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(能 )
知识探究
1.对数的概念 x=logaN , 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 其中a叫做对数的 底数 ,N叫做 真数 . 2.常用对数与自然对数
(1)常用对数:通常我们将以10 为底的对数叫做常用对数,记作lg N (2)自然对数:以e为底的对数称为自然对数,记作 ln N .
1 (5)log3 =-2.(6)lo g 1 16=-2. 9 4
【备用例 1】 求下列各式 x 的取值范围. (1)log(x-1)(x+2);
解:(1)因为 log(x-1)(x+2),
x 2 0, 所以 x 1 0, 解得 x>1 且 x≠2, x 1 1,
即时训练 1-1:将下列指数式与对数式互化: (1)log216=4;(2)lo g 1 27=-3;
3
(3)lo g 3 x=6;(4)43=64; (5)3-2=
1 1 ;(6)( )-2=16. 9 4
1 解:(1)24=16.(2)( )-3=27. 3
6 (3)( 3 ) =x.(4)log464=3.
(A)(1,3)
(B)(1,2)∪(2,+∞)
(C)(3,+∞) (D)(1,2)∪(2,3)
4.(性质)log2 答案:1
0181+log2 0182
018=
.
5.(性质)log33+ 3log 2 =
3
.
答案:3
课堂探பைடு நூலகம்·素养提升
题型一 对数的概念
【例 1】 (2017·巴彦淖尔高一期中)将下列指数形式化成对数形式,对数形式 化成指数形式. (1)5 =625;
1 (2)( )m=5.73; 3
4
解:(1)log5625=4.
(2) log 1 5.73 =m.
3
(3)ln 10=2.303;
(4)lg 0.01=-2.
解:(3)e2.303=10. (4)10-2=0.01.
在利用ax=N(a>0,且a≠1)⇔x=logaN(a>0,且a≠1)进行 误区警示 互化时,要分清各字母或数字分别在指数式和对数式中的位置.
(1)log5(log3x)=0;
(2)log3(lg x)=1; (3)ln[log2(lg x)]=0. 解:(1)设t=log3x,则log5t=0, 所以t=1,即log3 x=1,所以x=3. (2)由log3(lg x)=1,得lg x=3, 故x=103=1 000. (3)由ln[log2(lg x)]=0, 得log2(lg x)=1,所以lg x=2,故x=102=100.
【拓展延伸】 1.指数式与对数式的互化 (1)对数式logaN=x是由指数式ax=N而来的,两式底数相同,对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值N,而对数值x是指数式中的幂指数.对数式与指数式 的关系如图.
(2)由于正数的任何次幂都是正数,即ax>0(a>0),故N=ax>0.因此logaN只有
在a>0,且a≠1,N>0时才有意义.
所以 x 的取值范围是{x|x>1 且 x≠2}.
(2)log(x+3)(x+3).
解:(2)因为 log(x+3)(x+3),
x 3 0, 所以 x 3 1,
解得 x>-3 且 x≠-2, 所以 x 的取值范围是{x|x>-3 且 x≠-2}.
题型二 对数的简单性质 【例2】 求下列各式中x的值.
2.2 2.2.1
对数函数 对数与对数运算 对 数
第一课时
目标导航
1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质. 课标要求 2.掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性
质解方程.
素养达成 通过本节内容的学习,使学生感受对数的性质及应用,提 高学生逻辑推理、数学运算能力.
新知探求
课堂探究
新知探求·素养养成
3.对数loga N(a>0,且a≠1)具有下列简单性质 (1) 负数和零 没有对数,即N > 0; (2)1的对数为 零 (3)底数的对数等于 1 ,即loga1= 0 ,即logaa= 1 ; ;
.
(4) a log
a
N
=
N
.
探究:为什么零和负数无对数? 答案 : 由对数的定义 :ax=N(a>0 且a≠1), 则总有 N>0, 所以转化为对数式 x= loga N时,不存在N≤0的情况.
自我检测
1.(对数概念)下列选项中,可以求对数的是( C (A)0 (B)-5 (C)π (D)-x2 ) 2.(指对互化)若b=a2(a>0且a≠1),则有( D (A)log2b=a (B)log2a=b (C)logba=2 (D)logab=2 3.(对数概念)在对数式logx-1(3-x)中,实数x的取值范围应该是( D ) )
在规定了a>0,a≠1,N>0后,logaN的值便随着a,N的确定而唯一确定了.根据 这一规定,我们知道并不是每一个指数式都能直接改写成对数式.如(-2)2=4,
不能写成log-24=2,只有a>0,a≠1,N>0时,才有ax=N⇔x=logaN.
2.对数运算性质的证明 (1)对数的运算性质的证明 设logaM=p,logaN=q. 由对数的定义可得M=ap,N=aq, 所以MN=ap· aq=ap+q, 所以loga(MN)=p+q, 即证得loga(MN)=logaM+logaN. (2)对于性质(1),可做如下推广:loga(N1· N2· …· Nn)=logaN1+logaN2+…+logaNn (Ni>0,i=1,2,3,…,n). (3)对于上述运算性质,都要注意只有当所有的对数式都有意义时,等式才能成 立.如log2[(-3)×(-5)]=log2(-3)+log2(-5)是错误的. (4)在运用对数的运算性质时,要特别注意性质的逆应用.如lg 2+lg 5=lg 10=1.
【情境导学】
导入 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个…依此类推,那么1 个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少?分裂多少次得到细胞个数为8
个,16个呢?
解:1个细胞分裂x次得到细胞个数N=2x,因为23=8,24=16,所以N=8时,x=3; N=16时,x=4,即细胞分裂3次,4次分别得到细胞个数为8个,16个. 想一想 如果已知细胞分裂后的个数N,能求出分裂次数x吗?
