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锐角三角函数练习卷(含答案)
一、选择题
1. 设角A为锐角，且sin(A) = 0.6，那么A的近似值是多少？- A）36.87°
- B）45°
- C）53.13°
- D）64.04°
答案：C）53.13°
2. 三角函数tan(A)的值是斜边长与________的比值。
- A）对边长
- B）邻边长
- C）斜边长
- D）角A的弧度
答案：B）邻边长
3. 三角函数cot(A)的值是邻边长与________的比值。
- A）对边长
- B）斜边长
- C）角A的弧度
- D）斜边长的倒数
答案：A）对边长
二、填空题
4. 已知角B是锐角，且cos(B) = 0.8，那么角B的近似值是________度。
答案：37°
5. 已知角C是锐角，且tan(C) = 0.5，那么角C的近似值是________度。
答案：26.57°
三、计算题
6. 已知三角形的两边分别为5和12，夹角为60°，求第三边的长度。
答案：13
7. 已知一个角的弧度为π/3，求sin和cos的值。
答案：sin(π/3) = (√3) / 2, cos(π/3) = 1 / 2
四、证明题
请证明：sin^2(A) + cos^2(A) = 1，其中A是任意角。
证明：
由三角恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1可得：
sin^2(A) + cos^2(A) = (1 - cos^2(A)) + cos^2(A) = 1
证毕。
第七章 锐角三角函数 检测卷（满分：120分 时间：90分钟）一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是 ( )A ．sinA 的值越大，梯子越陡B ．cosA 的值越大，梯子越陡C ．t a nA 的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与∠A 的函数值无关2．如果a 是等腰直角三角形的一个锐角，那么t a n a 的值是 ( )A ．BC ．1 D3．若∠A 是锐角，且cos (A ＋15°)＝sin (A＋15°)，则∠A 的度数是 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．不能确定4．在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则6cos B 的值为 ( )A ．3B ．2C ．D ．5．一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到一座灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，看到灯塔A 在它的正南方向，则这艘船航行的速度为 ( )A ．18海里／时B ．C ．36海里／时D ．6．（2011．潍坊）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是 ( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，则三条垂线段长的和为 ( )A B ． C ． D ． 8．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，∠C ＝120°，AB ＝8，则CD 的长为( ) 12AB ．4 CD ．9．（2011．兰州）如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC'B'，则t a n B'的值为 ( ) A ． B ．13C ．14 D10．(2011．武汉)如图，铁路MN 和公路PQ 在点0处交汇，∠QON ＝30°．公路PQ 上A处距离O 点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米／时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为( )A ．12秒B ．16秒C ．20秒D ．24秒二、填空题（每题3分，共24分）11．计算：6cos 30°t a n 30°＋2sin 2 45°＝_______．12．在△ABC 中，∠C ＝90°，若t a n A ＝，则sinA ＝13．如图，O 为坐标原点，∠AOB ＝30°，∠ABO ＝90°，且点A 的坐标为(4，0)，则点B 的坐标为_______．14．在△ABC 中，AB AC ＝2，∠C ＝ 30°，则∠BAC ＝________．15．在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么相邻两棵树间的斜坡距离为_______米．16．已知等腰三角形的周长为20，一内角的余弦值为23，那么该等腰三角形的腰长等于_______．17．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE ＝2AE ，已知AD ＝t a n ∠BCE ，那么CE ＝_______． 18． (2011．乌兰察布)某厂家新开发的一种电动车如图所示，它的大灯A 射出的光线AB 、AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A 与地面的距离为1m ，则该车12大灯照亮地面的宽度BC 是_______m （不考虑其他因素，t a n 8°＝17，t a n 10°＝528）．三、解答题（第19题8分；第20、21题每题10分；第22、23题每题12分；第24题14分，共66分）19．在△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下面的条件解这个三角形：(1)a ＝4，b ＝ (2)a ＝A ＝45°．20．如图，我国海军在亚丁湾一海域执行护航任务的某军舰由东向西行驶，在航行到B 处时，发现灯塔A 在军舰的正北方向500米处；当该军舰从B 处向正西方向行驶至达C 处时，发现灯塔A 在军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程．（结果保留根号）21．“五一”假期间，某数学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A 点出发沿斜坡AB 到达B 点，再从B 点沿斜坡BC 到达山顶C 点，路线如图所示，斜坡AB 的长为1040米，斜坡BC 的长为400米，在C 点测得B 点的俯角为30°，已知A 点海拔121米，C 点海拔721米．求：(1)B 点的海拔；(2)斜坡AB 的坡度．22．如图，E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD上．(1)求证：△ABF ∽△DFE ；(2)若sin ∠DFE ＝13，求t a n ∠EBC 的值．23．（2011．南昌）如图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形．当点O到BC(或DE)的距离大于或等于⊙O的半径时(⊙O是桶口所在圆，半径为OA)，提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格，现在用金属材料做了一个水桶提手（如图丙A－B－C－D－E－F，C－D是弧CD，其余是线段），O是AF 的中点，桶口直径AF＝34 cm，AB＝FE＝5 cm，∠ABC＝∠FED＝149°，请通过计算判断这个水桶提手是否合格17. 72，tan 73.6°≈3.40，sin 75.4°≈0.97）．24．如图，在海面上产生了一股强台风，台风中心(记作点M)位于滨海市(记作点A)的南偏西15°，距离为千米，且位于临海市(记作点B)正西方向风中心正以72千米／时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．(1)滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由；(2)若受到此次台风侵袭，则该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？参考答案一、1．A 2．C3．A4．B 5．B6．D7．A8．A9．B 10．B二、11．4 1213．（314．15°或105°15．16．6 17．18．1.4三、19．(1) ∠A＝30°、∠B＝60°、c＝8 (2) ∠B＝45°、b＝c＝20．该军舰行驶的路程为21．(1)521（米）(2) 斜坡AB的坡度为1：2.422．(1)略23．水桶提手合格24．(1)滨海市不会受到台风的侵袭．临海市会受到台风浸袭(2)临海市受到台风侵袭时间为56小时。
1 / 52015-2016学年度第一学期北京市西城区普通中学初三数学锐角三角函数 单元测试 2(时间45分钟 满分100分) 姓名一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 1． 60cos 的值等于（ ）A ．21B ．22C ．23D ．12.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则tanA 的值是（ ）A ．15B ．14C ．15D ．４3．已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于( ) Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒804．已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC 的长是（ ）A ．sin 40mB ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m5.在Rt ABC △中，90C ∠=，5BC =，15AC =，则A ∠=（ ）A ．90B ．60C ．45D ．306.如图，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）位于她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）A ．250m.B ． 250.3 m.C ．500.33 m.D ．3250 m.7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）A ．247B ．7 C ．724D ．1368CEABD（第7题）第6题2 / 5（第10题）（图1）（图2） AB C 8．因为1sin 302=，1sin 2102=-，所以sin 210sin(18030)sin 30=+=-；因为2sin 45=，2sin 225=-，所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ ）A ．12-B ．22-C ．3-D ．3-二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）9.2cos45°-21tan60°= ;10．如图是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼 成一个正三角形（图2），那么在Rt △ABC 中，sin B ∠的值是 ；11.林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示．现已知5380.5BAC AB =︒=∠′，米，则这棵大树的直径约为_________米；（结果精确到0.1米）12．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为 ； 13.如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中1:3i =是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），60B ∠=，6AB =，4AD =，拦水坝的横断面ABCD 的面积 是 （结果保留三位有效数字，参考数据：3 1.732=，2 1.414=） 三、解答题（共48分）14．(8分)在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a=3，ABCDE 第13题1:3i =第12题BOC第11题3 / 5b=3，解这个三角形．15. （8分）如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高． (精确到0.1米) （供选用的数据：sin 400.64≈，cos 400.77≈，tan 400.84≈）16.（10分）如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地40公里的B 处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治，已知C 岛在A 的北偏东60º方向，且在B 的北偏西45º方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20公里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？ （精确到0.1，参考数据：2 1.41≈，6≈2.45）17．（10分）如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知6BC =米，9AB =米，中间平台宽度DE 为2米，DM EN ，为平台的两根支柱，DM EN ，垂直于AB ，垂足分别为M N ，，30EAB ∠=，45CDF ∠=．求DM 和BC 的水平距离BM ．（精确到0.12 1.41≈3 1.73≈）AN M BFCED40︒E D CBA4 / 5（第19题）18．（12分）为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙． （1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立在对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处． （3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视力表．如果大视力表中“E ”的长是3.5cm ，那么小视力表中相应“E ”的长是多少cm ？（附加题5分）19．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB 的值为 。
xx学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）试题1:在△ABC中，∠C＝90º，AB＝2，AC＝1，则sin B的值是( )A ．B ．C ． D．2试题2:在Rt△ABC中，∠C＝90º，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是 ( )A．sin B＝B．cos B＝C．tan B＝D．tan B＝试题3:tan 30º的值等于( )A．B．C． D．试题4:刘红同学遇到了这样一道题：tan(α＋20º)＝1，你认为锐角α的度数应是 ( )A．40ºB．30ºC．20ºD．10º如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC＝2，则sin B的值是( )A．B．C．D．试题6:如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB 的延长线上的D'处，那∠tan∠BAD'等于( )A．1 B．C．D．2试题7:若直角三角形的两边长分别是6、8，则第三边的长为( ) A．10 B．2C．10或2D．无法确定试题8:在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60º，则四边形ABCD的面积为( )A． 24 B．12 C．12D．24小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上（如图所示），量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( )A．9米B．28米C．（7＋）米 D．（14＋2）米试题10:某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60º，否则就有危险，那么梯子的长至少为( )A．8米B．8米C．米D．米试题11:在△ABC中，∠C＝90º，AB＝13，AC＝5，则tan A＝________．试题12:某坡面的坡度为1:，则坡角是________度．试题13:如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O 在格点上，则∠AED的正切值等于________．试题14:若∠A是锐角，且tan A＝，则cos A＝________．试题15:若某人沿坡度i＝1:2在的斜坡前进300m，则他在水平方向上走了________m．试题16:如图，菱形ABCD的边长为10 cm ，DE⊥AB，sinA＝，则这个菱形的面积为________cm2．试题17:如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30º，C点的俯角为60º，则建筑物CD的高为________米．试题18:已知tan α＝，α是锐角，则sin α＝________．试题19:半径为6的圆内接正六边形的边长等于________．试题20:如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，E为AD边上的一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上，则tan∠AFE＝________．计算：tan 30ºsin 60º＋cos230º－sin245ºtan45º．试题22:在△ABC中，∠C＝90º，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．根据下面的条件解这个三角形：(1) a＝4，b＝4；(2)a＝3，∠A＝45º．试题23:在△ABC中，∠A＝60º，∠B＝45º，AB＝3＋，求△ABC的面积（结果可保留根号）．试题24:热气球的探测器显示，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30º，看这栋高楼底部的俯角为60º，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73）?试题25:某数学课外小组测量五象泉雕塑CD的高度，他们在地面A处测得雕塑顶部D 的仰角为30º，再往雕塑底部C的方向前进18米至B处，测得仰角为45º（如图所示），请求出五象泉雕塑CD的高度（精确到0.01米）．如图，小刚面对黑板坐在椅子上．若把黑板看作矩形，其上的一个字看作点E，过点E的该矩形的高为BC，把小刚的眼睛看作点A．现测得BC＝1.41米，视线AC恰与水平线平行，视线AB与AC的夹角为25º，视线AE与AC的夹角为20º，求AC和AE的长(精确到0.1米，参考数据：sin 20º≈0.34，cos 20º≈0.94，tan 20º≈0.36，sin 25º≈ 0.42，cos 25º≈0.91，tan 25º≈0.47) ．试题27:如图，小岛A在港口P的南偏西45º方向、距离港口81千米处，甲船从A出发，沿AP方向以9千米／时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60º方向以18千米／时的速度驶离港口，现两船同时出发．(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等？(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向（结果精确到0.1小时，参考数据：≈l.41，≈l.73）?试题28:根据气象部门观测，距沿海某城市A的正南方向220 km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每离开台风中心增加20 km，风力就会减弱1级．该台风中心正以15 km/h的速度沿北偏东30º的BC方向移动，且台风中心风力保持不变．若城市所受风力达到或超过4级，则会受到台风影响．(1)该城市是否会受到台风影响？说明理由．(2)台风影响该城市的持续时间有多长？(3)该城市受台风影响的最大风力为几级？试题1答案:A试题2答案:C试题3答案: ．C试题4答案: D试题5答案: A试题6答案: B试题7答案: C试题8答案: C试题9答案: D试题10答案: C试题11答案:试题12答案: 60试题13答案:试题14答案:试题15答案:200试题16答案:． 60试题17答案:20试题18答案:试题19答案:6试题20答案:试题21答案:试题22答案:(1) ∠A＝30°，∠B＝60º，c＝8 (2) ∠B＝45º，b＝3，c＝6．试题23答案:△ABC的面积＝试题24答案:楼高约为152.2 m试题25答案:CD的高度约为24.59米试题26答案:AC的长约为3米，AE的长约为3.2米试题27答案:(1)出发后3小时两船与港口P的距离相等(2)出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向试题28答案:(1)城市A会受到台风影响(2)影响该城市的连续时间约为15. 49（小时）(3)当台风中心位子D处时，A市所受台风的风力最大，其最大风力为6.5（级）。
九年级下册《第二十八章锐角三角函数》章节测试卷（一）（满分120分，限时120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A．12 B．2CD2.已知α为锐角，sin（α﹣20°），则α=（）A．20° B．40° C．60° D．80°3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）ABC．12D．24.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB5.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定6.在△ABC中，∠C=90°，tanA=13，则cosA的值为（）AB．23C．34D7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）ABCD8.如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（）A ．3米B ．C ．D ．9.坡度等于1） A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B 处，测得仰角为1.7，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为（ ）A ．47mB ．51mC ．53mD ．54m二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11.求值：sin60°﹣tan30°= ．12.如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AB=10，则∠A= 度．13.如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则cos ∠AOB 的值是 ．A CBA14.△ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=13，则S △ABC = ． 15.如图，身高1.6m 的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m ，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高） ．16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A 在码头O 的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A 也可表示成_________________． 三、解答题(共8题，共72分)17.（本题8分）已知α为一锐角，sinα=45，求tanα．18.（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AB=2，求sinA 的值．19.（本题8分）如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．BCBA C20.（本题8分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm ）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）21.（本题8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB 长为AC 的长度．22.（本题10分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为45°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌底部C 的仰角为30°．已知山坡AB 的坡度i=1AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD 的高度．23.（本题10分）如图，在一笔直的海岸线上有A ，B 两个观测站，A 观测站在B 观测站的正东方向，有一艘小船在点P 处，从A 处测得小船在北偏西60°方向，D从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是千米．（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．24.（本题12分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C 在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）答案解析一、选择题1. 【答案．故选C ． 2.【答案】∵α为锐角，sin （α﹣20°）=，∴α﹣20°=60°，∴α=80°，故选D ．3.【答案】由图可得，tanα=2÷1=2．故选D ．4.【答案】A 、∵sinB=b c，∴b=c•sinB，故选项错误； B 、∵cosB=a c，∴a=c•cosB，故选项错误； C 、∵tanB=b a ，∴a=btan B，故选项错误； D 、∵tanB=b a ，∴b=a•tanB，故选项正确． 故选D ．5.【答案】∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1， ∴两三角形相似， ∴∠A 的三角函数值不变， 故选A ．6. 【答案】如图，∵tanA=13，∴设BC=x ，则AC=3x ，∴，∴． 故选D ．7. 【答案】延长BA 过点C 作CD ⊥BA 延长线于点D ，A∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°， ∵AB=4，AC=2，∴AD=1，BD=5， ∴sinB=CD BC=故选：B ．8.【答案】设直线AB 与CD 的交点为点O ． ∴BO DO AB CD =．∴AB=BO CDDO⨯．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°． 在Rt △BDO 中，tan60°=BODO． ∵CD=6．∴AB=BODO×故选B ．9.【答案】坡角α，则α=30°．故选A ． 10.【答案】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC ⊥AC ， ∴∠ADB=∠DBC ﹣∠A=30°， ∴∠ADB=∠A=30°， ∴BD=AB=60m ，51（m ）． 故选B ．DA二、填空题 11.【答案】原式． 12.【答案】∵∠C=90°，AB=10， ∴cosA=AC AB，∴∠A=30°， 故答案为：30°．13.【答案】由图可得cos ∠AOB=32． 故答案为：32．14.【答案】在Rt △ABC 中， ∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．∵sinA=13，∴BC=4，S △ABC =12AC•BC=16 15. 【答案】由题意得：AD=6m ， 在Rt △ACD 中，∴AB=1.6m ∴， 所以树的高度为（）m ． 16.【答案】过点A 作AC ⊥x 轴于C ．B在直角△OAC 中，∠AOC=90°﹣60°=30°，OA=14千米，则AC=12OA=7千米，OC=7因而小岛A 所在位置的坐标是（7）． 故答案为：（7）．三、解答题17.【解答】由sinα=45，设a=4x ，c=5x ，则b=3x ，故tanα=43．18.【解答】sinA=BC AB =12． 19.【解答】作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，CD=12AC=2，AD=AC•cosA=2在Rt △CDB 中，∵∠DCB=∠ACB ﹣∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴，∴aCD20.【解答】作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．∵α+∠DAF=180 º-∠BAD=180 º-90 º=90 º, ∠ADF+∠DAF=90 º, ∴∠ADF=36 º.根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．在Rt△ABE中，sinα=BEAB ，∴AB=oBEsin36=240.60=40mm在Rt△ADF中，cos∠ADF==DFAD，∴AD=oDFcos36=48600.80=mm．∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．21.【解答】如图，在Rt△ABD=4．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．即新传送带AC的长度约为8米；22.【解答】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABG中，i=tan∠，∴∠BAG=30°，∴BG=12AB=5，．在Rt△BFC中，∵∠CBF=30°，∴CF：，∴在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CF+FE﹣﹣15=（5）m．答：宣传牌CD高约（5）米．23.【解答】（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=3千米．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，∴PA=6千米．∴；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=12AB=千米．在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴PC=AF+CF﹣故小船沿途考察的时间为：（小时）．24.【解答】（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=AMME ，则x22x255-=+，解得：x=20．即教学楼的高20m ．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt △AME 中，cos22°=ME AE ．∴AE=oME cos 22， 即A 、E 之间的距离约为48m九年级下册《第二十八章 锐角三角函数》章节测试卷（二）一、选择题(本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分)1．将Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得到Rt △A ′B ′C ′，那么锐角∠A，∠A ′的余弦值的关系为( )A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定2．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为( )A.13B.12C.22D ．3 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝15，则tanA 等于( ) A ．2 6 B.62 C.265D ．24 4．等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶3，则顶角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°5．如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点F ，且点E 是AB 中点，则tan ∠BFE 的值是( )A.12 B ．2 C.33D. 3 6．已知α为锐角，且3tan 2α－(1＋3)tan α＋1＝0，则α的度数为( )A ．30°B ．45°C ．30°或45°D ．45°或60°7．如图，在▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长BC 到点F ，使CF∶BC＝1∶2，连接DF ，EC.若AB ＝5，AD ＝8，sinB ＝45，则DF 的长等于( )A.10B.15C.17 D ．2 58．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB ＝4，AD ＝6，则tanB 等于( )A ．2 3B ．2 2 C.114 D.554二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)9．计算：tan 45°－2cos 60°＝________．10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，sin A ＝23，那么AB ＝________． 11．如图，一束光线照在坡度1∶3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是________度．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，sin A ＝35，则DE ＝________．13．如图，小明从A 地沿北偏东60°方向走2千米到B 地，再从B 地向正南方向走3千米到C 地，此时小明距离A 地________千米．(结果保留根号)14．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分AC.若BD ＝8，AC ＝6，∠BOC ＝120°，则四边形ABCD 的面积为________．(结果保留根号)三、解答题(共9个小题，共70分)15．(5分)计算：20160－|－2|＋(13)－1＋2sin 45°.16．(6分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，sin B ＝45，求AB 边上的高CD.17．(6分)如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，CB ⊥DB ，坡面AC 的倾斜角为45°，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝3∶3，若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角(A点处)10米的建筑物是否需要拆除？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)18．(7分)如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图，已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米．EN，DM，CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N，M，B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于点F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)19．(7分)如图所示，在等腰△ABC中，AB＝BC，AE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，若CE＝2，cos∠AEF＝45，求BE的长．20．(8分)如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C 两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)21．(9分)某海域有A，B，C三艘船正在捕鱼作业，C船突然出现故障，向A，B 两船发出紧急求救信号，此时B船位于A船的北偏西72°方向，距A船24海里的海域，C船位于A船的北偏东33°方向，同时又位于B船的北偏东78°方向．(1) 求∠ABC的度数；(2) A船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点．(结果精确到0.01小时，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)22．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a.求证：(1) tan A＝sin A cos A；(2) sin2A＋cos2A＝1；(3) tan A·sin Atan A－sin A＝tan A＋sin Atan A·sin A.23．(12分)如图，在等边△ABC中，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD.(1) 求证：DF是⊙O的切线；(2) 求FG的长；(3) 求tan∠FGD的值．参考答案：一、1---8 AAAAD CCB二、9. 010. 911. 3012. 15413. 7 14. 12 3三、15. 解：原式＝1－2＋3＋2×22＝4 16. 解：在Rt △ABC 中，AC ＝AB·sin B ＝4，∵∠ACD ＝∠B(同角的余角相等)，∴AD ＝AC·sin ∠ACD ＝165，在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝12517. 解：∵BC＝10，∠CAB ＝45°，∠CBA＝90°，∴AB ＝10，∵tan ∠CDB ＝BC BD ＝33，∴BD ＝3BC 3＝3×10＝17.32(米)，∴DA ＝DB －AB ＝17.32－10＝7.32(米)，∵7.32＋3＝10.32＞10，∴离原坡角10米的建筑物需要拆除18. 解：设DF ＝x ，在Rt △DFC 中，∠CDF ＝45°·∴CF ＝tan 45°，DF ＝x ，又∵CB＝4，∴BF ＝4－x ，∵AB ＝6，DE ＝1，BM ＝DF ＝x ，∴AN ＝5－x ，EN ＝DM ＝BF ＝4－x ，在Rt △ANE 中，∠EAB ＝31°，EN ＝4－x ，AN ＝5－x ，tan 31°＝EN AN ＝4－x 5－x＝0.60，解得x ＝2.5.答：DM 和BC 的水平距离BM 为2.5米19. 解：∵AE⊥BC 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，∴∠AEB ＝∠AFE＝90°，∴∠B ＋∠BAE＝∠BAE＋∠AEF＝90°，∴∠B ＝∠AEF.设BE ＝4a ，∵cos ∠B ＝cos ∠AEF ＝BE AB，AB ＝BC ，∴AB ＝BC ＝5a ，CE ＝BC －BE ＝a.又∵CE＝2，∴a ＝2，∴BE ＝8 20. 解：过点D 作DF⊥AB 于点F ，过点C 作CH⊥DF 于点H.则DE ＝BF ＝CH ＝10 m ，在直角△ADF 中，∵AF ＝80 m －10 m ＝70 m ，∠ADF ＝45°，∴DF ＝AF ＝70 m ．在直角△CDE 中，∵DE ＝10 m ，∠DCE ＝30°，∴CE ＝DE tan 30°＝1033＝103(m )，∴BC ＝BE －CE ＝70－103≈70－17.32≈52.7(m )．答：障碍物B ，C 两点间的距离约为52.7 m21. 解：(1)由题意可知DB∥AE，∠DBA ＋∠BAE＝180°，∴∠DBA ＝108°，∠CBA ＝108°－78°＝30°，∠C ＝180°－30°－72°－33°＝45°(2)过点A 作AF⊥BC 于点F ，AF AB ＝sin ∠CBA ＝12，∴AF ＝12AB ＝12，在Rt △CFA 中，FA CA ＝sin C ＝22，∴CA ＝2AF ，∴AC ＝122，设A 船经过t 小时到出事地点，则30t ＝122，t ＝12230≈0.57(小时)，所以A 船经过0.57小时能到出事地点 22. 证明：(1)由三角函数可得tan A ＝a b ，sin A ＝a c ，cos A ＝b c .等式左边＝tan A ＝a b ，等式右边＝ac b c＝a b ，左边＝右边，∴tan A ＝sin A cos A(2)sin 2A ＋cos 2A ＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c2，∵△ABC 是直角三角形且∠C＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝c 2c 2＝1 (3)由(2)得sin 2A ＋cos 2A ＝1，由(1)得tan A ·cos A ＝sin A ，∴sin 2A ＝(1＋cos A)(1－cos A)，∴sin A 1－cos A ＝1＋cos A sin A ，等式两边分子、分母均乘以tan A ，得tan A ·sin A tan A －sin A＝tan A ＋sin A tan A ·sin A23. 解：(1)证明：连接OD ，∵△ABC 为等边三角形，∴∠C ＝∠A＝∠B＝60°，而OD ＝OB ，∴△ODB 是等边三角形，∠ODB ＝60°，∴∠ODB ＝∠C，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线(2)∵OD∥AC，点O 为AB 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴BD ＝CD ＝6，在Rt△CDF 中，∠C ＝60°，∴∠CDF ＝30°，∴CF ＝12CD ＝3，∴AF ＝AC －CF ＝12－3＝9，在Rt △AFG 中，∵∠A ＝60°，∴FG ＝AF·sin A ＝9×32＝932(3)过D 作DH⊥AB 于H ，∵FG ⊥AB ，DH ⊥AB ，∴FG ∥DH ，∴∠FGD ＝∠GDH.在Rt△BDH 中，∠B ＝60°，∴∠BDH ＝30°，∴BH ＝12BD ＝3，DH ＝3BH ＝33，在Rt △AFG 中，∵∠AFG ＝30°，∴AG ＝12AF ＝92，∵GH ＝AB －AG －BH ＝12－92－3＝92，∴tan ∠GDH ＝GH DH ＝9233＝32，∴tan ∠FGD ＝tan ∠GDH ＝32九年级下册《第二十八章 锐角三角函数》章节测试卷（三）一、选择题（每小题4分，共32分）1、cos60°的值等于（ ）。
九年级下册《锐角三角函数》单元测试一、选择题1. 4sin tan 5ααα=若为锐角,且，则为 ( ) 933425543A B C D ． ． ． ． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90° 3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）A ．10B ．22C ．10或27D ．无法确定4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan aA5、45cos 45sin +的值等于（ ）A.2B.213+ C.3D. 16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( )A. 3B. 300C. 503 D. 157．当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于12 B ．小于12C ．大于32D ．小于328．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ．2339．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）23 （D ）83310．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=43，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．323C ．10D ．12 二、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 12．若sin28°=cos α，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______． 14．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝54，则BC 的长为_______cm . 16.如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米17．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的高度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰角α＝60°，则旗杆AB 的高度为 ．（计算结果保留根号）（16题） (17题) 三、解答题18．由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8， （2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=35°19．计算下列各题．（1）s in 230°+cos 245°+2sin60°·tan45°； （2）22cos 30cos 60tan 60tan 30︒+︒︒⨯︒+ sin45°（45︒30︒BAD C四、解下列各题20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？21．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）22. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。
锐角三角函数综合测试题（时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（每小题3分，共30分）1.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A′B′C′，那么锐角A 、A′的余弦值的关系为（ ）A ．cosA=3cosA′ B3cosA=cosA′． C ．cosA=cosA′ D ．不能确定2.已知α为等边三角形的一个内角，则cos α等于（ ）A ．12BC D3.△ABC 中，，，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形4.（α+20°）=1，则锐角α的度数应是（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°5.如图1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）A ．sinA 的值越大，梯子越陡B ．cosA 的值越大，梯子越陡C ．tanA 的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与∠A 的函数值无关6.在正方形网格中，∠AOB 如图2放置，则cos ∠AOB 的值为（ ）A B C ．12 D.27.如图3，∠ C=90°，∠ABC=30°，延长CB 至点D ，使AB=BD ，利用此图可求得tan75°等于（ ）A ．B ．C D8.如图4，在固定电线杆时，要求拉线AC 与地面成75°角，已知拉线AC 的长为8米，则电线杆上固定点C 距地面（ ）A ．8•sin75°米B ．8sin75米C ．8•tan75°米D ．8tan 75米9.如图5，在一次台球比赛中，某运动员必须推动桌面上位于E 点的白球，撞向桌边上的F 点，反弹后撞中对边G 点的红球，已知AD=350cm ，AF=250cm ，∠AFE=20°，则DG 等于（ ）A ．100sin20°B ．100cos20°C ．100tan70°D ．100tan20°★10.如图6，学校的保管室里，有一架5m 长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成角为45°，如果梯子底端O 固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB 为（ ）A ．B ．52C ．52D ．52附备用试题2个 直接给出答案在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=15，则tanA 等于（ ）答案：AA ．BCD ．24 在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为45，CD 是斜边AB 上的高，则CD 的长是（ ） A ．5613 B ．12613 C ．7613 D ．1712答案：B二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图7，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD ∥AB ，则∠ 的余弦值为______.12.已知Rt △ABC 的两直角边长分别为3和4，则较小锐角的正切值是______. 13.某人沿坡度为0.75的斜坡前进50m ，则他所在的位置比原来的位置升高______m.14.如图8，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为______m （结果精确到0.1m ，）.15.如图9，乐乐在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到建筑物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A离地面的高度为米（结果保留根号）．16.等腰三角形的周长为1，则底角等于______度.17.如图10，机器人从A点沿西南方向行了B点，观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则点A的坐标为______.★18.某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图11所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮售价为a元/平方米，则购买这种草皮至少需要______元.附备用试题2个直接给出答案如图，小明从A地沿北偏东30°方向走到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时小明离A地m．（答案：100）某中学修建一座图书楼，为改善安全性能，把楼梯的倾斜角由原来设计的45°改为30°，已知原来设计的楼梯长为4.5m，在楼梯高度不变的情况下，调整后的楼梯多占地面______m.（答案：三、解答题（共66分）19．（6-cos45°20．（7分）如图12，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图．请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果精确到0.1m）21．（9分）如图13，四边形ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使点A与点E重合，折痕为MN，若tan∠AEN=13，DC+CE=10.（1）求△ANE的面积；（2）求sin∠ENB的值.22．(8分) 一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，如图14所示.这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？23．（8分）如图15，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab.试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由.24．(9分) 如图16，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.25. (9分)如图17，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，看旗杆顶部M的仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，看旗杆顶部M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B，N，D在同一条直线上）．请求出旗杆MN的高度． 1.4 1.7，结果保留整数）★26. (10分) 如图18，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5米，窗户的高度AF为2.5米.求窗外遮阳蓬外端一点D到窗户上椽的距离AD.(结果精确到0.1米)附备用试题2个 直接给出答案如图，一次函数的图象经过M 点，与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，根据图中信息求：（1）这个函数的解析式；（2）tan ∠BAO ．解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),将点B(0,6),M(-1,4)代入，得604(1)k b k b =+=-+⎧⎨⎩， 解之，得k=2,b=6∴这个函数的解析式为y=2x+6.（2）令y=0,代入y=2x+6，得x= -3∴点A 的坐标(-3,0).∴tan ∠BAO=OB OA =63=2. 某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C ．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C ．方案II ：从A 地开车穿越草地沿AC 方向到牧民区C ． 已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍．（1）求牧民区到公路的最短距离CD ．（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（结果精确到0.1 1.73 1.41）解:（1）设CD 为x 千米，由题意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°∴AD=CD=x.在Rt △BCD 中，tan30°=x BD,∴∵AD+DB=AB=40，∴，解得x≈14. 7∴ 牧民区到公路的最短距离CD 为14.7千米．（2）设汽车在草地上行驶的速度为v ，则在公路上行驶的速度为3v ，在Rt △ADC 中，∠CAD=45°，∴方案I 用的时间134333AD CD AD CD CD t v v v v+=+==方案II 用的时间2AC t v ==∴ 2143CD t t v v -=-=4)3CD v∵ 4＞0 ，∴ 21t t -＞0，∴方案I 用的时间少，方案I 比较合理.供老师选配的题目：1.已知锐角A 满足关系式2sin 2A-7sinA+3=0，则sinA 的值为（ ）A ．12B ．3C ．12或3D ．42.如图1，已知⊙O 的半径为1，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M ，则sin ∠CBD 的值等于（ ）A ．CD 的长B ．2CD 的长C ．OM 的长D ．2OM 的长3.如图2，在高2m ，坡角30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需______m.（精确到0.1m ）4.如图3，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB=60°．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1，使∠D 1AC=60°；连结AC 1，再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2，使∠D 2AC 1=60°；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为______．5.如图4（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，得 ABC S △=12bc·sin ∠A ． ① 即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．如图4（2），在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，∠ACD=α， ∠DCB=β．∵ ABC ADC BDC S S S =+△△△， 由公式①，得12AC·BC·sin(α+β)= 12AC·CD·sinα+12BC·CD·sinβ， 即 AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ． ②你能利用直角三角形边角关系，消去②中的AC 、BC 、CD 吗？不能，说明理由；能，写出解决过程．（标★题为拔高题）（参考答案见第××版）锐角三角函数综合测试题参考答案一、选择题1.C2. A3.D4.D5.A6.A7.B 8．A 9.D10.C. 提示：如图1，在Rt △AOC 中，，在Rt △BOC中，BO=OD•cos60°=52，所以AB=AO+BO=52二、填空题11.12 12.3413.30 14.2.3 15. 10+ 16．30 17.（0） 18.150a. 提示：如图2，过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于D ，则在Rt △ADC 中，CD=AC•sin30°=15(米)，所以△ABC 的面积为12AB•CD=12×20×15=150(米2)，故购买这种草皮至少需要150a元.三、解答题19.-cos45°+2=32-1+2=52.20.解：在Rt△∠CDF中，CD=5.4，∠DCF=40°，∴DF=CD•sin40°≈5.4×0.64≈3.46.在Rt△∠ADE中，AD=2.2，∠ADE=∠DCF=40°，∴DE=AD•cos40°≈2.2×0.77≈1.69.∴EF=DF+DE≈5.15≈5.2.即车位所占街道的宽度为5.2m.21.解：（1）由折叠知NA=NE，∴∠AEN=∠EAN，∴tan∠EAB=tan∠AEN=13，∴BEAB=13.设BE=k，则AB=BC=CD=3k，∴CE=BC-BE=2k.∵DC+CE=10，∴3k+2k=10，解得k=2，∴AB=6，BE=2.在Rt△BNE中，∵NE2+BE2=NB2，∴AN2+BE2=NB2，即AN2+22=(6-AN)2，解得AN=83，∴S△ANE=12AN•BE=12×83×2=83.（2）∵NE=AN=83，∴sin∠ENB=BENE=283=34.22.解：如图3，过点C作CE⊥BD，垂足为E，∴CE∥GB∥FA.∴∠BCE=∠GBC=60°，∠ACE=∠FAC=45°.∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°.又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，∴∠BCA=∠BAC，∴BC=AB=10.在Rt△BCE中，CE=BC·cos∠BCE=BC·cos60°=10×12=5(海里).∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.答：这艘渔船没有进入养殖场的危险.23.解：存在的一般关系有：（1）sin2A+cos2A=1；（2）tanA=sincosAA．证明如下：（1）∵ sinA=ac, cosA=bc, a2+b2=c2,∴ sin2A+cos2A=222222222a b a b cc c c c++===1．（2）∵ sinA=ac, cosA=bc,∴ tanA=ab=acbc=sincosAA．24.解：如图4，过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F.∵∠BAC=30°，AB=1500米，∴BF=EC=750米，.设FC=x米∵∠DBE=60°，∴米.又∵∠DAC=45°，∴AC=CD.即，解得x=750.∴CD=（.答：山高CD为（.25. 解：如图5，过点A 作AE ⊥MN 于E ，过点C 作CF ⊥MN 于F ， 则EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2.在Rt △AEM 中，∠AEM=90°，∠MAE=45°∴AE=ME ，设AE=x ，则MF=x+0.2.在Rt △MFC 中，∠MFC=90°，∠MCF=30°，∴∵BN+ND=BD ，∴，解得x≈10.2.∴MN≈12答：旗杆高约为12米．26.解：如图6，过E 作EG ∥AC 交BP 于G ，∵EF ∥DP ，∴四边形BFEG 是平行四边形.在Rt △PEG 中，PE=3.5，∠P=30°，tan ∠EPG=EG EP ， ∴EG=EP•tan ∠EPG=3.5×tan30°≈2.02.又∵四边形BFEG 是平行四边形，∴BF=EG=2.02，∴AB=AF-BF=2.5-2.02=0.48.又∵AD ∥PE ，∴∠BDA=∠P=30°.在Rt △BAD 中，tan30°=AB AD ， ∴AD=tan30AB =0.48×（米）. ∴所求的距离AD 约为0.8米.供老师选配的题目：1.A2.C3.5.54.1n5. 解：能消去AC 、BC 、CD ，得到si n(α+β)= sinα·cosβ+cosα·sinβ．理由如下：在AC·BC·sin(α+β)= AC·CD·sinα+BC·CD·sinβ两边同除以AC·BC，得sin(α+β)= CDBC·sinα+CDAC·sinβ.∵CDBC=cosβ，CDAC=cosα，∴ sin(α+β)= sinα·cosβ+cosα·sinβ．。
锐角三角函数单元检测时间：100分钟班级： 姓名： 分数：一、单选题1．已知△ABC 中， ∠C =90°，tan A =12，D 是 AC 上一点， ∠CBD =∠A ， 则 cos∠CDB 的值为（ ）A ．12B C D ．22．如图，正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，且3CD DE =，将ADE 沿AE 对折至AFE △．延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ．下列结论：∠ABG AFG △△≌；∠45GAE ∠=︒；∠BG GC =；∠AG CF ∥；∠GCF 是等边三角形，其中正确结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，将边长6cm 的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（ ）A ．（3cm B ．（3﹣cm C ．（6cm D ．（6﹣cm4．三角函数sin40cos16tan50︒︒︒、、之间的大小关系是（ ） A ．tan50cos16sin40︒>︒>︒ B ．cos16sin40tan50︒>︒>︒ C ．cos16tan50sin40︒>︒>︒D ．tan50sin40cos16︒>︒>︒5．如图，在网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 都在格点上，则sin A 的值为（ ）A B ．35C ．45D 6．如图，已知窗户高AB m =米，窗户外面上方0.2米的点C 处安装水平遮阳板CD n =米，当太阳光线与水平线成α角时，光线刚好不能直接射入室内，则m n ，的关系式是（ ）A ．n =m tan α-0.2B ．n =m tan α+0.2C ．m =n tan α-0.2D ．m =n tan α+0.27．如图，已知楼高AB 为50m ，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD 为50m ，塔高DC ，下列结论中，正确的是（ ）A ．由楼顶望塔顶仰角为60°B ．由楼顶望塔基俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°8．先化简，再求代数式的值：222111a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭＝（ ），其中tan602sin30a =︒-︒．ABCD 9．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度．如图，他们在地面上C 点测得最高点A 的仰角为22°，再向前70m 至D 点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C ，D ，B 在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为（ ）（精确到1m ．参考数据：sin 220.37︒≈，tan220.40︒≈，sin580.85︒≈，tan58 1.60︒≈）A ．28mB ．34mC ．37mD ．46m10．如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1AB 的高度为( )（精确到0.1）A ．30.4B ．36.4C ．39.4D ．45.411．如图所示一座楼梯的示意图，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA =6米，楼梯宽度4米，则地毯的面积至少需要（ ）A ．24sin θ米2 B ．24cos θ米2 C ．2424tan θ⎛⎫+⎪⎝⎭米2D ．()2424tan θ+米212．如图，在长方形ABCD 中，5AB =，3AD =，点E 在AB 上，点F 在BC 上．若2AE =，1CF =，则()sin 12∠+∠=（ ）A ．12B C D 13．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在小正方形的顶点上，则∠AOB 的正弦值是（ ）A B C ．13D ．1214．式子2cos30tan 45︒-︒ ）A ．0B ．C ．2D ．2-15．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（ ）A ．12B C ．35D 16．如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于点O ，B ，则cos BOD ∠的值等于（ ）A ．14B ．13C D 17．如图，在44⨯网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若ABC 的顶点均是格点，则cos BAC ∠的值是（ ）A B C D ．4518．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =D 是AC 上一点，连接BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为（ ）A ．B ．3CD ．219．在直角三角形ABC 中，90,4,C AB BC =∠=︒=3tan 2A的值是（ ）AB ．C ．D ．320．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，若4CF =，3tan 4EFC ∠=，则折痕AE =（ ）A ．B ．C ．8D ．1021．已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC ，点A 的坐标为（10，0），对角线OB 、AC 相交于点D ，双曲线y=kx（x ＞0）经过点D ，交BC 的延长线于点E ，且OB •AC =160，有下列四个结论：∠双曲线的解析式为y =40x （x ＞0）；∠点E 的坐标是（4，8）；∠sin∠COA =45；∠AC +OB 其中正确的结论有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个22．如图，在矩形纸片ABCD 中，5AB =，3BC =，将BCD △沿BD 折叠到BED 位置，DE 交AB 于点F ，则cos ADF ∠的值为（ ）A ．817B ．715C ．1517D ．81523．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A 到刮断点P 的距离是4米，折断部分PB 与地面成40︒的夹角，那么原来这棵树的高度是（ ）A ．44cos 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米B ．44sin 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米C ．()44sin 40+︒米D ．()44tan 40+︒米24．中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α=（ ）A ．2B ．32C ．12D 25．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于点P ，则cos∠APC 的值为（ ）A B C ．25D 26．如图，已知菱形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，AF 平分EAD ∠交CD 于点F ， FG AD ∥ 交AE 于点G ，若1cos 4B =，则FG 的长是（ ）A ．3B ．83C D ．52第II 卷（非选择题）二、解答题27．如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB ，且90BHE ∠=︒，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断()A C D --倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面().AB AC CD =+已知山坡的坡角30AEF ∠=︒，量得树干倾斜角45BAC ∠=︒，大树被折断部分CD 和坡面所成的角60ADC ∠=︒，4AD =米．(1)求CAD ∠的度数；(2)求这棵大树折断前AB 的高度.(结果保留根号)28．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB 进行实地测量．如图所示，他在地面上点C 处测得隧道一端点A 在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D ，此时测得点A 在他的东北方向上，端点B 在他的北偏西60︒方向上，（点A 、B 、C 、D 在同一平面内）(1)求点D 与点A 的距离；(2)求隧道AB 的长度．（结果保留根号） 29．（1）已知：对于锐角α满足sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+，求tan15°的值；（2）如图，△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，延长CA 到D ，使AD =AB ，连接BD ，请利用这个图形求tan15°的值．30．某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图∠是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图∠是其示意图，其中AB 、CD 都与地面l 平行，车轮半径为32cm ，∠BCD ＝64°，BC ＝60cm ，坐垫E 与点B 的距离BE 为15cm ．(1)求坐垫E 到地面的距离；(2)根据经验，当坐垫E 到CD 的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm ，现将坐垫E 调整至坐骑舒适高度位置E '，求E E '的长．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05） 31．计算：1202203(1)|2cos308|(3)π--︒--- 32．在遵义市科技馆楼前，在A 点观测楼顶K 的仰角为30°，然后将观测点沿石梯向楼的水平方向移动了28m ，上升4m ，到达最上一层平台，用高为1.4m 的测角仪，在C 点观测楼顶K 的仰角为45°．(1)求：A ，C 间的距离；（结果保留根号）(2)求：科技馆的楼高KF 的值．1.7）33．计算：212)4cos30|32-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭．34．如图，是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图；为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB ，BC ，CA 跑步（小路的宽度不计），观测得点B 在点A 的南偏东30°方向上，点C 在点A 的南偏东60°的方向上，点B 在点C 的北偏西75°方向上，AC 间距离为400米．小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（结果精确到1 1.4≈ 1.7≈）35．图1是笔记本电脑放在散热支架上的实物图，实物图的侧面可抽象成图2，结点B ，C ，D 处可转动，支撑架AB ＝BC ＝CD ＝28cm ，面板DE ＝28cm ，若DE 始终与AB 平行．(1)直接写出∠ABC ，∠BCD ，∠CDE 之间的数量关系；(2)若ABC BCD CDE ∠=∠=∠，电脑显示屏宽EF ＝26cm ．且105DEF ∠=︒，求笔记本电脑显示屏的端点F 到AB 的距离．（结果精确到0.1cm ．参考数据sin750.97︒≈，cos750.26︒≈ 1.73≈）36．有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB ＝50cm ，拉杆BC 的伸长距离最大时可达35cm ，点A 、B 、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒∠A ，∠A 与水平地面切于点D ，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm ．设AF ∥MN ．(1)求∠A 的半径长；(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE 为80cm ，∠CAF ＝60°．求此时拉杆BC 的伸长距离．37．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离； (2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈ 2.24≈）38．深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响． （1）此次台风会不会影响深圳？为什么？（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈34，cos42°≈2940，tan42°≈910）39．如图，港口B 位于港口A 的南偏西45︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向港口B 的南偏东45︒方向的D 处，它沿正北方向航行21km 到达E 处，此时测得灯塔C 在E 的南偏西70︒方向上，E 处距离港口A 有多远？（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）40．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A 处时，船上游客发现岸上P 1处的临皋亭和P 2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m 到达B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m 到达C 处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P 1处与遗爱亭P 2处之间的距离为 _____．（计算结果保留根号）41．如图，线段EF 与MN 表示某一段河的两岸，EF 平行MN ．综合实践课上，同学们需要在河岸MN 上测量这段河的宽度（EF 与MN 之间的距离），已知河对岸EF 上有建筑物C 、D ，且CD ＝30米，同学们首先在河岸MN 上选取点A 处，用测角仪测得C 建筑物位于A 北偏东45°方向，再沿河岸走10米到达B 处，测得D 建筑物位于B 北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）42．图1是某小型汽车的示意图，图2是其后备厢的箱盖打开过程侧面简化示意图，五边形ABCDE 表示该车的后备厢的厢体侧面，在打开后备厢的过程中，箱盖AED 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖AED 落在AE D ''的位置．若90EAB ABC BCD ∠=∠=∠=︒，150AED ∠=︒，AE ＝80厘米，ED ＝40厘米，DC ＝25厘米，且后备厢底部BC 离地面的高CN ＝25厘米．(1)求点D 到地面MN 的距离（结果保留根号）；(2)求箱盖打开60°时的宽D ，D 1.73≈ 2.91116.3，结果取整数）．43．如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C 在主轴AB 上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变，已知支脚DE ＝AB ．底座CD ∠AB ，BG ∠AB ，且CD ＝BG ，F 是DE 上的固定点，且EF ：DF ＝2：3．（1）当点B ，G ，E 三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan∠BED ＝2．设BC ＝5a ，则FG ＝__（用含a 的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，若将点C 向下移动24cm ，则点B ，G ，F 三点在同一直线上（如图2），此时点A 离地面的高度是__cm ．44．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC ＝OD ＝10分米，展开角∠COD ＝60°，晾衣臂OA ＝OB ＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE ＝6分米，且HO ＝FO ＝4分米．（参考数据：）(1)当90AOC ∠=︒时，求点A 离地面的距离AM 约为多少分米；（结果精确到0.1）(2)当OB 从水平状态旋转到OB '（在CO 延长线上）时，点E 绕点F 随之旋转至OB '上的点E '处，求B E BE ''-为多少分米．45．海绵拖把一般由长杆、U 型挤压器、海绵及连杆（含拉杆）装置组成（如图），拉动拉杆可带动海绵进入挤压器的两压杆间，起到挤水的作用．图1，图2，图3是其挤水原理示意图，A 、B 是拖把上的两个固定点，拉杆AP 一端固定在点A ，点P 与点B 重合（如图1），拉动点P 可使拉杆绕着点A 转动，此时点C 沿着AB 所在直线上下移动（如图2）．已知AB ＝10cm ，连杆PC 为40cm ，FG ＝4cm ，MN ＝8cm ．当P 点转动到射线BA 上时（如图3），FG 落在MN 上，此时点D 与点E 重合，点I 与点H 重合．(1)求ME 的长；(2)转动AP ，当∠P AC ＝53°时，∠求点C 的上升高度；∠求点D 与点I 之间的距离（结果精确到0.1）．（sin53°≈45，cos53°≈35≈2.45） 参考答案：1．B【分析】由已知条件CBD A ∠=∠，可得1tan tan 2CBD A ∠==，设CD a =，由题意可得1tan 2CD CBD BC ∠==，即可算出2BC a =，在t ΔR CBD 中，根据勾股定理可得BD 答案．【详解】解：CBD A ，1tan tan 2CBD A ∴∠==， 设CD a =，1tan 2CD CBD BC ∴∠==， 2BC a ∴=， 在Rt ΔCBD 中，BD ，cosCD CDB BD ∴∠===． 故选：B 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．2．C【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG AFG △△≌；在直角ECG 中，根据勾股定理可证BG GC =；通过证明===∠∠∠∠AGB AGF GFC GCF ，由平行线的判定可得AG CF ∥；由于BG CG =，得到tan 2AGB ∠=，求得60AGB ∠≠︒，根据平行线的性质得到60FCG AGB ∠=∠≠︒，求得GCF 不是等边三角形．【详解】解：由翻折变换可知，AD AF =，DAE FAE ∠=∠，DE FE =，D AFE ∠=∠，∠18090AFG AFE B ∠=︒-∠=︒=∠，在Rt ABG 和Rt AFG 中，AF AB AG AG =⎧⎨=⎩， ∠()≌Rt ABG Rt AFG HL ，因此∠正确；∠BAG FAG ∠=∠，又∠90BAG FAG DAE FAE ∠+∠+∠+∠=︒， ∠190452GAE FAG FAE ∠=∠+=︒∠⨯=︒，因此∠正确； 由翻折变换可知，DE EF =，由全等三角形可知BG GF =，设正方形的边长为a ，BG x =，13DE EF a ==，则CG a x =-，13GE x a =+，1233EC a a a =-=， 在Rt ECG 中，由勾股定理得，222EC GC EG +=， 即()22221=33a a x x a ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得12x a =， 即1122BG a BC ==， ∠BG CG =，因此∠正确；∠BG CG FG ==，∠GCF GFC ∠=∠，由三角形全等可得，AGB AGF ∠=∠，又∠180AGB AGF FGC FGC GCF GFC ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，∠ABG FCG ∠=∠，∠AG FC ∥，因此∠正确，∠BG CG =， ∠12BG AB =， ∠tan 2AGB ∠=，∠60AGB ∠≠︒，∠AG FC ∥，∠60FCG AGB ∠=∠≠︒，∠GCF 不是等边三角形，因此∠不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，求一个角的正切值，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想应用．3．A【分析】过M 点作ME ∠AD 于E 点，根据四边形ABCD 是正方形，有AD =CD =6，∠C =∠D =90°，由裁剪的两个梯形全等，可得AN =MC ；再证明四边形MCDE 是矩形，即有MC =ED ，ME =CD =6，进而有AN =ED ，在Rt ∠MNE 中，解直角三角形可得NE =3AN =【详解】如图，过M 点作ME ∠AD 于E 点，∠四边形ABCD 是正方形，边长为6，∠AD =CD =6，∠C =∠D =90°，∠裁剪的两个梯形全等，∠AN =MC ，∠ME ∠AD ，∠四边形MCDE 是矩形，∠MC =ED ，ME =CD =6，∠AN =ED ，根据题意有∠MNE =60°，∠在Rt ∠MNE 中，62tan tan 60ME NE MNE ===∠∠∠6AN ED AD NE +=-=-∠3AN =即梯形中较短的底为3cm ），故选：A ．【点睛】本题主要考查了正方形的、矩形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识，根据梯形全等得出AN =MC 是解答本题的关键．4．A【分析】首先把sin 40cos16︒︒、转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道1sin74sin 40︒︒＞＞，又根据正切值随着角度增大而增大，因此tan50tan 451︒︒=＞，即可得出正确选项．【详解】解：∠()sin cos 90αα=︒-（090α≤≤︒），∠()cos16sin 9016sin74︒=︒-︒=︒，sin901︒=∠1sin74sin 40︒︒＞＞，∠tan50tan 451︒︒=＞，∠tan50sin74sin 40︒>︒>︒，∠tan50cos16sin40︒>︒>︒，故选：A ．【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键．5．C【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，连接BC ，利用面积法求出BD 的长，然后由sin BD A AB=即可获得答案． 【详解】解：过点B 作BD AC ⊥于点D ，连接BC ，如下图，∠小正方形的边长为1，∠AB AC == ∠111333*********ABC S=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∠11422ABC S AC BD BD =⋅==，∠BD =∠4sin5BD A AB ===． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形、勾股定理的应用等知识，解题关键是正确作出直角三角形并熟记正弦函数的定义．6．C【分析】根据CB =CA +AB 求出CB 的长，再利用三角函数求出m 的值即可．【详解】解：∠窗子高AB =m 米，窗子外面上方0.2米的点C 处安装水平遮阳板CD =n 米，∠CB =CA +AB =（m +0.2）米，∠光线与水平线成α角，∠∠BDC =α，∠tan∠BDC =CB CD， ∠CB =n •tan α，∠m =n tan α-0.2，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键．7．C【分析】求CE ，进而求得∠CAE 的正切值即可求得∠CAE 的度数；同理可求得∠EAD 的正切值，得到∠EAD 的度数．【详解】解：过点A 作水平线AE ，则∠EAD 为楼顶望塔基俯角，∠CAE 为由楼顶望塔顶仰角．∠AB ＝50m∠DE ＝50m∠CE ＝CD 50(m)∠tan∠CAE ＝CE ：AE ＝CE ：BD ∠∠CAE ＝30°．故C 正确，D 错误；∠tan∠EAD ＝DE ：AE ＝50：BD ＝1，∠∠EAD ＝45°．故A 、B 错误；故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义，特殊角的三角函数值是解题的关键．8．A【分析】先将题目中的式子化简，再根据锐角三角函数求得a 的值，代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：222111a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭ ()()()212111a a a a a a-++-=⨯+-()()3111a a a a a -=⨯+- 31a =+， 当tan602sin30a =︒-︒1212=⨯=时，原式= 故选：A ．【点睛】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确它们各自的计算方法．9．C【分析】在Rt △ABD 中，解直角三角形求出58DB AB =，在Rt △ABC 中，解直角三角形可求出AB ． 【详解】解：在Rt △ABD 中，tan∠ADB ＝AB DB ， ∠5tan 58 1.68AB AB DB AB =≈=︒， 在Rt △ABC 中，tan∠ACB ＝AB CB ， ∠tan 220.45708AB AB ︒=≈+， 解得：112373AB =≈m ， 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．10．C【分析】延长AB 交DC 于H ，作EG ∠AB 于G ，则GH =DE =15米，EG =DH ，设BH =x 米，则CH米，在Rt ∠BCH中，BC =12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH =6米，CHBG 、EG 的长度，证明∠AEG 是等腰直角三角形，得出AG =EG =（）（米），即可得出大楼AB 的高度．【详解】解：如图，延长AB 交DC 于H ，作EG ∠AB 于G ，则GH ＝DE ＝15米，EG ＝DH ，∠梯坎坡度i ＝1∠BH ：CH ＝1设BH ＝x 米，则CH米，）2＝122，由勾股定理得：x2+解得：x＝6，∠BH＝6米，CH＝∠BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（）（米），∠∠α＝45°，∠∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∠∠AEG是等腰直角三角形，∠AG＝EG＝（）（米），∠AB＝AG+BG＝（米）；故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．11．D【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数求出BC，然后根据平移的性质可得在楼梯上铺的地毯长，从而求出地毯的面积．【详解】解：在Rt△ABC中，AC=6，∠BAC=θ，∠tanθ=BC，AC∠BC=AC tanθ=6tanθ（米），∠在楼梯上铺的地毯长=BC+AC=（6+6tanθ）米，∠地毯的面积=4（6+6tanθ）=（24+24tanθ）平方米，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的计算是解题的关键．12．B【分析】连接EF，求证∠DEF是等腰直角三角形，得∠EDF=45°，所以1+245∠∠=，即可求解．【详解】解：连接EF，∠四边形ABCD是长方形，∠∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，BC=AD=3，CD=AB=5，∠22222=+=+=，DE AD AE3213∠AB=5，∠BE=AB-AE=3，∠CF=1，∠BF=BC-CF=2，在在Rt∠EBF中，∠22222=+=+=，EF BE BF3213∠EF=DE在Rt∠CDF中，∠22222=+=+=，DF DC CF5126∠26=13+13，即：222=+，DF DE EF∠∠DEF=90°，∠∠EDF=∠DFE=45°，∠1+2=45∠∠∠-∠=，ADC EDF∠()2∠+∠=sin12sin45=2故选B．【点睛】本题考查长方形的性质、勾股定理及其逆定理、正弦函数，根据勾股定理的逆定理证明出∠DEF是等腰直角三角形是解题的关键．13．B【分析】过点B作BC∠OA于点C．先利用勾股定理求出BO、AO的长，再利用∠AOB的面积求出BC的长，最后在直角∠BCO中求出∠AOB的正弦值．【详解】解：过点B作BC∠OA于点C．BO=，AO==,∠S △AOB 12=×2×2＝2， ∠12AO •BC ＝2,∠BC==sinBC AOB BO ∴∠=== 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，利用∠的面积求出OA 边上的高是解决本题的关键． 14．A【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式21=-11)=-11==0故选：A ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 15．D【分析】根据勾股定理计算得出AB AC BC CE BE =====可得出AE BC ⊥，由勾股定理得AE =从而可得出sin ABC ∠= 【详解】解：如图，连接AE ，由勾股定理得，AB AC ∠AB AC =又BC CE BE ===∠点E 为BC 的中点，∠AE BC ⊥，∠AE ==∠sin AE ABC AB ∠== 故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理，利用勾股定理求出AE 的长度是解题的关键．16．D【分析】根据网格的特点找到格点E ，使得AE CD ∥，则BOD A ∠=∠，构造Rt AEF ，即可求解．【详解】如图，5DG CG ==，90G ∠=︒，45CDG ∴∠=︒，1AG GE ==，45AEG ∴∠=︒，∴AE CD ∥，∴BOD A ∠=∠，2,AE AF EF ===22218220,20AE EF AF +=+==， 222AE EF AF ∴+=， ∠∠AEF 是直角三角形，∠AEF =90°，cos cosAE BOD A AF ∴∠=== 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理与网格，勾股定理的逆定理，求余弦，构造直角三角形是解题的关键．17．C【分析】过点C 作AB 的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：过点C 作AB 的垂线交AB 于一点D ，如图所示，∠每个小正方形的边长为1，∠5AC BC AB ===，设AD x =，则5BD x =-，在Rt ACD △中，222DC AC AD =-,在Rt BCD 中，222DC BC BD =-,∠2210(5)5x x --=-，解得2x =，∠cosAD BAC AC ∠== 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．18．C 【分析】先根据锐角三角函数值求出AC =5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE =，再由5AE BE +=得AE =2，DE =1，由勾股定理得AD 可求出CD ．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC = ∠1tan 2BC A AC ∠==∠2AC BC ==由勾股定理得,5AB ==过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图，∠1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=， ∠11,,23DE DE AE BE ==∠11,,23DE AE DE BE == ∠1123AE BE = ∠32BE AE =∠5,AE BE += ∠352AE AE += ∠2,AE =∠1DE =,在Rt ADE ∆中,222AD AE DE =+ ∠AD∠AD CD AC +==∠CD AC AD =-==故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键． 19．A【分析】由勾股定理求出AB =2，再由三角函数的意义求出60,A ∠=︒进一步可得出结论．【详解】解：如图，∠90,4,C AB BC =∠=︒=∠2AC ===又tan BC A AC ∠=== ∠60A ∠=︒ ∠302A ∠=︒∠3tan3tan 3032A =︒== 故选：A【点睛】本题主要考查了正切函数的定义，正确求得AC 的长是解题关键．20．B【分析】首先根据折叠及3tan 4EFC ∠=求得EF 的值，进一步知道DC 的长度，后根据BAF EFC ∠=∠，其正切值相同解三角形ABF 得BF 的长度，从而知道AD 的长度，后根据勾股定理求得AE 的长度．【详解】解：由题意4CF =，∠C =90°，3tan 4EC EFC FC ∠== ∠CE =3∠Rt EFC 中，∠C =90°，∠5EF =∠AEF 是ADE 折叠而来∠5ED EF ==，538DC AB ==+=∠矩形ABCD∠90C B AFE ∠=∠=∠=︒∠90BAF AFB ∠+∠=︒，90AFB EFC ∠+∠=︒∠BAF EFC ∠=∠ ∠tan∠BAF =tan∠EFC =34， 即34BF AB =， ∠364BF AB == ∠6410AD BC ==+=∠AE 故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，矩形的性质，翻折的性质，根据等量变换得到BAF EFC ∠=∠并运用其锐角三角函数相等，求线段长是解决本题的关键．21．C【分析】过点B 作BF x ⊥轴于点F ，先根据菱形的性质可得10AB OA ==，1802OA BF OB AC ⋅=⋅=，OD BD =，从而可得8BF =，再在Rt ABF 中，利用勾股定理可得6AF =，从而可得点B 的坐标，然后根据中点的坐标公式可得点D 的坐标，最后利用待定系数法可得双曲线的解析式，由此可判断∠；根据点E 的纵坐标为8，代入反比例函数即可判断∠；先根据平行线的性质可得COA BAF ∠=∠，再根据正弦的定义即可判断∠；先在Rt OBF △中，利用勾股定理可得OB =160OB AC ⋅=可得AC =AC OB +的值，由此即可判断∠．【详解】解：如图，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，点A 的坐标为(10,0)，10OA ∴=，四边形OABC 是菱形，且160OB AC ⋅=，10AB OA ∴==，1802OA BF OB AC ⋅=⋅=，OD BD =，AD CD =， 解得8BF =，在Rt ABF 中，6AF ==，16OF OA AF ∴=+=，(16,8)B ∴，又OD BD =，即点D 是OB 的中点，01608(,)22D ++∴，即(8,4)D ， 将点(8,4)D 代入反比例函数k y x =得：8432k =⨯=， 则该双曲线解析式为32y x=，结论∠错误； 四边形OABC 是菱形，BC OA ∴，OC AB ∥，∴点E 的纵坐标与点B 的纵坐标相同，即为8，当8y =时，3248x ==， 则点E 的坐标是(4,8)，结论∠正确；OC AB ，COA BAF ∴∠=∠，84sin sin 105BF COA BAF AB ∴∠=∠===，结论∠正确；在Rt OBF △中，OB =160OB AC ⋅=，160AC OB∴==，AC OB ∴+==，结论∠正确；综上，正确的结论有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、反比例函数、正弦等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 22．C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明AFD EFB ∆∆≌，得出AF EF =，DF BF =，设AF EF x ==，则5BF x =-，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∠四边形ABCD 为矩形，∠CD =AB =5，AB =BC =3，90A C ∠=∠=︒，根据折叠可知，3BE BC ==，5DE DE ==，90∠=∠=︒E C ，∠在∠AFD 和∠EFB 中903A E AFD EFB AD BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩，∠AFD EFB ∆∆≌（AAS ），∠AF EF =，DF BF =，设AF EF x ==，则5BF x =-，在Rt BEF ∆中，222BF EF BE =+，即()22253x x -=+， 解得：85x =，则817555DF BF ==-=， ∠315cos 17175AD ADF DF ∠===，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明AFD EFB ∆∆≌，是解题的关键．23．B【分析】通过解直角三角形即可求得．【详解】解：在Rt ABP △中，4==sin sin 40AP BP ABP ∠︒， 故原来这棵树的高度为：4=4sin 40AP BP ⎛⎫++ ⎪︒⎝⎭(米)， 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．24．A【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，再接着利用勾股定理得到关于a 的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出tan α的值即可．【详解】∠小正方形与每个直角三角形面积均为1，∠大正方形的面积为5，∠小正方形的边长为1设直角三角形短的直角边为a ，则较长的直角边为a +1，其中a >0，∠a 2+(a +1)2=5，其中a >0，解得：a 1=1，a 2=-2(不符合题意，舍去)，tan α=1a a +=111+=2， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 25．B【分析】把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，则DE ∠AB ，由勾股定理逆定理可以证明△DCE 为直角三角形，所以cos∠APC ＝cos∠EDC 即可得答案．【详解】解：把AB 向上平移一个单位到DE ，连接CE ，如图．则DE ∠AB ，∠∠APC ＝∠EDC ．在△DCE 中，有EC DC =5DE =，∠22252025EC DC DE +=+==，∠DCE ∆是直角三角形，且90DCE ∠=︒，∠cos∠APC ＝cos∠EDC ＝DC DE = 故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．26．B【分析】过点A 作AH 垂直BC 于点H ，延长FG 交AB 于点P ，由题干所给条件可知，AG =FG ，EG =GP ，利用∠AGP =∠B 可得到cos∠AGP =14，即可得到FG 的长； 【详解】过点A 作AH 垂直BC 于点H ，延长FG 交AB 于点P ，由题意可知，AB =BC =4，E 是BC 的中点，∠BE =2，又∠1cos 4B =， ∠BH =1，即H 是BE 的中点，∠AB =AE =4，又∠AF 是∠DAE 的角平分线，FG AD ∥，∠∠F AG =∠AFG ，即AG =FG ，又∠PF AD ∥，AP DF ∥，∠PF =AD =4，设FG =x ，则AG =x ，EG =PG =4-x ，∠PF BC ∥，∠∠AGP =∠AEB =∠B ，∠cos∠AGP =12PG AG =22x x-=14， 解得x =83； 故选B ．【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．27．(1)75︒(2)()2米【分析】（1）根据直角三角形的性质求出EAH ∠，根据平角的定义计算，求出CAD ∠；（2）过点A 作AM CD ⊥，垂足为M ，根据正弦的定义求出AM 、根据余弦的定义求出DM ，根据直角三角形的性质求出CM ，根据正弦的定义求出AC ，结合图形计算，得到答案．（1）解：在Rt AHE 中，30AEH ∠=︒， 60EAH ∴∠=︒，45BAC ∠=︒，180604575CAD ∴∠=︒-︒-︒=︒；（2）过点A 作AM CD ⊥，垂足为M ，在Rt ADM △中，60ADC ∠=︒，4AD =米，cos 4cos602DM AD ADC ∠∴=⋅=︒=（米），sin 4sin 60AM AD ADC ∠=⋅=︒=，在Rt ACM △中，180756045C ∠=︒-︒-︒=︒，CM AM ∴==，sin AM AC C==， ()2AB AC CD ∴=+=米，答：这棵大树折断前高为()2米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．28．(1)点D 与点A 的距离为300米(2)隧道AB 的长为米【分析】（1）根据方位角图，易知60ACD ∠=︒，90ADC ∠=︒，解Rt ADC 即可求解；（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ．分别解Rt ADE △，Rt BDE 求出AE 和BE ，即可求出隧道AB 的长（1）由题意可知：154560ACD ∠=︒+︒=︒，180454590ADC ∠=︒-︒-︒=︒在Rt ADC 中，∠tan tan 60300AD DC ACD =⨯∠=︒=（米）答：点D 与点A 的距离为300米．（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ．。
锐角三角函数单元测试卷考试时间：100分钟总分为：120分某某一、单项选择题〔每题3分，共8题,共24分〕1. 在中，，AB=15，sinA=，如此BC等于〔〕A．45B．5C．D．2. 某人沿坡度i ＝1：的坡面向上走50米，如此此人离地面的高度为( )A．25米B．50米C．25米D．50米3. 小明沿着与地面成30º的坡面向下走了2米，那么他下降〔〕A．1米B．米C．2米D．米4. 在正方形网格中，的位置如下列图，如此的值为〔〕A．B．C．D． 5. Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，如此AC等于( )A．6B．C．10D．126. 计算5sin30°+2cos245°-tan260°的值是( )A．B．C．-D．17. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，如此sin∠ABC等于〔〕A．B．C．D．8. 课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图,当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度约是A．米B．米C．米D．米二、填空题〔每题3分，共6题,共18分〕9. ．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，如此tanA=．10. 在△ABC中，∠C=，cosA=，AB=6，那么AC= .11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，如此sinA="______," tanA=" _______," cosA=_______12. 上午九时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，如此B处船与小岛M的距离是海?13. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，如此tanA等于．14. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE=8cm，，如此菱形ABCD的面积是__________．三、计算题〔每题6分，共4题,共24分〕15. 计算：．16. 计算：．17. 计算：18. 计算：四、解答题19. 〔7分〕如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：〔1〕BC的长；〔2〕sin∠ADC的值．20.〔7分〕如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是〔6，y〕，且OP与x 轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．21.〔8分〕：如图，在ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AC= 6．求BC的长.(结果保存根号)22.〔9分〕如图，在中，AD是BC边上的高，。
《锐角三角函数》测试卷考试时间：90分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A． B． C． D．2．（3分）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的C ．没有变化D．不能确定3．（3分）若锐角α满足cosα＜且tan α＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°4．（3分）如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（）A． B． C． D．5．（3分）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为（）A． B．1 C． D．6．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为精彩文档（）A．120° B．135° C．145° D．150°7．（3分）计算：tan45°+sin30°= （）A．2 B ． C ． D ．8．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm9．（3分）如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A ．B ． C．5 D ．10．（3分）如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC 上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（）A ．B ．C ．D ．精彩文档精彩文档第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）已知＜cosA ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是 ．12．（3分）若α为锐角，且，则m 的取值范围是 ．13．（3分）已知α为一锐角，且cos α=sin60°，则α= 度． 14．（3分）已知∠A+∠B=90°，若，则cosB= ．15．（3分）比较大小：sin44° cos44°（填＞、＜或=）． 16．（3分）已知∠A 是Rt △ABC 的一个内角，且sinA ＜，那么∠A 的取值范是 ．17．（3分）将sin20°、cos20°、cos40°、cos80°的值由小到大的顺序排列 ．18．（3分）计算：tan44°•tan45°•tan46°= ．三．解答题（共10小题，满分66分）19．（10分）（1）计算：sin45°．(2)计算（3﹣π）0+﹣2cos60°．20．（8分）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A 在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）精彩文档20．（8分）放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD 均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果精确到1米）．21．（8分）目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）精彩文档22．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42cm，灯罩BC 长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm ，参考数据：≈1.732）23．（8分）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．精彩文档24．（8分）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）精彩文档25．（8分）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．26．（8分）△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长？精彩文档2017年11月30日老九的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的概念计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC==12，∴sinA==，故选：B．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c 的比叫做∠A的正弦是解题的关键．2．（3分）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的C．没有变化D．不能确定【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】根据△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变和余切的概念解答．【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键．3．（3分）若锐角α满足cos α＜且tan α＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜精彩文档60°【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【专题】12 ：应用题．【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．【解答】解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cos α＜，∴0＜cos α＜，又∵cos90°=0，cos45°=，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tan α＜，∴0＜tan α＜，又∵tan0°=0，tan60°=，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选B．【点评】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．4．（3分）如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】T3：同角三角函数的关系．【专题】11 ：计算题．【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可．【解答】解：∵α为锐角，，精彩文档∴cos（90°﹣α）=sinα=．故选B．【点评】本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的基础．5．（3分）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为（）A ．B．1 C ． D ．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【分析】根据互为余角两角的关系，可得sinB，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由△ABC中，∠C=90°，cosA=，得sinB=．由B是锐角，得∠B=30°，tanB=tan30°=，故选：C．【点评】本题考查了互为余角三角函数的关系，一个角的余弦等于它的余角的正弦．6．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°【考点】T5：特殊角的三角函数值；JA：平行线的性质．【分析】首先根据特殊角的三角函数值即可求得∠1的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余，以及平行线的性质即可求解．精彩文档【解答】解：∵sin∠1=，∴∠1=45°，∵直角△EFG中，∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，∴∠4=180°﹣∠3=135°，又∵AB∥CD，∴∠2=∠4=135°．故选B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，以及直角三角形的性质、平行线的性质，正确理解平行线的性质是关键．7．（3分）计算：tan45°+sin30°=（）A．2 B ．C ．D ．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】将tan45°=1，sin30°=，分别代入，然后合并即可得出答案．【解答】解：∵tan45°=1，sin30°=，∴tan45°+sin30°=1+=．故选C．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握tan45°=1，sin30°=，难度一般，注意记忆一些特殊角的三角函数值．8．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）精彩文档A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【考点】T7：解直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC==，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，∴BD=AD，∴CD+BD=8，∵cos∠BDC==，∴=，解得：CD=3，BD=5，∴BC=4．故选A．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．9．（3分）如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A ．B ．C．5 D ．【考点】T7：解直角三角形．【专题】16 ：压轴题．【分析】作CD⊥AB于D，构造两个直角三角形．根据锐角三角函数求得CD、AD的长，再根据锐角三角函数求得BD的长，从而求得AB的长．精彩文档【解答】解：作CD⊥AB于D．在直角三角形ACD中，∠A=30°，AC=，∴CD=，AD=3．在直角三角形BCD 中，，∴BD==2．∴AB=AD+BD=5．故选C．【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解．10．（3分）如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC 上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（）A ．B ．C ．D ．【考点】T7：解直角三角形．【专题】16 ：压轴题．【分析】过E点作CD的平行线交AD于F，设AE=2a，则CE=3a．tan∠C=，EF和DF分别可用a的代数式来表达，即可得出tan∠ADE的值．【解答】解：过E点作CD的平行线交AD于F．如图：∵AD是等腰△ABC底边上的高，tan∠B=，∴EF⊥AD，tan∠C=．设AE=2a，∵AE：CE=2：3，∴CE=3a，AC=5a．精彩文档∵tan∠C=，∴sin∠C=，cos∠C=．在直角△ADC中，AD=ACsin∠C=5a ×=3a．在直角△AFE中，AF=AE×sin∠AEF=AE×sin∠C=2a ×=．EF=AE×cos∠AEF=AE×cos∠C=2a ×=．在直角△DFE中，tan∠ADE=．故选B．【点评】考查等腰三角形的性质和三角函数的性质．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是20°＜∠A ＜30°．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】利用特殊角的三角函数值以及互余两角的锐角三角函数关系得出∠A的取值范围．【解答】解：∵＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．故答案为：20°＜∠A＜30°．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数值，得出sin70°=cos20°是解题关键．精彩文档12．（3分）若α为锐角，且，则m的取值范围是．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】根据余弦值的取值范围，列不等式求解．【解答】解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性．明确锐角三角函数的取值范围：正余弦的锐角三角函数值都是大于0而小于1，正余切的锐角三角函数值都是大于0．13．（3分）已知α为一锐角，且cosα=sin60°，则α= 30 度．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【专题】11 ：计算题．【分析】根据∠A，∠B均为锐角，若sinA=cosB，那么∠A+∠B=90°即可得到结论．【解答】解：∵sin60°=cos（90°﹣60°），∴cosα=cos（90°﹣60°）=cos30°，即锐角α=30°．故答案为：30．【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，牢记互余两角的三角函数关系是解答此类题目的关键．14．（3分）已知∠A+∠B=90°，若，则cosB= ．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【分析】根据互为余角的三角函数的关系：一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．【解答】解：由∠A+∠B=90°，若，得精彩文档cosB=，故答案为：．【点评】本题考查了互为余角三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦．15．（3分）比较大小：sin44°＜cos44°（填＞、＜或=）．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】首先根据互余两角的三角函数的关系，得cos44°=sin46°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．【解答】解：∵cos44°=sin46°，正弦值随着角的增大而增大，又∵44°＜46°，∴sin44°＜cos44°．故答案为＜．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．同时考查了互余两角的三角函数的关系．16．（3分）已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA ＜，那么∠A的取值范是0°＜∠A＜45°．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】根据锐角三角函数值的变化规律正弦值随着角的增大而增大可以求出∠A的取值范围．【解答】解：∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵sinA ＜，∴0°＜∠A＜45°．【点评】考查了锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．精彩文档17．（3分）将sin20°、cos20°、cos40°、cos80°的值由小到大的顺序排列cos80°＜sin20°＜cos40°＜cos20°．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】把正弦转化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律，余弦值是随着角的增大而减小这一规律进行排列．【解答】解：∵sin20°=cos70°，余弦值随着角的增大而减小，∴cos80°＜sin20°＜cos40°＜cos20°．【点评】本题主要考查锐角三角形的增减性，在一个单调区间里，正弦函数和正切函数随角度增大而增大，余弦和余切反之．18．（3分）计算：cot44°•cot45°•cot46°= 1 ．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【分析】根据互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值就可以求解．【解答】解：cot44°•cot45°•cot46°=cot44°•cot46°•cot45°=1•cot45°=1．【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值．三．解答题（共10小题，满分80分，每小题8分）19．（8分）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A 在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】如图，直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB=BD﹣CD即可列方程，从而求得AD的长，与170海里比较，确定轮船继续向前行驶，有无触礁危险．【解答】解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险理由如下：如图所示．精彩文档则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．∴∠CAB=∠ABD，∴BC=AC=200海里．在Rt△ACD中，设CD=x海里，则AC=2x，AD===x，在Rt△ABD中，AB=2AD=2x，BD===3x，又∵BD=BC+CD，∴3x=200+x，∴x=100．∴AD=x=100≈173.2，∵173.2海里＞170海里，∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．【点评】本题主要考查了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．20．（8分）放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD 均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果精确到1米）．精彩文档【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】作DH⊥BC于H，设DH=x米，根据三角函数表示出AH于BH的长，根据AH﹣BH=AB得到一个关于x的方程，解方程求得x的值，进而求得AD ﹣BD的长，即可解题．【解答】解：作DH⊥BC于H，设DH=x米．∵∠ACD=90°，∴在直角△ADH中，∠DAH=30°，AD=2DH=2x，AH=DH÷tan30°=x，在直角△BDH中，∠DBH=45°，BH=DH=x，BD=x，∵AH﹣BH=AB=10米，∴x﹣x=10，∴x=5（+1），∴小明此时所收回的风筝的长度为：AD﹣BD=2x ﹣x=（2﹣）×5（+1）≈（2﹣1.414）×5×（1.732+1）≈8米．答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8米．【点评】本题考查了直角三角形的运用，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求得DH的长是解题的关键．21．（8分）目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）精彩文档【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．【解答】解：此车没有超速．理由如下：过C作CH⊥MN，垂足为H，∵∠CBN=60°，BC=200米，∴CH=BC•sin60°=200×=100（米），BH=BC•cos60°=100（米），∵∠CAN=45°，∴AH=CH=100米，∴AB=100﹣100≈73（m），∴车速为m/s．∵60千米/小时=m/s，又∵14.6＜，∴此车没有超速．【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB 的长是解题关键．22．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42cm，灯罩BC 长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】根据sin30°=，求出CM的长，根据sin60°=，求出BF的长，得出CE的长，即可得出CE的长．【解答】解：由题意得：CD⊥AE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA．∵灯罩BC长为32cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°==，∴CM=16cm，在直角三角形ABF中，sin60°=，∴=，解得：BF=21，又∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=16+21+2≈54.4cm．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是54.4cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知求出CM，BF的长是解决问题的关键．23．（8分）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】12 ：应用题．【分析】设EC=x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出即可得出答案．【解答】解：设EC=x，在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则BE==x，在Rt△ACE中，tan∠EAC=，则AE==x，∵AB+BE=AE，∴300+x=x，解得：x=1800，这座山的高度CD=DE﹣EC=3700﹣1800=1900（米）．答：这座山的高度是1900米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE及AE的表达式，属于基础题，要能将实际问题转化为数学计算．24．（8分）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】在Rt△ABD中，求出BD，在Rt△ACD中，求出CD，二者相加即为楼高BC．【解答】解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=20．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴CD=AD=20．∴BC=BD+CD=20+20（m）．答：这栋楼高为（20+20）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，将原三角形转化为两个直角三角形是解题的关键．25．（8分）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高（精20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】121：几何图形问题．【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．【解答】解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，在Rt△ABE中，=，∴AE=50米．在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=CFcot∠D=20米，∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6（米）．故坝底AD的长度约为90.6米．【点评】本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．26．（8分）△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长？【考点】T7：解直角三角形．【分析】首先过点C作CD⊥AB于D点，由在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，即可求得CD与AD的长，又由在Rt△CDB中，∠B=45°，即可求得BD的长，继而求得答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于D点，在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，∴CD=AC=×4=2，∴AD===2，在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，∴CD=DB=2，∴AB=AD+DB=2+2．【点评】此题考查了解直角三角形的应用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．27．（8分）计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．【考点】T5：特殊角的三角函数值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．【分析】本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1+3﹣=3．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．28．（8分）计算：sin45°．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=﹣×+×=﹣+1=0．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．。
