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高中数学全套笔记

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1 高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

UxAxCA,UxCAxA.

2.德摩根公式

();()UUUUUUCABCACBCABCACB.

3.包含关系

ABAABBUUABCBCAUACBUCABR6

4.容斥原理

()()cardABcardAcardBcardAB

()()cardABCcardAcardBcardCcardAB()()()()cardABcardBCcardCAcardABC.

5．集合12{,,,}naaa的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式2()(0)fxaxbxca;

(2)顶点式2()()(0)fxaxhka;

(3)零点式12()()()(0)fxaxxxxa.

7.解连不等式()NfxM常有以下转化形式

()NfxM[()][()]0fxMfxN

|()|22MNMNfx()0()fxNMfx

11()fxNMN.

8.方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根,与0)()(21kfkf不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21kk内,等价于0)()(21kfkf,或0)(1kf且22211kkabk,或0)(2kf且22122kabkk.

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若qpabx,2，则minmaxmax()(),()(),()2bfxffxfpfqa；

qpabx,2，maxmax()(),()fxfpfq，minmin()(),()fxfpfq.

(2)当a<0时，若qpabx,2，则min()min(),()fxfpfq，若qpabx,2，则max()max(),()fxfpfq，min()min(),()fxfpfq.

10.一元二次方程的实根分布

依据：若()()0fmfn，则方程0)(xf在区间(,)mn内至少有一个实根 .

设qpxxxf2)(，则 2 （1）方程0)(xf在区间),(m内有根的充要条件为0)(mf或2402pqpm；（2）方程0)(xf在区间(,)mn内有根的充要条件为()()0fmfn或2()0()0402fmfnpqpmn或()0()0fmafn或()0()0fnafm；

（3）方程0)(xf在区间(,)n内有根的充要条件为()0fm或2402pqpm .

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间),(的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式(,)0fxt(t为参数)恒成立的充要条件是min(,)0()fxtxL.

(2)在给定区间),(的子区间上含参数的二次不等式(,)0fxt(t为参数)恒成立的充要条件是(,)0()manfxtxL.

(3)0)(24cbxaxxf恒成立的充要条件是000abc或2040abac.

12.真值表

ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ

真 真 假 真 真

真 假 假 真 假

假 真 真 真 假

假 假 真 假 假

13.常见结论的否定形式

原结论 反设词 原结论 反设词

是 不是 至少有一个 一个也没有

都是 不都是 至多有一个 至少有两个

大于 不大于 至少有n个 至多有（1n）个

小于 不小于 至多有n个 至少有（1n）个

对所有x，

成立 存在某x，

不成立

p或q

p且q

对任何x，

不成立 存在某x，

成立

p且q

p或q

14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题

若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ

互 互

互 为 为 互 3 否 否

逆 逆

否 否

否命题 逆否命题

若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

15.充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设2121,,xxbaxx那么

1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；

1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.

(2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.

17.如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函数; 如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([xgfy是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf.

20.对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是函数2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy 的图象关于直线2bax对称.

21.若)()(axfxf,则函数)(xfy的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(axfxf,则函数)(xfy为周期为a2的周期函数.

22．多项式函数110()nnnnPxaxaxa的奇偶性

多项式函数()Px是奇函数()Px的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数()Px是偶函数()Px的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数()yfx的图象的对称性

(1)函数()yfx的图象关于直线xa对称()()faxfax

(2)()faxfx.

(2)函数()yfx的图象关于直线2abx对称()()famxfbmx

()()fabmxfmx.

24.两个函数图象的对称性

(1)函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线0x(即y轴)对称.

(2)函数()yfmxa与函数()yfbmx的图象关于直线2abxm对称.

(3)函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x对称. 4 25.若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

abfbaf)()(1.

27.若函数)(bkxfy存在反函数,则其反函数为])([11bxfky,并不是)([1bkxfy,而函数)([1bkxfy是])([1bxfky的反函数.

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数()fxcx,()()(),(1)fxyfxfyfc.

(2)指数函数()xfxa,()()(),(1)0fxyfxfyfa.

(3)对数函数()logafxx,()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa.

(4)幂函数()fxx,'()()(),(1)fxyfxfyf.

(5)余弦函数()cosfxx,正弦函数()singxx，()()()()()fxyfxfygxgy，

0()(0)1,lim1xgxfx.

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）)()(axfxf，则)(xf的周期T=a；

（2）0)()(axfxf，

或)0)(()(1)(xfxfaxf，

或1()()fxafx(()0)fx,

或21()()(),(()0,1)2fxfxfxafx,则)(xf的周期T=2a；

(3))0)(()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期T=3a；

(4))()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212()1(()()1,0||2)fafxfxxxa，则)(xf的周期T=4a；

(5)()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa

()()(2)(3)(4)fxfxafxafxafxa,则)(xf的周期T=5a；

(6))()()(axfxfaxf，则)(xf的周期T=6a.

30.分数指数幂

(1)1mnnmaa（0,,amnN，且1n）.

(2)1mnmnaa（0,,amnN，且1n）.

31．根式的性质

（1）()nnaa.

（2）当n为奇数时，nnaa；

当n为偶数时，,0||,0nnaaaaaa.

32．有理指数幂的运算性质

(1) (0,,)rsrsaaaarsQ.

(2) ()(0,,)rsrsaaarsQ.

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高三数学重点知识归纳笔记

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高三数学重点知识归纳笔记十篇

高三数学重点知识归纳笔记篇1

以往，人们常说数学是一门理解性学科，所以学习数学重在理解。然而，事实却并不是这样。数学除了需要理解，还需要记忆，甚至后者更为重要，先背会再理解更是数学中一种常见的学习方法。究其原因主要有两点：一是由高中数学自身的特点来决定的。高中数学不但内容多、题型多、难度大，而且还变化多样，让人难以捉摸。所以，我们一定要抓住这万变中的不变，才能以不变应万变。这就需要学生必须把每一节的知识点和类型题背下来，掌握每个知识点的考察方式及出题类型，并了解与其结合的常见知识点的出题方式及解题思路。不仅如此，还需掌握高考中关于这个知识点的考察情况：前几年是如何考察的、近几年又发生了怎样的改变。二是有些知识以学生现有的知识水平是理解不了的，所以只能先记住结论，等到日后学习了其他知识再对这个知识进行解释，比如在高一学习集合中求含有n个元素集合的所有子集个数问题时，就只能先记住结论，等到高二学习了二项式定理之后才对它进行解释，而有些知识甚至要等到上大学或者在数学领域有更深的研究之后才能做出解释，对于这些知识就只能先背下来再理解。

二、记笔记的重要性

笔记在高中数学的学习中起着非常重要的作用。一方面，笔记可以把老师讲过的知识点和类型题记下来，便于随时查看，巩固所学。前面已经提到过高中数学内容多、难度大且题型多，就必修一函数部分来说，函数值域的求法就有十几种方法，条件稍微变一下求解方法就大不一样，更别说函数单调性、奇偶性那部分的知识点和类型题了。另一方面，这些笔记还是高三一轮复习的最好资料。每到高三，大家就会为一轮复习资料的选取和做法大伤脑筋，尤其是资料的选取，它不仅是一轮复习的关键，更关系着整个高考的成败。资料太难，复习起来既慢又没效果，而资料太简单就会出现知识点覆盖不全又脱离高考的现象。那有没有一本资料既能恰到好处地把高一、高二的基础知识捡起来，又能紧密地联系高考呢？那就是笔记。笔记中其中不仅有详细的知识点，还有难易适度的类型题，所以只要学生把笔记拿出来反复做两遍，当年的知识就回来了，期间再辅以各知识点在最近两年各省市高考题或模拟题出现的新题，就能使学生快速地与高考衔接起来，既提高了速度，又达到了预期目标，为二、三轮的复习赢得了宝贵的时间。

高中数学笔记知识点

高中数学笔记知识点

高中数学笔记知识点

一、集合

集合是高中数学中的一个基础概念。集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体。

集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。列举法就是将集合中的元素一一列举出来，比如{1, 2, 3, 4, 5}；描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，比如{x ｜ x ＞ 0}表示大于 0 的所有实数组成的集合；图示法常见的有韦恩图，通过图形能更直观地理解集合之间的关系。

集合之间的关系有子集、真子集和相等。如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，那么 A 就是 B 的子集，记作 A ⊆ B；如果 A 是 B

的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么 A 就是 B 的真子集，记作 A ⊂ B；如果 A 和 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等，记作 A

＝ B。

集合的运算包括交集、并集和补集。交集是指两个集合中共同的元素组成的集合，记作 A ∩ B；并集是指将两个集合中的所有元素合并在一起组成的集合，记作 A ∪ B；补集是指在全集中不属于某个集合的元素组成的集合，记作 CUA。

二、函数 函数是高中数学的重点内容。函数的定义是：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

函数的三要素是定义域、值域和对应法则。定义域是指自变量 x 的取值范围；值域是函数值的取值范围；对应法则是指将自变量 x 转化为函数值 f(x)的规则。

常见的函数类型有一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数和幂函数等。

一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0），它的图像是一条直线。

二次函数的一般形式是 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c（a ≠ 0），其图像是一条抛物线。当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，有最大值。

高中数学必修二最全完整笔记

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高中数学

必

修

二第一章 空间几何体

1.1 空间几何体的结构

1.2 空间几何体的三视图和直观图

1.3 空间几何体的表面积与体积

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.2 直线、平面平行的判定及其性质

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

第三章 直线与方程

3.1 直线的倾斜角与斜率

3.2 直线的方程

3.3 直线的交点坐标与距离公式

第四章 圆与方程

4.1 圆的方程

4.2 直线、圆的位置关系

4.3 空间直角坐标系第一章 空间几何体

1.1 空间几何体的结构

一、空间几何体：占据着空间的一部分，只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物

体抽象出来的空间图形叫空间几何体。

1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。

（1）面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。

（2）棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。

（3）顶点：棱与棱的公共顶点叫做多面体的顶点。

2.旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何，

叫做旋转体。

（1）轴：这条定直线叫做旋转体的轴。 轴 顶点 棱

面 侧棱

侧面

顶点 底面

3.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的

公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

（1）底面：两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底）。

（2）侧面：其余各面叫做棱柱的侧面。

（3）侧棱：相邻侧面的公共边。

（4）顶点：侧面与底面的公共顶点。（5）简单性质：1.侧棱都相等，侧面都是平行四边形。2.两个底面与平行于底面的截面

是全等的。3.各不相邻的侧棱所形成的斜面是平行四边形。

（6）棱柱的分类：1.按底面边多少分：n棱柱（n≥3）

2.按侧棱与底面的关系分：垂直：直棱柱、正棱柱(底面为正多边形)

三棱柱 四棱柱 不垂直：斜棱柱 1.底面为直角三角形 1.直平行六面体 2.底面为等边三角形 2.正四棱柱 3.底面为等腰直角三角形 3.正方体 （非棱柱）

必修1高一数学笔记完整版

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【高中数学·必修1】

高中数学

必

修

一【高中数学·必修1】

第一章 集合与函数概念

1.1 集合

1.2 函数及其表示

1.3 函数的基本性质

第二章 基本初等函数

2.1 指数函数

2.2 对数函数

2.3 幂函数

第三章 函数的应用

3.1 函数与方程

3.2 函数模型及其应用 【高中数学·必修1】

第一章 集合与函数概念

§1.1集合

一． 集合

1. 定义：一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合

（set），也简称集。

2. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性

3. 集合1=集合2：构成集合的元素完全一样

4. 元素与集合的关系：∈和∉

（1） a属于集合A：a∈A

（2） a不属于集合A：a∉A

5. 常用数集及其记法

（1） N={全体非负整数}={全体自然数}={0，1，2，……}

（2） N+/N* ={全体正整数}={1，2，3，……}

（3） Z={全体整数}={…，-2，-1，0，1，2，…}

（4） Q={全体有理数}

（5） R={全体实数}

6. 集合的分类：有限集，无限集，空集（∅）

7. 集合的表示方法：列举法、描述法

（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，如{1，2，3，4}

（2） 描述法：把集合中对的元素的公共属性描述出来，如{x｜x-3>2，x∈N}

8. 奇数集A={x｜x=2k+1，k∈Z}

偶数集B={x｜x=2k，k∈Z}

【高中数学·必修1】

二． 集合间的基本关系

1. 定义：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，若任意x∈A，都有x∈B，称

A为B的子集。记作：A含于B（A⊆B）,B包含于A（B⊇A） 2. 不包含：当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B

3. 注意：（1）A不包含于B，记作A⊈B

（2）任意一个集合都是它本身的子集A⊆A

（3）规定空集是任意集合的子集

（4）若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C