下载文档原格式
偏微分方程基础与求解方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中重要的一个分支，它描述了自然和物理现象中的变化规律。
本文将介绍偏微分方程的基础知识以及一些常见的求解方法。
一、偏微分方程简介偏微分方程是包含未知函数的偏导数的方程。
它在数学物理、工程学、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
偏微分方程可以分为线性和非线性两大类，其中线性偏微分方程具有特殊的重要性。
二、偏微分方程的分类根据方程中出现的未知函数的阶数、方程中出现的偏导数阶数以及方程的性质，偏微分方程可分为以下几类：1. 一阶偏微分方程：包含一阶导数的方程，如线性传热方程、波动方程等。
2. 二阶偏微分方程：包含二阶导数的方程，如拉普拉斯方程、扩散方程等。
3. 高阶偏微分方程：包含高于二阶导数的方程，如Schrodinger方程、Navier-Stokes方程等。
4. 椭圆型方程：二阶方程中的主对角项系数为常数，如拉普拉斯方程。
5. 抛物型方程：二阶方程中的主对角项系数只与一个自变量有关，如扩散方程。
6. 双曲型方程：二阶方程中的主对角项系数只与两个自变量有关，如波动方程。
三、常见的偏微分方程求解方法1. 分离变量法：适用于满足边界条件的简单情况，可将多变量的偏微分方程转化为多个单变量的常微分方程，从而解得原偏微分方程的解。
2. 特征线法：适用于一阶偏微分方程和某些二阶偏微分方程的求解，通过引入新的变量将原方程转化为常微分方程。
3. 变换法：通过适当的变换将原偏微分方程转化为常微分方程，再进行求解。
4. 矩阵法：适用于线性偏微分方程组的求解，将偏微分方程组转化为矩阵形式，利用线性代数的方法求解。
5. 数值方法：对于复杂的偏微分方程，往往无法找到解析解，可以通过数值方法进行近似求解，如有限差分法、有限元法、谱方法等。
四、偏微分方程的应用偏微分方程在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
例如：1. 物理学：波动方程用于描述声波、光波等传播过程；热传导方程用于描述物体内部的温度分布。
特征线法是求解双曲型偏微分方程组数值解的一种常用方法，其基本思想是利用偏微分方程组的特征线方程来构造数值格式，从而求得偏微分方程组的数值解。
本文将介绍双曲型偏微分方程组的基本概念，特征线法的基本原理和数值求解过程，并结合实际问题进行案例分析，以便读者深入了解特征线法在实际工程和科学计算中的应用。
一、双曲型偏微分方程组的基本概念1. 双曲型偏微分方程组的定义和特点双曲型偏微分方程组是指具有双曲型特征的偏微分方程组，其在数学和物理上具有广泛的应用。
双曲型偏微分方程组的特点是方程中存在两个不同的特征方向，解的行为由这两个特征方向共同决定。
双曲型偏微分方程组的基本形式可以表示为：∂u/∂t + A(u)∂u/∂x = 0其中u是未知函数，t和x分别是时间和空间变量，A(u)是一个矩阵函数。
2. 双曲型偏微分方程组的物理意义和工程应用双曲型偏微分方程组描述了许多波动现象和守恒定律，因此在物理学、工程学和科学计算中有着重要的应用。
天气预报中的气象方程、弹性波动方程、流体力学方程等都可以用双曲型偏微分方程组描述，因此求解双曲型偏微分方程组的数值方法对于实际问题具有重要意义。
二、特征线法的基本原理和数值求解过程特征线法是一种求解双曲型偏微分方程组数值解的有效方法，其基本原理是利用偏微分方程组的特征线方程来构造数值格式，从而求得偏微分方程组的数值解。
特征线法的基本步骤包括确定特征线方程、构造数值格式、进行离散化和求解差分方程等。
1. 确定特征线方程双曲型偏微分方程组的特征线方程可以通过对方程进行特征分解得到，一般形式为：dx/∂t = λ1(u)du/∂t = λ2(u)其中λ1(u)和λ2(u)分别为特征线方程的两个特征方向，通过求解特征线方程可以确定数值方法的稳定性和收敛性。
2. 构造数值格式特征线法利用特征线方程构造数值格式，一般采用有限差分法或有限体积法进行离散化。
特征线法的数值格式应该满足守恒性、稳定性和收敛性等基本要求。
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
各类微分方程的解法一、常微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法是解常微分方程的一种常见方法，适用于一阶微分方程。
其基本思想是将微分方程中的变量分离开来，然后对两边分别积分得到解。
例如，对于形如dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，可以将其化为dy/g(y) = f(x)dx，然后对两边积分得到解。
2. 积分因子法。
积分因子法适用于一阶线性微分方程，通过求解积分因子来将微分方程化为恰当微分方程，进而求解。
其基本思想是通过乘以一个适当的函数来使得微分方程的系数函数具有某种特殊的性质，使得微分方程变为恰当微分方程。
3. 特征方程法。
特征方程法适用于二阶线性常系数齐次微分方程，通过求解特征方程来得到微分方程的通解。
其基本思想是将二阶微分方程化为特征方程，然后求解特征方程得到微分方程的通解。
4. 变量替换法。
变量替换法是一种常见的解微分方程的方法，通过引入新的变量替换原微分方程中的变量，从而将原微分方程化为更简单的形式，然后求解。
例如，对于形如dy/dx = f(ax+by+c)的微分方程，可以通过引入新的变量u=ax+by+c来简化微分方程的形式，然后求解得到解。
二、偏微分方程的解法。
1. 分离变量法。
分离变量法同样适用于偏微分方程，其基本思想是将偏微分方程中的变量分离开来，然后对各个变量分别积分得到解。
例如，对于形如∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2的一维热传导方程，可以将其化为∂u/∂t = k∂^2u/∂x^2，然后对各个变量分别积分得到解。
2. 特征线法。
特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，通过引入特征线变量来化简偏微分方程的形式，然后求解。
例如，对于一维波动方程∂^2u/∂t^2 = c^2∂^2u/∂x^2，可以通过引入特征线变量ξ=x-ct和η=x+ct来化简方程的形式，然后求解得到解。
3. 分析法。
分析法是一种常见的解偏微分方程的方法，通过分析偏微分方程的性质和特征来求解。
偏微分方程中的特征值问题在偏微分方程的研究中，特征值问题是一个非常重要的概念。
特征值问题的求解可以帮助我们理解偏微分方程的性质和解的形式，对于理论研究和实际应用都具有重要意义。
1. 特征值问题的定义偏微分方程中的特征值问题指的是在偏微分方程的求解过程中，出现了一个关于特征值和特征函数的问题。
通常来说，偏微分方程的解可以表示为特征函数的线性组合，而特征函数满足一个特定的特征方程，这个特征方程就是特征值问题。
2. 特征值问题的求解方法对于常见的偏微分方程，特征值问题有相应的求解方法。
例如，对于热传导方程和波动方程，特征值问题可以通过分离变量的方法求解。
而对于更复杂的情况，可能需要使用数值方法或其他数学工具来求解特征值问题。
3. 特征值问题的应用特征值问题在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，特征值问题可以用来解释量子力学中的谱线和波函数，对于研究原子结构和粒子运动等问题有重要的意义。
在工程学中，特征值问题可以用来分析结构的固有振动模式，设计有效的控制算法等。
4. 特征值问题的挑战尽管特征值问题在理论和应用中都起着重要作用，但它也面临着一些挑战。
特征值问题的求解通常需要复杂的数学技术和计算方法，有时候还存在数值不稳定性和收敛性等问题。
因此，对于特征值问题的研究仍然是一个具有挑战性的课题。
总之，偏微分方程中的特征值问题是一个复杂而重要的研究领域，它不仅对于理论研究有着重要的意义，也在实际应用中发挥着重要作用。
通过深入研究特征值问题，我们可以更好地理解偏微分方程的性质和解的形式，推动偏微分方程领域的发展。
偏微分方程的求解与应用实例解读偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中的一类重要方程，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将探讨偏微分方程的求解方法，并通过应用实例解读其在实际问题中的应用。
一、偏微分方程的基本概念和分类偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的方程，通常涉及多个自变量。
常见的偏微分方程包括椭圆型、抛物型和双曲型方程。
椭圆型方程描述稳态问题，如静电场分布；抛物型方程描述热传导、扩散等过程；双曲型方程描述波动、振动等动态问题。
二、偏微分方程的求解方法1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常用方法。
通过假设解可以表示为各个自变量的乘积形式，将偏微分方程转化为一系列常微分方程，再求解常微分方程得到解的形式。
2. 特征线法特征线法适用于一阶偏微分方程的求解。
通过找到特征曲线，将原方程转化为常微分方程，进而求解得到解析解。
3. 变换法变换法是通过引入适当的变换将原方程转化为更简单的形式，再进行求解。
常见的变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
4. 数值方法对于复杂的偏微分方程，常常无法找到解析解，此时可以借助数值方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
三、偏微分方程的应用实例解读1. 热传导方程热传导方程是抛物型偏微分方程的典型代表，描述了物体内部的温度分布随时间的变化规律。
在工程领域中，热传导方程被广泛应用于热传导、传热系统的设计与优化等问题。
2. 波动方程波动方程是双曲型偏微分方程的典型代表，描述了波动现象的传播规律。
在物理学中，波动方程被用于描述声波、光波等传播过程。
在地震学中，波动方程被用于模拟地震波的传播与地震灾害的预测。
3. 斯托克斯方程斯托克斯方程是椭圆型偏微分方程的典型代表，描述了流体的运动规律。
在流体力学中，斯托克斯方程被广泛应用于流体的稳定性分析、流体的流动模拟等问题。
四、结语偏微分方程作为数学中重要的研究对象，不仅具有严谨的理论基础，还在各个领域的实际问题中起到了重要的作用。
偏微分方程的解析解介绍偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是一类涉及多个变量和它们的偏导数的方程。
在数学和物理学等领域中，偏微分方程广泛应用于描述自然界中的各种现象和过程。
解析解是指通过数学的推导和求解，得到的能够精确描述方程解的解析表达式。
本文将深入探讨偏微分方程的解析解的研究方法和应用领域。
偏微分方程的分类偏微分方程可以分为多个不同类型，常见的分类方法包括： 1. 椭圆型偏微分方程（elliptic PDEs）：这类方程中的二阶导数的系数满足某些条件，广泛应用于静电学、热传导等问题的建模。
2. 抛物型偏微分方程（parabolic PDEs）：这类方程常用于描述扩散过程、热传导过程等，它们的解析解在某些情况下可以直接求得。
3. 双曲型偏微分方程（hyperbolic PDEs）：这类方程常用于描述波动方程、传播过程等，求解方法相对较为复杂。
求解偏微分方程的方法针对不同类型的偏微分方程，可以采用不同的方法进行求解。
在此我们介绍几种常见的方法：分离变量法分离变量法是求解一类分离变量形式的偏微分方程的常用方法。
这种方法的基本思想是将多元函数表示为几个单变量函数的乘积形式，通过将原方程分离变量，分别对各个变量进行求解，再通过叠加得到原方程的解析解。
特征线法特征线法适用于一类具有常系数的线性偏微分方程。
通过构造特征线方程，将原偏微分方程转化为常微分方程，然后通过求解常微分方程来得到原方程的解析解。
特征线法在求解一些双曲型偏微分方程时常用。
变换法是通过对原方程进行一定的变换，将复杂的偏微分方程转化为简单的形式，进而求解得到解析解。
常见的变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等。
变换法在一些特殊的偏微分方程求解问题中有重要应用。
数值方法对于一些复杂的偏微分方程，往往难以得到解析解。
此时，可以利用数值方法近似求解。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
一阶偏微分方程教程一、基本概念偏微分方程是指含有多个变量的、涉及未知函数及其偏导数的方程。
一阶偏微分方程是指未知函数的最高阶导数出现在一阶的偏微分方程。
通常用变量x、y表示自变量，用u表示未知函数。
一般形式的一阶偏微分方程为：F(x,y,u,u_x,u_y)=0其中，u_x和u_y分别表示u对x和y的偏导数。
二、解法解一阶偏微分方程的方法主要有特征线法、分离变量法和变换法。
1.特征线法：对于形如P(x,y)u_x+Q(x,y)u_y=R(x,y)的一阶偏微分方程，通过假设u=M(x,y)使得PdM=QdN，解得一条特征线，然后再由特征线的参数表示来求解原偏微分方程。
2.分离变量法：对于形如F(x,y,u)u_x+G(x,y,u)u_y=H(x,y,u)的一阶偏微分方程，可以将原方程化简为两个单变量的常微分方程，再分别求解。
3.变换法：通过引入新的变量或者函数进行变量替换，将原方程转化为另一种形式，使得新形式的方程具有更易求解的性质。
三、应用1.热传导方程：热传导方程描述了物体内部温度分布随时间的变化规律。
它是一个偏微分方程，通过求解热传导方程，可以分析物体的温度变化，从而设计合适的散热装置。
2.波动方程：波动方程描述了机械波在介质中的传播规律。
通过求解波动方程，可以研究地震波、声波等的传播特性，为地震预测和声学设计提供理论基础。
3.稳定性分析：稳定性分析是工程和经济学中一个重要的问题，通过求解偏微分方程，可以研究系统的稳定性，并优化系统的运行。
总结：一阶偏微分方程是数学中重要的研究对象，本教程介绍了一阶偏微分方程的基本概念、解法和应用。
掌握解一阶偏微分方程的方法，对于研究自然界的现象和优化工程设计具有重要意义。
最后，希望读者通过学习本教程可以深入了解一阶偏微分方程，并能够独立解决相关问题。
偏微分方程与特征线1函数空间的矢量场给定一个矢量场i x i v ∂=)(x v ，就在空间定义了曲线簇。
比如，经过0x 点的积分曲线就可以描述为下列常微分方程的初值问题)(x i i v x = ，n i ,...,1= 0)0(x x =这些积分曲线就构成了曲线簇。
如果形式地写出这个曲线来就是xvt x t v t v vt t xt x t x x t x )exp(...)!3!21(...!3!2)(332232=++++=++++= 此处x 是0时刻位置，v 是作用于x 的微分算符。
这些曲线，将空间点分成了类，也就是说每条曲线上的点属于一类。
曲线集合的维数是n-1维。
矢量场的可积性那么给定两个矢量场，就会产生两簇曲线，这两簇曲线能否组成面簇呢？我们先 看看从一点出发的曲线是否在一个曲面上的条件：从x 点出发的依此沿两簇直线运动的点若能回到来，就可以认为可以组成面。
即x x vd uc vb ua =)exp()exp()exp()(exp如果a,b,c,d 都是1级以上的小量，这个表达式有二级以上的精度，就可以找到这样的a,b,c,d,使得方程精确满足。
按照各级展开，有 一级0a 1111=+=+d b c二级v d b u c a vu uv b a )()()(222211+++=-…由此，得到条件v u vu uv v u βα+=-=],[这就是两个矢量能够构成2维子空间（曲面）的条件，著名的Frobenius 定理。
n 个矢量积分形成n 维积分只空间的条件是，任意两个矢量的对易可以写成这n 个矢量组合。
可以按照下图进行直观理解给定m 个矢量场，他们线性组合能够形成新的矢量场。
组成的矢量场空间一般称为分布。
},{是任意函数i ii i a v a ∑=∆这个分布中任意两个矢量场对易仍然在这个分布之内，这样满足Frobenius 定理的分布称为闭分布，∆⊆∆∆],[他们积分可以给出m 维积分子流形。
单参数李群一个矢量场可以构造单参数李群，一个闭分布可以构造李群。
我们先看一下单参数李群的表现，它将1维参数空间（物理上经常是时间），映射为群空间。
群元素可以形式地写为算符形式)ex p(vt g t =在表示空间中也可以写为函数变换),(t x x g t ϕ=这个函数变换是常微分方程的初值问题的解xx t x v t x t ==∂)0,(),(),(ϕϕϕ当然这个函数满足如下关系))),,((()),(()()(t s x f s t x f x f g g x f g s t s t ϕϕϕ=+=+比如平移群)ex p(x a a g ∂= 表示为 )()()ex p()(a x f x f a x f g x a +=∂=，再如 转动群 ))(ex p(r r n ∂⨯⋅=θθg 表示为)()())(ex p()(r r r n r '=∂⨯⋅=f f r f g θθ 单参数李群定义了参数空间和实际空间上的变换关系和函数变换关系。
微分形式一个函数描述为),...,()(1n x x f x f u ==可以看做 自变量空间到变量空间的映射u x R R n →→:在自变量和因变量联合空间中，可以看做一个超曲面。
如果给自变量微小改变dx x x +⇒，因变量也有相应的改变dx f df x ,=上面下标逗号表示求导。
如果想计算某个方向的导数，仅需要将相应dx 改成相应的矢量分量就可i x i v f v df i ,=这就是微分形式。
微分形式不再依赖坐标。
因此可以认为是客观量。
一般1微分形式可以描述为i i dx x )(ωω=不同坐标空间上的微分形式可以通过拉回映射表达出来)(,:y x y N M n m →→ϕ那么nN 空间上的微分形式可以通过映射*ϕ拉回到mM 空间上的微分形式j i y i i i dy y x y x y dx y x j)())(()())((*∂==='ωωωϕω微分形式可以与矢量作用，i i v v i ωω=因此可以将微分1形式想象成线元积分场，给定空间某点上一个线元，就给一个值。
当然，给定一条曲线，就可以给一个积分值一条曲线可以描述为一维空间1T 向n 维空间nN 上的映射)(,:1t x t N T l n →→⎰⎰=lii t dx t x l )())((*ωω微分形式的外积两个微分形式θω,，相当与两个线元积分场。
用这两个线元积分场可以构造一个面元积分场，要求面元大小和方向固定时，这个值是不变的。
要求θωδγβαθωδγβα∧=∧++v u u v v u i i i i 因此，j i j i j i i j j i dx dx dx dx ∧=-=∧θωθωθωθω)(21外微分观察微分形式ω沿无穷小闭合回路（围出来无穷小面元）的积分值，这可以定义为无穷小面元上的函数（2微分形式）⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∧==ji i j dx dx d ,ωωω j i i j dx dx d ∧=,ωωk 形式对微分形式进行外积或者外微分都可以变成2形式，3形式，。
对于m 微空间，可以证明，最高阶是m 形式。
微分形式的可积性很明显，如果df =ω，那么有0=ωd一个问题就是如果df ≠ω，那么能否有adf =ω，很明显ωθω∧=d 。
也就是说，如果微分形式ω沿无穷小闭合回路（围出来无穷小面元）的面元积分场是由原来的面元积分场合成的，这个线元积分场就可以写成全微分乘以一个因子形式。
另一个问题是给定一些微分形式},...,1,{n =αθα，能否判定任意一个微分形式的外微分可以表达为这些微分形式的组合形式？ 答案是：01=∧∧=ββαθθnd可以很容易证明这个表达式将},...,1,{n =αθα扩充后，形成余切空间*TM 的完备基 },...,1,,,...,1,{n m n -==μσαθμα那么γγαββαασρθτθ∧+∧=d ，可以肯定01=∧∧=ββγγαθσρn，这是关于γαρ的线性方程，由于ββγθσn1=∧独立，这个方程只有0解。
因此ββααθτθ∧=d我们再看能使},...,1,{n =αθα拉回到0的映射ϕ，0*=αθϕ能否找到m nm M N→-:ϕ，使得上式成立呢？这就是Frobenius 定理的另一种描述，当任意α，都有01=∧∧=ββαθθnd 时，可以找到m n m M N →-:ϕ，将},...,1,{n =αθα推回到0.其实ββααθτθ∧=d 就很能说明问题，几何上讲，绕任意无穷小回路对αθ求和后，都可以表达为},...,1,{n =αθα的组合形式。
因此，使得某点的},...,1,{n =αθα为0的切向场，也可连续延拓到别处。
这样的切向量场的积分曲面就是映射形成的曲面。
表达为},...,1,0:{n i v V v ===αθα在V 中，可以找到相互对易的m-n 个矢量},..,1,{n m w -=αα，映射可以形式地表示为x w x M N m n m )ex p()(,:ααλλλϕ=→→-很明显0))(())(()())(()())((*,====ααααλαααλλλθλλλθλλθθϕαd x w x d x x dx x i i i i i i这些矢量},..,1,{n m w -=αα就构成了方程},...,1,0{n ==αθα的特征矢量。
微分形式组成的理想如果给定生成元},...,1,{n =αθα，我们将}0,{形式是任意形式，包括ααααωθω∑∧=I 成为生成元生成的理想。
很明显任意形式ω（包括函数，0形式），只要和理想中的元相乘（外积），都会变成理想中的元素，即I I ⊆∧ω。
这和常讲的理想意义差不多。
借用理想概念Frobenius 定理表达为一个外微分理想I 的具有最大零化子空间的条件是 I dI ⊆偏微分方程（组）表达为0,...),,,(=xx x u u x u F ，可以理解为函数偏导数的约束关系。
Hamilton 力学LH H qH p t q q L p q H t t p q -∂=∂∂=-∂=-⋅= ),,(比如流体（固体）方程0))21(()21(0)()(0)(22=⋅-+⋅∇++∂=-⋅∇+∂=⋅∇+∂v σv v v σvv v v E E t t t ρρρρρρρρ，其中},,{E u u ρ=再加上本构方程和状态方程才会封闭。
电磁学Maxwell 方程=∂+⨯∇=∂-⨯∇=⋅∇=⋅∇B E D H B D t t j ρ，其中}{E B,u =或者在真空场写为=∂-=∂αβμναβμνμνμεF j FμννμμνA A F ∂-∂=，其中},{A A u φ==加上电磁学本构和电流方程才会封闭。
量子力学的薛定谔方程ψψ))(2(22r V mi t +∇=∂ ，其中ψ=u相对论电子运动的狄拉克方程0)(=-∂ψγμμmci 刘维尔方程0=∂∂-∂∂+∂=∂+∂+∂ρρρρρρp q q p t p q t H H p q],[ρρH i t =∂相对论电磁学ϕe A ev c v c m L -⋅+⎪⎭⎫⎝⎛-=2201/22420220)(1/eA p c c m e e c v c m H -++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕϕ224202224202)()()()(eA p c c m AeA p e c e peA p c c m eA p c v -+∇⋅--∇-=-+-=ϕ切触空间为了从几何上描述偏微分方程的意义我们定义切触空间。
我们定义：自变量x 的空间称为域空间D自变量x ，因变量u 构成的空间称为图空间G自变量x ，因变量u ，和因变量对自变量的导数p ，构成的空间},,{p u x 叫做切触空间K 。
切触空间是对图空间的拓展。
带来一些自然结构，即切触形式i i dx p du C ααα-=任何函数),(,:u x →→λφG M ，扩充为到切触空间的映射),,(,:p u x →→ΦλK M都会满足切触关系0=ΦC这样，一阶偏微分方程组描述为}),,,({βββββαdx p du p u x F PE i i i -=如果一个映射满足0*=ΦPE ，这个映射就是0=PE 的解。
同样地可以定义高阶切触空间...j ij i i ii dx p dp C dx p du C αααααα-=-=高阶偏微分方程表示,...},,...),,,,({αααααβi ij i i C C p p u x F PE =方程解是满足 0*=ΦPE的映射。
一阶偏微分方程（组）的特征线一阶偏微分方程}),,,({pdx du p u x F PE -=为了寻找它的解法，我们寻找合适的微分形式，对函数微分，得到},,{,,,1pdx du dp F du F dx F F PE p u x -++=很自然地想到微分形式组合的特性矢量，就是}0:{1=PE i w w 的矢量。
