中考数学平行四边形综合练习题含答案
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中考数学平行四边形综合练习题含答案
一、平行四边形
1.四边形ABCD是正方形,AC与BD,相交于点O,点E、F是直线AD上两动点,且
AE=DF,CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G,连接AG,直线AG交BE于点H.(1)如图1,当点E、F在线段AD上时,①求证:∠DAG=∠DCG;②猜想AG与BE的位置关系,并加以证明;
(2)如图2,在(1)条件下,连接HO,试说明HO平分∠BHG;
(3)当点E、F运动到如图3所示的位置时,其它条件不变,请将图形补充完整,并直接写出∠BHO的度数.
【答案】(1)①证明见解析;②AG⊥BE.理由见解析;(2)证明见解析;(3)
∠BHO=45°.
【解析】
试题分析:(1)①根据正方形的性质得DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG,所以∠DAG=∠DCG;②根据正方形的性质得AB=DC,
∠BAD=∠CDA=90°,根据“SAS”证明△ABE≌△DCF,则∠ABE=∠DCF,由于∠DAG=∠DCG,所以∠DAG=∠ABE,然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°,于是可判断
AG⊥BE;
(2)如答图1所示,过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,证明△AON≌△BOM,可得四边形OMHN为正方形,因此HO平分∠BHG结论成立;
(3)如答图2所示,与(1)同理,可以证明AG⊥BE;过点O作OM⊥BE于点M,
ON⊥AG于点N,构造全等三角形△AON≌△BOM,从而证明OMHN为正方形,所以HO 平分∠BHG,即∠BHO=45°.
试题解析:(1)①∵四边形ABCD为正方形,
∴DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,
在△ADG和△CDG中
,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠DAG=∠DCG;
②AG⊥BE.理由如下:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°,
在△ABE和△DCF中
,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴∠ABE=∠DCF,
∵∠DAG=∠DCG,
∴∠DAG=∠ABE,
∵∠DAG+∠BAG=90°,
∴∠ABE+∠BAG=90°,
∴∠AHB=90°,
∴AG⊥BE;
(2)由(1)可知AG⊥BE.
如答图1所示,过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,则四边形OMHN为矩形.
∴∠MON=90°,
又∵OA⊥OB,
∴∠AON=∠BOM.
∵∠AON+∠OAN=90°,∠BOM+∠OBM=90°,
∴∠OAN=∠OBM.
在△AON与△BOM中,
∴△AON≌△BOM(AAS).
∴OM=ON,
∴矩形OMHN为正方形,
∴HO平分∠BHG.
(3)将图形补充完整,如答图2示,∠BHO=45°.
与(1)同理,可以证明AG⊥BE.
过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,
与(2)同理,可以证明△AON≌△BOM,
可得OMHN为正方形,所以HO平分∠BHG,
∴∠BHO=45°.
考点:1、四边形综合题;2、全等三角形的判定与性质;3、正方形的性质
2.如图,△ABC是等边三角形,AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从点D出发,点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动.点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动,回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ.设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0<t<3).
(1)当点N落在边BC上时,求t的值.
(2)当点N到点A、B的距离相等时,求t的值.
(3)当点Q沿D→B运动时,求S与t之间的函数表达式.
(4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2:3时t的值.
【答案】(1)(2)2(3)S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2;(4)
t=1或
【解析】
试题分析:(1)由题意知:当点N落在边BC上时,点Q与点B重合,此时DQ=3;(2)当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,此时PD=DQ;
(3)当0≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN;当≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN.
(4)MN、MQ与边BC的有交点时,此时<t<,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后,即可求出t的值.
试题解析:(1)∵△PQN与△ABC都是等边三角形,
∴当点N落在边BC上时,点Q与点B重合.
∴DQ=3
∴2t=3.
∴t=;
(2)∵当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,
∴PD=DQ,
当0<t<时,
此时,PD=t,DQ=2t
∴t=2t
∴t=0(不合题意,舍去),
当≤t<3时,
此时,PD=t,DQ=6﹣2t
∴t=6﹣2t,
解得t=2;
综上所述,当点N到点A、B的距离相等时,t=2;
(3)由题意知:此时,PD=t,DQ=2t
当点M在BC边上时,
∴MN=BQ
∵PQ=MN=3t,BQ=3﹣2t
∴3t=3﹣2t
∴解得t=
如图①,当0≤t≤时,
S△PNQ=PQ2=t2;
∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2,