下载文档原格式
数学专业的椭圆偏微分方程椭圆偏微分方程作为数学中的重要分支之一，广泛应用于科学、工程和经济等领域。
本文将对数学专业的椭圆偏微分方程进行详细的探讨，介绍其基本概念、求解方法以及在实际应用中的一些典型案例。
一、椭圆偏微分方程的基本概念椭圆偏微分方程是指形如：$$Au_{xx}+Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_x+Eu_y+Fu = G $$的二阶偏微分方程，其中A、B、C、D、E、F、G都是已知的函数。
椭圆偏微分方程的主要特点是其二阶导数的系数满足某些条件，使得方程的解具有良好的性质。
二、椭圆偏微分方程的求解方法1. 分离变量法分离变量法是求解椭圆偏微分方程常用的方法之一。
通过假设解具有形如$u(x,y)=X(x)Y(y)$的形式，将变量分离后代入方程，得到两个关于X(x)和Y(y)的常微分方程。
进一步求解这些常微分方程，得到原方程的解。
2. 特征线法对于一类特殊的椭圆偏微分方程，可以通过特征线法求解。
特征线法的关键是通过变换将原方程转化为关于新坐标系的常微分方程，然后通过求解常微分方程得到原方程的解。
3. 数值方法对于一些复杂的椭圆偏微分方程，往往很难得到解析解。
此时，可以借助数值方法求解，如有限差分法、有限元法等。
这些数值方法通过将偏微分方程转化为差分或代数方程，然后运用数值计算方法得到近似解。
三、椭圆偏微分方程的应用椭圆偏微分方程在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
以下是一些椭圆偏微分方程应用的典型案例：1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部的温度分布随时间的变化。
通过求解热传导方程，可以模拟材料的热传导行为，对热传导问题进行分析和优化设计。
2. 电场方程电场方程描述了电荷在空间中的分布情况以及电场随时间的变化。
通过求解电场方程，可以研究电场的分布规律，解决电场问题，如电磁场的辐射问题、导体中的电磁场分布等。
3. 流体力学方程流体力学方程描述了流体在空间中的运动规律。
通过求解椭圆型流体力学方程，可以研究流体的运动行为，如空气动力学、水动力学、血液流动等问题。
椭圆微分方程及其求解方法椭圆微分方程是常见的一类偏微分方程，它在自然科学、工程技术、金融数学等诸多领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆微分方程的基础概念、分类、本征值问题及求解方法等内容。
一、椭圆微分方程的基本概念椭圆微分方程通常具有形如$$\begin{cases}Lu(x)=f(x), & x\in \Omega, \\u(x)=g(x), & x\in \partial\Omega, \\\end{cases}$$其中，$Lu(x)$是一线性偏微分算子，$\Omega$为区域（一般指开集上的连通子集），$\partial\Omega$为$\Omega$的边界，$f(x)$和$g(x)$为已知函数，求解$u(x)$满足上述条件。
椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$通常具有形如$$Lu(x)=\sum_{i,j=1}^na_{i,j}(x)\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}u(x)+\sum_{k=1}^nb_k(x)\frac{\partial}{\partialx_k}u(x)+c(x)u(x),$$其中，$n$为空间维数，$a_{i,j}(x)$、$b_k(x)$和$c(x)$都是已知函数。
二、椭圆微分方程的分类根据椭圆微分方程中的偏微分算子$Lu(x)$的性质，椭圆微分方程可分为一般椭圆型、二阶椭圆型和高阶椭圆型三类。
其中，一般椭圆型指的是$Lu(x)$的主部分系数矩阵在$\overline{\Omega}$上正定（即对于任意$x\in\overline{\Omega}$和非零$u\in\mathbb{R}^n$，均满足$u^T A(x)u>0$），二阶椭圆型指的是$Lu(x)$仅包含二次微分项，而高阶椭圆型则指的是$Lu(x)$中至少包含有三次或以上的微分项。
三、椭圆微分方程的本征值问题对于某些特殊的椭圆微分方程，我们可以考虑它们的本征值问题。
椭圆型偏微分方程是数学领域的一个重要分支，它在物理、化学、工程、金融等众多领域都有着广泛的应用。
是指具有良好性质的、具有解析解的偏微分方程。
这种方程具有重要的数学性质，如唯一性和稳定性。
本文将简要介绍的性质以及其在实际应用中的应用情况。
的数学性质具有唯一性和稳定性。
唯一性是指对于一个给定的初值问题，存在且只存在唯一的解。
稳定性则意味着微小的扰动不会显著影响解的行为。
这些性质使得解析解的存在与稳定性成为了吸引人之处。
在实际应用中，求解往往是一个复杂的问题。
解析解难以得到，因此需要采用数值方法进行求解。
这些数值方法可以被分为两类：有限差分方法和有限元方法。
有限差分方法利用差分近似来近似偏微分方程中的导数项。
它们使用网格来离散化计算区域，并在这些网格上近似求解微分方程。
相对来说，有限差分方法的实施较为简单，但精度可能相对较差。
有限元方法则将求解区域分解成一些小的单元，然后在这些单元上近似解决微分方程的行为。
这些单元之间存在一些重叠，形成了一个整体的系统。
有限元方法提供了更高的精度和稳定性，但在实施过程中需要解决更多的计算问题。
在实际应用中的应用情况在许多领域中有着广泛的应用，尤其是在数学建模、物理、工程等领域中。
以下是几个重要的应用领域的例子：1. 热传导模型热传导模型是一个常见的模型。
它描述了热量如何在一定的物质介质中传递。
应用包括了内燃机的物理模型等。
2. 电场模型电场模型是利用解决电学问题的一个重要手段。
应用包括了电子学、电磁学等领域中的问题。
3. 流体力学问题流体力学问题是指使用计算流体力学的方程组预测流体的行为。
该方法使用质量和动量守恒，并使用能量守恒条件。
重要的应用包括了航空和汽车工业领域、天气预报领域的气象模型等。
4. 金融学领域也在金融学领域得到了广泛的应用。
例如，在期权定价问题中，可以使用求解期权隐含波动率，并以此估计期权的价值。
总之，在物理、化学、工程、金融等领域中都有着深远的影响和应用。
椭圆型偏微分方程的解法椭圆型偏微分方程是数学中经典的研究对象之一，它是指满足拉普拉斯方程或泊松方程的微分方程。
在实际应用中，椭圆型偏微分方程广泛存在于物理学、工程学、地球物理学、生命科学等领域，并且在工程设计和物理过程研究中具有重要的意义。
解决椭圆型偏微分方程的方法有多种，包括有限元法、有限差分法、谱方法等。
下面将分别介绍这些方法及其适用范围和优缺点。
有限元法是求解椭圆型偏微分方程的一种常用方法。
它适用于解决几何形状复杂的问题，如非规则物体的流动问题、地形表面运动等。
该方法将问题的解域分成若干个小的单元，然后对每个单元进行数值逼近，采用加权残差法对方程进行离散化处理，最终得到问题的解。
该方法的好处在于可以处理非线性问题，并且具有良好的处理误差和收敛性质，但其缺点是计算量大，在处理大规模问题时易出现计算瓶颈。
有限差分法是一种常见的数值计算方法，适用于处理较为简单的几何形状，如规则的网格结构。
该方法通过使用中心差分或者差分间断法来近似微分算子，在对区域进行离散化处理之后，使用代数方程组求解工具来求解问题的解。
该方法的好处在于计算量较小，易于理解和实现，并且在解决一些经典问题时表现较为优秀。
但是，有限差分法也存在着较为明显的限制，例如难以处理非线性问题，处理复杂的几何形状时计算误差较大等。
谱方法是一种高精度的数值计算方法，适用于解决各种类型的偏微分方程。
该方法通过对问题的解进行快速傅里叶变换或者切比雪夫变换等运算，来利用谱方法在空间上进行采样，然后将问题转化为代数方程组，通过求解代数方程组来求解问题的解。
谱方法的好处在于其计算精度极高，可用于处理包括复杂几何形状在内的各种问题。
同时，谱方法也具有快速收敛的特点，适用于对数值精度要求较高的问题。
但其缺点在于需要高效的算法实现，并且不适用于噪声多、非光滑或者有光滑界面和不连续性的问题。
总之，每种方法都有其适用的领域和优势。
在实际应用中，我们需要根据问题的特点来选择最为适合的解法。
椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是数学中重要的一类偏微分方程，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
本文将对椭圆型偏微分方程的定义、性质及求解方法进行探讨。
一、椭圆型偏微分方程的定义及性质椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的一类，其主要特点是其二阶导数的符号确定，即二阶导数的符号一致。
一个一般的椭圆型偏微分方程可以表示为：\[Lu = \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\frac{{\partial^2u}}{{\partialx_i\partial x_j}} + \sum_{i=1}^{n}b_i(x)\frac{{\partial u}}{{\partial x_i}} + c(x)u = f(x)\]其中，\(L\)是椭圆算子，\(\frac{{\partial^2u}}{{\partial x_i\partialx_j}}\)是二阶偏导数，\(a_{ij}(x)\)、\(b_i(x)\)、\(c(x)\)是给定函数，\(f(x)\)是已知的源项函数。
对于椭圆型偏微分方程，有以下一些性质：1. 解的正则性：解的导数有界，满足一定的光滑性条件。
2. 最大值原理：在定义域上的解在边界上取得其最大（或最小）值时，只能在边界上取得。
3. 边值问题的唯一性：给定边界条件，边值问题有唯一解。
二、椭圆型偏微分方程的求解方法椭圆型偏微分方程的求解可以使用多种方法，下面介绍其中的两种常见方法：有限差分法和变分法。
1. 有限差分法有限差分法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，通过对离散方程的求解得到近似解。
该方法将解域进行网格划分，利用差分代替导数，将方程离散化。
通过求解离散方程组，得到近似解。
有限差分法简单易实现，但对于复杂的几何形状或边界条件的问题可能需要较高的计算资源。
2. 变分法变分法通过泛函的极值问题来求解椭圆型偏微分方程。
将方程转化为泛函的极值问题后，通过极值问题的变分推导和变分运算得到数学模型的解。
椭圆偏微分方程正则椭圆偏微分方程是一类常见的偏微分方程，它在数学、物理和工程等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆偏微分方程的基本概念、性质和求解方法，并通过实例说明其应用价值。
椭圆偏微分方程是指具有椭圆形状的二阶偏微分方程。
一般而言，椭圆偏微分方程由二阶导数项和一阶导数项构成，其中二阶导数项的系数满足某些条件，使得方程的解具有良好的性质。
椭圆偏微分方程的一个经典例子是拉普拉斯方程，它在物理学中描述了静电场和稳定温度分布等问题。
椭圆偏微分方程的一个重要性质是正则性。
正则性要求方程的解在定义域内具有足够多的连续性和光滑性。
具体来说，正则性要求方程的解在定义域内具有足够多的连续可导性，以及满足一定的增长条件。
正则性的要求使得椭圆偏微分方程的解具有唯一性和稳定性，这对于求解实际问题非常重要。
求解椭圆偏微分方程的方法主要有解析解法和数值解法两种。
解析解法是通过数学分析的方法，找到方程的精确解。
这种方法适用于具有简单边界条件和系数的方程，但对于复杂的方程往往无法得到解析解。
数值解法是通过数值计算的方法，近似地求解方程。
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等，它们可以处理各种复杂的边界条件和系数，但需要借助计算机进行计算。
下面以一个实际问题为例，说明椭圆偏微分方程的应用。
假设我们要求解一个热传导方程，描述一个矩形板的温度分布。
矩形板的边界被绝热材料包围，上下边界保持恒温，左右边界保持绝热。
我们可以建立如下的椭圆偏微分方程来描述这个问题：∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = 0其中T(x, y)表示温度分布，(x, y)表示矩形板上的坐标。
根据边界条件，我们可以得到上下边界的温度分布为T(x, 0) = T(x, 1) = T0，左右边界的温度分布为T(0, y) = T(1, y) = 0。
利用数值解法，我们可以离散化方程，通过迭代计算得到矩形板上的温度分布。
毕业论文文献综述信息与计算科学双曲型偏微分方程的求解及其应用一、前言部分在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。
比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。
这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。
应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。
而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。
介质的温度也是这样。
这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程[1]。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。
从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。
从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
其中，可以变的标准型有：椭圆型、双曲型、抛物型。
而基本方程可以归结为四大类：波动、热传导、传输[2]。
随着电子计算机的出现和发展, 偏微分方程的数值解得到了前所未有的发展和应用.在科学的计算机化进程中,科学与工程计算作为工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展.由于科学基本规律大多是通过偏微分方程来描述的，因此科学与工程计算的主要任务就是求解形形色色的偏微分方程，特别是一些大规模、非线性、几何非规则性的方程.双曲型和抛物型方程描述了物质扩散和波动等不定常物理过程，这两类偏微分方程的定解问题在力学、热传导理论、燃烧理论、化学、空气动力学、电磁学和经济数学等方面都有着广泛的应用。
数学中的椭圆型偏微分方程在数学领域中，椭圆型偏微分方程是一类重要的方程类型。
它在物理学、工程学和计算机科学等各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍椭圆型偏微分方程的定义、性质和求解方法，从而帮助读者更好地理解和应用这一方程类型。
一、椭圆型偏微分方程的定义椭圆型偏微分方程是指具有标准形式的二阶偏微分方程，其中二次项系数的行列式不为零。
一般而言，椭圆型偏微分方程可以表示为：∑[i,j=1 to n] {aij(x) ∂²u/∂xi ∂xj} + ∑[i=1 to n] bi(x) ∂u/∂xi + cu = f其中，a_ij、b_i、c、f是相关系数或函数；u是未知函数，表示问题的解；x_1，x_2，…，x_n是自变量。
二、椭圆型偏微分方程的性质1. 正定性：椭圆型偏微分方程的二次项系数矩阵是正定矩阵。
这意味着椭圆型方程的解在定义域上满足一定的正定性条件。
2. 内部渐进性：椭圆型方程的解在区域的内部是光滑且渐进的。
3. 边界条件：椭圆型方程需要通过边界条件来获得唯一解。
常见的边界条件包括：泊松方程中的迪里切特边界条件和诺依曼边界条件。
三、椭圆型偏微分方程的求解方法1. 分离变量法：分离变量法是椭圆型偏微分方程求解的一种常见方法。
通过假设解可以表示为各个自变量分量的乘积形式，然后将未知函数与其各个自变量的分量进行分离，最终得到一个由各自变量分量的常微分方程组成的代数方程。
2. 特征线法：特征线法适用于一类特殊的椭圆型偏微分方程。
通过求解特征方程，我们可以找到解的参数化表示，从而将原方程化为一个更简单的常微分方程。
3. 有限差分法：有限差分法是一种通过在空间和时间上离散化方程来数值求解椭圆型偏微分方程的方法。
通过将偏微分方程转化为差分方程，可以用迭代方法求解离散问题。
四、椭圆型偏微分方程的应用1. 热传导方程：热传导方程可以描述物体内部温度分布随时间变化的情况。
通过求解热传导方程，我们可以研究热量在不同材料中的传导行为。
数学专业文献综述范文篇一：数学专业文献综述数学是一门基础学科，它研究一般性的定理和方法，是自然科学、工程技术、社会科学和自身的发展所必需的基础学科。
数学的研究方法多种多样，例如分析、代数、拓扑、几何、组合等等。
在各个领域都能够得到广泛应用。
本文将介绍数学专业文献的综述，以期帮助更多的学者更好地了解数学研究领域的进展和优秀成果。
一、常微分方程常微分方程是数学中一个很重要的分支，它研究的是某些因素随时间的变化过程。
在许多自然现象和工程实际应用中，经常会遇到许多与时间有关的问题，例如物理学中的运动、力学、流体力学、电路理论、化学反应动力学等等，都需要通过数学模拟来进行研究。
常微分方程的研究成果对于这些应用领域有着极为重要的指导作用。
在常微分方程领域中，有许多重要的研究成果。
例如美国数学学会会士E. L. Ince于1926年所著的《奇异常微分方程》一书，是经典的常微分方程教材之一。
该书详细讲述了常微分方程的各种性质，包括一阶、二阶及高阶常微分方程的一般解法，特殊函数解和一些线性或非线性重要实例的求解方法等等。
另外，在普通微分方程方面，苏联科学家C. Levin于1956年曾经发表了一篇题为“守恒积分”（“conservation integral”）的重要论文，论文中关于两阶线性微分方程解法的研究成果以及针对一些非线性微分方程的守恒积分的构造引起了国际数学界的广泛关注。
二、拓扑学拓扑学是数学中的另一个重要分支，它研究的是空间及其变形的一些性质。
拓扑学对许多学科具有极其重要的影响，例如物理学、化学、及地理学等等，尤其在几何物理学、量子场论等领域中都扮演着重要的角色。
近年来，拓扑学的一些新成果也得到了许多数学家和物理学家的关注。
在拓扑学领域中，著名数学家W. G. Dwyer和J. Spalinski等人的共同发表的论文《拓扑有界性理论》引起了极大的关注，这篇论文提出了一种新的拓扑有界性概念，解决了一些重要的同伦群问题。
毕业论文文献综述信息与计算科学椭圆型偏微分方程的求解及其应用一、 前言部分微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。
早在18世纪初，人们已经将弦线振动的问题归结为弦振动方程，并开始探讨了它的解法。
随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性。
有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中的许多特定问题的解答。
随着电子计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也有可能计算出解得足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化（如天气预报）和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用[1]。
许多复杂的自然现象，其运动规律、过程和状态都是通过微分方程这种数学形式来描述的。
当我们研究只有一个自变量的运动过程时出现的微分方程称为常微分方程。
当一个微分方程除了含有几个自变量和未知数外，还含有未知数的偏导数时，称为偏微分方程[2]-[6]。
在偏微分方程中，偏导数自然是不可缺少的。
例如： ()(),,u ua x y f x y x y∂∂+=∂∂ （1.1.1） 拉普拉斯方程22232220u u uu x y z∂∂∂∆=++=∂∂∂（1.1.2） 热传导方程()222,,u u a f x t u t x ∂∂=+∂∂（1.1.3） 波动方程()2222,,u a u f t x y t∂=∆+∂（1.1.4）等都是偏微分方程。
其中，u 为未知数，a 为常数，(),a x y 、f 为已知函数。
偏微分方程的一般形式为()112,,,,,,,,0n n x x F x x x u u u ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= （1.1.5） 其中：F 为已知函数；12,,,n x x x ⋅⋅⋅为自变量；u 是关于这些自变量的未知数。
应注意F 中必须含有未知函数u 的偏导数。
偏导数方程（1.1.5）中所含有偏导数的最高阶数为该偏微分方程的阶。
如（1.1.1）是一阶偏微分方程，方程（1.1.2）~（1.1.4）是二阶偏微分方程。
如果一个偏微分方程对于未知函数及其所有偏导数都是线性的，则称之为线性偏微分方程，否则称为非线性方程。
如（1.1.1）、（1.1.2）、（1.1.4）都是线性方程。
我们将主要研究二阶线性偏微分方程，因为它们在物理、力学和其它自然科学以及工程技术中经常出现，常称为数学物理方程。
n 个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式为,,11i j i nni jx x i x i j i au u b u cu f ==++=∑∑ （1.1.6）不失一般性，可以假设ij ji a a =，且ij a ，i b ，c 及f 是空间nR 中某区域Ω内的函数，如果方程（1.1.6）中的自由项0f ≡，则称方程为齐次方程，否则称为非齐次方程。
设方程（1.1.5）的阶数为m ，函数()12,,,n u u x x x =⋅⋅⋅在区域nR Ω⊂中具有m 阶连续偏导数，且代入方程（1.1.5）后成为恒等式，则称u 为区域Ω内方程(1.1.5)的一个解。
容易验证函数()2u x y =+，()sin v x y =-都是方程222220u uu x y∂∂∆=+=∂∂ （1.1.7）的一个解。
称方程（1.1.7）为二维拉普拉斯（Laplace ）方程或二维调和方程。
由复变函数理论知，任何一个解析函数()f z 的实部和虚部都是方程（1.1.7）的解。
考察两个自变量的二阶线性偏微分方程 111222122xx xy yy x y a u a u a u b u b u cu f+++++=，（1.1.8）其中ij a ，i b ，c ，f 都是x ，y 的连续可微实值函数，并且11a ，12a ，22a 不同时为零。
在你一点00(,)x y ∈Ω的一个领域内考察自变量变换(,)x y ξξ=，(,)x y ηη=. （1.1.9）假设它的Jacobi 行列式(,)(,)0(,)x yx x x y D J D x y ξξξηηη==≠，由隐函数存在定理知该变换是可逆的，即存在逆变换(,)x x ξη=，(,)y y ξη=。
直接计算，有x x x u u u ξηξη=+，y y y u u u ξηξη=+，…将其代入方程(1.1.8)，得 *******111222122a u a u a u b u b u c f ξξξηηηξη+++++=，（1.2.0）其中*c c =，*f f =，*ij a ，*i b 可以分别用ij a ，i b 以及ξ和η的各阶偏导数表示。
特别地*22111112222x y x y a a a a ξξξξ=++，*22221112222x yx y a a a a ηηηη=++.（1.2.1）希望选取一个变换（1.1.9），使方程（1.2.0）有比方程（1.1.8）更简单的形式。
注意到（1.2.1）式中的*11a 与*22a 有相同的形式，如果我们能够解出方程2211122220x x y y a a a ϕϕϕϕ++= （1.2.2）的两个线性无关的解1(,)x y ϕ，2(,)x y ϕ，那么取1(,)x y ξϕ=，2(,)x y ηϕ=，就能保证**11220a a =≡。
这样，（1.2.0）式就较（1.1.8）式大为化简。
现在考察这种选取的可能性[7]。
我们知道关于ϕ的一阶偏微分方程（1.2.2）的求解问题可以化为求下述常微分方程在(),x y 平面上的积分曲线问题：()()2211122220a dy a dxdy a dx -+=.（1.2.3）设1(,)x y c ϕ=是方程（1.2.3）的一族积分曲线，则1(,)z x y ϕ=就是方程（1.2.2）的一个解。
称方程（1.2.3）的积分曲线为方程（1.1.8）的特征线，方程（1.2.3）有时亦称为特征方程。
偏微分方程可根据它的数学特征分为三大类型，即抛物型、双曲型、椭圆型。
这三类偏微分方程描述了不同本质的物理现象，其应用是极其广泛的[8]。
我们可以看到，两个自变量的二阶线性方程通过自变量的可逆变换能够化成哪种标准形，要看二次型()22111222,2Q l m a l a lm a m =++的代数性质如何让来定，或者说，由于,l m 平面上的二次曲线(),1Q l m =的性质而定。
由于这个曲线可以是一个椭圆、一个双曲线或者一个抛物线，故我们相应地定义方程在一点的类型如下：若方程（1.1.8）中二阶偏导数项的系数111222,,a a a 在区域Ω中某点()00,x y 满足 12211220a a a ∆=->， 则称方程在()00,x y 为双曲型的；若在点()00,x y 满足 12211220a a a ∆=-=， 则称方程在点()00,x y 为抛物型；若在点()00,x y 满足 12211220a a a ∆=-<， 则称方程在点()00,x y 为椭圆型的[1]。
给定一个常微分方程，有通解和特解的概念。
对于偏微分方程也一样。
换句话说，为了完全确定一个物理状态，只有相应的偏微分方程是不够的，必须给出它的初始状态和边界状态，即给出外加的特定条件，这种特定条件称为定解条件。
描述初始时刻物理状态的定解条件称为初值条件或初始条件，描述边界上物理状态的条件称为边界条件或边值条件。
一个方程配上定解条件就构成定解问题[7]。
那么我们如何求解偏微分方程的定解问题呢？数学物理方程中有许多是线性方程，与其对应的已经给出很多求准确解的方法，如特征线法、分离变量法、格林函数法、积分变换法及复变函数法等[1]。
求解有界区域上的线性偏微分方程定解问题的基本方法——分离变量法。
分离变量法的理论基础是Fourier级数展开（一个函数按照某个具体的完备正交函数系展开）。
对于包含无限区域或半无限区域的偏微分方程的定解问题，经常采用积分变换法。
这种方法是通过函数变换，减少泛定方程中自变量的个数，把偏微分方程问题转化为常微分方程问题，使计算大为化简。
差分法是求解偏微分方程常用的数值解法。
它的基本原理是：首先，将问题离散化，用差商代替微商，将微分方程和定解条件都用代数方程来代替；然后，解这些代数方程构成的方程组，得到定界问题的近似解[7]-[10]。
二、主题部分众所周知，17世纪微积分创立后，常微分方程理论立刻就发展起来。
即应用常微分方程于几何与力学问题的全新的计算。
结果是在天体力学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了新的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程的分析的基础上作出的）。
开始研究偏微分方程要晚得多。
对在物理学中碰到的偏微分方程的研究在18世纪中叶导致了分析学的一个新分支——数学物理方程的建立。
J.达浪贝尔（1717-1783）、L.欧拉（1707-1783）、D.伯努利（1700-1782）、J.拉格朗日（1736-1813）、P.拉普拉斯（1749-1827）、S.泊松（1781-1840）、J.傅里叶（1768-1830）等人的工作为这一科学分支奠定了基础。
他们在考察具体地数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为19世纪末偏微分方程一般理论发展的基础[5]。
早期建立的数学物理方程有根据牛顿引力理论而推导出的描述引力势的拉普拉斯方程和泊松方程。
对于建立的数学物理方程，需要作出各种附有具体条件而构成典型问题的解，然后根据实际测量结果来检验和修正相应的物理理论。
通过求解数理方程，使人们对自然现象获得更深刻的认识，并能预见新的现象。
随着现代科学和技术的进步，将会不断涌现新的数学物理方程，而其产生和应用的范围已经并且更多地超出了传统的物理学、力学、天文学等领域。
例如，在化学、生命科学、经济学等自然科学和社会科学各个领域，以及在资源勘探与开发、大型建筑与水利工程、金属冶炼工程、通信工程、新能源开发、大气物理、气象预报、航天工程、医疗诊断与材料无损探伤、遗传工程等广泛的工程技术各个领域都涉及到数学物理方程的理论及其重要应[4][5]。
数值天气预报、大型水坝应力分析等许多例子，说明数值求解偏微分方程在各门学科和工程中的应用，解偏微分方程已经成为科学与工程计算的核心内容，包括一些大型的计算和很多已经成为常规的计算。
为什么它在当代能发挥这样大的作用呢？第一是计算机本身有了很大的发展；第二是数值求解方程的计算方法也有了很大的发展，这两者对人们计算能力的发展都是十分重要的[9]。
