下载文档原格式
数字信号处理知识点总结数字信号处理技术为人们提供了处理和分析信号的便利方式，同时也加快了信号的传输速度和提高了传输质量。
数字信号处理技术在多个领域都有着广泛的应用，比如图像处理、音频处理、通信系统、雷达系统、生物医学信号处理等等。
在这些领域中，数字信号处理技术能够对信号进行分析、滤波、编码、解码、压缩等处理，从而提高系统性能和降低成本。
数字信号处理的基础知识点主要包括以下几个方面：1. 信号和系统基础：信号与系统是数字信号处理的基础，需要深入理解信号的特性和系统的行为。
信号与系统的基本概念包括信号的分类、时域和频域分析、连续时间信号和离散时间信号、因果性、稳定性等等。
2. 采样和量化：采样是将连续时间信号转换为离散时间信号的过程，而量化是将模拟信号转换为数字信号的过程。
采样和量化的基本概念包括采样定理、采样率和量化精度。
3. 离散时间信号的表示和运算：离散时间信号可以用离散时间单位冲激函数的线性组合表示，同时可以进行离散时间信号的运算，比如线性和、线性积分、线性差分等。
4. 离散时间系统的性质和分析：离散时间系统的特性包括线性性、时不变性、因果性、稳定性等，同时还需要对离散时间系统进行频域和时域分析。
5. 离散傅里叶变换（DFT）：DFT 是将离散时间信号转换到频域的一种方法，它可以帮助分析信号的频率分量和谱特性。
6. Z变换：Z 变换是将离散时间信号转换到 Z 域的一种方法，它可以帮助分析离散时间系统的频域特性。
7. 数字滤波器设计：数字滤波器设计是数字信号处理中非常重要的一部分，它包括有限脉冲响应（FIR）滤波器和无限脉冲响应（IIR）滤波器的设计方法。
8. FFT 算法：快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT 的算法，它能够大大提高傅里叶变换的计算速度。
9. 数字信号处理系统的实现：数字信号处理系统的实现可以通过软件方式和硬件方式两种方法进行，比如使用 MATLAB、C 语言等软件实现，或者使用专用的数字信号处理器（DSP）进行硬件实现。
《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析（一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。
模拟信号：是连续信号的特例。
时间和幅度均连续。
离散信号：时间上不连续，幅度连续。
常见离散信号——序列。
数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。
（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 2）单位阶跃序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 4）实指数序列1,01()0,0,N n N R n n n N≤≤-⎧=⎨<≥⎩()n a u n 5）正弦序列6）复指数序列0()sin()x n A n ωθ=+()j n nx n e e ωσ=（3）周期序列1）定义：对于序列，若存在正整数使()x n N ()(),x n x n N n =+-∞<<∞则称为周期序列，记为，为其周期。
()x n ()xn N 注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法：a.主值区间表示法b.模N 表示法3）周期延拓设为N 点非周期序列，以周期序列L 对作无限次移位相加，即可得到()x n ()x n 周期序列，即()xn ()()i xn x n iL ∞=-∞=-∑ 当时， 当时，L N ≥()()()N x n xn R n = L N <()()()N x n xn R n ≠ （4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列都可以分解成()x n 关于共轭对称的序列和共轭反对称的序列之和，即/2c M =()e x n ()o x n()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算1）基本运算运算性质描述序列相乘12()()()()()y n x n x n y n ax n ==序列相加12()()()y n x n x n =+序列翻转 （将以纵轴为对称轴翻转）()()y n x n =-()x n 尺度变换（序列每隔m-1点取一点形成的序列）()()y n x mn =()x n 用单位脉冲序列表示()()()i x n x i n i δ∞=-∞=-∑2）线性卷积：将序列以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与对应点相()x n ()x n 乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式： 1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果，那么根据洛比达法则有2/k N ωπ=sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质（1）线性性质定义：设系统的输入分别为和，输出分别为和，即1()x n 2()x n 1()y n 2()y n 1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数、，下式成立a b 1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。
3.4系列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系序列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系拉普拉斯变换拉普拉斯逆变换傅里叶变换傅里叶逆变换序列x(n)的Z 变换逆Z 变换抽样信号的拉普拉斯变换[]⎰∞∞--==dt e t x t x LT s X st a )()()([]⎰∞+∞--==j j st a dte t x s X LT t x σσ)()()(1Ω+=j s σ[]⎰∞∞-Ω-==Ωdte t x t x FT j X t j )()()([]⎰∞∞-Ω-ΩΩ=Ω=d e j X j X FT t x tj )()()(1Ω=j s ()()nn X z x n z ∞-=-∞=∑,2,1,0,)(21)(1±±==⎰-n dz z z X jn x cn π()()()()()∑∑⎰⎰∑⎰∞-∞=-∞-∞=∞∞--∞∞--∞-∞=∞∞--∧∧∧=-=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n nsTan st a stn ast a a a enT x dte nT t nT x dt e nT t nT x dt e t x t x LT s X δδ)()()(抽样序列的z 变换为3.4.1拉氏变换与Z 变换变换的关系就是复变量s 平面到复变量z 平面的映射：令 s=σ+j Ω, z=re j ω 得到： re j ω =e (σ+j Ω)T =e σT e j ΩT , 因而 r=e σT ， ω=ΩT3.4.2 ω= ΩTΩ=0 、π/T 、3π/T 、 Ω0与ω的对应关系 Ω变化时与ω的对应关系s 平面到z 平面的映射是多值映射。
（傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即s ＝j Ω，因而映射到z 平面上为单位圆，代入 抽样序列的z 变换sTez=()[]()∑∞-∞=-==n nzn x n x ZT z X )(()eˆ()(e )(2.89)sTsT az X z X X s ===得取样序列在单位圆上的Ｚ变换，等于其理想取样信号的傅里叶变换 。
第三章 自适应数字滤波器3.1 引言滤波器的设计都是符合准则的最佳滤波器。
维纳滤波器参数固定，适用于平稳随机信号的最佳滤波；自适应滤波器参数可以自动地按照某种准则调整到最佳。
本章主要涉及自适应横向滤波器．．．．．、自适应格型滤波器．．．．．．．．、最小二乘自适应滤波器．．．．．．．．．．。
3.2 自适应横向滤波器自适应．．．线性组合．．．．器．和自适应．．．．FIR ．．．滤波器．．．是自适应信号．．．．．．处理的基础．．．．．。
3.2.1 自适应线性组合器和自适应FIR 滤波器自适应滤波器的矩阵表示式 滤波器输出：()()()1N m y n w m x n m -==-∑n 用j 表示，自适应滤波器的矩阵形式为T T j jj y ==X W W X 式中1212,,,,,,,TTN N w w w x x x ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦W X误差信号表示为T T j j j j jj j e d y d d =-=-=-X W W X 与维纳滤波相同，先考虑最小均方误差准则：()2222T T j j j j dx xx E e E d y E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦R W W R W2j E e ⎡⎤⎣⎦称为性能函数．．．．，将其对每个权系数求微分，形成一个与权系数相同的列向量： 2221222,,,Tj j jj xx dx N E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥∇==-∂∂∂⎢⎥⎣⎦R W R令梯度为零，可得最佳权系数此时最小均方误差为：22*min T j j dx E e E d ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦W R 要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W ，先求自相关矩阵xx R 和互相关矩阵dx R 。
3.2.2 性能函数表示式及几何意义3.2.3 最陡下降法3.2.1给出了要求2minj Ee ⎡⎤⎣⎦和最佳权系数*W 的理论求解方法，但实际很难应用。
工程上常采用牛顿法和最陡下降法搜索最佳值。
用最陡下降法搜索最佳权系数：其中μ是调整步长。
该式表示下一个权矢量1j +W 等于现在的权矢量j W 加上一个正比于负梯度的变化量。
1. 最陡下降法递推公式*()12222*j j dx xx jxx j xx W W μμμ+⎡⎤=+-=-+⎣⎦R R W I R W R W 两边同时减去最佳权矢量*W ，令*jj V =W -W 为权偏移量：12j xx j μ+⎡⎤=-⎣⎦V I R V11,T xx xx --===R Q ΛQ Q ΛQ ΛQ R Q1111122j j j μμ----+⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦Q V Q I ΛQ V I ΛQ V 令1,jj j j -==V'Q V V QV'可得()()1022jj j μμ-=-=-V'I ΛV'I ΛV'()()02**jT j μ=+--W W Q I ΛQ W W2. 收敛条件要使*j→W W ，需满足2lim jj μ→∞⎡⎤-=⎣⎦I Λ0 2μ-I Λ是对角矩阵，对角线元素为12i μλ-，既有3. 过渡过程保证收敛的条件下，μ越大收敛越快，波动越大；μ越小收敛越慢，轨迹越平滑。
在实际应用中，通常取210j NE x μ<⎡⎤⎣⎦其中N 便是滤波器的长度，2jE x ⎡⎤⎣⎦表示信号的平均功率，一般用所有样本的时间平均代替。
3.2.4 最小均方（LMS ）算法上节提到的最陡下降法要求求出均方误差的梯度，这一点很难精确求得，因此采用一条样本曲线对均方误差梯度进行估计，这便是LMS 算法。
1. LMS 算法的权值计算均方误差的梯度可用222212,,,Tj j jj N E e E e E e E e w w w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤∇=⎣⎦⎣⎦∂∂∂⎢⎥⎣⎦来表示；作为对均方误差的的估计，用222212,,,Tj j jj N e e e e w w w ⎡⎤∂∂∂⎡⎤∇=⎢⎥⎣⎦∂∂∂⎢⎥⎣⎦来表示。
22ˆj j j j e e ⎡⎤∇=∇=-⎣⎦X ，是对均方误差的无偏估计。
递推公式：2. LMS 算法加权矢量的过渡过程2j j e X 是随机变化的，LMS算法加权矢量是在最陡下降法加权矢量附近随机变化的，其统计平均值等于最陡下降法加权矢量。
3. LMS 算法性能函数的过渡过程4. 稳态误差和失调函数失调系数1minmin Nxx i i M tr ζζμμλζ=-⎡⎤===⎣⎦∑R3.3 自适应格型滤波器自适应格型滤波器收敛速度快，滤波器节点数易改变，一个m 节的格型滤波器可以产生相当于从1阶到m 阶的m 个横向滤波器输出。
3.3.1 前、后向线性预测误差滤波器 1. 前向线性预测误差滤波器用前p 个数据()()()12,,,xn x n x n p ---预测()x n 。
前向线性预测误差滤波器可以由信号的线性一步预测直接导出：()()1,ˆpp k k x n a x n k ==--∑()()()()()1,ˆpf pp kk en x n x n x n ax n k ==-=+-∑前向预测误差滤波器的系统函数Yule-walker 方程()()0200,,pp i xx i p p i xx p i a r k i a r i σ==⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑，式中 01,p a =，()()22minf p p E e n σ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
2. 后向线性预测误差滤波器用后p 个数据()()()12,,,x n x n x n p +++预测()x n 。
预测值()()1,ˆpp k k x n a'x n k ==-+∑改写上式为()()1,ˆpp k k x n p a'x n p k =-=--+∑()()()()()1,ˆpb pp kk en x n p x n p x n p a'x n p k ==---=-+-+∑后向预测误差滤波器的系统函数及与前向系统函数的关系：Yule-walker 方程()()0200,,pp i xx i pp i xx p i a'r k i a'r i 'σ==⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑， 式中 01,p a'=，()()22minb p p 'E e n σ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
比较前向和后向Yule-walker 方程可知：3. Levinson-Durbin 算法Levinson ．．．．．．．．-．Durbin ．．．．．．算法．．首先由1阶AR 模型的系数a 1,i 开始，通过递推得到p 阶滤波器系数a p,i 和相应的最小均方误差。
一般递推公式：其中，p k 称为反射系数。
3.3.2 格型滤波器1. 由预测误差滤波器导出格型滤波器前面已经推导出前、后向预测误差滤波器的形式，对于一个p 阶的预测误差滤波器，对应的有一组最佳权系数,1,2,,,,p p p p a a a 以及相应的最小均方误差2pσ。
这些参数可由Levinson-Durbin 算法递推出。
根据前、后向误差的定义，可以得到格型滤波器前、后级预测误差之间的关系。
矩阵形式更好记（对称矩阵，前向为n ，后向为n -1）：()()()()()()1111111f f b p p p b b fp p p p e n e n e n k e n e n e n ----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦式中p 表示滤波器阶数，n -1表示对n 的延时，明白这两点可以根据上式画出格型滤波器。
令初始节点为 ()()()00bf e n e n x n ==2. 格型滤波器性质（1） 各阶后向预测误差相互正交()()0b bij E e n e n ⎡⎤=⎣⎦（2） 平稳随机序列可由自相关函数（Yule-walker ）或反射系数（Levinson-Durbin ）表征Yule-walker 方程和Levinson-Durbin 递推公式解之间的关系（3） 前向预测误差滤波器是最小相位滤波器，后向预测误差滤波器是最大相位滤波器 3. 对于复信号的预测误差滤波器和格型滤波器3.3.3 最小均方误差自适应格型滤波器该方法可以直接通过信号数据求反射系数。
()p x n k ⇒格型滤波器前后参数隔离，后面的参数不影响前面最佳参数的选择。
已知前m 阶的最佳参数，只需设计第1m +阶的参数使得第1m +阶预测误差功率最小。
设计准则：使前、后向预测误差功率的和最小．．的原则求反射系数。
()()()220f bp p pE e n e n k ⎡⎤⎛⎫∂+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=∂可以推得()()()()()()112211211f bp p p f b p p E e n e n k E e n E e n ----⎡⎤--⎣⎦=⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦实际计算中，用时间平均代替统计平均()()()()()()11122111121ˆ1nfb p p i pnnfb p p i i e i e i k ei e i --=--==--=-∑∑∑一种更有效的算法：梯度算法。
()()()()221p f b p p k p p k k e n e n μ+⎡⎤=-∇+⎢⎥⎣⎦带入梯度计算结果可得：式中，2βμ=，为步长因子。
结合格型滤波器前、后级预测误差之间的关系和初始条件可以逐步推出各阶的反射系数。
3.3.4 小结本节讨论自适应格型滤波器，其基础是前、后向预测误差滤波器。
前、后向预测误差滤波器类似于一步线性预测，理论上可以由Yule-walker 方程求得各阶的加权系数,p k a 和最小均方误差2p σ。
由于Yule-walker 方程求解过程复杂，故采用Levinson-Durbin 递推算法，可根据信号的自相关函数递推反射系数p k 、各阶加权系数,p k a 和最小预测误差2p σ。
预测误差滤波器实际上就是通过自适应调整使得预测误差值最小化，从而得到最佳预测值，本质是求最小预测误差()en 使得()()()ˆx n x n e n =-最佳。
由前、后向预测误差滤波器引出前、后向预测误差()fpe n 、()bpe n 和反射系数pk。
由前、后向预测误差的定义可以推得前、后向预测误差之间的递推关系，由此关系可构建格型滤波器。
由于Levinson-Durbin 递推算法需要先求出信号的自相关函数，较麻烦，可采用最小均方误差自适应算法设计最小均方误差自适应格型滤波器：采用前、后向预测误差功率和最小的准则，可以得到p k 直接关于前、后向预测误差的表达式，利用误差初始条件结合各阶前、后向误差之间的关系可以递推。
