初中数学 四边形的折叠与剪拼试题赏析

中考数学压轴题分析：平行四边形折叠与面积问题本文内容选自2021年临沂中考数学压轴题。

本题以正方形为背景，将正方形进行折叠，得到一个十字模型。

再结合半角模型与四点共圆。

图形比较典型，值得探究。

【中考真题】（2021·山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF （F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD 于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．【分析】（1）由垂直想到直角三角形，由中点想到倍长。

因此可以分别延长ED与BF并交于一点，利用全等与直角三角形斜边中线的性质进行解决。

当然，也可以取BE的中点，构造梯形的中位线进行求解。

（2）有了（1）中的结论，可以考虑连接CC′，那么根据斜边中线的性质的逆定理可以得到CC′与DG垂直，再根据轴对称的性质，可以得到BF垂直平分CC′，那么就可以得到四边形BFDG为平行四边形，进而得到G为AB的中点。

（3）由平行四边形的面积与边长，可以得到对应边上的高。

那么就可以得到BH为4，进而得到A′H=1，也可以根据勾股定理得到CH=√5。

那么再根据△BCH与△NA′H相似，可以得到AH与NH的长。

先求出△AMB或△A′MB的面积，再减去△A′HN的面积即可。

【答案】解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴1，∴EH＝HB，∴BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DFCD，∴BGAB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．∵S平行四边形ABCD＝AB·DJ，∴DJ4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tanA2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x，∴MT，∵tanA＝tanA′2，∴NH＝2，∴5，∴1×2．。

四边形的折叠与剪拼试题赏析由于特殊的四边形具有许多的特殊性，所以命题专家常在中考命题时将特殊四边形设计为折叠或剪拼型试题，以考查同学们的动手操作、探究创新的能力．为方便同学们的学习，现以中考试题为例说明如下：一.折叠问题例1 如图1所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（）A. 70°B. 65°C. 50°D. 25°解析:∵AD ∥BC ,∴∠DEF =∠EFB ＝65°,由折叠性质可知, ∠D ′EF=∠DEF ＝65°,∴∠AED ′=180°-2∠DEF = 50°,故本题应选 C.评注:求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴．例2 如图2,矩形纸片ABCD 中，AB=4,AD =3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,折痕为DG ,则AG 的长为()A.1B.43C.32D.2解析:本题以矩形为依托,利用折叠提出问题,这种在中考中屡有出现.在解答本题时,首先要了解矩形的性质,同时要注意在折叠过程中只是部分图形的位置发生了变化,而形状和大小关系没有改变.解答时可以先利用勾股定理算出DB =5.由折叠可知3,2,A DAD A B 设4AGA Gx BGx ，，利用勾股定理列方程得:22224xx,解之得:32x.评注:有关折叠问题的计算通常要想到直角三角形，利用勾股定理构造出方程求解．二.裁剪问题例3 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是A ．B ．C ．D ．CBDAGA图2EDBC ′FCD ′A图1解析:由于折叠的图形是正方形，所以经过两次折叠后得到的是一个等腰直角三角形，且直角的顶点是原来正方形对角线的交点，腰是正方形对角线的一半，又等腰三角形中剪去的图形是三个圆孔，那么所剪的三个圆孔的圆心所在的直线平行于等腰直角三角形的斜边(即正方形边)，而且展开后应为12个圆孔,所以观察图形只有D 图形符合要求，故应选D ．评注:“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”．我们知道，通过动手实践获取知识,并且了解知识发生的过程，其效果胜于直接吸收书本知识,本题以学生信手拈来的纸片为道具,通过纸条的折叠考查对称思想,真正体现了动手实践的教学理念.例4 如图3，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm 解析:本题是在动手操作的基础上考查菱形的性质，具有一定的灵活性.在解答过程中,要理解菱形的对角线把菱形分割成了四个全等的直角三角形，其面积实际上就是剪下的直角三角形的面积的四倍.所以面积为:1544402.也可根据题意得AC=8,BD=10.面积为1810402.评注:通过对本题的操作，不但能使有利于培养我们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力．ABCD图3动手操作折菱形折纸是一种既有趣味性，同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动，通过折纸可以得到许多美丽的图案，下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。

专题24 图形的折叠与剪拼例110例2 A 提示：作RE⊥y轴于E，RF⊥x轴于F，则Rt△QRE∽Rt△PRF，从而，设R(x，y)，又PR＝OP＝3，QR＝OQ＝6，于是，得x＝，y＝．例37 提示：过F作FM⊥BC于M，证明△FGM≌△ADE，则FG＝AE＝13，DE＝5例4（1）OP＝6－t，OQ＝t＋（2）D(1，3)（3）①PQ能与AC平行，若PQ∥AC，则，即＝．得t＝，而0≤t≤，∴t＝．②PE不能与AC垂直．若PE⊥AC，延长QE交OA于F，则，即，QF＝(t＋)．∴EF＝QF －QE＝QF－OQ＝(t＋)－(t＋)＝(－1)t＋(－1)．又Rt△EPF∽Rt△OCA，∴，即，t≈3.45，而0≤t≤，∴t不存在．例5（1）10个正方形的面积和：32＋52＋62＋112＋172＋192＋222＋232＋242＋252＝3055＝5×13×47．因为所拼成的长方形面积是3055．长方形的宽显然≥25，所以它的宽应当是47，长应当是5×13＝65．（2）注意23+24=47,25+22=47,23+17+25=65,24+19+22=65.由此便可得拼图.（图略）例6 提示：（1）证明：设正方形边长为a，DE为x，则DM=，EM=EA=a-x.在Rt△DEM 中，∠D=90°，∴,DE-2.+,DM-2.=,EM-2.，∴,x-2.+,,,a-2..-2.=，∴，EM=,5-8.a，∴DE：DM：EM=：：,5-8.a=3:4:5（2）设DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，可证明△DEM∽△CMG.,△CMG周长-△DEM周长.=,CM-DE.=,x-y.△CMG的周长，在△DEM中，由勾股定理得,（2a−y）-2.=,y-2.+,（2a−x）-2.，化简得4ay=x （4a-x）即. ∴△CMG的周长=,4a-4a−x.∙（y+2a-x+2a-y）=（4a-x）=4a，为定值.A级1. 2.,65-6. 3.1:2 4.75° 5.80° 6.10 提示：长方形纸片折叠时，AB与CD间的距离缩短了10cm。

第五节折叠与剪拼1.图形的折叠是指把某个图形或部分沿直线翻折，这条直线为对称轴，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变．2.折叠问题的实质是轴对称折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，3.图形的分割就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．4.图形的拼合就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，得到一个新的图形，5.图形的剪拼是指对某个图形通过有限次的剪裁后重新接成另外一个新的几何图形，在剪拼过程中，原图形与新图形的面积一般保持不变．图形折叠与剪拼问题可考查我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与想象结合起来．1.翻折四部曲(1)翻折问题的本质是轴对称全等，首先还原原图形；(2)对应点的连线被折痕垂直平分；(3)折痕问题易出等腰三角形；(4)计算线段或面积用勾股定理．2.把图形分割成面积相等的几部分（等面积）(1)三角形：任意一边的中线，如图8 - 5-18--555-8-8--48-51-25-38-5(2)四边形：①平行四边形：过对角线交点0的任意一条直线；如图8-5-2所示．②梯形：取上下底中点E，F，连EF，取EF中点0(或中位线中点O)，过点0且与上下底相交的任意一条直线，如图8-5-3所示．③普通四边形658-- 758--方法一：如图8-5-4所示，先用折线等分面积，再利用等积变换，连结BD ，取BD 中点E ，连结AE ，CE ，AC ．过点E 作AC 的平行线EF 交BC 于点F ．则AF 为所求；方法二：如图8-5-5所示，先将四边形转化成三角形．连结AC ，过点D 作DE//AC 交BC 延长线于点E ，连结AE ，取BE 中点F ．连结AF ，AF 为所求．(3)五边形：如图8-5-6所示，连结AC ．作BM∥AC，连接AM ，AD ，过点E 作EN∥AD．连接AN ．取MN 中点F ，连接AF ，AF 为所求，3. 按要求分割把图形分割成满足特定要求的几部分，如：把一个三角形分割成两个三角形，只有符合下列条件之一的三角形才能被分割成两个等腰三角形：①一个角等于;90ο②一个角是另一个角的2倍（三个角为);45,31802οο≤-ββββ，，③一个角是另一个角的3倍，如图8-5-7所示．4.图形的剪拼实质是图形的新组合，位置变化但面积不变 解答图形的折叠与剪拼问题，要抓住折叠与剪拼过程中一些量的不变性，结合全等三角形、勾股定理、等面积法、方程思想来解题．例1．（江苏无锡中考）如图8-5-8，ABC Rt ∆中，,90ο=∠ACB ,4,3==BC AC 将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B 处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E ，F ，则线段BF 的长为( )53.A 54.B 32.C 23.D858--检测1.（北京门头沟一模）如图8-5-9所示，把矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，如果,8,4==BC AB则BE 的长为958-- 1058-- 1158--例2．如图8-5-10所示，将边长为cm 12的正方形ABCD 折叠，使得点A 落在CD 边上的点E 处，折痕为MN.若CE 的长为,8cm 则MN 的长为( )cm A 12. cm B 225.cm C 104. cm D 227.检测2.如图8 -5 - 12所示，在平行四边形ABCD 中，,70ο=∠A 将平行四边形折叠，使点D ，C 分别落在点F ，E处（点F ，E 都在AB 所在的直线上），折痕为MN ，则AMF ∠等于( )ο70.A ο40.B ο30.C ο20.D1258--第五节 折叠与剪拼(建议用时30分钟)实战演练1．如图8-5-1所示是一张矩形纸片,10,cm AD ABCD =若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若,6cm BE =则=CDcm A 4. cm B 6. cm C 8. cm D 10.2．如图8-5-2所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在C D ,的位置．若,65ο=∠EFB 则AED ∠等于( )ο70.A ο65.B ο50.C ο25.D158-- 258-- 358-- 458-- 558--3．如图8-5-3所示，把一个长为m 、宽为n 的长方形)(n m >沿虚线剪开，拼接成图8-5-4，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为( )2.nm A - n m B -. 2.m C 2.n D4．如图8-5-5所示，矩形纸片ABCD 中，,3,4==AD AB 折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为( )1.A 34.B 23.C 2.D5．如图8-5-6所示，将边长为8 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处．点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是( )．cm A 3. cm B 4. cm C 5. cm D 6.6．如图8-5-7所示，四边形ABCD 为矩形纸片，把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF.若,6=CD 则AF 等于( )34.A 33.B 24.C 8.D658-- 758-- 858--7．如图8-5-8所示，在矩形ABCD 中，P ，Q 分别是边AD ，BC 的中点，沿过点C 的直线折叠矩形ABCD ，使点B 落在线段PQ 上的点F 处，折痕交AB 边于点E ，交线段PQ 于点G.若BC 的长为3，则线段FG 的长为( )2.A 23.B3.C 233.D8．（北京西城二模）有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中.90ο=∠B 按如图8-5-9所示的方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC 中，若,1651ο=∠则2∠的度数为958-- 1058-- 1158-- 1258--9．如图8 -5 - 10所示，在矩形ABCD 中，.6,12cm BC cm AB ==点E ，F 分别在AB ，CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A ．D 分别落在矩形ABCD 外部的点D A ,处．则整个阴影部分图形的周长为 10.将矩形纸片ABCD 按如图8-5 -11所示的方式折叠，AE ，EF 为折痕，AB BAE ,30ο=∠,3=折叠后，点C 落在AD 边上的1C 处，并且点B 落在1EC 边上的1B 处．则BC 的长为11．如图8 -5 -12所示，将边长为12 cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若FG 的长为13 cm ，则线段CE 的长为 cm. 12.如图8-5 - 13所示，一张矩形纸片ABCD ，其中,6,8cm AB cm AD ==先沿对角线BD 对折，点C 落在点C 的位置，BC 交AD 于点G ． (1)求证：;CG AG =(2)如图8-5 -14所示，再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M ，求EM 的长．1358-- 1458--拓展1．（陕西中考）将一个无盖正方体纸盒展开（如图8 -5 - 22所示），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图8 -5 - 23所示）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是 ．2258-- 2358--拓展2．一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？请写出一种折法，并简要说明折法的正确性，极限挑战15.（上海市竞赛题）如图8-5 - 24所示．EF 为正方形ABCD 的对折线，将A ∠沿着DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点，则DKG ∠的度数是-8-524答案。

初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。

本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD则∠CBD = 90°折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 12AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △A ’DG ，由A ’D = AD = 3，AG ’ = AG ，则A ’B = 5 – 3 = 2，在Rt △A ’BG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE ，∠EBF=∠CBF ，据此即可求出∠FBC 的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积． ∵点C 与点E 关于直线BD 对称，∴∠1 = ∠2 ∵AD ∥BC ，∴∠1 = ∠3∴∠2 = ∠3 ∴FB = FD设FD = x ，则FB = x ，FA = 8 – x在Rt △BAF 中，BA 2 + AF 2 = BF 2∴62 + (8 - x)2 = x 2 解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．∵四边形CDFE 与四边形C ’D ’FE 关于直线EF 对称∴∠2 = ∠3 = 64°∴∠4 = 180° - 2 × 64° = 52° ∵AD ∥BC321F E D C B A54132G D‘FC‘DAGA'CA B D∴∠1 = ∠4 = 52°∠2 = ∠5又∵∠2 = ∠3∴∠3 = ∠5∴GE = GF∴△EFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．（1）由对称的性质可知：B’C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF= 12，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60°；（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’= 60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’= GC，即可得△GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积设AE = x，则BE = GE = 4 - x，在Rt△AEG中，根据勾股定理有：AE2 + AG2 = GE2即：x2 + 4 = (4 - x)2解得x = 1.5，BE = EG = 4 – 1.5 = 2.5∵∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3又∵∠A = ∠D = 90°∴△AEG ∽△DGP∴AEDG=EGGP，则1.52=2.5GP，解得GP =103PH = GH – GP = 4 - 103=23∵∠3 = ∠4，tan∠3 = tan∠1 = 3 4∴tan∠4 = 34，FHPH=34，FH =34×PH =34×23=12∴CF = FH = 1 2∴S梯形BCFE = 12(12+52)×4 = 6注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D 重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．(1)BB’ = MN过点N作NH∥BC交AB于点H），证△ABB’≌△HNM(2)MB’ = MB = y，AM = 1 – y，AB’ = x在Rt△ABB’中BB’ = AB2 + AB'2= 1 + x2因为点B与点B’关于MN对称，所以BQ = B’Q，则BQ = 12 1 + x2由△BMQ∽△BB’A得BM×BA = BQ×BB’PC'NB CA DMB'QPHC'NB CA DMB'∴y = 12 1 + x2× 1 + x2=12(1 + x2)(3) 梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等由(1)可知，HM = AB’ = x，BH = BM – HM = y – x，则CN = y - x∴梯形MNCB的面积为：12(y – x + y) ×1 = 12(2y - x)= 12(2×12(1 + x2) – x)= 12(x -12)2 +38当x = 12时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值是38二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）∵∠α= ∠1，∠2 = ∠1∴∠α= ∠2∴2∠α+∠ABE=180°，即2∠α+30°=180°，解得∠α=75°．题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为作CD⊥AB，∵CE∥AB，∴∠1=∠2，根据翻折不变性，∠1=∠BCA，故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠CAB=45°，∴在Rt△ADC中，AC = 2 2 ，AB = 2 2S△ＡＢＣ＝12AB×CD = 2 2a2130°BEFACD在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是如图，作QH ⊥PA ，垂足为H ，则QH=2cm ， 由平行线的性质，得∠DPA=∠PAQ=60° 由折叠的性质，得∠DPA =∠PAQ ， ∴∠APQ=60°，又∵∠PAQ=∠APQ=60°， ∴△APQ 为等边三角形， 在Rt △PQH 中，sin ∠HPQ = HQPQ∴32 = 2PQ ，则PQ = 433注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）图c 图b图aCDGFEC GDFEFBCAEBB∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b 中，GE = GF ，∠GFC=180°-2∠EFG=140°， 在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）设AB=xcm ．右图中，AF = CE = 35，EF = x根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x （cm ）． 则有2（35-x ）+x=60， x=10．16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm ， 下底等于纸条宽的2倍，即6cm ， 两个三角形都为等腰直角三角形， 斜边为纸条宽的2倍，即6cm ，故超出点P 的长度为（30-15）÷2=7.5， AM=7.5+6=13.5GEFD AE FD B C A B C 60cm三、三角形中的折叠17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14 ．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于 ；（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）． (1)∵CD = 12 AB∴∠ACB = 90°∵AB = 2a ，BC = a ，∴AC = 3a ∴S △ABC = 12 ×AC ×BC = 32a 2∴重叠部分的面积为：14×32a 2 = 38a 2(2)若AC = a ，如右图∵AD = a ，∴∠2 = 180°- 30°2 = 75°∠BDC = 180°- 75°= 105° ∴∠B'DC = 105°∴∠3 = 105°- 75°= 30° ∴∠1 = ∠3 ∴AC ∥B'D∴四边形AB'DC 是平行四边形∴重叠部分△CDE 的面积等于△ＡＢＣ的面积的14若折叠前△ABC 的面积等于32a 2 过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则 12 ×AB ×CH = 32a 2 B'CDAB231EB'CDBACH =32a 又tan ∠1 =CH AH∴AH = 32a∴BH = 12a则tan ∠B =CHBH，得∠B = 60° ∴△CBD 是等边三角形 ∴∠2 = ∠4∴∠3 = ∠4，AD ∥CB 2又CB 2 = BC = BD = a ，∴CB 2 = AD ∴四边形ADCB 2是平行四边形则重叠部分△CDE 的面积是△ABC 面积的14(3)如右图，由对称的性质得，∠3 = ∠4，DA = DB 3 ∴∠1 = ∠2又∵∠3 + ∠4 = ∠1 +∠2 ∴∠4 = ∠1 ∴AB 3∥CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19．在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；3241EHB 2DABC3412B 3DA BC在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。

八年级数学竞赛例题专题-图形的折叠与剪拼专题24 图形的折叠与剪拼阅读与思考图形的折叠是指把某个图形或部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴，在折叠过程中，线短的长度、角的度数保持不变.图形的剪拼是指对某个图形通过有限次的剪裁后重新接成另外一个新的几何图形，在剪拼过程中，原图形与新图形的面积一般保持不变.解答图形的折叠与剪拼问题，要抓住折叠与剪拼过程中一些量的不变性，将计算、推理与合情想象结合起来，常用到全等三角形、勾股定理、面积等知识与方法.折叠问题的实质是对称问题，“遇到折叠用对称”就是运用对称的性质：①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是对应点连线的中垂线.例题与求解【例1】如图，矩形ABcD中，AB＝8，Bc＝4，将矩形沿Ac折叠，点D落在处，则重叠部分△AFc的面积为＿＿＿＿＿.例1题图例2题图解题思路：△AFc的高为Bc，只需求出AF，注意到＝，AF＝Fc【例2】如图，直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，把△PoQ沿PQ翻折，点o落在R处，则点R的坐标是A.B.c.D.解题思路：过点R作x轴，y轴的垂线，再利用相似三角形的性质可得垂线段的长度即求得点R的坐标.解剪拼问题时先利用剪拼后的图形所需关键线段的长度，然后，从剪拼前的图形中寻找这些长度进行剪拼.【例3】如图，将边长为12c的正方形ABcD折叠，使得A点落在cD边上点E处，然后压平折痕FG，若FG＝13c，求cE长.解题思路：由折叠可得A与E关于FG对称，则FG⊥AE，可证明FG＝AE，这是解本例的关键.【例4】将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为．用含的代数式表示；当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．解题思路：对于，假设能，由比例线段求出t的值，关键是看相应t的值是否在t的取值范围.折纸、剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，同时说明了存在的事实是怎样被发现的，现象又是怎样获得证实的，在平面几何的一些主要学习环节发挥重要作用.【例5】用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一个长方形.求这个长方形的长和宽；请画出拼接图.解题思路：运用剪拼前后图形面积不变求长方形的长和宽；利用长方形对边相等的性质画拼接图.【例6】将正方形纸片ABcD折叠，使顶点A与cD边上的点重合，折痕交AD 于E，交Bc于F，边AB折叠后与Bc交于点G.如果为cD边的中点，求证：DE：D：E＝3：4：5；如果为cD边上的任意一点，设AB＝2a，问△cG的周长是否有与点的位置关系？若有关，请把△cG的周长用含c的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．解题思路：折痕EF两旁部分图形是关于EF成对称的，对于，通过相似三角形性质，把△cG的周长用相关代数式表示，解题的关键是将几何问题代数化.对于例6，如图，当为cD边上的中点，则有，即G为Bc的三等分点，这一结果是由日本筑波大学的生物学教授芳贺和夫发现的，被称为芳贺定理.作深入思考，进一步挖掘还能得到如下重要结论：无论怎样折叠，若点落在cD上，则G＝D＋BG；无论怎样折叠，若点落在cD上，连A，GA，则∠AG＝450.能力训练如图，在矩形ABcD中，AB＝6c，Bc＝8c，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为＿＿＿c.如图，矩形ABcD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使B点落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为_________.第1题图第2题图第3题图如图是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底与下底长的比是_____.如图，EF为正方形纸ABcD的对折线，将∠A沿D折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DG＝_______度.如图，已知等边△ABc中，点D，E分别在边AB，Bc上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边Ac于点F，G，若∠ADF＝，则∠EGc的度数为________.第4题图第5题图第6题图将一张长为70c的长方形纸片ABcD沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与cD间的距离为60c，则原纸片的宽AB是______c.如图，在矩形纸片ABcD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线Ac重合，点B落在F处，折痕为AE，且EF ＝3，则AB的长为A.3B.4c.5D.6如图，在△ABc中，∠c＝900，Bc＝6，D，E分别在AB，Ac上，将△ABc沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为cE的中点，则折痕DE的长为A.B、2c、3D、4第7题图第8题图第9题图如图，有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案.10、如图，折叠矩形纸片ABcD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折线DG，若AB＝2，Bc＝1，求AG.11、如图，折叠矩形ABcD的一边AD，使点D落在Bc边上的点F处，已知折痕，求矩形ABcD的周长.12、如图1，一张矩形纸片ABcD，其中AD＝8c，AB＝6c，先沿对角线BD对折，点c落在点c′处的位置，Bc′交AD于点G.求证：AG＝；如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点，求E的长.B级如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABcD，先沿对角线BD对折，点c落在c′的位置，Bc′交AD于G，再折叠一次使D点与A点重合，得折痕EN，EN交AD于点，则E的长为__________.如图，矩形纸片ABcD中，AB＝3c，Bc＝4c，现将A，c 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则重叠部分△AFE的面积为_________.第1题图第2题图第3题图如图，矩形ABcD沿直线BD折叠，使点c落在c′处，Bc′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________.如图，把矩形纸片oABc放入平面直角坐标系中，使oA，oc分别落在x轴上，y轴上，连结Ac，将矩形纸片oABc沿Ac折叠，使点B落在点D的位置，若B，则点D的横坐标是______.如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点c是y轴上一点，把坐标平面沿直线Ac折叠，使点B刚好落在x轴上B′处，则点c的坐标是_________.第4题图第5题图第6题图如图，矩形纸片ABcD，AB＝5c，Bc＝10c，cD上有一点E，ED＝2c，AD上有一点P，PD＝3c，过P作PF⊥AD交Bc 于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_____c.在三角形纸片ABc中，已知∠ABc＝900，AB＝6，Bc＝8，过点A作直线l平行于Bc，折叠三角形纸片ABc，使直角顶点B落在直线上的T处，折痕为N，当点T在直线l上移动时，折痕的端点，N也随之移动，若限定端点，N分别在AB，Bc边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为__________如图，矩形纸片ABcD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，BG＝10.当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF 为菱形，并求出折痕GF的长.9、如图，已知三角形纸片ABc 的面积为25，Bc的长为10，∠B，∠c都为锐角，是AB边上的一动点，过点作N∥Bc交Ac于点N，设N＝.使点B落在AD边上的点处，点c落在点N处，N与cD 交于点P，连结EP.如图②，若为AD边的中点，①△AE的周长＝_________c；②求证：EP＝AE＋DP；随着落点在AD边上取遍所有的位置，△PD的周长是否发生变化？请说明理由.如图1，在矩形ABcD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，再将纸片还原.当时，折痕EF的长为________；写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x ＝2时菱形的边长；令＝y，当点E在AD上、点F在Bc上时，写出y与x 的函数关系式，当取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似．若相似，求出的值；若不相似，请说明理由.。

四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。

解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。

一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ．（1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上）（1）证明：由题意可知21∠=∠，∵AD ∥BC , ∴31∠=∠. ∴32∠=∠. ∴MF ME = 同理 FM FN =. ∴FN ME =. 又∵ME ∥FN ,∴四边形MNFE 是平行四边形.（2）60例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.（1）证明：由题意可知△AB C ≌△ACD ≌△ACE, 所以∠DAC=∠ACE,所以△FAC 是等腰三角形； （2）解：设CF=AF=x ，且AD=BC=6,CD=AB=4 Rt △CDF 中，DF=AD-AF=6-x 由勾股定理得，2224(6)x x +-= 133x =ABC DABC D6-x=53Rt △ABC 中，AC=213 △FAC 的周长=263+213 △FAC 的面积=△ACD 的面积-△CDF 的面积=263例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长． 解：由题意可知△ADE ≌△AFE . ∴AF AD =，FE DE =.在矩形ABCD 中，16==AB CD ，CB AD =，︒=∠=∠=∠90D C B ,∵6=CE ,∴10=-==CE CD DE EF .在Rt △CEF 中，822=-=CE EF FC .设x BF =，则x BF FC BC +=+=8, ∴x BC AD AF +===8.在Rt △ABF 中，222AF BF AB =+, 即222)8(16x x +=+,解得 12=x ，即12=BF （cm ）.例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '． （1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明．（1）证明：根据题意可知CDE C DE '△≌△，CD C DC DE CDE CE C E '''∴===，，∠∠． AD BC ∥，C DE CED '∴=∠∠．CDE CED ∴=∠∠．CD CE ∴=． CD C D C E CE ''∴===．∴四边形CDC E '为菱形．（2）解：当BC CD AD =+时，四边形ABED 为平行四边形． 证明：由（1）知CE CD =．又BC CD AD =+，BE AD ∴=．又AD BE ∥，∴四边形ABED 为平行四边形．FEDCB A。

初二数学四边形的折叠问题技巧摘要：1.引言2.四边形折叠问题的基本概念3.解题步骤与技巧4.常见题型分析5.总结与建议正文：【引言】四边形的折叠问题一直是初二数学中的热点和难点，很多同学在面对这类问题时感到无从下手。

其实，只要掌握一定的解题技巧和方法，四边形的折叠问题就可以变得不再神秘。

本文将为你详细解析四边形折叠问题的解题技巧，助你轻松应对这类题目。

【四边形折叠问题的基本概念】四边形折叠问题是指在平面几何中，将一个四边形通过折叠变换成为一个平面图形，并在此基础上求解相关问题。

这类问题主要包括四边形的折叠、展开、切拼等操作，以及与这些操作相关的性质和定理。

【解题步骤与技巧】1.分析题意：首先要对题目进行仔细阅读，了解题目所给出的条件和要求。

2.画图辅助：对于复杂的题目，可以通过画图来辅助理解和解题。

画出四边形折叠后的图形，有助于找出解题的关键信息。

3.寻找关系：分析题目中所给条件，找出四边形折叠前后的关系，如对应边相等、对应角相等等。

4.运用定理和公式：根据找出的关系，运用相关定理和公式进行计算和证明。

5.归纳总结：在解题过程中，要不断总结经验和规律，以便在遇到类似题目时能够迅速找到解题思路。

【常见题型分析】1.四边形折叠后的对边相等问题：根据折叠性质，折叠前后四边形的对边相等，可以通过这一性质求解相关问题。

2.四边形折叠后的角度问题：根据折叠性质，折叠前后四边形的对应角相等，可以通过这一性质求解相关问题。

3.切拼四边形问题：通过对四边形进行切拼操作，将其变为已知图形，进而求解相关问题。

【总结与建议】四边形的折叠问题虽然看似简单，但实际上涉及到的知识点较多。

要想掌握这类问题，需要同学们在平时的学习中多加练习，熟练掌握相关定理和公式。

同时，要善于总结经验和规律，提高解题速度。

初二数学四边形的折叠问题技巧
摘要：
一、折叠问题的概念及分类
二、折叠问题的解题技巧
1.观察特殊图形法
2.相对面不相邻法
三、折叠问题在中考中的重要性
四、总结
正文：
一、折叠问题的概念及分类
折叠问题是指将一个平面图形通过折叠的方式，转变成另一个平面图形的问题。

它主要考察学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

折叠问题可以分为两类：一类是给出一个平面图形，要求在四个备选的图形中选出可以由左侧图形折叠而成的一个；另一类是给出一个立体图形，要求通过折叠将其变成一个平面图形。

二、折叠问题的解题技巧
1.观察特殊图形法
在解决折叠问题时，可以先观察题目所给出的目标图形中的特殊面，或者特殊图形连接的位置。

然后对比选项，与之不符的直接排除。

这样可以缩小答案范围，提高解题效率。

2.相对面不相邻法
空间折叠类题目要结合排除法解题，最常用的排除技巧是相对面不相邻原则。

即一定要抓住某两个相邻面或对立面的图形特征，从而可以利用排除法选择正确答案。

违背这些特征的，便是错误选项。

三、折叠问题在中考中的重要性
折叠问题是我国中考数学判断推理的一个必考题型。

它对学生的空间想象能力和逻辑思维能力有较高的要求，同时也是检验学生综合运用数学知识解决实际问题的能力的重要途径。

因此，掌握折叠问题的解题技巧，对于提高中考数学成绩具有重要意义。

四、总结
总之，折叠问题作为中考数学中的一个重要题型，需要我们熟练掌握其解题技巧。

通过观察特殊图形法和相对面不相邻法，可以帮助我们在解决折叠问题时更好地把握答案，提高解题正确率。

初二数学四边形的折叠问题技巧【实用版3篇】目录（篇1）1.初二数学四边形折叠问题的背景介绍2.四边形折叠问题的解决方法3.解决四边形折叠问题的方法和技巧4.总结正文（篇1）一、初二数学四边形折叠问题的背景介绍四边形折叠问题是初二数学几何知识中的重要内容，旨在帮助学生掌握四边形的性质和几何变换。

通过解决这类问题，学生可以更好地理解几何概念，提高空间想象能力。

二、四边形折叠问题的解决方法1.确定折叠后图形的形状2.确定对应边、对应角的关系3.利用几何变换的性质解决问题三、解决四边形折叠问题的方法和技巧1.确定折叠后图形的形状：首先，需要明确折叠后四边形的形状，可以通过已知条件进行分析或通过几何变换得到。

2.确定对应边、对应角的关系：在确定形状的基础上，需要找到折叠前后的边、角之间的关系。

可以利用全等或相似三角形的性质，或通过几何变换得到。

3.利用几何变换的性质解决问题：在解决四边形折叠问题时，可以利用几何变换的性质，如平移、旋转、对称等，将问题转化为简单的几何问题。

四、总结四边形折叠问题是初二数学几何知识中的难点，需要学生掌握几何变换的性质和对应边、角的关系。

目录（篇2）1.初二数学四边形折叠问题的概述2.四边形折叠问题的技巧和方法3.运用技巧和方法解决实际问题4.总结正文（篇2）一、初二数学四边形折叠问题的概述四边形折叠问题是初二数学几何知识中的重要内容，旨在培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

该问题通过折叠四边形，让学生在观察、比较和推理中理解四边形的性质和特征。

二、四边形折叠问题的技巧和方法1.观察和分析：通过观察四边形的形状和特点，分析其边长、角度和周长等几何性质。

2.归纳和演绎：通过对已知的四边形折叠问题的归纳，运用演绎法推导出新的结论。

3.归纳法：通过对大量四边形折叠问题的观察和分析，归纳出解决问题的方法和规律。

4.类比法：将已知的四边形折叠问题中的条件和结论进行类比，推导出新的结论。

FE DABC四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。

解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。

一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ． （1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上）例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '．（1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明16．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．18．如图，E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE ＝ED ，P 是对角线BD 上任意一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足NEFMD'A'B'C'ABCDF E DC B A分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．分式方程和不等式应用题：1．（2011•德阳）某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表：购进数量（件）所用资金（元）第一批x 16000第二批2x 34000（1）该商场两次共购进这种电子产品多少件？（2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？1200135010001200B A 售价（元/件）进价（元/件）价格商品2．（2011•河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．（1）第一批衬衣进货时的价格是多少？（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？3．（2011•防城港）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元． （1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？二元一次方程组和不等式的应用:1．茶叶作为一种饮料不仅清香可口，而且具有独特的药用价值，特别是绿茶中含有较多的 叶酸，对人的健康很有帮助，某批发茶商第1次用39万元购进A 、B 两种品牌绿茶，销售完 后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润=单件利润×销售量）（1）该茶商第1次购进A 、B 两种绿茶各多少件？（2）该茶商第2次以原价购进A 、B 两种绿茶，购进B 种绿茶的件数不变，而购进A 种绿 茶的件数是第1次的2倍，A 种绿茶按原价销售，而B 种绿茶打折销售，若两种绿茶销售完毕， 要使得第2次经营活动获得利润不少于75000元，则B 种绿茶最低售价为每件多少元？2．（2012•包头）某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元． （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？3． 为了防控甲型H7N9禽流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？二次函数周长最小问题：如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，0）、B （6，0）、C （0，32 ），抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点。

中考数学冲刺 专题突破 特殊四边形专题二 特殊四边形中的折叠问题【专题说明】特殊四边形中的折叠问题在中考中经常出现，是近年来一个比较热门的考点.这个主题内容是专门利用折叠的本质和性质来研究特殊四边形与折叠结合的问题，达到训练以及考查学生综合运用知识的能力.【类型】一、菱形中的折叠问题【精典例题】1、如图，菱形纸片ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，折叠纸片使点A 与点O 重合，折痕为EF ，若AB ＝5，BD ＝8，则△OEF 的面积为( )A ．12B ．6C ．3 D.32【精典例题】2、如图，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP(P 为AB 的中点)所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE.若∠A ＝60°，则∠DEC 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【精典例题】3、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB′E ，AB′与CD 边交于点F ，则B′F 的长度为( )A ．1 B. 2 C ．2－ 2 D ．22－2【精典例题】4、菱形ABCD 的边长是4，∠DAB ＝60°，点M ，N 分别在边AD ，AB 上，且MN ⊥AC ，垂足为P ，把△AMN 沿MN 折叠得到△A′MN ，若△A′DC 恰为等腰三角形，则AP 的长为_________________【类型】二、正方形中的折叠问题【精典例题】5、如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB＝4，则FM的长为( )A．4 B．2 3 C．2 2 D．2【精典例题】6、如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________【精典例题】7、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为.【类型】三、矩形中的折叠问题【精典例题】8、如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝12 cm，EF＝16 cm，则边AD的长是( )A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．28 cm【精典例题】9、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形的一角沿AC折叠，则重叠阴影部分△AFC的面积为( )A．14 B．12 C．10 D．8【精典例题】10、一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长为( )A. 2 B．2 2 C．1 D．2【精典例题】11、如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝_____.【精典例题】12、如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把矩形OABC 沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_____________.【精典例题】13、如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于____．【精典例题】14、折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上．若AB＝AD＋2，EH＝1，求AD的长．【精典例题】15、在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C 翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．【精典例题】16、如图①，在矩形ABCD中，AB＞BC，将它沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.(1)如图②，若AB＝8，AD＝4，当M点与D点重合，求BE；(2)如图③，当M为AD的中点，求证：EP＝AE＋DP.【精典例题】17、如图，矩形A1B1C1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B处；沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点．(1)求证：四边形BEFG是平行四边形；(2)连接B1B，判断△B1BG的形状，并写出判断过程．【精典例题】18、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.【精典例题】19、如图①，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在DC 上的点A′处，然后将矩形展平，如图②，沿EF 折叠，使点A 落在折痕DE 上的点G 处．再将矩形ABCD 沿CE 折叠，此时点B 恰好落在DE 上的点H 处．(1)求证：EG ＝CH ；(2)已知AF ＝2，求AD 和AB 的长．【精典例题】20、如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN的值．中考数学冲刺 专题突破 特殊四边形专题二 特殊四边形中的折叠问题【专题说明】特殊四边形中的折叠问题在中考中经常出现，是近年来一个比较热门的考点.这个主题内容是专门利用折叠的本质和性质来研究特殊四边形与折叠结合的问题，达到训练以及考查学生综合运用知识的能力.【类型】一、菱形中的折叠问题【精典例题】1、如图，菱形纸片ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，折叠纸片使点A 与点O 重合，折痕为EF ，若AB ＝5，BD ＝8，则△OEF 的面积为( )A ．12B ．6C ．3 D.321. C【精典例题】2、如图，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP(P 为AB 的中点)所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE.若∠A ＝60°，则∠DEC 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°2. D在直线翻折得△AB′E ，AB′与CD 边交于点F ，则B′F 的长度为( )A ．1 B. 2 C ．2－ 2 D ．22－23. C足为P ，把△AMN 沿MN 折叠得到△A′MN ，若△A′DC 恰为等腰三角形，则AP 的长为_________________4【类型】二、正方形中的折叠问题【精典例题】5、如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB＝4，则FM的长为( )A．4 B．2 3 C．2 2 D．2【精典例题】6、如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________6. 16或45AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为.【精典例题】8、如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝12 cm，EF＝16 cm，则边AD的长是( )A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．28 cm8. C【精典例题】9、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形的一角沿AC折叠，则重叠阴影部分△AFC 的面积为( )A．14 B．12 C．10 D．8【精典例题】10、一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段DG长为( )A. 2 B．2 2 C．1 D．210. A知△DGH＝30°，连接BG，则△AGB＝_____.11. 75°沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_____________.【精典例题】13、如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，△GFP＝62°，那么△EHF的度数等于____．13. 56°的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；△把纸片展开并铺平；△把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上．若AB＝AD＋2，EH＝1，求AD的长．14. 解：设AD＝x，则AB＝x＋2.翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.(1)如图△，若AB＝8，AD＝4，当M点与D点重合，求BE；(2)如图△，当M为AD的中点，求证：EP＝AE＋DP.【精典例题】17、如图，矩形A1111111沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点．(1)求证：四边形BEFG是平行四边形；(2)连接B1B，判断△B1BG的形状，并写出判断过程．AE.求证：(1)BF＝DF；(2)AE△BD.18. 证明：(1)由折叠的性质可知，△FBD ＝△CBD ，△AD△BC ，△△FDB ＝△CBD ，△△FBD ＝△FDB ，△BF 【精典例题】19、如图△，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在DC 上的点A′处，然后将矩形展平，如图△，沿EF 折叠，使点A 落在折痕DE 上的点G 处．再将矩形ABCD 沿CE 折叠，此时点B 恰好落在DE 上的点H 处．(1)求证：EG ＝CH ；(2)已知AF ＝2，求AD 和AB 的长．19. 解：(1)由折叠知AE ＝AD ＝EG ，BC ＝CH.△四边形ABCD 是矩形，△AD ＝BC.△EG ＝CH(2)△△ADE ＝45°，△FGE ＝△A ＝90°，AF ＝2，△DG ＝2，DF ＝2.△AD ＝2＋ 2.如图，由折叠知，△1＝△2，△3＝△4，△△2＋△4＝90°，△1＋△3＝90°.△△1＋△AFE ＝90°，△△3＝△AFE.又△△A ＝△B ＝90°，由(1)知，AE ＝BC ，△△EFA△△CEB.△AF ＝BE.△AB ＝AE ＋BE ＝AD ＋AF ＝2＋2＋2＝2＋22【精典例题】20、如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3△1，求MN DN的值．。

四边形的折叠与剪拼试题赏析由于特殊的四边形具有许多的特殊性，所以命题专家常在中考命题时将特殊四边形设计为折叠或剪拼型试题，以考查同学们的动手操作、探究创新的能力．为方便同学们的学习，现以中考试题为例说明如下：一. 折叠问题例1 如图1所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 （ ）A . 70°B . 65°C . 50°D . 25°解析:∵AD ∥BC ,∴∠DEF =∠EFB ＝65°,由折叠性质可知, ∠D ′EF =∠DEF ＝65°, ∴∠AED ′=180°-2∠DEF = 50°,故本题应选C .评注:求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴．例2 如图2,矩形纸片ABCD 中，AB =4,AD =3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,折痕为DG ,则AG 的长为( )A .1B .43C . 32D .2解析:本题以矩形为依托,利用折叠提出问题,这种在中考中屡有出现.在解答本题时,首先要了解矩形的性质,同时要注意在折叠过程中只是部分图形的位置发生了变化,而形状和大小关系没有改变.解答时可以先利用勾股定理算出DB =5.由折叠可知3,2,A D AD A B ''===设4AG A G x BG x '===-，，利用勾股定理列方程得:()22224x x +=-,解之得:32x =. 评注:有关折叠问题的计算通常要想到直角三角形，利用勾股定理构造出方程求解． 二.裁剪问题例3 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是A ．B ．C ．D ．图2EDBC ′ FCD ′A 图1解析:由于折叠的图形是正方形，所以经过两次折叠后得到的是一个等腰直角三角形，且直角的顶点是原来正方形对角线的交点，腰是正方形对角线的一半，又等腰三角形中剪去的图形是三个圆孔，那么所剪的三个圆孔的圆心所在的直线平行于等腰直角三角形的斜边(即正方形边)，而且展开后应为12个圆孔,所以观察图形只有D 图形符合要求，故应选D ．评注:“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行”.我们知道，通过动手实践获取知识,并且了解知识发生的过程，其效果胜于直接吸收书本知识,本题以学生信手拈来的纸片为道具,通过纸条的折叠考查对称思想,真正体现了动手实践的教学理念.例4 如图3，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm解析:本题是在动手操作的基础上考查菱形的性质，具有一定的灵活性.在解答过程中,要理解菱形的对角线把菱形分割成了四个全等的直角三角形，其面积实际上就是剪下的直角三角形的面积的四倍.所以面积为:1544402⨯⨯⨯=.也可根据题意得AC =8,BD =10.面积为1810402⨯⨯=.评注:通过对本题的操作，不但能使有利于培养我们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力．ABCD图3动手操作折菱形折纸是一种既有趣味性，同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动，通过折纸可以得到许多美丽的图案，下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。

则 ＭＥ＝Ａ Ｄ＝１ ．
、
在折 叠中酝酿与发现
例 １ （ 东 ・ 海 卷） 如 图 １ Ｂ Ｄ是 一 张 矩形 纸 片 ， 山 威 ，Ａ Ｃ Ａ Ｄ＝Ｂ Ｃ＝１ ＡＢ＝Ｃ ， Ｄ＝５ ．在矩形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的边 Ａ Ｂ上取 一点 ，
由（ ） ， ＬＫ Ｍ ＝ＬＫ １知 Ｎ ＭＮ
２ １ ０ ２年
第 ６期
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｈｎ ｓ ｔ ｅ ｔ ｓ Ｅ ｕ ａｉｎ ｏ ｒ ａ ｆ Ｃ ｉｅ ｅ Ｍａｈ ｍａｉ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
ＮＯ． ２ ２ ６ ０１
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刘 烹（ 省福 城 中 兰 西安 县 关 学 荣 江 佃 兀于 坚 首 。） ’
摘要 ：在近 几年各地 中考 中，涌现 出了大量 以三 角形 、四
所 以 Ｒ △Ａ Ｃ Ｒ △删 ｔ 曰 ｔ Ｃ
＾
由勾股定理 ，得 １＋（ ）＝ ５一 解得 ＝２６ ．，即 ＭＤ＝ Ｄ＝２６ Ｎ ．．
Ｓ△ ＝ １ × １Ｘ２ ６ ： １３ ．
．
所以 Ｈ ４ 斗 ＝ ． Ｅ＝ Ｘ÷ ３ ｍ ０
所 以 四 边 形 Ｄ Ｆ的 面 积 为 ×８ ＨＣ １ ×６一 １ ｘ４×３＝１ ｍ ． ８ｃ ２
所 以 ＭＫ＝Ｎ ． Ｋ
在边 Ｃ Ｄ上取一点 Ⅳ，将纸片沿 ＭＮ折叠 ，使 ＭＢ与 Ｄ Ｎ交 于点
，
又 因 为 ＭＫ ≥ Ｍ Ｅ，
所以Ｎ ≥ １ Ｋ ． 所以ｓ ＝Ｉ Ｎ ‘ Ｋ ＭＥ≥ １
２
Ａ
图２
得 到 △ＭＮ ． Ｋ
Ｃ
收稿 日期 ：２ １ － １ １ ０ １ １－ ０
二
二

情况 ２ ：如 图 ４ ，将 矩
形 纸片 沿对 角线 ＡＣ对 折 ，

初二数学：四边形的折叠问题技巧四边形是几何学中重要的图形之一，它具有丰富的性质和应用。

在数学学习中，我们常常会遇到与四边形相关的问题。

其中一个有趣且常见的问题就是四边形的折叠问题。

本文将介绍四边形折叠问题的基本概念和解题技巧，帮助初中生更好地理解和解决这类问题。

什么是四边形的折叠问题？四边形的折叠问题是指给定一个四边形，在保持边长不变的情况下，把它折叠成二维平面上的一个点或一条线段。

常见的四边形包括正方形、长方形、平行四边形和梯形等。

这类问题常常涉及如何折叠和旋转四边形，并要求计算折叠后的形状、面积、体积等数值。

基本概念在解决四边形的折叠问题之前，先了解一些基本概念是很有帮助的。

1.边长：四边形的每条边的长度，通常用a、b、c和d表示。

2.对角线：连接四边形的两个非相邻顶点的线段，通常用e和f表示。

3.高度：以顶点为基点，垂直于底边或顶边的线段的长度，通常用h表示。

4.面积：四边形所围成的区域的大小，通常用S表示。

折叠技巧解决四边形折叠问题的关键在于理解形状的变化和如何利用对称性质。

下面将介绍常见四边形的折叠技巧。

正方形折叠技巧正方形是最简单的四边形之一，它的所有边长相等，对角线相等且互相垂直。

当折叠一个正方形时，我们可以沿着对角线折叠，从而使正方形折叠成一个边长等于对角线长度的等边三角形。

长方形折叠技巧长方形是另一种常见的四边形，它拥有两组相等的边长，且相邻边互相垂直。

当折叠一个长方形时，我们可以沿着较短的一组边折叠，从而使长方形折叠成一个等腰直角三角形。

平行四边形折叠技巧平行四边形具有两对平行边，对角线互相交叉，但长度不相等。

当折叠一个平行四边形时，我们可以选择沿着任意一条对角线折叠。

如果选择沿着短对角线折叠，平行四边形会折叠成一个与原平行四边形等面积的直角梯形；如果选择沿着长对角线折叠，平行四边形会折叠成一个与原平行四边形相等的直角三角形。

梯形折叠技巧梯形的特点是两边平行，而另外两边不平行。

初二数学四边形的折叠问题技巧一、引言在初二数学的学习中，四边形是一个重要的知识点，而四边形的折叠问题又是四边形中的一个难点。

很多同学在解决这类问题时感到无从下手，其实只要掌握了相应的技巧，就能轻松解决这类问题。

本文将详细介绍解决四边形折叠问题的技巧，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

二、技巧一：明确折叠前后的图形关系在解决四边形折叠问题时，首先要明确折叠前后的图形关系。

通常，折叠后会有折痕，而折叠前后的图形可以通过折痕进行重合。

因此，要仔细分析折叠前后的图形，找出它们之间的联系和区别。

三、技巧二：利用轴对称性解题四边形是轴对称图形，而折叠问题通常可以利用轴对称性来解题。

通过分析折叠前后的图形，找出轴对称性，可以帮助我们快速找到解题思路。

四、技巧三：掌握常见折叠问题的解决方法四边形的折叠问题通常有几种常见题型，如折叠后一个角的大小变化、折叠后四边形的形状变化等。

对于这些常见题型，我们需要掌握相应的解决方法。

例如，可以通过计算折叠后各角度的大小，来判断四边形的形状；可以通过比较折叠前后的边长关系，来判断折叠后是否重叠。

五、技巧四：善于运用辅助线在解决四边形折叠问题时，有时候需要添加辅助线来帮助解题。

辅助线的添加需要根据题目的具体情况来决定，但只要善于运用，就能帮助我们更快地找到解题思路。

六、例题解析通过以下例题，我们可以更好地掌握上述技巧。

【例题】：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于点E，点F在BD上，将四边形ABFC沿BD折叠，点A、C恰好落在点F处，已知∠ABC=60°，BD=8cm。

求：沿BD折叠后四边形ABFC的形状。

分析：首先需要明确折叠前后的图形关系，即BD是折痕。

根据题意可知，沿BD折叠后点A、C落在点F处，因此可以得出∠AFB=∠ABC=60°。

另外，根据已知条件可知BD=8cm，因此可以通过计算各角度的大小来得出四边形ABFC的形状。

中考数学复习题型四《图形的折叠与剪拼》分析题型四图形的折叠与剪拼例 1（ 2016 中考）如图，△ ABC中，∠ A=78°， AB=4，AC=6.将△ ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的暗影三角形与原三角形不相像的是（）．．．例 1 图【答案】 C.【分析】试题剖析：只需三个角相等，或许一角相等，两边成比率即可。

选项C项不可以判断两个三角形相像，故答案选 C考点：相像三角形的判断.例 2（河北）如图，将长为2、宽为 1 的矩形纸片切割成n 个三角形后，拼成面积为 2 的正方形，则 n≠（）A．2B．3C． 4 D． 5考点：图形的剪拼剖析：利用矩形的性质以及正方形的性质，联合勾股定理得出切割方法即可．解答：解：如下图：将长为2、宽为 1 的矩形纸片切割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则 n 能够为： 3，4，5，故 n≠ 2．应选： A．1．(2016 保定高阳县一模 ) 如下图，将正方形纸片三次对折后，沿图中 AB线剪掉一个等腰直角三角形，睁开摊平获得的图形是( )2．(2016 定州二模 ) 如图，在矩形纸片 ABCD中， AB＝ 4， BC＝8，将纸片沿 EF折叠，使点 C 与点 A 重合，则以下结论错误的选项是 ( )A ．AF＝AE B．△ABE≌△ AGF C ．EF＝2 5D．AF＝EF3．(2016 唐山开平区模拟 ) 将一张宽为 4 cm的长方形纸片 ( 足够长 ) 折叠成如下图图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是( )82 2 162 2A. 3 3 cm B ． 8 cmC. 3 3 cm D．16 cm4．(2016 唐山滦南县模拟 ) 将一个无盖正方体纸盒睁开( 如图 1) ，沿虚线剪开，用获得的 5 张纸片 ( 此中 4 张是全等的直角三角形纸片 ) 拼成一个正方形 ( 如图 2) ，则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是 ( )1 12 4A. 2B. 3C. 3D. 55．(2016 河北模拟 ) 如图，在边长为 2a 的正方形中央剪去一个边长为(a ＋2) 的小正方形(a ＞2) ，将节余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( )A ．a2＋ 4B．2a2＋4a C．3a2－4a－4D．4a2－a－26．(2016 河北模拟 ) 如图，在矩形 ABCD中， AB＝8，BC＝12，点 E 是 BC的中点，连结AE，将△ ABE沿 AE折叠，点 B 落在点 F 处，连结 FC，则 sin ∠ECF＝( )3 4 4 3A. 4B. 5C. 3D. 57．(2016 邢台模拟 ) 如下图，假如将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，睁开后获得一个等腰三角形，则睁开后三角形的周长是( )A ．2＋10B．2＋210C．12D．188．(2016 石家庄第四十二中学模拟) 如图，将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点 C 恰巧落在折痕 PQ上的点 C′处，点 D 落在 D′处，此中 M是 BC的中点，连结AC′， BC′，则图中共有等腰三角形的个数是 ( )A．1B．2C．3D．49．(2016 唐山玉田县模拟 ) 如图，在△ ABC中，∠ C＝90 °，BC＝6，D，E 分别在 AB，AC 上，将△ ABC沿 DE折叠，使点 A 落在点 A′处，若 A′为 CE的中点，则折痕 DE的长为．10．(2016 石家庄模拟 ) 如图，若将左侧的正方形剪成两个直角三角形和两个四边形后，恰巧能拼成右侧的矩形．设a＝2，则正方形的边长为．答案： 1. A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.B 7.B 8.C 9.2 10. 5＋3。