第六章习题答案数值分析.docx

习题61．求解初值问题y x y +=' )10(≤≤x 1)0(=y取步长2.0=h ，分别用Euler 公式与改进Euler 公式计算，并与准确解xe x y 21+-=相比较。

解： 1) 应用Euler 具体形式为 )(1i i i i y x h x y ++=+，其中i x i 2.0= 10=y 计算结果列于下表i i x i y )(i x y i i y x y -)( 1 0.2 1.200000 1.242806 0.042806 2 0.4 1.480000 1.583649 0.103649 3 0.6 1.856000 2.044238 0.188238 4 0.8 2.347200 2.651082 0.303882 5 1.0 2.976640 3.436564 0.4599242) 用改进的Euler 公式进行计算，具体形式如下： 10=y)()(1i i i D i y x h y y ++=+ )()(11)(1D i i i C i y x h y y +++++= )(21)(1)(11c i D i i y y y ++++= 4,3,2,1,0=i计算结果列表如下i i x i y )(1D i y + )(1c i y + i i y x y -)( 0 0.0 1.000000 1.200000 1.280000 0.000000 1 0.2 1.240000 1.528000 1.625600 0.002860 2 0.4 1.576800 1.972160 2.091232 0.006849 3 0.6 2.031696 2.558635 2.703303 0.012542 4 0.8 2.630669 3.316803 3.494030 0.020413 5 1.0 3.405417 0.0311473. 对初值问题1)0(=-='y y y)0(>x ，证明用梯形公式所求得的近似值为ii hh y ih y )22()(+-=≈ ),2,1,0( =i并证明当0→h 时，它收敛于准确解ix e y -=，其中ih x i =为固定点。

第六章习题解答1、设函数01(),(),,()n x x x φφφ 在[,]a b 上带权()x ρ正交，试证明{}()nj j x φ=是线性无关组。

证明：设0()nj jj l x φ==∑，两端与01()(,,,)kx k n φ= 作内积，由()jx φ的正交性可知，200(),()((),())((),())()()n n b k j j j k j k k k k k a j j x l x l x x l x x l x x dx φφφφφφρφ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑⎰， 于是有001(,,,)k l k n == ，即{}()nj j x φ=是线性无关组。

2、试确定系数,a b 的值使22(()cos )ax b x dx π+-⎰达到最小。

解：定义02,[,]f g C π∈上的内积为20fgdx π⎰，取011(),()x x x ϕϕ==，()s x ax b =+，()cos f x x =，则法方程为0001010111(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中()2000112,dx ππϕϕ=⨯=⎰，()2201018,xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()3211024,x xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()2001,cos f xdx πϕ==⎰，()21012,cos f x xdx ππϕ==-⎰，于是方程组为22312812824a b πππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得1158506644.,.a b ==-。

3、已知函数11()(,)f x x =∈-，试用二类Chebyshev 多项式()n U x 构造此函数的二次最佳平方逼近元。

解：法一、取20121(),(),(),x x x x x ϕϕϕ===()()()00112222235,,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，()()()011202203,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，同时由二类Chebyshev 多项式的性质知 ()()()11101211028,,,,,f f f x ππϕϕϕ---======⎰⎰⎰于是可得法方程为0122203220003220835c c c ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得0121.0308,0,0.7363c c c ===-， 于是()f x 的二次最佳逼近元是2001122() 1.03080.7363x c c c x ϕϕϕϕ=++=-法一、二类Chebyshev 多项式2012()1,()2,()41U x U x x U x x ===-，取内积权函数()()x f x ρ==，于是11200114(,)(1)3f U fU dx x dx ρ--==-=⎰⎰，1121111(,)2(1)0f U fU dx x x dx ρ--==-=⎰⎰，112222114(,)(41)(1)15f U fU dx x x dx ρ--==--=-⎰⎰ 由()n U x 正交性及(,)2n n U U π=可得0000(,)8(,)3f U c U U π==，1111(,)0(,)f U c U U ==，2222(,)8(,)15f U c U U π==-， 于是()f x 的二次最佳逼近元为001122()x c U c U c U ϕ=++=21632515x ππ- 4、设012{(),(),()}L x L x L x 是定义于[0,)+∞上关于权函数()xx eρ-=的首项系数为1的正交多项式组，若已知01()1,()1L x L x x ==-，试求出二次多项式2()L x 。

第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。

3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。

2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。

4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。

第六章 习 题1. 计算下列矩阵的1A ，2A ，A ∞三种范数。

（1）1101A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，（2）312020116A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. 2. 用Jacobi 方法和Gauss-Seidel 迭代求解方程组1231231238322041133631236x x x x x x x x x −+=⎧⎪+−=⎨⎪++=⎩ 要求取(0)(0,0,0)T x =计算到(5)x ，并分别与精确解(3,2,1)T x =比较。

3. 用Gauss-Seidel 迭代求解1231231235163621122x x x x x x x x x −−=⎧⎪++=⎨⎪−+=−⎩ 以(0)(1,1,1)T x =−为初值，当(1)()310k k x x +−∞−<时，迭代终止。

4. 已知方程组121122,2,x x b tx x b +=⎧⎨+=⎩ （1）写出解方程组的Jacobi 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件。

（2）写出解方程组的Gauss-Seidel 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件.5. 设有系数矩阵122111221A −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠ ， 211111112B −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，证明：（1）对于系数矩阵A ，Jacobi 迭代收敛，而Gauss-Seidel 迭代不收敛.（2）对于矩阵B ，.6. 讨论方程组112233302021212x b x b x b −⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的收敛性；如果都收敛，比较哪种方法收敛更快.7. 对下列方程组进行调整，使之对Gauss-Seidel 迭代收敛，并取初始向量(0)(0,0,0)T x =，求解1213123879897x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−−=⎩ 试将Jacobi 迭代前后的老值与新值加权平均，设计出一种基于Jacobi 迭代的松弛迭代格式.8.分别取松弛因子 1.03ω=，1ω=， 1.1ω=，用SOR 方法解下列方程组1212323414443x x x x x x x −=⎧⎪−+−=⎨⎪−+=−⎩要求()(1)610k k xx −−∞−≤时，迭代终止.。

7、计算的近似值，取。

利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。

〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解：计算各项的条件数由计算知，第一种算法误差最小。

解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。

因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。

9、通过分析浮点数集合F=〔10，3，-2，2〕在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。

10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。

解：此算法是数值稳定的。

第二章习题解答1.〔1〕 R n×n中的子集“上三角阵〞和“正交矩阵〞对矩阵乘法是封闭的。

〔2〕R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。

设A是ｎ×ｎ的正交矩阵。

证明A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。

证明：〔2〕A是ｎ×ｎ的正交矩阵∴A A-1 =A-1A=E 故〔A-1〕-1=A∴A-1〔A-1〕-1=〔A-1〕-1A-1 =E 故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。

设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。

A非奇异∴A可逆且A-1非奇异又A T=A ∴〔A-1〕T=〔A T〕-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上〔下〕三角阵。

证A-1也是单位上〔下〕三角阵。

证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1存在，记为〔b ij〕n×n由A A-1 =E，那么〔其中 j＞i时，〕故b nn=1, b ni=0 (n≠j)类似可得，b ii=1 (j=1…n) b jk=0 (k＞j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。

R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。

2、试求齐次线行方程组Ax=0的根底解系。

A=解：A=～～～故齐次线行方程组Ax=0的根底解系为，3.求以下矩阵的特征值和特征向量。

1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。

由于ni i inn n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1 (1))(21110200---=，.1,...,1,0-=n i故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。

又)(x V n 的最高次幂nx 的系数为)(...1...1..................1),...,,(101121112222102001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -==∏-≤<≤-----------。

故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V6、解：（1）设.)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n对)(x f 构造Lagrange 插值多项式，),()(0x l x x L j nj k j n ∑==其0)()!1()()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ，ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j =故),()(x L x f n =即.,...,1,0,)(0n k xx l x kjnj k j ==∑=特别地，当0=k 时，10)(=∑=nj x j l。

（2）0)()1(1)()1()()(0000=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j ki i j ii k j nj ki i j knj j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。

7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--=因0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。

数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1(P10) 5.求厲的近似值x*,使其相对误差不超过0.1%。

解：V2 = 1.4 ••- o设X*有"位有效数字，则le(x*)lV0.5xl0xl(T"。

,*““0.5x10-" 牛(x )1< ] 。

从而，丨<故，若0.5x10-" <0.1%,则满足要求。

解之得，M>4O %* =1.414 O(P10) 7.正方形的边长约100cm ,问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过1 cm2 o解：设边长为a ,则a心100cm。

设测量边长时的绝对误差为e,由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:® 2xl00xe…按测量要求，l2xl00xel<l解得，lel< 0.5x10 2 oChapter 2(P47) 5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：‘1 1 -1]A = 2 1 0 。

J j 0丿解：设A1 =(«0 /)=分别求如下线性方程组:先求A的LU分解(利用分解的紧凑格式),气1)1 (1)1 (-D-(2)2(D-1(0)2、⑴1(-1)2 (0) —3,(1 0 0、 ri 1 -1] 即，厶=2 1 0 ,U =0-12 J 2 1丿<0 0-3经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组,1 0Ly =0 和 Ua = v ,得，a = 0J3 2 3 1(P47) 6.分别用平方根法和改进平方根法求解方程组:(1 2 1 -3兀1)2 50 -5兀2 2 10 14 1 x 3 16 、一 -5 1 15丿3解：平方根法：先求系数矩阵4的Cholesky 分解(利用分解的紧凑格式),'(1)1、< 1 0 0 0、(2)2(5)1,即，L =2 1 0 0 (1)1 (0)-2 (14)3 1 -2 3 、(_3) _ 3 (-5)1 (1)2 (15<-31 2 b216 改进平方根Ly = 和 II x = y ,得，x = 先求系数矩阵A 的形如A = LDU 的分解，其中厶-(/y .)4x4为单位下二角矩阵,D = diag{d l ,d 2,d 3,d 4}为对角矩阵。

第六章习题解答2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分21ln xdx ⎰的近似值，并估计两种方法计算值的最大误差限。

解：①由梯形公式：21ln 2()[()()][ln1ln 2]0.3466222b a T f f a f b --=+=+=≈ 最大误差限3''2()111()()0.0833********T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式：13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262b a b a S f f a f f b -+=++=++≈ 最大误差限5(4)4()66()()0.0021288028802880S b a R f f ηη-=-=≤≈，其中，(1,2)η∈。

4、推导中点求积公式3''()()()()()()224baa b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰证明：构造一次函数P （x ），使'',()()2222a b a b a b a b P f P f ++++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，易求得'()()()()222a b a b a bP x f x f +++=-+ 且'()()()()222bbaa a ba b a b P x dx f x f dx +++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰0()()()22ba ab a bf dx b a f ++=+=-⎰，令()b a P x dx Z =⎰现分析截断误差：令'()()()()()()-()222a b a b a b r x f x P x f x f x f +++=-=-- 由'''()()()2a b r x f x f +=-易知2a b x +=为()r x 的二重零点，所以可令2()()()2a b r x x x ϕ+=-，构造辅助函数2()()()()()2a b K t f t P t x t ϕ+=---，则易知： ()02a b K x K +⎛⎫== ⎪⎝⎭其中2a b t +=为二重根()K t ∴有三个零点 ∴由罗尔定理，存在''''''()(,)()0()2()0()2f a b K f K x K x ηηηη∈=-=∴=使即从而可知''2()()()()()22f a b r x f x P x x η+=-=- ∴截断误差[]''2()()()()()()()22b bb baaa af a b R f f x dx Z f x P x dx r x dx x dx η+=-=-==-⎰⎰⎰⎰ 2()2a b x +-Q 在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理 ''''322''()()()()()()()(,)222224b b aa f ab f a b b a R f x dx x dx f a b ηξξξ++-=-=-=∈⎰⎰综上所述3''()()()()()()224baa b b a f x dx Z R f b a f f ξ+-=+=-+⎰证毕6、计算积分1x e dx ⎰，若分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式，问应将积分区间至少剖分多少等分才能保证有六位有效数字？解：①由复化梯形公式的误差限32''522()1()()101212122T b a b a e R f h f e n n η---=-≤=≤⨯可解得：212.85n ≥即至少剖分213等分。

习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。

求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。

注意，不应先求相对误差再求绝对误差。

有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。

有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。

根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。

解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。

相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。

而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。

（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。

相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。

而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。

（3）绝对误差:22() 3.141592653.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。

第六章习题解答2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分21ln xdx ⎰的近似值，并估计两种方法计算值的最大误差限。

解：①由梯形公式：21ln 2()[()()][ln1ln 2]0.3466222b a T f f a f b --=+=+=≈ 最大误差限3''2()111()()0.0833********T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式：13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262b a b a S f f a f f b -+=++=++≈ 最大误差限5(4)4()66()()0.0021288028802880S b a R f f ηη-=-=≤≈，其中，(1,2)η∈。

4、推导中点求积公式3''()()()()()()224baa b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰证明：构造一次函数P （x ），使'',()()2222a b a b a b a b P f P f ++++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，易求得'()()()()222a b a b a bP x f x f +++=-+ 且'()()()()222bbaa a ba b a b P x dx f x f dx +++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰0()()()22ba ab a bf dx b a f ++=+=-⎰，令()b a P x dx Z =⎰现分析截断误差：令'()()()()()()-()222a b a b a b r x f x P x f x f x f +++=-=-- 由'''()()()2a b r x f x f +=-易知2a b x +=为()r x 的二重零点，所以可令2()()()2a b r x x x ϕ+=-，构造辅助函数2()()()()()2a b K t f t P t x t ϕ+=---，则易知： ()02a b K x K +⎛⎫== ⎪⎝⎭其中2a b t +=为二重根()K t ∴有三个零点 ∴由罗尔定理，存在''''''()(,)()0()2()0()2f a b K f K x K x ηηηη∈=-=∴=使即从而可知''2()()()()()22f a b r x f x P x x η+=-=- ∴截断误差[]''2()()()()()()()22bb b ba aa af a b R f f x dx Z f x P x dx r x dx x dx η+=-=-==-⎰⎰⎰⎰ 2()2a b x +-在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理 ''''322''()()()()()()()(,)222224b b aa f ab f a b b a R f x dx x dx f a b ηξξξ++-=-=-=∈⎰⎰综上所述3''()()()()()()224baa b b a f x dx Z R f b a f f ξ+-=+=-+⎰证毕6、计算积分1x e dx ⎰，若分别用复化梯形公式和复化Simpson 公式，问应将积分区间至少剖分多少等分才能保证有六位有效数字？解：①由复化梯形公式的误差限32''522()1()()101212122T b a b a e R f h f e n n η---=-≤=≤⨯ 可解得：212.85n ≥即至少剖分213等分。

第六章作业3（1）,02223=--+x x x 解：二分法m 文件：function [c,err,k]=bisect(f,a,b,delta) ya=feval(f,a);yb=feval(f,b); if ya*yb>0error('f(a)*f(b)>0'); endflag=1;k=0; while flag==1k=k+1;c=(a+b)/2;yc=feval(f,c); if yc==0a=c;b=c; elseif yb*yc>0 b=c;yb=yc; elsea=c;ya=yc; endif abs(b-a)<=2*delta flag=0; end endc=(a+b)/2;err=abs(b-a)/2; return 主程序：f=inline('x^3+2*x^2-x-2'); a=0;b=3;delta=0.5e-2; [c,err,k]=bisect(f,a,b,delta) 输出结果：c = 0.9990；err = 0.0029；k =9试位法m 文件function [c,err,k]=shiweufa(f,a,b,delta) ya=feval(f,a);yb=feval(f,b); if ya*yb>0error('f(a)*f(b)>0'); endflag=1;k=0; while flag==1k=k+1;c=b-yb*(b-a)/(yb-ya);yc=feval(f,c);if yc==0a=c;b=c; elseif ya*yc<0b=c;yb=yc; elsea=c;ya=yc; endif abs(yc)<=delta flag=0; end endc=b-yb*(b-a)/(yb-ya);err=abs(yc); return试位法主程序：f=inline('x^3+2*x^2-x-2'); a=0;b=3;delta=0.5e-2;[c,err,k]=shiweufa(f,a,b,delta) 输出结果：c =0.9995；err =0.0045；k =234.用迭代方法求解下列方程在给定0x 附近的根，要求误差不超过10-4. （3）.3,05ln 202==--x x x 解：迭代法m 文件function [c,err,k]=iteration(f,x0,delta) ya=feval(f,x0); k=1;while abs(ya-x0)>1.0e-4 x0=ya;ya=feval(f,ya); k=k+1; end c=ya;err=abs(ya-x0); 主程序：f=inline('sqrt(2*logx+5)'); x0=3;delta=1.0e-4;[c,err,k]=iteration(f,x0,delta)输出结果：c =3.4495；err =5.6447e-005；k = 810.分别用（1）牛顿法，取;20-=x （2）弦截法，取;1.2,210-=-=x x （3）抛物线法，取,2.2,1.2,2210-=-=-=x x x 求方程0433=+-x x 在20-=x 附近的根，并比较各算法的数值表现。

第六章课后习题解答(1)()()123(1)()213(1)()()312(01.21125551154213351010(1,1,1),17( 4.0000186,2.99999k k k k k k k k k Tx x x x x x x x x x x+++ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-(17)解：(a )因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞德尔均收敛。

（b )雅可比法的迭代格式为取迭代到次达到精度要求(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(0)(8)15,2.0000012)21125551154213351010(1,1,1),8( 4.0000186,2.9999915,2.0000012)Tk k k k k k k k k TTx x x x x x x x x x++++++-ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-高斯塞德尔法的迭代格式为x 取迭代到次达到精度要求1212:00.40.4.0.400.80.40.80||(0.8)(0.80.32)()1.09282031,00.40.4()00.160.6400.0320.672DL U I BD L U l l l l--骣--÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--÷ç桫-=-+-=>-æ--çççç=-=-ççççèlJJJS解(a )雅可比法的迭代矩阵B（）BB故雅可比迭代法不收敛高斯塞德尔法迭代矩阵131()||||0.81022101220||022023002SJBDL U I BD L Ul l¥--ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç÷ø?<骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--ç÷桫-=骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=-=-ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç桫llSJJ SB故高斯-塞德尔迭代法收敛。

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。

[解]。

3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。

若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。

[解]由，可知，，余项为，故。

2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。

[解]由插值余项定理，有，从而。

5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。

[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。

第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。

又，，，故法方程为，解得。

均方误差为。

27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。

，。

又，，，故法方程为，解得。

故直线运动为。

补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。

[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。

应用最小二乘原理，求R使得达到最小。

对求导得到：。

令，得到电阻R为。

2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。

[解]令，求x使得达到最小。

对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。

数学分析第六章习题答案数学分析第六章习题答案数学分析是一门重要的数学学科，它以函数、极限和连续性为基础，研究数学对象的性质和变化规律。

第六章是数学分析课程中的重要章节，主要涉及级数和函数项级数的理论与应用。

本文将为读者提供第六章习题的详细解答，希望对大家的学习有所帮助。

1. 习题1：证明级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 收敛。

解答：根据级数的判别法，我们可以使用比较判别法来证明该级数的收敛性。

比较判别法的核心思想是将给定级数与一个已知的收敛级数进行比较。

考虑级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 和级数∑(n=1 to ∞) (1/n(n+1))，显然，对于任意n，都有1/n^2 ≤ 1/n(n+1)。

由于级数∑(n=1 to ∞) (1/n(n+1)) 是一个已知的收敛级数（可以使用比较判别法证明），所以根据比较判别法，原级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 也是收敛的。

2. 习题2：证明函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n^2) 在区间(-1,1)上一致收敛。

解答：为证明函数项级数在区间(-1,1)上一致收敛，我们可以使用Weierstrass判别法。

该判别法要求级数的每一项函数都满足一致收敛的条件。

考虑函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n^2)，对于任意x∈(-1,1)，我们有|x^n/n^2| ≤ |x^n|，而级数∑(n=1 to ∞) (x^n) 是一个已知的收敛幂级数（当|x| < 1时），所以根据Weierstrass判别法，原函数项级数在区间(-1,1)上一致收敛。

3. 习题3：证明函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n) 在区间(-1,1)上不一致收敛。

解答：为证明函数项级数在区间(-1,1)上不一致收敛，我们可以使用Cauchy收敛准则。

该准则要求级数的部分和函数满足一致收敛的条件。

考虑函数项级数∑(n=1 to ∞) (x^n/n)，对于任意x∈(-1,1)，我们有|x^n/n| ≤ |x^n|，而级数∑(n=1 to ∞) (x^n) 是一个已知的发散幂级数（当|x| ≥ 1时），所以根据Cauchy收敛准则，原函数项级数在区间(-1,1)上不一致收敛。