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数值分析第六章数值积分

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《数值分析》课程教学大纲

《数值分析》课程教学大纲

《数值分析》课程教学大纲课程编号：07054352课程名称：数值分析英文名称：Numerical Analysis课程类型：学科基础课程要求：必修学时/学分：48/3 （讲课学时：40 上机学时：8）适用专业：计算机科学与技术；软件工程一、课程性质与任务“数值分析”是计算机科学与技术、软件工程等相关专业学生的学科基础课，也是其它理、工科专业本科生及研究生的必修或选修课。

数值分析是研究各种数学问题在计算机上通过数值运算，得到数值解答的方法和理论。

随着计算机系统能力的提高和新型数值软件的不断开发，无论在高科技领域还是在传统学科领域，数值分析的理论和方法的作用和影响巨大，是科学工作者和工程技术人员必备的基础知识和工具。

课程的任务是使学生能了解数值分析的基本概念，熟悉常用数值方法的构造原理，了解数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法，了解重要数值算法的软件实现过程，使学生系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为掌握更复杂的现代计算方法打好基础。

内容包括数值计算的基本方法、线性和非线性方程组解法、插值法、数值积分法及微分方程的数值解法。

二、课程与其他课程的联系先修课程：高等数学，线性代数，C语言程序设计，计算基础。

后续课程：人工智能，数字图像处理技术，大数据分析及应用。

三、课程教学目标1．学习使用计算机进行数值计算的基础知识和基本理论知识，能够分辨、选用合适的数值方法解决工程问题。

（支撑毕业能力要求1和2）2. 能掌握常用数值计算方法的构造原理，根据问题设计和综合运用算法设计问题解决方案。

（支撑毕业能力要求1和2）3. 能运用数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法初步进行算法分析。

4. 能用计算机语言实现典型的数值计算算法，得到实验技能的基本训练，并具有利用计算机解决常见数学问题的能力；（支撑毕业能力要求4）5．能通过查询阅读文献资料，了解数值分析的前沿和新发展动向，了解数值分析算法原理应用的典型工程领域。

数值分析6-数值积分

数值分析6-数值积分

数值求积的基本思想
✓ 分别用 f (a)，f (b) 和 f (a b) 2 近似 f () 可得
b
a f ( x)dx (b a) f (a)
b
a f ( x)dx (b a) f (b)
左矩形公式 右矩形公式
b f ( x)dx (b a) f a b
a
2
中矩形公式
求积公式的基本思想
( )( )
2 3
4 24 4
A 1
(x
1
1 )( x 4
3) 4
dx
1
0 ( 1 1 )( 1 3 )
3
2 42 4
考虑到对称性，显然有 A0 A2 ，于是有求积公式
1 f (x)dx 2 [ f (1) f ( 3)] 1 f (1)
0
3 4 4 32
由于原式含有 3 个节点，按定理 1 它至少有 2 阶精度。
精度。
例题4
试设计求积公式
b
a
f
(x)dx
A0
f
(a)
A1
f
(
a
2
b)
A2
f（b）
B2
f
'
(a)
B1
f
'
(
a
2
b
)
B2
f
'
(b)
解
引进变换 x
a
2
b
b
2
a
t
将 求 积 区 间 [a,b] 变 到
[0，1]，则原式化为如下形式
1
1
f
(x)dx
A0
f
(1)
A1
f

数值积分(论文)

数值积分(论文)
if(err_T<=E)
break;
else
{
T0=T1;
T1=0;
add_T=0;
err_T=0;
}
}
在这个函数中我们将复化cotes公式和积分过程都用计算机语言表示出来。首先我们给出复化cotes公式，进行迭代，直到精确度达到设定要求，算出最后结果。
4.3 测试结果
用复化cotes有效数字四位求得的结果如下：
对区间[a，b]，令h=b-a构造梯形值序列{T2K}。
T1=h[f(a)+f(b)]/2
把区间二等分，每个小区间长度为h/2=(b-a)/2，于是
T2 =T1/2+[h/22]f(a+h/2）
把区间四(22)等分，每个小区间长度为h/22 =（b-a）/4，于是
T4 =T2/2+[h/2][f（a+h/4）+f（a+3h/4).....................
数值积分 （一）
第一章 数值积分计算的重述
1.1引言
数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的最直接应用，也是工程技术计算中常常遇到的一个问题。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。
s_point=double(b)+double(a-b)/pow(2,i);
d_point=double(a-b)/pow(2,i-1);
for(j=1;j<=sum_num;j++)
{
add_T=add_T+f_x(s_point+(j-1)*d_point);

数值分析第6章积分

数值分析第6章积分

其中(-1,1).
b
ò f (x )dx
a
»
å j
n
=0
A j f (x j )
(6.1)
定理6.1 求积公式(6.1)为插值型求积公式的 充要条件是它的代数精度至少为n次. 证:先证必要性 设(6.1)是插值型的,则
b
R n [f ] =
ò
a
f
(x ) wn + 1 (x )dx (n + 1)!
顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式. 下面推导N-C求积公式的求积系数公式.

根据求积系数计算公式(6.4)有
1 Aj = 蝌 l j ( x)dx = w¢ (x j ) a
b b a
wn+ 1 ( x) dx x- xj
令积分变换 x=a + t h, 则
wn+ 1 ( x) = h n+ 1t (t - 1) L (t - n),
òl
a
j
( x) dx
(j=0,1,2, L ,n)
(6.4)
若求积公式(6.1)中的求积系数具有(6.4)的形 式,则称(6.1)为插值型求积公式.
插值型求积公式(6.3)的截断误差为
b b
Rn [ f ] =
R ( x)dx = 蝌
n a a
f ( n+ 1) (x ) wn+ 1 ( x)dx (6.5) (n + 1)!
于是
Aj =
n- j n ¢ wn ( x ) = ( 1) j !( n j )! h , +1 j
(- 1) h t (t - 1) L (t - j + 1)(t - j - 1) L (t - n)dt ò j !(n - j )! 0

数值分析课后习题解答

数值分析课后习题解答

课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

实验09 数值微积分与方程数值解(第6章)

实验09 数值微积分与方程数值解(第6章)

实验09 数值微积分与方程数值求解（第6章 MATLAB 数值计算）一、实验目的二、实验内容1. 求函数在指定点的数值导数232()123,1,2,3026x x x f x x xx x==2. 用数值方法求定积分(1) 210I π=⎰的近似值。

程序及运行结果：《数学软件》课内实验王平(2) 2221I dx x π=+⎰程序及运行结果：3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩ 程序及运行结果：4. 求非齐次线性方程组的通解1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩5. 求代数方程的数值解(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。

程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_solution ）：(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。

23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩6. 求函数在指定区间的极值(1) 3cos log ()xx x x xf x e ++=在(0,1)内的最小值。

(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。

7. 求微分方程的数值解，并绘制解的曲线2250(0)0'(0)0xd y dyy dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：令y 2=y,y 1=y '，将二阶方程转化为一阶方程组：'112'211251(0)0,(0)0y y y x x y y y y ⎧=-⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线123213312123'''0.51(0)0,(0)1,(0)1y y y y y y y y y y y y =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪===⎩程序及运行结果：三、实验提示四、教程：第6章 MATLAB 数值计算（2/2）6.2 数值微积分 p155 6.2.1 数值微分1. 数值差分与差商对任意函数f(x)，假设h>0。

数值分析-数值积分详解

数值分析-数值积分详解

xk
和 Ak 的代数问题.

b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
11
例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度 达到最高。

1 1
f ( x)dx a f (1) bf (0) cf (1)
12
3.
插值型的求积公式
设给定一组节点
a x0 x1 x2 xn b,
b
a
f ( x)dx (b a) f ( ),
3
就是说，底为 b a 而高为 f ( ) 的矩形面积恰等于所求 曲边梯形的面积 I (图4-1).
图4-1
4
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以
准确算出 f ( ) 的值.
将 f ( ) 称为区间 [a, b]上的平均高度.
k 0
n
16
4 .
定义2
求积公式的收敛性与稳定性
在求积公式中，若
lim
n h 0 k 0
Ak f ( xk )
n

b
a
f ( x)dx,
( xi xi 1 ), 则称求积公式(1.3)是收敛的. 其中 h max 1i n
在求积公式中，由于计算 f ( xk )可能产生误差 k ，
ab 的“高度” f (c ) 2
近似地取代平均
高度 f ( )，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)
R (b a ) f ( ab ). 2
6
一般地，可以在区间 [a, b] 上适当选取某些节点 xk ， 然后用 f ( xk ) 加权平均得到平均高度 f ( )的近似值，这样 构造出的求积公式具有下列形式：

数值微分与数值积分

数值微分与数值积分

数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。

它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。

本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。

1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。

在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。

一种常用的数值微分方法是有限差分法。

它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。

我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。

有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。

数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。

根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。

2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。

在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。

一种常见的数值积分方法是复合梯形法。

它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。

最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。

复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。

除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。

根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。

3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。

数值分析之插值型数值积分

数值分析之插值型数值积分
图1
x1=b x
25
数值分析
梯形公式的余项和精度
梯形公式的余项为
R1
=
(b
− a)3 2
1 f ''( )t(t −1)dt, = (a + th) (a,b)
0
由第二积分中值定理得到 R1
= − (b − a)3 12
f
''(), (a,b)
注意到，此时的余项与代数精度保持一致。
26
数值分析
a j=0 xk − x j
n n t− j
(
h)dt
0 j=0 k − j
jk
jk
n
= h(
1
)
n
[
n
(t − j)]dt =
(−1)n−k h
nn
[ (t − j)]dt
j=0 k − j 0 j=0
k !(n − k )! 0 j=0
jk
jk
jk
= (b − a)ck(n) k = 0,1, , n
出定积分的近似值，即
b
b
a f ( x)dx a ( x)dx
6
数值分析
求积公式与代数精度
7
数值分析
6.1 求积公式及代数精度
数值求积公式的一般形式为
b
f (x)dx
a
n
k f (xk )
k =0
式 中 的 xk ( k= 0 , 1 , n称, 为) 求 积 节 点 并 且 有
a x0 x1 xn b，k (k = 0,1, , n) 称为求积系数，
28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350 28350

(完整版)数值分析重点公式

(完整版)数值分析重点公式

第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x ll x x x lαα+-≤---≤--定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠L （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。

《数值分析》第一章 数值计算中的误差

《数值分析》第一章 数值计算中的误差

值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
14
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝 对误差限、相对误差限各是多少？
解： (a) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5104
n位
≤ 0 . 0 … 0 999... < 0 . 0 … 0 1=1×10－n
n位
n-1位
• 截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位 的1个单位。
11
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 四舍情况，
A=a0 a1 … am . am+1 … am+n
• 当am+n+1 =0,1,2,3,4时，
4
§2 舍入方法与有效数字
5
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 近似数a的绝对误差 ， 简称误差 设a是精确值A的近似值，
=a－A
• 绝对误差限 ||=|a－A|<(上界)
• 由上式可推知 a－ <A<a+，也可表示为A=aAFra biblioteka-a
a+
6
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 相对误差 ： 绝对误差与精确值之比 =/A。 • 实际计算/a。
代替后误差
a A 1 2
A a Aa
Aa
• 相对误差限 ||=|/a |< /|a|＝ (上界)
• 绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时 亦用百分比、千分比表示。

数值积分概述

数值积分概述
2h
解 因为 求 积 公式 2h f (x) d x A1 f (h) A0 f (0) A1 f (h) 有
A1 , A0, A1, 3 个未知数，设求积公式对于 f (x) 1, x, x2 均准确成立，有
A1 A0 A1 4h hA1 hA1 0 h2 A1 h2 A1 (16 / 3)h3
0 l0 (x)dx
3 0
(x 1)(x (0 1)(0
2)(x 3) 2)(0 3)
dx
3 8
，
A1
A2
9 8
,
A3
3 8
（2）解关于 Ak 的线性方程组，将 f (x) 1, x, x2 , x3 代入 A0 A1 A2 A3 3 ， A1 2 A2 3A3 9 / 2 ， A1 4 A2 9 A3 9 ，
hf
(2h) ，其代数精度至少为
2
次。
将 f (x) x3 ，代入求积公式，左边= 81 h4 ，右边=18h4 ，
4
左边≠右边。求积公式只有 2 次代数精度。
例 在区间 [h, h] 上取节点,0,,确定 及求积系数，构造
代数精度尽可能高的求积公式，并确定其代数精度。
h
解 设求积公式为 f (x) d x Af () Bf (0) Cf ( ) ，因有 h
数 Ak , k 0,1, 代数精度。
,n
使求积公式 ab
f
( x)dx
n
Ak
f
(xk ) 至少有
n
次的
k 0
证明此时 Ak , k 0,1, , n 有唯一解即可。
证
令 f (x) 1, x, x2, , xn
ab
f
( x)dx

数值分析简单习题

数值分析简单习题

重点考察内容第一章：基本概念第二章：Gauss消去法，Lu分解法第三章：题型：具体题+证明，误差分析三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明第四章：掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数第五章：最小二乘法计算第六章：梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析高斯求积公式的构造第七章：几种常用的迭代格式构造，收敛性证明第九章：基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）简单欧拉法第一章误差1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是 _________ , ________ , ________ , ________ 。

2. 用Taylor 展开近似计算函数f （x ） ：、f （x 0） f'（x 0）（x-x 0），这里产生是什么误差？3. 0.7499作3的近似值，是位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有 几4位有效数字，相对误差限为 _______ . 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有 ________ 位有效数字.4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确：（1） —|x|=1（ 2） +J 1-丄，|x|=11 +2x 1 +x Y x Y x1「cosx（3）, x=0,|x| 1. （4） sin ： -sin :, 一—■x5. 采用下列各式计算（、、2-1）6时，哪个计算效果最好？并说明理由。

1 1（1） 6 （ 2） 99-70,2（ 3） （3-2、月）6（ 4） 3（V2+1）6（3 + 2问36. 已知近似数x *有4位有效数字，求其相对误差限。

上机实验题：kx匸 Xx1、 利用Taylor 展开公式计算 e，编一段小程序，上机用单精度计算 e 的函数k£k !值.分别取x =1, 5, 10, 20, -1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合 理请分析原因并给出解决方法.1 n2、 已知定积分I n— dx,n =0,1,2,…，20,有如下的递推关系 ‘° x +6可建立两种等价的计算公式11(1) I n 61 nd ,取 I 。

数值计算06-数值积分与数值微分

数值计算06-数值积分与数值微分
y= 0.9661
用 inline 函数定义被积函数： >> f=inline('2/sqrt(pi)*exp(-x.^2)','x'); >> y=quad(f,0,1.5)
y= 0.9661
• 矩形区域上的二重积分的数值计算
I yM xM f (x, y)dxdy ym xm
格式： 矩形区域的双重积分： y=dblquad(Fun,xm,xM,ym,yM)
数值计算
第六章 数值积分与数值微分
1
§6.1 引 言
一、数值积分的必要性
讨论如下形式的一元函数积分
b
I ( f ) f (x)dx
a
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
b
I ( f ) a f (x)dx F (b) F (a)
要求被积函数 F x
☞ 有解析表达式；
☞ f x的原函数 F x 为初等函数．
k 0
称为求积公式 余项(误差).
构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括:
(i) 确定求积系数 Ak 和求积节点 xk；
(ii) 确定衡量求积公式好坏的标准； (iii) 求积公式的误差估计和收敛性分析.
数值积分的基本问题
针对某类函数，选择合适的求积结点和求积系数，使得求积 公式(1) 具有尽可能小的截断误差或尽可能高的代数精度。
2
若f ( x)在区间[a,b]上有四阶连续导数。则Simpson
公式的截断误差
R2
(b a)5
2880
f (4)( ) (a,b)
(6.3.8)
且具有三次代数精度。
Simpson3/8公式：

数值分析课件第4章 数值积分与数值微分

数值分析课件第4章 数值积分与数值微分
故求积公式具有3次代数精度.
上页
下页
如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间 [a, b]的等距分点作为节点，这时取m=n求解方程组 即可确定求积系数Ak，而使求积公式至少具有 n次 代数精度. 本章第2节介绍这样一类求积公式，梯形 公式是其中的一个特例.
如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个
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得求积公式为
I
2h
2h
8 4 8 f ( x ) d x hf ( h) hf (0) hf ( h) 3 3 3
2h 3
令 f (x)=x3，得
8 3 3 0 x d x h[( h) h ] 0 2h 3
令 f (x)=x4，得
64 5 2 h 4 8 16 5 4 4 h x d x h[( h) h ] h 2h 5 3 3
~ In ( f ) In ( f )
~ Ak [ f ( xk ) f k ] ,
k 0
n
成立，则称求积公式ΣAkf(xk)是稳定的，
上页
下页
定理2 若求积公式ΣAkf(xk)中所有系数Ak>0， 则此求积公式是稳定的.
证明 对任给ε>0，若取δ=ε/(b-a), 对所有k都有 ~ f ( xk ) f k ( k 0,1,, n) n 则有 ~ ~ I n ( f ) I n ( f ) Ak [ f ( x k ) f k ]
k 0 n

k 0 n
~ Ak f ( x k ) f k
Ak (b a ) .
k 0
故求积公式是稳定的.
上页 下页
6.2 牛顿—柯特斯公式

数值分析-第六章-数值积分

数值分析-第六章-数值积分

k 0
而对应的误差为
b
b f (n1) ( )
I In
(
a
f
(
x)

Ln
(
x))dx

a (n 1)! wn1(x)dx
Newton-Cotes公式
当节点为等距节点时，对应的插值型求积公式称为 Newton-Cotes 公式。
梯形公式：最简单的 Newton-Cotes 公式
a
2
梯形公式的误差
梯形公式的误差为：
b f ( )
E I T a 2 (x a)(x b)dx
注意到对任意的 x [a,b] ，有 (x a)(x b) 0，根据积分中值定理，
若 f "(x) C[a,b] ，有
E f ()
b
(x a)(x b)dx
第六章 数值积分
数值积分的基本概念 数值积分的基本思想 代数精度 插值型求积公式
Newton-Cotes 求积公式 梯形公式、辛普森公式、一般的 Newton-Cotes 公式 复化积分公式：复化梯形公式、复化辛普森公式 区间逐次分半法
Romberg（龙贝格）积分
高斯型求积公式
数值积分的基本概念
微积分中定积分的定义为：b Nhomakorabean
a
f
(x
)dx

lim
n m a xxk
k01
xk
f
k( ，)
n
b
n
可用 xk f (xk ) 作为原积分的近似： a f (x)dx xk f (xk ) 。
k 1
k 1
进一步推广得到更一般的公式：

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

数值分析知识点大全总结

数值分析知识点大全总结

数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。

下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。

1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。

常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。

其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。

2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。

常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。

其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。

3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。

常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。

而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。

4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。

常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。

而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。

5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。

常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。

6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。

常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。

其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。

7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。

其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。

数值积分方法课件

数值积分方法课件
热力学分析
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
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因此，有
b
b
n
b
f (x)dx
a
aLn (x)dx
f (xk ) alk (x)dx 。
k 0
n
b
对应的求积公式为 In Ak f (xk ) ，其中 Ak alk (x)dx 。
k 0
而对应的误差为
I In
b
(
a
f
(
x)
Ln
(
x))dx
b f (n1) ( )
a (n 1)! wn1(x)dx
6
2
4
而精确积分有
bx3dx
a
1 4
x4
|ba
1 4
(b4
a4 )
。
故辛普森公式有 3 次代数精度!
辛普森公式的误差
E b f (3) ( ) (x a)(x a b)(x b)dx
a 3!
2
b f [x, a, a b ,b](x a)(x a b)(x b)dx
a
2
2
k 0
其中，xk 为求积节点，Ak 为求积系数，Ak 仅与 xk 的选取有关，与 f (x)
的具体形式无关。
代数精度
定义(代数精度)：若某个求积公式对次数 m 的代数多项式都能精确 成立，但对 m 1次多项式不一定精确成立，则称该求积公式具有 m 次
代数精度。
b
例： f (x)dx (b a) f (a) a
那么有
b
b
a
f
(x)dx
g ( x)dx
a
。
若取 g(x) 为 f (x) 的插值多项式，则对应的求积公式称为插值型求
积公式。
插值型求积公式
给定区间[a,b] ，取插值节点 a x0 x1 L xn b ，我们有
n
Lagrange 插值多项式 Ln (x) f (xk )lk (x) 。 k 0
若 f "(x) C[a,b] ，有
E f ()
b
(x a)(x b)dx
f () (b a)3
2a
12
辛普森公式：
辛普森公式
取
n
2 ，节点为
x0
a,
x1
a
b 2
,
x2
b
。
节点 x0 , x1, x2 处基函数为
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
,
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
,
，对应的系数为
l2
(x)
(x ( x2
x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
A0
b
al0
(x
)dx
b
6
a
,
b
4 (b a )
A1 al1(x )dx 6
,
b
ba
A2 al2 (x )dx 6 .
对应的求积公式为
b
ba
ab
f (x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) : S .
a
6
2
辛普森公式的误差
思考：辛普森公式的代数精度为 3 次？
例：利用辛普森公式求 bx3dx 。 a
解： S b a ( f (a) 4 f ( a b) f (b)) b4 a4 ,
Newton-Cotes公式
当节点为等距节点时，对应的插值型求积公式称为 Newton-Cotes 公式。
梯形公式：最简单的 Newton-Cotes 公式
取n
1 ，节点为
x0
a
，
x1
b
。有 l0 (x)
b b
x a
,
l1 ( x)
x b
a a
.
因此，
A0
b a
l0
(x)dx
1 2
(b
a)
dx
a
2
4
f (4) () b (x a)2 (x b)2 dx
4! a
4
(b a)5 f (4) ()
2880
一般的Newton-Cotes公式
h
ba n
， xk
x0
kh ， k
0,1,L
,n，
f
(x)
Ln (x) Rn (x) 。
n
Ln (x) lk (x) f (xk ) ， k 0
数值积分的基本思想：
b
考察 f (x)dx ，若其原函数为 F(x) ，即 F '(x) f (x) ，则 a b
有 I : f (x)dx F (b) F (a) 。 a
困难：在可积函数中能够解析积分的函数相当少，而且即使可 以解析积分，让机器模拟人的思维也比较麻烦。借助于数值方法离 散化后计算积分的近似值，称为数值积分。
b f [x, a, a b ,b]d (x a)2 (x b)2
a
2
4
b
f
[x, a,
a
2
b
, b]
(x
a)2 ( x
b)2
dx
a b (x a)2 (x b)2 f [x, a, ,b]
b
a
x
4
2
4
a
b
a b (x a)2 (x b)2
f [x, x, a, ,b]
左矩形公式，具 0 次代数精度；
b
a f (x)dx (b a) f (b)
右矩形公式，具 0 次代数精度；
b f (x)dx (b a) f ( a b) 中矩形公式，具 1 次代数精度。
a
2
插值型求积公式
插值型求积公式：
想法：给定函数 f (x) ，若 f (x) g(x) ，且 g(x) 积分比较好算，
第六章 数值积分
数值积分的基本概念 数值积分的基本思想 代数精度 插值型求积公式
Newton-Cotes 求积公式 梯形公式、辛普森公式、一般的 Newton-Cotes 公式 复化积分公式：复化梯形公式、复化辛普森公式 区间逐次分半法
Romberg（龙贝格）积分
高斯型求积公式
数值积分的基本概念
Ak
b
alk (x)dx
bn
x xj
dx
(b
a)
1
a
j0 jk
xk
xj
n
n n t j
dt
0 j0 k j jk
记 Ck(n)
1
n
n n t j
dt
0 j0 k j jk
n
求积公式： In (b a)
C(n) k
f
(
xk
)
.
k 0
注：
Ak
称为求积系数，
C (n) k
，
A1
b a
l1(x)dx
1 2
(b

a)
，
对应的求积公式为
b
ba
f (x)dx ( f (a) f (b)) : T .
a
2
梯形公式的误差
梯形公式的误差为：
b f ( )
E I T a 2 (x a)(x b)dx
注意到对任意的 x [a,b] ，有 (x a)(x b) 0，根据积分中值定理，
数值积分的基本概念
微积分中定积分的定义为：
b
n
a
f
(x
)dx
lim
n m a xxk
k01
xk
f
k( ，)
n
b
n
可用 xk f (xk ) 作为原积分的近似： a f (x)dx xk f (xk ) 。
k 1
k 1
进一步推广得到更一般的公式：
b
n
f (x )dx
a
Ak f x(k ) In: ，