16783-数学模型课件(北邮)-4

§5.4 投入产出分析模型问题：大到国家甚至整个国际社会，小到一家企业，我们均可以将其视为一个经济体系来加以考察。

一个国家其国民经济的各个组成部分间、一家企业的不同车间部门或产品间，投入与产出存在怎样的相互依存关系，对其进行合理准确的建模分析为管理者做出科学的决策有着非常重要的意义。

特别对于一家大型的工业制造企业，其部门数、原料与产品种类通常都比较多，且不同部门不同产品的间的技术经济联系非常紧密，生产计划、产品价格的科学制定，原材料的顺利采购等均直接关系企业的效益。

投入产出法最早是有美国经济学家瓦西里·列昂剔夫在20世纪30年代初提出的，迄今已发展为一个内容相当丰富并有着广泛应用的方法体系。

本文只介绍体系中最基本的一个方法模型。

一． 模型假设考虑一家大型的工业制造企业，按照产品来划分其组成部门：1．n 种自产产品，m 种外购原料，其中自产产品有一部分是供应市场需求的，也有一部分是在生产其它产品时作为原料而被中间消耗；2．每一种产品的生产均有稳定的技术条件：)..1,(n j i a ij =、)..1;..1(n j m i h ij ==分别表示生产单位第j 种产品需要消耗的第i 种自产产品、第i 种外购原料的量，分别称之为对自产产品、外购原料的直接消耗系数，它们均为常数，与产品的产量无关；3．T n x x x X ),(21 =、T n y y y Y ),(21 =、T n u u u U ),(21 =、T m z z z Z ),(21 =分别表示在某一时期自产产品的总产（向）量、最终产出（供应市场需求的）（向）量、对自产产品的直接消耗（向）量，以及对外购原料的直接消耗（向）量。

二． 模型建立若记n n ij a A ⨯=)(、n m ij h H ⨯=)(，分别称之为对自产产品、外购原料的直接消耗系数矩阵，根据模型假设，可得如下数学模型：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=+=X H Z XA U Y U X 模型中第一个方程是一平衡模型方程，而后两个分别称之为中间（对自产产品的）消耗、原始（对外购原料的）消耗函数模型。

前言数学模型与数学实验课在我国大多数高等院校中普遍开设，它是当前我国高等教育基础课程教学改革的前沿课程之一。

这一课程的成功开设，为学生正确理解数学教育的重要性以及数学学科与其它诸多专业课之间的内在联系有着非常重要的作用——它是学生在学期间弥合基础理论与各应用学科之间鸿沟的一座桥梁，同时，作为数学教育的一门重要的辅助课程，这门课程的开设也为整合大学数学教学过程中不同数学课程所可能留给初学者的各自孤立甚至极为琐碎的印象成为可能。

因此，如果在教学中处理得当，对这门课程在本科生教育中的重要意义作什么样的肯定性估价均不会过分。

北京邮电大学较早地将数学模型课作为全校公共选修课在本科生中开设，迄今已逾十载。

期间，有多位老师对本课程的教学以及课程建设做出了大量而又细致的工作，更兼期间校院领导对本课程教学的重视，应当说这门课程在我校的教学实践是相当成功的——愈来愈多的学生注册选修本课程和参加有关的数学建模竞赛活动。

特别，我校学生在最近几年参加全国大学生数学建模竞赛和美国大学生数学建模竞赛中连续取得了非常出色的成绩。

本课件的开发可以被看作是对我校最近几年在数学模型课课程教学以及数学建模活动的开展过程中所积累下来的资料所进行的一次较为全面的整理，其内容包括：1）贺祖国老师数学模型课教学以及组织培训参加数学建模竞赛队员过程中所编写的讲义、有关数学建模教学的交流文稿或科研论文等；2）1997年以来，我校学生参加全国大学生数学建模竞赛和美国大学生数学建模竞赛时所完成的参赛论文，甚至包括一些队员在学习期间完成的与数学建模有关的科研论文（这些论文有的在一些比较有影响的学术征文中获奖）；3）其它像数学建模竞赛题目、部分赛题的优秀参赛论文等学习资料。

本课件凝结了许多人的劳动和才智，其中王晓霞副教授（北方交通大学）在课程讲义的组织整理过程中做了大量的工作，孙洪祥、罗守山两位教授为课件的内容组成以及框架构思提供了许多宝贵的建议。

当然，应当特别题及的是在我们身边的许多参加数学建模学习和竞赛活动的同学，没有他们的劳动这项工作将黯然失色——这里资料的原创权有相当大部分是归他们的；网页是由董乘宇、袁楠、刘冰等几位同学合力设计完成的。

§6.2 战争模型一．问题分析影响一个军队战斗力的因素是多方面的，比方士兵人数、单个士兵的作战素质以及部队的军事装备，而具体到一次战争的胜负，部队采取的作战方式同样至关重要，此时作战空间同样成为讨论一个作战部队整体战斗力的一个不可忽略的因素。

本节介绍几个作战模型，导出评估一个部队综合战斗力的一些方法，以预测一场战争的大致结局。

总以)(t x 、)(t y 表示甲乙交战双方在时刻t 的兵力，不妨视为双方的士兵人数，0)0(x x =、0)0(y y =表示甲乙双方在开战时的初始兵力，显然0,00>y x 。

在整个战争期间，双方的兵力在不断发生变化，而影响兵力变化主要有如下三个因素：1．战斗减员率，它取决于双方的兵力，不妨以),(y x f 、),(y x g 分别表示甲乙双方的战斗减员率；2．非战斗减员率，比方由于疾病或逃跑等因素导致一个部队减员，它通常可被设与本方的兵力成正比，比例系数0,>βα分别对应甲乙双方；3．增援率，它通常取决于一个已投入战争部队以外的因素，甲乙双方的增援率函数分别以)(),(t v t u 表示。

由此，可以得到一般的战争模型：⎩⎨⎧+⋅--=+⋅--=)(),()()(),()(t v y y x g t y t u x y x f t x βα 而评价双方的胜负，总认定兵力先降为“零”（全部投诚或被歼灭）的一方为败。

以下分正规战和游击战来讨论。

二． 正规作战模型模型假设：1．不考虑增援，忽略非战斗减员；2．甲乙双方均以正规部队作战，每一方士兵的活动均公开，处于对方士兵的监视与杀伤范围之内，一旦一方的某个士兵被杀伤，对方的火力立即转移到其他士兵身上。

因此，甲乙双方的战斗减员率仅与对方的兵力有关，简单的设为是正比关系，以a 、b 分别表示甲乙双方单个士兵在单位时间的杀伤力。

若以x r 、y r 分别表示甲乙双方单个士兵的射击率，它们通常主要取决于部队的武器装备；以x p 、yp 分别表示甲乙双方士兵一次射击的（平均）命中率，它们主要取决于士兵的个人素质，则有y y p r a ⋅=、x x p r b ⋅=。

§11.3 最短路问题：在现实生活当中，有许多问题类似我们在假日旅行时，当目的地确定后，我们常常为了缩短行程或者节省开销而选择一条总路程或总开销最小的旅行路线。

1．设),(E V D 是一个赋权有向图，且其中每条有向边的边权)(e w 均为非负实数，},...,{1n v v V =。

现要求出D 中顶点1v 与任一顶点j v 的距离j d1，当+∞<j d 1时求出D 中1v 到j v 的最短路*1j P。

● 路ni i i v v v P ...10=的权：)()(11k k i i nk v v w P w -∑==;●最短路：设*P 为 i v 到jv的路满足{}的路到）中（为j i v v E V D P P w Min P w ,|)()(*=，则称*P 为 i v 到 jv 的最短路;●i v 到 j v的距离：⎪⎩⎪⎨⎧∞+=的路到若不存在的最短路到若存在j i j i j i ij v v P v v P w v v d OR d **)(),(.2．定理：设),(E V D 是一个赋权有向图，且其中每条有向边的权)(e w 均为正数，设*P 为 i v 到jv的最短路，则*P 必为一初级路，即不含圈。

证明：设K i i i v v v P ...10*=为 0i i v v = 到 Ki j v v = 的最短路，且*P 中含圈，即21,k k ∃，K k k ≤<≤210，满足21k k i i =，此时，由已知“),(E V D 是一个边权均为正数的赋权有向图，K k k k i i i i i i v v v v v v P 2212110'++=为 i v 到 j v 的路，且)()(*'P w P w <，这与假设“K i i i v v v P ...10*=为 i v 到 j v 的最短路”矛盾。

考察如下赋权有向图D：图11.3.1图11.3.1 (a)、(b)、(c)分别为D 中从顶点1v 、2v 、3v 到其它各顶点的最短路，它们分别是以1v 、2v 、3v 为根的根树（当然不包括距离为∞的顶点）。

人口增长的建模人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感受到“地球在变小”，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义。

本节介绍几个经典的人口模型，也以此试图说明数学建模的一般步骤。

以P(t)表示时刻t 某地区（或国家）的人口数。

模型一：人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus ，1766--1834）一．模型假设1．时刻t 人口增长的速率（即单位时间人口的增长量）与当时人口数成正比，即人口的相对增长率为常数，记之为r 。

2．设人口数P(t)足够大，可以连续变量处理，且P(t)关于t 连续可微。

二．模型建立及求解：据模型假设，不难得到如下初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=0)0(P P P r dt dP 解之得 rt e P t P ⋅=0)(。

三．模型检验1．19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合。

19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战。

2．+∞=∞→rt t e P 0lim模型二：阻滞增长模型（Logistic ）一个模型的缺陷，通常可以在模型假设当中找到其症结所在——或者说，模型假设在数学建模过程中起着至关重要的作用，它决定了一个模型究竟可以走多远。

在指数增长模型中，我们只考虑了人口数本身一个因素影响人口的增长速率，事实上影响人口增长的另外一个因素就是资源，定性的分析，人口数与资源量对人口增长的贡献均应当是正向的。

一．模型假设1．地球上的资源有限，不妨设为1；而一个人的正常生存需要占用*/1P （这里事实上也内在地假定了地球的极限承载人口为*P ）；2．在时刻t ，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设它与当时的剩余资源量*-=P P s /1成正比；比例系数*r 表示人口的固有增长率；3．设人口数P(t)足够大，可以连续变量处理，且P(t)关于t 连续可微。

§5.2 经济增长模型问题：大到一个国家的国民产值，小到一个企业中某种产品的生产量，其值通常取决于相关的生产资料和劳动力等重要因素。

而这些量之间究竟存在何种依赖关系，进而劳动生产率提高的条件是什么？一． 模型假设1． 生产量Q ，只取决于两个重要因素：生产资料K （厂房、设备、技术革新等）和劳动力L （数量、素质等），即),(L K f Q =；另外，这几个量又是随着时间t 的变化而不断改变的，因此也把它们视为时间t 的函数：)(t Q 、)(t K 、)(t L ，在劳动生产率增长的条件的讨论中，)(t L 服从指数增长规律，相对增长率为常数ρ，而)(t K 的增长率正比于生产量)(t Q ，即将)(t Q 按照某一固定比率σ用于生产（资料）性扩大再生产投资； 2． 劳动生产率Z 可由生产量Q 与劳动力L 之比来表征。

定性分析，),(L K f Q =关于L K ,均单调增，即0,≥∂∂∂∂L Q K Q二． 模型建立与求解1． 道格拉斯（Douglas ）生产函数在附表中美国马萨诸塞州1890~1926年生产资料指数K i 、劳动力指数L i 与总产量指数Qi 的一组统计数据，取1899年为基年，即0=t ，以此为参照，)0()()(,)0()()(,)0()()(K t K t i L t L t i Q t Q t i K L Q ===也许我们很难直接从表上发现什么，但若定义)()(ln)(t i t i t K L =ξ，)27..9()()(ln)(-==t t i t i t K Q ψ，并作}27..9|))(),({(-=t t t ψξ的散点图，发现ψξ,基本上服从正比例关系，利用数据拟合，可得ξψ733674.0=。

这一结果并非偶然，事实上它被后来更多地区或国家的统计数据所肯定：存在常数)1,0(∈γ，ξγψ⋅=。

当然常数)1,0(∈γ取值通常和相应地区或国家的经济发展阶段以及主要产业类型等因素有关。

第九章 图论方法建模§9.1 图论课程简介一． 基本概念1. 哥尼斯堡七桥问题：居民从某处出发，试图发现这样的路线，经过所有的桥，且对每一座桥只经过一次，并最终回到原处。

有人请教了当时的大数学家欧拉，欧拉将之转化为如下的一副“图”，仅包含“点”、“线”的一类拓扑结构：2. 图：称由若干个点 {}n v v v V ,,21= 以及以这些点为端点的若干条边{}m e e e E ,,21= 形成的一种拓扑结构为图。

记之为),,(ψE V G ，其中{}n v v v V ,,21=为顶点集，{}m e e e E ,,21=为边集，VV E ⨯→:ψ为边集到“顶点集与顶点集自身的笛卡儿积集”上的一个映射，称之为关联关系。

简记为),(E V G边与顶点的关系有如下几种典型情况：3.简单图：无自回环，无重边的图。

无向图：边没有指向，2121},{)(iiiiivvvve==ψ.此时称边ie与顶点1iv、2iv关联，称顶点1i v与顶点2i v邻接。

有向图：边有指向，2121),()(iiiiivvvve==ψ顶点的度：与一个顶点关联的边的个数；若是有向图，则分为顶点的出度和入度。

（以上，左图为一无向图，右图为一有向图，它们均为简单图；七桥问题对应的图为一无向图，但由于存在重边，故不是简单图）4.图),(EVG的关联矩阵m nijrR⨯=)(，若),(EVG为无向图，⎪⎩⎪⎨⎧=为自回环关联，与非自回环关联，与不关联与jjijjijiijeeveevevr21；若),(EVG为有向图，⎪⎩⎪⎨⎧=的终点是的起点是不关联与jijijiijevevevr215.图),(EVG的邻接矩阵n nijaA⨯=)(，若),(EVG为无向图，的边数，若不邻接，取到从jiijvva=；若),(EVG为有向图，的有向边数，若无，取到从jiijvva=。

例如⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111111111111R、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111111111111A，分别为下图的关联矩阵和邻接矩阵。

§4.2 允许缺货的确定性贮存模型我们经常遇到这样的情形：当我们到一家商店中购买一件物品时，被店员告知该物品缺货——在本节我们讨论一个允许缺货的确定性贮存模型，和前面介绍的不允许缺货的确定性贮存模型相比，容易发现当一家商店由于缺货而支走顾客而失去销售机会，从而使利润减少；减少的利润可以视为因缺货而付出的费用，因此在建模时引入“缺货费”。

一． 模型假设：1．假设商店经营的商品单一，顾客对该物品的需求量在时间上保持恒定，即在任何时刻，单位时间（每天）对物品的需求量恒为r （吨）；2．商店采用周期进货策略：每隔时间T （天）进货Q （吨）；且假设每次进货是在存货全部售出之后进行，允许缺货，即T r Q ⋅≤；3．每次进货需支付订货费（等一次性费用）1c ，在正常期间，还需支付货物的贮存费用，单位时间（天）单位（吨）货物需支付货物的贮存费用2c ；在缺货期间需对由于错失销售机会而承担损失，每天单位时间（天）单位（吨）货物需支付缺货费3c ；4．以)(t q 表示在时刻t 该货物的存量，当0)(<t q 时表示缺货量；二． 模型建立根据假设，不难得到如下最优化问题：{}T t tr Q t q t s Tdt t q c dt t q c c C Min Tr Q r Q ≤≤⋅-=⋅⋅-⋅⋅+=⎰⎰0)(../)()(/3/021 可以进一步化简，得02)(223221>-⋅+⋅+=T rTQ rT c rT Q c T c C Min，即本模型有两个独立的决策变量T 、Q ，其中目标函数C 表示在进货周期为T 、进货量为Q 时，商店在单位时间（每天）承担的平均费用，为T 、Q 的一个二元函数。

三． 模型求解 令⎩⎨⎧==∂∂∂∂00QC T C ，解之可得最优的进货周期332212c c c rc c T +⋅=，进而得每次的进货量323212c c c c rc Q +⋅=。

四． 点评将本模型的解和前面一节不允许缺货的模型的解进行比较，发现进货周期变长，而一次进货量却有所减少，即确实存在一段时间，商店是处在缺货状态下的。