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《最优化方法》复习题第一章概述(包括凸规划)一、判断与填空题ar§ max /W =玄生min【―/(兀)】・71xeR n xeR n2max |/(x): x e D o }= - min [f(x): x e D Q R H\ x3设f : D u RJ R・若T wR”,对于一切xeR n恒有/(Z)</(x),则称T为最优化问题m in fM的全局最优解.xxeD4设f •・D U RJ R.若Z eD ,存在F的某邻域Ng,使得对一切恒有/U*)</(兀)，则称T为最优化问题min /(兀)的严格局部最xeD优解.X5给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值.V6非空集合D匸/?"为凸集当且仅当D屮任意两点连线段上任一点属于D. V 7非空集合D o 7?"为凸集当J1仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于D. V 8任意两个凸集的并集为凸集.x9 函数f : D匸R” T R为凸集£>上的凸函数当且仅当—/为D上的凹函数.V1()设f : D u R” T R为凸集D上的可微凸函数，Z G Z).则对V XG D,有/(x)-/(x*)<V/(x*/(x-x*). x11若c(兀)是凹函数，则D = {xeR n\ c(x) > 0}是凸集。
V12设{*}为由求解min的算法A产生的迭代序列，假设算法A为下降算法，XG D则对\^^{0,1,2,・・・},恒有____ /(x A.+1)< f(x k) ____________ :13算法迭代时的终止准则（写出三种）： ____________________________ o 14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。
V15函数f : D u R“ T R在点（'沿着迭代方向d* eR n \ ｛（）｝进行精确一维线搜索的步长匕.，则其搜索公式为_____________________________ .16函数f •. D匚R“ T R在点*•沿着迭代方向d k e/?z, \｛0｝进行梢确一•维线搜索的步长匕，则V/（x A+a k d k Yd k = ___________ 0 .17设d k eR n\｛0｝为点/ w D匸R“处关于区域D的一个下降方向，则对于Va >0, 3«G（0,a）使得x二、简述题1写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。
第一章最优化问题与数学预备知识最优化分支：线性规划，整数规划，几何规划，非线性规划，动态规划。
又称规划论。
应用最优化方法解决问题时一般有以下几个特点：1. 实用性强2. 采用定量分析的科学手段3. 计算量大，必须借助于计算机4. 理论涉及面广应用领域：工业，农业，交通运输，能源开发，经济计划，企业管理，军事作战……。
§1.1 最优化问题实例最优化问题：追求最优目标的数学问题。
经典最优化理论：（1） 无约束极值问题：),,,(opt 21n x x x f（),,,(min 21n x x x f 或),,,(max 21n x x x f ）其中，),,,(21n x x x f 是定义在n 维空间上的可微函数。
解法（求极值点）：求驻点，即满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='='0),,(0),,(0),,(11121n x n x n x x x f x x f x x f n并验证这些驻点是否极值点。
（2） 约束极值问题：),,,(opt 21n x x x fs.t. )(,,2,1,0),,,(21n l l j x x x h n j <==解法：采用Lagrange 乘子法，即将问题转化为求Lagrange 函数),,(),,,(),,;,,,(1121121n j j lj n l n x x h x x x f x x x L λλλ∑=+=的无约束极值问题。
近代最优化理论的实例：例1 (生产计划问题) 设某工厂有3种资源B 1，B 2，B 3，数量各为b 1，b 2，b 3，要生产10种产品A 1，…，A 10 。
每生产一个单位的A j 需要消耗B i 的量为a ij ，根据合同规定，产品A j 的量不少于d j ，再设A j 的单价为c j 。
问如何安排生产计划，才能既完成合同，又使总收入最多？（线性规划问题）数学模型：设A j 的计划产量为 j x ，z 为总收入。
最优化方法部分课后习题解答习题一1.一直优化问题的数学模型为：22121122123142min ()(3)(4)5()02()50..()0()0f x x xg x x x g x x x s t g x x g x x =−+−⎧=−−≥⎪⎪⎪=−−+≥⎨⎪=≥⎪=≥⎪⎩试用图解法求出：（1）无约束最优点，并求出最优值。
（2）约束最优点，并求出其最优值。
（3）如果加一个等式约束，其约束最优解是什么？12()0h x x x =−=解：（1）在无约束条件下，的可行域在整个平面上，不难看出，当=（3，4）()f x 120x x *x 时，取最小值，即，最优点为=（3，4）：且最优值为：=0()f x *x *()f x （2）在约束条件下，的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是()f x 在约束集合即可行域中找一点，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可12(,)x x 以看出，当时，所在的圆的半径最小。
*155(,)44x =()f x 其中：点为和的交点，令求解得到：1()g x 2()g x 1122125()02()50g x x x g x x x ⎧=−−=⎪⎨⎪=−−+=⎩1215454x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即最优点为：最优值为：=*155(,)44x =*()f x 658（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.解：列出这个优化问题的数学模型为：该优化问题属于三维的优化问题。
123122313123max ()220..00f x x x x x x x x x x S x s t x x =++≤⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎩32123sx y z v⎛⎞=====⎜⎟⎝⎠习题二3.计算一般二次函数的梯度。
mi 1 m *m j * g j (x*) 0最优化理论、方法及应用试题一、(30 分)1、针对二次函数f(x) 1x T Qx b T x c，其中Q是正定矩阵，试写出最速下降算法的详细步骤，并简要说明其优缺点？答：求解目标函数的梯度为g(x) Qx b，g k g(x k) Qx k b，搜索方向：从X k出发，沿g k作直线搜索以确定x k 1。
Stepl:选定X。
,计算f o,g oStep2:做一维搜索，f k i min f X k tg k , x k 1 X k tg k.Step3 :判别，若满足精度要求，则停止；否则，置 k=k+1,转步2优缺点：最速下降法在初始点收敛快，收敛速度慢。
算法简单，在最优点附近有锯齿现象,2、有约束优化问题min f (x)g i(x) 0,i 1,2,L ,ms.th j (x) 0,j 1,2,L ,l最优解的必要条件是什么？答：假设x*是极小值点。
必要条件是f，g，h函数连续可微，而且极小值点的所有起作用约束的梯度h(x*)(i 1,2丄，1)和g j(x*)( j 1,2,L ,m)线性无关，则* * * *存在1 , 2丄，I, 1, 2丄，m,使得lf(x*) i* h i(x*)i 1j*g j(x*) 0,j 1,2,L* * * * *1 ,2 ,L , l , 1 , 2 ,L ,*0, j 03、什么是起作用约束？什么是可行方向？什么是下降方向？什么是可行下降方向？针对上述有约束优化问题，如果应用可行方向法，其可行的下降方向怎样确定？答：起作用约束：若g j(x0) 0，这时点x0处于该约束条件形成的可行域边界上,它对x0的摄动起到某种限制作用可行方向：x0是可行点，某方向 p，若存在实数0 0,使得它对任意2、应用共轭梯度方法求解无约束优化问题 min X 28X |，初始点为X 0 1 1 丁 。
答：假设误差范围是0.001。
习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题： （1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。
（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。
1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。
（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。
①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。
优化方法与最优控制例题1 • Find the curve x (t) that minimizes the functionalAnd passes through the points ^(0) = 1 and x(l) = 3.4" g(x,x,t) = y x 2(0 + 5x(t)x(t) + x 1 ⑺ + 5x(0，可求得gv =5i⑺+ 2%⑺+ 5 ^ = x(r) + 5x(z) ^ = ^(z) + 5i(z) dt若J 在x(z)处取极值，则有= 即 atX ⑺一2x ⑺一5 = 0解微分方程沿7) - 2x(z) = 0 ,可得通解％(z) = c x e~<21 + c 2Z 2/。
设对)-2冰)-5 = 0的通解为％(0 = <^，得力)=」。
故原微分方程的解为 2x(r) = c 1e'^ + c 2e^+|又已知x(0) = l, x ⑴=3,带入上式可得所以x ⑺=c,e'r2t + c 2^+-o 2Such that: f 7 e[x,x,t]dt = CWhere we will assume that t f is free but x(t f ) is fixed.2 One important calculus of variations problem that we did not discuss in class has the same basic form, but with constraints that are given by an integral - called isoperimetric constraints:min J = [ g[x, x,t\lt山0e^+32(^2-1)e^+3C ，2 =2(e 3 45-l)e[x,x,t]dt = CWhere g a = g v T e •(b) Use the results of part (a) to clearly state the differential equations and corresponding boundary conditions that must be solved to find the curve y(x) of a specified length L with endpoints on the x-axis (i.e.，at x = 0 and x = x f ) that encloses the maximum area, so that7 = £7ydx and £+ y 2dx = LWhere t, free.(a)引入拉格朗口矢量因子V ，另'g[x,x 9t]dt + v T ^f e(x ，i ，t)dt-C求变分有SJ a = 7 (§'—& + g^Sx)dt + g{t f )dt f + v T ^J^ {e x Sx + e {Sc)dt + e(t f )dt f + 1edt (g x - ::^-)Sxdt + + +〔{ edt-C Sv +v*l | 7 {e x -+ e..(t f) 4- e(t f )dt f有&, =&(◊) + 々(，,)々,，并令么=g + v T 《，带入上式，整理可得因为z f 自由，对rp 固定，所以要使＜5/=0，则需满足条件:dSa _ d (d Sa dxdt \ dx=0Tclds, \T a = £[U.r + )—(音 + ^)]&cdt + 7 edt - Cj <5v +[A(,，)+ vTG(〜)]&，+(U(z ，) +’冲，)]-[心(z ，) + vT ¥(r)]地，))々，k dx dtSxdt +〔edt-C I 4--(r z )&c f +g a (t f )-^-dxdxdSa _d ( ^S a dx dt\ dxe[x,x,t]dt = C(b)令 = >’ ++ y 2，则有自由。
习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题： （1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。
（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。
1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。
（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。
①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。
习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题： （1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。
（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。
1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。
（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。
①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。
第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题1.1⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1）y x =与 是同一函数 （2）yx =与是同一函数（3）2111x y x x -=-+与y=不是同一函数 （4）22ln ln y x x =与y=不是同一函数⒉指出下列函数的定义域.（1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）xx f -=11ln )(的定义域是)1,(-∞ （3）)1ln()(2-=x x f 的定义域是),2[]2,(+∞⋃-∞（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1[e e-（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2x f 的定义域是]2,2[-（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a 3.判别下列函数的奇偶性.（1）()sin f x x x =+是奇函数 （2）()cos f x x x =⋅是奇函数（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数 （4）()1lg 1x f x x-=+是奇函数（5）()cos(sin )f x x =是偶函数 （6）()sin x f x x=是偶函数（7）())f x x =是奇函数 （8）()f x =⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的 （2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的（3）2y x x =-在其定义域内不是单调的 （4）0≠a 时，ax y e =在其定义域内是单调的，其中 0<a 时，ax y e =在其定义域内是单调递减的， 0>a 时，ax ye =在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=在区间xy 上有界（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界 （3）)4,3(3-=在区间x y 上有界（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期. （1）sin3y x =是周期函数，最小正周期是32π（2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π （3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是2π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π 7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）2),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数（2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数 （3）221ln,)(x u u u f +==不可以构成复合函数（4）212,arccos )(x xu u u f +==可以构成复合函数8.将下列复合函数进行分解. （1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f（2）对复合函数32)(-=x ex f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f （4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f9.求函数值或表达式. （1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-===-=+-=x x x f f f f x x x f 则.（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin )(===⎩⎨⎧≥<=ππf f f x x x x f 则.（3）已知函数21-)21arcsin(,sin )(=-=f x x f 则. （4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2-∈-=x x x f习题1.21.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限. （1） ,67,51,45,31,23,1:n x 没有极限 （2）n x n 1=有极限，01lim =∞→nn （3）2sinπn x n =没有极限 （4）1)1(3+-=n n x nn 有极限，0]1)1[(lim 3=+-∞→n n n n 2.分析下列函数的变化趋势，求极限 （1）01lim2=∞→xx （2）011lim =++∞→x x（3）+∞=++∞→)2ln(lim x x （4）2232lim=++-∞→x x x3.图略，)(lim 0x f x →不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1）0→x 时，2100x 是无穷小量 （2）+→0x 时，x2是无穷大量（3）∞→x 时，112--x x 是无穷小量 （4）+∞→x 时，xe 是无穷大量 （5）∞→n 时，3)1(2+-n n n是无穷大量 （6）∞→x 时，x x sin 是无穷小量（7）∞→x 时，x1sin 是无穷小量 （8）0→x 时，12-x是无穷小量 5.已知函数2)3(1)(--=x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-→3x 或+→3x 或3→x 的过程中是无穷大量？6. 当1x →-时，无穷小1x +与下列无穷小是否同阶？是否等价？ （１）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小31x +同阶，但不等价 （２）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小21(1)2x -同阶，而且等价习题1.31.设函数x x f =)(，则xt x f t x f t 21)()(lim=-+→ 2.设函数⎩⎨⎧<+≥+=2,122,1)(2x x x x x f ，则5)(lim ,5)(lim ,5)(lim 222===→→→+-x f x f x f x x x . 3.求下列各式的极限：（1）15)52(lim 22=+--→x x x （2）3213lim 2421-=++-→x x x x（3）35)321(lim 0=--→x x （4）242lim 22=+-∞→x xx x （5）2111lim 220-=+-→xx x （6）21)21(lim 222=+++∞→n n n n n （7）1122lim2=-+++∞→xx x x （8）311lim31=--→x x x （9）61)319(lim 2=-++∞→x x x x （10）112lim 1=---→xxx x（11）201020101032)53()32()1(lim =---+∞→x x x x4.已知516lim21-=-+-→x ax x x ，则7=a . 5.2)(lim 2=-++∞→x kx x x ，则4=k . 6.求下列极限： （1）252sin 5sin lim0=→x x x （2）1sin 2tan lim 0=-→xxx x（3）43cos cos lim 20=-→x x x x （4）2)sin()2tan(lim 230=-+→x x x x x （5）11sin lim =⋅∞→x x x （6）0sin sin lim 0=+-→xx x x x（7）323arcsin 2lim0=→x x x （8）21sin tan lim 30=-→x x x x 7.求下列极限： （1）82)41(lim e x x x =+∞→ （2）21)21(lim --∞→=-e xx x（3）3220)33(lim -→=-e x xx （4）21)11(lim --∞→=+-e x x x x （5）5ln 51)ln 1(lim e x xx =++→ （6）e x x x =+→sec 2)cos 1(lim π8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1）236arctan lim0=→x x x （2）214lim 20=-→x x e x（3）22cos 1lim 20=-→x x x （4）21)21ln(lim 0=-+→x x e x 习题1.41.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,31,11)(2x x x x x f ，则()f x 在1=x 处不连续．2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？ （1）函数11)(2-=x x f 的间断点有点1-=x 和点1=x ，它们都是第二类间断点中的无穷间断点（2）函数xe xf 1)(=的间断点有点0=x ，它是第二类间断点（3）函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点有点0=x 和点1=x ，其中点0=x 是第二类间断点中的无穷间断点，点1=x 是第一类间断点（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1,01,11)(2x x x x x f 的间断点有点1-=x ，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数⎩⎨⎧>≤+=0,2,2)(2x x x x f x 的间断点有点0=x ，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,32,24)(2x x x x x f 的间断点有点2=x ，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin )(x x x x k x xxx f ，当1=k 时，函数)(x f 在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1）42arccos lim 21π=+→x x x （2）0sin lg lim 2=→x x π （3）021lim cos sin 0=+-→xx x e e （4）2ln ln )1ln(lim 1=-+→x x x x （5）2121lim 224=+++∞→x x x x （6）11lim 1=--→x xx x（7）e x x e x 1ln lim=→ （8）4arctan lim 1π=→x x5.（略）6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C ）是初等函数.（A ）)2arcsin(2+=x y （B ）⎩⎨⎧∈∉=Qx Qx x f 10)(（C ）12+-=x y （D ）⎩⎨⎧>+<≤=1110)(2x x x x x f2.下列极限存在的是（B ）.（A ）xx 4lim ∞→ （B ）131lim 33-+∞→x x x （C ）x x ln lim 0+→ （D ）11sin lim 1-→x x3.当0x →时，2tan x 与下列（D ）不是等价无穷小.（A ）2tan x （B ）2x （C ）2sin x （D ）2cos x 4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B ）.（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 5.已知0sin lim2x axx→=,则常数=a （C ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =在[,]a b 上一定是（C ）.（A ）单调函数 （B ）奇函数或偶函数（C ）有界函数 （D ）周期函数 二、填空题 1.设10()20xx x f x x +-∞<≤⎧=⎨<<+∞⎩， 则(2)f = 4 . 2.函数5cos 3y x =是由简单函数 x v v u u y 3,cos ,3=== 复合而成的. 3.点1x =是函数1,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩ 的第一类间断点中的跳跃 间断点.4.当x → ∞- 时，函数3xy =是无穷小.5.极限 2lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭= 2e .6.函数ln(4)y x =-的连续区间为 [)4,1 . 三、计算下列极限1.24231x x x x -++=0 2.223lim 2x x x →--不存在 3.2211lim 21x x x x →---21= 4.22356lim 815x x x x x →-+-+5.1)2(1lim 22=---∞→x x x x6.4281lim5x x x x →∞-++ 不存在 7.63132lim 1=--+→x x x 8.231lim (3cos )1x x x x →∞+++=09.21sin cos 1lim0=-→θθθθ 10.1cos lim =-∞→x x x x 11.212sin )1ln(lim0=+→x x x 12.21)81221(lim 32=---→x x x13.320lim(12)xx x →-3-=e 14.122lim(1)x x x-→∞- 1-=e15.11lim x x x x +→+⎛⎫⎪⎝⎭e = 16.1lim()1xx x x →∞-+ 2-=e 四、综合题1.函数2101()11x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+>⎩在点1=x 处不连续，在点2=x 处连续，函数的图像略。
习题一一、考虑二次函数f(x)=x x x x x x 2122212132+-++1) 写出它的矩阵—向量形式: f(x)=x Qx b x TT +21 2) 矩阵Q 是不是奇异的3) 证明: f(x)是正定的 4) f(x)是凸的吗 5) 写出f(x)在点x =)1,2(T处的支撑超平面(即切平面)方程解:1) f(x)=x x x x x x 2122212132+-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11T⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 21 其中x=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 21 ,Q=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6222 , b=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11 …2) 因为Q=⎪⎪⎭⎫⎝⎛6222 ,所以 |Q|=6222=8>0 即可知Q 是非奇异的 3) 因为|2|>0,6222=8>0 ,所以Q 是正定的,故f(x)是正定的4) 因为)(2x f ∇=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6222,所以|)(2x f ∇|=8>0,故推出)(2x f ∇是正定的,即 )(2x f ∇是凸的5) 因为)(x f ∇ =1)x 6x 1,2-x 2x (22121+++T,所以)(x f ∇=(5,11)所以 f(x)在点x 处的切线方程为5(21-x )+11(12-x)=0二、 求下列函数的梯度问题和Hesse 矩阵1) f(x)=2x 12+x x x x x 23923121+++x x x 2322+2) f(x)=ln(x 12+x x x 2221+)解: 1) )(x f ∇= (,94321x xx ++ 26321+++x x x , x x 219+))(2x f ∇=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛019161914）2) )(x f ∇=(x x x x x x 112221221+++ ,x x x x xx 112221221+++))(2x f ∇=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------++++++++)()()()(2221212222212142221214222121222222121222212122221212212122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 三、设f(x)=x x x x x x x 323223322122--+++,取点)1,1,1()1(Tx =.验证d )1(=(1,0,-1)是f(x)在点x)1(处的一个下降方向,并计算min >t f(x )1(+t d )1() 证明: )(x f ∇=)124,123,x 2(233221-+-+x x x x T)5,4,2()(1Tx f =∇d )(1x f ∇=(1,0,-1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛542= -3<0所以d)1(是f(x)在x)1(处的一个下降方向f(x)1(+td)1()=f((1+t,1,1-t)) =433)1(1)1(221(222)1()1+-=----+++-+t t t t t t∇f(x )1(+t d )1()=6t-3=0 所以t=>0（所以min >t f(x )1(+t d )1()=3**+4=四、设aj，b ，cj（j=1,2,….,n ）考虑问题Min f(x)=∑=n j jj xc 1.b nj jjxa =∑=10≥xj(j=1,2,….,n)1) 写出其Kuhn Tuker 条件2) 证明问题最优值是])([12112∑=nj j j b c a 解：1）因),....,1(n j x j = 为目标函数的分母故0>xj所以λ*j（j=1,…,n ）都为0所以Kuhn Tuker 条件为 0)()(=∇+∇x h x f μ·即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---x c x c x c n n 2222211 +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a n 21μ=02）将ac x jj j μ=代入 h(x)=0 只有一点得∑=∑==⇒=nj jjn j j j b n c a bca 122)(1μ故有acc a x jj nj jjjb ∑==1所以最优解是])([12112∑=n j j j b c a 五、使用Kuhn Tuker 条件，求问题min f(x)=)2()1(2122--+x x.,021212112≥≥=+=-x x x x x x 的Kuhn Tuker 点，并验证此点为问题的最优解 解：x=(1/2,3/2) 0≠ 故λ*1，λ*2=0】则 0)()()(2211=+∇+∇x x x f h h μμ即0111142222121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--μμx x ⇒1,021-==μμ而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇2002)(2x f 故08)(2>=∇x x f x T 即其为最优解六、在习题五的条件下证明 L(μλ,,x*)),,(),,(μλμλ*****≤≤x L L x其中 L （x,μλ,）=f(x)+)2()1(2112-++--xx x x μλ证明：L(μλ,,x*)=f(x *)+)2()1(2112-++--****x x x x μλ= f(x*)^= f(x *)+λ*)1(12--**x x +μ*-+**x x 21(2)= ),,(μλ***x L= f(x*))2()1()()(2112-++--+=≤**xx x x x f x f μλ= μλ**,,(x L )、习题二一、设f(x)为定义在区间[a,b]上的实值函数，x *是问题min{f(x)|a b x ≤≤}的最优解。
练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。
答：针对一般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<，(1)()()k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。
练习题二1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。
如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。
解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。
确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。
确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。
因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++1231231235210..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。
答：略。
3、用单纯形法求解下列线性规划问题：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++12341232 =22 5 =3..13 6=41,2,3,4,5,60x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。
