余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
如下图所示，在△ABC中，余弦定理表达式1三角形同理，也可描述为：勾股定理是余弦定理的特例，当为时，，余弦定理可简化为，即勾股定理。
余弦定理表达式2余弦定理表达式3（角元形式）平面几何法证明一平面几何法证明如上图所示，△ABC，在c上做高，将c边写：将等式同乘以c得到：对另外两边分别作高，运用同样的方法可以得到：将两式相加：平面几何法证明二如图所示，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作AD⊥BC 于D，则AD=c*sinB，DC=a-BD=a-c*cosB在Rt△ACD中，b²=AD²+DC²=（c*sinB）²+（a-c*cosB）²=c²sin²B+a²-2ac*cosB+c²cos²B=c²（sin²B+cos²B）+a²-2ac*cosB=c²+a²-2ac*cosB利用正弦定理证法在△ABC中，sin²A+sin²B-sin²C=[1-cos（2A）]/2+[1-cos（2B）]/2-[1-cos（2C）]/2（降幂公式）=-[cos（2A）+cos（2B）]/2+1/2+1/2-1/2+[cos（2C）]/2 =-cos（A+B）cos（A-B）+[1+cos（2C）]/2（和差化积）=-cos（A+B）cos（A-B）+cos²C（降幂公式）=cosC*cos（A-B）-cosC*cos（A+B）（∠A+∠B=180°-∠C 以及诱导公式）=cosC[cos（A-B）-cosC*cos（A+B）]=2cosC*sinA*cinB（和差化积）（由此证明余弦定理角元形式）设△ABC的外接圆半径为R∴（RsinA）²+（RsinB）²-（RsinC）²=（RsinA）*（RsinB）*cosC∴a²+b²-c²=2ab*cosC（正弦定理）∴c²=a²+b²-2ab*cosC平面向量证法∵如图，有a+b=c（平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=（a+b）·（a+b）∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|cos（π-θ）（以上粗体字符表示向量）又∵cos（π-θ）=-cosθ（诱导公式）∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ此即c²=a²+b²-2ab cos C即cos C=（a2+b2-c2）/2*a*b同理可证其他，而下面的cos C=（c2-b2-a2）/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
余弦定理的证明方法大全(共十种方法)一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-.证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-222AB AC AB AC =+-⋅222cos b c bc A =+-即,2222cos a b c bc A =+-.证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立.(2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.图1从而,cos BD AB AD c b A =-=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.从而,cos BD AB AD c b A =+=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立.证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则在Rt ABD ∆中,sin BD c α=,cos ADc α=. 在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos ADbβ=.由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:2cos AD AD BD CD AD BD CDA c b c b bc-⋅=⋅-⋅=图2-1图2-2图32222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=222()2b c BD CD bc +-+=2222b c a bc+-=整理可得2222cos a b c bc A =+-.证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin sin sin()a b c cA B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,……①sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. ……②将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.……③将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-. 即,2222cos a b c bc A =+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.即,2222cos a b c bc A =+-.证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =.于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-222cos b c bc A =+-即,结论成立.证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =.于是,2222cos a b c bc A =+-22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+--由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.即,结论成立.证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C 交于点,D E ,延长AB 交C 于F ,延长AC 交C 于G .则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅,即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.图5GA证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅. 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+,整理可得:2222cos a b c bc A =+-.c-bcosA图7-2图7-1图6。
当谈到三角函数的定理时，正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要定理。
以下是它们的公式：
1. 正弦定理（Sine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，正弦定理给出了边长和角度之间的关系：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
2. 余弦定理（Cosine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，余弦定理给出了边长和角度之间的关系：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
这些定理在解决三角形中的边长、角度关系问题时非常有用。
通过应用正弦定理和余弦定理，可以计算未知边长或角度，以及解决各种涉及三角形的几何问题。
三角形的余弦定理三角形的余弦定理是解决三角形问题中一个重要的数学定理，它能够帮助我们计算三角形的边长和角度。
余弦定理是利用三角形中的余弦函数来表示三角形的边长之间的关系。
在本文中，我们将详细介绍余弦定理的原理和应用，并通过实例来加深理解。
1、余弦定理的原理三角形的余弦定理可以用如下公式来表示：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形任意两边和角C所对应的边。
该定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。
2、余弦定理的应用（1）已知三角形两边和夹角，求第三边。
假设已知三角形两边分别为a和b，夹角为C，我们通过余弦定理可以很容易地求得第三边c的长度，即：c = √(a² + b² - 2abcosC)。
例如，已知三角形两边分别为5cm和7cm，夹角为60°，我们可以通过余弦定理计算出第三边的长度c = √(5² + 7² - 2×5×7×cos60°) ≈8.86cm。
（2）已知三角形三边，求夹角。
假设已知三角形三边分别为a、b和c，我们可以通过余弦定理计算出夹角C的大小，即：cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)。
例如，已知三角形三边分别为3cm、4cm和5cm，我们可以通过余弦定理计算出夹角C的大小：cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4) = 0.25，那么夹角C ≈ acos0.25 ≈ 75.52°。
3、余弦定理的实例例题一：已知三角形两边分别为6cm和8cm，夹角为45°，求第三边的长度。
解题过程：根据余弦定理，可知第三边c = √(6² + 8² - 2×6×8×cos45°) ≈ √(36 +64 - 2×6×8×0.7071) ≈ √3 ≈ 9.58cm。
余弦定理的10种证明方法一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-222AB AC AB AC =+-⋅222cos b c bc A =+-即,2222cos a b c bc A =+-.证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.从而,cos BD AB AD c b A =-=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的图1CAB图2-1DCAB点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则 在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.从而,cos BD AB AD c b A =+=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则在Rt ABD ∆中,sin BD c α=,cos ADc α=.在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos ADbβ=.由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:2cos AD AD BD CD AD BD CDA c b c b bc-⋅=⋅-⋅=2222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=222()2b c BD CD bc +-+=2222b c a bc+-=整理可得2222cos a b c bc A =+-. 证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin sin sin()a b c cA B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,………………………………………………………………①sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. …………………………②将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-.图2-2DBACβα图3DBAC即,2222cos a b c bc A =+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.即,2222cos a b c bc A =+-.证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-222cos b c bc A =+-即,结论成立.证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,2222cos a b c bc A =+-22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+--由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.xy图4BA(O)C即,结论成立.证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C e 交于点,D E ,延长AB 交C e 于F ,延长AC 交C e 于G .则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅, 即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅.整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.bcosA absinAc-bcosAac-bcosAbsinA图7-2图7-1DE DABCC B余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.bac2bcosA-cb-a bb图5GDE FCAB c b aa 图6F EDCBA。
余弦函数及余弦定理余弦函数及余弦定理是什么余弦定理，其实就是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。
下面小编给大家整理了关于余弦函数及余弦定理的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!余弦函数余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。
它是周期函数，其最小正周期为2π。
在自变量为2kπ(k为整数)时，该函数有极大值1;在自变量为(2k+1)π时，该函数有极小值-1。
余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知三边，求三个角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
正余弦定理的应用1.解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角;②化角为边.并常用正余弦定理实施边角转化。
3.用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长。
4.应用问题可利用图形将题意理解清楚，然后用数学模型解决问题。
5.正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合，综合运用解决实际问题。
正余弦函数的性质余弦定理多种证明方法余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形。
余弦定理含义
余弦定理是在三角形中，描述了三个边和内夹角之间的关系。
它的含义可以总结如下：
在一个三角形ABC中，假设a、b、c分别表示边BC、AC和AB的长度，而角A、角B和角C分别表示对应的内夹角。
那么余弦定理的表达式如下：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cos(C)。
其中的cos(C)是角C的余弦值。
余弦定理的含义是：对于任意一个三角形，如果我们知道了三个边的长度，那么可以通过余弦定理计算出对应的三个内夹角的余弦值。
反之，如果我们已知三个边的长度以及其中两个夹角的度数，也可以利用余弦定理求解第三个角的度数。
余弦定理在解决三角形相关问题时非常有用，例如计算未知边长或角度、判断三角形的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）等。
它是解决三角学问题的重要工具之一。
计算余弦定理余弦定理是三角学中的重要定理，用于计算三角形的边长或角度。
它可以帮助我们解决许多与三角形相关的问题。
下面，我们将详细介绍余弦定理以及其应用。
余弦定理的表述如下：在一个三角形ABC中，设边长分别为a，b，c，对应角度分别为A，B，C。
则有以下关系成立：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos Ab^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cos Bc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos C这就是余弦定理的通用表达式。
它可以应用于任意三角形，并且可以用来计算任意一边的长度，只要已知两边的长度和它们之间的夹角。
下面，我们举例说明余弦定理的应用。
假设我们有一个三角形ABC，已知边长AB = 5，AC = 6，夹角BAC = 60°，我们可以使用余弦定理来计算边长BC。
根据余弦定理，我们有：BC^2 = 5^2 + 6^2 - 2 * 5 * 6 * cos 60°BC^2 = 25 + 36 - 60 * cos 60°BC^2 = 61 - 30 = 31BC = √31因此，边长BC的长度为√31。
余弦定理还可以用来计算三角形的角度。
假设我们知道一个三角形的边长分别为3、4、5，我们可以使用余弦定理来计算它的角度。
根据余弦定理，我们有：cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cos A = (4^2 + 5^2 - 3^2) / (2 * 4 * 5)cos A = (16 + 25 - 9) / 40cos A = 32 / 40cos A = 0.8通过反余弦函数，我们可以求得角度A的值为cos^(-1)0.8 ≈ 36.87°。
因此，在这个三角形中，角A的大小约为36.87°。
总结一下，余弦定理是一个非常实用的工具，可以用来计算三角形的边长和角度。
它的应用范围十分广泛，不仅仅局限于特定类型的三角形。
课题 余弦定理1.余弦定理在三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．2．余弦定理的推论根据余弦定理，可以得到以下推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，若角C ＝90°，则cos C ＝0，于是c 2＝a 2＋b 2－2a ·b ·0＝a 2＋b 2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．规律：设c 是△ABC 中最大的边(或C 是△ABC 中最大的角)，则a 2＋b 2<c 2⇔△ABC 是钝角三角形，且角C 为钝角；a 2＋b 2＝c 2⇔△ABC 是直角三角形，且角C 为直角；a 2＋b 2>c 2⇔△ABC 是锐角三角形，且角C 为锐角．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于________． 13.边长为5、7、8的三角形中，最大角与最小角的和是________．1200在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，则△ABC 是( )cA ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定题型1 已知两边及其一角解三角形例1 △ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，解此三角形．解析：方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B.得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin B b ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°. 变式1：已知△ABC 中，a ＝1，b ＝1，C ＝120°，则边c ＝________. 3题型2 已知三边解三角形例2 已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的各内角度数．分析：由比例的性质可以引入一个字母k ，用k 表示a 、b 、c ，再由余弦定理求解各角．解析：∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k.由余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋（3＋1）2k 2－4k 22·6k ·（3＋1）k＝22，∴A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋（3＋1）2k 2－6k 22×2k （3＋1）k＝12，∴B ＝60°. ∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.变式2：在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝4，a ＋c ＝2b 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4.c ＝b －4. ∴a ＞b ＞c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝⎛⎭⎫－12， 即b 2－10b ＝0. 解得b ＝0(舍去)或b ＝10，此时a ＝14，c ＝6.题型3 判断三角形的形状例3在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．[解析] 解法一：∵b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，∴利用正弦定理可得 sin 2B sin 2C ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B ·sin C ·cos B ·cos C ，∵sin B sin C ≠0，∴sin B ·sin C ＝cos B cos C ，∴cos(B ＋C )＝0，∴cos A ＝0，∵0<A <π，∴A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 解法二：已知等式可化为b 2－b 2cos 2C ＋c 2－c 2·cos 2B ＝2bc cos B cos C ，由余弦定理可得b 2＋c 2－b 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2(a 2＋c 2－b 22ac )2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 为直角三角形．变式3： 在△ABC 中，已知c ＝a cos B ，b ＝a sin C ，判断三角形形状．解析：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B 得：c ＝a·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2， ∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a·c a，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．题型四：正弦、余弦定理的综合应用例4：(2013·广东东莞第五中学高二期中测试)在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ，由余弦定理：BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°，整理得：x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，由正弦定理，得BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin135°·sin30°＝8 2.变式4：如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB AC ＝78，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长． [解析] 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， ∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32，∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)． 由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－16x ×15cos60°，∴x 2－8x ＋15＝0，＝43AB 123，或20 3.。
三角函数余弦定理公式三角函数余弦定理公式大全余弦定理对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc·cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cosC也可表示为：cosC=(a^2 +b^2 -c^2)/ 2abcosB=(a^2 +c^2 -b^2)/ 2accosA=(c^2 +b^2 -a^2)/ 2bc这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。
要小心余弦定理的这种歧义情况。
延伸定理：第一余弦定理(任意三角形射影定理)设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A三角函数正弦定理公式正弦定理对于边长为a, b和c而相应角为A, B和C的三角形，有：sinA / a = sinB / b = sinC/c也可表示为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC其中R是三角形的外接圆半径。
它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。
在这个定理中出现的公共数(sinA)/a是通过A, B和C三点的圆的直径的倒数。
正弦定理用于在一个三角形中(1)已知两个角和一个边求未知边和角(2)已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。
平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即,利用余弦定理,可以判断三角形形状.同时,还可以用余弦定理求三角形边长取值范围.冰魄来袭0968 2014-09-21余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活.该图中,a与b应互换位置对于任意三角形三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c .a^2、b^2、c^2就是a的平方,b的平方,c 的平方.)a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosAb^2=a^2+c^2-2*a*c*CosBc^2=a^2+b^2-2*a*b*CosCCosC=(a^2+b^2-c^2)/2abCosB=(a^2+c^2-b^2)/2acCosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc证明：∵如图,有a→+b→=c→∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开,得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC同理可证其他,而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即,利用余弦定理,可以判断三角形形状.同时,还可以用余弦定理求三角形边长取值范围.勾股定理勾股定理:在我国,把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理,又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）.是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明.据说毕达哥拉斯证明了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称―百牛定理‖.在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,作为一个证明.法国和比利时称为驴桥定理,埃及称为埃及三角形.我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a+b=c; 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果三角形的三条边a,b,c满足a+b=c ,那么这个三角形是直角三角形.（称勾股定理的逆定理）最早的勾股定理从很多泥板记载表明,巴比伦人是世界上最早发现―勾股定理‖的,这里只举一例.例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题,大意为―有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上,上端（A）下滑一米至D.问下端（C）离墙根（B）多远?‖他们解此题就是用了勾股定理,如图设AB=CD=l=5米,BC=a,AD=h=1米,则BD=l-h=5-1米=4米a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米,∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形.《周髀算经》简介勾股. 《周髀算经》算经十书之一.约成书于公元前二世纪,原名《周髀》,它是我国最古老的天文学著作,主要阐明当时的盖天说和四分历法.唐初规定它为国子监明算科的教材之一,故改名《周髀算经》.《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用.原书没有对勾股定理进行证明,其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的. 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法.[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使,伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干什么?那个小男孩头也不抬地说：―请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?‖伽菲尔德答道：―是5呀.‖小男孩又问道：―如果两条直角边长分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?‖伽菲尔德不假思索地回答道：―那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.‖小男孩又说：―先生,你能说出其中的道理吗?‖伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心里很不是滋味.于是,伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他出的难题.他经过反复思考与演算,终于弄清了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.如下:在网格内,以两个直角边为边长的小三角形面积,等于以斜边为边长的的三角形面积.勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,a^2;+b^2;=c^2;说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为―勾‖,较长直角边为―股‖,斜边称为―弦‖,所以把这个定理成为―勾股定理‖.勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系.举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4,则斜边c= a+b=9+16=25则说明斜边为5.勾股定理部分习题第一章勾股定理一、勾股定理的内容,勾股定理是怎样得到的,从定理的证明过程中你得到了什么启示?练习:1、在△ABC中,∠C =90°. (1) 若a =2,b =3则以c为边的正方形面积是多少? (2) 若a =5,c =13.则b是多少? .(3) 若c =61,b =11.则a是多少? (4) 若a∶c =3∶5且c =20则 b 是多少? (5) 若∠A =60°且AC =7cm则AB = ＿cm,BC = ＿cm.2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于＿cm.3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为＿cm.4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD = ＿cm.5、已知：△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BC= ,DB=2cm ,则BC＝＿cm, AB= ＿cm, AC= ＿cm.6、如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B200m,结果他在水中实际游了520m,求该河流的宽度为_______.7、在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高________米.8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7或259、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是A. 小丰认为指的是屏幕的长度;B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度;C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长;D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度二、你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法?练习：（×经典练习×）据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连结得一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五,后人概括为―勾三,股四,弦五‖.（1）观察：3、4、5、,5、12、13、,7、24、25,……发现这几组勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过.计算0.5（9＋1）与0.5（25－1）、0.5（25＋1）,并根据你发现的规律,分别写出能表示7、24、25这一组数的股与弦的算式.（2）根据（1）的规律,若用n(n为奇数且n≥3)来表示所有这些勾股数的勾,请你直接用含n的代数式来表示它们的股和弦.答案：（1）0.5（9+1）∧2+0.5（25-1）∧2=169=0.5（25+1）∧2 0.5（13+1）∧2+0.5（49-1）∧2=0.5（49+1）∧2（2）股：0.5（n^2-1) 弦：0.5（n^2+1）三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A. 等边三角形;B. 钝角三角形;C. 直角三角形;D. 锐角三角形.1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,则∠A + ∠C＝°.2、如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是（）（A）直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)以上答案都不对已知三角形的三边长分别是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n为正整数）则最大角等于_________度.三角形三个内角度数比为1:2:3,它的最大边为M,那么它的最小边是_____.斜边上的高为M的等腰直角三角形的面积等于_____.3、已知,如图,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且∠A=90°,求四边形ABCD的面积.美国总统的证明方法图各具特色的证明方法三角学里有一个很重要的定理,我国称它为勾股定理,又叫商高定理.因为《周髀算经》提到,商高说过"勾三股四弦五"的话.下面介绍其中的几种证明.最初的证明是分割型的.设a、b为直角三角形的直角边,c为斜边.考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B.将A分成六部分,将B分成五部分.由于八个小直角三角形是全等的,故从等量中减去等量,便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和.这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为,直角三角形三个内角和等于两个直角.如上证明方法称为相减全等证法.B图就是我国《周髀算经》中的―弦图‖.下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明,它是一种相加全等证法.其实这种证明是重新发现的,因为这种划分方法,labitibn Qorra（826～901）已经知道.（如：右图）下面的一种证法,是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年给出的.用的也是一种相加全等的证法.如右图所示,边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积,等于边长为c的正方形面积.下图的证明方法,据说是L•达•芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的,用的是相减全等的证明法.欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中,给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明,如次页上图.由于图形很美,有人称其为―修士的头巾‖,也有人称其为―新娘的轿椅‖,实在是有趣.华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙,和―外星人‖去交流.其证明的梗概是：(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL.同理,(BC)2=KEBL所以(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara,活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明,也是一种分割型的证明.如下图所示,把斜边上的正方形划分为五部分.其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形.很容易把这五部分重新拼凑在一起,得到两个直角边上的正方形之和.事实上,婆什迦罗还给出了下图的一种证法.画出直角三角形斜边上的高,得两对相似三角形,从而有c/b=b/m,c/a=a/n,cm=b2cn=a2两边相加得a2+b2=c(m+n)=c2这个证明,在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现.有几位美国总统与数学有着微妙联系.G•华盛顿曾经是一个著名的测量员.T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育.A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的.更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888）,他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能.在1876年,（当时他是众议院议员,五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明,曾发表于《新英格兰教育杂志》.证明的思路是,利用梯形和直角三角形面积公式.如次页图所示,是由三个直角三角形拼成的直角梯形.用不同公式,求相同的面积得即a2+2ab+b2=2ab+c2a2+b2=c2这种证法,在中学生学习几何时往往感兴趣.关于这个定理,有许多巧妙的证法（据说有近400种）,下面向同学们介绍几种,它们都是用拼图的方法来证明的.证法1 如图26-2,在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE,ACFG,BCHK,它们的面积分别为c2,b2和a2.我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可.过C引CM‖BD,交AB于L,连接BC,CE.因为AB=AE,AC=AG ∠CAE=∠BAG,所以△ACE≌△AGBSAEML=SACFG (1)同法可证SBLMD=SBKHC (2)(1)+(2)得SABDE=SACFG+SBKHC,即c2=a2+b2证法2 如图26-3（赵君卿图）,用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH,它的边长是a+b,在它的内部有一个内接正方形ABED,它的边长为c,由图可知.SCFGH=SABED+4×SABC,所以a2+b2=c2证法3 如图26-4（梅文鼎图）.在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE,在直角边AC上又作正方形ACGF.可以证明（从略）,延长GF必过E；延长CG到K,使GK=BC=a,连结KD,作DH⊥CF于H,则DHCK是边长为a的正方形.设五边形ACKDE的面积=S一方面,S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积=c2+ab (1)另一方面,S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积+2倍△ABC面积=b2+a2+ab. (2)由(1),(2)得c2=a2+b2证法4 如图26-5（项名达图）,在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE,又以直角三角形ABC的两个直角边CA,CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）.可以证明（从略）,GF的延长线必过D.延长AG到K,使GK=a,又作EH⊥GF于H,则EKGH必为边长等于a的正方形.设五边形EKJBD的面积为S.一方面S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)另一方面,S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK=b2+ab+a2由(1),(2)得出论证都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和.利用同一个面积的不同表示法来得到等式,从而化简得到勾股定理）图见/21010000/vcm/0720ggdl.doc勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法!但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传.目前所能见到的最早的一种证法,属于古希腊数学家欧几里得.他的证法采用演绎推理的形式,记载在数学巨著《几何原本》里.在中国古代的数学家中,最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅―勾股圆方图‖,用数形结合的方法,给出了勾股定理的详细证明.在这幅―勾股圆方图‖中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a,则面积为（b-a） 2 .于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ）(1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范. 以下网址为赵爽的―勾股圆方图‖：/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A 75CACC1410C.gif 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展, 只是具体图形的分合移补略有不同而已. 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,刘徽用了―出入相补法‖即剪贴证明法,他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出),移到以弦为边的正方形的空白区域内(入),结果刚好填满,完全用图解法就解决了问题. 以下网址为刘徽的―青朱出入图‖：/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A7 5E8675AA4DCB.gif勾股定理应用非常广泛.我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,使注东海,无漫溺之患,此勾股之所系生也."这段话的意思是说：大禹为了治理洪水,使不决流江河,根据地势高低,决定水流走向,因势利导,使洪水注入海中,不再有大水漫溺的灾害,是应用勾股定理的结果.勾股定理在我们生活中有很大范围的运用.勾股定理的16种验证方法（带图）：http:/UploadFiles/2007/11-25/1125862269.doc 练习题：一个等腰三角形,三个内角的比为1:1:10,腰长为10cm,则这个三角形的面积为____由题意得此三角形各角角度为15度15的150度设底边上的高为h 底边长为2t易得sin15=sin60cos45-cos60sin45=h/10解得h=5(√6-√2)/2又tan15=(tan60-tan45)/(1-tan60tan45)=5(√6-√2)/2t解得t=5(√6+√2)故面积s=th=50 `勾股定理的别名勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为―几何学的基石‖,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称．我国是发现和研究勾股定理最古老的国家．我国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理．在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰―勾广三,股修四,经隅五‖,其意为,在直角三角形中―勾三,股四,弦五‖．因此,勾股定理在我国又称―商高定理‖．在公元前7~6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即―以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日．在法国和比利时,勾股定理又叫―驴桥定理‖．还有的国家称勾股定理为―平方定理‖．在陈子后一二百年,希腊的著明数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为―毕达哥拉斯‖定理．为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做―百牛定理‖．三角函数线推导:在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac向量知识推导:如图∵a=b-c∴a^2=(b-c)^2 （证明中a,b,c皆为向量,^2为平方）拆开即a^2=b^2+c^2-2bc再拆开,得|a|^2=|b|^2+|c|^2-2|b||c|CosA同理可证其他.long云龙8tD7 2014-09-20坐标法余弦定理的三次推导（高中数学）2006-11-17 13:02:38 阅读975次2000-2005年笔者先后三次任教高一数学,每轮教学时,都在新课程理念指导下对上一轮的教学进行反思与改进,争取在原有基础上有所突破.下面是笔者在“余弦定理的推导”的三轮教学中,不断实践、反思、再实践,尝试激活数学课堂教学的三个课例.教学片段：余弦定理的第一次推导提问：在ΔA BC中,若已知BC=a,AC=b,∠ACB=C,能否求出三角形的第三边AB的长?教师讲把ΔABC放在直角坐标系中,使顶点A与坐标原点重合,顶点C落在OX 轴的正半轴上,顶点B落在OX轴上方：y B C（b,0）B（ccosA,csinA）∴ a2= b2+c2 -2bccosAAo C x 同理b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理c2= a2+b2 –2abcosC这种方法,我们称为坐标法,它是处理几何问题的一种常见的重要方法.笔者在第一次讲授余弦定理的推导过程是按照教材借助于平面直角坐标系,采用坐标法直接得证的.从课堂效果来看,同学们对运用坐标法来推导余弦定理这一数形结合的思想方法很快接受,其后大量的教学时间可以投入到运用余弦定理解三角形的练习中.而余弦定理的推导过程犹如昙花一现,逐渐被学生忽略和忘却.在以后的学习中,几乎很少有同学能具体说出定理的推导过程,同时,同学们仍旧不习惯用坐标法来解决一些实际问题.因此,这堂课只是让学生接受了余弦定理的内容,而在数学思想方法的点拨培养,即让学生对坐标法的领悟是失败的.因此,笔者在第二次讲授余弦定理的推导时做了新的尝试.教学片段：余弦定理的第二次推导一、创设情境,提出问题教师活动：某工程师设计一条现代化铁路通过某座山,要预算开凿隧道BC的长, 测量人员所处的测量点为A,测得：AB=c,AC=b,∠BAC=A.如果你是工程师,你将如何计算隧道BC的长?二、探索解法,提升认识学生活动：学生找熟悉方法入手,把―斜三角形转化成两个直角三角形‖,运用勾股定理和锐角三角形来证明.师生共同活动：由学生交流、讨论,发现此种方法必须对∠A分三种情况讨论,才是完整的证明.若∠A是直角若∠A是锐角若∠A是钝角BC2=b2+c2 BC2=b2+c2 -2bccosA BC2=b2+c2 -2bccosA通过三种情况的分类讨论,说明无论∠A是直角、锐角、钝角,都有a2=b2+c2 -2bccosA教师活动（总结点拨）：此种证明化一般为特殊,又渗透分类讨论思想,是证明余弦定理的好方法,但证明过程显得十分累赘.同学们能否想个办法避开讨论,不管∠A是锐角、直角还是钝角,都可以将它们统一起来?学生活动：把角统一,三角比定义可以做到,但必须建立直角坐标系.学生板演：把ΔABC放在直角坐标系中,使顶点A与坐标原点重合,顶点C落在OX轴的正半轴上,顶点B落在OX轴上方：y B C（b,0）B（ccosA,csinA）∴ a2= b2+c2 -2bccosAA O C x 同理b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理c2= a2+b2 –2abcosC教师活动：这种方法,我们称之为坐标法,它是处理几何问题的一种常见的重要方法.从课堂效果来看,同学们从安静地听课到积极地配合,从被动地接受到主动地思考.从课后同学反馈来看,同学们纷纷表示对余弦定理的推导过程留下了深刻的印象,感悟到重视数学思想方法要比数学结果的记忆和运用更为重要,而且更吸引他们.从第一次教学后同学们对数学精彩的毫无感觉到第二次教学后同学们对数学思想方法的领悟.无疑,第二次教学实践是有所提高的.而提高正是来自于新课程理念的指导.首先,新课程指出一堂好课应该是学生探索世界的窗口.给予学生新的视野、新的启迪比知识本身的传授更为重要.因此,笔者的第二次教学尝试,将教学重心置于余弦定理的推导过程.从重数学结果转变为重技能、方法的培养.其次,新课程强调课堂教学向生活的回归,只有植根于生活世界并为生活世界服务的课程和教学,才能具有深厚的生命力.因此,笔者创设了一个―现实的、有意义的、富有挑战性的‖问题情境,从教学内容的结构、呈现方式上进行转变.做到情境化、问题化,让学生体验生活中处处有数学.再次,新课程关注学生的学习兴趣和经验,强化直接经验和间接经验的有机整合.因此,在解决实际问题的过程中,鼓励学生从已有的数学经验出发,使得学生能很自然且有信心地投入到探索问题、发现问题和解决问题的过程中.在合作、交流、完善的过程中,让学生体会原有经验在解决问题中的不足,从而激发学生另辟新径、探求新知,进而化解矛盾、化繁为简.在坐标法的探究中,让学生领悟到坐标法解决几何问题比以往用初中几何知识解决,所具有独特的魅力和优越性；更从中领悟到高中阶段学习任意角的三角比的实质意义.在经历了探究、体验、感悟后,同学们的间接经验经过整合、充实、提升为直接经验,并使直接经验不断丰富、发展、升华,从而实现知识与能力的统一.然而,第二天的课前回顾,在讲述余弦定理表达式的回答中,从几位同学吱吱唔唔的回答中,笔者又发现了新问题.在注重余弦定理推导方法的比较时,却忽略了余弦定理本身.新课程明确指出：―将课程与学习融为一体,要展示知识的生成、发展和形成的过程,提供学生亲身感受、体验的机会.‖因此,笔者的第三次教学尝试,在备课时重点放在了余弦定理身上.而如何创设一个余弦定理生成的场景,让学生去自主发现、自主探究,则是问题的关键.但这一问题过去从未思考过,各类书籍参考书也从未揭示过余弦定理的来源,确实它让笔者面临一项很大的挑战.然而―功夫不负有心人‖,终于在一次翻阅过去教案时,灵感降临了.笔者被余弦定理的一个相关结论所吸引：―在三角形ABC中,若a2= b2+c2,则∠A是直角；若a2>b2+c2,则∠A是钝角；若a2< b2+c2,则∠A是锐角‖.这个学生显见的结论,它的证明与余弦定理的关系,三个条件式变化的背后,不正是笔者所要找的吗?因此,笔者在第三次讲授余弦定理的推导时又做了新的尝试.教学片段：余弦定理的第三次推导一、引导学生,发现余弦定理的存在教师活动：在ΔABC中,若已知BC=a,AC=b,能否求出三角形的第三边AB的长?学生活动：不能,因为三角形的大小、形状不能确定.教师活动：不能,那么添加哪一个角的条件,一定能求出三角形的第三边.学生活动：根据三角形的判定定理,只能添加BC、AC的夹角C.教师活动：既然c边可由a、b及∠C唯一确定,那么对于这类问题是否也像正弦定理一样,存在某个定理、公式可以解这种三角形?二、引导学生,探究、猜想余弦定理的形式教师活动：（几何画板展示,在ΔABC中,AC、BC长度固定不变,BC绕C点转动,AB的长度随∠C 的变化而变化）,这一变化揭示AB的长度与∠C之间是怎样的数学关系?学生活动：AB应为∠C的函数教师活动：（几何画板的数据演示：当∠C=90°时,c2=a2+b2；当∠Ca2+b2；）。
