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概率统计中的数学思想方法
概率统计的数学思想是高校与高等教育中不可或缺的数学基础性理论方法。
它
是将经验性数据可定量表示和定性描述在数学上的一种方法，通过它可以分析问题、预测结果和作出决策。
概率统计的数学思想能够帮助教育工作者结合经济、政治、技术、文化等诸多要素，使复杂问题变得更为简单并得出准确结论，甚至使不可能的事件可行。
概率统计的数学思想给教育界带来了极大的好处，比如说，它可以用来预测学
生的学习成绩，进而精准的给学生分配资源，以达到教学目标和教育效果的最大化；它可以解决教育筹资问题，从而帮助学校把资源和投入有效的分配；还可以帮助教育研究者们研究各项教育数据，从中分析教育模式及其影响，从而开始新思维。
此外，概率统计的数学思想也为学生打开了另一扇大门，让学生们学会以更加
客观的态度去思考和解决问题，它可以用来研究复杂的事件的关系，从而帮助学生思考问题的角度，用合理的方法解决问题，让学生学会构思解决问题的思路。
总之，概率统计提供了一种数学思想方法，可以帮助学生和教育者更加客观
地看待问题，理性思考问题，更好地管理和解决教育问题。
它不仅可以帮助提高教育质量，而且对于学生们也有着极大的帮助。
数学思想解概率题大盘点数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力的桥梁,能否有意识地运用数学思想方法解答数学问题,是衡量数学素养和数学能力的重要指标。
概率知识引入高中数学教材是新课程的一个亮点,由于它是考查学生数学应用和实践能力的有效的载体,在实际生活中也有很重要的意义。
在知识网络的交汇处设计试题,考查多种分支知识及多种思想方法。
因此在今后的高考中,其体现的力度仍将会逐渐加大。
本文谈一谈概率解题中所需要的数学思想方法,以期对同学们有所帮助。
一、分类讨论思想在数学解题中,将问题划分为几种情况,使条件具体化、问题简单化,并对每种情况分别讨论,各个击破,最终使整个问题获解,这就是分类讨论。
分类讨论是一种重要的数学思想方法,同时更是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想。
由于分类讨论的思想具有明显的逻辑性、综合性、探索性,所以历年高考中必考分类讨论型的数学问题,用以考查学生数学思维的条理性和概括性.例1:某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是0.5(相互独立),求:(1)至少3人同时上网的概率;(2)至少几个人同时上网的概率小于0.3。
解析:(1)“至少3人同时上网的概率”可转化为恰有3人同时上网,恰有4人同时上网,恰有5人同时上网,恰有6人同时上网四种类型,即“至少3人同时上网的概率”为:c■■×(0.5)■+c■■×(0.5)■+c■■×(0.5)■+c■■×(0.5)■=■答:至少3人同时上网的概率是■。
(2)“至少4人同时上网的概率”为c■■×(0.5)■+c■■×(0.5)■+c■■×(0.5)■=■>0.3 “至少5人同时上网的概率”为c■■×(0.5)■+c■■×(0.5)■=■<0.3因此,至少5人同时上网的概率小于0.3。
二、补集思想一个命题的题设和结论是因果关系的辩证统一。
数学运算失误剖析高考中，数学试题的解答，往往少不了要运算和计算，这方面的得失，对数学成绩的影响很大。
因此，复习中，应把运算的合理性、准确性、简洁性和快速性作为基本功狠抓。
花大力气，提高计算技能和运算能力。
在历年高考中，不少考生在运算和计算上暴露出许多毛病和失误，严重阻碍了他们获取好的数学成绩。
前车之鉴，为了引起后来者的警觉，下面通过举例，剖析各种常见的运算失误，供参考。
1．未能正确使用运算法则和计算公式数学运算要求正确使用各种运算法则，包括整数、实数、复数、不等式、集合、向量、方幂、指数、对数、三角、极限、数列、函数和导数，以及排列、组合、统计和概率等各个方面的运算法则和计算公式，此外，还有几何方面的各种计算公式。
考生对这些法则和公式的使用常有误用和错用的现象发生。
例1 已知过点A (-2,m )和B(m ,4)的直线与直线2x +y -1=0平行，则m 的值为 A ．0 B ．-8 C ．2 D ．10由直线平行判别法则，得224-=+-=m mk AB ， 所以，m = -8。
这是一道比较容易的试题，而且还有多种解法（如向量法、距离法等）。
可是仍有不少考生答错，多数是列写出m 的方程时用错法则（例如把垂直法则当作平行法则），用错公式（例如把AB k 错为2、mm -+42等），以及解方程出错。
例2 求极限 （1）=-+-→9323limx x x ；（2）=+-++∞→112323limn n nn n 。
对此两题，用0作答的考生占有一定数量，反映了没有掌握好00型和∞∞-∞型的极限运算法则。
例3 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s ：t 。
现从箱中逐次取球。
每次从箱中任意取出一个球，若取到黄球，则结束取球，若取到白球，则将其放回箱中，继续下一次取球。
但取球的次数最多不超过n 次。
以ξ表示取球结束时已取到白球的次数。
（1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望。
人教版小学数学教材“统计与概率”领域中数学思想方法的渗透点梳理《数学课程标准》中明确提出：“让学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。
”为了有效落实这一总体目标，我们应该系统而有步骤地向学生渗透数学思想方法，把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。
数学教材体系有两条基本线索：一条是数学知识，这是明线，另一条是数学思想方法，这是蕴含在教材中的暗线。
小学数学教材中，无论是概念的引入、应用，还是问题的设计、解答，或是知识的复习、整理，随处可见数学思想方法的渗透和应用。
因此，教师要认真分析和研究教材，理清教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴，建立各类概念、知识点之间的联系，归纳和揭示其蕴含在数学知识中的数学思想方法。
数学思想方法，就是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，它是解决数学问题的灵魂和根本策略。
下面结合课堂实践，谈谈数学思想方法的渗透。
一、小学数学教学为什么要渗透数学思想方法？1、渗透基本数学思想方法是落实新课标精神的需求。
数学课程标准修订稿把“四基”：基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验作为目标体系。
基本思想是数学学习目标之一，其重要性不言而喻。
新教材是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜想等直观手段解决这些问题。
从而加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，提高学生数学能力和思维品质，这是数学教育实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学新课程改革的真正内涵之所在。
2、基本数学思想方法对学生的发展具有重要意义。
美国将“学会数学思想方法”作为“有数学素养”的标志。
俄罗斯把使学生形成数学思想方法列为数学教育的三大基本功任务之一。
日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。
概率中的数学思想与错解剖析长泾中学 施芳芳1.分类讨论思想例1.把写有数字1，2，3，4，5，6的6个球放入盒子中，从盒子中任意取出一个球，求：（1）球上的数是偶数的概率； （2）球上的数是奇数的概率；（3）球上的数不小于4的概率； （4）球上的数大于1的概率.思路分析：取出球上的数字分别是1，2，3，4，5，6这6个事件彼此互斥，且事件发生的概率都是61，利用分类讨论思想求解十分方便．（1）P （x 是偶数）= P （x = 2）+ P （x = 4）+ P （x = 6）21616161=++=． （2）P （x 是奇数）= P （x = 1）+ P （x = 3）+ P （x =5）21616161=++=． （3）P （4≥x ）= P （x = 4）+ P （x = 5）+ P （x = 6）21616161=++=． （4）P （x>1）= P （x = 2）+ P （x = 3）+ P （x = 4）+ P （x =5）+ P （x = 6）65=． 或者 P （x>1）= -165611)1(P 1)1(P =-==-=≤x x ． 点评：这里将某一事件看作几个彼此互斥的基本事件的和，再利用概率的加法公式，解题十分流畅、方便，同时也体现了分类思想的恰当利用．2.数形结合思想数形结合是一种重要的思想方法，在解决概率问题时，可以利用集合的enn V 图理解事件间的关系，利用表格、树状图等计算古典概型的基本事件数，利用数轴、坐标系解决几何概型中事件区域的长度、面积、体积等问题．例2.设点),(q p 在3||≤p ，3||≤q 中均匀分布，试求关于x 的方程01222=+-+q px x 的两根都是实数的概率．思路分析：本题表面上是一元二次方程问题，而求出条件之后转化为关于参数p 、q 的关系式问题，再构造平面图形，利用数形结合法求概率．解：由于点),(q p 满足3||≤p 且3||≤q ，所以点),(q p 的集合组成了边长为6的正方形（如图），其面积366S 2==．由方程01222=+-+q px x 的两根都是实数，得 0)1(4)2(22≥+--=∆q p ，即122≥+q p ．所以，当点),(q p 落在正方形内且在圆外的阴影区域（如图）内时，方程的两根都是实数， 由图可知，阴影区域的面积π-=-=361圆S S S ， 所以原方程的两根都是实数的概率为3636S S P 1π-==． 3.化归思想转化与化归思想是处理数学问题的重要思想方法之一，它的运用能使问题化繁为简、化难为易、化未知为已知，从而使问题顺利解决．解决概率问题时常常用到化归思想，比如求概率时有时要化成互斥事件的和事件；当求某事件的概率比较麻烦，但其对立事件的概率易求时，往往转化为求其对立事件的概率；求几何概型的概率，往往转化为求图形的长度比、面积比或体积比．例3.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次击中：（1）射中10环或7环的概率； （2）不够7环的概率．思路分析：对于（1），可转化为求两个互斥事件的和事件的概率，再利用加法公式求解； 对于（2），可转化为求其对立事件的概率．解：（1）设“射中10环”为事件A ，“射中7环”为事件B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为A B ．故=+=P(B)P(A)B)P(A 0.21+0.28=0.49.（2）不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7环，即7环、8环、9环、10环，但是由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理．设“不够7环”为事件E ，则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”，由（1）可知“射中7环”、“射中8环”等是彼此互斥的事件， ∴0.970.280.250.230.21)E P(=+++=从而P(E)=0.030.97-1)E P(-1==∴不够7环的概率为0.03.归纳与总结：数学的灵魂在于数学思想方法，数学思想方法的巧妙利用，可使思路畅通、化难为易、事半功倍，使问题迎刃而解．解决概率问题时也常用分类讨论、数形结合、转化与化归、随机模拟等思想方法，思想方法的运用要根据问题的特点选用，同时注意这些思想方法的使用范围．类型一：“非等可能”与“等可能”的混淆例1．掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．错解：掷两枚骰子出现的点数之和2，3，4，…，12共11种基本事件，所以概率为111P =． 剖析：以上11种基本事件不是等可能的，如点数和2只有(1，1)，而点数之和为6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为536P =． 类型二：“互斥”与“对立”的混淆例2．把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上均不对 错误答案：A剖析：本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现以以下三个方面：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C ．类型三：“互斥”与“独立”的混淆例3．甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人各投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？错解：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ．∴222233()()()0.80.20.70.30.825P A B P A P B C C +=+=⨯⨯+⨯⨯=．分析：本题错解的原因是把相互独立的事件当成互斥事件来考虑．将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．而题目的实际含义是在“甲恰好投中两次”的同时“乙恰好投中两次”，即两人都恰好投中两次为事件A B ⋅．正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A B ⋅，则222233()()()0.80.20.70.30.169344P A B P A P B C C ⋅=⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=．例4．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1 ，那么电话在响前4声内被接的概率是多少?错解：分别记“电话响第一、二、三、四声时被接”为事件1234A A A A 、、、4，且()1P A =0.1，()2P A =0.3， ()3P A = 0.4， ()4P A = 0.1，则电话在响前4声内被接的概率为 P =()1P A ⋅()2P A ⋅()3P A ⋅()4P A =0.1×0.3×0.4×0.1=0.0012．剖析：本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同时发生的事件来考虑．根据实际生活中的经验电话在响前4声内，每一声是否被接彼此互斥．所以，P =()1P A +()2P A +()3P A +()4P A ==0.1+0.3+0.4+0.1=0.9．点评：以上两例错误的原因都在于把两事件互斥与两事件相互独立混同，互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响，它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同． 类型四：“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A ⋅B)” 的混淆例5．袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．错解：记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以()P C = ()/P B A =6293=. 剖析：本题错误在于()P A B ⋅与()/P B A 的含义没有弄清, ()P A B ⋅表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而()/P B A 表示在缩减的样本空间A S 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率．正确答案：P （C ）= ()P A B ⋅= ()P A ()/P B A =46410915⨯=． 类型五：“有序”与“无序”的混淆例6．从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率．错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种以法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故任意取出4件含有10×9×8×7个基本事件．设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A 含有3713C C ⨯种取法 .48178910)(3713=⨯⨯⨯⨯=C C A P 剖析：计算任意取出4件所含基本事件的个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A 所包含的基本事件个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序．正确解法一：（都用排列方法）任意取出4件含有410A 个基本事件，A 包含371314A A A ⋅⋅个基本事件 21)(410371314=⋅⋅=∴A A A A A P 正确解法二：（都用组合方法）一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故S 含有410C 个基本事件，A 包含有3713C C ⋅个基本事件．.21)(4103713=⋅=∴C C C A P 类型六:“等可能”与“N 次独立重复实验恰有K 次发生” 的混淆例7．冰箱中放甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取一瓶甲或乙种饮料，取用时甲种或乙种饮料的概率相等.（1）求甲种饮料饮用完毕，而乙种饮料还剩下3瓶的概率.（2）求甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率错解：（1）5瓶甲种饮料饮用完毕有55C 种，乙种饮料还剩下3瓶即饮用2瓶有25C 种方法，所以求甲种饮料饮用完毕，而乙种饮料还剩下3瓶共有5255C C ⨯种可能的结果，而从10瓶中选出7瓶共有710C 种可能的结果．所以甲种饮料饮用完毕，而乙种饮料还剩下3瓶的概率为525517101P 12C C C ⨯＝＝． （2）甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶包括3种情况①甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶，有5155C C ⨯种；②甲被饮用5瓶，乙没有被饮用有55C 种；③甲被饮用4瓶，乙没有被饮用，有45C ．所以甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为51545555710C C +C +C 11=120C ⨯． 剖析：此法出错的原因是把饮用A 、B 两种饮料当作一次性取出，而每瓶被饮用的概率相等，所以用“等可能事件的概率”来解决．但实质上，每瓶饮料是一次次的取出饮用的，且A 、B 两种饮料每次被饮用的概率都为12，故应用“N 次独立重复实验恰有K 次发生的概率”来求．正解：(1)设“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A ，则1p=P(A)=2.甲种饮料饮用完毕，而乙种饮料还剩下3瓶的概率即求7次独立重复试验中事件A 发生5次的概率为5527721P (5)=C p (1-p)=128． (2) 甲种饮料被饮用的瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶包括上述3种情况，所求概率为：5555446546543P (5)P (5)P (4)C p (1p)C p +C p =16-＋＋＝＋． 类型七:“可辩认”与“不可辨认”的混淆例8．将n 个球等可能地放入到N 个编号的盒子中去（每个盒子容纳球的个数不限），求事件A=“某指定的n 个盒子中恰好各有一球的概率”．错解：将n 个球等可能地放入到N 个编号的盒子中，所有可能的结果数为n N ，而事件A 含有n!种结果．!().nn P A N ∴= 剖析：这种解法不全面，如果球是编号的（即可辨认的），则答案是对的；若球是不可辩认的，则答案完全错了．因为球是不可辩认的，故只考虑盒子中球的个数，不考虑放的是哪几个球．我们在此用符号“□”表示一个盒子，“○”表示球，先将盒子按号码排列起来 1 2 3 4 5…N这样的N 个盒子由N+1个“|”构成，然后把n 个球任意放入N 个盒子中，比如：|○|○○|…|○○○|，在这样的放法中，符号“|”和“○”共占有：N+1+n 个位置，在这N+1+n 个位置中，开始和末了的位置上必须是“|”，其余的N+n -1个位置上“|”和“O ”可以任意次序排列．则N-1个“1”和n 个“○”在中间的N+n-1个位置上的可以区别的所有可能结果数是n n N C 1-+，将n 个不可辨认的球放入指定的n 个盒子，使每盒恰有一球的放法只有1种，故事件A 含1个结果，从而.)!1()!1(!1)(1-+-==-+n N N n C A P n n N 正解：分两种情况： （1）当球是可辩认的，则;!)(nN n A P =（2）当球是不可辨认的，则=)(A P )!1()!1(!-+-n N N n ．。
