比例的基本性质例1

六年级下册数学比例知识点
在六年级下册的数学课程中，比例是一个重要的知识点。

以下是一些关于比例的重要
知识和技能：
1. 比例的概念：比例是指两个或多个相同种类的量之间的关系，在比例中我们将这些
量用分数表示。

2. 比例的性质：比例的两个分数称为一个比例，比例中各个分数的相等关系称为比例
的性质。

例如：如果a:b = c:d，则称a、b、c、d构成一个比例。

3. 比例的基础运算：比例可以进行加、减、乘、除等运算。

例如：如果a:b = c:d，则有a+c:b+d = a-b:b-d = a/b:c/d。

4. 比例的化简和维持：在比例中，我们可以约分或扩大分数的值，得到一个全等的比例。

例如：将2:3化简为2/3:1，将2:3扩大为4:6。

5. 比例的图形应用：比例可以用来解决与图形形状和尺寸相关的问题。

例如：通过比
例可以计算矩形的边长、面积等。

6. 比例和百分数的关系：百分数是一种特殊的比例，其中分子是一个非负整数。

例如：25%表示为25/100或1/4。

7. 比例的应用：比例在日常生活中有很多应用，例如计算折扣、利率、比赛成绩等。

以上是六年级下册数学课程中关于比例的一些重要知识点。

学生可以通过练习题和实
际应用问题来巩固和应用这些知识。

比例的基本性质学习目标1.了解比例的基本性质，即如果ab =cd,那么ad=bc。

2.会根据比例的基本性质对比例进行变形。

学习重点掌握比例的基本性质及推导过程学习难点会根据比例的基本性质对比例进行变形预习导学(1)什么是两个数的比？6与9的比，8与12 的比如何表示？其比值相等吗？这用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？(2)比与比例有什么区别？结论：如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数.(3)用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？若a，b，c，d是实数，a ∶ b = c ∶ d 或，则称a，b，c，d成比例，其中b，c 称为，a，d称为。

探究新知1. 动脑筋如果a ， b ， c ， d 成比例，即a b =c d ，那么ad=bc 吗？2. 结论：比例的基本性质:如果 ，那么 。

3. 说一说：如果ad= bc ，其中a ， b ， c ， d 为非零实数，那么a b ==c d = 成立吗？4. 结论：a b =c d ad= bc （其中a ， b ， c ， d 为非零实数） 两内项之积等于两外项之积.例题剖析例1：已知四个非零实数a ， b ， c ， d 成比例，==========即 a b =cd ① =====下列各式成立吗？若成立，请说明理由．b a=d c ② a c =b d③a+b b =c+dd④a b =a+cb+d⑤总结：这道例题反映了在比例式的变形中的两种常用方法：一是利用等式的基本性质；二是设比值．例2 根据下列条件，求a∶b的值.（1） 4a = 5b；（2）a7=b8 .课后练习：1.已知a， b， c， d成比例, （1）若a =-3，b=9，c=2，求d；（2）若a =-3，b=√3，c=2，求d.2.求下列各式中x的值：（1）4:15=x:9； （2）x ::5331213.回答下列问题：（1）若2a−3b a+b =23 ，求a b 的值。

比和比例的定理或性质【比的性质】比的前项和后项都乘以（或除以)不等于零的同一个数,比值不变.这叫做“比的性质”（或“比的基本性质”)。

用字母表示，就是a∶b=（a×m）∶(b×m）（m≠0，n≠0）=（a÷n）∶（b÷n)例如，1∶0.75=（1×100)∶（0.75×100)=100∶75 =(100÷25）∶（75÷25) =4∶3【比例基本性质】在比例中,两个外项的积等于两个内项的积。

这叫做“比例的基本性质”。

反过来,如果两个数的积等于另外两个数的积，则这四个数成比例。

这一性质,又称“比例的性质定理"。

用字母表达,就是：比例的基本性质：如果a∶b=c∶d，那么ad=bc。

比例的性质定理：如果ad=bc, 那么a∶b=c∶d.例如,若有3∶4=6∶8,则有3×8＝4×6。

反之，若有3×6=2×9，则有3∶2=9∶6。

特殊的，如果比例的两个内项相同,即a∶b=b∶c，则有b2=ac。

反过来也是成立的。

此处的“b”，叫做a和c的“比例中项”.例如，2∶4=4∶8，则42=2×8。

4是2和8的比例中项。

反过来,如果62=4×9,则4∶6=6∶9。

这里的6是4和9的比例中项。

【反比定理】在一个比例中,两个比的前、后项同时交换位置，比例式仍然成立。

用字母表达，就是如果，2∶6=3∶9，则6∶2=9∶3。

【更比定理】一个比例的两个内项（或两个外项）交换位置，比例式仍然成立。

用字母表达就是例如,若3∶4=6∶8，则3∶6=4∶8（交换内项）；或8∶4=6∶3（交换外项）。

【合比定理】比例式中，一个比的前、后项之和与其后项的比，等于另一个比的前、后项之和与其后项的比。

用字母表达，就是例如，3∶4=6∶8，则（3+4）∶4=(6+8）∶8，即7∶4=14∶8.【分比定理】比例式中，每一个比的前项减后项的差与它的后项的比相等.用字母表达就是例如，8∶6=4∶3,则（8-6）∶6=（4-3)∶3，即2∶6=1∶3。

比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

解比例的依据是比例的基本性质：两外项的积等于两内项的积.如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个比例中的另一个未知项.求比例中的未知项.比例的基本性质：①表示两个比相等的式子叫做比例,如3：4=9：12、7：9=21：27在3：4=9：12中,其中3与12叫做比例的外项,4与9叫做比例的内项.比例的四个数均不能为0.比例有四个项,分别是两个内项和两个外项;在7：9=21：27中,其中7与27叫做比例的外项,9与21叫做比例的内项.比例有四个项,分别是两个内项和两个外项.②比,如：教师和学生的～已经达到要求.③比重,如：在所销商品中,国货的～比较大.④比例写成分数的形式后,那么,左边的分母和右边的分子是内项左边的分子和右边的分母是外项.⑤在一个比例中,两个外项的积等于两个内项的积,这叫做比例的基本性质.⑥正比例与反比例的相同点与不同点相同点不同点关系式正比例两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果两种量中,相对应的两个数的比值一定,两种量就叫做正比例的量,他们的关系叫做正比例的关系.如果用字母x、y表示两种关联的量,用k表示它们的比值正比例关系可以用下面式子表示：y÷x=k(一定)反比例两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果两种量中,相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做反比例的量他们的关系叫做反比例关系.如果用字母x、y表示两种关联的量,用k表示它们的乘积反比例关系可以用下面式子表示：x×y=k(一定)比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重,用于反映总体的构成或者结构.比例分为比例尺和比例.表示两个比相等的式子叫做比例.判断两个比能不能组成比例,要看它们的比值是不是相等.组成比例的四个数,叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项.在比例里,两个外项的积等于两个内项的积.求比例的未知项,叫做解比例.比如：x：3=9：27解法：x：3=9：2727x=3×927x=27x=1⑥这有两道数学题,试着做做看吧!125% ：7=4 ：x125%x=4×71.25x=28x=28÷1.25x=22.513.5 ：6=x ：46x=13.5×46x=54x=54÷6x=9⑦比例具有如下性质：若a:b=c:d(b.d≠0),则有1) ad=bc2) b:a=d:c (a.c≠0)3) a:c=b:d ; c:a=d:b4) (a+b):b=(c+d):d5) a:(a+b)=c:(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)6) (a-b):(a+b)=(c-d):(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)证明过程如下令 a:b=c:d=k,∵a:b=c:d∴a=bk;c=dk1)∴ad=bk*d=kbd;bc=b*dk=kbd∴ad=bc2) 显然b:a=d:c=1/k3) a:c=bk:dk=b:d ;结合性质2有c:a=d:b4) ∵a:b=c:d∴(a/b)+1=(c/d)+1∴(a+b)/b=(c+d)/d=1+k ;即 (a+b):b=(c+d):da+b≠0,c+d≠0时,结合性质2有b:(a+b)=d:(c+d)且b/(a+b)=d/(c+d)=1/(k+1) ……①5) ∵b/(a+b)=d/(c+d)∴1- b/(a+b)=1- d/(c+d)=1-1/(k+1)∴a/(a+b)=c/(c+d)=k/k+1 ……② 即a:(a+b)=c:(c+d) a+b≠0,c+d≠0时,结合性质2有 (a+b):a=(c+d):c6) ②-①,等式两边同时相减得 (a-b)/(a+b)=(c-d)/(c+d)=(k-1)/(k+1)7) 做做此题：一个长方形,比例为2：3,长方形的面积是36平方厘米,求它的长和宽.(有意者,请做在后面.)假设长方形宽为2,长为3,那么：宽：2x2=4 长：3x3=9答：长方形的长是9,宽是4.将36分解质因数,发现有2和3的倍数,利用它们,得到结果.很累的(一)比例的性质定理：(1)a/c和b/c(a/c):(b/c)=(a/c)*(c/b)=a:b即(a/c):(b/c)=a:b(2)b/a和d/cb/a=1/(a/b)=1/(c/d)=d/c即b/a=d/c(即都倒过来仍相等)(3)(a+b)/b和(c+d)/d(a+b)/b=a/b+b/b=a/b+1=c/d+1=c/d+d/d=(c+d)/d即(a+b)/b=(c+d)/d(同理(a+b)/a=(c+d)/c(为下一题做准备))(4)(a+b)/(a-b)和(c+d)/(c-d) (a≠b,c≠d)因为(a+b)/b=(c+d)/d及(a+b)/a=(c+d)/c根据(2)的结论，所以有b/(a+b)=d/(c+d)和a/(a+b)=c/(c+d)两个等式相减所以a/(a+b)-b/(a+b)=c/(c+d)-d/(c+d)即(a-b)/(a+b)=(c-d)/(c+d)根据(2)的结论，有(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)表示两个比相等的式子叫做比例,是比的意义比例有4项,前项后项各2个.在比例里,两个外项的即等於两个内项的积,这叫做比的基本性质.比表示两个数相除;只有两个项：比的前项和后项。

比例的基本性质练习题比例的基本性质练习题比例是数学中一种常见的关系，它描述了两个或多个量之间的比较关系。

比例问题在日常生活和各个学科中都有广泛的应用，掌握比例的基本性质对于解决实际问题和数学学习都具有重要意义。

下面将给出一些比例的基本性质练习题，帮助读者加深对比例的理解和应用。

1. 某商品原价为200元，现在打8折出售，求打折后的价格。

解析：打8折意味着商品的价格降低了20%，即原价的80%。

所以打折后的价格为200元× 80% = 160元。

2. 甲、乙两个人一起工作，甲每小时能完成1/4的工作量，乙每小时能完成1/6的工作量，问他们一起工作多久能完成全部工作？解析：甲每小时完成1/4的工作量，乙每小时完成1/6的工作量，他们一起工作时每小时完成的工作量为1/4 + 1/6 = 5/12。

所以完成全部工作需要的时间为1 ÷ (5/12) = 12/5小时。

3. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了3小时后，还剩下240公里的路程。

问这段路程的总长度是多少？解析：汽车以每小时60公里的速度行驶3小时，行驶的距离为60公里/小时× 3小时 = 180公里。

剩下的路程为240公里，所以总长度为180公里 + 240公里 = 420公里。

4. 一桶水有3升，小明用这桶水倒满5个水杯，每个水杯的容量相同，问每个水杯的容量是多少？解析：一桶水有3升，倒满5个水杯，每个水杯的容量为3升÷ 5 = 0.6升。

5. 甲、乙两个人一起做一件事情，甲单独做需要4天完成，乙单独做需要6天完成，问他们一起做需要多少天？解析：甲单独做需要4天完成，乙单独做需要6天完成，他们一起做每天完成的工作量为1/4 + 1/6 = 5/12。

所以完成全部工作需要的时间为1 ÷ (5/12) =12/5天。

通过以上的练习题，我们可以看到比例的基本性质在解决实际问题中起到了重要的作用。

比例的基本性质一、复习旧知1、在小学学习过比例的基本性质？两内项之积等于两外项之积二、探索新知1、比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段举例：AB ＝50，BC ＝25，A ′B ′＝20，B ′C ′＝10（请找出相等的比例线段） ''''C B B A BC AB =，''''CB BC B A AB = ，…………（学生给出） 2、比例线段的相关概念（1）已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果dc b a =（或a:b=c:d ），那么a ，b ，c ，d 叫做比例的项，a 、d 叫做比例的外项，b 、c 叫做比例的内项，d 叫做a 、b 、c 的第四比例项（2）如果c b b a =（或a:b=b:c ），那么b 叫做a 、c 的比例中项 b 是a 、c 的比例中项⇔ac b =23、比例的性质（1）交叉性质（基本性质） ①dc b a =⇔ad=bc （交叉相乘）(比例式化等积式)（一种） ②ad=bc ⇔ dc b a =（交叉分开）(等积式化比例式)（多种） （2）反比性质（两边倒置）d c b a =⇔cd a b = （3）更比性质（对角线交换）d c b a =⇔db c a =（交换一条对角线） d c b a =⇔db c a =（交换另一条对角线） d c b a =⇔ab c d =（交换两条对角线） （4）合比性质d c b a =⇔dd c b b a +=+（分母不变，分子加分母） d c b a =⇔cd c a b a +=+（分子不变，分母加分母） （5）分比性质d c b a =⇔dd c b b a -=-（分母不变，分子减分母） d c b a =⇔cd c a b a -=-（分子不变，分母减分母） （6）合分比性质d c b a =⇔dc d c b a b a -+=-+ d c b a =⇔dc d c b a b a +-=+- （7）等比性质任意比）(ba n h db m gc a n m h gd c b a =++++++++⇔==== （分子分母全部相加） 任意比）(ba n db mc a n m h gd c b a =++++++⇔==== （分子分母部分相加） 三、练习证明：更比性质合比性质分比性质合分比性质等比性质比例基本性质运用（一）、等比性质的应用1、已知一连串分式或分式比，设它们为一个参数k, 再分别把各种字母表示出来，练习1、若0234x y z ==≠，则3x y z x y +++= 练习2、已知()102b d a c a c ==+≠，则b d a c++=2、已知一连串字母比（含比号），直接根据比例系数设出几倍参数, 再分别把各种字母代入另一已知式求出参数的值，再代入所要计算式求值 练习3、若x ：y ：z=3：4：7，且2x-y+z=18,则x+2y-z= 练习4、若357a b c ==，且3a+2b+4c=94, 则a+b-c=3、将连等式中某些分式的分子与分母同时乘以一个数，直接运用等比性质 练习5、已知()52606a c e b d f b d f ===-+-≠，则2526a c e b d f -+-=-+-4、题目没有给出分母的值是否为零，应分两种情况进行讨论计算 练习6、已知a b c k b c a c a b===+++，则k= 练习7、已知k ac b a b c b a c c b a =++-=+-=-+，则k=E D C B A（二）、比例其它性质的应用 练习8、如图，已知：AD AE BD CE =， 求证：（1）AD AE AB AC =（2）AB AD AC AE =练习9、如图，已知：AD AE DB EC=， 求证：（1）AB AC DB EC =（2）AD AE AB AC=练习10、已知a=4㎝, b=6㎝, c=3㎝, 求a 、b 、c 的第四比例项d练习11、已知a=2㎝, c=8㎝, 求a 和c 的比例中项b练习12、已知点P 在线段AB 上，且AP ：PB=2：5，则AB ：PB= ， AP ：AB=总结：解决比例问题的两个解题思路：（1）运用性质，变形比例 （2）设而不求，约去未知 E D C B A。