九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质第3课时圆心角弧弦弦心距间关系练习沪科版

24.2 圆的基本性质第1课时圆的相关概念及点与圆的位置关系01基础题知识点1圆的相关概念1．下列说法中，不正确的是（B）A．直径是弦B．半径确定了，圆就确定了C．圆上的点到圆心的距离都相等D．同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长2．半径为5的圆的一条弦长不可能是（D）A．3 B．5 C．10 D．123．如图所示，图中有1条直径，有3条弦，以E为端点的劣弧有5条，以A为端点的优弧有4条．第3题图第4题图4．如图，在⊙O中，点B在⊙O上，四边形AOCB是矩形，对角线AC的长为5，则⊙O 的半径长为5．知识点2点与圆的位置关系5．如图，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.（1）当r在什么范围时，点A，B在⊙C外？（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？解：（1）当0<r<3时，点A，B在⊙C外．（2）当3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．02中档题6．（xx·蚌埠模拟）已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（－3，4），则点M 与⊙O 的位置关系为（A ）A ．M 在⊙O 上B ．M 在⊙O 内C ．M 在⊙O 外D ．M 在⊙O 右上方7．一个点到圆的最小距离为6 cm ，最大距离为9 cm ，则该圆的半径是（C ）A ．1.5 cmB ．7.5 cmC ．1.5 cm 或7.5 cmD ．3 cm 或15 cm8．（xx·枣庄）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点）．若以点A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为（B ）A ．22＜r ＜17B .17＜r ＜32C .17＜r ＜5D ．5＜r ＜29第8题图 第9题图9．（xx·淮北模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，已知∠AOD＝50°，AD ∥OC ，则∠BOC＝65°．10．如图所示，在△ABC 中，BD ，CE 是两条高线，求证：B ，C ，D ，E 四点在同一个圆上．证明：取BC 的中点O ，连接OD ，OE ，∵BD ，CE 是△ABC 的两条高线， ∴∠BDC ＝∠BEC＝90°.∴OD ＝OE ＝12BC ＝OB ＝OC （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．∴B ，C ，D ，E 四点在以点O 为圆心，BC 的一半长为半径的圆上．第2课时 垂径分弦01 基础题知识点1 圆的对称性1．两个同心圆的对称轴（D ）A ．仅有1条B ．仅有2条C ．仅有4条D ．有无数条知识点2 垂径定理及其推论2．（xx·张家界）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE ＝（A ）A ．8 cmB ．5 cmC ．3 cmD ．2 cm第2题图 第3题图3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为M ，下列结论不成立的是（D ）A ．CM ＝DMB .CB ︵＝BD ︵C ．∠ACD ＝∠ADCD ．OM ＝MD4．（xx·芜湖模拟）如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（D ）A ．2 cmB . 3 cmC ．2 5 cmD ．2 3 cm第4题图 第5题图5．如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB＝120°，弦AB ＝2 3 cm ，则⊙O 的半径是2__cm ．6．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是4≤OM≤5．7．如图所示，在⊙O中，AB，CD为两条弦，且AB∥CD，直径MN经过AB的中点E，交CD于点F，试问：点F是CD的中点吗？解：点F是CD的中点．理由：∵直径MN平分不是直径的弦AB，∴MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.∴CF＝FD.∴点F是CD的中点．知识点3垂径定理的实际应用8．（教材P16例3变式）（xx·安徽模拟）被誉为“中国画里乡村”的黄山宏村，村头有一座美丽的圆弧形石拱桥（如图），已知桥拱的顶部C距水面的距离CD为2.7 m，桥弧所在的圆的半径OC为1.5 m，则水面AB的宽度是（A）A．1.8 m B．1.6 mC．1.2 m D．0.9 m9．如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中CD ︵，点O 是CD ︵的圆心，CD ＝600 m ，E 为CD ︵上一点，且OE⊥CD 于点F ，EF ＝90 m ，则这段弯路的半径是多少？解：连接OD.设这段弯路的半径为R m. ∵OE ⊥CD ，CD ＝600 m ， ∴DF ＝12CD ＝300 m.在Rt △DOF 中，OD 2＝OF 2＋DF 2， 即R 2＝（R －90）2＋3002. 解得R ＝545.答：这段弯路的半径是545 m.易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径” 10．下列说法正确的是（D ）A ．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B ．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C ．过弦的中点的直径垂直于弦D ．平分弦所对的两条弧的直径平分弦02 中档题11．（xx·合肥期末）如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第11题图 第12题图12．（xx·淮北相山区四模）如图，⊙O 过点B ，C ，圆心O 在等腰Rt △ABC 的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝2，BC ＝8，则⊙O 的半径为（C ）A . 5B ．5C ．2 5D ．613．（xx·嘉兴）如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得AD ＝10 cm ，点D 在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为533cm .14．已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，P 是AB 上任意一点，点C 是劣弧AB ︵的中点．若△POC 为直角三角形，则PB 的长度为1或5．15．如图，直线AC 与⊙O 交于点B ，C ，直线AD 过圆心O.若⊙O 的半径是5，且∠DAC ＝30°，AD ＝13，求弦BC 的长．解：过点O 作OM⊥BC 于点M ，则BC ＝2MC. ∵AD ＝13，OD ＝5， ∴AO ＝8.∵∠DAC ＝30°， ∴OM ＝12AO ＝4.在Rt △OCM 中，MC ＝OC 2－OM 2＝52－42＝3. ∴BC ＝2MC ＝6.16．（xx·淮北模拟）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，求此时排水管水面的宽CD.解：过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，∵AB＝1.2 m，OE⊥AB，OA＝1 m，∴OE＝0.8 m.∵水管水面上升了0.2 m，∴OF＝0.8－0.2＝0.6（m）．∴CF＝OC2－OF2＝0.8 m.∴CD＝1.6 m.03链接中考17．（xx·合肥包河区二模）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝8，点A在⊙O上，AO⊥BC，垂足为D，E为BC延长线上一点，AE＝10，则CE的长为2．第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系01 基础题知识点1 圆心角1．下面四个图中的角，是圆心角的是（D ）2．如图，⊙O 的半径是1，B ，C 是圆周上的两点，∠BOC ＝36°，则劣弧BC ︵的度数是（B ）A ．18°B ．36°C ．72°D ．条件不足，无法求出3．已知⊙O 的半径为1，弦AB 的长为1，则弦AB 所对的圆心角为60度．知识点2 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系4．（xx·淮北模拟）如果两个圆心角相等，那么（D ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对5．如图，在⊙O 中，若点C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC＝（A ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°第5题图 第6题图6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝35°，则∠AOE＝75°．7．如图，D ，E 分别是⊙O 的半径OA ，OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC ︵与BC ︵的长度的大小关系是相等．8．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵.BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？解：BE ＝CE.理由如下： ∵AB ，DE 是⊙O 的直径， ∴∠AOD ＝∠BOE. ∴AD ︵＝BE ︵. ∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵.∴BE ＝CE.9．（xx·安庆期末）如图，M ，N 分别为⊙O 中两条不平行弦AB 和CD 的中点，且AB ＝CD.求证：∠AMN ＝∠CNM.证明：连接OM ，ON.∵O 为圆心，M ，N 分别为弦AB ，CD 的中点，∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD. ∵AB ＝CD ， ∴OM ＝ON.∴∠OMN ＝∠ONM.∵∠AMN ＝90°－∠OMN， ∠CNM ＝90°－∠ONM， ∴∠AMN ＝∠CNM.易错点 对圆中的有关线段的关系运用不当而致错10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为（B ）A ．AB>CDB ．AB ＝CDC ．AB<CD D ．不能确定02 中档题11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝26°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆分别交AB ，AC 于点D ，E ，则BD ︵的度数为（C ）A ．26°B ．64°C ．52°D ．128°第11题图第13题图12．已知⊙O 中，AB ︵＝2CD ︵，则弦AB 和2CD 的大小关系是（C ）A ．AB ＞2CD B ．AB ＝2CDC ．AB ＜2CD D ．不能确定13．如图所示，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN ︵的中点，点P 是直径MN 上一动点．若⊙O 的直径为2，则AP ＋BP 的最小值是2．14．如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，求证：AE ＝CD.证明：连接AC.∵∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，∴∠AOC ＝∠COD＝30°.∴AC ＝CD.又∵OA＝OC ，∴∠ACE ＝75°.∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝45°.∴∠AEC ＝∠AOC＋∠OAB＝75°.∴∠ACE ＝∠AEC.∴AE ＝AC.∴AE ＝CD.15．（教材P 19例4变式）如图，A ，B ，C 为⊙O 上的三等分点．（1）求∠BOC 的度数；（2）若AB ＝3，求⊙O 的半径长及S △ABC .解：（1）∵A，B ，C 为⊙O 上的三等分点，∴AB ︵＝BC ︵＝AC ︵.∴∠BOC ＝13×360°＝120°. （2）过点O 作OD⊥AB 于点D ，∵A ，B ，C 为⊙O 上的三等分点，∴AB ＝AC ＝BC ＝3，即△ABC 是等边三角形．∴∠BAO ＝∠OBA＝30°，AD ＝12AB ＝32. ∴DO ＝32，OA ＝3，即⊙O 的半径长为 3. ∴S △ABC ＝3×12DO·AB＝934.03 链接中考16．（教材P 19例5变式）如图1，PC 是⊙O 的直径，PA 与PB 是弦，且∠APC＝∠BPC.（1）求证：PA ＝PB ；（2）如果点P 由圆上运动到圆外，PC 过圆心，如图2，是否仍有PA ＝PB ？为什么？（3）如图3，如果点P 由圆上运动到圆内，那么PA ＝PB 是否仍然成立？解：（1）证明：过点O 作O E⊥PA，OF ⊥PB ，垂足分别为E ，F ，∵∠APC ＝∠BPC，∴OE ＝OF.∴PA ＝PB.（2）仍有PA ＝PB.理由如下：过点O 作OG⊥PA，OH ⊥PB ，垂足分别为G ，H ，∵∠APC ＝∠BPC，∴OG ＝OH.又∵OP＝OP ，∴Rt △OPG ≌Rt △OPH （HL ）．∴PG ＝PH.∵OG ⊥AM ，OH ⊥BN ，OG ＝OH ，∴AM ＝BN.∴AG＝BH.∴PG ＋AG ＝PH ＋BH ，即PA ＝PB.（3）PA ＝PB 仍然成立．第4课时圆的确定01基础题知识点1确定圆的条件1．下列命题不正确的是（C）A．过一点有无数个圆B．过两点有无数个圆C．弦是圆的一部分D．过同一直线上三点不能画圆2．若A，B，C是平面内的三点，且AB＝3，BC＝6，AC＝5，则下列说法正确的是（A）A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆上B．可以画一个圆，使A，B在圆上，C一定在圆外C．可以画一个圆，使A，C在圆上，B一定在圆外D．可以画一个圆，使B，C在圆上，A一定在圆内3．平面直角坐标系内的三个点A（1，0），B（0，－3），C（2，－3）能确定一个圆．（填“能”或“不能”）4．如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作3个．知识点2三角形的外接圆5．三角形的外心是三角形（B）A．三个内角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条高线的交点D．三条中线的交点6．三角形的外心具有的性质是（B）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等C．外心在三角形外D．外心在三角形内7．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（B）A．2 3 cm B．4 3 cmC．6 3 cm D．8 3 cm8．已知直角三角形的两条直角边分别为5 cm，12 cm，则该三角形的外接圆半径为6.5__cm．9．如图，一只猫观察到一个老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置．解：在△ABC的外心处能最省力地同时顾及三个洞口．作法如下：连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O，点O即为所求．知识点3反证法10．如图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”矛盾，所以假设不成立，则AB，CD只有一个交点．11．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.02中档题12．（教材P26习题T15变式）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（B）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块第12题图第14题图13．在用反证法证明“三角形中不能有两个角都是钝角”这一命题时，得出的结果与下列哪个结论互相矛盾（A）A．三角形的内角和定理B．三角形的外角和定理C．三角形内角的定义D．三角形外角的定义14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为（C）A. 3 B．3C．2 3 D．415．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝90°，sin A＝33，BC＝23，则⊙O的半径为3．第15题图第16题图16．（xx·泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为（7，4）或（6，5）或（1，4）．17．阅读下列文字，回答问题．题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B.所以AC≠BC.这与假设矛盾，所以AC≠BC.上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．解：有错误．改正：假设AC＝BC，则∠A＝∠B.又因为∠C＝90°，所以∠B＝∠A＝45°.这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立．所以AC≠BC.18．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C（如图），小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：（1）分别作出两边BC，AC的垂直平分线，交点为O.以O为圆心，OA为半径作出⊙O，即为所求作的花坛的位置．（2）∵∠BAC＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，∴BC＝10 m.∴△ABC外接圆的半径为5 m.∴小明家圆形花坛的面积为25πm2.。

24.2 圆的基本性质一．选择题（共15小题）1．如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上．设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75°，那么点P在大量角器上对应的刻度为（ ）（第1题图）A．75° B．60° C．45° D．30°2．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过点P且与AB垂直，点C为L与y轴的交点．若点A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为多少？（ ）（第2题图）A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣73．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB 于点E．点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（ ）（第3题图）A．一直减小 B．一直不变C．先变大后变小 D．先变小后变大4．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（ ）（第4题图）A．15° B．20° C．25° D．30°5．在半径为10cm的圆中，两条平行弦分别长为12cm，16cm，则这两条平行弦之间的距离为（ ）A．28cm或4cm B．14cm或2cm C．13cm或4cm D．5cm或13cm6．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧、、，如果+=，那么AB+CD与EF的大小关系是（ ）（第6题图）A．AB+CD=EF B．AB+CD＞EF C．AB+CD＜EF D．不能确定7．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）（第7题图）A． B．1 C． D．a8．下列说法正确的个数共有（ ）（1）如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等．（2）弦的中垂线一定是这条弦所在圆的对称轴．（3）平分弦的直径一定垂直于这条弦．（4）两条边相等的两个直角三角形一定全等．A．1个 B．2个C．3个 D．0或4个9．如图，等边三角形ABC的边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（ ）（第9题图）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值10．下列命题，真命题的个数是（ ）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．A．4个B．3个C．2个 D．1个11．已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴的正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，则（ ）（第11题图）A．△ABC外接圆的圆心在OC上B．∠BAC=60°C．△ABC外接圆的半径等于5 D．OC=1212．如图所示，在边长为1的单位正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在网格的交点上，则△ABC的外接圆的半径R为（ ）（第12题图）A．B． C． D．13．如图，等边三角形内接于⊙O，点P在弧BC上，PA与BC相交于点D，若PB=3，PC=6，则PD=（ ）（第13题图）A．1.5 B．C．2 D．14．如图，坐标平面上有A（0，a）、B（﹣9，0）、C（10，0）三点，其中a＞0．若∠BAC=95°，则△ABC的外心在第几象限？（ ）（第14题图）A．一 B．二 C．三D．四15．下列给定的三点能确定一个圆的是（ ）A．线段AB的中点C及两个端点B．角的顶点及角的边上的两点C．三角形的三个顶点D．矩形的对角线交点及两个顶点二．填空题（共10小题）16．如图，大圆和圆的半径都分别是4cm和2cm，两圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始ABCDEFCGA的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆周的四等分点，蚂蚁直到行走2010π cm后才停下来．则这只蚂蚁停在点 ．（第16题图）17．如图，⊙M交x轴于B，C两点，交y轴于点A，弦CE⊥AB于点H，M的纵坐标为2，B（3，0），C（﹣，0），则圆心M的坐标为 ，线段AF的长为 ．（第17题图）18．如图，直径AB、CD所夹的锐角为60°，P为上的一个动点（不与点B、C重合），PM、PN分别垂直于CD、AB，垂足分别为M、N．若⊙O的半径为2cm，则在点P移动过程中，MN的长是否有变化 （填“是”或“否”），若有变化，写出MN的长度范围；若无变化，写出MN的长度 cm．（第18题图）19．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，AC、BD是⊙O的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值与最小值的差为 ．（第19题图）20．如图，正方形ABCD的顶点A、B和正方形EFGH的顶点G、H在一个半径为5cm的⊙O 上，点E、F在线段CD上，正方形ABCD的边长为6cm，则正方形EFGH的边长为 cm．（第20题图）21．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD=15cm，AB=60cm，则这个摆件的外圆半径是 cm．（第21题图）22．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，直径MN⊥BC于点D，与AC边相交于点E，若⊙O的半径为2，OE=2，则OD的长为 ．（第22题图）23．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是 ．（第23题图）24．在平面直角坐标系中，已知A（3，0），B是以M（3，4）为圆心，1为半径的圆周上的一个动点，连结BO，设BO的中点为C，则线段AC的最小值为 ．25．一个直角三角形的两条直角边长是方程x2﹣7x+12=0的两个根，那么这个直角三角形外接圆的半径等于 ．三．解答题（共5小题）26．如图，已知OC是⊙O的半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，PA=6．求：（1）⊙O的半径；（2）求弦CD的长．（第26题图）27．如图，AB是⊙O的直径，延长BA到点D，使DA=AO，AE垂直于弦AC，垂足为A，点E 在DC上，求S△AEC：S△AOC．（第27题图）28．如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD=16cm，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，求AE﹣BF的值．（第28题图）29．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，（1）求CD的长；（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于点C、D，直接写出弦CD的长．（第29题图）参考答案一．1．D【解析】设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠ABP=75°，因而∠PAB=90°﹣75°=15°，在大量角器中弧PB所对的圆心角是30°，因而P在大量角器上对应的度数为30°．故选D．（第1题答图）【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．2．A【解析】连接AC，如答图.由题意，得BC=OB+OC=9.∵直线L通过点P且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC=9.在Rt△AOC中，AO==2.∵a＜0，∴a=﹣2，故选A．（第2题答图）【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．　3．C【解析】如答图，连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y．∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO=∠OQD=90°.∵PC=OQ，OC=OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP=DQ=y，∴S阴=S四边形PCQD﹣S△PFD﹣S△CFQ=（x+y）2﹣y2﹣x2=xy，观察图象可知xy的值先变大后变小．故选C．（第3题答图）【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．　4.A【解析】连接OB，如答图.∵四边形ABCO是菱形，∴OA=AB.∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°.∵OP⊥AB，∴∠BOP=∠AOB=30°.由圆周角定理得，∠PAB=∠BOP=15°.故选A．（第4题答图）【点评】本题考查的是菱形的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握菱形的性质、圆周角定理、垂径定理是解题的关键．5．B【解析】有两种情况：①如图，当AB和CD在点O的两旁时.过点O作MN⊥AB于点M，交CD于点N，连接OB，OD.∵AB∥CD，∴MN⊥CD，由垂径定理，得BM=AB=8（cm），DN=CD=6（cm）.∵OB=OD=10cm，由勾股定理，得OM==6（cm），同理ON=8cm，∴MN=8+6=14（cm）.②当AB和CD在点O的同旁时，MN=8﹣6=2（cm）.故选B．（第5题答图）【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是理解题意，能得出两种情况，题目比较典型，难度适中．注意要进行分类讨论．　6．B【解析】如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，则弧FM=弧AB，∴AB=FM，CD=EM.在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF．故选B．（第6题答图）【点评】本题主要考查对三角形的三边关系定理，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解此题的关键．7．B【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°.∵AB=BD，∴，∴∠AED=∠AOB.∵BC=AB=BD，∴∠D=∠BCD.∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°.又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形.在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB.∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE=OA=1．故选B．（第7题答图）【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．　8．解：（1）在同圆或等圆中，如果圆心角相等，所对的弦相等，故本选项错误；（2）根据垂径定理推出弦的中垂线是这条弦所在圆的对称轴，故本选项正确；（3）平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，故本选项错误；（4）如果有一条直角边和斜边相等，则这两个直角三角形不全等，故本选项错误；∴正确的有1个．故选A．【点评】本题主要考查对圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定，垂径定理等知识点的理解和掌握，能正确运用性质进行判断是解此题的关键．9． D【解析】A、连接OA、OC.∵点O是等边三角形ABC的外心，∴AO平分∠BAC，∴点O 到AB、AC的距离相等，由折叠，得DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），由折叠，得∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，∴∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD=OG，OE=OF，∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD=CG，AF=CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF=GF=GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G=AD，∴△B'FG的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△=S△AOC=（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+△ADF=S四边OAF=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC﹣S△OFG，过点O作OH⊥AC于点H，∴S△OFG=•FG•OH，形OFAD由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确.故选D．（第9题答图）【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边形的面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明FO平分∠DFG是本题的关键，10．C【解析】经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，∴①错误；任意一个圆一定有内接三角形，并且有多个内接三角形，∴②错误；任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，∴③正确；三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点距离相等，∴④正确．故选C．【点评】本题考查了确定圆的条件和三角形的外接圆与外心的应用，主要考查学生运用性质进行说理的能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．11．D【解析】设线段BA的中点为E，∵点A（0，4），B（0，﹣6），∴AB=10，E（0，﹣1）．如答图，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C.∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA=∠BPA=45°，即则点C即为所求．过点P 作PF⊥x轴于点F，则OF=PE=5，PF=OE=1，在Rt△PFC中，PF=1，PC=5，由勾股定理，得CF==7，∴OC=OF+CF=5+7=12.故选D．（第11题答图）【点评】本题主要考查了坐标与图形性质、圆周角定理、勾股定理等知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造圆周角以及直角三角形，由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口．　12．A【解析】作AC、AB的垂直平分线交于点O，则点O为△ABC的外接圆圆心，连接OA，则OA==，故选A．（第12题答图）【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．　13．C【解析】在PA上截取PE=PB，连接BE.∵△ABC是等边三角形，∠ACB=APB，∴∠ACB=∠APB=60°，AB=BC；∴△BEP是等边三角形，BE=PE=PB；∴∠ACB﹣∠EBC=APB﹣∠EBC=60°﹣∠EBC；∴∠ABE=∠CBP；∵在△ABE与CBP 中，，∴△ABE≌△CBP；∴AE=CP；∴AP=AE+PE=PB+PC．∵PB=3，PC=6，∴PA=6+3=9.∵∠BAP=∠DAB（公共角），∠ABC=∠ACB=∠APB=60°，∴△ABD∽△APB，∴=，即=，∴AB=3BD.∵∠PBD=∠PAC，∠BPD=∠APC=60°，∴△BPD∽△APC，∴=，即PD=6×=2.故选C．（第13题答图）【点评】本题通过构造等边三角形，利用等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、求出某些线段的长度，再利用相似的判定定理和性质定理去求出未知线段的长度．　14．D【解析】∵∠BAC=95°，∴△ABC的外心在△ABC的外部，即在x轴的下方.∵外心在线段BC的垂直平分线上，即在直线x=上，∴△ABC的外心在第四象限.故选D．【点评】本题考查的是三角形的外心的确定，掌握外心的概念和外心与锐角、直角、钝角三角形的位置关系是解题的关键，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部．15．C【解析】A、线段AB的端点A、B和线段AB的中点C不能确定一个圆，故本选项错误；B、当角的两边上的一个点或两个点和角的顶点重合时就不能确定一个圆，故本选项错误；C、经过三角形的三个顶点作圆，有且只有一个圆，故本选项正确；D、矩形的对角线的交点及两个顶点，如果这三个点在一条直线上，就不能确定一个圆，故本选项错误.故选C．【点评】本题考查了确定圆的条件的应用，注意：不在同一直线上的三个点确定一个圆．二．16．E【解析】从点A开始沿ABCDEFCGA的顺序转一周的路径长是8π+4π=12πcm，蚂蚁直到行走2010πcm所转的周数是2010π÷12π=167…6π．即转167周以后又走了6πcm．从点A到点B所得路径长是2π，再到C的路线长也是2π，从点C到点D，到点E的路线长是2π，则从点A行走6πcm到点E．【点评】本题主要考查了圆的周长的计算，正确而理解蚂蚁行走一周以后又回到A，是一个循环的过程，是解决本题的关键．17．（，2），4【解析】过点M作MN⊥BC于点N，连接CM.∵B（3，0），C（﹣，0），∴OB=3，OC=，∴BC=4.∵MN⊥BC，∴CN=BC=2，∴ON=，∴M（，2），Rt△CMN中，由勾股定理，得CM===4，∴∠MCN=30°，连接EB，∴∠CEB=∠CMN=60°，∴∠ABE=30°，连接AM、EM、AE，∴∠AME=2∠ABE=60°，∴△AME是等边三角形，∴AE=AM=4.∵∠EAB=∠ECB，∠AHE=∠AOC=90°，∴∠AEH=∠CFO.∵∠CFO=∠AFE，∴∠AFE=∠AEH，∴AF=AE=4．（第17题答图）【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、坐标与图形特点、勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．18．否，【解析】MN的长没有变化；理由如下，如答图，延长PN交圆于点E，延长PM 交圆于点F，连接EF、OE、OF，作OH⊥EF于点H．根据垂径定理，PN=NE，PM=MF，∴MN∥EF且MN=EF.∵∠MON=120°，∠PNO=∠PMO=90°，∴∠P=60°，∴弦EF的长为定值，MN的长也为定值.在Rt△EOH中，易知∠EOH=60°，∵OE=2，∴EH=OE•sin60°=，∴EF=2，∴MN=EF=.（第18题答图）19．1【解析】（1）如图，连接OA、OD，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E、F．（第19题答图）∵AC⊥BD，∴∠EMF=∠OFB=∠OEM=90°，∴四边形OEMF为矩形.∵OA=OC=2，OM=√3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d、h，则d2+h2=OM2=3．四边形ABCD的面积为：s=|AC|•（|BM|+|MD|）=|AC|•|BD|，从而s=2≤8﹣（d2+h2）=5，当且仅当d=h时取等号，故四边形ABCD的面积最大值为5．（2）四边形ABCD的面积s=2=2=2，当dh=0即d=0或h=0时（一条弦过原点），s最小，最小值为4．∴四边形ABCD面积最大值与最小值的差5﹣4=1．【点评】本题考查了垂径定理以及坐标与图形的变换，当对角线互相垂直时，四边形的面积等于对角线乘积的一半，这一性质要好好记忆，同时还要注意极值图形的选取方法．　20．2.8【解析】作OM⊥AB于点M，ON⊥HG于点N，连接OA、OH.∵正方形ABCD和正方形EFGH，∴M、O、N在同一条直线上.∵OM⊥AB，∴AM=AB=3，∴OM==4.设正方形EFGH的边长为x，则ON=x+2.∵ON⊥HG，∴NH=HG=x，则（x+2）2+（x）2=25，解得x=2.8．（第20题答图）【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理和正方形的性质，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．21．37.5【解析】如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC.∵CD=15cm，AB=60cm，CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD=AB=30cm，∴设半径为rcm，则OD=（r﹣15）cm.根据题意，得r2=（r﹣15）2+302，解得r=37.5．∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm.（第21题答图）【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．　22．2【解析】连接BO并延长交AC于点F，如图.∵BA=BC，∴=，∴BF⊥AC.∵直径MN⊥BC，∴BD=CD.∵∠BOD=∠EOF，∴Rt△BOD∽Rt△EOF，∴===.设OF=x，则OD=x，∵∠DBO=∠DEC，∴Rt△DBO∽Rt△DEC，∴=，即=，而BD=CD，∴DB2=x（x+2）=3x2+2x，在Rt△OBD中，3x2+2x+3x2=（2）2，解得x 1=，x2=﹣（舍去），∴OD=x=2．（第22题答图）【点评】本题考查了三角形外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理．熟练应用相似比是解决问题的关键．23．13【解析】连接OP，OQ.∵DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI=（AC+BC）=9.∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18﹣14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13．（第23题答图）【点评】本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．　24．2【解析】过B作BD∥AC交x轴于D.∵C是OB的中点，∴OA=AD，∴AC=BD，∴当BD取最小值时，AC最小，由图可知：当BD经过M时，线段BD的长最小，此时AC有最小值.∵A（3，0），∴D（6，0）.∵M（3，4），∴DM==5，∴BD=5﹣1=4，∴AC=BD=2，即线段AC的最小值为2；（第24题答图）【点评】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理，确定线段长的最值问题，可以利用本身垂线段最短或两点之间线段最短来确定，也可以利用另一量来确定，本题是利用BD的长度来解决问题，是中考填空题的压轴题．25．2.5【解析】解可得方程x2﹣7x+12=0得，x1=3，x2=4，∴斜边边长为5，即直角三角形外接圆的直径是5，∴半径等于2.5．【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．　三．26．解：（1）设OC=x.∵弦CD垂直平分半径AO，∴OE=OA=x.∵PC⊥OC，CD⊥OP，∴∠PCO=∠CEO=90°，∴∠P+∠COP=90°，∠ECO+∠COP=90°，∴∠P=∠ECO，∴△CEO∽△PCO，∴，∴=，x=6，则⊙O的半径为6；（2）由（1），得OC=6，OE=3，由勾股定理，得CE==3，∵CD⊥OA，∴CD=2CE=6．【点评】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．　27．解：作OF⊥AC于点F，延长OF交CD于点G，如答图.∵OA=OC，∴F是AC的中点.∵AE垂直于弦AC，∴AE∥OG，∴G是EC的中点，∴GF=AE.∵AE∥OG，DA=OA，∴E是DG的中点，∴AE是△ODG的中位线，∴AE=OG，∴AE=（OF+GF）=（OF+AE），∴=.∵△AEC的面积=AE•AC，△AOC的面积=AC•OF，∴S△AEC：S△AOC==．（第27题答图）【点评】本题考查了垂径定理、平行线的判定与性质、三角形中位线定理、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定的难度，需要通过作辅助线运用三角形中位线的定理才能得出结果．　28．解：如图，连接OC，延长AE交⊙O于点H，连接BH；过点O作ON⊥BH于点N，交CD于点M；则HN=BN，CM=DM=CD=8，∵AB为⊙O的直径，∴∠AHB=90°.∵AE⊥CD，∴CD∥BH.∵ON⊥BH，BF⊥CD，∴EH=MN=BF（设为x）.∵AO=B0，HN=BN，∴ON为△ABH的中位线，∴AH=2ON，即AE+x=2（OM+x），AE﹣x=2OM；由勾股定理，得OM2=OC2﹣CG2=100﹣64=36，∴OM=6，2OM=12；∴AE﹣BF=12．（第28题答图）【点评】该命题以圆为载体，以垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等几何知识点为考查的核心构造而成；对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．　29．解：（1）作OH⊥CD于点H，连接OD.∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=6cm，半径OD=3cm.∵在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=60°，∴OH=cm.在Rt△OHD中，由勾股定理，得HD=cm.∵OH⊥CD，∴由垂径定理，得DC=2DH=2cm；（2）作OH⊥CD于点H，连接OD.∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=cm6，半径OD=3cm.∵若直线CD绕点E顺时针旋转15°，∴∠OEH=60°﹣15°=45°.在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=45°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理，得HD==（cm）.∵OH⊥CD，∴由垂径定理，得DC=2DH=2cm，即CD=2cm．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．。