1.2.1任意角的三角函数第一课时(精品教案)
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1.2.1 任意角的三角函数的定义
卢氏一高 高三数学 房双波
教学目标：
（1）借助单位圆理解任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括从任意角三角函数的定义认识其定义域和函数值在各象限的符号）；
（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；
（3）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
（4）坐标定义三角函数的过程体现化归思想，用一般的函数概念指导三角函数研究的思想.
教学重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义
教学难点:任意角的三角函数概念的构建过程；三角函数中的对应关系.
教学设想：
一、创设情境
1、提问：锐角的正弦、余弦、正切怎样表示？我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！
2、引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点(,)Pab,它与原点的距离220rab.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.则
sinMPbOPr;cosOMaOPr;
tanMPbOMa.
3、思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变呢？
（结合相似三角形知识，说明三个值与终边上点的位置无关）
显然，我们可以将点取在使线段OP的长1r的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
sinMPbOP; cosOMaOP; tanMPbOMa.
4、思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以便推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数的定义. O x y
a角的终P
M A 仅供个人参考
不得用于商业用途 二、探究新知
1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
2.我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.所以，在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆。设是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为(,)Pxy，那么
(1）y叫做的正弦，记作sin,即 siny；
（2）x叫做的余弦，记作cos,即 cosx；
（3）yx叫做的正切,记做tan,即tan(0)yxx.
注意:既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)Pxy，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:终边法如何定义任意角的三角函数?
如图,设是一个任意角,点(,)Pxy是其终边上任意一点,则点P到原点的距离22rxy那么:
(1)yr叫做的正弦,记做sin,即sinyr；
（2）xr叫做的余弦,记做cos,即cosxr；
（3）yx叫做的正切,记做tan,即tan(0)yxx.
注意 ：（1）这样定义，突出点P的任意性，任意角的三角函数值仅与有关，而与点P在角的终边上的位置无关.
（2）所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以角终边上任意一点的坐标及其到原点的 距离的相应比值为函数值的函数，我们将他们统称为三角函数.
（3）使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.
由单位圆定义法到终边定义法，体现由特殊到一般的数学思想方法。
4.提问：你能解释一下定义中的对应关系？
三角函数是以角的弧度数为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
三、例题讲解：例1.求53的正弦、余弦和正切值.
例2．已知角的终边过点0(3,4)P，求角的正弦、余弦和正切值.
教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,xy则22(3)(4)5r.
于是 4sin5yr,3cos5xr,4tan3yx.
四、巩固练习：习题1.2 A组第2题
五、学习小结：1.任意角三角函数具体是怎样定义的？
2.三角函数是以角的弧度数为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值之间的对应关系。
六、作业布置：已知角的终边经过点P（m，3m)(m不为0），求角的正弦、仅供个人参考
不得用于商业用途 余弦和正切值. 仅供个人参考
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