第04讲 万有引力与宇宙航行(精练)

第04讲：万有引力与宇宙航行[知识点精辟归纳]一：开普勒行星运动定律定律 内容公式或图示开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等公式：a 3T 2＝k ，k 是一个与行星无关的常量二．万有引力定律一：内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．(2)公式 F ＝G m 1m 2r 2. 3．符号意义(1)G 为引力常量，其数值由英国物理学家卡文迪许测量得出，常取G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2. (2)r 为两个质点间的距离或质量均匀的两个球体的球心间的距离．二．万有引力的四个特性特性 内容普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用特殊性两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关三．万有引力的效果万有引力F ＝G MmR 2的效果有两个，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转需要的向心力F n ＝mrω2，如图6-2-3所示，重力是万有引力的一个分力．图6-2-31．重力与纬度的关系地面上物体的重力随纬度的升高而变大．(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F ＝F n ＋mg ，即G Mm R 2＝mrω2＋mg ，所以mg ＝G MmR 2－mrω2. (2)地球两极处：向心力为零，所以mg ＝F ＝G Mm R 2.(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg ＜G MmR 2，重力的方向偏离地心．2．重力与高度的关系由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg ＝G Mm R 2，若距离地面的高度为h ，则mg ＝G Mm (R ＋h )2(R 为地球半径，g 为离地面h 高度处的重力加速度)．所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．三：万有引力理论的成就的应用一：天体质量与天体的密度 1．求天体质量的思路绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量．2．计算天体的质量下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心力，即 GM 地·m 月r 2＝m 月⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，可求得地球质量M 地＝4π2r 3GT 2.(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运行的线速度v ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r ，解得地球的质量为M 地＝r v 2G .(3)若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得GM 地·m 月r 2＝m 月·v ·2πTG M 地·m 月r 2＝m 月v 2r以上两式消去r ，解得M 地＝v 3T2πG .(4)若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg ＝G M 地·m R 2解得地球质量为M 地＝R 2gG .3．计算天体的密度若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M 43πR 3将M ＝4π2r 3GT 2代入上式得ρ＝3πr 3GT 2R 3. 二：天体运动问题1．解决天体运动问题的基本思路一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G MmR 2＝ma ，式中a 是向心加速度．2．四个重要结论设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动 (1)由G Mmr 2＝m v 2r得v ＝GMr，r 越大，天体的v 越小．(2)由G Mmr 2＝mω2r 得ω＝GMr 3，r 越大，天体的ω越小．(3)由G Mm r 2＝m (2πT )2r 得T ＝2πr 3GM ，r 越大，天体的T 越大．(4)由G Mm r 2＝ma n 得a n ＝GMr 2，r 越大，天体的a n 越小． 以上结论可总结为“越远越慢，越远越小”．四：双星问题的分析方法宇宙中往往会有相距较近、质量相当的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O 做同周期的匀速圆周运动．这种结构叫做双星模型(如图6-4-1所示)．图6-4-1双星的特点1．由于双星和该固定点O 总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必然相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必然相等，因此周期也必然相等．2．由于每颗星球的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，即m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L (L 是双星间的距离)，可得r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，即固定点离质量大的星球较近．五：宇宙航行一：宇宙速度数值意义1．第一宇宙速度的定义又叫环绕速度，是人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，是人造地球卫星的最小发射速度，v ＝7.9 km/s.2．第一宇宙速度的计算设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星到地心的距离为r ，卫星做匀速圆周运动的线速度为v ：方法一：万有引力提供向心力→G Mmr 2＝m v 2r →v ＝GM r ――→r ＝R ＝6.4×106 mM ＝5.98×1024 kg v ＝7.9 km/s 方法二：重力提供向心力→mg ＝m v 2r →v ＝gr ――→r ＝R ＝6.4×106 mg ＝9.8 m/s 2v ＝7.9 km/s二：卫星各物理量分析：小．可以概括为“高轨低速长周期”．三．人造地球卫星的轨道人造卫星的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道． (1)椭圆轨道：地心位于椭圆的一个焦点上．(2)圆轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所需的向心力由万有引力提供，由于万有引力指向地心，所以卫星的轨道圆心必然是地心，即卫星在以地心为圆心的轨道平面内绕地球做匀速圆周运动．图6-5-4总之，地球卫星的轨道平面可以与赤道平面成任意角度，但轨道平面一定过地心．当轨道平面与赤道平面重合时，称为赤道轨道；当轨道平面与赤道平面垂直时，即通过极点，称为极地轨道，如图6-5-4所示．2．地球同步卫星(1)定义：相对于地面静止的卫星，又叫静止卫星． (2)六个“一定”．①同步卫星的运行方向与地球自转方向一致． ②同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，T ＝24 h. ③同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度．④同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上方． ⑤同步卫星的高度固定不变．⑥同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v ，由于G Mm(R ＋h )2＝m v 2R ＋h ，所以v ＝GM R ＋hgR 2R ＋h四：卫星变轨问题的处理技巧1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由G Mmr 2＝m v 2r ，得v ＝GMr ，由此可见轨道半径r 越大，线速度v 越小．当由于某原因速度v 突然改变时，若速度v 突然减小，则F ＞m v 2r ，卫星将做近心运动，轨迹为椭圆；若速度v 突然增大，则F ＜m v 2r ，卫星将做离心运动，轨迹变为椭圆，此时可用开普勒第三定律分析其运动．2．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度也相同．[考点题型精辟归纳]考点题型一：开普勒行星运动定律1．（2021·河南·商丘市回民中学高一期末）人类对行星运动的研究漫长而曲折，关于开普勒行星运动定律，下列说法中正确的是（ ）A ．牛顿发现万有引力定律后，开普勒整理牛顿的观测数据，发现了行星运动的规律B ．所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相等C ．开普勒行星运动定律适用于行星绕太阳运动，也适用于宇宙中其他卫星绕行星的运动D ．行星环绕太阳运动时，线速度大小始终不变2．（2021·山东聊城·高一期末）2021年5月29日，上午10时30分，北斗三号全球卫星导航系统建成暨开通仪式在人民大会堂隆重举行。

第4讲 万有引力与航天 板块一 主干梳理·夯实基础【知识点1】 开普勒行星运动定律 Ⅰ 1．定律内容开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是 椭圆，太阳处在椭圆的一个 焦点上。

开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的 面积。

开普勒第三定律：所有行星的轨道的 半长轴的三次方跟它的 公转周期的二次方的比值都相等，即 a 3T2＝k 。

2．使用条件：适用于宇宙中一切环绕相同中心天体的运动，也适用于以行星为中心的卫星。

【知识点2】 万有引力定律及应用 Ⅱ1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与 两物体的质量的乘积成正比，与 两物体间距离的二次方成反比。

2．公式：F ＝ G m 1m 2r2，其中G 为万有引力常量，G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。

公式中的r 是两个物体之间的 距离。

3．使用条件：适用于两个 质点或均匀球体；r 为两质点或均匀球体球心间的距离。

【知识点3】 环绕速度 Ⅱ1．第一宇宙速度又叫 环绕速度，其数值为 7.9 km/s 。

2．第一宇宙速度是人造卫星在 地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。

3．第一宇宙速度是人造卫星的最小 发射速度，也是人造卫星的最大 环绕速度。

4．第一宇宙速度的计算方法。

(1)由G MmR 2＝m v 2R ，解得：v ＝GM R ；(2)由mg ＝m v 2R 解得：v ＝ gR 。

【知识点4】 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ 1．第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱 地球引力束缚的最小发射速度，其数值为 11.2 km/s 。

2．第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱 太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为 16.7 km/s 。

【知识点5】 经典时空观和相对论时空观 Ⅰ 1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量不随 运动速度改变；(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 相同的。

高中物理必修二万有引力与宇宙航行练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列表述不是开普勒定律的是（）A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上B.对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积C.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等D.自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上2. 2019年12月7日10时55分，我国在太原卫星发射中心用“快舟一号”甲运载火箭，成功将“吉林一号”高分02B卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，绕地球做匀速圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，卫星与地心的连线在时间t （小于其运动周期）内扫过的面积为S，则卫星绕地球运动的轨道半径为（）A.gR2t24S B.R√gC.tR√g2SD.4S2gR2t23. 关于开普勒第三定律R3T2=k的理解，以下说法中正确的是（）A.该定律只适用于卫星绕行星的运动B.若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R1，周期为T1，月球绕地球运转轨道的半长轴为R2周期为T2，则R12T12=R22T22C.k是一个与行星无关的常量D.T表示行星运动的自转周期4. 2020年7月23日，我国火星探测器“天问一号”在海南文昌卫星发射中心发射，大约需要经过7个月左右的飞行抵达火星．探测器首先在火星引力的范围之内被火星捕获，然后在火星轨道上环绕，最后把“火星车”释放到火星表面上开展探测．已知火星绕太阳公转周期约为地球公转周期的2倍，火星的直径约为地球的一半，质量仅为地球的十分之一．由此可知（）A.探测器绕火星表面附近做圆周运动的速度小于地球的第一宇宙速度B.火星绕太阳运动轨道半径约为地球绕太阳轨道半径的4倍C.火星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的2.5倍D.火星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的5倍5. 如图所示，一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动．则该卫星运行过程中（）A.向心加速度大小、方向都不变B.向心力大小、方向都不变C.合外力大小、方向都不变D.卫星受到地球的万有引力提供向心力6. 人类对天体运动的认识有着漫长艰难的过程，如日心说和地心说．下列说法不正确⋅的是（）A.地心说认为地球处于宇宙的中心静止不动，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动B.日心说认为太阳是宇宙的中心且静止不动，地球和其他行星都绕太阳运动C.在天文学史上，虽然日心说最终战胜了地心说，但地心说更符合人们的直接经验D.哥白尼经过长期观测和研究，提出了地心说，开普勒在总结前人大量观测资料的基础上，提出了日心说7. 2020年7月23日，我国火星探测器“天问一号”首次在海南文昌航天发射场由长征五号运载火箭发射升空，随后准确地进入预定地火转移轨道．如图所示为探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．已知火星的半径为R，OQ=4R，轨道Ⅱ上经过O点的速度为v，关于探测器，下列说法正确的是（）A.沿轨道Ⅰ运动时，探测器与P点连线在相等时间内扫过的面积相等B.沿轨道Ⅱ的运动周期小于沿轨道Ⅲ的运动周期C.沿轨道Ⅲ运动时，经过O点的速度大于vD.沿轨道Ⅲ运动时，经过O点的加速度等于v23R8. 万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用的规律．说法正确的是（）A.物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的B.人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大C.人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供D.宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用9. 2017年4月22日12时23分，天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室顺利完成自动交会对接．已知天宫二号距离地面的高度为393km．下列关于它们的运动的说法正确的是（）A.天舟一号的发射速度应小于7.9km/sB.天舟一号与天宫二号对接前在较低的轨道上做匀速圆周运动的周期应小于天宫二号运行的周期C.天舟一号与天宫二号对接前在较低的轨道上做匀速圆周运动的线速度应小于天宫二号的线速度D.天舟一号与天宫二号对接后，天宫二号的速度将增加，从而降低到更低的轨道10. 许多科学家对物理学的发展做出了巨大贡献，也创造出了许多物理学方法，如理想实验法、控制变量法、极限思想法、模型法、类比法和科学假说法，等等。

专题强化训练(四) 万有引力与航天一、选择题(1～7为单选题，8～16为多选题)1．(2017·吉林省普通高中高三调研)地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 1，地球的同步卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r ，向心加速度为a 2.已知万有引力常量为G ，地球半径为R ，地球赤道表面的重力加速度为g .下列说法正确的是( )A ．地球质量M ＝gr 2GB ．地球质量M ＝a 1r 2GC ．a 1、a 2、g 的关系是g ＞a 2＞a 1D ．加速度之比a 1a 2＝r 2R2解析：根据万有引力定律可得，对地球的同步卫星：G Mmr 2＝ma 2，解得地球的质量M ＝a 2r 2G，故A 、B 错误．地球赤道上的物体和地球同步卫星的角速度相等，根据a ＝ω2r 知，a 1＜a 2；对于地球近地卫星有，G Mm R 2＝mg ，得g ＝G M R 2，对于地球同步卫星，G Mmr 2＝ma 2，即a 2＝G Mr 2，a 2＜g ，综合得a 1＜a 2＜g ，故C 正确；根据a ＝ω2r ，地球赤道上的物体a 1＝ω2R ，地球同步卫星的向心加速度a 2＝ω2r ，故a 1a 2＝Rr，故D 错误．答案：C2．(2017·济宁市高三模拟)假设地球为质量均匀分布的球体．已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g 0、在赤道处的大小为g ，地球半径为R ，则地球自转的周期T 为( )A ．2πRg 0＋g B ．2πR g 0－g C ．2πg 0＋gRD ．2πg 0－gR解析：在两极处物体不随地球自转，所以G MmR 2＝mg 0；在赤道处物体随地球自转，可得G Mm R 2＝mg ＋m 4π2T2R ，联立解得T ＝2πRg 0－g，所以B 正确；A 、C 、D 错误． 答案：B3．(2017·枣庄市高三模拟)2016年12月17日是我国发射“悟空”探测卫星二周年纪念日，一年来的观测使人类对暗物质的研究又进了一步．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且T 理论T 观测＝k (k ＞1)；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，两星球的质量均为m ；那么，暗物质质量为( )A ．k 2－14mB ．k 2－28mC ．(k 2－1)mD ．(2k 2－1)m解析：设两星球间距为L ，则根据万有引力定律：Gm 2L 2＝m 4π2T 2理·L2；若有暗物质，因均匀分布，故可认为集中在两星连线中点，根据万有引力定律：Gm 2L 2＋GMm ⎝⎛⎭⎫L 22＝m 4π2T 2观·L2；其中T 理论T 观测＝k ，联立解得：M ＝k 2－14m ，故选A ．答案：A4．(2017·乐山市高三调研)有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b 处于地面附近近地轨道上正常运行，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星．各卫星排列位置如图，则有( )A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．在相同时间内b 转过的弧长最短C ．在4 h 内c 转过的圆心角是π/3D ．d 的运动周期一定是30 h解析：同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度也相同，则知a 与c 的角速度相同，由a ＝w 2·r 可知，c 的向心加速度比a 的大．根据G Mm r 2＝ma 可得：a ＝G M r 2，可知卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，c 同步卫星的轨道半径高于b 卫星的轨道半径，则c 同步卫星的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度约为g ，故知a 的向心加速度小于重力加速度g ，故A 错误；由G Mmr 2＝m v 2r，解得：v ＝Gmr，卫星的半径越大，线速度越小，所以b 的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B 错误；c 是地球同步卫星，周期是24 h ，则c 在4 h 内转过的圆心角是π3，故C 正确；由开普勒第三定律：R 3T 2＝k 可知，卫星的半径越大，周期越大，所以d 的运动周期大于c 的周期24 h ，但不一定是30 h ，故D 错误．答案：C5． (2017·黄冈市高三质量检测)卫星发射进入预定轨道往往需要进行多次轨道调整．如图所示，某次发射任务中先将卫星送至近地轨道，然后再控制卫星进入椭圆轨道．图中O 点为地心，A 点是近地轨道和椭圆轨道的交点，远地点B 离地面高度为6R (R 为地球半径)．设卫星在近地轨道运动的周期为T ，下列对卫星在椭圆轨道上运动的分析，其中正确的是( )A ．控制卫星从图中低轨道进入椭圆轨道需要使卫星减速B ．卫星通过A 点时的速度是通过B 点时速度的6倍C ．卫星通过A 点时的加速度是通过B 点时加速度的6倍D ．卫星从A 点经4T 的时间刚好能到达B 点解析：控制卫星从图中低轨道进入椭圆轨道需要使卫星加速，选项A 错误；根据开普勒行星运动第二定律可得：v A ·R ＝v B ·(6R ＋R )，则卫星通过A 点时的速度是通过B 点时速度的7倍，选项B 错误；根据a ＝GM r 2，则a A a B ＝r 2Br 2A ＝(7R )2R2＝49，则卫星通过A 点时的加速度是通过B 点时加速度的49倍，选项C 错误；根据开普勒第三定律，R 3T2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2R ＋6R 23T ′2，解得T ′＝8T ，则卫星从A 点经4T 的时间刚好能到达B 点，选项D 正确；故选D ．答案：D6．(2017·日照市高三模拟)2016年11月24日，我国成功发射了天链一号04星．天链一号04星是我国发射的第4颗地球同步卫星，它与天链一号02星、03星实现组网运行，为我国神舟飞船、空间实验室天宫二号提供数据中继与测控服务．如图，1是天宫二号绕地球稳定运行的轨道，2是天链一号绕地球稳定运行的轨道．下列说法正确的是( )A ．天链一号04星的最小发射速度是11.2 km/sB ．天链一号04星的运行速度小于天宫二号的运行速度C ．为了便于测控，天链一号04星相对于地面静止于北京飞控中心的正上方D ．由于技术进步，天链一号04星的运行速度可能大于天链一号02星的运行速度 解析：由于第一宇宙速度是人造地球卫星飞船环绕地球做匀速圆周运动时的最大速度，同时又是最小的发射速度，可知飞船的发射速度大于第一宇宙速度7.9 km/s.飞船的发射速度大于第二宇宙速度11.2 km/s 时，就脱离地球束缚．所以飞船的发射速度要小于第二宇宙速度，同时要大于第一宇宙速度，介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故A 错误；由万有引力提供向心力得：GMm r 2＝m v 2r可得v ＝GMr，可知轨道半径比较大的天链一号04星的运行速度小于天宫二号的运行速度．故B 正确；天链一号04星位于赤道正上方，不可能位于北京飞控中心的正上方，故C 错误；根据题意，天链一号04星与天链一号02星都是地球同步轨道数据中继卫星，轨道半径相同，所以天链一号04星与天链一号02星具有相同的速度，故D 错误．答案：B7．(2017·湖北省高三联合)“嫦娥三号”携带“玉兔号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测．“玉兔号”在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2；地球与月球均视为球体，其半径分别为R 1、R 2；地球表面重力加速度为g .则( )A ．月球表面的重力加速度为G 1gG 2B ．地球与月球的质量之比为G 2R 22G 1R 21C ．月球与地球的第一宇宙速度之比为G 1R 1G 2R 2D ．“嫦娥三号”环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为2πG 1R 2G 2g解析：“玉兔号”的质量为m ＝G 1g ，所以月球表面的重力加速度为g ′＝G 2m ＝gG 2G 1，所以A 错误；根据黄金公式GM ＝gR 2，可得M 地M 月＝g g ′R 21R 22＝G 1R 21G 2R 22，所以B 错误；第一宇宙速度v ＝gR ，所以月球与地球的第一宇宙速度之比为v 2v 1＝G 2G 1R 2R 1，所以C 错误；根据万有引力G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，“嫦娥三号”环绕月球表面做匀速圆周运动，所以轨道半径等于月球半径R 2，代入可求周期T ＝2πG 1R 2G 2g，所以D 正确． 答案：D8．(2017·江苏卷)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空．与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km 的圆轨道上飞行，则其( )A ．角速度小于地球自转角速度B ．线速度小于第一宇宙速度C ．周期小于地球自转周期D ．向心加速度小于地面的重力加速度解析：本题考查万有引力定律、人造卫星的运行规律．由于地球自转的角速度、周期等物理量与地球同步卫星一致，故“天舟一号”可与地球同步卫星比较．由于“天舟一号”的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以，角速度是“天舟一号”大，周期是同步卫星大，选项A 错，C 对；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，B 对；对“天舟一号”有G M 地m(R 地＋h )2＝ma 向，所以a 向＝G M 地(R 地＋h )2，而地面重力加速度g ＝G M 地R 2地，故a 向<g ，D 选项正确．答案：BCD9．(2017·邵阳市高三联考)2017年1月5日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将通信技术试验卫星发射升空．若该卫星在发射过程中质量保持不变，则在该卫星发射升空远离地球的过程中，其所受地球的万有引力F 及重力势能E p 的变化情况分别为( )A ．F 变大B ．F 变小C ．E p 变大D ．E p 变小 解析：根据万有引力公式F ＝G Mmr 2，远离地球过程中，与地球间的距离在增大，故F减小，上升过程中需要克服引力做功，故重力势能增大，故B 、C 正确．答案：BC10．(2017·苏锡常镇四市调研)2016年8月欧洲南方天文台宣布：在离地球最近的恒星“比邻星”周围发现了一颗位于宜居带内的行星，并将其命名为“比邻星b ”，这是一颗可能孕育生命的系外行星．据相关资料表明：“比邻星b ”的质量约为地球的1.3倍，直径约为地球的2.2倍，绕“比邻星”公转周期约为11.2天，与“比邻星”的距离约为日地距离的5%，若不考虑星球的自转效应，则( )A ．“比邻星”的质量大于太阳质量B ．“比邻星”的质量小于太阳质量C ．“比邻星b ”表面的重力加速度大于地球表面的D ．“比邻星b ”表面的重力加速度小于地球表面的解析：根据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可得：M ＝4π2r 3GT 2，则M 比M 太＝r 3比T 2比∶r 3地T 2地＝(5100)3×(36511.2)2≈0.133，故“比邻星”的质量小于太阳质量，选项A 错误，B 正确；根据g ＝GmR 2，则g 比g 地＝m 比R 2地m 地R 2比＝1.3×(12.2)2≈0.27，即“比邻星b ”表面的重力加速度小于地球表面的，选项C 错误，D 正确． 答案：BD11．(2017·株洲市高三质检)2016年10月19日凌晨“神舟十一号”飞船与“天宫二号”成功实施自动交会对接．如图所示，已知“神舟十一号”“天宫二号”对接后，组合体在时间t 内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，组合体轨道半径为r ，地球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑地球自转．则( )A ．可求出地球的质量B ．可求出地球的平均密度C ．可求出组合体的做圆周运动的线速度D ．可求出组合体受到地球的万有引力解析：根据题意可得组合体绕地球运动的角速度为ω＝θt ，根据公式G Mmr 2＝mω2r 可得M ＝ω2r 3G ，A 正确；忽略地球自转，在地球表面万有引力等于重力，即G MmR 2＝mg ，即可求得地球半径，根据ρ＝M 43πR 3可求得地球密度，B 正确；根据v ＝ωr 可得组合体的做圆周运动的线速度，C 正确；由于不知道组合体质量，所以无法求解受到地球的万有引力大小，D 错误．答案：ABC12．(2017·山西省高三测试)2016年12月28日中午，我国首颗中学生科普卫星在太原卫星发射中心发射升空．这颗被命名为“八一·少年行”的小卫星计划在轨运行时间将不少于180天．卫星长约12厘米，宽约11厘米，高约27厘米，入轨后可执行对地拍摄、无线电通讯、对地传输文件以及快速离轨试验等任务．假设根据实验需要将卫星由距地面高280 km 的圆轨道Ⅰ调整进入距地面高330 km 的圆轨道Ⅱ，以下判断正确的是( )A ．卫星在轨道Ⅰ上运行的速度小于7.9 km/sB ．为实现这种变轨，卫星需要向前喷气，减小其速度即可C ．卫星在轨道Ⅱ上比在轨道Ⅰ上运行的向心加速度大，周期小D ．忽略卫星质量的变化，卫星在轨道Ⅱ上比在轨道Ⅰ上动能小，引力势能大 解析：根据v ＝GMr知轨道半径越大，运行的线速度越小，选项A 正确．卫星由低轨道变为高轨道需要向后喷气加速，从而使万有引力小于向心力而做离心运动，选项B 错误．由a ＝GMr2，T ＝4π2r 3GM知轨道Ⅱ的半径大，加速度小，周期大，选项C 错误．轨道Ⅱ的线速度小，而高度高，故动能小时引力势能大，选项D 正确．答案：AD13．(2017·泰安市高三质检)我国计划在2017年发射“嫦娥四号”，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料．已知月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，嫦娥四号离月球中心的距离为r ，绕月周期为T .根据以上信息可求出( )A ．“嫦娥四号”绕月运行的速度 r 2g RB ．“嫦娥四号”绕月运行的速度为 R 2g rC ．月球的平均密度为3πGT 2D ．月球的平均密度为3πr 3GT 2R3解析：月球表面任意一物体重力等于万有引力：G MmR 2＝mg ，则有GM ＝R 2 g ，“嫦娥四号”绕月运行时，万有引力提供向心力：G Mmr 2＝m v 2r，解得：v ＝GMr，联立解得v ＝gR 2r，故A 错误，B 正确；“嫦娥四号”绕月运行时，根据万有引力提供向心力有：G Mm r 2＝m 4π2T2r ，解得：M＝4π2r3GT2，月球的平均密度为：ρ＝MV＝4π2r3GT24π3R3＝3πr3GT2R3，故C错误，D正确．答案：BD14．(2017·湖北省八校高三联考)1772年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》指出：两个质量相差悬殊的天体(如太阳和地球)所在同一平面上有5个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点．若飞行器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周运动．若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是()A．该卫星绕太阳运动周期和地球自转周期相等B．该卫星在L2点处于平衡状态C．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度D．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处大解析：该卫星与地球同步绕太阳做圆周运动，则该卫星绕太阳运动周期和地球绕太阳运动周期相等，但与地球自转周期没有关系，故A错误；该卫星所受的合力为地球和太阳对它引力的合力，这两个引力方向相同，合力不为零，处于非平衡状态，故B错误；由于该卫星与地球绕太阳做圆周运动的周期相同，该卫星的轨道半径大，根据公式a＝4π2T2r分析可知，该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度，故C正确；因为这些点上的周期相同，根据a＝4π2T2r可得半径越大，向心加速度越大，所以根据F＝ma可得半径越大受到的合力越大，故D正确．答案：CD15．(2017·肇庆市高三模拟)美国国家科学基金会2010年9月29日宣布，天文学家发现一颗迄今为止与地球最类似的太阳系外的行星，如图所示，这颗行星距离地球约20亿光年(189.21万亿公里)，公转周期约为37年，这颗名叫Gliese581g的行星位于天枰座星群，它的半径大约是地球的2倍，重力加速度与地球相近．则下列说法正确的是()A ．飞船在Gliese581g 表面附近运行时的速度小于7.9 km/sB ．该行星的平均密度约是地球平均密度的1/2C ．该行星的质量约为地球质量的2倍D ．在地球上发射航天器到达该星球，航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度 解析：由于物体在星球表面上飞行的速度为v ＝gr ，由于7.9 km/s 是地球表面的物体运行的速度，故行星与地球的第一宇宙速度之比为v 行v 地＝gr 行gr 地＝2，故飞船在Gliese581g表面附近运行时的速度为2×7.9 km/s ，它大于7.9 km/s ，故选项A 错误；由于物体在星球上受到万有引力，则mg ＝GMm r 2，则星球的质量M ＝gr 2G ，星球的密度ρ＝M V ＝gr 2G ÷4πr 33＝3g4πGr ，可见，星球的密度与其半径成反比，由于行星的半径与地球的半径之比为2∶1，故它们的密度之比为1∶2，选项B 正确；根据星球的质量M ＝gr 2G ，故星球的质量与其半径的平方成正比，故该行星与地球的质量之比为4∶1，选项C 错误；由于该行星是在太阳系之外的，故需要飞出太阳系，所以航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度，选项D 正确．答案：BD16．(2017·哈尔滨市第六中学期末)假设地球可视为质量分布均匀的球体．已知地球表面重力加速度的大小在两极为g 0，在赤道为g ，地球的自转周期为T ，引力常量为G ，则( )A ．地球的半径R ＝(g 0－g )T 24π2B ．地球的半径R ＝g 0T 24π2C ．假如地球自转周期T 增大，那么两极处重力加速度g 0值不变D ．假如地球自转周期T 增大，那么赤道处重力加速度g 值减小 解析：地球两极：mg 0＝GMmR 2① 在地球赤道上：GMm R 2－mg ＝m 4π2T2R②联立①②得：R ＝(g 0－g )T 24π2，故A 正确，B 错误；由②式知，假如地球自转周期T 增大，赤道处重力加速度g值增大，故D错误；由①式知，两极处的重力加速度与地球自转周期无关，故C正确．答案：AC。

2021高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与宇宙航行第4讲万有引力与宇宙航行学案年级：姓名：第4讲万有引力与宇宙航行知识点开普勒行星运动定律Ⅰ1．定律内容开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是01椭圆，太阳处在椭圆的一个02焦点上。

开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的03面积。

开普勒第三定律：所有行星的轨道的04半长轴的三次方跟它的05公转周期的二次方的比值都相等，即06a3T2＝k。

2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。

知识点万有引力定律及应用Ⅱ1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与01两物体的质量的乘积成正比，与02两物体间距离的二次方成反比。

2．公式：F＝03G m1m2r2，其中G为万有引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。

公式中的r是两个物体之间的04距离。

3．适用条件：适用于两个05质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。

知识点环绕速度Ⅱ101环绕速度，其数值为027.9 km/s。

2．03地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。

304发射速度，也是人造卫星的最大05环绕速度。

4．第一宇宙速度的计算方法(1)由G Mm R 2＝m v 2R ，解得：v ＝06GM R； (2)由mg ＝m v 2R，解得：v ＝07gR 。

知识点第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ1．第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱01地球引力束缚的最小发射速度，其数值为0211.2 km/s 。

2．第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱03太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为0416.7 km/s 。

知识点牛顿力学的局限性与相对论时空观 Ⅰ1．牛顿力学的局限性 (1)牛顿力学的成就01宏观、02低速、03弱引力的广阔领域，包括天体力学的研究中，经受了实践的检验，取得了巨大的成就。

第4讲万有引力定律与航天1．(多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度【考点定位】双星问题【点评】考查双星模型的典型问题：线速度、角速度、总质量等问题【难度】中等答案BC解析两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得 Gm 1m 2l 2＝m 1ω2r 1① Gm 1m 2l 2＝m 2ω2r 2② l ＝r 1＋r 2③由①②③式得G (m 1＋m 2)l 2＝ω2l ，所以m 1＋m 2＝ω2l 3G ，质量之和可以估算，故B 正确； 由线速度与角速度的关系v ＝ωr 得 v 1＝ωr 1④ v 2＝ωr 2⑤由③④⑤式得v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωl ，速率之和可以估算，故C 正确； 质量之积和各自的自转角速度无法求解，故A 、D 错误．2．(2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3【考点定位】 万有引力与重力的关系【点评】 求密度最小值即求一种临界情况：赤道上物体所受重力为0 【难度】 中等 答案 C解析 脉冲星自转，边缘物体m 恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G Mm r 2＝mr 4π2T 2，又知M ＝ρ·43πr 3整理得密度ρ＝3πGT 2＝3×3.146.67×10－11×(5.19×10－3)2 kg /m 3≈5.2×1015 kg/m 3. 3．(2018·全国卷Ⅲ·15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( ) A ．2∶1 B ．4∶1 C ．8∶1D ．16∶1【考点定位】 卫星运行规律 【难度】 较易 答案 C解析 由G Mm r 2＝mr 4π2T 2知，T 2r 3＝4π2GM ，则两卫星T P 2T Q 2＝r P 3r Q3.因为r P ∶r Q ＝4∶1，故T P ∶T Q ＝8∶1.4．(多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图1所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经过M 、Q 到N 的运动过程中( )图1A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 【考点定位】 开普勒定律、机械能守恒 【难度】 较易 答案 CD解析 由行星运动的对称性可知，从P 经M 到Q 点的时间为12T 0，根据开普勒第二定律可知，从P 到M 运动的速率大于从M 到Q 运动的速率，可知从P 到M 所用的时间小于14T 0，选项A 错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B 错误；根据开普勒第二定律可知，从P 到Q 阶段，速率逐渐变小，选项C 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D 正确．5．(2017·全国卷Ⅲ·14)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的()A．周期变大B．速率变大C．动能变大D．向心加速度变大【考点定位】卫星运行规律【难度】较易答案C解析根据组合体受到的万有引力提供向心力可得，GMmr2＝m4π2T2r＝mv2r＝ma，解得T＝4π2r3 GM ，v＝GMr，a＝GMr2，由于轨道半径不变，所以周期、速率、向心加速度均不变，选项A、B、D错误；组合体比天宫二号的质量大，动能E k＝12m v2变大，选项C正确．6．(2016·全国卷Ⅰ·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为() A．1 h B．4 hC．8 h D．16 h【考点定位】同步卫星、开普勒定律【点评】抓住卫星的高度(轨道半径)决定其周期【难度】中等答案B解析地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律r3T2＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出卫星间的位置关系如图所示．卫星的轨道半径为r＝Rsin 30°＝2R由r13 T12＝r23T22得(6.6R)3242＝(2R)3T22.解得T2≈4 h.每年基本上必有一题(只有17年卷Ⅰ没有、16年卷Ⅱ没有)，开普勒定律、行星和卫星的运行规律、变轨、能量问题、双星问题、万有引力与重力关系等都考过，难度也有易、有难，所以复习时要全面深入，掌握各类问题的实质．考点1 开普勒定律的理解与应用关于开普勒第三定律的理解(1)适用于行星—恒星系统，也适用于卫星—行星系统等． (2)只有在同一系统内k 才是定值． (3)k 与中心天体质量有关． (4)对椭圆轨道、圆形轨道都适用．(2018·广东省佛山市质检一)哈雷彗星绕日运行的周期为T 年，若测得它在近日点距太阳中心的距离是地球公转轨道半长轴的N 倍，则由此估算出哈雷彗星在近日点时受到太阳的引力是在远日点受太阳引力的( ) A ．N 2倍 B. 2223(2)T N N--倍C.213(21)T N -－倍 D ．423T N 倍答案 B解析 设地球公转轨道半长轴为R 1，哈雷彗星围绕太阳运行的半长轴为R 2，由开普勒第三定律可知R 1312＝R 23T 2；哈雷彗星在近日点距太阳中心的距离为NR 1，在远日点距太阳中心的距离为2R 2－NR 1，哈雷彗星在近日点时受到太阳的引力F 1＝GMm(NR 1)2，哈雷彗星在远日点时受到太阳的引力为F ＝GMm (2R 2－NR 1)2，则F 1F ＝2223(2)T N N --，故B 正确．1．(2018·湖北省天门中学模拟)已知地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别R 1和R 2(公转轨迹近似为圆)，如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率．则地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是( ) A.R 1R 2 B.R 1R 2 C.R 2R 1D.R 2R 1答案 B解析 公转的轨迹近似为圆，地球和火星的运动可以看作匀速圆周运动，根据开普勒第三定律知，R 3T 2＝k ，运动的周期之比T 1T 2＝R 13R 23，在一个周期内扫过的面积之比为S 1S 2＝πR 12πR 22＝R 12R 22，面积速率为ST，可知面积速率之比为R 1R 2，故B 正确，A 、C 、D 错误． 考点2 万有引力与重力的关系地球表面上的物体所受重力特点：(1)重力与引力的关系⎩⎨⎧赤道：G MmR2＝mg ＋mω2R两极：G MmR2＝mg(2)自转可忽略时：G MmR2＝mg可得：g ＝GM R 2，距地面h 高处g ′＝GM(R ＋h )2M ＝gR 2G，GM ＝gR 2.命题热点1 考虑星球自转时引力与重力的关系(2018·山东省济宁市一模)假设地球为质量均匀分布的球体．已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g 0、在赤道处的大小为g ，地球半径为R ，则地球自转的周期T 为( ) A ．2πR g 0＋g B ．2πR g 0－g C ．2πg 0＋gRD ．2πg 0－gR答案 B2．在例2中，若地球自转角速度逐渐增大，当角速度增大到某一值ω0时，赤道上的某质量为m ′的物体刚好要脱离地面，万有引力常量为G ，则地球的质量是( ) A.g 04Gω03 B.g 03Gω04 C.g 02Gω02 D.g 0Gω02 答案 B解析 设地球质量为M ，在地球两极有：GMmR 2＝mg 0在赤道上对质量为m ′的物体刚要脱离地面时有： GMm ′R 2＝m ′ω02·R解得：M ＝g03Gω04.命题热点2忽略星球自转时引力与重力的关系(多选)(2017·高三第一次全国大联考(新课标卷Ⅰ))在地球表面以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点．假如宇航员登上某个与地球差不多大小的行星表面，仍以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间4t后回到出发点．则下列说法正确的是() A．这个行星的质量与地球质量之比为1∶2B．这个行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为1∶2C．这个行星的密度与地球的密度之比为1∶4D．这个行星的自转周期与地球的自转周期之比为1∶2答案BC解析行星表面与地球表面的重力加速度之比为g行g地＝v02t2v0t＝14，行星质量与地球质量之比为M行M地＝g行R2Gg地R2G＝14，故A错误；这个行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为v行v地＝g行Rg地R＝12，故B正确；这个行星的密度与地球的密度之比为ρ行ρ地＝M行VM地V＝14，故C正确；无法求出这个行星的自转周期与地球的自转周期之比，故D错误．3．(2018·广东省惠州市第三次调研)宇航员登上某一星球后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的()A．0.5倍B．2倍C．4倍D．8倍答案D解析由GMmR2＝mg得g＝GMR2又M＝ρ·43πR3得g ＝43πGρR ，即g ∝R所以该星球半径为地球半径的2倍，所以体积是地球体积的8倍，质量也是地球质量的8倍．考点3 中心天体—环绕天体模型中心天体—环绕天体模型环绕天体做圆周运动的向心力由中心天体对它的万有引力提供，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ＝m v 2r ＝ma等，可得：中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2，ρ＝3πr 3GT 2R 3(r ＝R 时有ρ＝3πGT 2)环绕天体运行速度v ＝GM r ，加速度a ＝GMr2. 命题热点1 中心天体质量、密度的计算(2018·福建省龙岩市上学期期末)2017年4月，我国成功发射了“天舟一号”货运飞船，它的使命是给在轨运行的“天宫二号”空间站运送物资．已知“天宫二号”空间站在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于其运行周期T )运动的弧长为s ，对应的圆心角为β弧度．已知万有引力常量为G ，地球表面重力加速度为g ，下面说法正确的是( )A ．“天宫二号”空间站的运行速度为stB ．“天宫二号”空间站的环绕周期T ＝πtβC ．“天宫二号”空间站的向心加速度为gD ．地球质量M ＝gs 2Gβ2答案 A解析 “天宫二号”空间站的运行速度为v ＝s t ，选项A 正确；角速度ω＝βt ，则周期T ＝2πω＝2πt β，选项B 错误；根据a ＝GMr 2可知，“天宫二号”空间站的向心加速度小于g ，选项C 错误；根据G Mm r 2＝mω2r ，v ＝ωr ，解得：M ＝s 3Gβt2，选项D 错误．4．(2018·河南省濮阳市一模)探测火星一直是人类的梦想，若在未来某个时刻，人类乘飞船来到了火星，宇航员先乘飞船绕火星做圆周运动，测出飞船做圆周运动时离火星表面的高度为H ，环绕的周期为T 及环绕的线速度为v ，引力常量为G ，由此可得出( ) A ．火星的半径为v T2πB ．火星表面的重力加速度为2πT v 3(v T －2πH )2C ．火星的质量为T v 22πGD ．火星的第一宇宙速度为4π2v 2TG (v T －πH )3答案 B命题热点2 卫星运行参量分析(2018·广东省深圳市一调)人造卫星a 的圆形轨道离地面高度为h ，地球同步卫星b 离地面高度为H ，h <H ，两卫星共面且旋转方向相同，某时刻卫星a 恰好出现在赤道上某建筑物c 的正上方，设地球赤道半径为R ，地面重力加速度为g ，则( ) A ．a 、b 线速度大小之比为R ＋hR ＋H B ．a 、c 角速度之比为R 3()R ＋h 3C ．b 、c 向心加速度大小之比为R ＋HRD ．a 下一次通过c 正上方所需时间t ＝2π()R ＋h 3gR 2答案 C5．(多选)(2018·福建省龙岩市一模)卫星绕某行星做匀速圆周运动的运行速率的平方(v 2)与卫星运行的轨道半径的倒数(1r )的关系如图2所示，图中a 为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( )图2A ．行星的半径为kaB ．行星的质量为kGC ．卫星的最小运行周期为2πkaD ．卫星的最大向心加速度为a 2k答案 AD解析 根据G Mm r 2＝m v 2r ，得v 2＝GM r ，故直线的斜率k ＝GM ，则行星的质量为M ＝kG ，当轨道半径恰好等于行星半径时，卫星贴近行星表面飞行，线速度最大，周期最小，向心加速度最大，则有a ＝k R ，解得R ＝k a ，此时卫星的最小运行周期为T ＝2πRv ＝2π×ka a ＝2πk a a ，最大的向心加速度为a n ＝v 2R ＝a k a ＝a 2k，故A 、D 正确，B 、C 错误．命题热点3 卫星追及与行星冲日问题(2018·广西防城港市3月模拟)经长期观测发现，A 行星运行的轨道半径为R 0，周期为T 0，但其实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t 0时间发生一次最大的偏离，如图3所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A 行星外侧还存在着一颗未知行星B ，则行星B 的运行轨道半径为( )图3A ．R 03t 02(t 0－T 0)2B ．R 0t 0t 0－T 0C ．R 0t 03(t 0－T 0)3D ．R 0t 0t 0－T 0答案 A解析 行星实际运动的轨道发生最大偏离，一定是B 对A 的引力引起的，则B 行星在此时刻对A 有最大的力，故A 、B 行星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧，设行星B 的运行周期为T ，轨道半径为R ，根据题意有： 2πT 0t 0－2πTt 0＝2π，所以T ＝t 0T 0t 0－T 0，由开普勒第三律可得R 03T 02＝R 3T 2，联立解得：R ＝R 03t 02(t 0－T 0)2，故A 正确，B 、C 、D 错误．6．(2018·福建省泉州市考前适应性模拟)当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2018年5月9日出现了一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( ) A ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2020年 B ．下一次的“木星冲日”时间肯定在2019年 C ．木星运行的加速度比地球的大 D ．木星运行的周期比地球的小 答案 B解析 地球公转周期T 1＝1年，由开普勒第三定律知木星公转周期T 2＝125T 1≈11.18年．设经时间t ，再次出现“木星冲日”，则有ω1t －ω2t ＝2π，其中ω1＝2πT 1，ω2＝2πT 2，解得t ≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2019年，故A 错误，B 正确；设太阳质量为M ，行星质量为m ，轨道半径为r ，周期为T ，加速度为a .对行星由牛顿第二定律可得G Mm r 2＝ma ＝m 4π2T 2r ，解得a ＝GMr2，T ＝2πr 3GM，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此木星运行的加速度比地球小，木星运行周期比地球大，故C 、D 错误．考点4 卫星的发射、变轨问题1．变轨时速度变化特点：如图4所示，不同轨道经过同一点P (轨道Ⅱ为圆，轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆)，在轨道Ⅱ上有G Mmr 2＝m v 22r.减速则引力大于所需向心力，做近心运动，进入Ⅰ轨道，加速则引力小于所需向心力，做离心运动，进入Ⅲ轨道．所以三个轨道经过P 点的速度v Ⅰ、v Ⅱ、v Ⅲ的关系为v Ⅲ>v Ⅱ>v Ⅰ. 2．变轨时能量变化特点：变轨时需要中心天体引力之外的力参与，所以机械能不守恒，轨道升高时(需加速)机械能增加，轨道降低时(需减速)机械能减小．(2018·湖北省黄冈市质检)卫星发射进入预定轨道往往需要进行多次轨道调整．如图5所示，某次发射任务中先将卫星送至近地轨道，然后再控制卫星进入椭圆轨道．图中O 点为地心，A 点是近地轨道和椭圆轨道的交点，远地点B 离地面高度为6R (R 为地球半径)．设卫星在近地轨道运动的周期为T ，下列对卫星在椭圆轨道上运动的分析，其中正确的是( )图5A ．控制卫星从图中低轨道进入椭圆轨道需要使卫星减速B ．卫星通过A 点时的速度是通过B 点时速度的6倍C ．卫星通过A 点时的加速度是通过B 点时加速度的6倍D ．卫星从A 点经4T 的时间刚好能到达B 点 答案 D7.(多选)(2018·安徽省蚌埠市一质检)如图6所示，从地面上A 点发射一枚远程弹道导弹，沿ACB 椭圆轨道飞行击中地面目标B ，C 为轨道的远地点，距地面高度为h ，已知地球半径为R ，地球质量为M ，引力常量为G ，不计空气阻力，则下列结论正确的是( )A ．导弹在C 点的速度大于GMR ＋hB ．导弹在C 点的加速度等于GM(R ＋h )2C ．导弹从A 点运动到B 点的时间为2π(R ＋h )R ＋hGMD ．地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点 答案 BD解析 对在C 点处的圆轨道上运行的物体，根据万有引力提供向心力得：GMm(R ＋h )2＝m v 2R ＋h ，则v ＝GMR ＋h，导弹在C 点只有加速才能进入圆轨道， 所以导弹在C 点的速度小于GMR ＋h，故A 错误； 导弹在C 点受到的万有引力F ＝G Mm(R ＋h )2，所以a ＝F m ＝GM(R ＋h )2，故B 正确；根据开普勒第三定律，r 3T 2＝k ，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以在椭圆轨道上运行的周期小于在圆轨道上运行的周期T ＝2π(R ＋h )3GM，所以导弹从A 点运动到B 点的时间一定小于圆轨道上的周期，故C 错误；导弹做的是椭圆运动，地球球心位于椭圆的焦点上，故D 正确．考点5 双星、多星问题1．双星问题双星各自做圆周运动的向心力由两者之间的万有引力提供，即G m 1m 2(r 1＋r 2)2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2， 另：G m 1＋m 2(r 1＋r 2)2＝ω2(r 1＋r 2) 双星总质量：m 1＋m 2＝ω2(r 1＋r 2)3G .2．多星问题分析向心力来源是关键：一般是多个星球对它的万有引力的合力提供向心力．(多选)(2018·安徽省滁州市联合质检)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图7所示．若AO >OB ，则( )图7A ．星球A 的质量一定小于星球B 的质量 B ．星球A 的线速度一定小于星球B 的线速度C ．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D ．双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大 答案 AD解析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据万有引力提供向心力得：G m A m BL 2＝m A r A ω2＝m B r B ω2，因为AO ＞OB ，所以m A ＜m B ，即A 的质量一定小于B 的质量，故A 正确；双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，根据v ＝ωr 可知，星球A 的线速度一定大于星球B 的线速度，故B 错误；根据万有引力提供向心力得：G m A m B L 2＝m A 4π2T 2r A ＝m B 4π2T2r B ，解得T ＝2πLLG (m A ＋m B )，由此可知双星间距离一定，双星的总质量越大，转动周期越小，故C 错误；根据T ＝2πLLG (m A ＋m B )，可知，若双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大，故D 正确．8．(多选)(2018·广东省高考第一次模拟)天文观测中心观测到有三颗星位于边长为l 的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T 的匀速圆周运动，如图8所示．已知引力常量为G ，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )图8A ．三颗星的质量可能不相等B ．某颗星的质量为4π2l 33GT 2C ．它们的线速度大小均为23πlTD ．它们两两之间的万有引力大小为16π4l 49GT 4答案 BD解析 轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r ＝l 2cos 30°＝33l .根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m ，则2G m 2l 2cos 30°＝m ·4π2T 2·33l ，解得m ＝4π2l 33GT 2，它们两两之间的万有引力F ＝G m 2l 2＝G⎝⎛⎭⎫4π2l 33GT 22l 2＝16π4l 49GT 4，A 错误，B 、D 正确；线速度大小为v ＝2πr T ＝2πT ·33l ＝23πl3T，C 错误．1．(2018·广东省潮州市下学期综合测试)北京中心位于北纬39°54′，东经116°25′.有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，每天上午同一时间在北京中心正上方对北京拍照进行环境监测．则( )A ．该卫星是地球同步卫星B ．该卫星轨道平面与北纬39°54′所确定的平面共面C ．该卫星运行周期一定是地球自转周期的整数倍D ．地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍 答案 D解析 由于卫星每天上午同一时刻在该区域的正上方拍照，所以地球自转一周，则该卫星绕地球做圆周运动N 周，故A 错误；即地球自转周期一定是该卫星运行周期的整数倍，故D 正确，C 错误；若卫星平面与北纬39°54′所确定的平面共面，则地心不在轨道平面内，万有引力指向地心，故不能满足万有引力提供做圆周运动向心力的要求，故B 错误． 2．(2018·湖北省黄冈市检测)“嫦娥四号”被专家称为“四号星”，是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料．已知万有引力常量为G ，月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r ，绕月周期为T .根据以上信息判断下列说法正确的是( )A ．“嫦娥四号”绕月运行的速度为gr 2RB ．月球的第一宇宙速度为gRC ．“嫦娥四号”必须减速运动才能返回地球D ．月球的平均密度为ρ＝3πGT 2答案 B解析 根据万有引力提供向心力，得G Mmr 2＝m v 2r，得v ＝GMr，又因为在月球表面物体受到的重力等于万有引力，有G Mm ′R 2＝m ′g ，得GM ＝gR 2，所以“嫦娥四号”绕月运行的速度为v ＝gR 2r，故A 错误；月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，所以由重力提供向心力，得mg ＝m v 2R ，得v ＝gR ，故B 正确；“嫦娥四号”要脱离月球的束缚才能返回地球，而“嫦娥四号”要脱离月球束缚必须加速做离心运动才行，故C 错误；根据万有引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得月球的质量M ＝4π2r 3GT 2，所以月球的密度ρ＝M V ＝4π2r 3GT 243πR 3＝3πr 3GT 2R 3，故D 错误．3.(多选)(2018·广东省惠州市第二次调研)如图1所示是我国宇航员王亚平首次在距地球300多千米的“天宫一号”上所做的“水球”．若已知地球的半径为6 400 km ，地球表面的重力加速度为g ＝9.8 m/s 2，下列关于“水球”和“天宫一号”的说法正确的是( )图1A ．“水球”的形成是因为太空中没有重力B ．“水球”受重力作用，其重力加速度大于9.8 m/s 2C ．“天宫一号”运行速度小于7.9 km/sD ．“天宫一号”的运行周期约为1.5 h 答案 CD解析 水球受重力作用，但其处于完全失重状态，其重力加速度由高度决定，越高重力加速度越小，但因其距离地面的高度较低，则其加速度接近9.8 m/s 2，则A 、B 错误；由万有引力提供向心力得：v ＝GMr，因离地面一定高度，则其速度小于第一宇宙速度7.9 km/s ，则C 正确；由万有引力提供向心力，得 T ＝2πr 3GM＝2πr 3gR 2＝2×3.14[(6 400＋300)×103]39.8×(6 400×103)2s ≈1.5 h ，则D 正确．4．(2018·广西桂林市、贺州市期末联考)有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b 处于地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图2所示，则有( )图2A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．b 在相同时间内转过的弧长最短C ．c 在4 h 内转过的圆心角是π3D ．d 的运动周期有可能是20 h 答案 C解析 地球同步卫星c 的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a 与c 的角速度相同，根据a ＝ω2r 知，c 的向心加速度大．由G Mm r 2＝ma ，得a ＝GMr 2，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星c 的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度约为g ，故知a 的向心加速度小于重力加速度g ，故A 错误；由GMmr 2＝m v 2r，得v ＝GMr，可知，卫星的轨道半径越大，速度越小，所以b 的速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B 错误；c 是地球同步卫星，周期是24 h ，则c 在4 h 内转过的圆心角是4 h 24 h ×2π＝π3，故C 正确；由开普勒第三定律r 3T2＝k 知，卫星的轨道半径越大，周期越大，所以d 的运动周期大于c的周期24 h ，故D 错误．5．(多选)(2018·广东省汕头市第二次模拟)“嫦娥三号”在月球表面释放出“玉兔”号月球车开展探测工作，若该月球车在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2，已知地球半径为R 1，月球半径为R 2，则( )A ．地球表面与月球表面的重力加速度之比为G 1R 22G 2R 12B ．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为G 1R 1G 2R 2C ．地球与月球的质量之比为G 1R 22G 2R 12D ．地球与月球的平均密度之比为G 1R 2G 2R 1答案 BD解析 地球表面的重力加速度为g 1＝G 1m ，月球表面的重力加速度g 2＝G 2m ，地球表面与月球表面的重力加速度之比为g 1g 2＝G 1G 2，故A 错误；根据第一宇宙速度公式v ＝gR ，得v 1v 2＝g 1R 1g 2R 2＝G 1R 1G 2R 2，故B 正确；根据mg ＝GMm R 2，得M ＝gR 2G ，地球质量M 1＝g 1R 12G ，月球的质量M 2＝g 2R 22G ，所以地球与月球质量之比为M 1M 2＝g 1R 12g 2R 22＝G 1R 12G 2R 22，故C 错误；平均密度ρ＝M V ＝3g 4πRG ，得ρ1ρ2＝g 1R 2g 2R 1＝G 1R 2G 2R 1，故D 正确． 6.(多选)(2018·吉林省吉林市第二次调研)轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星被称为极地轨道卫星，它运行时能到达南北极区的上空，需要在全球范围内进行观测和应用的气象卫星、导航卫星等都采用这种轨道．如图3所示，若某颗极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟，则( )图3A ．该卫星运行速度一定小于7.9 km/sB ．该卫星轨道半径与同步卫星轨道半径之比为1∶4C ．该卫星加速度与同步卫星加速度之比为2∶1D ．该卫星的机械能一定小于同步卫星的机械能 答案 AB解析 该卫星运行的轨道半径大于地球半径，故其运行速度小于第一宇宙速度，则选项A 正确；由题意可知，此卫星的周期为T 1＝4×45 min ＝180 min ＝3 h ；同步卫星的周期为T 2＝24 h ，根据r 3T 2＝k 可知，r 1r 2＝3⎝⎛⎭⎫T 1T 22＝3⎝⎛⎭⎫3242＝14，选项B 正确；根据a ＝4π2r T 2∝r T 2可得该卫星加速度与同步卫星加速度之比为16∶1，选项C 错误；卫星的质量不确定，则无法比较两卫星的机械能的大小，选项D 错误．7．(2018·陕西省宝鸡市一模)宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M 的砝码所受重力为F ，在赤道测得该砝码所受重力为F ′.他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T .假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为( ) A ．T F ′F B ．T F F ′ C ．TF －F ′FD ．TFF －F ′答案 D解析 设星球及探测器质量分别为m 、m ′ 在两极点，有GMmR2＝F ，在赤道，有G Mm R 2－F ′＝MR 4π2T 自2，探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T ， 则有G mm ′R 2＝m ′R 4π2T 2；联立解得T 自＝TFF －F ′，故D 正确，A 、B 、C 错误．8．(2018·河北省邯郸市第一次模拟)2017年12月23日12时14分，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭，成功将陆地勘查卫星二号发射升空，该卫星进入预定轨道后，每天绕地球转动16圈．地球半径为R ，地球同步卫星距离地面的高度为h .则该卫星在预定轨道上绕地球做圆周运动过程中离地面的高度为( )。

第4讲 万有引力与宇宙航行【课程标准】1.通过史实，了解万有引力定律的发现过程。

知道万有引力定律。

认识发现万有引力定律的重要意义。

认识科学定律对人类探索未知世界的作用。

2.会计算人造卫星的环绕速度。

知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。

3.知道经典力学的局限性，初步了解相对论时空观和微观世界的量子特征。

体会人类对自然界的探索是不断深入的。

【素养目标】物理观念：知道第一、第二、第三宇宙速度及万有引力的概念。

科学思维：掌握开普勒行星运动的三大定律，理解万有引力定律并掌握运用万有引力定律处理天体问题的思路和方法。

科学态度与责任：通过介绍我国在卫星发射方面的情况，激发学生的爱国热情和学习动力。

一、开普勒行星运动定律定律 内容图示开普勒第一定律 (轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律 (面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律 (周期定律)所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即a 3T2 ＝k1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。

2．表达式：F ＝G m 1m 2r2 ，G 为引力常量，其值通常取G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2。

3．适用条件：(1)公式适用于质点间的相互作用。

当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球球心间的距离。

三、宇宙速度 1．第一宇宙速度：(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s 。

(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。

(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。

(4)第一宇宙速度的两种计算方法①由G Mm R 2 ＝m v 2R 得v ＝GMR； ②由mg ＝m v 2R得v ＝gR 。

《万有引力定律》万有引力与宇宙航行教学课件一、教学内容本节课选自高中物理教材《万有引力与航天》章节，详细内容包括万有引力定律的发现历程、万有引力定律的数学表达式、万有引力常量的测定、地球表面重力与万有引力的关系，以及万有引力在航天领域的应用。

二、教学目标1. 理解万有引力定律的发现过程，掌握万有引力定律的数学表达式及其适用条件。

2. 学会运用万有引力定律解决实际问题，了解万有引力与重力的关系。

3. 了解万有引力在航天领域的应用，激发学生对航天科学的兴趣。

三、教学难点与重点重点：万有引力定律的数学表达式及其应用。

难点：万有引力与重力的关系，以及在复杂问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：地球仪、天平、计算器、PPT课件。

2. 学具：练习册、草稿纸、计算器。

五、教学过程1. 引入：通过展示宇航员在太空站的图片，引导学生思考地球与太空中物体之间的引力关系。

2. 新课导入：介绍牛顿发现万有引力定律的历程，引导学生学习万有引力定律。

3. 讲解：详细讲解万有引力定律的数学表达式，以及在地球表面物体受到的万有引力与重力的关系。

4. 例题讲解：讲解一道关于计算地球表面物体受到的万有引力的例题，让学生掌握计算方法。

5. 随堂练习：让学生计算地球表面不同物体受到的万有引力，巩固所学知识。

6. 应用拓展：介绍万有引力在航天领域的应用，如卫星轨道、宇宙飞船等。

六、板书设计1. 万有引力定律的数学表达式。

2. 地球表面物体受到的万有引力与重力的关系。

3. 例题及解答步骤。

七、作业设计1. 作业题目：计算地球表面某一物体受到的万有引力，已知物体质量和距离地心的距离。

答案：根据万有引力定律，计算出物体受到的万有引力。

2. 作业题目：分析卫星轨道运动中的万有引力作用。

答案：根据万有引力定律，解释卫星轨道运动中的引力作用。

八、课后反思及拓展延伸本节课通过讲解万有引力定律及其应用，使学生掌握了万有引力的计算方法，并了解了其在航天领域的应用。

高中物理必修二：万有引力与宇宙航行练习及解析、答案一、选择题（一）单项1、下列关于开普勒对行星运动规律的认识的说法正确的是( )A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆B.所有行星绕太阳运动的轨道都是圆C.所有行星的轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同D.所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比解析:由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上,选项A正确,B错误;由开普勒第三定律知所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等,选项C,D错误。

【答案】A2、某行星绕恒星运行的椭圆轨道如图所示，E和F是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，行星在B点的速度比在A点的速度大．则恒星位于（）A. F 点B. A点C. E点D. O点【答案】A【解析】【解答】解：根据开普勒第二定律，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积．如果时间间隔相等，即t2﹣t1=t4﹣t3，那么面积A=面积B，由此可知，弧长t1t2＞弧长t3t4则v A＞V B 即行星在在近日点A的速率最大，远日点B的速率最小，故A正确，BCD错误．故选：A【分析】开普勒第二定律的内容，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积．如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上．如果时间间隔相等，即t2﹣t1=t4﹣t3，那么面积A=面积B由此可知行星在远日点B的速率最小，在近日点A的速率最大3、设想把质量为m的物体(可视为质点)放到地球的中心,地球质量为M、半径为R。

则物体与地球间的万有引力是 ( )A.零B.无穷大C.GD.无法确定【答案】A4、若有一星球密度与地球密度相同，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍,则该星球质量是地球质量的（）A、0.5倍B、2倍C、4倍D、8倍【参考答案】D5、据报道,“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形轨道距月球表面分别约为200 km和100 km,运动速率分别为v1和v2,那么v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)( )A. B. C. D.【答案】C（二）多选1、（多选）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径见下表．则下列判断正确的是（）地球火星木星土星天王星海王星轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30A. 各地外行星每年都会出现冲日现象B. 在2015年内一定会出现木星冲日C. 地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短D. 天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半【答案】B,C【解析】【解答】解：根据开普勒第三定律，有：；解得：T= ；故T火= =1.84年；T木= =11.86年；T土= =29.28年；T天= =82.82年；T海= =164.32年；如果两次行星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有：2π=（）t解得：t=故海王星相邻两次冲日的时间间隔为：t海= 年故天王星相邻两次冲日的时间间隔为：t天= ≈1.01年；土星相邻两次冲日的时间间隔为：t土= ≈1.04年；木星相邻两次冲日的时间间隔为：年A、各地外行星不是每年都会出现冲日现象，故A错误；B、木星绕太阳运动的周期约为11.86年，相邻两次冲日的时间间隔为1.09年，2014年1月6日木星冲日，在2015年内一定会出现木星冲日．故B正确；C、由以上的分析可知，地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短；故C正确；D、天王星相邻两次冲日的时间间隔是1.01年，而土星为1.04年，故D错误；【分析】行星围绕太阳做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律，其轨道半径的三次方与周期T的平方的比值都相等；从一次行星冲日到下一次行星冲日，为地球多转动一周的时间．2、(多选)下列关于三种宇宙速度的说法正确的是( )A.第一宇宙速度v1=7.9 km/s,第二宇宙速度v2=11.2 km/s,则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1,小于v2B.美国发射的“凤凰”号火星探测卫星,其发射速度大于第三宇宙速度C.第二宇宙速度是使物体可以挣脱地球引力束缚,成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度D.第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度【答案】C、D3、（多选）20世纪以来，人们发现了一些新的事实，而经典力学无法解释．经典力学只适用于解决物体的低速运动问题，不能用来处理高速运动问题；只适用于宏观物体，不适用于微观粒子．这说明()A．随着认识的发展，经典力学已成了过时的理论B．人们对客观事物的具体认识，在广度上是有局限性的C．不同领域的事物各有其本质与规律D．人们应当不断扩展认识，在更广阔的领域内掌握不同事物的本质与规律【答案】BCD【解析】人们对客观世界的认识，要受到他所处时代的客观条件和科学水平的制约，所以形成的看法也都具有一定的局限性，人们只有不断地扩展自己的认识，才能掌握更广阔领域内的不同事物的本质与规律；新的科学的诞生，并不意味着对原有科学的全盘否定．所以A错，B、C、D对．4、(多选)在万有引力定律的公式F=G中,r是( )A.对行星绕太阳运动而言,是指运行轨道的半径B.对地球表面的物体与地球而言,是指物体距离地面的高度C.对两个均匀球而言,是指两个球心间的距离D.对人造地球卫星而言,是指卫星到地球表面的高度【答案】A、C5、“嫦娥二号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球附近，在P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道绕月飞行，如图所示．已知“嫦娥二号”的质量为m，远月点Q距月球表面的高度为h，运行到Q点时它的角速度为ω，加速度为a，月球的质量为M、半径为R，月球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G．则它在远月点时对月球的万有引力大小为（）A. B. ma C. D. m（R+h）ω2【答案】B,C【解析】【解答】解：设卫星在月球表面对月球的万有引力即重力为F1，在远月点时对月球的万有引力为F；A、据万有引力公式得在远月点时对月球的万有引力为，故A错误；B、据力与运动的关系得在远月点时卫星所受合力即万有引力F=ma；故B正确；C、据万有引力公式得在月球表面时卫星所受重力即二者万有引力①在远月点时卫星对月球的万有引力= ②把①代入②可得故C正确；D、此公式适用于匀速圆周运动，而卫星在绕月椭圆运动时速度变化不均匀，不适用．此题选择正确项，故选BC．【分析】根据题目信息可知，此题主要考查卫星公转地的椭圆轨道远月点万有引力即向心力问题．A、使用万有引力定律完全可以解决；B、结合力与运动的关系可解决；C、比较月球表面和远月点的万有引力可解决；D、此公式适用于匀速圆周运动．6、（多选）为了估算一个天体的质量，需要知道绕该天体做匀速圆周运动的另一星球的条件是（）A、运转周期和轨道半径B、质量和运转周期C、线速度和运转周期D、环绕速度和质量【参考答案】AC7、爱因斯坦的引力理论成就表现在()A．预言和发现了冥王星和海王星B. 水星近日点旋进存在每百年43″的附加值C. 预言了黑洞的存在D. 天体间的引力与半径的平方成反比【答案】BC【解析】英国科学家亚当斯和法国科学家勒威耶分别发现了海王星和冥王星，故A错误；爱因斯坦根据广义相对论计算出水星近日点旋进存在每百年43″的附加值，B正确；黑洞是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，C正确；天体间的引力与半径的平方成反比是由牛顿提出的，D正确。

第4课时 万有引力与航天考纲解读 1.掌握万有引力定律的内容、公式及应用.2.理解环绕速度的含义并会求解.3.了解第二和第三宇宙速度．1．[对开普勒三定律的理解](2013·江苏单科·1)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C解析 火星和木星在各自的椭圆轨道上绕太阳运动，速度的大小不可能始终相等，因此B 错；太阳在这些椭圆的一个焦点上，因此A 错； 在相同时间内，某个确定的行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，因此D 错，本题答案为C.2．[对万有引力定律的理解]关于万有引力公式F ＝G m 1m 2r2，以下说法中正确的是 ( )A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的 答案 C解析 万有引力公式F ＝G m 1m 2r ，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.3．[第一宇宙速度的计算]美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星——“开普勒—22b ”，其直径约为地球的2.4倍．至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于 ( )A ．3.3×103 m /sB ．7.9×103 m/sC ．1.2×104 m /sD ．1.9×104 m/s答案 D解析 由该行星的密度和地球相当可得M 1R 31＝M 2R 32，地球第一宇宙速度v 1＝GM 1R 1，该行星的第一宇宙速度v 2＝GM 2R 2，联立解得v 2＝2.4v 1＝1.9×104 m/s ，选项D 正确． 4．[对人造卫星及卫星轨道的考查]a 、b 、c 、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星．其中a 、c 的轨道相交于P ，b 、d 在同一个圆轨道上，b 、c 轨道在同一平面上．某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图1所示．下列说法中正确的是( )图1A ．a 、c 的加速度大小相等，且大于b 的加速度B ．b 、c 的角速度大小相等，且小于a 的角速度C ．a 、c 的线速度大小相等，且小于d 的线速度D ．a 、c 存在在P 点相撞的危险 答案 A解析 由G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T2＝ma ，可知B 、C 、D 错误，A 正确．一、万有引力定律及其应用1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比． 2．表达式：F ＝Gm 1m 2r 2，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2.3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 二、环绕速度1．第一宇宙速度又叫环绕速度．推导过程为：由mg ＝m v 21R ＝GMmR 2得：v 1＝GMR＝gR ＝7.9 km/s. 2．第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． 3．第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．特别提醒 1.两种周期——自转周期和公转周期的不同2．两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度 3．两个半径——天体半径R 和卫星轨道半径r 的不同 三、第二宇宙速度和第三宇宙速度1．第二宇宙速度(脱离速度)：v 2＝11.2 km/s ，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度． 2．第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝16.7 km/s ，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．考点一 天体质量和密度的计算 1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2r T2 (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G Mm R 2＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)． 2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．例1 1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2.你能计算出 ( )A ．地球的质量m 地＝gR 2GB ．太阳的质量m 太＝4π2L 32GT 22 C ．月球的质量m 月＝4π2L 31GT 21D ．可求月球、地球及太阳的密度解析 对地球表面的一个物体m 0来说，应有m 0g ＝Gm 地m 0R 2，所以地球质量m 地＝gR 2G ，选项A 正确．对地球绕太阳运动来说，有Gm 太m 地L 22＝m 地4π2T 22L 2，则m 太＝4π2L 32GT 22，B 项正确．对月球绕地球运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质量和密度，C 、D 项错误． 答案 AB突破训练1 (2012·福建·16)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )A.m v 2GNB.m v 4GNC.N v 2GmD.N v 4Gm答案 B解析 设卫星的质量为m ′由万有引力提供向心力，得G Mm ′R 2＝m ′v 2R① m ′v 2R＝m ′g②由已知条件：m 的重力为N 得 N ＝mg③由③得g ＝Nm ，代入②得：R ＝m v 2N代入①得M ＝m v 4GN ，故B 项正确．考点二 卫星运行参量的比较与运算 1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律2．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s. (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．深化拓展 (1)卫星的a 、v 、ω、T 是相互联系的，如果一个量发生变化，其他量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定． (2)卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．例2 (2012·天津理综·3)一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的14，不考虑卫星质量的变化，则变轨前、后卫星的( )A ．向心加速度大小之比为4∶1B ．角速度大小之比为2∶1C ．周期之比为1∶8D ．轨道半径之比为1∶2 解析 根据E k ＝12m v 2得v ＝2E k m ，所以卫星变轨前、后的速度之比为v 1v 2＝21.根据G Mmr2＝m v 2r ，得卫星变轨前、后的轨道半径之比为r 1r 2＝v 22v 21＝14，选项D 错误；根据G Mmr2＝ma ，得卫星变轨前、后的向心加速度大小之比为a 1a 2＝r 22r 21＝161，选项A 错误；根据G Mm r 2＝mω2r ，得卫星变轨前、后的角速度大小之比为ω1ω2＝r 32r 31＝81，选项B 错误；根据T ＝2πω，得卫星变轨前、后的周期之比为T 1T 2＝ω2ω1＝18，选项C 正确．答案 C突破训练2 2013年6月13日，神州十号与天宫一号成功实现自动交会对接．对接前神州十号与天宫一号都在各自的轨道上做匀速圆周运动．已知引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．由神州十号运行的周期和轨道半径可以求出地球的质量B ．由神州十号运行的周期可以求出它离地面的高度C ．若神州十号的轨道半径比天宫一号大，则神州十号的周期比天宫一号小D ．漂浮在天宫一号内的宇航员处于平衡状态 答案 A例3 地球赤道地面上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则下列结论正确的是( )A ．F 1＝F 2>F 3B ．a 1＝a 2＝g >a 3C ．v 1＝v 2＝v >v 3D ．ω1＝ω3<ω2解析 在赤道上随地球自转的物体所受的向心力由万有引力和支持力的合力提供，即F 1＝GMm 1R 2－F N ，绕地球表面附近做圆周运动的卫星向心力由万有引力提供，F 2＝GMm 2R 2，同步卫星的向心力F 3＝GMm 3(R ＋h )2，所以F 2>F 1，F 2>F 3，A 错误；地面附近mg ＝G MmR 2，F 1<mg ，所以a 1<g ，F 2＝mg ，所以a 2＝g ，F 3<mg ，所以a 3<g ，即a 1<a 2＝g >a 3，B 错误；GMm R 2＝m v 2R ，F 1<GMm R 2，所以v 1<v ，F 2＝GMm R 2，所以v 2＝v ，F 3<GMmR 2，所以v 3<v ，v 1<v 2＝v >v 3，C 错误；地球自转角速度ω＝v 1R ，赤道上随地球自转的物体和同步卫星的角速度与地球相同，所以ω1＝ω3＝ω，ω2＝vR ，v >v 1，所以ω2>ω，ω1＝ω3<ω2，D 正确． 答案 D同步卫星的六个“一定”突破训练3 已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星质量为m ，引力常量为G .有关同步卫星，下列表述正确的是 ( )A ．卫星距地面的高度为 3GMT 24π2B ．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C ．卫星运行时受到的向心力大小为G MmR2D ．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 答案 BD解析 天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运动，即F 万＝F 向＝m v 2r ＝4π2mr T 2.当卫星在地表运行时，F 万＝GMmR 2＝mg (R 为地球半径)，设同步卫星离地面高度为h ，则F 万＝GMm(R ＋h )2＝F 向＝ma 向<mg ，所以C 错误，D正确．由GMm(R ＋h )2＝m v 2R ＋h得，v ＝GMR ＋h< GM R ，B 正确．由GMm (R ＋h )2＝4π2m (R ＋h )T 2，得R ＋h ＝ 3GMT 24π2，即h ＝ 3GMT 24π2－R ，A 错误．考点三 卫星变轨问题分析当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：(1)当卫星的速度突然增大时，G Mm r 2<m v2r ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝GMr可知其运行速度比原轨道时减小． (2)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v2r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝ GMr可知其运行速度比原轨道时增大． 卫星的发射和回收就是利用这一原理．例4 “嫦娥一号”探月卫星绕地运行一段时间后，离开地球飞向月球．如图2所示是绕地飞行的三条轨道，1轨道是近地圆形轨道，2和3是变轨后的椭圆轨道．A 点是2轨道的近地点，B 点是2轨道的远地点，卫星在轨道1的运行速率为7.7 km/s ，则下列说法中正确的是( )图2A ．卫星在2轨道经过A 点时的速率一定大于7.7 km/sB ．卫星在2轨道经过B 点时的速率一定小于7.7 km/sC ．卫星在3轨道所具有的机械能小于在2轨道所具有的机械能D ．卫星在3轨道所具有的最大速率小于在2轨道所具有的最大速率解析 卫星在1轨道做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm r 2＝m v 21r ，卫星在2轨道A 点做离心运动，则有G Mm r 2<m v 22Ar ，故v 1<v 2A ，选项A 正确；卫星在2轨道B 点做近心运动，则有G Mm r 2B >m v 22B r B ，若卫星在经过B 点的圆轨道上运动，则G Mmr 2B＝m v 2Br B，由于r <r B ，所以v 1>v B ，故v 2B <v B <v 1＝7.7 km/s ，选项B 正确；3轨道的高度大于2轨道的高度，故卫星在3轨道所具有的机械能大于在2轨道所具有的机械能，选项C 错误；卫星在各个轨道上运动时，只有万有引力做功，机械能守恒，在A 点时重力势能最小，动能最大，速率最大，故卫星在3轨道所具有的最大速率大于在2 轨道所具有的最大速率，选项D 错误． 答案 AB突破训练4 2013年2月15日中午12时30分左右，俄罗斯车里雅宾斯克州发生天体坠落事件．如图3所示，一块陨石从外太空飞向地球，到A 点刚好进入大气层，之后由于受地球引力和大气层空气阻力的作用，轨道半径渐渐变小，则下列说法中正确的是( )图3A ．陨石正减速飞向A 处B ．陨石绕地球运转时角速度渐渐变小C ．陨石绕地球运转时速度渐渐变大D ．进入大气层后，陨石的机械能渐渐变大 答案 C解析 由于万有引力做功，陨石正加速飞向A 处，选项A 错误．陨石绕地球运转时，因轨道半径渐渐变小，则角速度渐渐变大，速度渐渐变大，选项B 错误，C 正确．进入大气层后，由于受到空气阻力的作用，陨石的机械能渐渐变小，选项D 错误． 考点四 宇宙速度的理解与计算1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的求法：(1)GMm R 2＝m v 21R，所以v 1＝GMR. (2)mg ＝m v 21R，所以v 1＝gR .3．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．例5 “伽利略”木星探测器，从1989年10月进入太空起，历经6年，行程37亿千米，终于到达木星周围．此后在t 秒内绕木星运行N 圈后，对木星及其卫星进行考察，最后坠入木星大气层烧毁．设这N 圈都是绕木星在同一个圆周上运行，其运行速率为v ，探测器上的照相机正对木星拍摄整个木星时的视角为θ(如图4所示)，设木星为一球体．求：图4(1)木星探测器在上述圆形轨道上运行时的轨道半径； (2)木星的第一宇宙速度．解析 (1)设木星探测器在题述圆形轨道运行时，轨道半径为r ，由v ＝2πr T可得：r ＝v T2π由题意，T ＝tN联立解得r ＝v t2πN(2)探测器在圆形轨道上运行时，万有引力提供向心力， G mMr 2＝m v 2r. 设木星的第一宇宙速度为v 0，有， G m ′M R 2＝m ′v 20R联立解得： v 0＝rRv 由题意可知R ＝r sin θ2，解得：v 0＝v sinθ2.答案 (1)v t2πN(2)v sinθ2突破训练5 随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想．假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v 0竖直向上抛出一个小球，经时间t 后回到出发点．已知月球的半径为R ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( )A ．月球表面的重力加速度为v 0tB ．月球的质量为2v 0R 2GtC ．宇航员在月球表面获得v 0Rt的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动 D ．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为 Rt v 0答案 B解析 根据竖直上抛运动可得t ＝2v 0g ，g ＝2v 0t ，A 项错误；由GMm R 2＝mg ＝m v 2R ＝m (2πT )2R可得：M ＝2v 0R 2Gt，v ＝2v 0Rt，T ＝2π Rt2v 0，故B 项正确，C 、D 项错误．20．双星系统模型问题的分析与计算绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图5所示，双星系统模型有以下特点：图5(1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2 (2)两颗星的周期及角速度都相同，即 T 1＝T 2，ω1＝ω2(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L (4)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即 m 1m 2＝r 2r 1(5)双星的运动周期T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)(6)双星的总质量公式m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G例6 宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图6所示．若AO >OB ，则( )图6A ．星球A 的质量一定大于B 的质量 B ．星球A 的线速度一定大于B 的线速度C ．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D ．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大解析 设双星质量分别为m A 、m B ，轨道半径分别为R A 、R B ，两者间距为L ，周期为T ，角速度为ω，由万有引力定律可知：Gm A m BL 2＝m A ω2R A① Gm A m BL 2＝m B ω2R B② R A ＋R B ＝L③由①②式可得m A m B ＝R BR A ，而AO >OB ，故A 错误． v A ＝ωR A ，v B ＝ωR B ，B 正确． 联立①②③得G (m A ＋m B )＝ω2L 3， 又因为T ＝2πω，故T ＝2π L 3G (m A ＋m B )，可知C 错误，D 正确．答案 BD高考题组1．(2013·新课标Ⅰ·20)2012年6月18日，神州九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是( )A ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C ．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D ．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 答案 BC解析 地球所有卫星的运行速度都小于第一宇宙速度，故A 错误．轨道处的稀薄大气会对天宫一号产生阻力，不加干预其轨道会缓慢降低，同时由于降低轨道，天宫一号的重力势能一部分转化为动能，故天宫一号的动能可能会增加，B 、C 正确；航天员受到地球引力作用，此时引力充当向心力，产生向心加速度，航天员处于失重状态，D 错误． 2．(2013·新课标Ⅱ·20)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是 ( )A ．卫星的动能逐渐减小B ．由于地球引力做正功，引力势能一定减小C ．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D ．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小 答案 BD解析 在卫星轨道半径逐渐变小的过程中，地球引力做正功，引力势能减小；气体阻力做负功，机械能逐渐转化为内能，机械能减小，选项B 正确，C 错误．卫星的运动近似看作是匀速圆周运动，根据G Mmr 2＝m v 2r得v ＝GMr，所以卫星的速度逐渐增大，动能增大，选项A 错误．减小的引力势能一部分用来克服气体阻力做功，一部分用来增加动能，故D 正确． 模拟题组3．假设地球是一半径为R ，质量分布均匀的球体．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，不考虑地球自转的影响，距离地球球心为r 处的重力加速度大小可能为如下图象中的哪一个( )答案 A解析 当r ＝R 时，G Mm R 2＝mg 0，所以g 0＝GM R 2；r <R 时，g ＝GM 1r 2，M ＝ρ·43πR 3，M 1＝ρ·43πr 3，联立可得g 0＝43πGρR ，g ＝43πGρr ，即g ＝r R g 0；当r >R 时，GMm R 2＝mg 0，GMmr 2＝mg ，即g ＝R 2g 0·1r2，综上可得g －r 的图象如A 所示，A 正确．4．2010年10月1日，嫦娥二号卫星发射成功．作为我国探月工程二期的技术先导星，嫦娥二号的主要任务是为嫦娥三号实现月面软着陆开展部分关键技术试验，并继续进行月球科学探测和研究．如图7所示，嫦娥二号卫星的工作轨道是100 km 环月圆轨道Ⅰ，为对嫦娥三号的预选着陆区——月球虹湾地区(图中B 点正下方)进行精细成像，北京航天飞行控制中心对嫦娥二号卫星实施了降轨控制，嫦娥二号在A 点轨道变为椭圆轨道Ⅱ，使其近月点在虹湾地区正上方B 点，距月面大约15公里．下列说法正确的是( )图7A ．嫦娥二号卫星在A 点的势能大于在B 点的势能 B ．嫦娥二号卫星变轨前后的机械能不相等C ．嫦娥二号卫星在轨道Ⅰ上的速度大于月球的第一宇宙速度D ．嫦娥二号卫星在轨道Ⅱ上A 点的向心加速度大于在轨道Ⅰ上A 点的向心加速度 答案 AB解析 因为A 点高度大于B 点的高度，所以卫星在A 点的势能大于在B 点的势能，A 项正确；因为变轨瞬间卫星点火减速，做向心运动，则其机械能变小，B 项正确；因为轨道Ⅰ的半径大于月球半径，所以卫星在轨道Ⅰ上的速度小于月球的第一宇宙速度，C 项错；由a ＝GMr2知，D 项错误．5．已知月球的半径为R ，某登月飞船在接近月球表面的上空做匀速圆周运动时，周期为T .飞船着陆后，宇航员用绳子拉着质量为m 的仪器箱在平坦的“月面”上运动，已知拉力大小为F ，拉力与水平面的夹角为θ，箱子做匀速直线运动．引力常量为G ，求： (1)月球的质量．(2)箱子与“月面”间的动摩擦因数μ. 答案 (1)4π2R 3GT 2 (2)T 2F cos θ4π2mR －T 2F sin θ解析 (1)G Mm 0R 2＝m 0R ·4π2T 2，由此解得M ＝4π2R 3GT 2(2)以箱子为研究对象受力分析，由平衡条件得： 水平方向F cos θ＝μF N 竖直方向F sin θ＋F N ＝mg GMmR 2＝mg 解得：μ＝T 2F cos θ4π2mR －T 2F sin θ6．有一极地卫星绕地球做匀速圆周运动，该卫星的运动周期为T 0/4，其中T 0为地球的自转周期．已知地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R .求： (1)该卫星一昼夜经过赤道上空的次数n 为多少？试说明理由． (2)该卫星离地面的高度H .答案 (1)8次 (2)14 3gR 2T 2π2－R解析 (1)由于一个周期通过赤道上空两次，卫星在一昼夜共四个周期，故通过8次．(2)GMm (R ＋H )2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 042(R ＋H ) m 0g ＝GMm 0R 2H ＝14 3gR 2T 20π2－R(限时：30分钟)►题组1 万有引力定律及应用1．(2012·新课标全国·21)假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－dRB ．1＋dRC ．(R －d R )2D ．(R R －d)2答案 A解析 设地球的密度为ρ，地球的质量为M ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g ＝GM R 2.地球质量可表示为M ＝43πR 3ρ.因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R －d )为半径的地球的质量为M ′＝43π(R －d )3ρ，解得M ′＝(R －d R )3M ，则矿井底部的重力加速度g ′＝GM ′(R －d )2，则矿井底部的重力加速度和地面处的重力加速度大小之比为g ′g ＝1－dR，选项A 正确．2．如图1所示，三颗质量均为m 的地球同步卫星等间隔分布在半径为r 的圆轨道上，设地球质量为M 、半径为R .下列说法正确的是( )图1A ．地球对一颗卫星的引力大小为GMm(r －R )2B ．一颗卫星对地球的引力大小为GMmr 2C ．两颗卫星之间的引力大小为Gm 23r2D ．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr 2答案 BC解析 地球对一颗卫星的引力等于一颗卫星对地球的引力，由万有引力定律得其大小为GMmr 2，故A 错误，B 正确；任意两颗卫星之间的距离L ＝3r ，则两颗卫星之间的引力大小为Gm 23r 2，C 正确；三颗卫星对地球的引力大小相等且三个引力互成120°，其合力为0，故D 选项错误．3．2013年1月27日，我国在境内再次成功地进行了陆基中段反导拦截技术试验，中段是指弹道导弹在大气层外空间依靠惯性飞行的一段．如图2所示，一枚蓝军弹道导弹从地面上A 点发射升空，目标是攻击红军基地B 点，导弹升空后，红军反导预警系统立刻发现目标，从C 点发射拦截导弹，并在弹道导弹飞行中段的最高点D 将其击毁．下列说法中正确的是( )图2A ．图中E 到D 过程，弹道导弹机械能不断增大B ．图中E 到D 过程，弹道导弹的加速度不断减小C ．弹道导弹在大气层外运动轨迹是以地心为焦点的椭圆D ．弹道导弹飞行至D 点时速度大于7.9 km/s 答案 BC解析 弹道导弹从E 到D 靠惯性飞行，只受地球的引力作用，机械能守恒，选项A 错误；弹道导弹从E 到D ，与地心的距离R 增大，万有引力F ＝G M 地mR 2减小，弹道导弹的加速度a ＝Fm 减小，选项B 正确；由开普勒第一定律知，选项C 正确；D 点在远地点，弹道导弹的速度最小，由v ＝ GMr可知，D 点到地心的距离r 大于地球的半径R 0，所以弹道导弹的速度v ＝ GMr小于第一宇宙速度v 宇＝ GMR 0＝7.9 km/s ，选项D 错误．►题组2 天体质量和密度的计算4．有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v 贴近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T ，已知引力常量为G ，则可得( )A ．该行星的半径为v T2πB ．该行星的平均密度为3πGT 2C ．无法求出该行星的质量D ．该行星表面的重力加速度为4π2v 2T 2答案 AB解析 由T ＝2πR v 可得：R ＝v T 2π，A 正确；由GMmR 2＝m v 2R 可得：M ＝v 3T 2πG ，C 错误；由M＝43πR 3ρ得：ρ＝3πGT 2，B 正确；由GMmR 2＝mg 得：g ＝2πv T，D 错误． 5．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处，已知该星球的半径与地球半径之比R 星∶R 地＝1∶4，地球表面重力加速度为g ，设该星球表面重力加速度为g ′，地球的质量为M 地，该星球的质量为M 星．空气阻力不计．则 ( ) A ．g ′∶g ＝5∶1B ．g ′∶g ＝1∶5C ．M 星∶M 地＝1∶20D ．M 星∶M 地＝1∶80答案 BD解析 小球以相同的初速度在星球和地球表面做竖直上抛运动，星球上：v 0＝g ′·5t2得，g ′＝2v 05t ，同理地球上的重力加速度g ＝2v 0t ；则有g ′∶g ＝1∶5，所以A 错误，B 正确．由星球表面的物重近似等于万有引力可得，在星球上取一质量为m 0的物体，则有m 0g ′＝G M 星m 0R 2星，得M 星＝g ′R 2星G ，同理得：M 地＝g ·R 2地G ，所以M 星∶M 地＝1∶80，故C。

《万有引力定律》万有引力与宇宙航行课件一、教学内容二、教学目标1. 理解万有引力定律的基本原理，掌握万有引力公式的推导和应用。

2. 了解万有引力与宇宙航行之间的联系，培养学生的科学思维和探索精神。

3. 培养学生的团队协作能力和动手实践能力。

三、教学难点与重点难点：万有引力公式的推导及其应用。

重点：万有引力定律的基本原理及其与宇宙航行的关系。

四、教具与学具准备1. 教具：地球仪、月球仪、演示用计算器、PPT课件。

2. 学具：计算器、草稿纸、尺子、圆规。

五、教学过程1. 实践情景引入：展示宇宙航行的视频，引导学生思考宇宙中天体间的相互作用。

2. 知识讲解：a. 万有引力定律的发现历程b. 万有引力公式的推导c. 万有引力与宇宙航行的关系3. 例题讲解：讲解一道关于万有引力计算的应用题，让学生掌握公式应用。

4. 随堂练习：布置几道有关万有引力定律的练习题，检查学生对知识点的掌握。

5. 小组讨论：让学生分组讨论宇宙航行中万有引力的影响，培养学生的团队协作能力。

六、板书设计1. 《万有引力定律》2. 主要内容：a. 万有引力定律的发现历程b. 万有引力公式：F = G (m1 m2) / r^2c. 万有引力与宇宙航行的关系七、作业设计1. 作业题目：a. 计算两个天体间的万有引力，已知它们的质量和距离。

b. 讨论宇宙航行中，如何利用万有引力实现轨道改变。

2. 答案：a. F = G (m1 m2) / r^2b. 利用万有引力进行轨道改变，如地球与月球之间的引力作用。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对万有引力定律的理解和应用程度，以及课堂氛围和教学效果。

2. 拓展延伸：引导学生进一步研究万有引力在航天领域的应用，如引力助推、轨道优化等。

鼓励学生参加科普活动和竞赛，提高科学素养。

重点和难点解析1. 万有引力公式的推导2. 万有引力与宇宙航行的关系3. 实践情景引入的设计4. 作业设计的深度和广度一、万有引力公式的推导万有引力公式的推导是本节课的难点，需要详细解释万有引力与距离平方成反比的关系。

专题4.4 万有引力与航天【考情分析】1.掌握万有引力定律的内容，并能够用万有引力定律求解相关问题。

2.理解第一宇宙速的意义。

3.了解第二宇宙速度和第三宇宙速度。

4.掌握宇宙速度及卫星运行参数。

5.理解双星模型和多星模型。

6.理解同步卫星问题和变轨问题。

【重点知识梳理】知识点一 开普勒行星运动定律的应用知识点二 万有引力定律的理解及应用 1．内容(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。

(2)引力的方向在它们的连线上。

(3)引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。

2．表达式F ＝G m 1m 2r 2，其中G 为引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由卡文迪许扭秤实验测定。

3．适用条件(1)两个质点之间的相互作用。

(2)对质量分布均匀的球体，r 为两球心间的距离。

知识点三、宇宙速度 1．三个宇宙速度2．第一宇宙速度的理解：人造卫星的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度。

3．第一宇宙速度的计算方法 (1)由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝GMR. (2)由mg ＝m v 2R得v ＝gR .知识点四、经典时空观和相对论时空观 1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。

(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。

2．相对论时空观(1)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。

(2)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是不变的。

知识点五、宇宙速度及卫星运行参数 1．三种宇宙速度比较2.第一宇宙速度的计算方法 (1)由G Mm R 2＝m v 2R得v ＝GMR。

(2)由mg ＝m v 2R得v ＝gR 。

3．物理量随轨道半径变化的规律规律⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧G Mm r 2＝r ＝R 地＋h ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m v 2r→v ＝GM r →v ∝1rmω2r →ω＝GM r 3→ω∝＝1r 3m 4π2T 2r →T ＝4π2r 3GM →T ∝r3ma →a ＝GM r 2→a ∝1r2越高越慢mg ＝GMm R2地近地时→GM ＝gR 2地4．同步卫星的六个“一定”知识点六、双星模型和多星模型 1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。

第4讲 万有引力与宇宙航行考点 考题统计考情分析开普勒定律和万有引力定律的应用2023·湖北卷T 2、2022·河北卷T 2、 2022·湖南卷T 8、2022·全国乙卷T 14、 2021·山东卷T 5、2021·湖北卷T 7、 2021·湖南卷T 71.对于天体问题近几年有关万有引力定律及其应用的题目在高考中通常以选择题的形式出现，难度一般中等；在考查内容上一般考查天体运动参量间的关系、天体质量（密度）的估算、万有引力定律等基本概念和基本规律的理解与应用。

2.从命题趋势上看，分析人造卫星的运行规律仍是考试中的热点，以近几年中国及世界空间技术和宇宙探索为背景的题目在复习中要多加练习。

人造卫星和天体运动2023·山东卷T 3、2023·辽宁卷T 7、 2023·新课标卷T 17、2023·湖南卷T 4、2022·山东卷T 6、2022·广东卷T 2、 2022·湖北卷T 2、2022·辽宁卷T 9、 2021·辽宁卷T 8、2021·海南卷T 4、 2021·河北卷T 4、2021·广东卷T 2考点一 开普勒定律和万有引力定律1.（2023·湖北高考）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。

火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。

根据以上信息可以得出（ ）A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前命题意图 本题以“火星冲日”为背景，综合考查了开普勒第三定律、万有引力定律及圆周运动规律。