2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第五节指数与指数函数 文

高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第5节指数与指数函数教案文含解析北师大版第5节 指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.知 识 梳 理1.根式(1)概念：式子na 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r +s；(a r )s＝a rs；(ab )r＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫作指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图像与性质a>1 0<a<1图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数[微点提醒]1.画指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a.2.在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图像越高，底数越大.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.( )(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )(3)函数y＝2x－1是指数函数.( )(4)函数y＝a x2＋1 (a>1)的值域是(0，＋∞).()解析(1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)(－1)24＝4（－4）4＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y＝a x(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴a x2＋1≥a.故y＝a x2＋1 (a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P70定义引申改编)若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图像经过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝( )A.1B.2C. 3D.3解析 依题意可知a 2＝13，解得a ＝33，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝ 3. 答案 C3.(必修1P62例题改编)某种产品的产量原来是a 件，在今后m 年内，计划使每年的产量比上一年增加p %，则该产品的产量y 随年数x 变化的函数解析式为( ) A.y ＝a (1＋p %)x(0<x <m ) B.y ＝a (1＋p %)x(0≤x ≤m ，x ∈N ) C.y ＝a (1＋xp %)(0<x <m ) D.y ＝a (1＋xp %)(0≤x ≤m ，x ∈N )解析 设年产量经过x 年增加到y 件，则第一年为y ＝a (1＋p %)，第二年为y ＝a (1＋p %)(1＋p %)＝a (1＋p %)2，第三年为y ＝a (1＋p %)(1＋p %)(1＋p %)＝a (1＋p %)3，…，则y ＝a (1＋p %)x (0≤x ≤m 且x ∈N ).答案 B4.(2018·晋中八校一模)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A.a 12B.a 56C.a 76D.a 32解析 由题意得a 2a ·3a 2＝a2－12－13＝a 76.答案 C5.(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数 解析 函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数.又y ＝3x在R 上是增函数，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，∴函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数. 答案 B6.(2019·咸阳检测)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.b <c <a解析 根据指数函数y ＝0.6x在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c . 答案 C考点一 指数幂的运算 【例1】 化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)a 3b23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0).解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32+16-1＋13b 1+13-2-13＝a b . 规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 解 (1)原式＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312＝－54a －16b －3÷(a 13b －32)＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.考点二 指数函数的图像及应用【例2】 (1)(2019·衡水中学检测)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 (2)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.解析 (1)y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，故函数y ＝(a －1)2x－a 2恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12.(2)在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图像，如图所示.∴当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点. ∴b 的取值范围是(0，2).答案 (1)C (2)(0，2)规律方法 1.对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解. 【训练2】 (1)函数f (x )＝a x －b的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝a x －b的图像可以观察出，函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝ax －b的图像是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)画出曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图像如图所示.由图像得|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]. 答案 (1)D (2)[－1，1] 考点三 指数函数的性质及应用 多维探究角度1 指数函数的单调性【例3－1】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)A 中，∵函数y ＝1.7x在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.(2)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1， 则2－a<8，解之得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1，0≤a <1.综上知，实数a 的取值范围是(－3，1). 答案 (1)B (2)(－3，1)。