第21届华杯赛初赛试卷及答案解析(小高组)

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题B （小学高年级组） （时间: 2016年3月12日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10分, 共80分） 1. 计算: =-÷⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4.213453611753971 . 2. 如右图, 30个棱长为1的正方体粘成一个四层的立体, 这个立体的表面积等于 . 3. 有一片草场, 10头牛8天可以吃完草场上的草; 15头牛, 如果从第二天开始每天少一头, 可以5天吃完. 那么草场上每天长出来的草够 头牛吃一天. 4. 如右图所示, 将一个三角形纸片ABC 折叠, 使得点C 落在三角形ABC 所在平面上, 折痕为DE . 已知︒=∠74ABE , ︒=∠70DAB , ︒=∠20CEB , 那么CDA ∠等于 . 5.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发, 背向而行. 已知甲骑行一圈的时间是70分钟, 出发后第45分钟甲、乙二人相遇, 那么乙骑行一圈的时间是 分钟. 6.如右图, 正方形ABCD 的边长为5, E , F 为正方形外两点,满足4==CF AE , 3==DF BE , 那么=2EF .7. 如果832⨯能表示成k 个连续正整数的和, 则k 的最大值为 .8. 现有算式: 甲数□乙数○１, 其中□, ○是符号+, -, ⨯,÷中的某两个. 李雷对四组甲数、乙数进行了计算, 结果见右表, 那么, A ○=B .学校____________姓名_________ 参赛证号密封线 内请勿答题第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B(小学高年级组)二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++201624232201613121 201620152016201420152014201635343+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++ . 10.商店春节促销, 顾客每次购物支付现金时, 每100元可得一张价值50元的代金券. 这些代金券不能兑成现金, 但可以用来购买商品, 规则是: 当次购物得到的代金券不能当次使用; 每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半. 李阿姨只有不超过1550元的现金, 她能买到价值2300元的商品吗? 如果能, 给她设计一个购物方案; 如果不能, 说明理由.11. 如右图, 等腰直角三角形ABC 与等腰直角三角形DEF 之间的面积为20, 2=BD , 4=EC , 求三角形ABC 的面积.12. 试找出这样的最大的五位正整数, 它不是11的倍数, 通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数.三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）13. 如右图, 正方形ABCD 的面积为1, M 是CD 边的中点, E , F 是BC 边上的两点, 且FC EF BE ==. 连接AE , DF 分别交BM分别于H , G . 求四边形EFGH 的面积.14. 现有下图左边所示的“四连方”纸片五种, 每种的数量足够多. 要在如下图右边所示的55⨯方格网上, 放“四连方”, “四连方”可以翻转, “四连方”的每个小方格都要与方格网的某个小方格重合, 任意两个“四连方”不能有重叠部分. 那么最少放几个“四连方”就不能再放了?。

华杯赛初赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 一个数的平方是16，那么这个数是多少？A. 4B. -4C. 4或-4D. 2答案：C3. 一个圆的周长是2πr，那么它的直径是多少？A. πrB. 2rC. rD. 2πr答案：B4. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) + (2x^2 + 3x - 4)A. 5x^2 + x - 3B. 5x^2 + x + 5C. 5x^2 + x - 5D. 5x^2 + x + 3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个数的立方是27，那么这个数是______。

答案：32. 一个三角形的两个内角分别是40度和60度，那么第三个内角是______度。

答案：803. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是______或______。

答案：5或-54. 一个数除以2的结果是3，那么这个数是______。

答案：6三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。

解答：设数列的首项为a1=2，公差为d=5-2=3，根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入n=10，得a10=2+(10-1)*3=29。

答案：292. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长是10厘米，那么宽是多少厘米？解答：设宽为x厘米，那么长就是2x厘米。

根据题意，2x=10，解得x=5。

答案：5厘米四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

证明：设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c。

根据勾股定理，有a^2 + b^2 = c^2。

答案：证明完毕。

2. 证明：如果一个数的平方等于它的相反数，那么这个数只能是0。

证明：设这个数为x，那么x^2 = -x。

将方程重写为x^2 + x = 0，提取公因式得x(x + 1) = 0。

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将 表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．算式的结算中含有（ ）个数字 0． A.2017 B.2016C.2015D.2014【答案】C【解析】(102016- 1) 2 = (102016- 2) ⨯ 102016+ 1 = 999...998 000 (001)2015 个2015个2．已知 A ,B 两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从 A , B 两地出发，相向而行，在距 A 地140 米处相遇；如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距 B 地 180 米．那么乙原来的速度是每秒（）米．A. 2 3B. 2 4D. 31 C.355 5【答案】D【解析】设甲速 v 1 乙速 v 2⎧ v 1140 7 ⎧ 14⎪ = = v 1 = v 300 -140 8 ⎪5⎪2 ⎨v1= 300 -180 = 2解得 ⎨= 16⎪⎪v⎪1803⎪ 25⎩v 2 +1 ⎩3．在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数， 则这个七位数最大是（ ）A.9981733B.9884737C.9978137D.9871773【答案】B【解析】1001 = 11⨯13 ⨯7 ，ACD 前三位都不是 11 或 13 的倍数988 = 13 ⨯76 ， 884 = 13 ⨯68， 847 = 11⨯77 ， 473 = 11⨯43 ， 737 = 11⨯674．将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排行．A.1152B.864C.576D.288【答案】A【解析】1 + 2 + 3 + ... + 7 = 28 ，8的两边之和都是14有(1247)8(356), (1256)8(347), (1346)8(257), (2345)8(356) 四种分法共有 2 ⨯ 4 ⨯ 4!⨯ 3! =1152 种排法5．在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB=6，CD=14，E A B∠AEC 是直角， CE = CB ，则 AE2等于（） D CA.84B.80C.75D.64【答案】A【解析】EA BD G F CAG = BF = h ， CG =10， CF =4AC 2= AG 2+ CG 2= h2+100CE 2= BC 2= BF 2+ CF 2= h2+16AE 2= AC 2- CE2=846．从自然数 1，2，3，…，2015，2016 中，任意取n个不同的数，要求总能在这n个不同的数中找到 5 个数，它们的数字和相等．那么n的最小值等于（）A.109B.110C.111D.112【答案】B【解析】1 到 2016 中，数字和最大 28。

999...998000 (001)v ⎪ = 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将 表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．算式 999...9×999...9 的结算中含有（）个数字 0． 2016个2016个A.2017B.2016C.2015D.2014【答案】C【解析】(102016 -1)2 = (102016 - 2) ⨯102016 +1 =2015个2015个2．已知 A ,B 两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从 A , B 两地出发，相向而行，在距 A 地140 米处相遇；如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距 B 地 180 米．那么乙原来的速度 是每秒（ ）米．3 A. 254 B. 25C.31 D. 35【答案】D【解析】设甲速 v 1 乙速 v 2⎧ v 1 = 140 = 7 ⎧v = 14⎪ v 2 ⎨ 300 -140 8 ⎪ 1 5 解得 ⎨⎪ v 1 = 300 -180 = 2 ⎪ 162 ⎪⎩ v 2 +1180 3 ⎩⎪ 5 3．在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数， 则这个七位数最大是（）A.9981733B.9884737C.9978137D.9871773【答案】B【解析】1001 =11⨯13⨯7 ，ACD 前三位都不是 11 或13 的倍数 988 =13⨯76 ， 884 =13⨯68， 847 =11⨯77 ， 473 =11⨯ 43， 737 =11⨯674．将1，2，3，4，5，6，7，8 这8 个数排成一行，使得8 的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排行．A.1152B.864C.576D.288【答案】A【解析】1+2 +3+... +7=28 ，8 的两边之和都是14有(1247)8(356),(1256)8(347),(1346)8(257),(2345)8(356) 四种分法共有2⨯4⨯4!⨯3! =1152 种排法E 5．在等腰梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，AB =6 ，CD =14 ， A B ∠AEC 是直角，CE =CB ，则AE2 等于（）D CA.84B.80C.75D.64【答案】A【解析】AG =BF =h ，CG =10 ，CF = 4AC2 =AG2 +CG2 =h2 +100CE2 =BC2 =BF 2 +CF 2 =h2 +16AE2 =AC2 -CE2 =846．从自然数1，2，3，…，2015，2016 中，任意取n 个不同的数，要求总能在这n 个不同的数中找到5 个数，它们的数字和相等．那么n 的最小值等于（）A.109B.110C.111D.112【答案】B【解析】1 到2016 中，数字和最大28。

初赛试卷（小学高年级组）一、选择题(每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1.两个有限小数的整数部分分别是7和10，那么这两个有限小数的积的整数部分有（）种可能的取值．（A）16 （B）17 （C）18 （D）192.小明家距学校，乘地铁需要30分钟，乘公交车需要50分钟．某天小明因故先乘地铁，再换乘公交车，用了40分钟到达学校，其中换乘过程用了6分钟，那么这天小明乘坐公交车用了（）分钟．（A）6 （B）8 （C）10 （D）123.将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成右图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．（A）14 （B）16 （C）18 （D）204.请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是（）．（A）2986 （B）2858 （C）2672 （D）2754CD BA5. 在序列20170……中，从第5个数字开始，每个数字都是前面4个数字和的个位数，这样的序列可以一直写下去．那么从第5个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是（ ）． （A ）8615（B ）2016（C ）4023（D ）20176. 从0至9中选择四个不同的数字分别填入方框中的四个括号中，共有（ ）种填法使得方框中话是正确的．（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4二、填空题 (每小题 10分, 共40分)7. 若15322.254553923444741A ⎛⎫-⨯÷+=⎪⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，那么A 的值是________． 8. 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1—5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有 ________种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．9. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为CD 的中点，AE 和BD 的交点为F ，AC 和BE 的交点为H ，AC 和BD 的交点为G ，四边形EHGF 的面积是15平方厘米，则ABCD 的面积是__________平方厘米．10. 若2017,1029与725除以d 的余数均为r ，那么d r -的最大值是________．第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B （小学高年级组）一、填空题（每小题10份，共80分）1. 计算：8184157.628.814.48012552⨯+⨯-⨯+=________．2. 甲、乙、丙、丁四人共植树60棵．已知，甲植树的棵数是其余三人的二分之一，乙植树的棵数是华庚金 杯其余三人的三分之一，丙植树的棵数是其余三人的四分之一，那么丁植树________棵．3. 当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成________度的角．4. 某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小为________．5. 贝塔星球有七个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国．对于一种这样的星球局势，共可以组成________个两两都是友国的三国联盟．6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是________，最小的是________．7. 见右图，三角形ABC 的面积为1，3:1:=OB DO ，5:4:=OA EO ，则三角形DOE 的面积为________．8. 三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么这3个数之积的末尾3位数字有________种可能数值．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. 将1234567891011的某两位数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由．10. 如右图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切走一块长、宽、高为,5,y x 的长方体（,x y为整数），余下部分的体积为120，求x 和y ．yx515411. 圆形跑道上等距插着2015面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了23圈，乙跑了13圈．不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？12. 两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后多得2分者胜．两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局并且赢得了比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13. 如右图所示，点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，且2:1:=MC DM ，四边形EBFC为平行四边形，FM 与BC 交于点G ．若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13cm 2，求平行四边形ABCD 的面积．14. 设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数．如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少?第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题C （小学高年级组） （时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn=+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）.（A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）40292. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情:最终,（ ）得到的糖水最甜.（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米, 下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟. （A ）22 （B ）20 （C ）17 （D ）164. 已知正整数A 分解质因数可以写成γβα532⨯⨯=A , 其中α、β、γ 是自然数. 如果A 的二分之一是完全平方数, A 的三分之一是完全立方数, A 的五分之一是某个自然数的五次方, 那么γβα++ 的最小值是（ ）.（A ）10 （B ）17 （C ）23 （D ）315. 今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（ ）个三角形.（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）126. 从1～11这11个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有（ ）个.①其中必有两个数互质;②其中必有一个数是其中另一个数的倍数;③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.（A）3 （B）2 （C）1 （D）0二、填空题(每小题10 分, 满分40分)7.有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4个人至少买了_______种书..8.每天, 小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD （如右图）. 已知AB:BC:CD = 1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4. 那么小明上学与放学回家所用的时间比是.9.黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是.10.如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面积是.第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级组）（时间: 2015年12月12日10:00—11:00）一、选择题 (每小题10分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 算式个个2016201699999999 的结果中含有（ ）个数字0． （A ）2017 （B ）2016 （C ）2015 （D ）20142. 已知A , B 两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A , B 两地出发, 相向而行, 在距A 地140米处相遇; 如果乙每秒多行1米, 则两人相遇处距B 地180米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米． （A ）532 （B ）542（C ）3 （D ）513 3. 在一个七位整数中, 任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数, 则这个七位数最大是（ ）．（A ）9981733 （B ）9884737 （C ）9978137 （D ）98717734. 将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8这8个数排成一行, 使得8的两边各数之和相等, 那么共有（ ）种不同的排法．（A ）1152 （B ）864 （C ）576 （D ）2885. 在等腰梯形ABCD 中, AB 平行于CD , 6=AB , 14=CD , AEC ∠是直角, CE CB =, 则2AE 等于（ ）． （A ）84 （B ）80 （C ）75 （D ）646. 从自然数1,2,32015,2016，，中, 任意取n 个不同的数, 要求总能在这n 个不同的数中找到5个数, 它们的数字和相等. 那么n 的最小值等于（ ）．（A ）109 （B ）110 （C ）111 （D ）112 二、填空题 (每小题 10 分, 共40分)7. 两个正方形的面积之差为2016平方厘米, 如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米, 那么满足上述条件的所有正方形共有 对．8. 如下图, O , P , M 是线段AB 上的三个点, AB AO 54=, AB BP 32=, M 是AB 的中点, 且2=OM , 那么PM 长为 ．9. 设q 是一个平方数. 如果2-q 和2+q 都是质数, 就称q 为P 型平方数. 例如, 9就是一个P 型平方数．那么小于1000的最大P 型平方数是 ．10. 有一个等腰梯形的纸片, 上底长度为2015, 下底长度为2016. 用该纸片剪出一些等腰梯形, 要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上, 剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角, 则最多可以剪出 个同样的等腰梯形．第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A（小学高年级组）一、选择题1、计算：19+⨯+-=[(0.8)24]7.6(___)514（A）30 （B）40 （C）50 （D）602、以平面上4个点为端点连接线段，形成的图形中最多可以有（）个三角形。