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第二十一章 重 积 分§1二重积分概念教学目的：掌握二重积分的定义、性质及可积性定理教学重点：二重积分的定义及性质教学难点：定理21.7的证明教学方法：讲练结合．一、平面图形的面积为了研究定义在平面图形(即平面点集)上函数的积分，我们首先讨论平面 有界图形的面积问题． ☆ 设P 是一平面有界图形，用某一平行于坐标轴的一组直线网T 分割这个图形(图21—1)．这时直线网T 的网眼——小闭矩形i ∆可分为三类：(i)i ∆上的点都是P 的内点；(ii)i ∆上的点都是P 的外点，即Φ=∆P i ；(iii)i ∆上含有P 的边界点．我们将所有属于直线网T 的第(i)类小矩形(图21—1中阴影部分)的面积加起来，记这个和数为)(T s P ，则有)(T s P ≤R ∆(这里R ∆表示包含P 的那个矩形R 的面积)；将所有第（i ）类与第（iii ）类小矩形(图21—1中粗线所围部分)的面积加起来，记这个和数为)(T S P .结论．．1．：T 为平面有界图形．．．．．．．P 的平行于坐标轴的一组直线网，则．．．．．．．．．．．．．．．)(T s P ≤．)(T S P ． 事实上: )(T s P 为P 的面积的不足值，而)(T S P 为P 的面积的过剩值.结论．．2．：对于平面上所有直线网，数集．．．．．．．．．．．．．{．)(T s P }．有上确界，数集．．．．．．．{．)(T S P }．有下确界，记．．．．．．)},({sup T s I P T P = )}.({int T S I P TP =。
称．．P I 为．P 的．内面积．．．，P I 为．P 的．外面积．．．, 且有．．P P I I ≤≤0.．(1) 事实上: 数集{)(T s P }上确界、数集{)(T S P }下确界的存在性，由确界存在定理可以推得(非df 称一个平面图形P 是有界的，是指构成这个平面图形的点集是平面上的有界点集，即存在一矩形R ，使得R P ⊂．空数集有界必有确界)(上册P7Th1.1).定理平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给的>0，总存在直线网T ，使得ε<-)()(T s T S P P (2) 证明：[必要性] 设平面有界图形P 的面积为P I ，由定义1，有P I =P I =P I 对任给的ε>0，由P I 及P I 的定义知道，分别存在直线网1T 与2T ，使得2)(1ε->P P I T s ， 2)(2ε+<P P I T S . (3) 记T 为由1T 与2T 这两个直线网合并所成的直线网，可证得① ).()(),()(21T S T S T s T s P P P P ≥≤于是由(3)可得2)(ε->P P I T s ， .2)(ε+<P I T S P从而得到对直线网T 有ε<-)()(T s T S P P ．[充分性] 设对任给的ε>0，存在某直线网T ，使得(2)式成立．但≤≤P P I T s )(P I ).(T S P ≤所以 P I P I -.)()(ε<-≤T s T S P p由ε的任意性，因此=P I P I ，因而平面图形P 可求面积． ▌ 由不等式(1)及定理21.1立即可得：推论 平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积=P I _0，即对任给的0>ε，存在直线网T ，使得ε<)(T S P ，(因为0)(=T s P )或对任给的ε>0，平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖．定理2.21 平面有界图形P 可求面积的充要条件是：P 的边界K 的面积为零．证明：由定理1.21，P 可求面积的充要条件是：对任给的ε>0，存在直线网T ，使得ε<-)()(T s T S P P ．由于)()()(T s T S T S P P K -=所以也有ε<)(T S K ．由上述推论，P 的边界K 的面积为零． ٱ定理21.3 若曲线K 为由定义在[]b a ,上的连续函数)(x f 的图象，则曲线K 的面积为零．证明：由于)(x f 在闭区间 ][b a ,上连续，所以它在[]b a ,上一致连续．因而对任给的0>ε，总存在0>δ，当把区间[]b a ,分成n 个小区间[]()b x a x n i x x n i i ===-,,,,2,1,01 并且满足{}δ<=-=∆-n i x x x i i i ,,2,1max 1时，可使)(x f 在每个小区间[]i i x x ,1-上的振幅都成立.a b i -<εω现把曲线K 按自变量n x x x x ,,,10 =分成n 个小段，这时每一个小段都能被以i x ∆为宽，i ω为高的小矩形所覆盖．由于这n 个小矩形面积的总和为,11εεω=∆-<∆∑∑==n i i n i i ixa b x所以由定理1.21的推论即得曲线K 的面积为零． ▌结论．．3．：由参量方程．．．．．))((),(βαψϕ≤≤==t t y t x 所表示的平面光滑曲线．．．．．．．．．．(．即．ψϕ,在．[]βα,上具有连续的导函数．．．．．．．．．)．或按段光滑曲线，其面积一定为零．．．．．．．．．．．．．．．． 证明：（略）二、二重积分的定义及其存在性1 实例求曲顶柱体的体积：设),(y x f 为定义在可求面积的有界闭区域D 上的非负连续函数．求以曲面),(y x f z =为顶，D 为底的柱体(图2l —2)的体积V ．采用类似于求曲边梯形面积的方法．先用一组平行于坐标轴的直线网T 把区域D 分成n 个小区域()),,2,1n i i =σ (称T 为区域D 的一个分割)．以i σ∆表示小区域i σ的面积．这个直线网也相应地把曲顶柱体分割成n 个以i σ为底的小曲顶柱体()),,2,1n i V i =．由于),(y x f 在D 上连续，故当每个i σ的直径都很小时, ),(y x f 在i σ上各点的函数值都相差无几，因而可在i σ上任取一点()i i ηξ,，用以()i i f ηξ,为高，i σ为底的小平顶柱体的体积()i i f ηξ,i σ∆作为i V 的体积i V ∆的近似值(如图2l —3)，即.),(i i i i f V σηξ∆≈∆把这些小平顶柱体的体积加起来,就得到曲顶柱体体积V 的近似值.),(11∑∑==∆≈∆=ni i i i n i i f V V σηξ当直线网T 网眼越来越细密，即分割T 细度i n i d T ≤≤=1max (i d 为i σ的直径)趋于零时,就有.),(1V f n i i ii →∆∑=σηξ2 二重积分的定义☆ 下面叙述定义在平面有界闭区域上函数),(y x f 的二重积分的概念．设D 为xy 平面上可求面积的有界闭区域，),(y x f 为定义在D 上的函数．用任意的曲线把D 分成n 个可求面积的小区域.,,,21n σσσ 以i σ∆表示小区域i σ的面积，这些小区域构成D 的一个分割T ，以i d 表示小区域i σ的直径，称i ni d T ≤≤=1max 为分割T 的细度．在每个i σ上取一点),(i i ηξ,作和式.),(1∑=∆ni i i i f σηξ称它为函数),(y x f 在D 上属于分割T 一个积分和．注．：1）与定积分概念一样，二重积分也是通过“分割、近似求和、取极限”这三个步骤得到的，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数．2）当),(y x f ≥0时，二重积分⎰⎰D d y x f σ),(在几何上就表示以),(y x f z =为曲顶，D 为底的曲顶柱体的体积．3）当1),(=y x f 时,二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(的值即为积分区域D 的面积．4）由二重积分定义知道，若),(y x f 在区域D 上可积，则与定积分情况一样，对任何分割T ，只要当δ<T 时，(4)式都成立．因此为方便计算起见，常选取一些特殊的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割D ，则每一小网眼区域σ的面积.y x ∆∆=∆σ．此时通常把⎰⎰Dd y x f σ),(记作⎰⎰D dxdy y x f .),((6)结论．．4．：函数),(y x f 在有界可求面积区域D 上可积的必要条件是它在D 上有界.证明: (同定积分可类似证明,略)结论．．5．：二元函数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和同样的性质. 证明: (同定积分那样类似地证明即可,略)3 可积性定理下面列出有关二元函数的可积性定理．我们只给出定理7.21的证明，其余请读者自行证明．定理21.4 ),(y x f 在D 上可积的充要条件是： ).(lim )(lim 00T s T S T T →→= 定理21.5 ),(y x f 在D 上可积的充要条件是：对于任给的正数ε，存在D 的某个分割T ，使得.)()(ε<-T s T S ．定理21.6 有界闭区域D 上的连续函数必可积．定理21.7 设),(y x f 是定义在有界闭区域D 上的有界函数．若),(y x f 的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则),(y x f 在D 上可积．证明:不失一般性，可设),(y x f 的不连续点全部落在某一条光滑曲线L 上．记L 的长度为l ．于是对任给的0>ε，把L 等分成1+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εl n 段: .,,21n L L L在每段i L 上取一点i P ,与其一端点的弧长为.2n l 以i P 为中心作边长为ε的正方形i ∆,则i L ⊂i ∆.从而有.1i n i L ∆⊂= 记,1i n i ∆=∆= 则∆为一多边形．设∆的面积为W ，那么.)(1)1(22εεεεεε+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≤l l l n W现在把区域D 分成两部分．第一部分,1∆= D D ，第二部分12D D D -=.由于),(y x f 在2D 上连续，根据定理21．6与定理21．5，存在2D 的分割2T ，使 得.)()(22ε<-T s T S 又记),,(inf),,(sup ),(),(y x f m y x f M y x y x ∆∈∆∆∈∆==以T 表示由2T 与多边形∆的边界所组成的区域D 的分割，则有[][]W W m W M T s T S T s T S ωε+<-+-=-∆∆)()()()(22,)1()(εεωωεωεε++=++≤l l其中ω是),(y x f 在D 上的振幅。
第九章 重积分第一节 二重积分的概念及性质一．二重积分的概念 1．引例引例1 曲顶柱体的体积设有一立体的底是xy 面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，顶是有二元非负连续函数),(y x f z =所表示的曲面，如图9—1所示，这个立体称为D 上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。
图9—1 图9—2 图9—3解 对于平柱体的体积底面积高⨯=V ，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下(1)分割把区域D 任意划分成n 个小闭区域nσσσ∆∆∆,,,21Λ，其中iσ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积。
在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，如图9—2所示。
这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体。
(2)近似在每一个小闭区域iσ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，iσ∆为底的平顶柱体的体积i i i f σηξ∆),(近似代替第i 个小曲顶柱体的体积。
i i i f V σηξ∆≈∆),((3)求和这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值∑=∆≈∆=ni i i i f V V 1),(σηξ(4)取极限将区域D 无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。
即∑=→∆=ni i i i f V 10),(lim σηξλ其中λ表示这n 个小闭区域iσ∆直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间的距离）。
引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xy 面上的有界闭区域D ，它的密度为D 上的连续函数),(y x z ρ=，试求平面薄片的质量。
解 对于均匀平面薄片的质量薄片面积密度⨯=m ，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下(1)分割将薄片（即区域D ）任意划分成n 个小薄片nσσσ∆∆∆,,,21Λ，其中iσ∆表示第i 个小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。
二重积分的概念与性质教案教案：二重积分的概念与性质一、教学目标1.理解二重积分的概念和性质；2.掌握计算二重积分的方法。
二、教学内容1.二重积分的概念；2.二重积分的性质；3.计算二重积分的方法。
三、教学步骤Step 1 导入 (5分钟)通过问题引入二重积分的概念：有一个区域D，如何计算这个区域上的一些函数f(x,y)的平均值？Step 2 二重积分的概念 (15分钟)1.定义：二重积分是对二元函数f(x,y)在一个有限闭区域D上的数值进行求和的方法。
2.计算公式：二重积分的计算可以通过将区域D划分成无限多的小矩形，然后求和每个小矩形内函数f(x,y)的取值，最后对所有小矩形的和取极限来进行计算。
3.表示方法：二重积分可以用符号∬来表示，其中D是区域，f(x,y)是被积函数。
Step 3 二重积分的性质 (20分钟)1. 线性性质：∬[af(x, y) + bg(x, y)]dσ = a∬f(x, y)dσ + b∬g(x, y)dσ，其中a、b为常数。
2.积分区域的可加性:如果D可以分割成两个不相交的区域D1和D2,那么∬f(x,y)dσ=∬f(x,y)dσ1+∬f(x,y)dσ23. 积分次序可交换：若f(x, y)在区域D上连续，那么∬f(x,y)dσ = ∫[c, d]∫[a, b]f(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c, d]f(x,y)dydx.4.区域的划分不变性：若D1和D2为同一区域D的两个划分方案，则∬f(x,y)dσ1=∬f(x,y)dσ2Step 4 计算二重积分的方法 (30分钟)1. 矩形区域上的二重积分：如果区域D是一个矩形[a, b] × [c,d]，那么∬f(x, y)dσ = ∫[c, d]∫[a, b]f(x, y)dxdy。
2.直角坐标变换：对于区域D在直角坐标下很难表示的情况，可以通过使用适当的直角坐标变换来简化计算。
3.极坐标变换：对于具有对称性或旋转性质的区域D，可以使用极坐标变换来简化计算。
二重积分的计算教案教案标题：二重积分的计算教学目标：1. 理解二重积分的概念和意义；2. 学会利用直角坐标系下的二重积分及其性质计算二重积分；3. 掌握变量替换法计算二重积分。
教学准备：1. 幻灯片及投影仪；2. 教学板及白板笔；3. 直角坐标纸；4. 计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 讲师介绍二重积分的概念和意义：二重积分是对二元函数在一个有界区域上的积分运算，可以用来计算平面区域的面积、质量等物理量。
2. 引导学生思考：如何计算函数在某个区域的面积？二、直角坐标系下的二重积分（20分钟）1. 讲解二重积分的概念和符号表示；2. 利用直角坐标系下的二重积分性质，分别介绍极坐标系和直角坐标系下的二重积分计算方法；3. 通过示例，详细讲解直角坐标系下二重积分的计算步骤。
三、变量替换法计算二重积分（25分钟）1. 介绍变量替换法的基本思想和要点；2. 通过示例，引导学生掌握变量替换法计算二重积分的步骤和技巧；3. 鼓励学生积极思考、探索新的变量替换方法，提升解题能力。
四、练习与巩固（15分钟）1. 提供一些典型的计算二重积分的练习题，让学生自主完成并讨论解法；2. 教师逐个讲解练习题的解题思路和方法。
五、拓展应用（10分钟）1. 引导学生思考并讨论：二重积分在实际问题中的应用；2. 讲解几个具体实例，让学生理解二重积分在不同领域中的应用。
六、总结与反思（5分钟）1. 客观回顾本节课所学内容；2. 鼓励学生提出问题、分享心得；3. 解答学生提出的问题，澄清疑惑。
教学延伸：1. 建议学生参考相关教材，复习和巩固本节课所学内容；2. 鼓励学生应用二重积分解决实际问题，提升实际运用能力；3. 教师可布置相关的作业，以检查学生对本节课内容的掌握情况。
教学评价：1. 通过课堂教学中的互动讨论，观察学生的参与度和理解程度；2. 教师根据学生作业的完成情况和答案的正确性评价学生对知识点的掌握程度；3. 反馈学生的问题和困惑，及时给予指导和解答。
二重积分优秀教学设计(一)二重积分优秀的教学设计教学目标•了解二重积分的概念和意义•学会计算二重积分的基本方法和技巧•能够应用二重积分解决实际问题教学重难点•了解二重积分的概念和意义•学会应用二重积分解决实际问题教学准备•教材：相关数学教材•笔记本电脑或投影仪：用于演示相关数学公式和例题解答•练习题：辅助学生巩固知识点和技巧教学步骤1.概念解释•介绍二重积分的概念和意义，引导学生理解二重积分的几何意义。
•示意图：通过绘制简单的二维图形，说明二重积分表示函数在某个面积上的加权平均值。
2.计算方法讲解•推导二重积分的计算公式，解释其基本性质。
•通过多个例题，演示计算二重积分的具体步骤，重点讲解积分区域的确定方法。
3.技巧总结•总结计算二重积分的常用技巧，如变量替换法、极坐标法等。
•提示学生注意积分顺序的选择，避免积分困难。
4.应用实例•给出一些实际问题，如计算质量、质心、面积等，引导学生将问题转化为二重积分，并进行求解。
5.练习与巩固•分发练习题，让学生自主完成。
•针对学生容易出错的地方，进行必要的解释和指导。
6.作业布置•设计一些综合性的应用题让学生回家完成。
教学延伸•引导学生进一步了解三重积分的概念和计算方法，拓宽数学知识面。
课堂互动•利用课堂练习和讨论，鼓励学生积极参与，提出问题和观点。
•设计小组活动，让学生合作解决二重积分问题，加强合作与交流能力。
教学评估•教师观察学生在课堂上的参与度、理解程度和解题能力。
•通过布置的练习和作业，评估学生对二重积分知识的掌握程度。
参考资料•数学教材及相关参考书籍。
教学反思与改进•教师可以根据学生的反馈和表现，及时调整教学策略和方法，确保教学效果。
•在讲解计算方法时，要注意减少步骤，重点讲解关键步骤和常见错误。
•引导学生进行实际问题的应用时，可以提供更多的实例和案例，以增加学生的兴趣和参与度。
•教师还可以提供一些拓展性资料和题目，以满足对数学知识有更深入学习的学生需求。
二重积分的计算教案(一)二重积分的计算教案一、知识概述•二重积分的定义及含义。
•二重积分的计算方法：累次积分法、极坐标法。
•二重积分的性质和应用。
二、教学目标1.理解二重积分的定义及其意义。
2.掌握累次积分法计算二重积分的基本步骤。
3.掌握极坐标法计算二重积分的基本步骤。
4.能够应用二重积分解决实际问题。
三、教学内容1. 二重积分的定义及含义•介绍二重积分的概念和符号表示。
•解释二重积分的几何意义和物理意义。
2. 累次积分法计算二重积分•讲解累次积分法的基本思想。
•详细解释累次积分法计算二重积分的步骤。
•提供一些具体例子进行演示计算。
3. 极坐标法计算二重积分•介绍极坐标法的基本原理。
•讲解极坐标法计算二重积分的步骤。
•演示使用极坐标法计算一些例题。
4. 二重积分的性质•介绍二重积分的线性性质和可加性质。
•解释累次积分法和极坐标法计算二重积分的等价性。
5. 二重积分的应用•探讨二重积分在几何学中的应用，如计算平面区域面积。
•掌握二重积分在物理学中的应用，如计算质量、重心、转动惯量等。
四、教学过程1.引入问题：通过一个具体的例子引发学生对二重积分的思考。
2.知识讲解：分块进行知识点的讲解，让学生逐步理解二重积分的概念和计算方法。
3.演示计算：通过一些实例演示如何使用累次积分法和极坐标法计算二重积分。
4.知识总结：概括总结二重积分的定义、计算方法和应用领域。
5.练习与讨论：进行一些练习题，鼓励学生积极参与讨论与思考。
6.实践应用：提供一些实际问题，让学生能够应用二重积分解决问题。
7.拓展延伸：介绍更高维度积分的概念，激发学生对数学的进一步兴趣。
五、教学评估•在课堂上进行小测验，检查学生对二重积分的理解程度。
•提供一些综合性的练习题评估学生的掌握情况。
•监督学生在实际问题中是否能够正确应用二重积分。
六、教学反思•检查学生的学习效果，对掌握情况良好的学生进行表扬和鼓励。
•分析学生容易出错的地方，针对性地进行强化巩固。
二重积分教案一、教学目标：1. 理解二重积分的概念和意义；2. 掌握计算二重积分的方法；3. 能够运用二重积分解决实际问题。
二、教学重点：1. 二重积分的定义和性质；2. 二重积分的计算方法。
三、教学难点：1. 运用二重积分解决实际问题的能力。
四、教学准备：1. 教科书和课件；2. 黑板和粉笔；3. 计算工具。
五、教学过程：步骤一：导入（5分钟）引入二重积分的概念和意义，通过举例说明二重积分的应用领域，如物理学、经济学等。
步骤二：二重积分的定义和性质（15分钟）1. 介绍二重积分的定义，即将给定区域的函数值乘以微小区域的面积，并对整个区域进行累加；2. 讲解二重积分的性质，如线性性、区域可加性和中值定理等。
步骤三：二重积分的计算方法（40分钟）1. 直角坐标系下的计算方法：a. 利用累加求和的思想，将区域分割成微小矩形，并逐一计算每个矩形的面积和函数值，最后将结果累加；b. 讲解二重积分的计算顺序，先对 x 进行积分，再对 y 进行积分；c. 求解二重积分时，可通过换序积分法简化计算；d. 引入二重积分的求面积公式，通过对区域边界的积分计算出区域的面积。
2. 极坐标系下的计算方法：a. 介绍极坐标系的转换关系，并讲解如何在极坐标系下计算二重积分；b. 给出极坐标系下的二重积分计算公式。
步骤四：实际问题的求解（30分钟）结合实际问题，如质心、质量、概率等问题，引导学生运用二重积分的计算方法进行求解。
步骤五：课堂练习（20分钟）布置一些练习题，提供学生自主练习和思考时间，并在课堂上共同讨论解题思路和方法。
六、课堂总结与作业布置（10分钟）对本节课所学内容进行总结，并布置相关的课后作业，要求学生进行二重积分的计算和实际问题的应用练习。
七、教学反思：通过本节课的教学，学生能够初步理解和掌握二重积分的概念、性质和计算方法，并能够初步运用二重积分解决实际问题。
在教学过程中，通过举例和实际问题的引入，增加了学生的兴趣和参与度。
《高等数学》〔下〕——说课稿说课教师：方政蕊〔经济与数学系〕各位评委、老师：大家好!我是经济与数学系的数学教师方政蕊,很荣幸能够参加此次的说课活动,希望各位评委、老师对我的说课内容提出宝贵意见.下面我将就本学期我所担任的《高等数学》这门课程所使用的教材、该课程的地位作用、教学方法的选择、学生学法的指导和教学过程的设计等几个方面来向大家做一简要介绍.一、教材介绍这门课所使用的教材是同济大学出版的面向21世纪普通高等教育规划教材《高等数学》的下册,该教材内容符合教学大纲的要求,知识系统、体系结构清晰、例题丰富、语言通俗易懂,讲解透彻难度适中,在上册一元函数微积分的基础上进一步较系统地介绍多元函数微分学,多元函数积分学,无穷级数和微分方程等高等数学的知识.二、课程介绍1、地位和作用高等数学在当今社会的各个领域都有广泛的应用,因而"高等数学"是理工类本科教学重要基础课之一,通过本课程的教学,旨在使学生掌握该课程的基本概念、基本理论和方法,提高学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力,为学生继续学习后续相关专业课奠定必要的数学基础.2、教学目标〔1〕、理解多元函数的概念、会求二元函数的偏导数和全微分〔2〕、能将多元函数应用到几何上,会求极值〔3〕、理解多元函数的概念、性质,掌握二重积分的计算方法〔4〕、掌握三重积分、曲线积分和曲面积分的计算方法〔5〕、理解无穷级数的概念、性质,掌握判别级数收敛性的方法〔6〕、会将函数展开成幂级数或傅里叶级数〔7〕、理解微分方程的概念,掌握求微分方程的解的方法3、教学重点和难点〔1〕、求二元函数的偏导数、极值〔2〕、求二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分〔3〕、无穷级数的收敛性判别、将函数展开成幂级数或傅里叶级数〔4〕、解微分方程二、教学方法科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍,达到教与学的和谐完美统一.数学是本科教学中的重要基础课,是一门培养和发展人的思维的重要学科,因此,在教学中,不仅要使学生"知其然"而且要使学生"知其所以然".根据教学内容、教学目标和学生的认知水平,我主要采取教师启发讲授、适当点拨和学生探究学习的教学方法.教学过程中,教师可以系统的传授知识,充分发挥教师的主导作用,根据教材提供的线索,安排适当的教学情境,让学生展示相应的数学思维过程,使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段,引导学生独立自主地开展思维活动,深入探究,在思考中体会数学图象变换过程中所蕴涵的数学方法,使之获得内心感受,特别是通过多媒体课件的演示,直观展示函数图象的变化过程,激发学生的兴趣,从而创造性地解决问题,最终形成概念,获得方法,培养能力,突出学生的主体地位．除使用常规的教学手段外,还将使用多媒体投影和计算机来辅助教学,目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.三、学生学法指导我们常说："授人以鱼不如授人以渔",因而在教学中要特别重视学法的指导.转变学生数学学习方式,不仅有利于提高学生的数学素养,而且有利于促进学生整体学习方式的转变.我以教学大纲和课程标准为指导,辅以多媒体手段,结合师生共同讨论、归纳,着重引导学生学会探索研究的学习方法.探究式学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程,在探究的过程中激发学生的好奇心和创新意识,在探究过程中学习科学研究的方法,在探究过程中培养坚韧不拔的精神.学生掌握了这种学习方法后,对学生终生学习都有积极意义.四、教学过程的设计为完成本门课的教学目标,突出重点,突破难点,我把教学过程设计为六个阶段：创设情境,引入课题；归纳探索,形成概念；掌握求法,适当延展；适当练习,巩固新课；归纳小结,提高认识；作业布置,巩固提高.具体过程如下：1、创设情境,引入课题在学生原有的知识体系上,通过类比逐步引导学生从一元函数的极限、连续、求导和积分到多元函数的的极限、连续、求导和积分过渡,发现两者之间的内在联系,这样获取的知识,不但易于保持,而且易于迁移到陌生的问题情境中.2、归纳探索,形成概念由引例得出新课的知识点,如在讲多元函数积分的概念上,由两个引例求曲顶柱体的体积和平面薄片的质量的讲解,归纳总结出多元函数积分的概念.3、掌握求法,适当延展通过例题的讲解,让学生掌握多元函数微积分的计算方法.在讲解例题时,不仅在于怎样解,更在于为什么这样解,而与时对解题方法和规律进行概括,有利于发展学生的思维能力.在课本例题的基础上,适当将题目引申,使例题的作用更加突出,有利于学生对知识的串联、累积、加工,从而达到举一反三的效果.4、适当练习,巩固新课针对学生素质的差异进行分层训练,既使学生掌握基础知识,又使学有余力的学生有所提高,从而达到拔尖和"减负"的目的,具体做法是课堂提问和让学生到黑板上解题.5、归纳小结,提高认识知识性内容的小结,可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结,可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用,并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标.6、作业布置,巩固提高：根据学生的不同层次分为必做和选做,由学生自主选择"二重积分"的教学方案的设计经济与数学系方政蕊二重积分是《高等数学》下册第六章第一节的内容.在此之前,学生已学习了定积分,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.本节内容在高等数学中,占据着重要地位,以与为其他学科和今后专业课程的学习打下基础.本着课程标准,在吃透教材的基础上,我确立了如下的教学目标、教学重点和教学难点:一、教学目标：1、理解二重积分的概念与性质2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分二、教学重点与难点：二重积分的计算三、教学准备：1、教师：查看参考书、编写教案或课件制作2、学生：课前预习四、教学时间：2课时五、教学方案设计为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,我把教学环节设计为四个阶段：创设情境,引入课题；归纳探索,形成概念；掌握求法,适当延展；归纳小结,提高认识,具体过程如下：1、创设情境,引入课题长期以来,我们的学生为什么对数学不感兴趣,甚至害怕数学,其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了.事实上,数学学习应该与学生的生活融合起来,从学生的生活经验和已有的知识背景出发,让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学.概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括,只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后,才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解,因此在本节的教学中,我从具体的两个实例引出概念：〔1〕、曲顶柱体的体积先用两分钟时间,让学生回忆学习定积分时求曲边梯形面积的方法,再利用类比的方法讲解求曲顶柱体的体积.〔2〕、平面薄片的质量用同样的方法求出平面薄片的质量2、归纳探索,形成概念把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提,也是培养学生观察分析能力的重要一步,以上两个实例可以抽象地给出二重积分的定义,从而引出二重积分的概念.〔1〕、对概念作进一步解释,并与定积分的概念作比较,加深学生的印象,最后强调几个要点.〔2〕、给出二重积分的性质,使学生能更深刻地理解二重积分.3、掌握求法,适当延展〔1〕、直角坐标系下二重积分的求法在讲二重积分的计算前,先让学生回顾定积分的基本公式和计算方法,提问两位学生,得出结论.再重点介绍二重积分的计算方法,对于不同的区域要用不同的积分次序进行积分,详细讲解两种区域的特点,推导出计算二重积分的公式. 〔2〕、讲解例题选择典型而具有代表性的例题3个,一个的积分区域是X-型,一个既是X-型又是Y-型,一个既不是X-型也不是Y-型,使学生掌握不同积分区域的二重积分的计算,并与时对解题方法和规律进行概括,有利于发展学生的思维能力. 〔3〕、极坐标下二重积分的求法很多学生没有学过极坐标,所以先对极坐标作简单的介绍,再讲解用极坐标求二重积分,通过直角坐标与极坐标的变换得出公式,并强调在什么情况下选择用极坐标求二重积分.〔4〕、讲解例题选择例题2个,一个是既可以用直角坐标计算又可以用极坐标计算,另一个是只能用极坐标计算的例子,经过对比,使学生了解有时用极坐标计算二重积分会减少很多计算量.〔5〕、能力训练为了使学生达到对知识的深化理解,从而达到巩固提高的效果,我特地设计了一组即时训练题,并且把课本的例题熔入即时训练题中,随机抽两位学生到黑板上做课堂练习,再作评讲,使学生能巩固所学知识与解题思想方法.〔6〕、变式延伸,进行重构重视课本例题,适当对题目进行引申,使例题的作用更加突出,有利于学生对知识的串联、累积、加工,从而达到举一反三的效果.4、归纳小结,提高认识提出问题：这节课你们学到了什么？鼓励学生积极回答,答不完整的没有关系,其它同学补充.以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力.5、布置作业根据学生的不同层次分为必做和选做,由学生自主选择.六、板书设计好的板书就像一份微型教案,此板书力图全面而简明的将授课内容传递给学生,清晰直观,便于学生理解和记忆,理清文章脉络.我在上这节课时较注重板书的设计,将定义、性质和计算方法写在黑板的左边,例题和讲解写在黑板的右边,特别是有的例题没有马上擦去,保留到下一个例子讲完,这样就可以进行对比.下面附上板书设计与详细教案：第一节 二重积分教学目标：1、理解二重积分的概念与性质2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分 教学重点与难点：二重积分的计算 一、二重积分的概念 1. 引例1：曲顶柱体的体积设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面),(y x f z =<0),(≥y x f >,称这种立体为曲顶柱体.曲顶柱体的体积V 可以这样来计算:<1>用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ∆,2σ∆, ,n σ∆,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1∆Ω,2∆Ω, ,n ∆Ω. 〔假设i σ∆所对应的小曲顶柱体为i ∆Ω,这里i σ∆既代表第i 个小区域,又表示它的面积值,i ∆Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值〕.从而∑=∆Ω=ni iV 1图9-1-1<2> 由于),(y x f 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大.因此,可以将第i 个小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是i i i i f σηξ∆≈∆Ω),(,)),(i i i σηξ∆∈整个曲顶柱体的体积近似值为<3> 为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩.为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者. 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零. 设n 个小区域直径中的最大者为λ,定义 2.引例2：平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy 面上的区域D , 它在),(y x 处的面密度为),(y x ρ〔0),(>y x ρ〕,现计算该平面薄片的质量M .<1>将D 分成n 个小区域1σ∆,2σ∆, ,n σ∆,i σ∆既代表第i 个小区域又代表它的面积.<2>第i 小平面薄片的质量可近似为 图9-1-2 i i i i M σηξρ∆≈∆),(,)),(i i i σηξ∆∈整个平面薄片的质量的近似值为<3>记i λ为i σ∆的直径,},,,max {21n λλλλ =,整个平面薄片的质量定义为 综上,两种实际意义完全不同的问题, 都归结同一形式的极限.因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分.3. 二重积分的定义定义 设),(y x f 是闭区域D 上的有界函数. <1> 将区域D 任意分成n 个小区域1σ∆,2σ∆, ,n σ∆其中, i σ∆既表示第i 个小区域,也表示它的面积.<2> 在第i 个小区域i σ∆上任取一点),(i i ηξ,作乘积i i i f σηξ∆),(,),,2,1(n i =,作和<3> 记i λ为i σ∆的直径,},,,max {21n λλλλ =,若极限存在,则称此极限值为函数),(y x f 在区域D 上的二重积分,记作⎰⎰Dd y x f σ),(,即其中: ),(y x f 称为被积函数,σd y x f ),(称为被积表达式,σd 称为面积元素,y x ,称为积分变量,D 称为积分区域,∑=∆ni i i i f 1),(σηξ称为积分和式.4. 几点说明：<1> 极限 ∑=→∆ni i i i f 10),(lim σηξλ的存在性不依赖区域D 的分割,也不依赖),(i i ηξ的取法.<2> 二重积分的存在性定理：若),(y x f 在闭区域D 上连续, 则),(y x f 在D 上的二重积分存在.<3>⎰⎰Dd y x f σ),(中的面积元素σd 象征着积分和式中的i σ∆.由于二重积分的定义中对区域D 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D ,因此,可以将σd 记作dxdy <dxdy 为直角坐标系下的面积元素 > 二重积分也可表示成为⎰⎰Dd y x f σ),(. 图9-1-3<4> 若(),0f x y ≥,二重积分表示以),(y x f z =为曲顶,以D 为底的曲顶柱体的体积,即二、二重积分的性质 1. 线性性质其中:βα,是常数. 2. 对区域的可加性若区域D 分为两个部分区域1D ,2D 则 3. 若在D 上,1),(≡y x f ,σ表示区域D 的面积,则 4. 若在D 上,),(),(y x y x f ϕ≤,则有不等式 特别地,由于|),(|),(|),(|y x f y x f y x f ≤≤-,有 5. 估值不等式设M 与m 分别是),(y x f 在闭区域D 上最大值和最小值,σ是区域D 的面积,则6. 二重积分的中值定理设函数),(y x f 在闭区域D 上连续,σ是D 的面积,则在D 上至少存在一点),(ηξ,使得证明：由于),(y x f 在闭区域D 上连续,故),(y x f 在闭区域D 上取得其最大值M 和最小值m .由性质5,得显然0≠σ,因此有M d y x f m D ≤≤⎰⎰σσ),(1再由二元函数的介值性质知道,至少存在一点D ∈),(ηξ,使得),(),(1ηξσσf d y x f D=⎰⎰即σηξσ),(),(f d y x f D=⎰⎰例1 比较积分⎰⎰+Dd y x σ)ln(与⎰⎰+Dd y x σ2)][ln(,其中D 是三顶点为)0,1(,)1,1(和)0,2(的三角形.例2 估计积分值其中}20,10|),({≤≤≤≤=y x y x D三、二重积分的计算法 1、利用直角坐标计算二重积分根据二重积分的几何意义可知, 当0),(≥y x f 时,⎰⎰Dd y x f σ),(的值等于以D为底,以曲面),(y x f z =为顶的曲顶柱体的体积. 在区间],[b a 上任意取定一个点0x , 作平行于yoz 面的平面0x ,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间)](,)([0201x x ϕϕ为底, ),(0y x f z =为曲边的曲边梯形,其面 积为一般地,过区间],[b a 上任一点x 且平行于yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为利用计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有这也称为先对y , 后对x 的二次积分,也常记作其中：积分区域D 为})()(,|),({21x y x b x a y x ϕϕ≤≤≤≤.如果积分区域D 为})()(,|),({21y x y d y c y x ψψ≤≤≤≤, 则二重积分也可化为例1 计算σd x I D)1(2⎰⎰-=,其中解：由二重积分的计算方法,得例2 σd y x y I D221-+=⎰⎰,其中D 是由直线x y =、1-=x 和1=y 所围成的闭区域.解：由于积分区域}1,11|),({≤≤≤≤-=y x x y x D ,得例3计算σd xy I D⎰⎰=,其中D 是由抛物线x y =2、2-=x y 所围成的闭区域.解：由与积分区域可表为}2,21|),({2+≤≤≤≤-=y x y y y x D , 用先对x 后对y 的积分次序,得如果用先对y 后对x 的积分次序,积分区域分成两个区域,即 因此2、利用极坐标计算二重积分直角坐标),(y x 与极坐标),(θρ的变换关系为θρcos =x ,θρsin =y在极坐标),(θρ下,面积元素为 因此有如果积分区域为 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθϕθϕθϕθϕβαρρθρθρθθρρθρθρθρρθρθρd f d d d f d d f D)sin ,cos ( ])sin ,cos ([)sin ,cos ()()()()(2121如果积分区域为 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==βαθϕθϕβαρρθρθρθθρρθρθρθρρθρθρd f d d d f d d f D)sin ,cos ( ])sin ,cos ([)sin ,cos ()(0)(0如果积分区域为则⎰⎰⎰⎰⎰⎰==πθϕθϕπρρθρθρθθρρθρθρθρρθρθρ20)(0)(020)sin ,cos ( ])sin ,cos ([)sin ,cos (d f d d d f d d f D例4计算⎰⎰--Dy xdxdy e 22,其中D 是中心在原点、半径为a 的圆周围成的区域.解：在极坐标下,D 可表示为πθρ20,0≤≤≤≤a ,因此例5 求球体22224a z y x ≤++被圆柱面ax y x 222=+所截得的〔含在圆柱面内的部分〕立体的体积.解：由对称性 其中D 为半圆周22x ax y -=与x 轴所围成的区域,即 利用极坐标计算,得 作业：P88 P89。
二重积分优秀教学设计二重积分优秀教学设计教学目标1.理解二重积分的概念和意义；2.学会计算可积函数的二重积分；3.掌握二重积分的性质和计算方法；4.能够应用二重积分解决实际问题。
教学内容1.二重积分的概念和意义–了解累次积分和二重积分的概念；–探究二重积分的物理意义和几何意义；–通过例题理解二重积分的计算过程。
2.可积函数的二重积分计算–学习二重积分的计算方法；–掌握使用定积分计算二重积分；–理解可积函数的二重积分和累次积分的关系。
3.二重积分的性质–掌握二重积分的线性性质、可加性和保号性质等；–了解二重积分对交换次序的影响。
4.二重积分的计算方法–学习使用极坐标、换元法等方法计算二重积分；–通过例题巩固计算方法。
5.应用二重积分解决实际问题–学习如何应用二重积分计算面积、质量、重心等物理量；–通过实际问题的讲解和解答，培养应用二重积分解决问题的能力。
教学步骤1.导入知识，介绍二重积分的概念和意义；2.通过具体的例题引入可积函数的二重积分计算；3.讲解二重积分的性质和计算方法，并进行例题演示；4.分组讨论、合作解题，巩固所学的二重积分计算方法；5.引入实际问题，讲解如何应用二重积分解决问题；6.完成课堂练习和作业，检验学生的掌握情况；7.总结课程内容，梳理知识点，解答学生提出的问题。
教学资源1.教科书《高等数学》或相关参考书籍；2.教学投影仪、电脑等多媒体设备；3.课堂练习题和作业。
教学评价1.课堂参与度：学生在课堂中的积极参与程度；2.反馈问题：学生提出的问题和疑惑；3.课堂练习和作业：学生对所学知识的掌握和运用能力；4.学习成果：学生对二重积分相关概念和计算方法的理解和应用。
参考书目1.严蔚敏，李冬梅. 高等数学[M]. 清华大学出版社, 2018.2.斯图尔特. 单变量微积分学：早期变量函数的概念[M]. 科学出版社, 2008.3.Anton Howard, Bivens Irl，Davis Stephen. 微积分[M]. 高等教育出版社, 2006.教学方法1.探究式教学：通过引导学生进行探究，从而加深对二重积分概念和意义的理解；2.演示教学：通过解题演示，让学生掌握二重积分计算方法；3.合作学习：组织学生进行小组讨论和合作解题，培养团队合作能力；4.实际问题解决：引入实际问题讲解，帮助学生应用二重积分解决实际问题；5.提问和讨论：通过提问和讨论，激发学生的思考和参与度。
《高等数学》（下）——说课稿说课教师：方政蕊（经济与数学系）各位评委、老师：大家好!我是经济与数学系的数学教师方政蕊，很荣幸能够参加此次的说课活动，希望各位评委、老师对我的说课内容提出宝贵意见。
下面我将就本学期我所担任的《高等数学》这门课程所使用的教材、该课程的地位作用、教学方法的选择、学生学法的指导和教学过程的设计等几个方面来向大家做一简要介绍。
一、教材介绍这门课所使用的教材是同济大学出版社出版的面向21世纪普通高等教育规划教材《高等数学》的下册，该教材内容符合教学大纲的要求，知识系统、体系结构清晰、例题丰富、语言通俗易懂，讲解透彻难度适中，在上册一元函数微积分的基础上进一步较系统地介绍多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数和微分方程等高等数学的知识。
二、课程介绍1、地位和作用高等数学在当今社会的各个领域都有广泛的应用，因而“高等数学”是理工类本科教学重要基础课之一，通过本课程的教学，旨在使学生掌握该课程的基本概念、基本理论和方法，提高学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力，为学生继续学习后续相关专业课奠定必要的数学基础。
2、教学目标（1）、理解多元函数的概念、会求二元函数的偏导数和全微分（2）、能将多元函数应用到几何上，会求极值（3）、理解多元函数的概念、性质，掌握二重积分的计算方法（4）、掌握三重积分、曲线积分和曲面积分的计算方法（5）、理解无穷级数的概念、性质，掌握判别级数收敛性的方法（6）、会将函数展开成幂级数或傅里叶级数（7）、理解微分方程的概念，掌握求微分方程的解的方法3、教学重点和难点（1）、求二元函数的偏导数、极值（2）、求二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分（3）、无穷级数的收敛性判别、将函数展开成幂级数或傅里叶级数（4）、解微分方程二、教学方法科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。
数学是本科教学中的重要基础课，是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。
根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，我主要采取教师启发讲授、适当点拨和学生探究学习的教学方法。
教学过程中，教师可以系统的传授知识，充分发挥教师的主导作用，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，在思考中体会数学图象变换过程中所蕴涵的数学方法，使之获得内心感受，特别是通过多媒体课件的演示，直观展示函数图象的变化过程，激发学生的兴趣，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力，突出学生的主体地位．除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。
三、学生学法指导我们常说：“授人以鱼不如授人以渔”，因而在教学中要特别重视学法的指导。
转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。
我以教学大纲和课程标准为指导，辅以多媒体手段，结合师生共同讨论、归纳，着重引导学生学会探索研究的学习方法。
探究式学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程，在探究的过程中激发学生的好奇心和创新意识，在探究过程中学习科学研究的方法,在探究过程中培养坚韧不拔的精神。
学生掌握了这种学习方法后，对学生终生学习都有积极意义。
四、教学过程的设计为完成本门课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为六个阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握求法，适当延展；适当练习，巩固新课；归纳小结，提高认识；作业布置，巩固提高。
具体过程如下：1、创设情境，引入课题在学生原有的知识体系上,通过类比逐步引导学生从一元函数的极限、连续、求导和积分到多元函数的的极限、连续、求导和积分过渡,发现两者之间的内在联系,这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。
2、归纳探索，形成概念由引例得出新课的知识点，如在讲多元函数积分的概念上，由两个引例求曲顶柱体的体积和平面薄片的质量的讲解，归纳总结出多元函数积分的概念。
3、掌握求法，适当延展通过例题的讲解，让学生掌握多元函数微积分的计算方法。
在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。
在课本例题的基础上，适当将题目引申,使例题的作用更加突出，有利于学生对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效果。
4、适当练习，巩固新课针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的，具体做法是课堂提问和让学生到黑板上解题。
5、归纳小结，提高认识知识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。
6、作业布置，巩固提高：根据学生的不同层次分为必做和选做,由学生自主选择“二重积分”的教学方案的设计经济与数学系方政蕊二重积分是《高等数学》下册第六章第一节的内容。
在此之前，学生已学习了定积分,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容在高等数学中，占据着重要地位，以及为其他学科和今后专业课程的学习打下基础。
本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立了如下的教学目标、教学重点和教学难点:一、教学目标：1、理解二重积分的概念与性质2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分二、教学重点与难点：二重积分的计算三、教学准备：1、教师：查看参考书、编写教案或课件制作2、学生：课前预习四、教学时间：2课时五、教学方案设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学环节设计为四个阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握求法，适当延展；归纳小结，提高认识，具体过程如下：1、创设情境，引入课题长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了。
事实上，数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。
概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本节的教学中，我从具体的两个实例引出概念：（1）、曲顶柱体的体积先用两分钟时间，让学生回忆学习定积分时求曲边梯形面积的方法，再利用类比的方法讲解求曲顶柱体的体积。
（2）、平面薄片的质量用同样的方法求出平面薄片的质量2、归纳探索，形成概念把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要一步，以上两个实例可以抽象地给出二重积分的定义，从而引出二重积分的概念。
（1）、对概念作进一步解释，并与定积分的概念作比较，加深学生的印象，最后强调几个要点。
（2）、给出二重积分的性质，使学生能更深刻地理解二重积分。
3、掌握求法，适当延展（1）、直角坐标系下二重积分的求法在讲二重积分的计算前，先让学生回顾定积分的基本公式和计算方法，提问两位学生，得出结论。
再重点介绍二重积分的计算方法，对于不同的区域要用不同的积分次序进行积分，详细讲解两种区域的特点，推导出计算二重积分的公式。
（2）、讲解例题选择典型而具有代表性的例题3个，一个的积分区域是X-型，一个既是X-型又是Y-型，一个既不是X-型也不是Y-型，使学生掌握不同积分区域的二重积分的计算，并及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。
（3）、极坐标下二重积分的求法很多学生没有学过极坐标，所以先对极坐标作简单的介绍，再讲解用极坐标求二重积分，通过直角坐标与极坐标的变换得出公式，并强调在什么情况下选择用极坐标求二重积分。
（4）、讲解例题选择例题2个，一个是既可以用直角坐标计算又可以用极坐标计算，另一个是只能用极坐标计算的例子，经过对比，使学生了解有时用极坐标计算二重积分会减少很多计算量。
（5）、能力训练为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我特地设计了一组即时训练题，并且把课本的例题熔入即时训练题中，随机抽两位学生到黑板上做课堂练习，再作评讲，使学生能巩固所学知识与解题思想方法。
（6）、变式延伸，进行重构重视课本例题，适当对题目进行引申,使例题的作用更加突出，有利于学生对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效果。
4、归纳小结，提高认识提出问题：这节课你们学到了什么？鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。
以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。
5、布置作业根据学生的不同层次分为必做和选做,由学生自主选择。
六、板书设计好的板书就像一份微型教案，此板书力图全面而简明的将授课内容传递给学生，清晰直观，便于学生理解和记忆，理清文章脉络。
我在上这节课时较注重板书的设计，将定义、性质和计算方法写在黑板的左边，例题和讲解写在黑板的右边，特别是有的例题没有马上擦去，保留到下一个例子讲完，这样就可以进行对比。
下面附上板书设计与详细教案：附1：板书设计附2：教案第一节 二重积分教学目标：1、理解二重积分的概念与性质2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分 教学重点与难点：二重积分的计算 一、二重积分的概念 1. 引例1：曲顶柱体的体积设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面),(y x f z =(0),(≥y x f )，称这种立体为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积V 可以这样来计算:(1) 用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ∆，2σ∆， ，n σ∆，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1∆Ω，2∆Ω， ，n ∆Ω。
（假设i σ∆所对应的小曲顶柱体为i ∆Ω,这里i σ∆既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ∆Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值）。
从而∑=∆Ω=ni iV 1 图9-1-1(2) 由于),(y x f 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。
因此,可以将第i 个小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是i i i i f σηξ∆≈∆Ω),(，)),(i i i σηξ∆∈ 整个曲顶柱体的体积近似值为∑=∆≈ni i i i f V 1),(σηξ(3) 为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。
为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
