2018-2019学年最新浙教版八年级数学上册《逆命题和逆定理》同步练习题及答案-精品试题

2．5 逆命题和逆定理知识点1互逆命题1．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题为() A．全等三角形的周长不相等B．周长相等的三角形全等C．周长相等的三角形不一定全等D．周长不相等的三角形不全等2．下列命题的逆命题不正确的是()A．等边三角形的三个角都相等B．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．直角三角形有两个锐角3．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)若a2是有理数，则a是有理数；(3)若|m|＞0，则m≠0.知识点2互逆定理4．[2017·湖州期中]下列说法正确的是() A．每个定理都有逆定理B．每个命题都有逆命题C．假命题没有逆命题D．真命题的逆命题是真命题5．下列定理中，没有逆定理的是()A．全等三角形的对应边相等B．两直线平行，同位角相等C．在一个三角形中，等边对等角D．对顶角相等知识点3线段垂直平分线性质定理的逆定理6．如图2－5－1，AC＝AD，BC＝BD，则有()图2－5－1 A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分ABC．AB垂直平分CDD．CD平分∠ACB7．如图2－5－2，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.(1)求证：P A＝PB＝PC；(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得到什么结论？图2－5－28．已知命题“如图2－5－3，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，AD为△ABC的角平分线，那么点D在线段AB的垂直平分线上”是真命题，请证明．图2－5－39．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”．(1)写出其逆命题．(2)逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出图形，写出已知、求证，再进行证明；如果是假命题，请举反例说明．教师详解详析1．B 2.D3．解：(1)逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形．它是真命题． (2)逆命题：若a 是有理数，则a 2是有理数．它是真命题． (3)逆命题：若m ≠0，则|m |＞0.它是真命题． 4．B 5.D 6.C7．解：(1)证明：∵P 是AB ，BC 的垂直平分线的交点，∴P A ＝PB ，PB ＝PC ， ∴P A ＝PB ＝PC .(2)点P 在边AC 的垂直平分线上．结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等． 8．证明：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则∠AED ＝90°.∵∠C ＝90°，∴∠AED ＝∠C ＝90°. 在△AED 和△ACD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠C ，∠EAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△ACD ，∴AE ＝AC .∵AB ＝2AC ，∴AB ＝2AE ，∴BE ＝AE ， ∴DE 所在直线是线段AB 的垂直平分线，即点D 在线段AB 的垂直平分线上． 9．解：(1)逆命题：有两边上的高线相等的三角形是等腰三角形． (2)真命题．已知：如图，△ABC 的两边AC ，AB 上的高线BD ，CE 相等．求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵BD，CE是△ABC的高线，∴CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵∠A＝∠A，BD＝CE，∴△ADB≌△AEC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．。

2.5 逆命题与逆定理知识点1.互逆命题与互逆定理1．[慈利期中]下列命题的逆命题一定成立的是(C)①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③全等三角形的周长相等；④面积相等的两个三角形全等．A．①②③B．①④C．②④D．②2．[德惠期末]写出命题“内错角相等”的逆命题是__如果两个角相等，那么这两个角是内错角__．3．[长宁区期末]命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是__有两个角相等的三角形是等腰三角形__，这个逆命题是__真__命题(填“真”或“假”)．4．[衢州期中]下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理并判断真假．(1)全等三角形的对应角相等；(2)同旁内角互补，两直线平行．解：(1)全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，错误，故没有逆定理；(2)同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，正确，故有逆定理．5．[·蓝田月考]写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假．(1)如果a，b都是无理数，那么ab也是无理数；(2)三边分别相等的两个三角形全等．解：(1)如果a，b都是无理数，那么ab也是无理数的逆命题是如果ab是无理数，那么a，b都是无理数．此命题是假命题；(2)三边分别相等的两个三角形全等的逆命题是如果两个三角形全等，那么它们的对应边分别相等．此命题是真命题．知识点2.线段的垂直平分线的判定6．[青龙期末]命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是__到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上__．7．[红旗区校级月考]如图1，已知：在△ABC中，AB，BC边上的垂直平分线相交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上．图1证明：连结AP，BP，CP，∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，∴P A＝PB，PB＝PC，∴P A＝PC，∴点P在AC的垂直平分线上．8．[宿州期中]如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的延长线上一点，EH是BD的垂直平分线，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上．图2证明：∵EH垂直平分BD，∴BE＝DE，∴∠BEH＝∠DEH，∵∠ACB＝90°，∴EH∥AC，∴∠BEH＝∠A，∠DEH＝∠AFE，∴∠A＝∠AFE，∴AE＝EF，∴点E在AF的垂直平分线上．【易错点】混淆“逆命题”与“假命题”．9．[萧山区期中]下列命题的逆命题是真命题的是(C) A．若a＝b，则a2＝b2B．等边三角形是锐角三角形C．相等的角是对顶角D．全等三角形的面积相等。

2.5 逆命题和逆定理基础闯关全练1．下列说法正确的是( )A．命题都有逆命题B．定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题2．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理；如果没有，请写出它的逆命题(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)全等三角形的面积相等．3．如图2-5-1，AC=AD，BC=BD．则( )图2-5-1A.CD垂直平分AB B．AB垂直平分CDC．CD平分∠ACB D．以上结论均不对能力提升全练1．请写出下列定理的逆命题，并判定这个逆命题是不是定理．(1)对顶角相等：(2)两条直线平行，同位角相等．2．如图2-5-2．在△ABC中．AB=AC，点P，Q，尺分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB =RC.求证：点Q在PR的垂直平分线上．图2-5-23．如图2-5-3，四边形ABCD中，AB的垂直平分线与CD的垂直平分线交于点P．且PA= PD.求证：点P-定在BC的垂直平分线上.图2-5-3三年模拟全练把一张长方形纸条按如图2-5-4所示的方式折叠，使点C落在C’处，设BC’交AD于点D，则点D在BD的垂直平分线上，你能说明理由吗？图2-5-4五年中考全练一、填空题1．命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是____________.二、解答题2．如图2-5-5，已知等腰三角形ABC中，AB =AC，点D，E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连结BE、CD，交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.图2-5-5核心素养全练如图2-5-6.(1)在四边形ABCD中，△ABC与△ADC的面积相等．求证：直线AC必平分BD：(2)写出(1)的逆命题，这个命题是否正确？为什么？图2-5-6答案：基础闯关全练1．A命题都有逆命题是正确的，不能由原命题的真假判断其逆命题的真假，所以真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题也不一定是假命题，定理不一定都有逆定理，故选A．2．解析(1)有逆定理，逆定理为“两直线平行，同旁内角互补”．(2)没有逆定理，逆命题为“面积相等的两个三角形全等”．3．B 根据AC=AD,BC=BD可知点A、B都在CD的垂直平分线上．故AB所在直线为CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD.能力提升全练1．解析(1)逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，这是一个假命题，不是定理．(2)逆命题：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，这是一个定理．2．证明∵AB=AC．∴∠B=∠C(等边对等角)，又∵PB =QC，QB=RC，∴△BPQ≌△CQR( SAS),∴QP=QR，∴点Q在PR的垂直平分线上．3．证明如图，连结PB、PC.∵点P是AB、CD的垂直平分线的交点，∴PA= PB．PC =PD．又∵PA =PD,∴PB=PC,∴点P一定在BC的垂直平分线上，三年模拟全练解析理由：∵AD／／BC,∴∠CBD= ∠ADB．又∵∠CBD=∠C'BD,∴∠C'BD= ∠ADB,∴OB=OD,∴点D在BD的垂直平分线上.五年中考全练一、填空题1．答案菱形的四条边相等解析命题“四边相等的四边形是菱形”的条件是“一个四边形的四条边都相等”，结论是“这个四边形是菱形”，它的逆命题是“如果一个四边形是菱形，那么这个四边形的四条边都相等”，即“菱形的四条边相等”．二、解答题2．解析(1) ∠ABE= ∠ACD．理由如下：在△ABE与△ACD中，∵AB=AC,∠BAE= ∠CAD,AE=AD,∴△ABE'≌△ACD( SAS).∴∠ABE= ∠ACD．(2)证明：∵AB=AC，∴∠ABC= ∠ACB．由(1)可知∠ABE= ∠ACD，∴∠FBC= ∠FCB,∴FB= FC．又∵AB=AC,∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC．核心素养全练解析(1)过点B作BE∠AC，垂足为E，过D作DF⊥AC，垂足为F．如图，已知，且两个三角形有同底AC，∴两三角形的高线相等，即BE= DF.设AC与BD交于点D，易证△BOF≌△DOF( AAS)．∴OB= OD，即直线AC平分BD．(2)逆命题：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，则AC必将四边形分成两个面积相等的三角形．这个逆命题是正确的，理由如下：如图，∵OB= OD,∠BOE= ∠DOF,∠BEO= ∠DF0=90°，∴△BOE≌△DOF．∴BF,= DF．即两个三角形的高线相等，∴.。

八年级数学逆命题与逆定理同步练习及答案19.4 逆命题与逆定理测试题（120分 100分钟）一、基础题（8题7分，其余每题各4分，共35分）1．在两个直角三角形中，有两条边分别对应相等，这两个直角三角形一定全等吗？如果不一定全等，请举出一个反例．2．写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假．（1）如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α+∠β=180°；（2）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等．3．已知：如图，在五边形ABDE中，∠B=∠E=90°，B=ED，∠AD=∠AD．求证：AB=AE．4．已知：如图，AD是△AB的角平分线，DE⊥AB，DF⊥A，垂足分别是E、F，BD=D．求证：AB=A．5．已知：如图，A⊥D，BD⊥D，AB的垂直平分线EF交AB于E，交D于F，且A=FD．求证：△ABF是等腰直角三角形．6．判断由线段a、b、组成的三角形是不是直角三角形．（1）a=7，b=24，=25；（2）a=1.5，b=2.5；（3）a= ，b=1，= .7．在△AB中，A=2a，B=a2+1，AB=a2-1，其中a﹥1，△AB是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？8．如图，在四边形ABD中，AB=1，B=3，D=DA=2，∠D=90°，求∠BAD的度数.二、学科内综合题（5分）9．已知等腰△AB的底边B=8，且|A-B|=2，则腰A的长为（）A．10或6B．10．6D．8或6三、学科间综合题（5分）10．一平面镜以与水平成45°角固定在水平桌面上，如图，小球以1米／秒的速度沿桌面向平面镜匀速滚去，则小球在平面镜里所成的像（）A．以1米／秒的速度，做竖直向上运动B．以l米／秒的速度，做竖直向下运动．以2米／秒的速度，做竖直向上运动D．以2米／秒的速度，做竖直向下运动四、应用题（10分）11．如图，河南区一个工厂在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，到河上公路桥较近桥头（图中A点）的距离与到公路东侧学校（图中B点）的距离也相等，试在图上标出工厂的位置．五、创新题（每题10分，共40分）（一）教材中的变型题12．（课本原题）（1）在△AB中，∠=90°，AB=2A，AD 为∠BA的平分线．求证：D在AB的垂直平分线上．（2）如图，在△AB中，AB＝A，AB的垂直平分线，交AB于D,交A于E,∠EB=30°求∠A的度数.（二）一题多解13．如图所示，已知△AB中，AB=A，BD=B，AD=DE=EB，求∠A的度数．（三）一题多变14．如左图所示，在△AB中，B的垂直平分线交A于E，垂足为D，△ABE的周长是15，BD=6，求△AB的周长．（1）一变：如右图所示，在△AB中AB＝A，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交A于E．若AB=a，△AB的周长为b，求△BE的周长．（四）开放题15．如果两个等腰三角形，那么这两个等腰三角形全等．（只填一种能使结论成立的条件即可）六、中考题（13分）16．（2分）如下图左，Rt△AB中，∠=90°，斜边AB 的垂直平分线交AB于点D，交B于点E，AE平分∠BA，那么下列关系不成立的是（）A．∠B=∠AE B．∠DEA=∠EA ．∠B=∠BAE D．A=2E17．（2分）如上图中所示，在△AB中，AB=A，∠BA=90°,直角∠EPF的顶点P是B的中点，两边PE、PF分别交AB、A 于点E、F．给出以下四个结论：①AE=F；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF= S△AB；④EF=AP.当∠EPF在△AB内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论始终正确的有（）A．1个B．2个．3个D．4个18．（2分）如上图右所示，△AB中，AB=A，要使AD=AE，需要添加的一个条件是 .19．（2分）若等腰三角形的一个底角是30°，则这个等腰三角形的顶角是 .20．（2分）如下图，A是△AB的角平分线，N为B的中点，NE∥A，交AB于D，交A的延长线于E，下列结论正确的是（）A．B= B．AE=BD ．A=DE D．DN=BN21．（3分）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）A．30°B．75°．30°或60°D．75°或15°七、实验题（12分）22．把18根火柴首尾相接围成一个等腰三角形，试问最多能围成种不同的等腰三角形.加试题：竞赛趣味题（6分）（2002，全国初中数学联赛预赛）已知：如下图左，AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形AP和BPD，则线段D的长度的最小值是（）A．4B．5．6D．3 -5Ⅵ.探究题1．如上图右，△AB中，D、E分别是A、AB上的点，BD 与E交于点，给出下列四个条件：①∠EB=D；②∠BE=∠D；③BE=D；④B=.（1）从这4个条件中选出2个条件，能判定△AB是等腰三角形的方法用种.（2）选择（1）中的一种情形，证明△AB是等腰三角形.2．已知a、b、是直角三角形的三条边，是斜边，且a、b、都是正整数.当a=5时，b、只能是12，13；当a=7时，b，只能是24，25；当a=9时，b，可以是40，41，也可以是12，15.你能求出当a=15时，b，可能取的值吗？课堂内外勾股计算尺如下图，两把直尺，在尺上各贴一条坐标纸.以一个端点为0，以1为单位长，在0的右方1处标上1，表示12；在0的右方4处标上2；表示22；在0的右方9处标上3，16处标上4，分别表示32，42等等.用这种尺，可以在已知直角三角形两边的情况下，求出第三边.例如，已知两条直角边a=3，b=4，求斜边.先将上尺的0与下尺的3对齐，在上尺找到4，4在下尺所对的数5，便是所求的的长.如果已知斜边=5，一条直角边a=3，求另一条直角边，仍然是先将上尺的0与下尺的3对齐，然后在下尺上找到5，5在上尺上所对的数，就是另一条直角边的长.请你用勾股计算尺，求一条直角边长是5，斜边长为13的直角三角形的另一条直角边长.必记答案:1．也相等；等角对等边2．相等；等边对等角3．顶角的角平分线；底边上的中线；底边上的高 4．全等5．两边的距离 6．这个角的平分线上 7．相等8．在这条线段的垂直平分线上9．斜边的平方10．直角三角形测试题答案:一、1．不一定全等，反例如图D27-2-2.2．（1）逆命题：如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β是邻补角.这是假命题.（2）逆命题：如果一个三角形的两条边相等，那么这两条边所对的内角相等.这是真命题.3．证明：由∠AD=∠AD，得A=AD.再由△AB≌△AED，得AB=AE.4．证明：由已知，可得DE=DF.于是可证Rt△BDE≌Rt △DF，∠B=∠.故AB=A.5．证明：由EF垂直平分AB，可得FA=FB.再由Rt△BDE ≌Rt△DF，可得∠AF=∠DFB.而∠AF+∠FA=90°，故∠DFB+∠FA=90°，∠AFB=90°，即△AFB为等腰直角三角形.6．（1）是；（2）是；（3）不是.7．解：是.因为A2+AB2= (2a)2+(a2-1)2=(a2+1)2=B2，因此，△AB是直角三角形，且B边所对的角是直角.8．解：连结A.由D=DA=2，∠D=90°，得A=2 ，∠AD=45°.由A2+AB2=(2 )2+12=9=B2，得∠AB=90°.故∠BAD=135°.二、9．A 点拨：当A﹥B时，|A-B|=A-B=2，所以A=10.当A﹤B时，|A-B|=B-A=2，所以A=6.因此腰A的长为10或6.本题用到绝对值方程知识，体现了代数与几何的综合.三、10．B四、11．点拨：用交轨法.工厂的位置是公路与河岸夹角的角平分线与连结河上公路桥较近桥头与公路东侧学校的线段的垂直平分线的交点.五、（一）12．（1）证明：∵在△AB中，∠=90°，AB=2A，∴∠BA=60°，∠AB=30°.∵AD平分∠BA，∴∠BAD=30°.∴∠BAD=∠AB.∴BD=AD.∴D在AB的垂直平分线上.（2）解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE.∴∠A=∠EBD.∵∠AB=∠A+30°，又∵AB=A，∴∠=∠A+30°.∴∠A+30°+∠A+30°+∠A=180°（三角形的内角和定理）.∴∠A=40°.（三）13．解法一：∵AB=A.∴∠=∠AB.同理∠=∠BD，∠A=∠AED，∠EBD=∠EDB.∵∠A=180°-2∠=180°-2∠BD，∠BD=∠EBD+∠A=∠EBD+∠AED，∠AED=∠DBA+∠EDB=2∠DBA.，∴∠A=180°-2∠BD=180°-2∠A-2∠DBA=180°-2∠A-∠A.∴A=45°.解法二：设∠A=x.依题意，有∠AED=∠A=x，∠DBA= ∠AED= x，∠=∠BD=∠A+∠DBA= x，∠AB=∠= x.∵∠A+∠AB+∠=180°，∴x+ x+ x=180°.∴x=45°.∴∠A=45°.点拨：“等腰三角形的两底角相等”是等腰三角形的常用性质之一，它在几何计算中应用较广，常与“三角形的内角和等于180°”一起使用，用求三角形的某些内角的度数.本例提供的两种解法，都运用了上述的知识点，但解法二显然比较简捷，它是通过设未知数，利用等腰三角形的性质，找到图中某个三角形（如本题中的△AB）的各个内角与未知数间的关系，再利用“三角形内角和等于180°”列方程解，这种几何问题的代数解法值得同学们借鉴.（三）14．解：∵DE是B的垂直平分线，∴BE=E，B=2BD=2×6=12（）.∵△ABE的周长是15，即AE+BE+AB=15，∴E+AE+AB=15，即AE+BE+AB=15，又∵B=12，∴△AB的周长是27.（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE.∵AB=a，△AB 的周长为b，∴A+B=AE+E+B=b-a，即BE+E+B=b-a.∴△BE的周长为b-a.（四）15．腰与顶角分别对应相等（腰与底角分别对应相等，或腰与底边分别对应相等）六、16．D 17． 18．略. 19．120° 20．B 21．D七、22．4 点拨：设每根火柴的长度为1，且腰长为x ﹥0，x可取5，6，7，8.加试题：B 点拨：当P为AB的中点时，D取得最小值5.故选B.Ⅵ.1．（1）①③，①④，②③，②④（2）选择①④，可证∠B=∠B，∠AB=∠AB.2．解：当a=15时，a2=2-b2=(-b)(+b)=152，152=225=1×225=3×75=5×45=9×25=15×15.当225=1×225时，-b=1，+b=225，故b=112，=113.同理，还可得b=36，=39，或b=20，=25，或b=8，=17.。

初中数学浙教版八年级上册2.5 逆命题和逆定理同步练习一、单选题（共8题；共16分）1.命题“锐角小于90°的逆命题是（）.A. 如果这个角是锐角，那么这个角小于90°B. 不是锐角的角不小于90°C. 不小于90 °的角不是锐角D. 小于90°的角是锐角2.下列说法中，正确的是A. 所有的命题都有逆命题B. 所有的定理都有逆定理C. 真命题的逆命题一定是真命题D. 假命题的逆命题一定是假命题3.下列定理没有逆定理的是（）A. 两直线平行，内错角相等B. 直角三角形两锐角互余C. 全等三角形的对应角相等D. 等腰三角形两底角相等4.下列命题中，①同旁内角互补，两直线平行；②若a>1且b>1，则a+b>2；③直角都相等；④直角三角形的两锐角互余.它们的逆命题是真命题的个数是( ).A. 1B. 2C. 3D. 45.下列命题中，逆命题正确的是（）A. 全等三角形的对应边相等B. 全等三角形的对应角相等C. 全等三角形的周长相等D. 全等三角形的面积相等6.下列命题的逆命题是真命题的是（）A. 两直线平行，同旁内角互补B. 如果那么C. 全等三角形对应角相等D. 对顶角相等7.下列定理中有逆定理的是（）A. 直角都相等B. 全等三角形对应角相等C. 对顶角相等D. 内错角相等,两直线平行8.以下四个命题中：①等腰三角形的两个底角相等②直角三角形的两个锐角互余③对顶角相等④线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，原命题与逆命题同时成立的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共8题；共9分）9.“等边对等角”的逆命题是________.10.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________11.“到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”它的逆命题是________.12.命题：“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是：________（填“真命题”或“假命题”）.13.命题“等角的余角相等”的逆命题是________命题.14.命题“如果两个角的和为180°，那么这两个角互补”的逆命题是________.15.命题“周长相等的三角形面积相等”的逆命题是________.16.命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题是________,该逆命题是________.(写真命题或假命题）三、综合题（共2题；共25分）17.下列各组命题是否是互逆命题：（1）“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”；（2）“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；（3）“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行”．18.（1）写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假；（2）若该命题的逆命题为真命题，请证明；若该命题的逆命题为假命题，请举出反例.答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】解：因为命题“锐角小于90的题设是锐角，结论是小于90°，所以该命题的的逆命题是：小于90的角是锐角.故答案为：D.【分析】一个命题包括题设和结论部分，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题，故只要弄清楚原命题的题设和结论即可.2.【答案】A【考点】命题与定理【解析】【解答】解：A、每个命题都有逆命题，所以A选项正确；B、每个定理不一定有逆定理，所以B选项错误；C、真命题的逆命题不一定是真命题，所以C选项错误；D、假命题的逆命题不一定是假命题，所以D选项错误.故答案为：A.【分析】任何一个命题都包括题设可结论两部分，将一个命题的题设和结论交换位置即可得出该命题的逆命题；一个命题正确，其逆命题不一定正确，从而即可一一判断得出答案.3.【答案】C【考点】命题与定理【解析】【解答】A、内错角相等两直线相等，命题成立，有逆定理，A正确。

2．5逆命题和逆定理1. 已知命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”，写出它的逆命题：如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0．2．“等边三角形有两个角都等于60°”的逆命题为有两个角是60°的三角形是等边三角形．这个逆命题是真命题(填“真”或“假”)．3．给出下列命题：①若a>0，b>0，则a＋b>0；②若a≠b，则a2≠b2；③角平分线上的点到角的两边距离相等；④不是对顶角的角不相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有(A)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 给出下列结论：①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形的角平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题．其中正确的有(B) A．1个B．2个C．3个D．4个5. 下列四个命题中，逆命题正确的是(D)A．两个数的差为正数，则这两个数都为正数B．如果a2＋b2＝0，那么a＝0C．如果一个三角形为锐角三角形，那么这个三角形三个角中必存在大于60°的角D．如果两个角有一条公共边，并且这两个角的和是180°，那么这两个角互为邻补角6．下列命题中，逆命题正确的是(B)A．若a＝b，则|a|＝|b|B．两直线平行，同位角相等C．全等三角形的对应角相等D. 直角都相等7．下列定理中，无逆定理的是(B)A．两直线平行，内错角相等B．对顶角相等C．全等三角形的三条边对应相等D．在同一个三角形中，等边对等角8．写出下列命题的逆命题，并判断真假．(1)如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个内角都相等；(2)如果a＝5，那么a(a－5)＝0.(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.【解】(1)如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形．是真命题．(2)如果a(a－5)＝0，那么a＝5.是假命题．(3)如果a＝0，b＝0，那么ab＝0.是真命题．9．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出它的逆定理．(1)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；(2)三角形的外角和等于360°；(3)等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线互相重合．【解】(1)有逆定理．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的两边及其夹角对应相等．(2)无逆定理．(3)有逆定理．若一个三角形的一个角的平分线与这个角所对边上的高线互相重合，则这个三角形是等腰三角形．10．对于以下说法：①如果一个命题是真命题，那么它的逆命题不一定是真命题；②每个定理都有逆定理；③基本事实是通过推理判断为正确的命题；④“同位角相等”是定理．其中正确的说法有(A)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解】命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角．从这个例子可看出①对②错．定理是通过推理判断为正确的命题，故③错．“同位角相等”是假命题，定理都是真命题，故④错．11. 材料：如果两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则称这两个命题互为否命题．逆命题的否命题称为逆否命题．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则1－q有平方根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号有(C)A．①②③B．③④C．①③D．①④【解】①逆命题是：若x，y互为相反数，则x＋y＝0.它是真命题．②否命题是：若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题．③逆命题是：若1－q有平方根，则q≤1.它是真命题．④逆否命题是：三个内角不相等的三角形是等边三角形．它是假命题．12．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．(第12题解)【解】逆命题：如果两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等．反例：如解图所示，l1∥l2，△ABC和△BCD同底等高，∴△ABC的面积等于△BCD的面积，但△ABC和△BCD不全等．故此定理没有逆定理．13．已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝－a；②若ma2>na2，则m>n；③对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(B)A. 0B. 1C. 2D. 3【解】①命题“若a≤0，则|a|＝－a”是真命题，逆命题为“若|a|＝－a，则a≤0”，是真命题；②命题“若ma2>na2，则m>n”是真命题，逆命题为“若m>n，则ma2>na2”，是假命题；③命题“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题．所以原命题与逆命题均为真命题的个数是1.。

13.9逆命题、逆定理1．下列语言是命题的是( )A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等2．下列命题中真命题的个数是( )①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则其斜边为10；、②直角三角形的最大边长为3，最小边长为1，则另一边长为2；③在直角三角形中，若两直角边边长为9和40，则斜边长为41；④等腰三角形的面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．A．1个B．2个c．3个D．4个3．下列命题的逆命题是真命题的是( )A．直角都相等B．钝角都小于180。

C．如果x2+y2=0，那么x=y=0D．对顶角相等4．下列说法中，正确的是( )A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题D．定理、公理都应经过证明后才能用5．下列这些真命题中，其逆命题也真的是( )A．全等三角形的对应角相等B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形C．等边三角形是锐角三角形D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半6．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )A．8，15，17 B．4，5，6 C．5，8，10 D．8，39，407．证明一个命题是假命题的方法有__________．8．将命题“所有直角都相等”改写成“如果……那么…”的形式为___________。

9．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

10．如图1所示，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+b＝4，ab=1，c=14。

试判断△ABC的形状．11．下列说法中，正确的是( )A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题12．下列定理中，没有逆定理的是( )A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行13．已知：如图2所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．14．如图3所示，△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离都相等，则这个距离是多少?15．下列命题中的真命题是( )A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角16．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．3个17．小明家、小红家、学校的距离如图4所示，学校在小明家的正东方向，那么小红家在小明家哪个方向?18．某民航飞机在大连海域失事，为调查失事原因，决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子．如图5所示，一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行，在A处测得黑匣子B在北偏东60。

浙教新版八年级上学期《2.5 逆命题和逆定理》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．2．利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）4．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．5．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．6．阅读以下证明过程：已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a．求证：a2+b2≠c2．证明：假设a2+b2＝c2，则由勾股定理逆定理可知∠C＝90°，这与已知中的∠C ≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．请用类似的方法证明以下问题：已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b＝0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2．7．（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即；（2）写出命题“一次函数y＝kx+b，若k＞0，b＞0，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明．8．证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．9．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．10．用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．11．（用反证法证明）已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b．12．用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是钝角”已知：△ABC求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角证明：假设．13．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么∴∠A+∠B+∠C＞这与三角形相矛盾．∴假设不成立∴．14．用反证法证明（填空）：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．求证：l1l2证明：假设l1l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P180°所以∠1+∠2180°，这与矛盾，故不成立．所以．15．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”证明：假设所求证的结论不成立，即∠A60°，∠B60°，∠C60°，则∠A+∠B+∠C＞．这与相矛盾．∴不成立．∴．16．在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝1．求证：∠A≠30°．17．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．18．用反证法证明：若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行．19．求证：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．20．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：（1）若，则a＝3；（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE＝CF．则AD 是△ABC的中线．21．反证法证明：如果实数a、b满足a2+b2＝0，那么a＝0且b＝0．22．能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由．23．在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素分别相等，这两个三角形也未必全等．（1）试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长．（2）为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）．24．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．25．求证：在△ABC中至多有两个角大于或等于60°．26．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．27．用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．28．如图，已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分．29．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°．求证：l1与l2不平行．证明：假设l1l2，则∠1+∠2180°（两直线平行，同旁内角互补）这与矛盾，故不成立．所以．30．求证：在△ABC中，∠B≠∠C，则AB≠AC（提示：反证法）31．仿照课本中“证明是无理数”的方法求证：是无理数．32．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，请你利用反证法证明∠DAB是一个锐角．33．用反证法证明：三角形中不能有两个角是直角或钝角．34．用反证法证明：△ABC的三个内角中至少有两个锐角．35．用反证法，求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行．36．证明任意四个连续整数之和不可能是384．37．用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于60°．38．用反证法证明：等腰三角形的底角相等．39．用反证法证明：垂直于同一条直线的两条直线互相平行．40．用反证法证明：平行于同一条直线的两条线平行．41．用反证法证明：如果x＞，那么x2+2x﹣1≠0．42．设a，b，c是不全相等的任意实数，若x＝b2﹣ac，y＝c2﹣ab，z＝a2﹣bc．求证：x，y，z至少有一个大于零．43．求证：点（x+1，2x+1）一定不在第二象限．44．用反证法证明：△ABC中至少有两个角是锐角．45．用反证法证明：三角形中的最大角不可能小于60°．46．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于．47．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的中点，且BD≠CE，求证：AB≠AC．48．如图，a⊥b，c与b不垂直．求证：a与c必相交．49．平面上有A、B、C三点，在此平面上能否找到一个点O，使点O到A、B、C三点的距离相等？如果能，请作出这个点；如果不能，请用反证法加以证明．50．已知：如图，在△ABC中，∠BAC的外角平分线与BC的延长线交于点E．求证：AB≠AC．浙教新版八年级上学期《2.5 逆命题和逆定理》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．【分析】当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．2．利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．【分析】根据反证法的证明方法假设出命题，进而证明即可．【解答】证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A、∠B为钝角，∴∠A+∠B＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立原命题正确．【点评】此题主要考查了反证法，需熟练掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）【分析】运用反证法进行求解：（1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．【解答】证明：假设PB≥PC．把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，∵PB≥PC，PB＝CD，∴CD≥PC，∴∠CPD≥∠CDP，又∵AP＝AP，∴∠APD＝∠ADP，∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，又∵∠APB＝∠ADC，∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，∴PB≥PC不成立，综上所述，得：PB＜PC．【点评】此题主要考查了反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．4．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．【分析】根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，第二步得出矛盾：A+B+C＝90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角，从而得出原命题正确．【解答】证明：假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A＝∠B＝90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角．【点评】此题主要考查了反证法的应用，反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．5．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．【分析】用反证法证明；先设等腰三角形的底角是直角或钝角，然后得出假设与三角形内角和定理相矛盾，从而得出原结论成立．【解答】证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C＝180°，而∠A+∠B+∠C＝180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角【点评】本题考查的是反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．6．阅读以下证明过程：已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a．求证：a2+b2≠c2．证明：假设a2+b2＝c2，则由勾股定理逆定理可知∠C＝90°，这与已知中的∠C ≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．请用类似的方法证明以下问题：已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b＝0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2．【分析】假设x1＝x2，则方程x2﹣2abx+2a+2b＝0有两个相等的实数根，即判别式△＝0，据此即可得到a和b的关系，然后根据a、b是正整数从而得到错误的结论，从而证明△＝0错误，得到所证的结论．【解答】证明：假设x1＝x2，则方程x2﹣2abx+2a+2b＝0有两个相等的实数根，∴△＝4a2b2﹣8a﹣8b＝4a2b2﹣4（2a+2b）＝0，则a2b2＝2a+2b，a2b2＝2（a+b）．∵a、b是正整数，∴2（a+b）是偶数，∴a2b2也是偶数，又∵a、b为正整数，∴a、b中必有一个是2的倍数，不妨设a是偶数，即a是2的倍数，则a2是4的倍数．∴a2b2是4的倍数．∴a+b是2的倍数．∵a是2的倍数，a2b2＝2（a+b），∴＝a+b，＝，＝+．∵a、b是偶数，∴位正偶数，∴+为正整数．又∵a、b位偶数，∴a＝b＝2，此时，a2b2＝16，而2（a+b）＝8，a2b2≠2（a+b）与事实不符．∴△≠0，即x1≠x2．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．7．（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于60°；（2）写出命题“一次函数y＝kx+b，若k＞0，b＞0，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明．【分析】（1）直接利用反证法的第一步分析得出答案；（2）利用命题与定理，首先写出假命题进而得出答案；【解答】解：（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于60°；故答案为：三角形内角中全都小于60°；（2）逆命题：“一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则k＞0，b＞0，”逆命题为假命题，反例：当b＝0时，一次函数图象也不过第二象限（不唯一）．【点评】此题主要考查了反证法以及命题与定理，正确写出逆命题是解题关键．8．证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【分析】利用反证法的步骤，首先假设原命题错误，进而得出与三角形内角和定理矛盾，从而证明原命题正确．【解答】证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，则∠A+∠B+∠C＜180°，这与三角形内角和定理矛盾，故假设错误，即原结论成立，在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【点评】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的证明步骤是解题关键．9．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．【分析】首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，根据三角形的内角和等于180°，得到矛盾，所以假设不成立，进而证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．【解答】已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，求证：∠1＝∠A+∠B，证明：假设∠1≠∠A+∠B，在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠2，∵∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2，∴∠1＝∠A+∠B，与假设相矛盾，∴假设不成立，∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B．【点评】本题考查了反证法的运用，反证法的一般解题步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．10．用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．【分析】首先假设BN、CM能互相平分，利用平行四边形的性质进而求出即可．【解答】已知在△ABC中，M、N分别是边AB、AC上的点，求证：BN、CM不能互相平分．证明：假设BN、CM能互相平分，则四边形BCNM为平行四边形，则BM∥CN，即：AB∥AC，这与在△ABC中，AB、AC交于A点相矛盾，所以BN、CM能互相平分结论不成立，故BN、CM不能互相平分，【点评】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的步骤是解题关键．11．（用反证法证明）已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b．【分析】用反证法进行证明；先假设原命题不成立，然后经过推导得出与已知或定理相矛盾，从而证得原结论正确．【解答】证明：假设a与b相交，则过M点有两条直线平行于直线c，这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，所以a∥b．【点评】考查了反证法．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，只要否定其一即可．12．用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是钝角”已知：△ABC求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角证明：假设．【分析】根据反证法的证明方法假设出命题，进而证明即可．【解答】证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A、∠B为钝角，∴∠A+∠B＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立原命题正确．【点评】此题主要考查了反证法，需熟练掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．13．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°∴∠A+∠B+∠C＞180°这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立，∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．14．用反证法证明（填空）：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．求证：l1∥l2证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和定理）所以∠1+∠2＜180°，这与已知矛盾，故假设不成立．所以l1∥l2．【分析】用反证法证明问题，先假设结论不成立，即l1不平行l2，根据三角形内角和定理，可得∠1+∠2+∠P＝180°，与已知相矛盾，从而证得l1与l2平行．【解答】证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2＝180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l1∥l2．【点评】此题主要考查了反证法的证明，反证法证明问题，是常见的证明方法，关键是找出与已知相矛盾的条件．15．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”证明：假设所求证的结论不成立，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，则∠A+∠B+∠C＞180°．这与内角和180°相矛盾．∴假设不成立．∴求证的命题正确．【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【解答】解：证明：假设所求证的结论不成立，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，则∠A+∠B+∠C＞180°．这与内角和为180°相矛盾．则假设不成立．则求证的命题正确．故答案为：＞，＞，＞，180°，内角和180°，假设，求证的命题正确．【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．16．在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝1．求证：∠A≠30°．【分析】首先假设结论不成立，即∠A＝30°，利用勾股定理逆定理得出∠C＝90°，进而得出矛盾，从而得出结论成立，即∠A≠30°．【解答】证明：假设结论不成立，即∠A＝30°，∵，∴△ABC是Rt△，且∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴，这与BC＝1矛盾，∴假设不成立，∴结论成立，即∠A≠30°．【点评】此题主要考查了反证法的证明，利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．17．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．【分析】（1）真命题，不管底角还是顶角为60°，都可推出等腰三角形的每个角都为60°（2）假命题，举一个反例即可．【解答】解：（1）真命题，（2）假命题．假设原命题为真命题，那么在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝130°，则△ABC就应该是锐角三角形；而实际上△ABC就应该是钝角三角形，所以假设错误，所以原命题为假命题．【点评】本题考查了命题的判断，可反证法来证明．18．用反证法证明：若两条直线都平行于第三条直线，则这两条直线平行．【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此得出假设与已知定理矛盾，进而得出答案．【解答】证明：如图所示：已知l1‖l3，l2‖l3，假设l1不平行于l2，l1‖l3则l2不平行于l3与条件l2‖l3矛盾，所以l1‖l2．【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．19．求证：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．【分析】用反证法进行证明；先设任意三角形的三个外角中有2个直角，然后得出假设与三角形内角和定理相矛盾，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设任意三角形的三个外角中有2个直角，因为两个外角为直角，则相邻两个内角也为90°，再加上一个角一定大于180°，与三角形内角和为180°矛盾，所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角．【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，这里三角形的三个外角中至多有一个直角反面是三角形的三个外角中有两个或三个为直角．20．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：（1）若，则a＝3；（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE＝CF．则AD 是△ABC的中线．【分析】（1）利用a＝﹣3时，，但a≠3，得出命题错误；（2）利用已知得出△BED≌△CFD，进而求出BD＝CD，得出AD是△ABC的中线．【解答】（1）解：是假命题，当a＝﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题；（2）是真命题，证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠DFC＝∠DEB＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）∴BD＝CD，∴AD是△ABC的中线，∴所以命题（2）是真命题．【点评】此题主要考查了判断命题的正确性以及全等三角形的判定与性质，得出△BED≌△CFD是解题关键．21．反证法证明：如果实数a、b满足a2+b2＝0，那么a＝0且b＝0．【分析】由于结论a＝0且b＝0的否定为：a≠0或b≠0，由此推理得出矛盾，问题得证．【解答】证明：假设a≠0或b≠0，∵（1）当a≠0且b≠0，∴a2＞0，b2＞0，∴a2+b2＞0，∴与a2+b2＝0出现矛盾，故假设不成立，原命题正确．同理可得：（2）a≠0且b＝0，（3）a＝0且b≠0时，与a2+b2＝0出现矛盾，故假设不成立，原命题正确．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，从而得到所求，属于基础题．22．能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由．【分析】可根据已知假设能填列出相应的等式进行推理，推出与已知相矛盾，说明能填不成立，故不能填．【解答】解：不能填，理由如下：设所填的互不相同的4个数为a，b，c，d；则有①﹣②得c2﹣d2＝d2﹣c2∴c2＝d2因为：c≠d，只能是c＝﹣d④同理可得c2＝b2因为c≠b，只能c＝﹣b⑤比较④，⑤得b＝d，与已知b≠d矛盾，所以题设要求的填数法不存在．【点评】此题是考查运用反证法推理问题，关键是根据已知假设能填列出相应的等式进行推理．23．在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素分别相等，这两个三角形也未必全等．（1）试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长．（2）为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）．【分析】（1）本题可以举出一个实例，让它满足题目的已知条件而结论不满足．相等的几个元素对应的位置不同，则两个三角形就不全等．（2）要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再写出另一个△A′B′C′的三边长ka、k2a、k3a；然后根据三角形三边关系定理确定k的取值范围．【解答】解：（1）如下图，△ABC与△A′B′C′是相似的（相似比为），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的．（5分）（答案不唯一）（2）容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的．（2分）设小△ABC的三边长分别为a、b、c，且不妨设a＜b＜c，由小△ABC到大△A′B′C′的相似比为k，则k＞1．∵△A′B′C′的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc∴在△ABC中，与△A′B′C′中两边对应相等的两条边只可能是b与c∵b＜c＜kc∴在△A′B′C′中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb∴．∴由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（a、b、c成公比为k的等比数列），这个系数恰为△ABC与△A′B′C′的相似比k．下面考虑相似比k所受到的限制：∵△ABC的三边长分别为a、ka、k2a，且a＞0，k＞1∴a+ka＞k2a解之得1＜k＜（注：≈1.618）（4分）因此构造反例时，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再设定一个1～1.168之间的放大系数k，从而写出另外两条边的长ka、k2a．然后在△ABC的基础上，以前面的放大系数k为相似比，再写出另一个△A′B′C′的三边长ka、k2a、k3a．通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例．（1分）【点评】本题主要考查了构造反例的方法．是较难把握的问题．24．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．【分析】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设它们所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”知它们所对的角也相等，这就与题设两个角不等相矛盾，因此假设不成立，故原结论成立．【点评】本题结合等腰三角形的性质考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．25．求证：在△ABC中至多有两个角大于或等于60°．【分析】用反证法进行证明；先设三角形中，三个内角都大于60°，然后得出假设与三角形内角和定理相矛盾，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设一个三角形中有3个内角大于60°，则∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°；∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾，故在△ABC中至多有两个角大于或等于60°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理和反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．26．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．【分析】首先假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，利用多项式乘以多项式得出（2n+1）（2p+1）＝2（2np+n+p）+l，进而得出矛盾，则原命题正确．【解答】证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，（n、p为整数），。

2.5逆命题和逆定理同步练习一．选择题（共10小题）1．（2016•聊城模拟）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°2．（2016春•普宁市期末）已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（）A．∠A=∠B B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠C3．（2016春•户县期末）用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设（）A．a不垂直与c B．a，b都不垂直与cC．a⊥b D．a与b相交4．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a=1，b=﹣2 B．a=0，b=﹣1 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=2，b=﹣15．（2016春•杭州期末）选择用反证法证明“已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A，∠B，∠C三个内角中至少有一个角大于或等于60°”时，应先假设（）A．∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°B．∠A≥60°，∠B≥60°，∠C≥60°C．∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°D．∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°6．（2016春•禹州市期中）下列定理有逆定理的是（）A．直角都相等B．同旁内角互补，两直线平行C．对顶角相等D．全等三角形的对应角相等7．下列说法正确的是（）A．每个定理都有逆定理B．每个命题都有逆命题C．假命题没有逆命题 D．真命题的逆命题是真命题8．（2016•衡阳）下列命题是假命题的是（）A．经过两点有且只有一条直线B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半C．平行四边形的对角线相等D．圆的切线垂直于经过切点的半径9．（2016•大庆）如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．（2016•孝感模拟）下列命题：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题）11．写出“对顶角相等”的逆命题______．12．（2016春•灌云县期末）“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是______．13．（2016春•台州校级月考）线段垂直平分线性质定理的逆定理是______．14．（2016春•江西期末）若a2=b2，则a=b，这个命题是______（填“正确的”或“错误的”）．15．定理：角平分线上的点到这个角的______相等．逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的______上．16．举例说明命题“如果a2≠b2，那么a≠b”的逆命题为假命题______．17．某中学教工家属院住着3户祖孙3代都是教师的教师之家，说来也巧，9个教师分别教数学、语文和英语，不但每户的祖孙3人所教学科互不相同，而且同辈份的3人所教学科也互不相同．现知爷爷辈中语文教师的儿子不教数学，那么爷爷辈中英语老师的孙子教______三．解答题（共10小题）18．（用反证法证明）已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b．19．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）20．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”证明：假设所求证的结论不成立，即∠A______60°，∠B______60°，∠C______60°，则∠A+∠B+∠C＞______．这与______相矛盾．∴______不成立．∴______．21．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）22．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么______∴∠A+∠B+∠C＞______这与三角形______相矛盾．∴假设不成立∴______．23．证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．24．（2016春•揭阳校级月考）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．25．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）26．用反证法证明（填空）：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求证：l1______l2证明：假设l1______l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P______180°______所以∠1+∠2______180°，这与______矛盾，故______不成立．所以______．27．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：（1）若，则a=3；（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．2.5逆命题和逆定理同步练习参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•聊城模拟）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．故选：D．2．（2016春•普宁市期末）已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（）A．∠A=∠B B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠C【解答】解：∠B≠∠C的反面是∠B=∠C．故可以假设∠B=∠C．故选C．3．（2016春•户县期末）用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设（）A．a不垂直与c B．a，b都不垂直与cC．a⊥b D．a与b相交【解答】解：用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设a与b相交，故选：D．4．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a=1，b=﹣2 B．a=0，b=﹣1 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=2，b=﹣1【解答】解：∵a=1，b=﹣2时，a=0，b=﹣1时，a=﹣1，b=﹣2时，a＞b，则a2＜b2，∴说明A，B，C都能证明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故A，B，C不符合题意，只有a=2，b=﹣1时，“若a＞b，则a2＞b2”是真命题，故此时a，b的值不能作为反例．故选：D．5．（2016春•杭州期末）选择用反证法证明“已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A，∠B，∠C三个内角中至少有一个角大于或等于60°”时，应先假设（）A．∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°B．∠A≥60°，∠B≥60°，∠C≥60°C．∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°D．∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°【解答】解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．故选：C．6．（2016春•禹州市期中）下列定理有逆定理的是（）A．直角都相等B．同旁内角互补，两直线平行C．对顶角相等D．全等三角形的对应角相等【解答】解；A、直角都相等的逆命题是相等的角是直角，错误；B、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，正确；C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误；D、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，错误；故选B．7．下列说法正确的是（）A．每个定理都有逆定理B．每个命题都有逆命题C．假命题没有逆命题 D．真命题的逆命题是真命题【解答】解：A、每个定理的逆命题不一定正确，故不一定都有逆定理，故错误；B、每个命题都有逆命题，正确；C、假命题也有逆命题，故错误；D、真命题的逆命题不一定是真命题，故错误，故选B．8．（2016•衡阳）下列命题是假命题的是（）A．经过两点有且只有一条直线B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半C．平行四边形的对角线相等D．圆的切线垂直于经过切点的半径【解答】解：A、经过两点有且只有一条直线，正确．B、三角形的中位线平行且等于第三边的一半，正确．C、平行四边形的对角线相等，错误．矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等．D、圆的切线垂直于经过切点的半径，正确．故选C．9．（2016•大庆）如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：如图所示：当①∠1=∠2，则∠3=∠2，故DB∥EC，则∠D=∠4，当②∠C=∠D，故∠4=∠C，则DF∥AC，可得：∠A=∠F，即⇒③；当①∠1=∠2，则∠3=∠2，故DB∥EC，则∠D=∠4，当③∠A=∠F，故DF∥AC，则∠4=∠C，故可得：∠C=∠D，即⇒②；当③∠A=∠F，故DF∥AC，则∠4=∠C，当②∠C=∠D，则∠4=∠D，故DB∥EC，则∠2=∠3，可得：∠1=∠2，即⇒①，故正确的有3个．故选：D．10．（2016•孝感模拟）下列命题：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①两点确定一条直线，正确，是真命题；②两点之间，线段最短，正确，是真命题；③对顶角相等，正确，是真命题；④两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题；正确的有3个，故选：C．二．填空题（共7小题）11．（2015春•邳州市期末）写出“对顶角相等”的逆命题相等的角是对顶角．【解答】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．12．（2016春•灌云县期末）“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是锐角三角形是等边三角形．【解答】解：其逆命题是：锐角三角形是等边三角形．13．（2016春•台州校级月考）线段垂直平分线性质定理的逆定理是到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．【解答】解：∵线段垂直平分线性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，∴其逆定理为到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，故答案为：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．14．（2016春•江西期末）若a2=b2，则a=b，这个命题是错误（填“正确的”或“错误的”）．【解答】解：∵（﹣1）2=12，﹣1≠1，∴若a2=b2，则a=b，这个命题是错误的，故答案为：错误．15．定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【解答】解：根据定义可知：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．故答案为：两边的距离，平分线．16．举例说明命题“如果a2≠b2，那么a≠b”的逆命题为假命题如果﹣5≠5，而（﹣5）2=52．【解答】解：如果a2≠b2，那么a≠b的逆命题是：如果a≠b，那么a2≠b2．如果﹣5≠5，而（﹣5）2=52．故如果a≠b，那么a2≠b2为假命题．故答案为：如果﹣5≠5，而（﹣5）2=52．17．某中学教工家属院住着3户祖孙3代都是教师的教师之家，说来也巧，9个教师分别教数学、语文和英语，不但每户的祖孙3人所教学科互不相同，而且同辈份的3人所教学科也互不相同．现知爷爷辈中语文教师的儿子不教数学，那么爷爷辈中英语老师的孙子教语文【解答】解：由每户的祖孙3人所教学科互不相同，而且同辈份的3人所教学科也互不相同．爷爷辈中语文教师的儿子不教数学可以推出第一户儿子教英语，孙子教数学，再由问题中的爷爷教英语和第一户儿子教英语，孙子教数学，可以推出爷爷辈中英语老师的孙子不能教数学，故：爷爷辈中英语老师的孙子教语文．三．解答题（共10小题）18．（用反证法证明）已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b．【解答】证明：假设a与b相交，则过M点有两条直线平行于直线c，这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，所以a∥b．19．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）【解答】证明：假设AB与EF不垂直，则∠AME≠90°，∵AB∥CD，∴∠AME=∠CNE，∴∠CNE≠90°，这与CD⊥EF相矛盾，∴AB⊥EF．20．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”证明：假设所求证的结论不成立，即∠A ＞60°，∠B ＞60°，∠C ＞60°，则∠A+∠B+∠C＞180°．这与内角和180°相矛盾．∴假设不成立．∴求证的命题正确．【解答】解：证明：假设所求证的结论不成立，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，则∠A+∠B+∠C＞180°．这与内角和为180°相矛盾．则假设不成立．则求证的命题正确．故答案为：＞，＞，＞，180°，内角和180°，假设，求证的命题正确．21．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）【解答】证明：①假设PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，∴PB=PC是不可能的．②假设PB＞PC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，∴PB＞PC是不可能的．综上所述，得：PB＜PC．22．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°∴∠A+∠B+∠C＞180°这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【解答】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立，∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．23．证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【解答】证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，则∠A+∠B+∠C＜180°，这与三角形内角和定理矛盾，故假设错误，即原结论成立，在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．24．（2016春•揭阳校级月考）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．【解答】证明：假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，则A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A=∠B=90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角．25．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）【解答】证明：①假设PB=PC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，在△ABP和△ACP中∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，∴PB=PC是不可能的．②假设PB＞PC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，∴PB＞PC是不可能的．综上所述，得：PB＜PC．26．用反证法证明（填空）：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求证：l1∥l2证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P = 180°（三角形内角和定理）所以∠1+∠2 ＜180°，这与已知矛盾，故假设不成立．所以l1∥l2．【解答】证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），所以∠1+∠2＜180°，这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，l1∥l2．27．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：（1）若，则a=3；（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．【解答】（1）解：是假命题，当a=﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题；（2）是真命题，证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠DFC=∠DEB=90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）∴BD=CD，∴AD是△ABC的中线，∴所以命题（2）是真命题．初中数学试卷。

2.5 逆命题和逆定理A组1．下列说法中，正确的是(A)A．每一个命题都有逆命题B．假命题的逆命题一定是假命题C．每一个定理都有逆定理D．假命题没有逆命题2．下列命题的逆命题为真命题的是(C)A．直角都相等B．钝角都小于180°C．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0 D．同位角相等3．下列定理中，有逆定理的是(D)A．对顶角相等B．同角的余角相等C．全等三角形的对应角相等D．在一个三角形中，等边对等角(第4题)4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB5．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是假命题，请举出反例．(1)若x＝y＝0，则x＋y＝0．(2)等腰三角形的两个底角相等．【解】(1)逆命题：若x＋y＝0，则x＝y＝0．这个逆命题是假命题．反例：当x ＝－1，y＝1时，x＋y＝0，但x≠0，y≠0．(2)逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．6．写出下列各命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．(1)相等的角是内错角．(2)两直线平行，同旁内角互补．【解】(1)“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”，原命题与逆命题都是假命题，不是互逆定理．(2)“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为“同旁内角互补，两直线平行”，原命题和逆命题是互逆定理．7．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．(第7题)【解】连结BC．∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．又∵点E在AD上，∴EB＝EC．B组8．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．【解】逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．原命题是假命题．反例：如解图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD＝45°，∠EBF ＝135°，即∠CAD≠∠EBF．(第8题解)逆命题是假命题．反例：如解图②，∠CAD＝∠EBF，但显然AC与BE，BF都不垂直．9．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．【解】逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如解图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．(第9题解)求证：△ABC为等腰三角形．证明：连结AD．∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S△ABD＝12AB·DE，S△ACD＝12AC·DF．又∵DE＝DF，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．10．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．【解】逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．反例：如解图所示，l1∥l2，△ABC和△BCD同底等高，∴△ABC的面积等于△BCD的面积，但△ABC和△BCD不全等．故该定理没有逆定理．(第10题解)数学乐园11．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．【解】逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．是真命题．(第11题解)已知：如解图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC．求证：△ABC是等腰三角形．证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE，CE．∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA，∴△BDE≌△CDA(SAS)．∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．∴∠BAD＝∠BED．∴AB＝BE．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．。