等比数列1

§3.3等比数列（一）——等比数列的基本知识一、复习:（1）等差数列的概念和通项公式（2）等差数列的前n项和公式导入：国王奖赏国际象棋发明者的事例，发明者要求：在第1个方格放1颗麦粒，在第2个方格上放2颗麦粒，在第3个方格上放4颗麦粒，在第4个方格上放8颗麦粒，依此类推，直到第64个方格子．国王能否满足他的要求呢?”情境3：某轿车的售价约36万元，年折旧率约为10%（就是说这辆车每年减少它的价值的10%），那么该车从购买当年算起，逐年的价格依次为多少？二、新授：1、例子以下3个数列：①1，2， 22，…，263②1，12，14，…，12n⎛⎫⎪⎝⎭，…③36，36×0.9，36×092，…，36×09n，…通过讨论，得到这些情境的共同特点是从第二项起，每一项与它前面一项的比都相等（等于同一个常数）．2、等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．（引导学生经过类比等差数列的定义得出）（1）形如a，a，a，…的数列一定是等差数列，但未必是等比数列．当a=0时，数列的每一项均为0，不能作比，因此不是等比数列；当a≠0时，此数列为等比数列．（2）等比数列的各项均不为0，且公比也不为0．3等比数列的通项公式方法1：∵21a a q =，()23211a a q a q q a q ===，()234311a a q a q q a q ===，……∴11n n a a q -=．方法2：∵ 1n n a q a +=，∴1n n a q a -=，12n n a q a --=，…， 32a q a =，21a q a =． 将各式相乘便有11n n a q a -=，∴11n n a a q -=（*∈N n ，2≥n ）， 当1n =时，11n n a a q -=两边均为1a 即等式也成立，说明上式当*n N ∈时都成立．注：（1）寻找通项即寻找项的一般规律，常可先看特殊项，写出几项，再归纳出一般结论，这是探索数列问题常用的一种方法，叫不完全归纳法，但这种方法得出的通项公式还不够严谨，须对其进行证明．（2）方法2就是对方法1得到的结论的一种证明，叫做叠乘法．与推导等差数列通项公式用到的叠加法类似，都必须注意对第一项是否成立进行补充说明．例1 判断下列数列是否是等比数列? ①11111,,,,24816--； ②1，2，4，8，16，20；③1，1，1，1，1；④－1，－2，－4，－8，－16；⑤数列{}n a 的通项公式为.)31(21--=n n a 解 据数列的定义可知：数列①③④⑤都是等比数列，②不是等比数列．分析：对于等比数列{}n a ，若q >1，则{}n a 一定是递增数列；若0<q <1，则{}n a 一定是递减数列，对吗?你能知道等比数列何时为递增数列， 何时为递减数列吗?得到：当q >1， 1a >0或0<q <1， 1a <0时， {}n a 是递增数列；当q >1， 1a <0或0<q <1， 1a >0时， {}n a 是递减数列；当q ＝1时， {}n a 是常数列；当q <0时，{}n a 是摆动数列．例2 在等比数列{}n a 中，已知3a =20，1206=a ，求n a ．解 设等比数列的公比为q ，则⎩⎨⎧==160205121q a q a ，解得 ⎩⎨⎧==251q a ．故11125--⨯==n n n q a a ． 反思 这种类型的题目主要是方程思想的应用，应用过程主要是三个步骤：设、列、求．例3 根据下面等比数列的条件，求相应的未知量：（1）a 1=4，q=3，an=324求项数n(2)q=2，a 5=48，求a 1和通项公式。

1一、知识梳理 1、等比数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示(q ≠0)2、与等差中项类似,如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项,这时,a,b 一定同号,G 2=ab3、等比数列通项公式,归纳如下:a 2=a 1qa 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2a 4=a 3q=(a 1q 2)q=a 1q 3… …可得 a n =a 1qn-1[注意几点]（1）.不要把a n 错误地写成a n =a 1q n（2）.对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的 比的次序颠倒 （3）.公比q 是任意常数,可正可负 （4）.首项和公比均不为0 4、等比数列的常见性质：若数列{}n a 为等比数列，且公比为q ，则此数列具有以下性质：①mn m n qa a -⋅=；②对任意正整数s r q p ,,,，满足s r q p +=+，则s r q p a a a a +=+； ③)(*2N m a a a m n m n n ∈=+- 二、例题讲解：例1、已知数列{}n a 为等比数列（1）若6,475==a a ，求12a ； （2）若125,6,243224==+=-n a a a a a ，求n 。

例2、已知数列{}n a 为等比数列，320,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式。

例3、在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若965=a a ，则1032313log log log a a a ++等于（ ）A12 B10 C8 D 5log 23+2三、知识复习：1、等比数列的概念：一般的， ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q 表示。

2、若()为常数q n q a a n n,21≥=-，则称数列{}n a 为 ，q 为 ，且≠q 。

第三节 等比数列及前n 项和一．定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列叫做等比数列.等比数列的一般形式为：1a ，q a 1，21q a ，…，11-n q a ，…二．判定：方法1：q a a nn =+1； 方法2：)2(211≥⋅=+-n a a a n n n ； 三．公式：1. 11-=n n q a a ＝a m ·q n －m 2．⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(1,11q qq a q na S n n 说明：（1）五个要素（1a ，q ，n ，n a ，n S ）中，已知其中的3个，则可求其余2个.（2）n a 与n S 都是关于n 的指数函数四．等比中项：如果三个数a ，G ，b 组成等比数列，那么G 叫做a 和b 的等比中项，说明：（1）在等比数列中，从第二项起每项都是它前后等距离项的等比中项.（2）a ，G ，b 组成等比数列⇔ab G ab G ±=⇔=2（3）若三数成等比数列，则三数可设为：qa ，a ，aq 若四数成等比数列，则三数可设为：3q a ，q a ，aq ，3aq 五．几个结论（在等比数列中）： 1. n m nm q a a -= 2．n m q p a a a a n m q p ⋅=⋅⇔+=+ 3．2)1(1321-=n n n n q a a a a a 4. 若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；六．等差数列与等比数列之间的互相转化1．已知{}n a 是等差数列，若n a n c b =，则{}n b 是等比数列；（首项11,a db c q c ==公比） 2．已知{}n a 是等比数列，若n c n a b log =，则{}n b 是等差数列.（首项11log c b a =，公差 d= log c q ）题型一：等比数列基本量的计算1．12+和12-的等比中项---------------------------------------------------------------------( )A . 223-B . )223(-±C . 1D .1±2. 1,,,,4a b c 是等比数列中的连续5项，则b =___________3. a 、b 、c 成等比数列，则函数c bx ax y ++=2的零点个数是--------------------------( )A . 0 个B . 1 个C . 2个D . 不能确定4. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列. 若11=a ，则4S 等于( )A .7B .8C .15D .165．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A ．13B ．－13C ．19D ．－196. 某种细菌在培养过程中，每2021分裂一次（一个分裂为两个），经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成----------------------------------------------------------------------------------( )A . 511个B . 512个C . 1 023个D .1024个7. 若等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＋2a 2＝3，a 23＝4a 2a 6，则a 4＝( ) A ．38 B ．245 C ．316 D ．9168．已知数列1，1，2，…，它的各项有一个等比数列与一个首项为0的等差数列对应项相加而得，则该数列的前10项的和为----------------------------------------------------------（ ）A . 467B .557C . 978D .10689. 若2,(0,0)a b px q p q -+>>是函数f(x)=x 的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于-------（ ）A . 6B . 7C . 8D . 910. 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．11．在等比数列{}n a 中，若43-=a ，84=a ，则=5S _____________。

2.4 等比数列(1)教材分析本节内容是《数列》第3小节的内容，是我们在认识了等差数列后，学生有接触的一个新的数列，是对数列知识的延伸，可以借助研究等差数列的方法类比来研究等比数列。

等比数列在实际生活中也有广泛的应用，因此等比数列的教学可以选择更多的有实际背景的例子。

等比数列与等差数列之间存在着很多类似的地方，但也有本质的区别，学生容易混淆。

一方面，建议在本节的教学中始终强调等比数列的定义和体现等比数列的本质的公比q ；另一方面，本节有利于培养学生的类比推理的能力。

课时分配本节内容用2课时的时间完成，主要讲解等比数列的定义，通项公式和性质.教学目标重点：等比数列的定义及通项公式.难点：灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题. 知识点：等比数列定义和通项公式.能力点：类比等比数列的定义，并如何探寻等比数列的通项公式.教育点：经历由特殊到特殊的类比研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何运用等比数列的通项公式.考试点：用等比数列的通项公式解决数列中的简单量. 易错易混点：运用等比数列通项公式时的项数. 拓展点：等比数列通项的变形形式mn m n qa a -=.教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、 引入新课前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容。

下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?1，2，4，8，16，…，263； ① 5，25，125，625，…； ②1，－12 ，14 ，－18，…；③思考：（1）是不是等差数列？（2）每一项与前一项之间有什么关系？【师生活动】教师分析：仔细观察数列，寻其共同特点.对于数列①，2;211==--n nn n a a a （2≥n ） 对于数列②，5;51==-n nnn a a a （2≥n ） 对于数列③，21;21)1(111-=-=--+n n n n n a a a （2≥n ） 学生总结共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点.教师总结： 1.等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(q ≠0)，即：a n ∶a n －1＝q (q ≠0)如：数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－12 .与等差数列比较，仅一字之差.总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.注意（1）公差“d ”可为0，（2）公比“q ”不可为0.【设计意图】 通过具学生对等比数列下定义，培养学生类比的数学思想．二、探究新知 （一）归纳通项公式等比数列的通项公式又如何呢? 写出上面三个数列的通项公式对于数列①，12-=n n a （2≥n ）对于数列②，nn a 5=（2≥n ） 对于数列③，;21)1(11-+-=n n n a （2≥n ）探究课本50页类比等差数列写出等比数列的通项公式的推导，请你补全首项是1a ，公比是q 的等比数列}{n a 的通项公式()1q a a n =[设计意图]培养学生由特殊到一般的总结问题的能力，在探究寻找中找到学习的兴趣。

等比数列的定义（一）一．知识梳理1.等比数列的定义（1）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项都与它的前一项的_____都等于________.那么这个数列就叫做等比数列，这个_______叫做等差数列的_______,公比用字母_____表示.（2）等比数列的符号语言：在等比数列{}n a 中，如果_______________（*∈N n ）（或者q a a n n =-1,*∈≥N n n ,2） 2.等比数列的通项公式如果等比数列{}n a 的首项1a ，公比为q ，那么它的通项公式是________________.3.等比中项（1） 如果三个数b G a ,,成等比数列，那么_____叫做a 与b 的等比中项.且=G _________.（2）若11,,+-n n n a a a 成等比数列，则=⋅+-11n n a a _________.4.等比数列的性质：若数列{}{}n n b a ,分别是以21,q q 为公比的等比数列：（1）数列{}n a c ⋅是以公比为______的等比数列..（2）数列{}n a 2是以公比为______的等比数列.（3）数列{}n n b a ⋅是以公比为______的等比数列.二．预习自测1.下面四个数列：（1）;64,32,16,8,4,2,1,1 （2）在数列{}n a 中，已知;2,22312==a a a a （3）常数列;,,,,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅a a a a （4）在数列{}n a 中，)0(1≠=+q q a a nn 其中一定是等比数列的是________.2.等比数列{}n a 满足0852=+a a ，则公比=q _________. A.2 B.2- C.2± D.33.已知等比数列{}n a 的公比为0>n a 2且，若16113=⋅a a ，则=5a _________.A.1B.2C.8D.44.在等比数列⋅⋅⋅++,66,33,x x x 的第四项为__________.A.24-B.0C.12D.245.已知等差数列{}n a 的公差为2,若842,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和=n S ____.A.)1(+n nB.)1(-n nC.2)1(+n nD.2)1(-n n 6.82是等比数列⋅⋅⋅,22,4,24的第_____项 A.10 B.11 C.12 D.137.在等比数列{}n a 中，.8,3253==a a（1）求n a ； （2）若,21=n a 求n .三．典例解析例一：在等差数列{}n a 中，公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，求1042931a a a a a a ++++的值.例二：若数列{}n a 为等比数列：（1）求证：),(*-∈=N m n q a a m n m n ； （2）,1,9,186352==+=+n a a a a a 求.n例三：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数和第四个数的和为16，第二个数和第三个数和为12，求这四个数.例四：已知数列{}n a 的前n 项和为).1(31,-=n n n a S S 求证：数列{}n a 是等比数列并求.n a例五：已知数列{}n a 中，).2(12,111≥+==-n a a a n n（1）证明：数列{}1+n a 是等比数列; （2）求.n a。

§3.1等比数列（1）（王全生 西工大附中 710072）【教材版本】北师大版【教材分析】1.知识内容与结构分析本节内容是教材§3等比数列中的第一节，计划课时2课时。

本节教材的主要内容有等比数列的概念，等比数列的公比，等比数列的通项公式与应用以及等比中项的概念。

教材在问题提出部分，利用生活中的两个实例引出等比数列的概念，然后通过这两个实例的分析，在抽象概括部分，给出等比数列的定义以及等比数列公比的概念，通过对等比数列定义符号语言的分析，利用不完全归纳法，得到等比数列的通项公式，最后在思考与交流部分，通过应用进一步深化与理解本节内容，同时提出了等比中项的概念。

2.知识学习意义分析等比数列与等差数列一样，在生活实际也有着非常广泛的应用：因此，等比数列在数列一章占有重要的地位．而且公式推导过程中蕴含的归纳、迭代、累积等思想方法，是解决数列问题的重要方法。

通过等比数列的学习，可以初步解决存款与贷款利息、增长率等一些问题。

在公式的推导时，运用了类比的思想方法，这种方法是进一步学习数列知识和解决数列问题的重要思维方法。

3.教学建议与学法指导等比数列同等差数列一样，也是一种非常特殊、非常重要的数列，它们都是描述生活中离散变量之间关系的重要数学模型．教材将等比数列安排在等差数列之后，鉴于等比数列与等差数列在概念上非常类似，因此，在教学过程中可以采用类比教学的方法，这样既可以强化对等差数列的理解，而且使新课的教学可以放开，由学生进行探究，激发学生自主求知的兴趣，教学过程也显得非常自然。

在引入等比数列概念时，教材给出了两个实例，实际教学时，建议补充几个实例（见教学过程），以强化概念的理解。

通过类比研究等差数列的方法，在学生得到等比数列的概念后，应引导学生不仅要注意两者之间的共同点，更应注意到两者的区别，例如：等差数列的公差d 可以为任意实数，但等比数列的公比q 不能为0。

等比数列的符号语言可以为1n n a q a +=()0,q n N ≠∈或1n n a q a -=()0,2,q n n N ≠≥∈，但不能变形为1n n a a q +=()0,q n N ≠∈，这两者是有区别的。