2018高中数学第2章推理与证明章末复习提升练习苏教版

第2章推理与证明【学习目标】1. 了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理 2 了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理3 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，并能利用分析法和综合法证明简单的问题 4 了解反证法的思想，并能灵活应用.新知探究点点落实问题导学知识点一合情推理1 .归纳推理⑴ 定义：从个别事实中推演出__________ 的结论的推理称为归纳推理. 归纳推理的思维过程大致是：____________ 工_______________ 工 __________________ .⑵特点：由__________ 到整体、由_________ 到一般的推理.2 .类比推理(1) 定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程为：⑵ 特点：类比推理是由__________ 到________ 的推理.3 .合情推理合情推理是根据_________________ 、__________________ 、 _____________________ ，以及个人的________ 和直觉等推测某些结果的推理过程. ______________ 和____________ 都是数学活动中常用的合情推理.知识点二演绎推理1•演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法叫演绎推理•简言之，演绎推理是由_到________ 的推理.2 •“三段论”是演绎推理的一般模式(1) 大前提——已知的 _____________;(2) 小前提一一所研究的 _____________ ;(3) 结论——根据一般原理，对 ______________ 做出的判断.知识点三直接证明1 .综合法(1)定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.⑵推证过程：已知条件？…？…？薈论(3)思维过程：由因导果.2 •分析法(1)定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止，这种证明方法常称为分析法.⑵推证过程：|结论?…?…?|已知条件(3)思维过程：执果索因. 知识点四间接证明用反证法来证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).题型探究类型一归纳思想a n n例1 已知数列｛a n｝满足a i= 1, = (n= 1,2 , 3，…).a n+1 n+ 1(1) 求a2, a3, a4, a5，并猜想通项公式a n；(2) 根据(1)中的猜想，有下面的数阵：S = a1,a2+ a3,S3= a4+ a5 + a6,S4= a7+ a8 + a9+ a1o,S5= a“+ a12+ ai3 + a14+ a15.试求S, S+ S, S + S + S，并猜想S+ S s+ $+•••+ Sa n-1 的值.反思与感悟归纳猜想是理性思维的重要体现，是获得发现的源泉.具有共同特征的归纳推理，首先要观察式子的共同结构特点，其次是式子中出现的数字、字母之间的关系，这样便于观察运算规律和结构上的共同点.跟踪训练1设｛a n｝是集合｛2t+ 2s|0 < s W t,且s, t € Z｝中所有的数从小到大排列的数列, 且a1 = 3, a2= 5, a3= 6, a4 = 9, a5= 10, &= 12,….将数列｛a n｝中的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图所示的三角形数表: ■!5 6Q in 12(1)写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；⑵求出a ioo.类型二类比思想例2定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫等和数列，这个常数叫该数列的公和.已知数列｛a n｝为等和数列，且a i= 2，公和为5.那么a i8的值为________ ，这个数列前n项和S的计算公式为__________________________ . 反思与感悟事物的各个性质之间不是孤立的，而是相互联系相互制约的，等和数列与等差数列之间有着很多类似的性质，利用类比推理可得出等和数列的性质.跟踪训练2已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a i, a2, a3, a4,点P为四边形_ ai a2 a3 a4内任意一点，且点P到四条边的距离分别记为h i, h2, h3, h4,若—=—=-3 = — = k,贝U h i ++ 2H 2 + 3H 3+ 4H 4= ________ .类型三正难则反思想例3 已知△ ABC 中，/ C 是直角，求证：/ B 一定是锐角.反思与感悟 反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理，最后推出矛盾，这里得出的矛 盾可以是与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛 盾•反证法的使用范围：唯一性问题，“至少”“至多”问题，问题本身是否定语气提出的 问题.1 1 1跟踪训练3证明：无论x , y 取任何非零实数，等式 -+-=总不成立.x y x + y类型四综合法与分析法2 2例 4 已知 x , y >0, x + y = 1,求证：log 2（xy + 1） — log 2X — log 2y >log 217— 2. 反思与感悟 证明问题时，往往利用分析法寻找解题思路，用综合法书写证明过程. 跟踪训练 4 求证：川 sin^T — 2cos( a+ B )=2^4.2S出+ 3IW 4h 4 = °类比以上性质，体积为 V 的三棱锥的每个面的面积分别记为 S 4,此三棱锥内任一点 Q 到每个面的距离分别为 H , ", H 3, H 4,达标检测当堂推测巩固反谟1 •有一个奇数列135,7,9 ，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};…，则每组内各数之和f (n)( n € N*)与组的编号数n的关系式为________________________________________ .2.已知△ ABC中, ADLBC于D,三边是a, b, c,则有a= c cos B+ b cos C;类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体LABC中，△ ABC △ PAB △ PBC △ PCA的面积分别是S, S, S2, S3,二面角P—AB— C, P—BC— A, P—AC— B 的度数分别是a , 3 , Y ,则S= ____________________ .3 •将下列给出的反证法证明过程填写完整.已知0,证明关于x的方程ax= b有且仅有一个根.b证明由于a^0,因此方程ax = b至少有一个根x=.a假设方程不止一个根，不妨设X1, x是______________ ,即ax1 = b, ax z= b,所以a(X1 —X2) = 0,因为X1^ X2,所以X1 —X2工0,所以a= 0,这与___________ 矛盾，故假设错误.所以当a^0时，关于x的方程ax= b有且仅有一个根.4 .若tan( a + 3 ) = 2tan a，求证：3sin 3 = sin(2 a + 3 ).规律与方法直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法•直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用•间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.问题导学 知识点一 1. (1) 一般性 实验、观察概括、推广猜测一般性结论⑵部分个别2 . (1)观察、比较 联想、类推 猜测新的结论 (2)特殊 特殊3 .已有的事实 正确的结论 实验和实践的结果 经验归纳推理类比推理 知识点二 1.一般特殊 2 . (1) 一般原理 (2)特殊情况 (3)特殊情况题型探究 例 1 解 (1)因为 a 1 = 1,由=—-知 a n +1 = +• a n ，故 a 2= 2, a 3= 3, a 4= 4,a 5 = 5.a n +1 n + 1n可归纳猜想出 a n = n (n € N*).⑵根据(1)中的猜想，数阵为：S= 1,S 2= 2 + 3= 5, S 3= 4 + 5+ 6 = 15, S = 7 + 8+ 9 + 10= 34, S 5= 11+ 12+ 13+ 14+ 15= 65,故 S = 1 = 14, S + S 3= 1 + 15= 16= 2, S + S 3 + S 5= 1 + 15 + 65= 81 = 34. 可猜想 S + S 3 + S 5 + …+ S an -1 = n 4.跟踪训练 1 解（1）第 1 行：3 = 21 + 2°;第 2 行：5 = 22 + 20,6 = 22 + 21 ;第 3 行：9= 23 + 2。

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第2章推理与证明章末检测一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．在△ABC中，E、F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为________．答案三角形的中位线平行于第三边解析这个三段论推理的形式为:大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC 的中位线；结论:EF∥BC。

2．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:22＝1＋332＝1＋3＋542＝1＋3＋5＋723＝3＋533＝7＋9＋1143＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整数是21，则m＋n＝________。

答案11解析∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝错误!×6＝36，∴m＝6.∵23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29，∵n3的分解中最小的数是21，∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11。

3．用反证法证明命题“错误!＋错误!是无理数"时，其反证假设是________．答案错误!＋错误!是有理数解析应对结论进行否定，则错误!＋错误!不是无理数，即错误!＋错误!是有理数．4．已知f（x＋1)＝错误!，f（1）＝1(x∈N＊），猜想f(x）的表达式为________．答案2 x＋1解析当x＝1时，f（2)＝错误!＝错误!＝错误!,当x＝2时，f（3)＝错误!＝错误!＝错误!；当x＝3时，f（4）＝错误!＝错误!＝错误!，故可猜想f(x)＝错误!.5．对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断：①（a－b)2＋（b－c）2＋（c－a）2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为________．答案1解析若(a－b）2＋(b－c)2＋(c－a）2＝0，则a＝b＝c，与“a,b,c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b,c是不全相等的正数"，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．6．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有________个．①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．答案2解析类比相似形中的对应边成比例知,①③属于相似体．7．数列{a n｝满足a1＝错误!，a n＋1＝1－错误!，则a2015等于________．答案－1解析∵a1＝错误!，a n＋1＝1－错误!,∴a2＝1－错误!＝－1,a3＝1－错误!＝2,a4＝1－错误!＝错误!，a＝1－错误!＝－1，a6＝1－错误!＝2，5∴a n＋3k＝a n(n∈N*，k∈N＊)∴a2015＝a2＋3×671＝a2＝－1。

第2章 推理与证明章末分层突破[自我校对]①由部分到整体，由个别到一般 ②类比推理 ③演绎推理 ④由一般到特殊 ⑤综合法 ⑥执果索因 ⑦反证法 ⑧数学归纳法 _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________合情推理1.2.类比推理的特点及一般步骤(2016·温州月考)下面四个图案都是由小正三角形构成的，设第n 个图形中有n 个正三角形，且所有小正三角形边上黑点的总数为f (n ).图2­1(1)求f (2)，f (3)，f (4)，f (5)；(2)找出f (n )与f (n ＋1)的关系，并求出f (n )的表达式.【精彩点拨】 (1)根据图案推导计算f (2)，f (3)，f (4)，f (5)及它们之间的关系.(2)利用(1)推导出的关系归纳出f (n )与f (n ＋1)的关系，然后再求f (n )的表达式.【规范解答】 (1)由题意有f (1)＝3，f (2)＝f (1)＋3＋3×2＝12，f (3)＝f (2)＋3＋3×4＝27，f (4)＝f (3)＋3＋3×6＝48，f (5)＝f (4)＋3＋3×8＝75.(2)由题意及(1)知，f (n ＋1)＝f (n )＋3＋3×2n ＝f (n )＋6n ＋3， 即f (n ＋1)－f (n )＝6n ＋3，所以f (2)－f (1)＝6×1＋3，f (3)－f (2)＝6×2＋3，f (4)－f (3)＝6×3＋3，…， f (n )－f (n －1)＝6×(n －1)＋3，将上面n －1个式子相加，得f (n )－f (1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋3(n －1)＝6×1＋n －1n －12＋3(n －1)＝3n 2－3，又f (1)＝3，所以f (n )＝3n 2. [再练一题]1.已知函数y ＝sin 4x ＋cos 4x (x ∈R )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则(1)函数y ＝sin 6x ＋cos 6x (x ∈R )的值域是___________________； (2)类比上述结论，函数y ＝sin 2nx ＋cos 2nx (n ∈N *)的值域是__________.【解析】 (1)y ＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2x cos 2x ＋cos 4x )＝sin 4x －sin 2x cos 2 x ＋cos 4x ＝(sin 2 x ＋cos 2 x )2－3sin 2x cos 2x ＝1－34sin 2(2x )＝1－38(1－cos 4x )＝58＋38cos 4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.(2)由类比可知，y ＝sin 2nx ＋cos 2nx 的值域是[21－n,1].【答案】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 (2)[21－n,1]综合法与分析法1.法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式.2.分析法和综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.试用综合法和分析法分别证明.【精彩点拨】 (1)综合法：根据a ＋b ＝1，分别求1a ＋1b 与1ab的最小值.(2)分析法：把1ab 变形为a ＋b ab ＝1a ＋1b求证.【规范解答】 法一：(综合法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4.又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立). 法二：(分析法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb≥4. 即证b a ＋a b≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab≥2成立，所以原不等式成立. [再练一题]2.(1)已知a ，b ，c 为互不相等的非负数. 求证：a 2＋b 2＋c 2>abc (a ＋b ＋c ). (2)用分析法证明：2cos(α－β)－sin2α－βsin α＝sin βsin α.【证明】 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，又因为a ，b ，c 为互不相等的非负数， 所以上面三个式子中都不能取“＝”， 所以a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，因为ab ＋bc ≥2ab 2c ，bc ＋ac ≥2abc 2，ab ＋ac ≥2a 2bc ，又a ，b ，c 为互不相等的非负数， 所以ab ＋bc ＋ac >abc (a ＋b ＋c )， 所以a 2＋b 2＋c 2>abc (a ＋b ＋c ). (2)要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，① 因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β＝右边，所以①成立，即原等式成立.反证法反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论.反证法的思路：反设→归谬→结论.设{a n }是公比为q 的等比数列.(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列.【精彩点拨】 (1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n 项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论.【规范解答】 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n 1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q，q ≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾.∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列. [再练一题]3.设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n .证明：数列{c n }不是等比数列.【证明】 假设数列{c n }是等比数列，则 (a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1).①因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ， 所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1. 代入①并整理，得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1＝a n b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫p q ＋q p ，即2＝p q ＋q p，②当p ，q 异号时，p q ＋q p<0，与②相矛盾； 当p ，q 同号时，由于p ≠q ， 所以p q ＋q p>2，与②相矛盾. 故数列{c n }不是等比数列.数学归纳法1.关注点一：其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少.2.关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1.【规范解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，所以a 21＝1(a n >0)，所以a 1＝1，又1－0＝1， 所以n ＝1时，结论成立.(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)，所以n ＝k ＋1时，结论成立. 由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1. [再练一题]4.已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明.【解】 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)； 当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3).(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明： ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立； ②假设当n ＝k (k ≥3)时不等式成立，即 1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2. 那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1k ＋13<32－12k 2＋1k ＋13.因为12k ＋12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k2－1k ＋13＝k ＋32k ＋13－12k 2＝－3k －12k ＋13k2<0， 所以f (k ＋1)<32－12k ＋12＝g (k ＋1).由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立.转化与化归思想殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化.设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的a ，b ，c 都为整数，已知f (0)，f (1)均为奇数，求证：方程f (x )＝0无整数根.【精彩点拨】 假设方程f (x )＝0有整数根k ，结合f (0)，f (1)均为奇数推出矛盾. 【规范解答】 假设方程f (x )＝0有一个整数根k ， 则ak 2＋bk ＋c ＝0，∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 都为奇数， ∴a ＋b 必为偶数，ak 2＋bk 为奇数.当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数，与ak2＋bk为奇数矛盾；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数乘积，必为偶数，也与ak2＋bk为奇数矛盾.综上可知，方程f(x)＝0无整数根.[再练一题]5.用数学归纳法证明：当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除.【证明】设n＝2m－1，m∈N*，则x n＋y n＝x2m－1＋y2m－1.要证明原命题成立，只需证明x2m－1＋y2m－1能被x＋y整除(m∈N*).(1)当m＝1时，x2m－1＋y2m－1＝x＋y能被x＋y整除.(2)假设当m＝k(k∈N*)时命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，那么当m＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋2－1＋y2k＋2－1＝x2k－1x2－x2k－1y2＋y2k－1y2＋x2k－1y2＝x2k－1(x2－y2)＋y2(x2k－1＋y2k－1)＝x2k－1(x－y)(x＋y)＋y2(x2k－1＋y2k－1).因为x2k－1(x－y)(x＋y)与y2(x2k－1＋y2k－1)均能被x＋y整除，所以当m＝k＋1时，命题成立.由(1)(2)，知原命题成立.1.(2015·山东高考)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，＝________.C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1【解析】观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与＝4n－1.等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1【答案】4n－12.(2015·福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*)，其中x k(k ＝1,2，…，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________.【导学号：01580055】【解析】 因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，所以x 2，x 3，x 6，x 7都正确.又因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1，故x 1和x 4都错误，或仅x 5错误.因为条件中要求仅在第k 位发生码元错误，故只有x 5错误.【答案】 53.(2016·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则____.(填序号)①乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 ②乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 ③乙盒中红球不多于丙盒中红球 ④乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】 通过随机事件直接分析出现情况的可能性. 取两个球往盒子中放有4种情况： ①红＋红，则乙盒中红球数加1； ②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加 1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机.③和④对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上，选(2). 【答案】 (2)4.(2015·湖南高考)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立.【证明】 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1； 同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾. 故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立.5.(2015·福建高考)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值.【解】 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立. 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.6.(2016·北京高考)设数列A ：a 1，a 2，…，a N (N ≥2).如果对小于n (2≤n ≤N )的每个正整数k 都有a k <a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记G (A )是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.(1)对数列A ：－2,2，－1,1,3，写出G (A )的所有元素； (2)证明：若数列A 中存在a n 使得a n >a 1，则G (A )≠∅；(3)证明：若数列A 满足a n －a n －1≤1(n ＝2,3，…，N )，则G (A )的元素个数不小于a N －a 1.【导学号：01580056】【解】 (1)G (A )的元素为2和5. (2)因为存在a n 使得a n ＞a 1， 所以{i ∈N *|2≤i ≤N ，a i >a 1}≠∅. 记m ＝min{i ∈N *|2≤i ≤N ，a i >a 1}， 则m ≥2，且对任意正整数k <m ，a k ≤a 1＜a m . 因此m ∈G (A ).从而G (A )≠∅.(3)证明：当a N≤a1时，结论成立.以下设a N>a1.由(2)知G(A)≠∅.设G(A)＝{n1，n2，…，n p)，n1<n2<…<n p.记n0＝1，则an0＜an1＜an2＜…＜an p.对i＝0,1，…，p，记G i＝{k∈N*|n i＜k≤N，a k＞an i}.如果G i≠∅，取m i＝min G i，则对任何1≤k<m i，a k≤an i＜am i. 从而m i∈G(A)且m i＝n i＋1，又因为n p是G(A)中的最大元素，所以G p＝∅.从而对任意n p≤k≤N，a k≤an p，特别地，a N≤an p.对i＝0,1，…，p－1，an i＋1－1≤an i.因此an i＋1＝an i＋1－1＋(an i＋1－an i＋1－1)≤an i＋1.因此G(A)的元素个数p不小于a N－a1.。

第2章推理与证明一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A?B1?B2?…?B n?B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B?B1B2?…?B n?A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“?”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．(考试时间：120分钟试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(新课标Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________________________________________________________________________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．(陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_________________．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝25．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18.答案：1∶８6．设函数f(x)＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．解析：∵f(x)＝12x＋2，f(1－x)＝121－x＋2＝2x2＋2·２x＝12·２x2＋2x.∴f(x)＋f(1－x)＝1＋12·２x2＋2x＝22，发现f(x)＋f(1－x)正好是一个定值，∴2S＝22×12.∴S＝3 2.答案：3 27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________________________________________________________________________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x，y∈R＋，当x2＋y2＝________时，有x1－y2＋y1－x2＝1.解析：要使x1－y2＋y1－x2＝1，只需x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2y1－x2，即2y1－x2＝1－x2＋y2.只需使(1－x2－y)2＝0，即1－x2＝y，∴x2＋y2＝1.答案：19．设数列{a n}的前n项和为S n，令T n＝S1＋S2＋…＋S nn，称T n为数列a1，a2，…，a n的“理想数”．已知数列a1，a2，…，a500的“理想数”为 2 004，那么数列3，a1，a2，…，a500的“理想数”为________．解析：由题意知T500＝2 004＝S1＋S2＋…＋S500500，则T501＝3＋（S1＋3）＋（S2＋3）＋…＋（S500＋3）501＝500×2 004＋3×501501＝2 003.答案：2 00310.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝r2(r＞0)内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若OP―→＝mOA―→＋nOB―→　(m，n∈R)，则14是m2，n2的等差中项；现有一椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点P，若OP―→＝mOA―→＋nOB―→ (m，n∈R)，则m2，n2的等差中项为________．解析：如图，设P(x，y)，由x2a2＋y2b2＝1知A(a，b)，B(－a，b)，由OP―→＝mOA―→＋nOB―→可得x＝（m－n）a，y＝（m＋n）b，代入x2a2＋y2b2＝1可得(m－n)2＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝12，所以m2＋n22＝14，即m2，n2的等差中项为1 4 .答案：1 411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2 2.过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推．设BA＝a1，AA1＝a2 , A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝2，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×226＝14.法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝2，…，A n－1A n＝a n＋1＝sin π4·a n＝22a n＝2×22n，故a7＝2×226＝14.答案：1 412．已知x>0，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，…，可推广为x＋ax n≥n＋1，则a的值为________．解析：由x＋1x≥2，x＋4x2＝x＋22x2≥3，x＋27x3＝x＋33x3≥4，…，可推广为x＋n nx n≥n＋1，故a＝n n.答案：n n13．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1，2，3，…)，则第n个图形中共有______________个顶点．解析：设第n个图形中有a n个顶点，则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，a n－2＝n＋n·n，a n＝(n＋2)2＋n＋2＝n2＋5n＋6.答案：n2＋5n＋614．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为n（n＋1）2＝12n2＋12n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)＝12n2＋12n，正方形数N(n，4)＝n2，五边形数N(n，5)＝32n2－12n，六边形数N(n，6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．解析：N(n，k)＝a k n2＋b k n(k≥3)，其中数列{a k}是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k}是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N(n，24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：1a＋1b＋1ab≥8.证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1.∴1＝a＋b≥２ab，ab≤12，ab≤14，∴1ab≥４当a＝12，b＝12时等号成立，又1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥4.(当a＝12，b＝12时等号成立)∴1a＋1b＋1ab≥8.16．(本小题满分14分)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋a n＋1＝15n(n∈N*)，若T n＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋a n·5n－1，b n＝6T n－5n a n，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，求数列{b n}的通项公式．解：因为T n＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋a n·5n－1，①所以5T n＝a1·5＋a2·52＋a3·53＋…＋a n－1·5n－1＋a n·5n，②由①＋②得：6T n＝a1＋(a1＋a2)·5＋(a2＋a3)·５2＋…＋(a n－1＋a n)·５n－1＋a n·5n＝1＋15×5＋152×５2＋…＋15n－1×５n－1＋a n·5n＝n＋a n·5n，所以6T n－5n a n＝n，所以数列{b n}的通项公式为b n＝n.17．(本小题满分14分)观察①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝3 4；②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝3 4 .由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝3 4 .证明：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sinα)＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin2α＝12sin2α＋cos2(30°＋α)＋34sin 2α＝1－cos 2α4＋1＋cos（60°＋2α）2＋34sin 2α＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α＝3 4 .18．(本小题满分16分)若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：d＋a＜b＋c.证明：要证d＋a＜b＋c，只需证(d＋a)2＜(b＋c)2，即a＋d＋2ad＜b ＋c＋2bc.因a＋d＝b＋c，则只需证ad＜bc，即证ad＜bc.设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)·（c＋d－t)＜0.故ad＜bc成立，从而d＋a＜b＋c成立．19．(本小题满分16分)设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，已知a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0.求证：(1)a＞0，且－2＜ba＜－1；(2)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实数根．证明：(1)因为a＋b＋c＝0，f(0)＝c＞0，f(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b＞0，而b＝－a－c，则a－c＞0，所以a＞c＞0.又2a＞－b，所以－2＜b a，而a＋b＜0，则ba＜－1，因此有－2＜ba＜－1.(2)Δ＝(2b)2－12ac＝4[(a＋c)2－3ac]＝4a－12c2＋3c2，则Δ＞0，f(x)的对称轴为x＝－b3a，由(1)可得13＜－b3a＜23，又f(0)＞0，f(1)＞0且a＞0，故方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实数根．20．(本小题满分16分)已知数列{a n}满足a1＝12，2a n＋1＝a n a n＋1＋1.(1)猜想数列{a n}的通项公式(不用证明)；(2)已知数列{b n}满足b n＝(n＋1)a n＋2，求证：数列{b n}中的任意不同的三项都不可能成等比数列．证明：(1)由条件可得：a1＝12，a2＝23，a3＝34，……猜想：a n＝nn＋1.(2)由(1)可知：b n＝n＋ 2.假设数列{b n}中存在不同的三项b p，b q，b r使其成等比数列，则b2q＝b p·b r，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，则有q2＋2＋22q＝pr＋2＋2(p＋r)，化简得q2＋22q＝pr＋2(p＋r)．因为p，q，r∈N*，所以有q2＝pr，2q＝p＋r，消去q得(p＋r)2＝4pr，即(p－r)2＝0，所以p＝r.这与假设b p，b q，b r为不同的三项矛盾，所以数列{b n}中的任意不同的三项都不可能成等比数列．。

章末质量评估(二)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中的横线上) 1．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn (n ∈N *)也为等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0(n ∈N *)．则数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列．解析 通常正数的算术平均数，类比其几何平均数． 答案n c 1c 2…c n2．用反证法证明方程F (x )＝0至少有两个实根，其反证假设为____________________．解析 方程F (x )＝0至少有两个实根，意指方程F (x )＝0有两个或两个以上实根，其反面是方程F (x )＝0至多只有一个实根． 答案 方程F (x )＝0至多只有一个实根 3．观察下列数表规律则从数2 007到2 008的箭头方向是________．解析 因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列．若2 007在上行，则2 007＝3＋(n －1)×4⇒n ∈N *，故2 007在上行，又因为上行奇数的箭头为→a n ↓.答案 ↓4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________． 答案 ③①②5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)时，从“k ”到“k ＋1”左边需增乘的代数式是________． 解析 若n ＝k 时等式成立，此时有(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ×1×3×…×(2k －1)若n ＝k ＋1时，左边变为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)． 与上式相比增的代数式应为(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案 2(k ＋1)6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________． 解析 只有①②对，其余错误． 答案 27．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．对以上三段论推理下列说法正确的是________(请填写相应的序号)． ①正确；②推理形式不正确；③两个“自然数”概念不一致； ④“两个整数”概念不一致．解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 答案 ①8．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 8＝________.解析 由a 1，a 2，a 3，a 4的形式可归纳， ∵1＋2＋3＋4＋…＋7＝7×(1＋7)2＝28，∴a 8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57. ∴a 8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71 ＝8×(57＋71)2＝512.答案 5129．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2、S 3、S 4分别为______________，猜想S n ＝________.解析 由S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，得2S n ＋1＝S n ＋2S 1，因为S 1＝a 1＝1，所以2S n＋1＝S n ＋2.令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3⇒S 2＝32，同理，分别令n ＝2，n ＝3，可求得S 3＝74，S 4＝158.由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121，S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n －12n －1.答案 32、74、158 2n－12n －1(n ∈N *)10．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．解析 由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21211．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：“__________________________________”． 解析 由类比推理可得．答案 若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t ＝b t －1s12．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.其中正确的个数为________．解析 f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9； f (5,1)＝2f (4,1)＝4f (3,1)＝8f (2,1)＝16f (1,1)＝16；f (5,6)＝f (5,5)＋2＝f (5,4)＋4＝f (5,3)＋6＝f (5,2)＋8＝f (5,1)＋10＝26. 所以这3个结论都正确． 答案 313．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，若函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________． 解析 根据凸函数的性质定理，可得sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝332，即sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.答案33214．(2011·陕西高考)观察下列各式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析 由前4个等式可知，第n 个等式的左边第一个数为n ，且连续2n －1个整数相加，右边为(2n －1)2，故第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知a 、b 、c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a ＋b ＋c ≤ 3.证明 ∵a ·13≤a ＋132， b ·13≤b ＋132， c ·13≤c ＋132， 三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1.∴a ＋b ＋c ≤ 3.16．(本小题满分14分)设a ，b ，c 均为奇数，求证：方程ax 2＋bx ＋c ＝0无整数根．证明 假设方程有整数根x ＝x 0，∴ax 20＋bx 0＋c ＝0，∴c ＝－(ax 20＋bx 0)． 若x 0是偶数，则ax 20，bx 0是偶数， ax 20＋bx 0是偶数，从而c 是偶数，与题设矛盾； 若x 0是奇数，则ax 20，bx 0是奇数， ax 20＋bx 0是偶数，从而c 是偶数，与题设矛盾．综上所述，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有整数根．17．(本小题满分14分)在数列{a n }中，a 1＝－23，a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求S 1，S 2，S 3；(2)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想． 解 (1)∵n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n ＋2，∴S n －1＋1S n ＋2＝0(n ≥2)，S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)，S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45.(2)猜想S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，S 1＝－23＝－1＋11＋2，猜想正确．②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想正确，即S k ＝－k ＋1k ＋2，那么S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2，这表明当n ＝k ＋1时猜想也正确．根据①，②可知对任意n ∈N *，S n ＝－n ＋1n ＋2.18．(本小题满分16分)由下列各个不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋14＋…＋17＞32，1＋12＋13＋14＋…＋115＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解 根据给出的几个不等式可以猜测第n 个不等式，即一般不等式为1＋12＋13＋14＋…＋12n －1＞n2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下： (1)当n ＝1时，1＞12，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即1＋12＋13＋14＋…＋12k －1＞k2，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＞k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k 1－1＞k 2＋12k 1＋12k 1＋…＋12k 1＝k 2＋2k 2k 1＝k ＋12，即当n ＝k ＋1时，猜想也正确．由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立．19．(本小题满分16分)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1A C 2，那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解 如图①所示，由射影定理知 AD 2＝BD ·DC ， AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ， 图①∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 所以1AD 2＝1AB 2＋1AC2.类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体A -BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.如图②，连接BE 并延长交CD 于F ， 连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， 图② ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9. 所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1.因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23.当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －1－12b n －1，化简得b n ＝13b n －1，所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·13n －1＝23n .所以a n ＝2n －1，b n ＝23n .(2) 因为S n ＝1＋(2n －1)2×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2.下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5.猜想：n ≥4时，1b n ＞S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k >S k ＋1，即3k2＞(k ＋1)2，那么，1b k＋1＝3k＋12＝3·3k2>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，1b n>S n＋1也成立．由①②可知，对任何n∈N*，n≥4，1b n>S n＋1都成立．综上所述，当n＝1,2,3时，1b n<S n＋1，当n≥4时，1b n>S n＋1.。

高中数学 第2章《推理与证明》综合测试 苏教版选修22一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．分析法是从要证明的结论出发逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 答案：Ａ 2．数列25112047x ，，，，，，中的x 等于（ ）Ａ．28 Ｂ．32 Ｃ．33 Ｄ．27 答案：Ｂ3．已知1c >，a =b = ）Ａ．a b > Ｂ．a b <Ｃ．a b =Ｄ．a b ，大小不定答案：Ｂ4．用数学归纳法证明等式*(3)(4)123(3)()2n n n n +++++++=∈N 时，验证1n =时，左边应取的项是（ ）Ａ．1 Ｂ．12+ Ｃ．123++ Ｄ．1234+++ 答案：Ｄ5．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ） Ａ．有一个解 Ｂ．有两个解 Ｃ．至少有三个解 Ｄ．至少有两个解 答案：Ｃ6．已知等比数列113n n a -=，其部分和1nn k k S a ==∑，则1k S +与k S 的递推关系不满足（ ）Ａ．11k k k S S a ++=+ Ｂ．1113k k S S +=+Ｃ．1113k k k S S ++=+Ｄ．1133k k k k S S a a ++=-++答案：Ｃ7．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是（ ）Ａ．各正三角形内的任一点 Ｂ．各正三角形的中心Ｃ．各正三角形边上的任一点 Ｄ．各正三角形的某中线的中点 答案：Ｂ 8．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理（ ） Ａ．小前提错 Ｂ．结论错 Ｃ．正确 Ｄ．大前提错 答案：Ｃ9．ABC △中，若sin sin cos cos A B A B <，则该三角形是（ ） Ａ．直角三角形 Ｂ．钝角三角形 Ｃ．锐角三角形 Ｄ．不能判断 答案：Ｂ10．当123456n =，，，，，时，比较2n 与2n 的大小并猜想得（ ） Ａ．1n ≥时，22n n > Ｂ．3n ≥时，22n n > Ｃ．n 4≥时，22n n >Ｄ．5n ≥时，22n n >答案：Ｄ11．对于函数2()2f x x x =+，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值max1M =-叫做2()2f x x x =+的下确界，则对于a b ∈R ，，且a b ≠-，222()a b a b ++的下确界是（ ） Ａ．12Ｂ．2Ｃ．14Ｄ．4答案：Ａ12．在R 上定义运算:2xx y y=-，若关于x 的不等式()(1)0x a x a -+->的解集是集合{}22x x x -∈R ≤≤，的子集，则实数a 的取值范围是（ ） Ａ．22a -≤≤ Ｂ．11a -≤≤ Ｃ．21a -≤≤ Ｄ．12a ≤≤ 答案：Ｃ二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．Rt ABC △中，若90C ∠=，AC b =，BC a =，则ABC △的外接圆半径为22a b r +=，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为．答案：在三棱锥A BCD -中，若AB ，AC ，AD 两两互相垂直，且AB a =，AC b =，AD c =，则此三棱锥外接球半径为222a b c R ++=14．观察下列各式：211=；22343++=；2345675++++=；2456789107++++++=； …，由此可以得出的一般结论为 ． 答案：2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-15．图中由火柴杆拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第四个图形中，火柴杆有 根；第n 个图形中，火柴杆有 根．答案：13；31n +16．函数()y f x =在(02)，上是增函数，函数(2)y f x =+是偶函数，则(1)f 、(2.5)f 、(3.5)f 的大小关系是．答案：(2.5)(1)(3.5)f f f >>三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题13分）判断命题“若a b c >>且0a b c ++=，则23b aca-<”是真命题还是假命题，并证明你的结论． 解：此命题是真命题．0a b c ++=，a b c >>，0a ∴>，0c <．要证23b ac-<成立， 只需证23b ac a -<，即证223b ac a -<，也就是证22()3a c ac a +-<， 即证()(2)0a c a c -+>．因为0a c ->，2()0a c a c a b a +=++=-+>， 所以()(2)0a c a c -+>成立．故原不等式成立．即命题为真命题． 18．（本小题13分）已知a b c d ∈R ，，，，且1a b c d +=+=，1ac bc +>，求证：a b c d ，，，中至少有一个是负数． 证明：假设a b c d ，，，都是非负数． 因1a b c d +=+=，所以()()1a b c d ++=， 又()()a b c d ac bd ad bc ac bd ++=++++≥， 所以1ac bd +≤，这与已知1ac bd +>矛盾． 所以a b c d ，，，中至少有一个是负数．19．（本小题15分）已知()(27)39nf n n =++，是否存在自然数m ，使对任意*n ∈N ，都有m 整除()f n ？如果存在，求出m 的最大值，并证明；若不存在，说明理由． 解：由(1)36f =，(2)108f =，(3)360f =，(4)1224f =，猜想()f n 能被36整除． 证明：（1）当1n =时，猜想显然成立．（2）假设n k =时，()f k 能被36整除，即(27)39kk ++能被整除， 则1n k =+时，11(1)[2(1)7]393[(27)39]18(31)k k k f k k k +-+=+++=+++-，根据假设可知3[(27)39]kk ++能被36整除，而131k --是偶数．所以118(31)k --能被36整除，从而(1)f k +能被36整除．综上所述，*n ∈N 时，()f n 能被36整除，由于(1)36f =，故36是整除()f n 的自然数中的最大值．20．（本小题14分）已知命题：“若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，令12n n n b a a a =，则数列{}n b *()n ∈N 也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{}n a 是等差数列，令12nn a a a b n+++=，则数列{}n b 也是等闭幕数列．证明如下：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1121(1)2(1)2nn n n na da a a db a n nn -++++===+-，所以数列{}n b 是以1a 为首项，2d为公差数列． 故所得命题成立．21．（本小题15分）设{}n a 是集合{}220tss t s t +<∈Z ≤，且，中的所有的数从小到大排列成的数列，即13a =，25a =，36a =，49a =，510a =，612a =，…，将数列{}n a 各项按上小下大、左小右大的原则写成如下三角形数列：3 5 6 9 10 12 — — — — — — — — —… … …（1）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； （2）求100a ．解：（1）第一行的数：1322=+， 第二行的数：2522=+，21622=+，第三行的数：3922=+，311022=+，321222=+ 那么第n 地的数为：022n +，122n +，，122n n -+，由此规律，第四行为：17182024，，，， 第五行为：3334364048，，，，； （2）前n 行数的总个数为：(1)1232n n n +++++=． 当13n =时，1314911002⨯=<， 当14n =时，14151051002⨯=>，故100a 应是第14行的第9个数，1481002216640a ∴=+=．高中苏教选修（2-2）第2章推理与证明综合测试B一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若0a >，0b >，则有（ ）Ａ．22b b a a >-Ｂ．22b b a a <- Ｃ．2b b a a2-≥Ｄ．2b b a a2-≤ 答案：Ｃ2．下面说法正确的有（ ）①演绎推理是由一般到特殊的推理； ②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关． Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个 答案：Ｃ3．若x y ∈R ，，且2226x y x +=，则222x y x ++的最大值为（ ） Ａ．14 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．17 答案：Ｂ4．已知直线a b ，是异面直线，直线c a ∥，那么c 与b 的位置关系（ ） Ａ．一定是异面直线 Ｂ．一定是相交直线 Ｃ．不可能是平行直线 Ｄ．不可能是相交直线 答案：Ｃ5．设()()f x x ∈R 为奇函数，1(1)2f =，(2)()(2)f x f x f +=+，则(5)f =（ ） Ａ．0Ｂ．1Ｃ．52Ｄ．5答案：Ｃ6．设平面内有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则()f n =（ ）Ａ．1(1)(2)2n n -- Ｂ．1(2)2n n - Ｃ．1(1)(1)2n n +-Ｄ．1(1)(2)2n n +-答案：Ｄ7．条件甲：“1a >”是条件乙：“a a >”的（ ）Ａ．既不充分又不必要条件 Ｂ．充要条件Ｃ．充分不必要条件Ｄ．必要不充分条件答案：Ｂ 8．对于不等式2*1()n n n n ++∈N ，某学生的证明过程如下：①当1n =时，21111++，不等式成立；②假设*()n k k =∈N 时，不等式成立，21k k k ++，则1n k =+222(1)(1)32(32)(2)k k k k k k k +++=++<++++2(2)(1)1k k =+=++，∴当1n k =+时，不等式成立．由①②可知，对任意*n ∈N ，不等式成立．（ ） Ａ．过程全部正确 Ｂ．1n =验证得不正确Ｃ．归纳假设不正确Ｄ．从n k =到1n k =+的推理不正确答案：Ｄ9．若数列{}n a 满足：113a =，且对任意正整数m n ，都有m n m n a a a +=，则数列{}n a 是（ ）Ａ．首项为13，公差为13的等差数列 Ｂ．首项为13，公比为13的等比数列Ｃ．首项为13，公差为23的等差数列Ｄ．首项为13，公比为23的等比数列答案：Ｂ10．定义集合运算：{}()AB z z xy x y x A y B ==+∈∈，，，设集合{}01A =，，{}23B =，，则集合AB 的所有元素之和为（ ）Ａ．0Ｂ．6Ｃ．12Ｄ．18答案：Ｄ11．已知a b c d ，，，是正实数，a b c dP a b c a b c c d a c d b=+++++++++++，则有（ ）Ａ．01P << Ｂ．12P << Ｃ．23P << Ｄ．34P << 答案：Ｂ12．弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（ ） Ａ．0颗 Ｂ．4颗 Ｃ．5颗 Ｄ．11颗 答案：Ｂ二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1S ，2S ，3S ，4S ，则四面体的体积V =．答案：12341()3R S S S S +++ 14．长方形ABCD 的对角线AC 与边AB 和AD 的夹角分别为α和β，则有22cos cos 1αβ+=，此结论推广到空间可得．答案：长方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角分别为αβγ，，，则有222cos cos cos 1αβγ++=15．在三角形ABC 中，若222a b c +=，则三角形ABC 是直角三角形；在三角形ABC 中，若(2)nnna b c n +=>，则三角形ABC 是三角形．答案：锐角三角形16．在空间 这样的多面体，它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边（填“不存在”或“存在”）． 答案：不存在三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题13分）证明：对于任意实数x y ，都有4421()2x y xy x y ++≥． 证明：（分析法）要证4421()2x y xy x y ++≥， 只需证明4422()()x y xy x y ++≥， 即4433222()2x y x y xy x y +++≥． 要证4433222()2x y x y xy x y +++≥，只需4433x y x y xy ++≥与44222x y x y +≥同时成立即可． 又知44222222()0x y x y x y +-=-≥，即44222x y x y +≥成立， 只需再有4433x y x y xy ++≥成立即可． 由于443333()()x y x y xy x y x y +--=--，x y -与33x y -同号，33()()0x y x y ∴--≥，即4433x y x y xy ++≥成立，∴对于任意实数x y ，都有4421()2x y xy x y ++≥成立．18．（本小题13分）已知2()f x x bx c =++． （1）求证：(1)(3)2(2)2f f f +-=；（2）求证：(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于12． 证明：（1）222(1)(3)2(2)1332(22)2f f f b c b c b c +-=+++=+-++=； （2）（反证法）假设(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于12不成立，则假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于12，则111(1)2(2)(3)22222f f f ++<+⨯+=，即(1)2(2)(3)2f f f ++<．①而(1)2(2)(3)(1)(3)2(2)2f f f f f f +++-=≥， 即(1)2(2)(3)(1)(3)2(2)2f f f f f f +++-=≥， 即(1)(2)(3)2f f f ++≥，这与①矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于12． 19．（本小题14分）已知0(12)i a i n >=，，，，考查 ①1111a a ≥； ②121211()4a a a a ⎛⎫++⎪⎝⎭≥； ③123123111()9a a a a a a ⎛⎫++++⎪⎝⎭≥， 归纳出对1a ，2a ，…，n a 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明． 解：归纳得31212111()n n a a a n a a a ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭≥．下面用数学归纳法证明： （1）由已知，123n =，，时，不等式成立． （2）假设*()n k k =∈N 时，不等式成立，即有2111kkii i ia k a ==∑∑≥， 则当1n k =+时，11111111111k k k k i i k i i i i i i k a a a a a a +++====+⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑1111111111kkk ki i k i i i i i k i a a a a a a +====+=+++∑∑∑∑ 1111111kkk k i i i i i i i k a a a a a a +===+⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭∑∑∑2221211(1)ki k k k =++=+=+∑≥．20．（本小题15分）已知数列1a ，2a ，…，30a ，其中1a ，2a ，…，10a 是首项为1，公差为1的等差数列；10a ，11a ，…，20a 是公差为d 的等差数列，20a ，21a ，…，30a 是公差为2d 的等差数列(0)d ≠． （1）若2040a =，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得30a ，31a ，…，40a 是公差为3d 的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？解：（1）1010a =，20101040a d =+=，3d ∴=；（2）2230201010(1)(0)a a d d d d =+=++≠，230131024a d ⎡⎤⎛⎫=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当(0)(0)d ∈-∞+∞，，时，30[7.5)a ∈+∞，；（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1a ，2a ，，10a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1n ≥时，数列10n a ，101n a +，，10(1)n a +是公差为nd 的等差数列．研究的问题可以是：试写出10(1)n a +关于d 的关系式，并求10(1)n a +的取值范围．研究的问题可以是：由32340301010(1)a a d d d d =+=+++，依次类推可得110(1)110110(1)1(1) 1.n n n d d a d d dn d -+⎧-⨯≠⎪=+++=-⎨⎪10+=⎩，，， 当0d >时，10(1)n a +的取值范围为(10)+∞，． 21．（本小题15分）自然状态下的鱼类是一种再生的资源．为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用n x 表示某鱼群在第n 年年初的总量，*n ∈N ，且10x >．不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与n x 成正比，死亡量与2n x 成正比，这些比例系数依次为正常数a b c ，，．（1）求n x 与1n x +的关系式；（2）猜测：当且仅当1x 、a 、b 、c 满足什么条件时，每年年初鱼群总量保持不变？（不要求证明） （3）设2a =，1c =，为保证对任意1(02)x ∈，，都有0n x >，*n ∈N ，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论．解：（1）从第n 年初到第1n +年初，鱼群的繁殖量为n ax ，被捕捞量为bx ，死亡量为2n cx ，因此21n n n n n x x ax bx cx +-=--，*n ∈N ， 即1(1)n n n x x a b cx +=-+-，*n ∈N ；（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则n x 恒等于1x ，*x ∈N ， 10a b cx ∴--=，即1a b x c-=． 10x >，a b ∴>． 猜想：当且仅当a b >且1a b x c-=时，每年年初鱼群的总量保持不变； （3）若b 的值使得0n x >，*n ∈N ．又1(3)n n n x x b x +=--，*n ∈N ，则03n x b <<-，*n ∈N ，特别地，有103x b <<-，即103b x <<-．而1(02)x ∈，，所以(01]b ∈，．由此猜想b 的最大允许值是1．下证：当1(02)x ∈，，1b =时，都有(02)n x ∈，，*n ∈N ． ①当1n =时，结论显然成立． ②假设当n k =时，结论成立，即(02)k x ∈，． 则当1n k =+时，1(2)0k k k x x x +=->．又因为21(2)(1)112k k k k x x x x +=-=--+<≤，所以1(02)k x +∈，．故当1n k =+时，结论成立．由①②可知，对于任意的*n ∈N 都有(02)n x ∈，． 综上所述，为保证对任意的1(02)x ∈，都有0n x >，*n ∈N ，则捕捞强度b 的最大允许值是1．。

第2章 推理与证明章末检测试卷(二)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号) ①演绎推理是由一般到特殊的推理； ②演绎推理得到的结论一定是正确的； ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关． 答案 ①③④解析 如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确，在大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．2．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________． 答案 A解析 由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过A 城市，由此可知，乙去过的城市为A .3．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为________．答案 f (x )＝2x ＋1(x ∈N *) 解析 当x ＝1时，f (2)＝2f (1)f (1)＋2＝23＝22＋1，当x ＝2时，f (3)＝2f (2)f (2)＋2＝24＝23＋1，当x ＝3时，f (4)＝2f (3)f (3)＋2＝25＝24＋1，故可猜想f (x )＝2x ＋1(x ∈N *)． 4．观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是____________________． 答案 F ＋V －E ＝2解析 在三棱柱中5＋6－9＝2； 在五棱锥中6＋6－10＝2； 在立方体中6＋8－12＝2， 由此可得F ＋V －E ＝2.5．某同学在纸上画出如下若干个三角形： △▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2015个三角形中▲的个数是________． 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 62解析 前n 个▲中所包含的所有三角形的个数是1＋2＋3＋…＋n ＋n ＝n (n ＋3)2，由n (n ＋3)2＝2015，解得n ＝62.6.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，以此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.答案 14解析 根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1，所以{a n }构成a 1＝2，q ＝22的等比数列， 所以a 7＝a 1q 6＝2×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的序号是________． ①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥． 答案 ①③解析 类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．8．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2018a 2019＝________.答案20172018解析 由已知图形，可知a 2＝1＋2，a 3＝1＋2＋3，a 4＝1＋2＋2＋4，a 5＝1＋2＋2＋2＋5，故a n 等于n 个数的和，其中第一个数为1，最后一个数为n ，中间的n －2个数为2，所以a n ＝1＋2(n －2)＋n ＝3n －3＝3(n －1)． 故9a n a n ＋1＝93(n －1)×3n ＝1n (n －1)＝1n －1－1n (n >1，n ∈N *)． 所以9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2018a 2019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12017－12018＝1－12018＝20172018. 9．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题 答案 m >n 解析 ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒(a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒a ＋b2>a ＋b2⇒lga ＋b2>lga ＋b2.10.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案a 38解析 解法的类比(特殊化)，可得两个正方体重叠部分的体积为a 38.11.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________．答案 8解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6＋6(n －1)2×(n －1)＝3n 2－3n ＋1.由题意得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故它的层数为8.12．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n 个图形中，火柴杆有________根．答案 13 3n ＋113．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ](其中[x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________． 答案 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310解析 根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表，即余数分别为7,8,9时，可增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加3，因此，利用取整函数可表示为y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．答案 14解析 如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b 2＝1知，A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP →＝mOA →＋nOB →，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝(m －n )a ，y ＝(m ＋n )b ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14. 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)1，3，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．解 假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d ，则 1＝3－md,2＝3＋nd ，m ，n 为两个正整数，消去d ，得m ＝(3＋1)n .∵m 为有理数，(3＋1)n 为无理数，∴m ≠(3＋1)n . ∴假设不成立．即1，3，2不可能为同一等差数列中的三项． 16．(14分)设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，对任意实数a ，b 不等式都成立．17．(14分)已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0，用反证法证明，关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根．证明 假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实数根， 则该方程的根的判别式Δ＝4－4(5－p 2)≥0， 解得p ≥2或p ≤－2.①而由已知条件实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)<0， 解得－2<p <－12.②数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立， 从而关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实数根．18．(16分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 19．(16分)(2017·江苏)如图，在三棱锥ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .证明 (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 所以AB ∥EF .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD . 因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD . 又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.20．(16分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.证明(1)因为E，F分别为A1B，A1C的中点，所以EF∥BC, 又EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1，BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，所以A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.。

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第2章推理与证明(A）(时间：120分钟满分：160分）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分，共70分)1．下列推理过程是类比推理的是__________．①人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为错误!②科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼③通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性④由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数2．观察式子：1＋错误!〈错误!，1＋错误!＋错误!<错误!，1＋错误!＋错误!＋错误!〈错误!，…，则可归纳出一般式子为______________________．3．若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的：①ab＝ba；②(ab)c＝a（bc）;③若ab＝bc，b≠0，则a－c＝0；④若ab＝0,则a＝0或b ＝0.对向量a，b，c,用类比的思想可得到以下四个结论：①a·b＝b·a；②(a·b）c＝a(b·c)；③若a·b＝b·c，b≠0，则a＝c；④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.其中正确结论的个数为________．4．已知数列{a n｝满足a1＝0，a n＋1＝错误! (n∈N＊)，则a2 010＝________。

5．设凸n边形的内角和为f(n)，则f（n＋1)－f（n)＝______.6．观察下列数表规律则从数2 010到2 011的箭头方向是__________．7．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f（k），则增加了一条直线后，它们的交点个数最多为____________．8．勾股定理：在直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形中，有a2＋b2＝c2。

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第2章推理与证明章末总结知识点一合情推理归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理．例1在平面上有n条直线,任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点,问这些直线把平面分成多少部分？例2如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A,B，C的对边，类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想．知识点二演绎推理合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系,相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．演绎推理的一般模式是“三段论”．例3已知函数f（x)＝ax＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞）,确定f(x）的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．知识点三综合法与分析法综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但两种证明方法思路截然相反,分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换,相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用,转换解题思路，增加解题途径．例4已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：错误!错误!错误!≥8。

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第2章推理与证明1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理,后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的,前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法:综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法,反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.题型一归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理,两种推理的结论“合情"但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想,最后用逻辑推理方法进行验证．例1 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.答案123解析记a n＋b n＝f(n),则f(3）＝f(1）＋f(2)＝1＋3＝4；f（4)＝f(2)＋f（3）＝3＋4＝7；f（5）＝f(3）＋f（4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f（n－1）＋f（n－2)(n∈N*，n≥3),则f(6）＝f（4）＋f（5）＝18；f(7）＝f(5）＋f（6)＝29；f（8）＝f（6)＋f（7)＝47；f(9)＝f（7）＋f(8）＝76；f(10)＝f（8）＋f（9)＝123.所以a10＋b10＝123。