(完整word版)2018年高考数学专题复习突破训练(高考真题专题练)_构造函数解决高考导数问题

阶段提升突破练(一) (三角函数及解三角形)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.要得到函数f(x)=2sinxcosx,x∈R的图象,只需将函数g(x)=2cos2x-1,x∈R的图象( )A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【解析】选D.因为f(x)=2sinxcosx=sin2x,g(x)=2cos2x-1=cos2x,所以sin2x=cos=cos,所以f(x)可由g(x)向右平移个单位得到.2.已知函数f(x)=4(ω>0)在平面直角坐标系中的部分图象如图所示,若∠ABC=90°,则ω= ( )A. B. C. D.【解析】选B.根据三角函数图象的对称性可知,BC=CP=PA,又因为∠ABC=90°,所以BP是Rt△ABC斜边的中线,所以BP=BC=CP,所以△BCP是等边三角形,所以BP=4⇒BP=8,所以=2×8⇒ω=.3.在△ABC中,“角A,B,C成等差数列”是“sinC=(cosA+sinA)cosB”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为角A,B,C成等差数列,所以B=,又sinC=(cosA+sinA)cosB,所以sin(A+B)=cosAcosB+sinAcosB,所以cosAsinB=cosAcosB,所以cosA(sinB-cosB)=0,即cosA=0或tanB=,即A=或B=,故选A.4.已知tanα=-3,tan(α-2β)=1,则tan4β的值为( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选B.因为2β=α-(α-2β),所以tan2β=tan[α-(α-2β)]===2,所以tan4β===-.5.将函数y=3sin的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移个单位,所得函数图象的一个对称中心为( )A. B.C. D.【解析】选 A.将函数y=3sin的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍变为y=3sin,再向右平移个单位变为y=3sin=3s in,令8x-=kπ⇒x=+,k∈Z,显然A选项,当k=0时满足.6.若α∈,且3cos2α=4sin,则sin2α的值为( )A. B.- C.- D.【解析】选C.3(cos2α-sin2α)=2(cosα-sinα),因为α∈,所以cosα-sinα≠0,所以3(cosα+sinα)=2,即cosα+sinα=,两边平方可得1+si n2α=⇒sin2α=-.7.已知锐角A是△ABC的一个内角,a,b,c是各内角所对的边,若sin2A-cos2A=,则下列各式正确的是( )A.b+c≤2aB.a+c≤2bC.a+b≤2cD.a2≤bc【解题导引】根据题中条件可以求出角A,结合余弦定理求出a,b,c三边的关系,选项可以看成比较大小,平方作差即可.【解析】选A.因为sin2A-cos2A=-cos2A=,且A为锐角,所以cos2A=-⇒2A=⇒A=,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos,即a2=b2+c2-bc,对于选项A,(b+c)2-4a2=b2+c2+2bc-4(b2+c2-bc)=-3b2-3c2+6bc=-3(b-c)2≤0,故选A.8.已知函数f(x)=2sin(ωx-φ)-1(ω>0,<π)的一个零点是x=,x=-是y=f(x)的图象的一条对称轴,则ω取最小值时,f(x)的单调增区间是( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解题导引】首先根据x=,x=-分别是零点和对称轴表示出ω,结合ω的范围求出其最小值,根据对称轴的取值,求出φ的值,然后再求单调增区间.【解析】选B.由条件得sin=,sin=±1,所以-φ=2kπ+或2kπ+(k∈Z).--φ=tπ+(t∈Z),所以ω=2(2k-t)±.因为ω>0,k,t∈Z,所以ωmin=,此时--φ=tπ+,t∈Z,所以φ=-tπ-π(t∈Z),因为<π,所以φ=-,所以f(x)=2sin-1,由-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z),得-+3kπ≤x≤-+3kπ(k∈Z).所以f(x)的单调增区间是,k∈Z. 二、填空题(每小题5分,共20分)9.已知函数f(x)=2sinxcosx-2sin2x,x∈R,则函数f(x)在上的最大值为__________.【解析】f(x)=sin2x+cos2x-1=2(sin2x+cos2x)-1=2sin-1.因为0≤x ≤,所以≤2x+≤,所以≤sin≤1,于是1≤2sin≤2,所以0≤f(x)≤1.所以当且仅当2x+=,即x=时,f(x)在上取最大值,最大值为f=1. 答案:110.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(0)的值是____________.【解析】因为T=-=π,所以T=π,所以ω=2.把代入,得2sin=2⇒π+φ=+2kπ,所以φ=-+2kπ,k∈Z,因为-<φ<,所以φ=-,所以f(x)=2sin,所以f(0)=2sin=-.答案:-11.若tanα+=,α∈,则sin+2cos cos2α的值为__________. 【解题导引】首先求出tanα的值,然后结合sin2α+cos2α=1,整体转化成正切求解即可.【解析】因为tanα+=,所以3tan2α-10tanα+3=0,解得tanα=或tanα=3,又α∈,所以tanα=3,sin+2cos cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α===0.答案:012.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c且a2+b2-c2=ab,c=3,sinA+sinB=2sinAsinB,则△ABC的周长为__________.【解题导引】首先求出角C,然后将sinA+sinB=2sinAsinB两边同乘以sinC并结合正弦定理求出边的关系.【解析】由a2+b2-c2=ab及余弦定理,得cosC===,又C∈(0,π),所以C=,由sinA+sinB=2sinAsinB,得(sinA+sinB)sinC=2sinCsinAsinB,(sinA+sinB)sinC=2sin sinAsinB得(sinA+sinB)sinC=3sinAsinB,再结合正弦定理,得(a+b)c=3ab,代入c=3,得a+b=ab.再结合a2+b2-c2=ab,得(a+b)2-2ab-9=ab,得(ab)2-3ab-9=0,得2(ab)2-3ab-9=0,得(2ab+3)(ab-3)=0,解得ab=-(舍去)或ab=3.所以a+b=3,a+b+c=3+3.答案:3+3三、解答题(每小题10分,共40分)13.已知函数f(x)=sinωx-cosωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程.(2)讨论函数f(x)在上的单调性.【解析】(1)因为f(x)=sinωx-cosωx=sin,且T=π,所以ω=2.于是f(x)=sin,令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z).(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得函数f(x)的单调增区间为(k∈Z).注意到x∈,令k=0,得函数f(x)在上的单调增区间为;同理,其单调减区间为.14.在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且4bsinA= a.(1)求sinB的值.(2)若a,b,c成等差数列,且公差大于0,求cosA-cosC的值.【解析】(1)由4bsinA=a,根据正弦定理得4sinBsinA=sinA,所以sinB=.(2)由已知和正弦定理以及(1)得sinA+sinC=①,设cosA-cosC=x ②,①2+②2,得2-2cos(A+C)=+x2③,又a<b<c,A<B<C,所以0<B<,cosA>cosC,故cos(A+C)=-cosB=-,代入③式得x2=,因此cosA-cosC=.15.公园里有一扇形湖面,管理部门打算在湖中建一三角形观景平台,希望面积与周长都最大.如图所示扇形AOB,圆心角AOB的大小等于,半径为2百米,在半径OA上取一点C,过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.设∠COP=θ.(1)求△POC面积S(θ)的函数表达式.(2)求S(θ)的最大值及此时θ的值.【解题导引】(1)根据正弦定理求出对应边长,然后利用面积公式求出.(2)根据(1)的结果展开,重新化一,转化成三角最值问题即可.【解析】(1)因为CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=-θ,在△POC中,由正弦定理得=,即=,所以CP=sinθ,又=,所以OC=sin.于是S(θ)=CP·OCsin=·sinθ·sin×=sinθ·sin.(2)由(1)知S(θ)=sinθ·sin=sinθ=2sinθcosθ-sin2θ=sin2θ+cos2θ-=sin-,令2θ+=2kπ+,k∈Z,即θ=kπ+,k∈Z,因为0<θ<,所以当θ=时,S(θ)取得最大值为.16.已知a=,b=,函数f=a·b+.(1)求函数y=f图象的对称轴方程.(2)若方程f=在上的解为x1,x2,求cos的值.【解题导引】(1)根据向量的数量积,表示出f(x),并化简即可.(2)根据对称性找到x1,x2的等量关系,结合三角恒等变换知识可解.【解析】(1)f=a·b+=·+=sinx·cosx-cos2x+=sin2x-cos2x=sin,令2x-=kπ+,得x=+π,即y=f的对称轴方程为x=+π.(2)由条件知sin=sin=>0,且0<x1<<x2<,易知与关于x=对称,则x1+x2=,所以cos =cos=cos=cos=sin=.。

数形结合思想专练一、选择题1．若f (x )是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )A ．{x |－3<x <0或x >3}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3} 答案 B解析 因为f (x )是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，则在(－∞，0)上是减函数． 而x ·f (x )是奇函数，画x ·f (x )大致图象如图，由图可知：x ·f (x )<0的解集为{x |x <－3或0<x <3}，故选B.2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ≤12B ．－1≤k <－12C ．－12<k ≤12D ．－12<k ≤12或k ＝－1答案 D解析 因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π4，结合三角函数的图象可知T 2＝π4，又T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.将f (x )的图象向右平移π8个单位得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以方程为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0.令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6.若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2有且只有一个实数根， 即g (t )＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6有且只有一个交点.如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1，即－12<k ≤12或k ＝－1. 3．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．答案 C解析 曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)、半径为2的半圆，数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切，须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或b ＝1－2 2.因为是下半圆，则舍去b ＝1＋22；当直线过点(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3，所以C 正确．4．设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1，则( ) A ．若θ确定，则|a |唯一确定 B ．若θ确定，则|b |唯一确定 C ．若|a |确定，则θ唯一确定 D ．若|b |确定，则θ唯一确定 答案 B解析 如图，构造OA →＝a ，OB →＝b ，且〈a ，b 〉＝θ，则OA t →＝t a ，由平行四边形法则知OC t→＝b ＋t a .当OC ⊥l 时，|OC t →|取最小值为1，此时sin θ＝|OC →||OB →|＝1|b |.故若θ确定，则|b |唯一确定，所以答案为B.5．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－－x ，x <0，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D ．(0，＋∞)答案 B解析 根据题意可知“伙伴点组”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y ＝－ln (－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象，使它与函数y ＝kx －1(x >0)的图象交点个数为2即可．设切点为(m ，ln m )，y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x，可得km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)过(0，－1)点的切线斜率为1，结合图象可知k ∈(0,1)时有两个交点．故选B.二、填空题6．当x ∈(1,2)时，(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 (1,2]解析 在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1,2)及y ＝log a x 的图象，若y ＝log a x 过(2,1)，则log a 2＝1，∴a ＝2.结合图形，若使x ∈(1,2)时，(x －1)2<log a x 恒成立，则1<a ≤2.7．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，若抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．答案 2解析 记抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，注意到直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，于是抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 2的距离等于|PF |，问题即转化为求抛物线y 2＝4x 上的动点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离与它到焦点F (1,0)的距离之和的最小值，结合图形，知该最小值等于焦点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即为|4×1－3×0＋6|5＝2.8．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有________种．答案 29解析 由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19－3＝16种商品第二天未售出；第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29.分别用A ，B ，C 表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形，故答案为29.三、解答题9．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|.(1)求f (x )的最小值，并求出f (x )取最小值时x 的取值范围； (2)若不等式f (x )≤a (x ＋1)的解集为空集，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取等号，∴f (x )min ＝3，此时x ∈．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <－1，3，－1≤x <2，2x －1，x ≥2，那么函数f (x )的图象如图所示．由于y ＝a (x ＋1)的图象是过定点P (－1,0)、斜率为a 的直线，由图可得不等式f (x )≤a (x ＋1)的解集为空集时，a 的取值范围是k AC ≤a <k PB ，即a ∈上的最小值．解 (1)当a ＝1时，因为x |x －1|＋1＝x ， 所以x ＝－1或x ＝1.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，－x 2＋ax ＋1，x <a ，(其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴是x ＝a 2≤12<1，所以函数y ＝f (x )在区间上递增，f (x )min ＝f (1)＝2－a ； ②当1<a ≤2时，当x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1；③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1，对称轴是x ＝a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3.因为(2a －3)－a ＝a －3<0，所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.综上，当0<a ≤1时，f (x )min ＝2－a ；当1<a ≤2时，f (x )min ＝1；当2<a <3时，f (x )min＝2a －3.12．设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≤0，g x ，x >0，其中f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝12x 2－ln x ，方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解 x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x>0，所以当x ＝1时，g (x )取极小值g (1)＝12.(1)当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有4个解；(2)当a <0时，因为f ′(x )＝3a (x 2－1)，若x ∈(－∞，0]时，f ′(x )＝3a (x 2－1)，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图1所示，从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有4个解；(3)当a >0时，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图2所示，从图象看出方程F (x )＝a 2若有4个解，则12<a 2<2a ，且2a >12，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2.。

第九章平面解析几何1.平面解析几何初步(1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．2．圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(4)了解曲线与方程的对应关系．(5)理解数形结合的思想．(6)了解圆锥曲线的简单应用．9．1 直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式： ①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝_____________________．②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k ______0；当直线的倾斜角为锐角时，k ______0；当直线的倾斜角为钝角时，k ______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．(2)直线方程的五种形式：________的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．自查自纠： 1．(1)|x 2－x 1| (2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12②x 1＋x 22y 1＋y 222．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180°(2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90° (3)y 2－y 1x 2－x 13．(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b ③y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 ④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋y b＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0) 点斜式 两点式(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α是( )A.π3 B.π6 C.2π3 D ．－π3解：由已知可得tan α＝－tanπ3＝－3，因为α∈；⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.(2)如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________．解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－ 3.故填33；－ 3. 点拨：①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈时，直线l 不经过第四象限，所以k ≥0.③由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k 且k>0，即k ＝12时等号成立，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决．这里，α∈2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是． 点拨：直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线的距离公式及弦长公式，其核心都是将问题转化到与圆心、半径的关系上，这是解决与圆有关的综合问题的根本思路．对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．(2015·广东)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； (3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3，0)． (2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4，0)， 则1PP k ＝－257，2PP k ＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．1．注意应用圆的几何性质解题圆的图形优美，定理、性质丰富，在学此节时，重温圆的几何性质很有必要，因为使用几何性质，能简化代数运算的过程，拓展解题思路．2．圆的方程的确定由圆的标准方程和圆的一般方程，可以看出方程中都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法．3．求圆的方程的方法(1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程．确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线．确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半，弦心距，半径组成的三角形)，并解此直角三角形．(2)代数法：即设出圆的方程，用“待定系数法”求解．1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )A．2 B.22C．1 D. 2解：已知圆的圆心是(1，－2)，则圆心到直线x－y＝1的距离是|1＋2－1|12＋（－1）2＝22＝ 2.故选D.2．(2016·山西模拟)若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫a，－32b，则a<0，b>0.直线y＝－1ax－ba，则k＝－1a>0，－ba>0，所以直线不经过第四象限．故选D.3．(2015·北京西城期末)若坐标原点在圆(x －m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．(－3，3)C．(－2，2) D.⎝⎛⎭⎪⎫－22，22解：因为(0，0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2 <m< 2.故选C.4．(2016·安徽模拟)若圆x2＋y2－2x＋6y ＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a －b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)解：将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.因为圆关于直线y＝x＋2b对称，所以圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，所以a－b<4.故选A.5．(2016·南阳模拟)已知圆C与直线y＝x 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解：由题意知直线x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以圆C的半径r＝2，又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，则圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选D.6．(2015·沈阳联考)已知点A (－2，0)，B (0，2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋ kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，若M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6 解：依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB 的距离为|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，所以△PAB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋ 2.故选C.7．(2016·柳州模拟)若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是____________；当半径最大时，圆的标准方程为____________．解：原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝ －m 2＋6m －8，则r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)>0，所以2<m <4.当m ＝3时，r 最大为1，此时圆的方程为 (x －1)2＋(y ＋3)2＝1.故填(2，4)；(x －1)2＋ (y ＋3)2＝1.8．(2015·全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________．解：依题意，可知该圆过椭圆的三个顶点(0，－2)，(0，2)，(4，0)．设圆心为(a ，0)，其中a>0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.9．已知圆经过A (2，－3)和B (－2，－5)两点，若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．解法一：线段AB 中垂线的方程为2x ＋y ＋ 4＝0，它与直线x －2y －3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间的距离公式得r 2＝10，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.解法二：设方程(两种形式均可以)，由待定系数法求解．10．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9，6)，求圆C 的方程．解：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝ －6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132上，即5x＋7y －50＝0上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即圆心为(3，5)，从而半径为（9－3）2＋（6－5）2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. 11．已知定点A (4，0)，P 点是圆x 2＋y 2＝4上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程．解：设Q 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x P ，y P )，则x ＝4＋x P 2且y ＝0＋y P2，即x P ＝2x －4，y P＝2y，又点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2P＋y2P＝4，将x P＝2x－4，y P＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.故所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题知b≠0，且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1.所以圆C的轨迹方程是x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b<1且b≠0的b都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x20＋2x0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝0，y0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－2，y0＝1.经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C上．因此，圆C过定点．9．4 直线、圆的位置关系1．0 d>r 1 两组相同实数解 d <r 两组不同实数解2．d>R ＋r d ＝R ＋r R －r <d <R ＋rd ＝R －r d <R －r(2015·安徽联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l的方程为ax ＋y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相切或相交解：圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，直线l 过定点(0，1)，易知点(0，1)在圆C 上，所以直线l 与圆C 相切或相交．故选D.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 解：两圆圆心分别为O 1(－2，0)，O 2(2，1)，半径长分别为r 1＝2，r 2＝3.因为||O 1O 2＝[2－（－2）]2＋（1－0）2＝17，3－2<17< 3＋2，所以两圆相交．故选B.(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解：点A (－2，－3)关于y 轴的对称点为A ′(2，－3)，因此可设反射光线所在直线的方程为y ＋ 3＝k (x －2)，化为kx －y －2k －3＝0.因为反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以圆心(－3，2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或－34.故选D.(2016·郑州模拟)已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有____________个．解：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，可知圆心为(－2，3)，半径为4，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235>4，故直线与圆相离，又d <4＋2，则满足题意的点P 有2个．故填2.(2016·山东模拟)过点M (1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是____________．解：点M 在圆C 内，依题意，当∠ACB 最小时，圆心C (3，4)到直线l 的距离最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率k ＝4－23－1＝1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝ －(x －1)，即x ＋y －3＝0.故填x ＋y －3＝0.类型一 直线与圆的位置关系(1)已知点M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝ a 2与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相离解：因为M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，所以x 20＋y 20<a 2.又圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝a 2的距离d ＝|a 2|x 20＋y 20＞|a 2||a |＝a ，所以直线与圆相离．故选C.(2)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2)B ．(3，3)C.⎝⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233解：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得43x 2－233mx ＋m 2－1＝0，设直线与圆在第一象限内交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233m 2－4×43×（m 2－1）>0，x 1＋x 2＝－－233m 43>0，x 1x 2＝m 2－143>0，得1<m <233.故选D.点拨：在处理直线与曲线的位置关系时，一般用二者联立所得方程组的解的情况进行判断(即代数方法)，但若曲线是圆，则属例外情形，此时我们一般用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断(即几何方法)，判断的具体方法详见“考点梳理”栏目．另外，近几年高考中考查直线与圆的位置关系的题目有所增多，应予以重视．(1)在同一坐标系下，直线ax ＋by ＝ab 和圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(ab ≠0，r>0)的图象可能是( )解：直线方程可化为x b ＋ya＝1，且由A ，B ，C ，D 选项知a>0，b <0，满足圆心()a ，b (a>0，b <0)的只有选项D.故选D.(2)(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解：由题意可知直线l 的斜率存在，设其为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)－1，要使直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，只需圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，解得0≤k ≤ 3.所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故选D. 类型二 圆的切线已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，点P (2，－1)，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，A ，B为切点．(1)求PA ，PB 所在直线的方程； (2)求切线PA 的长．解：(1)如图，易知切线PA ，PB 的斜率存在，设切线的斜率为k .由于切线过点P (2，－1)，所以可设切线的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.又因为圆心C (1，2)，半径r ＝2， 所以由点到直线的距离公式，得 2＝||k －2－2k －1k 2＋（－1）2，解得k ＝7或k ＝－1.故所求切线PA ，PB 的方程分别是x ＋y －1＝0和7x －y －15＝0.(2)连接AC ，PC ，则AC ⊥AP .在Rt △APC 中，||AC ＝2，||PC ＝（2－1）2＋（－1－2）2＝10，所以||PA ＝|PC |2－|AC |2＝10－2＝2 2.点拨：求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况．求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线．(2016·绥化模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a2＋1b2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9解：圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a ，0)，半径为2.圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2内切，所以（－2a －0）2＋（0－b ）2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a2＝4a2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.故选D.类型三 圆的弦长(1)(2015·全国Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解：因为k AB ＝－13，k BC ＝3，所以k AB ·k BC ＝－1，即AB ⊥BC ，所以AC 为圆的直径．所以圆心为(1，－2)，半径r ＝|AC |2＝102＝5，圆的标准方程为(x－1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝4 6.故选C .(2)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____________．解：最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心(2，2)的连线的弦，易知弦心距d ＝（3－2）2＋（1－2）2＝2，所以最短弦长为l ＝2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.故填2 2.点拨：(1)一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解．(2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦．(3)圆锥曲线的弦长公式为1＋k2·||x 1－x 2，运用这一公式也可解此题，但运算量较大．(1)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为____________．解：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|12＋22＝35，所以直线被圆截得的弦长为l ＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝2555.故填2555.(2)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．10 6 B．20 6C．30 6 D．40 6解：易知过点(3，5)的最长弦AC为圆的直径，过点(3，5)的最短弦BD为垂直于直径AC的弦，所以点(3，5)为AC与BD的交点．将圆的一般方程化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，得圆心(3，4)，半径r＝5，圆心到直线BD的距离d＝1，||BD＝2r2－d2＝252－12＝46，||AC＝2r＝10，所以四边形ABCD的面积S＝12|| AC·||BD＝20 6.故选B.类型四圆与圆的位置关系已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－ 5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m 为何值时，(1)圆C1和圆C2相外切？(2)圆C1和圆C2内含？解：易知圆C1，C2的标准方程分别为C1：(x －m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，(1)如果圆C1与圆C2相外切，则两圆圆心距等于两圆半径之和，即有（m＋1）2＋（m＋2）2＝3＋2，解得m＝－5或2.故当m＝－5或2时，圆C1和圆C2相外切．(2)如果圆C1与圆C2内含，则只可能是较大圆C1含较小圆C2，此时两圆圆心距小于两圆半径之差，即（m＋1）2＋（m＋2）2<3－2，解得－2<m<－1.当－2<m<－1时，圆C1和圆C2内含．点拨：与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些．其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R＋r，d与R－r的大小关系来判定(详见“考点梳理”栏目)．(2014·湖南)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( ) A．21 B．19 C．9 D．－11解：圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆心C2(3，4)，半径r2＝25－m，因为圆C1与圆C2外切，所以32＋42＝r1＋r2＝1＋25－m，解得m＝9.故选C.类型五两圆的公共弦及圆系方程求以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0及C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程．解：两个圆的方程相减，得2x－y＝0，即为公共弦所在的直线方程，显然圆C2的圆心(－1，－1)不在此直线上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋4x＋y＋1＋λ(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0(λ∈R，λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋2(2＋λ)x＋(1＋2λ)y＋(1＋λ)＝0，其圆心O的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2＋λ1＋λ，－1＋2λ2（1＋λ）.因为点O在直线2x－y＝0上，所以－2（2＋λ）1＋λ＋1＋2λ2（1＋λ）＝0，解得λ＝－72.故所求方程为－52x2－52y2－3x－6y－52＝0，即5x2＋5y2＋6x＋12y＋5＝0.点拨：具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程，常见的圆系方程有以下几种：①同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．其中的a，b是定值，r是参数．②半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．其中r是定值，a，b是参数．③过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．④过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此应用时注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．当λ＝－1时，圆系方程表示直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.若两圆相交，则l为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则l为公切线．在以k为参数的圆系：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0中，试证两个不同的圆相内切或相外切．证明：将原方程转化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.设两个圆的圆心分别为O1(－k1，－2k1－5)，O2(－k2，－2k2－5)，半径分别为5|k1＋1|，5|k2＋1|，由于圆心距|O1O2|＝（k2－k1）2＋4（k2－k1）2＝5|k2－k1|.当k1＞－1且k2＞－1或k1＜－1且k2＜－1时，两圆半径之差的绝对值等于5|k2－k1|，即两圆相内切．当k1＞－1且k2＜－1或k1＜－1且k2＞－1时，两圆半径之和的绝对值等于5|k2－k1|，即两圆相外切．类型六圆的综合应用(2016·黑龙江双鸭山模拟) 已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程；(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB(O 为坐标原点)．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)设圆C：(x－a)2＋y2＝R2(a>0)，R为半径，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a＋7|32＋42＝R，a2＋3＝R，解得a＝1或a ＝138，又S＝πR2<13，所以a＝1，R＝2，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又l与圆C相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋3，（x－1）2＋y2＝4，消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20>0，解得k<1－263或k>1＋263，且x1＋x2＝－6k－21＋k2，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝2k＋61＋k2.OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，即3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2，解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，故假设不成立，所以不存在这样的直线l .点拨：处理圆的综合问题，首先考虑数形结合及应用圆的几何性质，在必要时联立方程，涉及的主要问题有：最值(范围)、定值(定点)、弦长(距离、面积)、平行(垂直)及轨迹等问题，注意借助向量工具．(2016·河南六市一联)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋ 3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，则d ＝22－（3）2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，即|7k ＋1|1＋k 2＝1，化简得k (24k ＋7)＝0，所以k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－b ＋k （3＋a ）|1＋k2＝|5－b ＋1k （4－a ）|1＋1k2， 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |， 从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋ 3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132，这样的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验，上述坐标均满足题中条件．1．在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，d>r ，分别确定相交、相切、相离．2．两圆相交，易只注意到d ＜R ＋r 而遗漏掉d ＞R －r .3．要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等．可以说，适时运用圆的几何性质，将明显减少代数运算量，请同学们切记．4．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式为||MT ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .5．计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形．当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2](A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为弦的两个端点)也应重视．6．已知⊙O 1：x 2＋y 2＝r 2；⊙O 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ⊙O 3：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆上，则过M 的切线方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆外，过点M 引圆的两条切线，切点为M 1，M 2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.圆x 2＋y 2＝r 2的斜率为k 的两条切线方程分别为y ＝kx ±r 1＋k 2.掌握这些结论，对解题很有帮助． 7．研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法．两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程．8．对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问题，可考虑利用过交点的圆系方程解决问题，它在运算上往往比较简便．1．(2015·安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12解：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离d ＝|3＋4－b |32＋42＝1，即|b －7|＝5，解得b ＝12或b ＝2.故选D .2．(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2，1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，可知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，即a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是 |AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.3．(2016·南昌模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 解：因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2<1，即直线与圆相交．故选B.4．(2016·武汉模拟)过点P (3，1)作圆 (x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解：如图，令圆心坐标为C (1，0)，易知A (1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，则k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)， 即2x ＋y －3＝0.故选A.5．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x － 2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4解：由已知圆的圆心C (－1，1)向直线x －y －4＝0作垂线，垂足为H ，当所求圆的圆心位于CH 上时，所求圆的半径最小，此时所求圆与直线和已知圆都外切．易知垂线CH 的方程为 x ＋y ＝0，分别求出垂线x ＋y ＝0与直线x －y － 4＝0的交点(2，－2)及与已知圆的交点(0，0)，所以要求的圆的圆心为(1，－1)，半径r ＝ 2.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选C.6．(2016·浙江丽水模拟)若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D ．(－3，＋∞)解：圆的方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，则3－2a>0，①，因为过点A (a ，a )可作圆的两条切线，所以点A 在圆外，即(a －a )2＋a 2>3－2a ，②，由①②解得a <－3或1<a <32，即a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故选C.7．(2016·浙江六校联考)已知点M (2，1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为____________；若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝__________．解：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋ 4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.由4a 2＋1＝4－（3）2得a ＝±15.故填x ＝2或3x ＋4y －10＝0；±15.8．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上有一动点P ，过点P作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为____________．解：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，再过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ，易知此时|PA |的值最小．由点到直线的距离公式得|OP |＝|1×0－2×0＋5|12＋（－2）2＝5，又|OA |＝1，所以 |PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.故填2.9．过点P (－3，－4)作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4有公共点．解：由题意可设直线l 的方程为y ＋4＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －4＝0.要使直线l 与圆C 有公共点，只须d ≤r ，即圆心(1，－2)到直线l 的距离d ＝|k ＋2＋3k －4|1＋k 2≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.10．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； (2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)设圆心C (0，4)到直线l 的距离为d ， 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 即(2)2＋d 2＝4，得d ＝ 2. 又d ＝|2a ＋4|a 2＋1，所以|2a ＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝－1或a ＝－7.所以直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，圆心C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝ (2－x ，2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，有x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 变形得(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，所以ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3， 所以直线l 的斜率为－13.所以直线l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，点O 到直线l 的距离d ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋12＝4105，|PM |＝2|OP |2－d 2＝4105， 所以S △POM ＝12×|PM |×d ＝12×4105×4105＝165. 所以△POM 的面积为165.1．(2016·四川模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋ 1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是。

一、填空题1．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为________．解析：如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴P A PB ＝AD BC ＝25，∴P A AB ＝23.又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴P A AE ＝149，∴P A PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝P A PE ＝1423.又AD ＝2，∴EF ＝237.答案：2372．一直角三角形的两条直角边之比是1∶3，则它们在斜边上的射影的比是________．解析：如图，在直角三角形ABC 中， BC ∶AC ＝1∶3， 作CD ⊥AB 于D .由射影定理得BC 2＝BD ·AB ， AC 2＝AD ·AB ，则BC 2AC 2＝BD AD ＝19. 故它们在斜边上的射影的比是1∶9. 答案：1∶93．如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，则DE ＝________.解析：由勾股定理得：BC ＝AB 2＋AC 2＝5.由射影定理得：CD ＝AC 2BC ＝95.由三角形面积相等得：AD ＝AB ·AC BC ＝125.又由三角形面积相等得：DE ＝AD ·DC AC ＝3625.答案：36254.(2018·高考陕西卷)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°，∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD ＝8 2.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ， ∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝BE CD， ∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2.答案：4 2 5.如图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝3 3，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△P AD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析：设AP ＝x .(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP，即33 3＝x 6－x，解得x ＝32，所以符合条件的点P 有两个． 答案：两6．如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为________．解析：过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ， 在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10.由Rt △DFB ∽Rt △ENB ， 知EN DF ＝BE BD，所以EN ＝31010.又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD＋S △BCD ＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6.答案：6 二、解答题7．(2018·南通调研)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，求EF 的长． 解：连结DE ，由于E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形．在Rt △ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a2.8.如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AD AC ＝13，AE ＝BE ，求证：△AED ∽△CBD .证明：∵三角形ABC 是正三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ， ∴AE AB ＝AE BC ＝12， ∵AD AC ＝13，∴AD CD ＝12. ∴AD CD ＝AE BC. 又∵∠A ＝∠C ＝60°， ∴△AED ∽△CBD .9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M .若DB ＝9，求BM 的长．解：∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB . ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .又AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形．∴CB ∥DE ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，∴△EDM ∽△FBM ，∴DM BM ＝DEBF.∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF .∴DM ＝2BM ，∴BM ＝13DB ＝3.10.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 的延长线交AC 、CF 于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE ·PF .证明：如图，连接PC .易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP . ∵CF ∥AB ， ∴∠F ＝∠ABP . 从而∠F ＝∠ACP .又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP ＝PEPC.∴PC 2＝PE ·PF .又PC ＝PB ， ∴PB 2＝PE ·PF ，命题得证．11．如图，AB ∥CD ，AB ＝AC ＝AD ＝5，BC ＝6. (1)求证：∠CAB ＝2∠DBA ； (2)求BD 的长．解：(1)证明：∵AB ＝AC ＝AD ，∴点B ，C ，D 在以点A 为圆心， AB 为半径的圆上， ∴∠CAB ＝2∠BDC .∵AB ∥CD ，∴∠DBA ＝∠BDC ， ∴∠CAB ＝2∠DBA .(2)延长BA 交⊙A 于点E ，连结ED ，∵AB ＝AC ＝AD ＝5，BC ＝6， 易知ED ＝6，EB ＝10是⊙A 的直径，∴ED ⊥DB ， ∴BD 2＝EB 2－ED 2＝102－62＝82， ∴BD ＝8. 12.如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .(1)求证：△ABF ∽△EAD ； (2)若AB ＝4，∠1＝30°，AD ＝3，求BF 的长． 解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2.又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BF A ＝∠C ＋∠D ， ∴∠BF A ＝∠D ， ∴△ABF ∽△EAD .(2)∵AE ＝4sin 60°＝8 33.又BF AD ＝AB AE ，∴BF ＝AB AE ·AD ＝3 32.13．如图，▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE CE 2，S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2. 又∵DE ＝12CD ＝12AB ，∴CE ＝DE ＋CD ＝DE ＋2DE ＝3DE .∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE 3DE 2＝19，S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE 2DE 2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8.∴S ▱ABCD ＝S △ABF ＋S △CEB －S △DEF ＝8＋18－2＝24. 14.如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝10 cm ，腰AC 上的高BE ＝12 cm.(1)求证：AB BD ＝53； (2)求△ABC 的周长．解：(1)证明：在△ADC 和△BEC 中， ∵∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△ADC ∽△BEC ， ∴AC BC ＝AD BE ＝1012＝56. ∵AD 是等腰三角形ABC 底边BC 的高线， ∴BC ＝2BD .又AB ＝AC ， ∴AC BC ＝AB 2BD ＝56，∴AB BD ＝53. (2)设BD ＝x ，则AB ＝53x .在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理，得AB 2＝BD 2＋AD 2， ∴(53x )2＝x 2＋102，解得x ＝7.5. ∴BC ＝2x ＝15，AB ＝AC ＝53x ＝12.5，∴△ABC 的周长为40 cm.一、选择题1．(2018·高考北京卷)如图，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则( )A ．CE ·CB ＝AD ·DB B ．CE ·CB ＝AD ·ABC ．AD ·AB ＝CD 2 D ．CE ·EB ＝CD 2解析：选A.在直角三角形ABC 中，根据直角三角形射影定理可得CD 2＝AD ·DB ，再根据切割线定理可得CD 2＝CE ·CB ，所以CE ·CB ＝AD ·DB .二、填空题2．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于A ，B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已知AD ＝2，CB ＝43，则CD ＝________.解析：根据射影定理得CB 2＝BD ×BA ，即(43)2＝BD (BD ＋2)，得BD ＝6.又CD 2＝AD ×BD ＝12，所以CD ＝12＝2 3.答案：2 33．(2018·高考天津卷)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：由相交弦定理可得CF ·FE ＝AF ·FB ，得CF ＝2.又因为CF ∥DB ，所以CF DB ＝AFAB，得DB ＝83，且AD ＝4CD ，由切割线定理得DB 2＝DC ·DA ＝4CD 2，得CD ＝43.答案：434.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________.解析：连接BD (图略)，由题意知，∠ADB ＝∠MAB ＝35°，∠BDC ＝90°，故∠D ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°.答案：125° 5.(2018·高考广东卷)如图，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.解析：如图，连接OA .由∠ABC ＝30°，得∠AOC ＝60°，在直角三角形AOP 中，OA ＝1，于是P A ＝OA tan 60°＝ 3.答案： 3 6.(2018·高考陕西卷)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.解析：由相交弦定理可知ED 2＝AE ·EB ＝1×5＝5.又易知△EBD 与△FED 相似，得DF ·DB ＝ED 2＝5.答案：5 三、解答题 7.如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD ＝2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．解：连接OD ，DB ，则OD ⊥DC .在Rt △OED 中，OE ＝12OB ＝12OD ，所以∠ODE ＝30°.在Rt △ODC 中，∠DCO ＝30°. 由DC ＝2，则OD ＝DC tan 30°＝233.又∠CDB ＝12∠COD ＝30°，所以∠CDB ＝∠DCO ，所以BC ＝BD ＝OD ，所以BC ＝233.8.(2018·泉州调研)如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于点D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，求圆O 的面积．解：∵CE 是⊙O 的切线，则∠ACD ＝∠ABC ＝30°.在Rt △ACD 中，ADAC＝sin 30°，则AC ＝2.又在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，则AB ＝2AC ＝4.∴圆O 的面积S ＝⎝⎛⎭⎫422π＝4π. 9.(2018·高考江苏卷)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连接AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C . 证明：连接OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C . 因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B . 于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C . 10.如图所示，以直角三角形ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，E 为BC 边的中点，连接DE .请判断DE 是否为⊙O 的切线，并证明你的结论．解：DE 是⊙O 的切线．证明如下：如图，连接OD 、CD ，则OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC .又AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°. ∴三角形CDB 为直角三角形．又E 为BC 的中点，∴DE ＝12BC ＝CE ，∴∠ECD ＝∠EDC .又∠OCD ＋∠ECD ＝90°，∴∠ODC ＋∠EDC ＝90°， 即∠ODE ＝90°，∴DE 为⊙O 的切线． 11.在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D ，连结CP .(1)求证：PC AC ＝PDBD；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：∵A 、B 、C 、P 四点共圆， ∴∠CPD ＝∠ABC . 又∵∠D ＝∠D ，∴△DPC ∽△DBA ，∴PC BA ＝PDBD，又∵AB ＝AC ，∴PC AC ＝PDBD.(2)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠CPD . ∵∠APC ＋∠CPD ＝180°， ∠ACB ＋∠ACD ＝180°. ∴∠APC ＝∠ACD .∴△APC ∽△ACD ，∴AP AC ＝ACAD.∴AP ·AD ＝AC 2＝9. 12.如图，已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，∠ACB 的平分线分别交AE 、AB 于点F 、D .(1)求∠ADF 的度数；(2)若AB ＝AC ，求ACBC的值．解：(1)∵AC 为圆O 的切线， ∴∠B ＝∠EAC .又CD 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCB ， ∴∠B ＋∠DCB ＝∠EAC ＋∠ACD ， 即∠ADF ＝∠AFD .又∵BE 为圆O 的直径，∴∠BAE ＝90°，∴∠ADF ＝12(180°－∠BAE )＝45°.(2)∵∠B ＝∠EAC ，∠ACE ＝∠BCA ，∴△ACE ∽△BCA ，∴AC BC ＝AEBA.又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ， ∴∠B ＝∠ACB ＝∠EAC ， 由∠BAE ＝90°及三角形内角和定理知，∠B ＝30°. ∴在Rt △ABE 中， AC BC ＝AE BA ＝tan B ＝tan 30°＝33. 13.如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F ，且AB ＝2BP ＝4.(1)求PF 的长度；(2)若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度．解：(1)连接OC ，OD ，OE ，由同弧所对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得∠CDE ＝∠AOC .又∠CDE ＝∠P ＋∠PFD ，∠AOC ＝∠P ＋∠OCP ， 从而∠PFD ＝∠OCP ，故△PFD ∽△PCO ， ∴PF PC ＝PDPO.由割线定理知，PC ·PD ＝P A ·PB ＝12， 故PF ＝PC ·PD PO ＝124＝3.(2)若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ， 因为OF ＝2－r ＝1，即r ＝1.所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT ，则PT 2＝PB ·PO ＝2×4＝8，即PT ＝2 2.14.(2018·高考课标全国卷)如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，证明：(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GBD .证明：(1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连接AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC . (2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF .由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD ，所以∠BGD ＝∠BDG .由BC ＝CD 知，∠CBD ＝∠CDB .而∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ，故△BCD ∽△GBD .一、选择题1．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－5，－4π3B.⎝⎛⎭⎫－5，π3C.⎝⎛⎭⎫5，π3D.⎝⎛⎭⎫－5，5π3 解析：选A.ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0，⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y ＋5322＝52，∴圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫52，－523，注意圆心在第四象限，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫5，5π3，注意ρ<0时点在极角终边的反向延长线上，∴与⎝⎛⎭⎫－5，－4π3表示同一个点． 2．(2018·湖南六校联考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离为( )A.12B.22C.14D.24解析：选B.将直线l 的参数方程化为普通方程得：x －y ＝0，将ρ＝2cos θ的两边同乘以ρ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，即圆心的坐标为(1,0)，故圆心到直线x－y ＝0的距离d ＝112＋(－1)2＝22.二、填空题 3．(2018·高考陕西卷)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12，设所求的弦长为l ，则12＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫l 22，解得l ＝ 3. 答案： 34．在极坐标系中，P ，Q 是曲线C ：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为________．解析：由曲线C ：ρ＝4sin θ得ρ2＝4ρsin θ，x 2＋y 2－4y ＝0，x 2＋(y －2)2＝4，即曲线C ：ρ＝4sin θ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ 长度的最大值是4.答案：4 5．(2018·高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫22，0，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22.答案：226．(2018·贵阳调研)已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则点A ⎝⎛⎭⎫2，7π4到这条直线的距离为________．解析：转化为直角坐标来解，直线方程化为x ＋y －1＝0，点A 化为(2，－2)，再用公式可求得点到直线的距离为22.答案：227．(2018·江西九校联考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，则线段AB ＝________.解析：曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2cos θ，θ＝π4，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2. 答案： 28．(2018·高考湖北卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．解析：记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将θ＝π4转化为直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)，曲线的直角坐标方程为y ＝(x －2)2，联立上述两个方程得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝5，故线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫52，52.答案：⎝⎛⎭⎫52，52 三、解答题9．设过原点O 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，当点P 在圆上移动一周时，求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．解：圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程， 得ρ＝cos θ.∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2，它表示原心在点⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12的圆．10．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1， 故直线l 与圆O 公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 11．(2018·泉州质检)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 12．在极坐标系中，如果A (2， π4)，B (2，5π4)为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ ＜2π)．解：∵A (2，π4)，∴ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝ρcos θ＝2cos π4＝2，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝2，即A 点的直角坐标为(2，2)．同理可求B 点的直角坐标，x ＝2cos 54π＝－2，y ＝2sin 54π＝－2，即B (－2，－2)．设C 点的直角坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝－1，x 2＋y 2＝12，解之得⎩⎨⎧ x ＝6y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝6，即C 点的直角坐标为(6，－6)或(－6，6)．当x ＝6，y ＝－6，即C 在第四象限时， ⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2＝12，tan θ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝23，θ＝74π.当x ＝－6，y ＝6，即C 在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2＝12，tan θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝23，θ＝34π，即点C 的极坐标是⎝⎛⎭⎫23，74π或⎝⎛⎭⎫23，34π. 13．(2018·高考课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1) 求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2) 设P 为C 1上任意一点，求|P A | 2＋|PB |2＋|PC | 2＋|PD |2的取值范围．解：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π， D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．一、填空题1．(2018·高考北京卷)直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．解析：直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的普通方程为x 2＋y 2＝32，圆心到直线的距离d ＝22<3，故直线与圆的交点个数是2.答案：22．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝a ＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x －4，若直线l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为________．解析：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，直线l 2的方程为3x －y －4＝0，由两平行线间的距离公式得|a －3＋4|10＝10，即|a ＋1|＝10，解得a ＝9，或a ＝－11.答案：9或－113．(2018·高考湖南卷)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0 ) 有一个公共点在x 轴上，则a ＝__________.解析：曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32)． 答案：324．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22y sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹方程是__________．解析：圆心轨迹的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝12sin 2θ，y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θcos θy ＝－(sin θ＋cos θ)， 消去参数θ得y 2＝1＋2x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12. 答案：y 2＝1＋2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－12，125．(2018·高考天津卷)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.解析：由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在直角三角形EF A 中，|EF |＝2|F A |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：2 6．(2018·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎨⎧x ＝1－22t y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：因为0≤θ≤π2，所以曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)，把直线的参数方程代入，得到(1－22t )2＋(－22t )2＝5，且⎩⎨⎧1－22t ≥0－22t ≥0，即t 2－2t －4＝0(t ≤0)，所以t ＝－2，此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，所以曲线C 1与C 2的交点坐标为(2,1)．答案：(2,1)二、解答题7．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，它与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，求AB 的长．解：极坐标方程θ＝π4(ρ∈R )对应的直角坐标方程为y ＝x ，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)对应的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离为22，由半径R ＝2，知弦长为2 4－12＝14.即AB ＝14.8．求直线⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝3t被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长．解：直线参数方程化为⎩⎨⎧x ＝2＋t2y ＝0＋32t ，代入双曲线x 2－y 2＝1得t 2－4t －6＝0.设两交点对应的参数为t 1，t 2，则弦长d ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝210.9．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意可知有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2t ＝5at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2a ＝1，∴a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝t 2.由第一个方程得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求．10．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝7＋32t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解：因为曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16，把⎩⎨⎧x ＝3＋12ty ＝7＋32t代入方程x 2＋y 2＝16，得t 2＋83t ＋36＝0，则t 1＋t 2＝－83，t 1t 2＝36， 所以线段AB 的长为|AB |＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4 3.11．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ是参数)相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．解：(1)直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t .(t 是参数)(2)∵点A 、B 都在直线上，∴可设点A 、B 对应的参数分别为t 1和t 2，则点A 、B 的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫1＋32t 1，1＋12t 1、B ⎝⎛⎭⎫1＋32t 2，1＋12t 2，将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，整理得 t 2＋(3＋1)t －2＝0.①∵t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2， ∴|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2. 12．(2018·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3 法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3.13．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t 为参数，α为直线l 的倾斜角)． (1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．解：(1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6≥34， 即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6≥32或sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6≤－32. 又0≤α<π，故只能sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2. 14．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t 2y ＝2＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x ，y )，求x ＋23y 的最小值．解：(1)l ：3x －y ＋2－3＝0， C ：x 2＋y 2＝1.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，∴将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入C ，得C ′：x ′24＋y ′2＝1，即x 24＋y 2＝1.设椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x ＋23y ＝2cos θ＋23sin θ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 则x ＋23y 的最小值为－4.一、填空题 1．(2018·高考天津卷)集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．解析：不等式|x －2|≤5等价于－5≤x －2≤5，解得－3≤x ≤7，所以集合A ＝{x ∈R |－3≤x ≤7}，集合A 中的最小整数为－3.答案：－3 2．(2018·高考江西卷)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为___________．解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－121－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤121－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >122x －1＋2x ＋1≤6，解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32 3．(2018·高考湖南卷)不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为__________．解析：原不等式即|2x ＋1|>2|x －1|，两端平方后解得12x >3，即x >14.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >14 4．若不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1<2， 即|a －2|<1，解得1<a <3.答案：(1,3) 5．(2018·高考陕西卷)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析：|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4. 答案：[－2,4] 二、解答题6．求不等式1<|x ＋1|<3的解集． 解：由1<|x ＋1|<3，得1<x ＋1<3或－3<x ＋1<－1， ∴0<x <2或－4<x <－2，∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．7．求不等式1－3|x |x>0的解集．解：本题可去绝对值将已知不等式转化为等价的不等式组，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0(1－3x )x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0(1＋3x )x >0， 分别解之然后取并集即得不等式的解集为 ⎝⎛⎭⎫0，13∪⎝⎛⎭⎫－∞，－13.8．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值． 解：∵|x －1|≤1，∴－1≤x －1≤1，∴0≤x ≤2. 又∵|y －2|≤1，∴－1≤y －2≤1，∴1≤y ≤3， 从而－6≤－2y ≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x －2y ≤0， ∴－5≤x －2y ＋1≤1，∴|x －2y ＋1|的最大值为5. 9．(2018·洛阳模拟)已知函数f (x )＝|x －4|－|x －2|. (1)作出函数y ＝f (x )的图像； (2)解不等式|x －4|－|x －2|>1. 解：(1)依题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 x >4，－2x ＋6 2≤x ≤4，2 x <2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，52. 10．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，求集合A ∩B .解：|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3； 当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5. 综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当且仅当t ＝12时取等号．∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}． 11．已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m . (1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，求m 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )＋a －1>0，即|x －2|＋a －1>0.当a ＝1时，不等式的解集是(－∞，2)∪(2，＋∞)； 当a >1时，不等式的解集是R ； 当a <1时，即|x －2|>1－a ，即x －2<a －1或x －2>1－a ，即x <a ＋1或x >3－a ，解集为(－∞，1＋a )∪(3－a ，＋∞)．(2)函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方， 即|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立， 即|x －2|＋|x ＋3|>m 对任意实数x 恒成立．由于|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，故只要m <5. 所以m 的取值范围是(－∞，5)． 12．(2018·高考辽宁卷)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若|f (x )－2f (x2)|≤k 恒成立，求k 的取值范围．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f (x2)＝|2x ＋1|－2|x ＋1|，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1， x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.13．已知一次函数f (x )＝ax －2. (1)当a ＝3时，解不等式|f (x )|<4； (2)解关于x 的不等式|f (x )|<4；(3)若不等式|f (x )|≤3对任意x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，则f (x )＝3x －2， ∴|f (x )|<4⇔|3x －2|<4⇔－4<3x －2<4⇔－2<3x <6⇔－23<x <2，∴不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－23<x <2. (2)|f (x )|<4⇔|ax －2|<4⇔－4<ax －2<4 ⇔－2<ax <6，当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－2a <x <6a； 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫6a<x <－2a . (3)|f (x )|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax －2≤3⇔－1≤ax ≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ax ≤5ax ≥－1.∵x ∈[0,1]，∴当x ＝0时，不等式组恒成立；当x ≠0时，不等式组转化为⎩⎨⎧a ≤5xa ≥－1x.又∵5x ≥5，－1x≤－1，∴－1≤a ≤5且a ≠0.故实数a 的取值范围是[－1,0)∪(0,5]． 14．已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b ，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1. (1)证明：|c |≤1；(2)证明：当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤2；(3)设a >0，当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2，求f (x )． 解：(1)证明：∵当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1， ∴取x ＝0，有|c |＝|f (0)|≤1，即|c |≤1.(2)证明：∵g (x )＝ax ＋b 的图像是一条直线， ∴只需证明|g (－1)|≤2，且|g (1)|≤2.由已知|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，又由(1)知|c |≤1，∴|g (－1)|＝|－a ＋b |＝|－f (－1)＋c |≤|f (－1)|＋|c |≤1＋1＝2. ∴|g (－1)|≤2，且|g (1)|≤2. ∴当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤2.(3)∵a >0，∴g (x )在(－1,1)上是增函数． 又∵当－1≤x ≤1时，g (x )的最大值为2， ∴g (1)＝2.∴a ＋b ＝f (1)－c ＝2. ∵－1≤c ＝f (1)－2≤1－2＝－1， ∴c ＝f (0)＝－1.∵当－1≤x ≤1时，f (x )≥－1， 即f (x )≥f (0)，∴由二次函数的性质得直线x ＝0为二次函数f (x )的图像的对称轴．∴－b2a＝0，即b ＝0，∴a ＝2.∴f (x )＝2x 2－1.一、填空题 1．(2018·黄冈模拟)若x ＋2y ＋4z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是________． 解析：∵1＝x ＋2y ＋4z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋16，∴x 2＋y 2＋z 2≥121，即x 2＋y 2＋z 2的最小值为121.答案：1212．(2018·南通调研)若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值为________．解析：由柯西不等式知：⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋2×3a ＋2＋13b ＋2×3b ＋2＋13c ＋2×3c ＋22＝32＝9. ∴⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[3(a ＋b ＋c )＋6]≥9， 即⎝⎛⎭⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2×9≥9. ∴13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1. 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13时，取到最小值1.答案：13．若x ，y 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是________． 解析：∵⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2 ≥2x 2·14x 2＋2x y ·y x ＋2y 2·14y2＝1＋2＋1＝4，当且仅当x ＝y ＝22时，等号成立．答案：44．设实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋2z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2取得到最小值时x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵(x 2＋y 2＋z 2)(12＋12＋22)≥(x ＋y ＋2z )2＝36，∴x 2＋y 2＋z 2≥6，当且仅当x ＝y ＝z2时，取等号．又∵x ＋y ＋2z ＝6， ∴x ＝1，y ＝1，z ＝2. 答案：1,1,2 二、解答题5．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c )．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1，∴要证原不等式成立，即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ]≥8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b )．①∵(a ＋b )＋(b ＋c )≥2(a ＋b )(b ＋c )>0. (b ＋c )＋(c ＋a )≥2(b ＋c )(c ＋a )>0， (c ＋a )＋(a ＋b )≥2(c ＋a )(a ＋b )>0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证．6．已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.证明：因为x ，y ，z 都为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z (x y ＋y x )≥2z.同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z . 7．(2018·大连模拟)已知a >0，b >0，c >0，a ＋b >c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c1＋c .证明：∵a >0，b >0，∴a 1＋a >a 1＋a ＋b ，b 1＋b >b 1＋a ＋b. ∴a 1＋a ＋b1＋b >a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x在(0，＋∞)上递增，且a ＋b >c ，∴f (a ＋b )>f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c， 所以a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c ，则原不等式成立．8．若a ，b ，c >0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，求2a ＋b ＋c 的最小值． 解：∵a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4， ∴(a ＋b )(a ＋c )＝4，则2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c )＝4， 当且仅当b ＝c 时，等号成立， 当b ＝c 时，2a ＋b ＋c 有最小值4.9．设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：|a x ＋bx2|<2.证明：由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1. 又|x |>m ，∴|x |>|a |，|x |>|b |，|x |>1，∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2 ＝|a ||x |＋|b ||x |2<|x ||x |＋|x ||x |2 ＝1＋1|x |<1＋|x ||x |＝2.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2.10．设a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值．解：(a ＋2b ＋3c )⎣⎡⎦⎤(3)2＋12＋⎝⎛⎭⎫132≥(a ·3＋2b ·1＋3c ·13)2＝(3a ＋2b ＋c )2.∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323.∴3a ＋2b ＋c ≤1333.当且仅当a 3＝2b 1＝3c13时取等号．又a ＋2b ＋3c ＝13，即a ＝9，b ＝32，c ＝13时．3a ＋2b ＋c 有最大值1333.11．设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≥3；(2)a bc ＋b ac ＋c ab≥3(a ＋b ＋c )．证明：(1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3. 即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．∴原不等式成立．(2) a bc ＋ b ac ＋ c ab ＝a ＋b ＋cabc.在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a ＋b ＋c .即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2.∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca (a ＝b ＝c ＝33时等号成立)．∴原不等式成立．12．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)解：由题意得，x ·y ＋12⎝⎛⎭⎫22x 2＝8，∴y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0<x <42)．于是框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2⎝⎛⎭⎫22x ＝⎝⎛⎭⎫32＋2x ＋16x ≥216⎝⎛⎭⎫32＋ 2＝46＋4 2. 当且仅当⎝⎛⎭⎫32＋2x ＝16x，即x ＝432＋2＝8－42时，等号成立，此时x ≈2.343，y ＝22≈2.828.故当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省． 13．(2018·高考福建卷)已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1.又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9. 14．已知函数f (x )＝(x －a )2＋(x －b )2＋(x －c )2＋(a ＋b ＋c )23(a ，b ，c 为实数)的最小值为m ，若a －b ＋2c ＝3，求m 的最小值．解：f (x )＝(x －a )2＋(x －b )2＋(x －c )2＋(a ＋b ＋c )23＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋a 2＋b 2＋c 2＋(a ＋b ＋c )23＝3⎝⎛⎭⎫x －a ＋b ＋c 32＋a 2＋b 2＋c 2.所以当x ＝a ＋b ＋c3时，函数f (x )取得最小值a 2＋b 2＋c 2，即m ＝a 2＋b 2＋c 2.由于a －b ＋2c ＝3，由柯西不等式，得[12＋(－1)2＋22](a 2＋b 2＋c 2)≥(a －b ＋2c )2＝9，所以m ＝a 2＋b 2＋c 2≥32，当且仅当a 1＝b－1＝c 2，即a ＝12，b ＝－12，c ＝1时等号成立．所以m 的最小值为32.1．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx在区间[0,1]上是增加的，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减少的，且f ′⎝⎛⎭⎫12＝32.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .又由f (x )在区间[0,1]上是增加的，在区间(－∞，0]与[1，＋∞)上是减少的，可知x ＝0和x ＝1是f ′(x )＝0的解，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝0，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝－32a .∴f ′(x )＝3ax 2－3ax .又由f ′⎝⎛⎭⎫12＝32，得3a 4－3a 2＝32， ∴a ＝－2，即f (x )＝－2x 3＋3x 2. (2)由f (x )≤x ，得－2x 3＋3x 2≤x ， 即x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤12或x ≥1.又f (x )≤x 在区间[0，m ](m >0)上恒成立，∴0<m ≤12.故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 2．讨论函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x (a >0)的单调性．解：f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )在(0，＋∞)上是增加的． ②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )也是(0，＋∞)上是增加的．③当Δ>0即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x ↗ ↘ ↗在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上是减少的， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上是增加的．3．已知函数f (x )＝x 2＋2a 3x＋1，其中a ＞0.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1平行，求a 的值； (2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最小值．解：f ′(x )＝2x －2a 3x 2＝2(x 3－a 3)x 2，x ≠0.(1)由题意可得f ′(1)＝2(1－a 3)＝0，解得a ＝1，此时f (1)＝4，在点(1，f (1))处的切线为y ＝4，与直线y ＝1平行． 故所求的a 值为1.(2)由f ′(x )＝0可得x ＝a ，a ＞0，①当0＜a ≤1时，f ′(x )＞0在(1,2]上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上是增加的，所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2. ②当1＜a ＜2↘ ↗由上表可得y ③当a ≥2时，f ′(x )＜0在[1,2)上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上是减少的．所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5.。

.与立体几何有关的压轴小题
.(届山西大学附属中学模块诊断)如图为某几何体的三视图，则其体积为()
＋＋.π＋
答案
解析由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面为圆柱的轴截面，顶点在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且在上的射影为底面的圆心.由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径＝，高＝，
故其体积＝π＝π××＝π；
四棱锥的底面为边长为的正方形，⊥底面，且＝＝.
故其体积＝正方形×＝××＝.
故该几何体的体积＝＋＝π＋.
.如图，正四面体－的顶点，，分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的是()
－是正三棱锥
.直线与平面相交
.直线与平面所成的角的正弦值为
.异面直线和所成的角是°
答案
解析①如图为正四面体，
∴△为等边三角形，
又∵，，两两垂直，
∴⊥平面，∴⊥.
过作底面的垂线，垂足为，
连接交于，可知⊥，
∴为的中点，
同理可证，连接交于，则为的中点，
∴为底面△的中心，
∴－是正三棱锥，故正确；
②将正四面体放入正方体中，如图所示，显然与平面不平行，则正确；。

高考大题专项练四高考中的立体几何1.(2017东北三省四市一模,文19)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,∠B1BA=,M,N 分别为A1C1与B1C的中点,且侧面ABB1A1⊥底面ABC.(1)证明:MN∥平面ABB1A1;(2)求三棱锥B1-ABC的高及体积.2.(2017湖北武汉五月调考,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB 与△PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.(1)求证:AE∥平面PCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.3.(2016吉林东北师大附中二模,文19)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,各棱长均为2,D,E,F,G分别是棱AC,AA1,CC1,A1C1的中点.(1)求证:平面B1FG∥平面BDE;(2)求三棱锥B1-BDE的体积.4.(2017湖北武汉二月调考,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点.(1)求证:DB1⊥平面ABD;(2)求点A1到平面ADB1的距离.5.(2017吉林三模,文19)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面四边形ABCD是直角梯形,其中AB⊥AD,AB=BC=1,AD=2,AA1=.(1)求证:直线C1D⊥平面ACD1;(2)试求三棱锥A1-ACD1的体积.6.(2017山东,文18)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.7.(2017黑龙江大庆三模,文19)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4.(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.8.(2017广东、江西、福建十校联考,文19)如图,在空间几何体ADE-BCF中,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,AD⊥DC, AB=AD=DE=2,EF=4,M是线段AE上的动点.(1)求证:AE⊥CD;(2)试确定点M的位置,使AC∥平面MDF,并说明理由;(3)在(2)的条件下,求空间几何体ADM-BCF的体积.〚导学号24190960〛9.(2017天津,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD⊥平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.〚导学号24190961〛高考大题专项练四高考中的立体几何1.(1)证明取AC中点P,连接PN,PM(图略),∵在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为A1C1与B1C的中点,∴PN∥AB1,PM∥AA1,∵PM∩PN=P,AB1∩AA1=A,PM,PN⊂平面PMN,AB1,AA1⊂平面AB1A1,∴平面PMN∥平面AB1A1,∵MN⊂平面PMN,∴MN∥平面ABB1A1.(2)解设O为AB的中点,连接B1O(图略),由题意知△B1BA是正三角形,∴B1O⊥AB.又侧面ABB1A1⊥底面ABC且交线为AB,∴B1O⊥平面ABC,∴三棱锥B1-ABC的高B1O=AB=.∵S△ABC=×2×2×sin 60°=,∴三棱锥B1-ABC的体积V=×S△ABC×B1O==1.2.(1)证明∵∠ABC=∠BAD=90°,∴AD∥BC.∵BC=2AD,E是BC的中点,∴AD=CE.∴四边形ADCE是平行四边形,∴AE∥CD,又AE⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AE∥平面PCD.(2)解连接DE,BD(图略),设AE∩BD=O,则四边形ABED是正方形,∴O为BD的中点.∵△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,∴BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2,∴OP⊥OB,OP=,∴OP2+OA2=PA2,即OP⊥OA,又OA⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,OA∩BD=O,∴OP⊥平面ABCD.∴V P-ABCD=S梯形ABCD·OP=(2+4)×2×=2.3.(1)证明连接DG,A1C.∵D,G分别是AC,A1C1的中点,∴DG AA1BB1,∴四边形BB1GD是平行四边形,∴B1G∥BD.又B1G⊄平面EBD,BD⊂平面EBD,∴B1G∥平面EBD.∵D,E,F,G分别是棱AC,AA1,CC1,A1C1的中点,∴GF∥A1C,A1C∥DE,∴GF∥ED.又GF⊄平面EBD,ED⊂平面EBD,∴GF∥平面EBD.又B1G∩GF=G,B1G⊂平面B1FG,GF⊂平面B1FG,∴平面B1FG∥平面EBD.(2)解过D作DH⊥AB交AB于点H,∵AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面A1ABB1,∴平面A1ABB1⊥平面ABC.又平面A1ABB1∩平面ABC=AB,DH⊥AB,DH⊂平面ABC, ∴DH⊥平面A1ABB1.∵AB=BC=AC=2,∴DA=1,BD=,∴DH=.∴·DH=×2×2×.4.(1)证明在平面四边形BCC1B1中,∵BC=CD=DC1=1,∠BCD=60°,∴BD=1.∵B1D=,BB1=2,∴∠BDB1=90°,∴B1D⊥BD.∵AB⊥平面BB1C1C,∴AB⊥DB1,∴B1D与平面ABD内两相交直线AB和BD同时垂直,∴DB1⊥平面ABD.(2)解对于四面体A1-ADB1,A1到直线DB1的距离即A1到平面BB1C1C的距离,A1到B1D的距离为2,设A1到平面AB1D的距离为h,△ADB1为直角三角形,×AD×DB1=,∴×h=h,∵×2×2=2,D到平面AA1B1的距离为,∴×2×,∵,∴,解得h=.∴点A1到平面ADB1的距离为.5.(1)证明在梯形ABCD内过点C作CE⊥AD交AD于点E,∵由底面四边形ABCD是直角梯形,∴AB⊥AD,又AB=BC=1,易知AE=ED=1,且AC=CD=,∴AC2+CD2=AD2,所以AC⊥CD.又根据题意知CC1⊥平面ABCD,从而CC1⊥AC,而CC1∩CD=C,故AC⊥C1D.∵CD=AC=AA1=CC1,及已知可得CDD1C1是正方形,∴CD1⊥C1D.∵CD1⊥C1D,AC⊥C1D,且AC∩CD1=C,∴C1D⊥平面ACD1.(2)解∵,而CE⊥AD,且由AA1⊥平面ABCD可得CE⊥AA1,又∵AD∩AA1=A,∴CE⊥平面ADD1A1,即CE为三棱锥C-AA1D1的高.故·AA1·A1D1·CE=×2×1=.6.证明 (1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.7.(1)证明在△ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4,所以AD2+BD2=AB2.故AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAD,又BD⊂平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD.(2)解过P作PO⊥AD交AD于点O.因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因此PO为四棱锥P-ABCD的高,又△PAD是边长为4的等边三角形,因此PO=×4=2.在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形,在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为,此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为S==24.故V P-ABCD=×24×2=16.8.( 1)证明∵四边形CDEF是矩形,∴CD⊥ED.∵AD⊥DC,AD∩ED=D,∴CD⊥平面AED,∵AE⊂平面AED,∴AE⊥CD.(2)解当M是线段AE的中点时,AC∥平面MDF,证明如下:连接CE交DF于点N,连接MN,∵M,N分别是AE,CE的中点,∴MN∥AC.又MN⊂平面MDF,AC⊄平面MDF,∴AC∥平面MDF.(3)解将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B'CF,∴三棱柱ADE-B'CF的体积V=S△ADE·CD=×2×2×4=8,空间几何体ADM-BCF的体积V ADM-BCF=V ADE-B'CF-V F-BB'C-V F-DEM=8-×2-×1=.∴空间几何体ADM-BCF 的体积为.9.(1)解如图,由已知AD∥BC,故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD.在Rt△PDA中,由已知,得AP=,故cos∠DAP=.所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)证明因为AD⊥平面PDC,直线PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.又因为BC∥AD,所以PD⊥BC.又PD⊥PB,所以PD⊥平面PBC.(3)解过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,在Rt△DCF中,可得DF==2,在Rt△DPF中,可得sin∠DFP=.所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.。

2018届高考数学基础知识突破训练试题（附答案和解释）
5 c 2018届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨）
(5)
一、选择题
1．设f(x)是连续的偶函数，且当x 0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝fx＋3x＋4的所有x之和为( )
A．－3 B．3
c．－8 D．8
【答案】c
【解析】因为f(x)是连续的偶函数，且x 0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)＝fx＋3x＋4，
只有两种情况①x＝x＋3x＋4 ；②x＋x＋3x＋4 ＝0
由①知x2＋3x－3＝0，故两根之和为x1＋x2＝－3
由②知x2＋5x＋3＝0，故两根之和为x3＋x4＝－5
因此满足条的所有x之和为－8
故选择c
本题考查函数的性质及推理论证能力，易错之处是只考虑x＝x ＋3x＋4 ，而忽视了x＋x＋3x＋4 ＝0，误选了A
2．已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，那么满足条的整数数对(a，b)共有( )
A．2个 B．3个
c．5个 D．无数个
【答案】c
【解析】f(x)在[0，＋∞)递减，在(－∞，0]上递增，且f(0)＝1，f(－2)＝f(2)＝0，故(a，b)可以是(－2，0)，(－2，1)，(－2,2)，(－1,2)，(0,2)，共5个．故选择c
3．对于函数①f(x)＝lg(|x－2|＋1)，②f(x)＝(x－2)2，③f(x)＝cs(x＋2)．判断如下三个命题的真假。

构造函数解决高考导数问题1. (2015 •课标全国I 理)设函数 f (x) e x (2x 1) ax a ，其中a 1，若存在唯一的整数X o 使得f (X 。

)0 ,则a 的取值范围是()2. (2016 •课标全国II 卷理)若直线y= kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln (x+1)的切线，贝U b=3. (2016北京理)(本小题13分) 设函数f (x)=x e a x +bx ，曲线y=f (x)在点(2,f (2))处的切线方程为y=(e — 1)x+4,(I) 求 a,b 的值； (II) 求f (x)的单调区间.4. (2017 •全国 III 卷文)(12 分) 已知函数 f (x) =lnx+ax 2+(2 a+1)x . (1)讨论f (x)的单调性; (2)当a < 0时，证明f (x)32 . 4a5. (2016?四川卷文)(本小题满分14分)1 e设函数f (x)=ax 2— a — lnx , g(x)=— — e x ，其中a € R , e=2.718 ••为自然对数的底数 x e(I)讨论f (x)的单调性； (n)证明：当 x > 1 时，g(x)>0;(川)确定a 的所有可能取值，使得f (x)>g(x)在区间(1, +s)内恒成立.6. (2016?课标全国n 文)(本小题满分12分)I-3 3B -[ 2e ，4)3 3C - [2e ,4)已知函数f(x) (x 1)lnx a(x 1).⑴当a 4时，求曲线y f (x)在1, f (1)处的切线方程；(n)若当x 1, 时，f(x)>0，求a的取值范围.7. (2017 •天津文)(本小题满分14分)设a,b R, |a | 1.已知函数f(x) x3 6x2 3a(a 4)x b , g(x) e x f(x).(I)求f (x)的单调区间；(n)已知函数y g(x)和y e x的图像在公共点(x。