知识讲解 简谐运动及其图象

简谐运动简谐运动的图象1、简谐运动简谐运动的图象2、简谐运动的能量特征受迫振动共振3、实验：用单摆测定重力加速度简谐运动简谐运动的图象：1、简谐运动：简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，是一种变加速运动。

2、弹簧振子（1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）。

（2）当与弹簧振子相接的小球体积较小时，可以认为小球是一个质点。

（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力。

（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内。

3、单摆：悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，线长比物体的直径大得多。

单摆是实际摆的理想模型。

单摆摆动的振幅很小即偏角很小时，单摆做简谐运动。

4、描述简谐运动特征的物理量（1）位移、简谐运动的位移，以平衡位置为起点，方向背离平衡位置。

（2）回复力：回复力的作用效果是使振子回到平衡位置。

简谐运动中，，负号表示力的方向总是与位移的方向相反。

（3）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需的时间。

用T表示，单位秒（s）。

单摆周期弹簧振子的频率只与弹簧的劲度系数和振子质量有关。

（4）频率：单位时间内完成全振动的次数。

用f表示，单位赫兹（Hz）。

周期与频率的关系：（5）振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离。

5、简谐运动的公式描述：，A是简谐运动的振幅，ω是圆频率（或角频率），叫简谐运动在t时刻的相位，是初相位。

6、简谐运动的图象简谐运动的图象是正弦（或余弦）函数图象（注意简谐运动的具体图象形状，取决于t=0时振动物体的位置和正方向的选取，可参看“例1”）。

简谐运动图象的应用如下：（1）可直观地读取振幅A、周期T、各时刻的位移x及各时刻的振动速度的方向和加速度的方向；（2）能判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。

7、简谐运动的能量：如忽略摩擦力，只有弹力做功，那么振动系统的动能与势能互相转换，在任意时刻动能和势能的总和，即系统的机械能保持不变，机械能由振幅决定。

简谐运动及其图象【学习目标】1．知道什么是弹簧振子以及弹簧振子是理想化模型。

2．知道什么样的振动是简谐运动。

3．明确简谐运动图像的意义及表示方法。

4．知道什么是振动的振幅、周期和频率。

5．理解周期和频率的关系及固有周期、固有频率的意义。

6．知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，明确图像的物理意义及图像信息。

7．能用公式描述简谐运动的特征。

【要点梳理】要点一、机械振动1．弹簧振子弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统，这是一种理想化模型．如图所示装置，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子．2．平衡位置平衡位置是指物体所受回复力为零的位置．3．振动物体（或物体的一部分）在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动．振动的特征是运动具有重复性．要点诠释：振动的轨迹可以是直线也可以是曲线．4．振动图像（1）图像的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间t，纵坐标表示振动物体运动过程中对平衡位置的位移x，建立坐标系，如图所示．（2）图像意义：反映了振动物体相对于平衡位置的位移x 随时间t 变化的规律．（3）振动位移：通常以平衡位置为位移起点，所以振动位移的方向总是背离平衡位置的．如图所示，在x t -图像中，某时刻质点位置在t 轴上方，表示位移为正（如图中12t t 、时刻），某时刻质点位置在t 轴下方，表示位移为负（如图中34t t 、时刻）．（4）速度：跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（也称为“一维坐标系”）上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反．如图所示，在x 坐标轴上，设O 点为平衡位置。

A B 、为位移最大处，则在O 点速度最大，在A B 、两点速度为零．在前面的x t -图像中，14t t 、时刻速度为正，23t t 、时刻速度为负．要点二、简谐运动1．简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动．简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，它是一种非匀变速运动．物体在跟位移的大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下的振动，叫做简谐运动． 简谐运动是最简单、最基本的振动． 2．实际物体看做理想振子的条件（1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）；（2）当与弹簧相接的小球体积足够小时，可以认为小球是一个质点；（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内． 3．理解简谐运动的对称性如图所示，物体在A 与B 间运动，O 点为平衡位置，C 和D 两点关于O 点对称，则有：（1）时间的对称： 4OB BO OA AO T t t t t ====，OD DO OC CD t t t t ===，DB BD AC CA t t t t ===．（2）速度的对称：①物体连续两次经过同一点（如D 点）的速度大小相等，方向相反．②物体经过关于O 点对称的两点（如C 与D 两点）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反． 4．从振动图像分析速度的方法（1）从振动位移变化情况分析：如图所示，例如欲确定质点1P 在1t 时刻的速度方向，取大于1t 一小段时间的另一时刻1t ＇，并使11t t ＇-极小，考查质点在1t ＇时刻的位置1P ＇（11t x ，＇＇），可知11x x ＜＇，即1P ＇位于1P 的下方，也就是经过很短的时间，质点的位移将减小，说明1t 时刻质点速度方向沿x 轴的负方向．同理可判定2t 时刻质点沿x 轴负方向运动，正在离开平衡位置向负最大位移处运动． 若12x x ＜，由简谐运动的对称特点，还可判断1t 和2t 时刻对应的速度大小关系为12v v ＞。

第三节简谐运动的图像第三节简谐运动的图像知识要点：⼀、简谐运动的图像1、坐标轴：横轴表⽰时间，纵轴表⽰位移。

具体作法：以平衡位置为坐标原点，以横轴表⽰，以纵轴表⽰质点对平衡位置的位移，根据实验数据在坐标平⾯上画出各个点，并⽤平滑曲线将各点连接起来，即得到简谐运动的位移——时间图像。

（通常称之为振动图像）2、简谐运动图像的特点：理论和实验都证明，所有简谐运动的振动图像都是正弦或余弦曲线。

3、简谐运动图像的物理意义：表⽰做简谐运动的质点的位移随时间变化的规律，即位移——时间函数图像。

注意：切不可将振动图像误解为物体的运动轨迹。

处理振动图像问题时，⼀定要把图像还原为质点的实际振动过程分析。

⼆、从简谐运动图像可获取的信息1、任⼀时刻振动质点离开平衡位置的位移：纵坐标值。

2、振幅A：图像中纵坐标的最⼤值。

3、周期T：两相邻的位移和速度始终完全相同的两状态间的时间间隔。

4、任⼀时刻的速度⼤⼩及⽅向：图线上该时刻对应的斜率⼤⼩反映速度⼤⼩，斜率正、负反映速度⽅向。

斜率⼤时速度⼤，斜率为正时速度为正，斜率为负值时速度为负。

5、任⼀时刻加速度（回复⼒）⽅向：与位移⽅向相反，总是指向平衡位置，即时间轴。

6、某⼀段时间内位移、回复⼒、加速度、速度、动能及势能的变化情况：当振动质点向平衡位置⽅向运动时，速度、动能均增⼤，⽽位移、回复⼒、加速度、势能均减⼩，否则相反。

典型例题：例1、如图9-15所⽰为某质点简谐运动的振动图像，根据图像回答：⑴振幅、周期；⑵具有正向最⼤速度的时刻；⑶具有正向最⼤加速度的时刻；⑷在3～4s内，质点的运动情况；⑸1～4s内质点通过的路程。

解析：⑴由图像可知振幅A＝10cm，周期T＝4s。

⑵物体在平衡位置时有最⼤速度，顺着时间轴向后看，看它下⼀时刻的位移，就知道它向哪个⽅向运动，故可知t＝0，4s，8s，…4ns（n为⾮负整数）时，具有正向最⼤速度。

⑶物体在最⼤位移处时具有最⼤加速度，由于加速度与位⽅向相反，故只胡当质点位为负时，加速度⽅为正，故可知t＝3s，7s，11s，…(4n＋3)s（n为⾮负整数）时，具有正向最⼤加速度。

考点二 简谐运动的公式和图像2.简谐运动的公式和图像（1）表达式①动力学表达式：F ＝－kx ，其中“－”表示回复力与位移的方向相反. ②运动学表达式：x ＝A sin(ωt ＋φ0)，A 表示简谐运动的振幅，ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫做简谐运动的“圆频率”，表示简谐运动的快慢，ω＝2πT ＝2πf 。

φ0叫做初相，ωt ＋φ0代表简谐运动的相位。

2.图象①从平衡位置开始计时，函数表达式为x ＝A sin ωt ，图象如图1甲所示.②从最大位移处开始计时，函数表达式为x ＝A cos ωt ，图象如图乙所示.1.对简谐运动图象的认识图14－1－7（1）简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图14－1－7所示.（2）图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹.2.图象信息（1）由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率.（2）可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移.（3）可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t 轴.（4）确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t 轴；下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t 轴.（5）比较不同时刻回复力、加速度的大小.（6）比较不同时刻质点的动能、势能的大小.【典例1】(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sinπ4t ，则关于该质点，下列说法正确的是( )A.振动的周期为8 sB.第1 s 末与第3 s 末的位移相同C.第1 s 末与第3 s 末的速度相同D.第3 s 末至第5 s 末的位移方向都相同E.第3 s 末至第5 s 末的速度方向都相同解析 由关系式可知ω＝π4 rad/s ，T ＝2πω＝8 s ，选项A 正确；将t ＝1 s 和t ＝3 s 代入关系式中求得两时刻位移相同，选项B 正确；作出质点的振动图象，由图象可以看出，第1 s 末和第3 s 末的速度方向不同，选项C 错误；由图象可知，第3 s 末至第4 s 末质点的位移方向与第4 s 末至第5 s 末质点的位移方向相反，而速度的方向相同，故选项D 错误，E 正确。