人教版高数必修二第6讲：空间中的垂直关系(教师版)

高中数学必修二（人教B版）：1.2.3《空间中的垂直关系》教案《空间中的垂直关系》教案教学目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决.教学重难点重点：理解空间中三种垂直关系的定义；掌握空间中三种垂直关系判定及性质；用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题.难点：空间中三种垂直关系的判定及性质综合应用.教学过程一、课前预习1、空间中三种垂直关系是哪三种？2、空间中三种垂直关系判定方法？3、列举现实生活中的垂直关系.二、定义与判定方法1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.2、直线与平面垂直的判定常用方法有：①判定定理：,,,P b a b a =αα α⊥?⊥⊥l b l a l ,.② b ⊥α, a ∥b ?a ⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥β,a ⊥β?a ⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l ，a ⊥l ，a ?β?a ⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（a ⊥α，b ⊥α?a ∥b ）②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（b a b a ⊥??⊥αα,）4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离.特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足.5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直.记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.（简称：面面垂直，线面垂直.）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法.三、典型例题例1、（1）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）A、m⊥n，m∥α，n∥βB、m⊥n，α∩β=m，n?αC、m∥n，n⊥β，m?αD、m∥n，n⊥β，m⊥α（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直.其中错误的命题为（）A、①与②B、②与③C、③与④D、仅②（3）已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α.这四个结论中，不正确的三个是（）解：（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直.对B，平面α内直线n垂直于两个平面的交线m，直线n与平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直.对D，m⊥α，m∥n则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β.只有C正确，m∥n，n⊥β则m⊥β又m?α，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β.故选C.（2）①正确，过a 上任一点作b 的平行线b′，则ab′确定唯一平面.②错误，假设成立则b ⊥该平面，而a ?该平面，∴a ⊥b ，但a 、b 异面却不一定垂直. ③正确，分别过a 、b 上的任一点作b 、a 的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求.④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误选D（3）丙正确.举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m （或n ），在另一平面作交线的垂线n （或m ）即可推翻甲、乙、丁三项.思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内.例2、如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB=∠ABC =90°，AB=BC=a ，AD=2a ，PA ⊥平面ABCD.PA=a.（1）求证：PC ⊥CD.（2）求点B 到直线PC 的距离.（1）证明：取AD 的中点E ，连AC 、CE ，则ABCE 为正方形，ΔCED 为等腰直角三角形，∴AC ⊥ CD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 上的射影，∴PC ⊥CD（2）解：连BE ，交AC 于O ，则BE ⊥AC ，又BE ⊥PA ，AC∩PA= A，∴ BE ⊥平面PAC过O 作OH ⊥PC 于H ，则BH ⊥PC ，∵PA=a ，AC=2a,PC=3a ，∴ OH=a aa a 663221=??，∵BO=22a ，∴BH=a OH BO 3622=+即为所求. 例3、在斜三棱柱A1B1C1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC ，侧面BB1C1C ⊥底面ABC（1）若D 是BC 的中点，求证AD ⊥CC1；（2）过侧面BB1C1C 的对角线BC1的平面交侧棱于M ，若AM=MA1，求证截面MBC1⊥侧面BB1C1C ；（3）AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由.命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质.知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线.（1）证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC∵底面ABC ⊥侧面BB1C1C ，∴AD ⊥侧面BB1C1C∴AD ⊥CC1（2）证明：延长B1A1与BM 交于N ，连结C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B1∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1∴C1N ⊥C1B1∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C ，∴C1N ⊥侧面BB1C1C∴截面C1NB ⊥侧面BB1C1C∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C（3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下面证必要性.过M 作ME ⊥BC1于E ，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C∴ME ⊥侧面BB1C1C ，又∵AD ⊥侧面BB1C1C∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面∵AM ∥侧面BB1C1C ，∴AM ∥DE∵CC1⊥AD ，∴DE ∥CC1∵D 是BC 的中点，∴E 是BC1的中点∴AM=DE=21211=CC AA1，∴AM=MA1即1MA AM =是截面C C BB MBC 111平面⊥的充要条件例4、如图，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明（1）证明：∵AD//面EFGH,面ACD∩面EFGH ＝HG ，AD ?面ACD∴ AD//HG.同理EF ∥HG ，∴EFGH 是平行四边形∵A —BCD 是正三棱锥，∴A 在底面上的射影O 是△BCD 的中心，∴DO ⊥BC ，∴AD ⊥BC ，∴HG ⊥EH ，四边形EFGH 是矩形（2）作CP ⊥AD 于P 点，连结BP ，∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥面BCP∵HG ∥AD ，∴HG ⊥面BCP ，HG ?面EFGH 面BCP ⊥面EFGH ，在Rt △APC 中，∠CAP=30°，AC=AB=a,∴AP=23a例5、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC 是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a ，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C 交于DE.求证：（1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）A1C⊥BC1；（3）DE⊥平面BB1C1C.证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴侧面与底面垂直，即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，又∵AB⊥BC，∴A1B1⊥B1C1从而A1B1⊥平面BB1C1C.（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，而A1B1⊥平面BB1C1C，∴ A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂线定理得A1C⊥BC1（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，∴DE∥A1B1，而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C，∴DE⊥平面BB1C1C.思维点拨：选择恰当的方法证明线面垂直.四、小结1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用.2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化.3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤.在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用.五、课后反思在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用.六、课外作业课后练习A、B.。

立体几何中的垂直关系知识集结知识元线面垂直的定义及判定定理的理解知识讲解直线与平面垂直的判定1文字语言图形语言符号语言如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面αl⊥α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足．2文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相⇒l⊥α交直线都垂直，则该直线与此平面垂直3.证线面垂直的方法1．线线垂直证明线面垂直(1)定义法(不常用)；(2)判定定理最常用(有时作辅助线)．2．平行转化法(利用推论)(1)a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(2)α∥β，a⊥α⇒a⊥β.例题精讲线面垂直的定义及判定定理的理解例1.下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α【解析】题干解析:由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．例2.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直【解析】题干解析:因为直线l⊥平面α,所以l与α相交,又因为m⊂α,所以l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.例3.已知ABCDA1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1【解析】题干解析:正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，从而BD⊥AC1，即B正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D.例4.如图所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．【答案】4【解析】题干解析:BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.例5.四棱锥SABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．【答案】4【解析】题干解析:因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．线面垂直判定定理的应用知识讲解直线与平面垂直的判定1．直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α2.证线面垂直的方法1．线线垂直证明线面垂直(1)定义法(不常用)；(2)判定定理最常用(有时作辅助线)．2．平行转化法(利用推论)(1)a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(2)α∥β，a⊥α⇒a⊥β.例题精讲线面垂直判定定理的应用例1.如图，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．【答案】CD⊥AB【解析】题干解析:∵EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.例2.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．【答案】菱形【解析】题干解析:如图，PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，又PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，平行四边形ABCD为菱形．例3.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.【答案】见解析【解析】题干解析:(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.直线与平面所成的角知识讲解一.．直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．（2）范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.（3）画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是∠PAO.二.求直线和平面所成角的步骤1．寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．2．连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角．3．把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．例题精讲直线与平面所成的角例1.如图，三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是()A．∠BPA B．∠PBA C．∠PBC D．以上都不对【解析】题干解析:由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，得PA⊥平面ABC，所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.例2.直线l与平面α所成的角为70°,直线l∥m,则m与α所成的角等于()A．20°B．70°C．.90°D．110°【答案】B【解析】题干解析:因为l∥m,所以直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角,又直线l与平面α所成的角为70°,所以m与α所成的角为70°.例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A．B．C．D．【解析】题干解析:如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，∴cos ∠DD1O＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为.例4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，则直线BA1与平面DD1B1B所成的角是()A．90°B．60°C．45°D．30°【答案】D【解析】题干解析:如图取B1D1的中点O1，连A1O1，易证A1O1⊥平面DD1B1B.连接O1B，则O1B为A1B 在平面DD1B1B内的射影，∴∠A1BO1为所求的线面角，在Rt△A1O1B中，sin∠A1BO1＝＝，∴∠A1BO1＝30°.二面角知识讲解1．二面角（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．（2）记法：αABβ，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作PABQ；当棱记为l时，可记作α-lβ或PlQ.2．二面角的平面角（1）定义：在二面角αlβ的棱l上任取一点O，如图2316所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．（2）直二面角：平面角是直角的二面角．例题精讲二面角例1.下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．其中正确的个数是( )A．0B．1C．2D．3【解析】题干解析:根据二面角的定义知①②③都不正确．例2.在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，ABDC为直二面角，E是CD 的中点，则∠AED的度数为()A．45°B．30°C．60°D．90°【答案】D【解析】题干解析:如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD的中点为F，连接AF，CF，则由题意可得AF＝CF＝a.在Rt△AFC中，易得AC＝a，∴△ACD为正三角形．又∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，即∠AED＝90°.例3.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角PBCA的大小为()A．60°B．30°C．45°D．15°【解析】题干解析:由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角PBCA的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，∴C对．平面与平面垂直的判定知识讲解1．平面与平面垂直的定义（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）画法：记作：α⊥β.2文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的⇒α⊥β垂线，则这两个平面垂直例题精讲平面与平面垂直的判定例1.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是()A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PBC【解析】题干解析:由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.例2.在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCD D．平面PCD⊥平面PAD【解析】题干解析:由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．例3.如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.【答案】见解析【解析】题干解析:∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.例4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.【答案】见解析【解析】题干解析:连接AC，交BD于点F，连接EF，∴EF是△SAC的中位数，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF⊂平面EDB.∴平面EDB⊥平面ABCD.线面、面面垂直的综合应用知识讲解1．直线与平面垂直直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．2．平面与平面垂直平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．例题精讲线面、面面垂直的综合应用例1.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是()A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于90°【解析】题干解析:对于选项A，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平行四边形，所以D1O∥BE，因为D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故正确；对于选项B，连接B1D，因为O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，所以MO∥B1D，易证B1D⊥平面A1BC1，所以MO⊥平面A1BC1，故正确；对于选项C，因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角，因为△A1C1B为等边三角形，所以∠A1C1B＝60°，故正确；对于选项D，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为二面角M－AC－B的平面角，显然不等于90°，故不正确．综上知，选D.例2.如图2330，在三棱锥PABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点.(1)求证：DE∥平面PAC；(2)求证：AB⊥PB；(3)若PC＝BC，求二面角PABC的大小．【答案】见解析【解析】题干解析:(1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC，所以DE∥平面PAC.(2)证明：因为PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，所以PC⊥AB.又因为AB⊥BC，PC∩BC＝C，所以AB⊥平面PBC，又因为PB⊂平面PBC，所以AB⊥PB.(3)由(2)知，AB⊥PB，AB⊥BC，所以∠PBC即为二面角PABC的平面角，因为PC＝BC，∠PCB＝90°，所以∠PBC＝45°，所以二面角PABC的大小为45°.例3.如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD＝AB＝CD＝2，AB∥CD，M为CE的中点．(1)证明：BM∥平面ADEF；(2)证明：平面BCE⊥平面BDE.【答案】见解析【解析】题干解析:(1)取DE中点N，连接MN，AN，因为M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，由已知AB∥CD，AB＝CD，所以MN綊AB.所以四边形ABMN 为平行四边形，所以BM∥AN，又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.(2)在正方形ADEF中，ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中，取CD的中点P，连接BP，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝2，在△BCD中，BD＝BC＝2，CD＝4，所以BC⊥BD，BD∩ED＝D.所以BC⊥平面BDE，又因为BC⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.线面垂直性质定理的应用知识讲解文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言例题精讲线面垂直性质定理的应用例1.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．不确定【解析】题干解析:因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.例2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】题干解析:A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．例3.已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【答案】D【解析】题干解析:选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.例4.如图，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是()A．PD⊥BD B．PD⊥CD C．PB⊥BC D．PA⊥BD【解析】题干解析:若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；因为PA⊥矩形ABCD，所以PA⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，同理可证PB⊥BC.因为PA⊥矩形ABCD，所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.故选A.面面垂直性质定理的应用知识讲解1．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂文字语言直.符号语言⇒a⊥β图形语言例题精讲面面垂直性质定理的应用例1.如图所示，三棱锥PABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B 是定点，则动点C的轨迹是()A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点【解析】题干解析:∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．例2.已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么可推出的结论有________．(请将你认为正确的结论的序号都填上)①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.【答案】②④【解析】题干解析:如图，∵α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，∴l⊥α，α⊥β，而m⊥β，β⊥γ不一定成立．例3.如图，三棱锥PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.【答案】见解析【解析】题干解析:∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.例4.如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC ＝6，求PC的长度.【答案】见解析【解析】题干解析:取AB的中点E，连接PE.∵PA＝PB，∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC.连接CE，所以PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝2，PE＝＝，CE＝＝，PC＝＝7.垂直关系的综合应用知识讲解1．证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．例题精讲垂直关系的综合应用例1.如图，△ABC是边长为2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD ＝CD，且BD⊥CD.(1)求证：AE∥平面BCD；(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.【答案】见解析【解析】题干解析:(1)取BC的中点M，连接DM，因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2.所以DM＝1，DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD.(2)由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM.连接AM，易证AM⊥BC，因为平面BCD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD.因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE.因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.例2.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝3，PC＝AB＝5，AC＝4，PB＝.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)过C作CF⊥PB交PB于F，在线段AB上找一点E，使得PB⊥平面CEF.【答案】见解析【解析】题干解析:(1)证明：由已知得PC2＝PA2＋AC2＝25，PB2＝PA2＋AB2＝34，∴PA⊥AC，PA⊥AB，且AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABC.(2)∵CF⊥PB，∴只要PB⊥CE，则有PB⊥平面CEF.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CE，只需CE⊥AB，则有CE⊥平面PAB，可得PB⊥CE，则PB⊥平面CEF，设BE＝x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ACB是直角三角形．∵BC2＝BE·AB，即9＝5x，∴x＝，故点E在AB上且到点B的距离为.例3.如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD 折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中不正确的是()A．平面ACD⊥平面ABD B．AB⊥CDC．平面ABC⊥平面ACD D．AB∥平面ABC【解析】题干解析:因为BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，因为CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABD，故A正确；因为平面四边形ABCD中，AB＝AD ＝CD＝1，BD＝，所以AB⊥AD，又CD⊥平面ABD，所以AB⊥CD，故B正确；因为AB⊥平面ACD，AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD，故C正确；因为AB⊂平面ABC，所以AB∥平面ABC不成立，故D错误．故选D.备选题库知识讲解本题库作为知识点“空间中的垂直关系”的题目补充.例题精讲备选题库例1.（2019秋∙五华区校级月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AD1的中点，F为BD的中点，则（）A．EF∥C1D1B．EF⊥AD1C．EF∥平面BCC1B1D．EF⊥平面AB1C1D【解析】题干解析:以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则E（1，0，1），F（1，1，0），C1（0，2，2），D1（0，0，2），A（2，0，0），在A中，=（0，1，-1），=（0，-2，0），∴EF与C1D1不平行，故A错误；在B中，=（-2，0，2），=-2，∴EF与AD1不垂直，故B错误；在C中，平面BCC1B1的法向量=（0，1，0），=1，∴EF与平面BCC1B1不平行，故C错误；在D中，=（2，0，0），=（0，2，2），，=0，∴EF⊥DA，EF⊥DC1，∵DA∩DC1=D，∴EF⊥平面AB1C1D。

人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系教学设计一、教学目标1.了解空间中垂直关系的概念和性质，掌握相关的基本概念和定义；2.能够运用垂直关系的定义，判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直，解决与垂直相关的简单问题；3.通过垂直关系的学习，增强学生的空间想象能力和数学思维水平。

二、教学重点和难点1.垂直关系的定义和应用；2.掌握判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法；3.解决与垂直相关的简单问题。

三、教学方法本课采用讲授、讨论和练习相结合的教学方法，倡导“启发式”教学，让学生在教师的引导下自主思考，发掘规律和方法，并通过课堂讨论和解决问题的过程中加深对知识的理解和记忆。

四、教学步骤1. 引入（10分钟）通过一个有趣的例子，激发学生对垂直关系的兴趣，引导学生了解垂直关系的概念和性质。

举例：小明在修建房屋时，需要确定柱子是否和地面垂直。

那么，垂直现象出现在我们生活中的哪些场合呢？2. 讲解垂直关系的基本概念和定义（20分钟）通过演示、讲解等方式，介绍垂直关系的定义和性质，如“两条直线垂直的条件是什么？两个平面垂直的条件是什么？”等等。

3. 探究垂直关系的应用（30分钟）带领学生探究判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法和步骤，并通过练习，帮助学生巩固相关知识，增强应用能力。

4. 实际应用（30分钟）分组或个人作业，设计一些实际问题，让学生通过运用垂直关系的知识，解决实际问题。

举例：如何确定大型建筑物的每根柱子是否与地面垂直？5. 总结（10分钟）对本节课的重点知识、难点问题进行总结，并对学生问题进行答疑解惑，解决学生的困惑。

五、教学工具黑板、粉笔、几何模型、PPT等。

六、教学评价1.通过课堂练习，检验学生对垂直关系的掌握程度；2.通过实际应用的作业，检验学生对垂直关系的应用能力；3.通过教师观察、记录等方式，评价学生的表现和进步情况。

第一章立体几何初步第1.2.3节空间中的垂直关系教学设计（一）创设情景，揭示课题1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。

2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。

（二）研探新知1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。

然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

并对画示表示进行说明。

Lpα图2-3-12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。

有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC 与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。