第十九届“华杯赛”决赛小高组试题D答案

第十九届华杯赛决赛试题选解（一）【1】(小中组第1题)用□和○表示两个自然数，若□×○＝42，则(□×4)×(○÷3)＝ .解法一：联想乘法口诀：6×7＝42，(□×4)×(○÷3)＝(7×4)×(6÷3)＝28×2＝56.解法二：原式＝(□×○)×4÷3＝42÷3×4＝14×4＝56小满分教练评论：⑴题目告知“用□和○表示两个自然数”，这里没有明确说这是两个一位数，所以解答者的做法是缺乏依据的，从逻辑上讲，犯了“以偏概全”的错误。

如果一定要对□和○给出数值，再进行计算，那就应该考虑到它们所有可能的取值，然后逐一计算，最后加以综合再给出结论。

⑵解法一限于小中组学生尚未学习有余数的除法和分数，对□和○给出数值，就只限于用○表示两个自然数中那个能被3整除的数。

⑶解法二运用了结合律、交换律和添去括号的法则。

反映出选手对算律和法则的理解深刻，掌握得比较熟练。

运用解法二既简捷又深刻地从本质上解决了答案的唯一性。

此为本题考查的核心。

⑷由于本题是一道填空题，所以从卷面上无法看出选手解答是用的什么方法。

【2】(小中组第2题)计算：10×9×8＋7×6×5＋6×5×4＋3×2×1－9×8×7－8×7×6－5×4×3－4×3×2＝.解法一：原式＝720＋210＋120＋6－504－336－60－24＝132解法二：原式＝(10×9×8－9×8×7)＋(6×5×4－5×4×3)－(8×7×6－7×6×5)－(4×3×2－3×2×1)＝3×9×8＋3×5×4－3×7×6－3×3×2＝3×(72＋20－42－6)＝3×44＝132小满分教练评论：⑴解法一是按照常规进行计算。

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级A组）一、选择题(每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1.平面上的四条直线将平面分割成八个部分, 则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．（A）0（B）2（C）3（D）42.某次考试有50道试题, 答对一道题得3分, 答错一道题扣1分, 不答题不得分．小龙得分120分, 那么小龙最多答对了（）道试题．（A）40（B）42（C）48（D）503.用左下图的四张含有4个方格的纸板拼成了右下图所示的图形. 若在右下图的16个方格分别填入1, 3, 5, 7（每个方格填一个数）, 使得每行、每列的四个数都不重复, 且每个纸板内四个格子里的数也不重复, 那么A, B, C, D四个方格中数的平均数是（）．．（A）4（B）5（C）6（D）74.小明所在班级的人数不足40人, 但比30人多, 那么这个班男、女生人数的比不可能是（）．（A）2:3（B）3:4（C）4:5（D）3:7第 1 页共2页5. 某学校组织一次远足活动, 计划 10 点 10 分从甲地出发, 13 点 10 分到达乙地, 但出发晚了 5 分钟, 却早到达了 4 分钟. 甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的,那么到达丙地的时间是（）．（A ）11 点 40 分（B ）11 点 50 分 （C ）12 点（D ）12 点 10 分6. 如右图所示,AF = 7 cm,DH = 4 cm,BG = 5 cm,AE =1 cm. 若正方形 ABCD 内的四边形 EFGH 的面积为 78 cm 2, 则正方形的 边长为（）cm.（A ）10（B ）11（C ）12（D ）13二、填空题 (每小题 10 分, 满分 40 分)7. 五名选手 A, B, C, D, E 参加“好声音”比赛, 五个人站成一排集体亮相. 他们胸前有每人的选手编号牌, 5 个编号之和等于 35．已知站在 E 右边的选手的编号和为 13；站在 D 右边的选手的编号和为 31；站在 A 右边的选手的编号和为 21；站在 C 右边的选手的编号和为 7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是_____．8. 甲乙同时出发, 他们的速度如下图所示, 30 分钟后, 乙比甲一共多行走了 ________米．米/分米/分1001008080606040402020分分5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30甲乙9. 四个黑色 1×1×1 的正方体和四个白色 1×1×1 的正方体可以组成________ 种不同的 2×2×2 的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种情况）．10. 在一个圆周上有 70 个点, 任选其中一个点标上 1, 按顺时针方向隔一个点的点上标 2, 隔两个点的点上标 3, 再隔三个点的点上标 4, 继续这个操作, 直到 1, 2,3, …, 2014 都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数, 那么标记了 2014 的点上标记的最小整数是________．第 2 页 共 2 页。

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A （小学高年级组）一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）1. 如右图, 边长为12米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A , B , C , D 处各有一根木桩, 且AB =BC =CD =3米. 现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上. 为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在 处的木桩上. 【考点】圆与扇形 【答案】B【解析】拴在B 处活动区域最大，为43圆。

2. 在所有是20的倍数的正整数中, 不超过2019并且是14的倍数的数之和是 . 【考点】最小公倍数，等差数列 【答案】14700【解析】[]14014,20=，141402014=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，()1470014321140=+++⨯Λ.3. 从1～8这八个自然数中任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有 种. 【考点】计数 【答案】20【解析】解法一：枚举法（1）三奇数：135、137、157、357，4个； （2）三偶数：246、248、268、468，4个；（3）两奇一偶：136、138、158、147、358、257，6个； （4）两偶一奇：247、258、146、148、168、368，6个； 共4+4+6+6=20种.解法二：排除法1~8中任取三个数，有5638 C 种不同的取法其中三个连续数有6种（123~678）两个连续数有5+4+4+4+4+4+5=30种（如124、125、126、127、128等） 则满足题意的取法有56—6—30=20种.4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为 平方厘米.【考点】格点与面积 【答案】56.5【解析】如图（见下页），通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米。

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D （小学高年级组）（时间: 2014 年 4 月 12 日 10:00～11:30）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）1. 如右图, 边长为 12 米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边 A ,B ,C ,D 处各有一根木桩, 且 AB = BC = CD = 3 米. 现用长 4 米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上（不计打结处）. 为 使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在处的木桩上.2. 在所有是 20 的倍数的自然数中, 不超过 3000 并且是 14 的倍数的数之和是.3. 从 1～8 这八个自然数中, 任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有种.4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为平方厘米.5.如果 11○< □7< 54成立, 则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为.6. 如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数 1～7 分别填到七个部分中, 要求每个圆内的四个数字的和都相等. 那么和的最大值是.7. 学校组织 482 人去郊游, 租用 42 座大巴和 20 座中巴两种汽车. 如果要求每人一座且每座一人, 则有种租车方案.8. 长为 4 的线段 AB 上有一动点 C , 等腰三角形 ACD 和等腰三角形 BEC 在过AB 的直线同侧, AD = DC , CE = EB , 则线段 DE 的长度最小为.二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 把 n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上, 拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形, 并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上. 下图给出了 n = 6 时所有的不同放置方法, 那么 n = 8 时有多少种不同放置方法?10. 有一杯子装满了浓度为 15% 的盐水. 有大中小铁球各一个, 它们的体积比为10 : 5 : 3 . 首先将小球沉入盐水杯中, 结果盐水溢出 10%, 取出小球; 其次把中球沉入盐水杯中, 又将它取出; 接着将大球沉入盐水杯中后取出;最后在杯中倒入纯水至杯满为止. 此时杯中盐水的浓度是多少？11. 清明节, 同学们乘车去烈士陵园扫墓. 如果汽车行驶 1 个小时后, 将车速提高五分之一, 就可以比预定时间提前 10 分钟赶到; 如果该车先按原速行驶 60 千米, 再将速度提高三分之一, 就可以比预定时间提前 20 分钟赶到. 那么从学校到烈士陵园有多少千米？12. 如右图 , 在三角形 ABC 中 , AF = 2BF , CE = 3AE ,CD = 2BD . 连接 CF 交 DE 于 P 点, 求 DPEP的值.三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）13. 在右边的算式中, 字母 a, b, c, d 和“□”代表十个数字 0 到 9 中的一个, 其中 a, b, c, d 四个字母代表不同的数字, 求 a, b, c, d 代表的数字之和.a5 b+ 4c d□ □ □□ - □ □ □214.从连续自然数1, 2, 3,…, 2014中取出n个数,使这n个数满足:任意取其中两个数, 不会有一个数是另一个数的 7 倍. 试求n的最大值, 并说明理由.。

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）如图，边长为12米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，且AB＝BC＝CD＝3米，现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在处的木桩上．2．（10分）在所有是20的倍数的自然数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是．3．（10分）从1～8这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有种．4．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为平方厘米．5．（10分）如果＜＜，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为．6．（10分）如图，三个圆交出七个部分．将整数1～7分别填到七个部分中，要求每个圆内的四个数字的和都相等．那么和的最大值是．7．（10分）学校组织482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴两种汽车．如果要求每人一座且每座一人，则有种租车方案．8．（10分）平面上的五个点A，B，C，D，E 满足：AB＝16 厘米，BC＝8厘米，AD＝10厘米，DE＝2厘米，AC＝24厘米，AE＝12厘米．如果三角形 EAB 的面积为 96平方厘米，则点A到CD的距离等于厘米．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上．如图给出了n＝6时所有的不同放置方法，那么n＝8 时有多少种不同放置方法？10．（10分）有一个杯子装满了浓度为15%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为10：5：3，首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出10%，取出小球，其次把中球沉入盐水杯中，又将它取出，接着将大球沉入盐水杯中后取出，最后在杯中倒入纯水至杯满为止，此时杯中盐水的浓度是多少？11．（10分）清明节同学们乘车去烈士陵园扫墓，如果汽车行驶1个小时后将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前10分钟赶到；如果该车先按原速行驶60千米，再将速度提高三分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少千米？12．（10分）如图，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝2BD，连接CF交DE于P点，求的值．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）在右边的算式中，字母a，b，c，d和“□”代表十个数字0到9中的一个，其中a，b，c，d四个字母代表□□□□不同的数字，求a，b，c，d代表的数字之和．14．（15分）从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n个数，使这n个数满足：任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的7倍．试求n的最大值，并说明理由．2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组B卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）如图，边长为12米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，且AB＝BC＝CD＝3米，现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在 B 处的木桩上．【分析】分别把A、B、C、D这四个点为圆心的扇形面积算出来，再进行比较即可选择出正确答案．【解答】解：①S A＝π×42+×π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；②S B＝π×42＝12π（平方米）；③S C＝π×42+×π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；④S D＝π×42＝8π（平方米），π＜8.25π＜12π，所以为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在B处的木桩上．故答案为：B．2．（10分）在所有是20的倍数的自然数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是32340 ．【分析】在所有20的倍数中不超过2014并且是14的倍数最小是140，最大是2940，共21个，然后根据“高斯求和”的方法解答．【解答】解：20＝2×2×514＝2×720和14的最小公倍数是：2×2×5×7＝1403000÷140≈21.4140×21＝2940所以在所有20的倍数中不超过3000并且是14的倍数最小是140，最大是2940，共21个，（140+2940）×21÷2＝3080×21÷2＝32340．答：在所有是20的倍数的自然数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是32340．故答案为：32340．3．（10分）从1～8这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有20 种．【分析】首先取3个所有的方法有＝56种连续的有两个连续另外一个不连续，如果这两个连续的数在两端，是12或78，则各有5种不同的方法，如：124，125，126，127，128，如果这两个两个数在中间，是23、34、45、56、67，则各有4种不同的方法，如：235，236，237，238；这样一共有5×2+5×4种方法；三个连续的有123，234，345，456，567，678，6种情况；用总种数减去有连续自然数的种数，就是符合要求的数．【解答】解：＝＝56（种）有两个连续数的可能是：5×2+5×4＝30（种）有三个连续的数的可能有6种：56﹣30﹣6＝20（种）答：没有连续自然数取法为20种．故答案为：20．4．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为56 平方厘米．【分析】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面积，利用剪切和拼接的性质求得每部分的面积，最后求和．【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割，通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）故答案是：56．5．（10分）如果＜＜，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为77 ．【分析】将与，和都通分，然后根据分数大小比较的方法以及不等式的性质确定“○”与“□”的和的最大值即可解决问题．【解答】解：＜通分为：所以，4×□＞35，则□≥9；与通分为：所以，○×□＜77，则，○×□的乘积最大为76，只要使“○”与“□”之和最大，应当使两数的差最大，76＝1×76，所以，当○＝1，□＝76时，两数之和最大，即，○+□＝1+76＝77．答：“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为 77．故答案为：77．6．（10分）如图，三个圆交出七个部分．将整数1～7分别填到七个部分中，要求每个圆内的四个数字的和都相等．那么和的最大值是19 ．【分析】因为使得每个圆内的四个数字的和都相等，且和最大值时，7最大，就把7写在最中间，还剩的3个较大数字6、5、4，填在两圆公共的部分，最后剩下的1、2、3；1与7、6、5结合；2与7、6、4结合；3与7、5、4结合，那么每个圆内的四个数字的和都是19，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，所以和的最大值是 19．故答案为：19．7．（10分）学校组织482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴两种汽车．如果要求每人一座且每座一人，则有 2 种租车方案．【分析】设42座大巴x辆，20座中巴y辆，依题意有：42x+20y＝482，求方程的整数解，即得答案．【解答】设42座大巴x辆，20座中巴y辆，依题意有：42x+20y＝482，两边除以2有：21x+10y＝24110y个位数字是0，所以21x的个位数字是1，x只能取1或11，x＝1时，y＝22；x＝11时，y＝1．所以有2种租车方案．达：有2钟租车方案．8．（10分）平面上的五个点A，B，C，D，E 满足：AB＝16 厘米，BC＝8厘米，AD＝10厘米，DE＝2厘米，AC＝24厘米，AE＝12厘米．如果三角形 EAB 的面积为 96平方厘米，则点A到CD的距离等于 4.62 厘米．【分析】确定五个点的位置关系．AB+BC＝16+8＝24＝AC，所以，A、B、C 在一条直线，同样D在A、E之间；因为△EAB面积是24平方厘米，而只有角A是90度直角时，其面积才是，所以，角A是直角；则△CAD也是直角三角形，根据勾股定理可以求出CD ＝13厘米；设：点A到CD的距离为X（也就是CD边上的高），列出方程求出X即可．【解答】解：按照题意，可以得知，ABC是在一条直线上，否则形不成AC＝12厘米，同样，ADE也在一条直线上．因为：△EAB面积是24平方厘米，而只有角A是90度直角时，其面积才是：AB×（AD+DE）÷2＝8×6÷2＝24，所以，角A是直角．A是直角，则△CAD也是直角三角形，根据勾股定理CD×CD＝AD2+AC2，解得CD＝13厘米．设：点A到CD的距离为X（也就是CD边上的高）列出方程：13×X/2＝5×12÷2故：X≈4.62厘米二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上．如图给出了n＝6时所有的不同放置方法，那么n＝8 时有多少种不同放置方法？【分析】可以分层讨论各种可能的情况，然后求和汇总，由于n＝8时，最多只能分3层放置，故不难求得总共的不同的放置方法．【解答】解：根据分析，分层数不同讨论：①层数为2时，7+1有6种；6+2有4种；5+3有2种；②层数为3时，5+2+1有3种；4+3+1有2种；故总共只有：6+4+2+3+2＝17种．故答案是：17．10．（10分）有一个杯子装满了浓度为15%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为10：5：3，首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出10%，取出小球，其次把中球沉入盐水杯中，又将它取出，接着将大球沉入盐水杯中后取出，最后在杯中倒入纯水至杯满为止，此时杯中盐水的浓度是多少？【分析】溢出水量实际就是大球的体积，即整杯盐水的10%×＝，所以倒满水后浓度变为，据此解答即可．【解答】解：10%×＝，＝＝10%，答：此时杯中盐水的浓度是10%．11．（10分）清明节同学们乘车去烈士陵园扫墓，如果汽车行驶1个小时后将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前10分钟赶到；如果该车先按原速行驶60千米，再将速度提高三分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少千米？【分析】先求出行驶1个小时后的预定时间，所用的时间就是预定时间的1÷（1+）＝，则预定时间是10÷（1﹣）＝60分钟，所以全程的预定时间就是1小时+60分钟＝120分钟；再求出所用时间，所用时间就是预定时间的1÷（1+）＝，即提前120×（1﹣）＝30分钟，最后求出60千米所对应的分率即1﹣，解答即可．【解答】解：如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，则行驶1个小时后所用的时间就是预定时间是1÷（1+）＝，则预定时间是10÷（1﹣）＝60分钟，所以全程的预定时间就是1小时+60分钟＝120分钟；如果该车先按原速行驶60千米，再将速度提高三分之一，则所用时间就是预定时间的1÷（1+）＝，即提前120×（1﹣）＝30分钟，但实际却提前了20分钟，说明有20÷30＝的路程提高了速度，60÷（1﹣）＝60÷＝180（千米），答：从学校到烈士陵园有180千米．12．（10分）如图，在三角形ABC中，AF＝2BF，CE＝3AE，CD＝2BD，连接CF交DE于P点，求的值．【分析】如图，连接DF，根据已知推出△BFD≌△BAC，推出∠BDF＝∠BCA，求出DF∥CA，＝，求出＝，＝，根据平行线分线段成比例定理得出即可．【解答】解：连接DF，因为AF＝2BF，CD＝2BD，所以＝＝，因为∠B＝∠B，所以△BFD≌△BAC，所以∠BDF＝∠BCA，所以DF∥CA，＝，因为CE＝3AE，所以＝，所以＝，因为DF∥CA，所以＝＝．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）在右边的算式中，字母a，b，c，d和“□”代表十个数字0到9中的一个，其中a，b，c，d四个字母代表□□□□不同的数字，求a，b，c，d代表的数字之和．【分析】首先分析四位数减去三位数的结果是个位数，那么情况是可以枚举出来的，分情况排除即可．【解答】解：依题意可知：四位数﹣三位数＝2只能有2种可能，1000﹣998＝2或者1001﹣999＝2．那么要求5+c＝9，a+4＝9．所以a＝5，c＝4．所以b+d的结果可以为10也可为11．那么a+b+c+d的结果为19或20．综上所述答案为19或20．14．（15分）从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n个数，使这n个数满足：任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的7倍．试求n的最大值，并说明理由．【分析】首先将这些数分组4个数的有5组：{1，7，49，343}，{2，14，98，686}，{3，21，147，1029}{4，28，196，1372}{5，35，245，1715}3个数的有{6，42，294}{8，56，392}{9，63，441}…{41，287，2009}注意第一个数跳过7、14、21、28、35等数，共有41﹣6+1﹣5＝31组．2个数的有{43，301}{44，308}…{286，2002}，注意跳过前面出现的数，即49、98、147、196、245、56、63、…280等34个数，因此2个数的有286﹣43+1﹣34＝210组【解答】解：由分析可知：{1，7，49，343}，{2，14，98，686}，…{286，2002}共246组数里，在前五组中每组至多能取2个，至少有10个不能取，在有3个数的组里，共至少有31个不能取，在2个数组里至少有210个不能取，故最多能取2014﹣10﹣31﹣210＝1763个数，在这1763个数中，答：任取其中2个，不会有一个数是另一个数的7倍，n的最大值为1763．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:47:04；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。

18~22届华杯赛决赛试题【小高组】目录计算篇 (1)计数篇 (6)几何篇 (16)数论篇 (30)应用题 (40)行程篇 (46)组合篇 (50)第一部分：计算篇1、【第18届华杯赛决赛B A 、卷第1题】 计算:______5.1281281125.019=-⨯+⨯.2、【第18届华杯赛决赛C 卷第1题】计算:______2785111111131322=÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯.3、【第19届华杯赛决赛D B A 、、卷第5题】 如果54□711○<<成立，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为______.4、【第19届华杯赛决赛C 卷第1题】 计算:______5213.23.0241225.095.22.3=-⨯++⨯-.5、【第20届华杯赛决赛B 卷第1题】 计算：______2110804.1451848.28586.57=+⨯-⨯+⨯.6、【第20届华杯赛决赛C 卷第1题】 计算：______528.11.03.0441225.175.01=-+⨯++-.7、【第20届华杯赛决赛D 卷第1题】 计算：______8.0195105375.119484=⨯+⨯.8、【第21届华杯赛决赛A 卷第1题】计算:______107143214.2317=÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-.9、【第21届华杯赛决赛B 卷第1题】计算:_____4.213453611753971=-÷⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.10、【第21届华杯赛决赛B 卷第8题】现有算式:甲数□乙数○１，其中□，○是符号+，-，×，÷中的某两个.李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见右表，那么，A ○B =______.11、【第21届华杯赛决赛B 卷第9题】 计算:201620152016201420152014201635343201624232201613121+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++12、【第21届华杯赛决赛C 卷第1题】计算:______525125.022143225.0412=-⨯+-+.13、【第21届华杯赛决赛C 卷第3题】 大于20161且小于20151的真分数有______个.14、【第22届华杯赛决赛A 卷第1题】用][x 表示不超过x 的最大整数，例如3]14.3[=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯118201711720171162017115201711420171132017的值为_____.15、【第22届华杯赛决赛A 卷第2题】从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8，12，3210和319，则原来给定的4个整数的和为______.16、【第22届华杯赛决赛B 卷第1题】______2017120161201512017120151514131513131211311=⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯⨯-+⨯⨯-.第二部分：计数篇1、【第18届华杯赛决赛B A 、卷第13题】用八个右图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形.若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同.问:在所有可能拼成的正方形图形中，上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有多少种？2、【第18届华杯赛决赛B 卷第9题】 右图中，不含“*”的长方形有多少个？3、【第18届华杯赛决赛C 卷第3题】 最简单分数b a 满足4151<<b a ，且b 不超过19，那么b a +的最大可能值与最小可能值之积为______.4、【第18届华杯赛决赛C 卷第12题】一次数学竞赛中，参赛各队每题的得分只有0分，3分和5分三种可能.比赛结束时，有三个队的总得分之和为32分.若任何一个队的总得分都可能达到32分，那么这三个队的总得分共有多少种不同的情况？5、【第18届华杯赛决赛C 卷第14题】用八个右图所示的1×2的小长方形可以拼成一个4×4的正方形.若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同，则认为两个拼成的正方形相同.问:有几种拼成的正方形图形仅以一条对角线为对称轴？6、【第19届华杯赛决赛D B A 、、卷第3题】从1～8这八个自然数中任取三个数,其中没有连续自然数的取法有______种.7、【第19届华杯赛决赛A 卷第9题】把n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上.下图给出了6=n 时所有的不同放置方法，那么9=n 时有多少种不同放置方法？8、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第9题】把n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上.下图给出了6=n 时所有的不同放置方法，那么8=n 时有多少种不同放置方法？9、【第19届华杯赛决赛C卷第7题】1的小正方块堆成一立体，其俯视图如右图所示，问共有用八块棱长为cm种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）.10、【第19届华杯赛决赛C卷第11题】a、和c.现有5块上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见下图的b一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？(下图d是其中一种摆放方式).（a）（b）（c）（d）11、【第20届华杯赛决赛B卷第5题】贝塔星球有7个国家，每个国家恰有四个友国和两个敌国，没有三个国家两两都是敌国，对于一种这样的星球局势，共可以组成______个两两都是友国的三国联盟.12、【第20届华杯赛决赛B卷第12题】两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后，多得两分者胜，两人的得分总和都是31分，一人赢了第一局且赢得比赛，那么第二局的比分共有多少种可能？13、【第20届华杯赛决赛C卷第2题】将自然数1至8分成两组，使两组的自然数各自之和的差等于16，共有______种不同的分法.14、【第20届华杯赛决赛C卷第5题】如图，3×4的长方形网格纸片，长方形纸片正面是灰色，反面是红色，网格是相同的小正方形，沿网格线将长方形裁剪为两个形状相同的卡片，如果形状和正反面颜色相同，则视为相同类型的卡片，则能裁剪出______种不同类型的卡片.15、【第20届华杯赛决赛D 卷第7题】一次数学竞赛有C B A 、、三题，参赛的39个人中，每人至少答对了一道题，在答对A 的人中，只答对A 的比还答对其他题目的多5人，在没答对A 的人中，答对B 的是答对C 的2倍；又知道只答对A 的等于只答对B 的 与只答对C 的人数之和，那么答对A 的最多有______人.16、【第20届华杯赛决赛D 卷第8题】甲，乙两人进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜，10平后，多得两分者胜，两人的得分总和都是30分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有______种情况.17、【第21届华杯赛决赛A 卷第4题】在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点.如右图，三角形ABC 的三个顶点都是格点.若一个格点P 使得三角形PAB 与三角形PAC 的面积相等，就称P 点为“好点”.那么在这张格子纸上共有______个“好点”.18、【第21届华杯赛决赛A 卷第5题】对于任意一个三位数n ，用 表示删掉n 中为0的数位得到的数，例如 102=n 时， 12=那么满足 n <，且 是n 的约数的三位数n 有 ______个.19、【第21届华杯赛决赛A 卷第9题】复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额.投票人数 固定，每票必须投给甲乙二人之一.最后，乙的得票数为甲的得票数的2120，甲胜出.但是，若乙得票数至少增加4票，则可胜甲.请计算甲乙所得的票数.20、【第21届华杯赛决赛A 卷第13题】如右图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字形纸片和一张5×6的方格纸.现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？(两图形经旋转后相同看作相同图形)21、【第21届华杯赛决赛C 卷第11题】如图，是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色.涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？22、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第3题】在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子最多放一枚棋子，共有______种不同的摆放方法.(如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）.23、【第22届华杯赛决赛A 卷第5题】某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组，已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的72，是只参加朗诵小组人数的51，那么书法小组与朗诵小组的人数比是______.24、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第8题】如右图，六边形的六个顶点分别标志为F E D C B A 、、、、、.开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于F E D C B A 、、、、、顶点处.将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有______种．25、【第22届华杯赛决赛A 卷第10题】某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐.每名学生至少选择一种，也可以多选.统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选了香蕉，30%的学生选了梨.那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几.26、【第22届华杯赛决赛B 卷第4题】小于1000的自然数中，有______个数的数字组成中最多有两个不同的数字．27、【第22届华杯赛决赛B卷第7题】一个两位数，其数字和是它的约数，数字差（较大数减去较小数）也是它的约数，这样的两位数的个数共有______个.28、【第22届华杯赛决赛B卷第11题】从1001，1002，1003，1004，1005，1006，1007，1008，1009中任意选出四个数，使它们的和为偶数，则共有多少种不同的选法.第三部分：几何篇1、【第18届华杯赛决赛A卷第4题】如右图，在边长为12厘米的正方形ABCD中，以AB为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB.则三角形PAC的面积等于______平方厘米.2、【第18届华杯赛决赛A卷第4题、B卷第6题】两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成右图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点.如果大积木的棱长为3，则这个立体图形的表面积为______.3、【第18届华杯赛决赛A卷第8题，B卷第12题】由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是______.4、【第18届华杯赛决赛B 卷第4题】如图所示，Q P 、分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 上的点，且4:1:=PD AP ，2:3:=QC AQ ，如果正方形ABCD 的面积为25，那么三角形PBQ 的面积是______.5、【第18届华杯赛决赛B 卷第10题】如右图，三角形ABC 中，BD AD 2=，EC AD =，18=BC ，三角形AFC 的面积和四边形DBEF 的面积相等，那么AB 的长度是多少？6、【第18届华杯赛决赛C 卷第4题】如图所示，Q P 、分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线AC 上的点，且3:1:=PD AP ，1:4:=QC AQ ，如果正方形ABCD 的面积为100，那么三角形PBQ 的面积是______.7、【第18届华杯赛决赛C卷第6题】两个较小的正方体积木分别粘在一个大正方体积木的两个面上，构成右图所示的立体图形，其中，每个小积木粘贴面的四个顶点分别是大积木粘贴面各边的一个五等分点．如果三个积木的棱长互不相同且最大的棱长为5，那么这个立体图形的表面积是______.8、【第18届华杯赛决赛C卷第8题】由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是______.9、【第18届华杯赛决赛C卷第9题】右图中，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米.那么，大正方形的面积是多少平方厘米？10、【第18届华杯赛决赛C 卷第13题】在等腰直角三角形ABC 中，90=∠A 度，1==AC AB ，矩形EHGF 在三 角形ABC 内，且H G 、在边BC 上.求矩形EHGF 的最大面积.11、【第19届华杯赛决赛D B A 、、卷第1题】如右图，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边D C B A 、、、处各有一根木桩，且3===CD BC AB 米.现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上.为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在______处的木桩.12、【第19届华杯赛决赛A 卷第4题】如右图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米.小明在网格纸上 画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为______平方厘米.13、【第19届华杯赛决赛A 卷第8题】平面上的五个点E D C B A 、、、、满足:8=AB 厘米，4=BC 厘米， 5=AD 厘米，1=DE 厘米，12=AC 厘米，6=AE 厘米.如果三角形EAB 的面积为24平方厘米，则点A 到CD 的距离等于______厘米.14、【第19届华杯赛决赛A 卷第12题】如右图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，BF AF 2=，AE CE 3=.连接CF 交DE 于P 点，求DPEP 的值.15、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第4题】如右图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米.小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为______平方厘米.16、【第19届华杯赛决赛B 卷第8题】平面上的五个点E D C B A 、、、、满足:16=AB 厘米，8=BC 厘米， 10=AD 厘米，2=DE 厘米，24=AC 厘米，12=AE 厘米.如果三角形EAB 的面积为96平方厘米，则点A 到CD 的距离等于______厘米.17、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第12题】如右图，在三角形ABC 中，BF AF 2=，AE CE 3=，BD CD 2=.连接CF 交DE 于P 点，求DPEP 的值.18、【第19届华杯赛决赛C 卷第3题】如右图，在直角三角形ABC 中，点F 在AB 上且BF AF 2=，四边形EBCD 是平行四边形，那么EF FD :为______.19、【第19届华杯赛决赛C 卷第4题】右图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图，上面标出了若干个点.一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面.如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米，向下爬行的速度为每秒3厘米，水平爬行的速度为每秒4厘米，则蚂蚁至少爬行了______秒.20、【第19届华杯赛决赛C 卷第8题】如右图，在三角形ABC 中，BF AF 2=，AE CE 3=，BD CD 4=.连接CF 交DE 于P 点，求DPEP 的值.21、【第19届华杯赛决赛D 卷第8题】长为4的线段AB 上有一动点C ，等腰三角形ACD 和等腰三角形BEC 在过AB 的直线同侧，DC AD =，EB CE =，则线段DE 的长度最小为______.22、【第20届华杯赛决赛B 卷第7题】如图，三角形ABC 的面积为1，3:1:=OB DO ，5:4:=OA EO ，则三角 形DOE 的面积为______.23、【第20届华杯赛决赛B 卷第10题，D 卷第6题】如图，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切割走一块长、宽、高为y ， 5，x 的长方体（y x 、为整数），余下部分的体积为120，求x 和y 的值.24、【第20届华杯赛决赛B 卷第13题】如图，点M 是平行四边形ABCD 的边CD 上的一点，且2:1:=MC DM ，四边形EBFC 为平行四边形，FM 与BC 交于点G ，若三角形FCG 的面积与三角形MED 的面积之差为13平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积？25、【第20届华杯赛决赛C卷第4题】如图，四边形ABCD是边长为11厘米的正方形，G在CD上，四边形CEFG是直角，三角形EDH的是边长为9厘米的正方形，H在AB上，EDH面积是______.26、【第20届华杯赛决赛C卷第6题】一个长方体，棱长都是整数厘米，所有棱长之和是88厘米，问这个长方体总的侧面积最大是______平方厘米.27、【第20届华杯赛决赛C卷第13题】如图，ABCD是平行四边形，F在AD上，三角形AEF的面积是8平方厘米，三角形DEF的面积是12平方厘米，四边形BCDF的面积是72平方厘米，求三角形CDE的面积？28、【第20届华杯赛决赛D 卷第2题】如图，用六个正方形，六个三角形，一个正六边形组成的图案，正方形边 长都是cm 2，这个图案的周长是______.29、【第20届华杯赛决赛D 卷第11题】如图，长方形ABCD 的面积为2m 56，cm 3=BE ，cm 2=DF ，求：三角形AEF 的面积是多少？30、【第20届华杯赛决赛D 卷第13题】如图，ABCD 是平行四边形，MB AM =，CN DN =，FC EF BE ==四边形EFGH 的面积是1，求平行四边形ABCD 的面积.31、【第21届华杯赛决赛A 卷第3题】右图中，5=AB 厘米，85=∠ABC °，45=∠BCA °，20=∠DBC °， 则______=AD 厘米.32、【第21届华杯赛决赛A 卷第10题】如右图，三角形ABC 中，180=AB 厘米，204=AC 厘米，F D 、是AB 上的点，G E 、是AC 上的点，连结FG EF DE CD 、、、，将三角形ABC 分 成面积相等的五个小三角形.则AG AF +为多少厘米？33、【第21届华杯赛决赛B 卷第2题】如右图，30个棱长为1的正方体粘成一个四层的立体，这个立体的表面积等于______.34、【第21届华杯赛决赛B 卷第4题】如右图所示，将一个三角形纸片ABC 折叠，使得点C 落在三角形ABC 所在平面上，折痕为DE .已知74=∠ABE °，70=∠DAB °，20=∠CEB °，那么CDA ∠等于______.35、【第21届华杯赛决赛B 卷第1题】如右图，正方形ABCD 的边长为5，F E 、为正方形外两点，满足4==CF AE ，3==DF BE ，那么______2=EF .36、【第21届华杯赛决赛B 卷第11题】如右图，等腰直角三角形ABC 与等腰直角三角形DEF 之间的面积为20，2=BD ，4=EC ，求三角形ABC 的面积.37、【第21届华杯赛决赛B 卷第13题】如右图，正方形ABCD 的面积为1，M 是CD 边的中点，F E 、是BC 边上的两点，且FC EF BE ==.连接DF AE 、分别交BM 分别于G H 、.求四边形EFGH 的面积.38、【第21届华杯赛决赛卷第5题】如图，AD AB =，21=∠DBC °，39=∠ACB °，则______=∠ABC .39、【第21届华杯赛决赛C 卷第1题】如图，ABCD 是直角梯形，上底2=AD ，下底6=BC ，E 是DC 上一点，三角形ABE 的面积是15.6，三角形AED 的面积是4.8，则梯形ABCD 的面积是______.40、【第22届华杯赛决赛A 卷第6题、B 卷第5题】右图中，三角形ABC 的面积为100平方厘米，三角形ABD 的面积为72平方厘米.M 为CD 边的中点，90=∠MHB °.已知20=AB 厘米.则MH 的长度为______厘米.【几何天地】求阴影面积是正方形面积的几分之几？第四部分：数论篇1、【第18届华杯赛决赛B A 、卷第3题】 某些整数分别被119977553，，，除后，所得的商化作带分数时，分数部分分别是92725232，，，，则满足条件且大于1的最小整数是______.2、【第18届华杯赛决赛A 卷第3题】有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个.那么这筐苹果至少有______个.3、【第18届华杯赛决赛A 卷第7题】设n 是小于50的自然数，那么使得54+n 和67+n 有大于1的公约数的所有n 的可能值之和为______.4、【第18届华杯赛决赛A 卷第14题】不为零的自然数n 既是2010个数字和相同的自然数之和，也是2012个数 字和相同的自然数之和，还是2013个数字和相同的自然数之和，那么n 最 小是多少？5、【第18届华杯赛决赛B卷第5题】有一箱苹果，甲班分，每人3个还剩10个；乙班分，每人4个还剩11个；丙班分，每人5个还剩12个.那么这箱苹果至少有______个.6、【第18届华杯赛决赛B卷第8题】用“学”和“习”代表两个不同的数字，四位数“学学学学”与“习习习习”的积是一个七位数，且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同，那么“学习”所能代表的两位数共有______个.7、【第18届华杯赛决赛B卷第14题】对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法:对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类.若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数.1)求三种分类的类数之和？2)说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同.8、【第18届华杯赛决赛C卷第5题】四位数abcd与cdab的和为3333，差为693，那么四位数abcd为______.9、【第18届华杯赛决赛C 卷第7题】设c b a 、、分别是0～9中的数字，它们不同时都为0也不同时都为9.将循环小数⋅⋅⋅c b a .0化成最简分数后，分子有______不同情况.10、【第18届华杯赛决赛C 卷第11题】设n 是小于50的自然数，求使得53+n 和45+n 有大于1的公约数的所有n .11、【第19届华杯赛决赛A 卷第2题】在所有是20的倍数的正整数中，不超过2014并且是14的倍数的数之和是______.12、【第19届华杯赛决赛A 卷第13题】从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n 个数，使这n 个数满足:任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的5倍.求n 的最大值，并说明理由.13、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第2题】在所有是20的倍数的正整数中，不超过3000并且是14的倍数的数之和是______.14、【第19届华杯赛决赛D B 、卷第14题】从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n 个数，使这n 个数满足:任意取其中两个数，不会有一个数是另一个数的7倍.求n 的最大值，并说明理由.15、【第19届华杯赛决赛C 卷第5题】设e d c b a 、、、、均是自然数，并且e d c b a <<<<，3005432=++++e d c b a ，则b a +的最大值为______.16、【第19届华杯赛决赛C 卷第10题】 把20142013201420122014220141，，，，⋅⋅⋅中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？17、【第19届华杯赛决赛B 卷第12题】某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数.18、【第19届华杯赛决赛B 卷第14题】 将每个最简分数m n （其中n m 、为互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下:1)将1染成红色；2)相差为1的两个数颜色不同；3)不为1的数与其倒数颜色不同.问:20142013和72分别染成什么颜色？19、【第20届华杯赛决赛B 卷第4题】某个三位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，加4是6的倍数，那么这个数最小是______.20、【第20届华杯赛决赛B卷第6题】由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为106656，则这些四位数中最大的是______，最小的是______.21、【第20届华杯赛决赛B卷第8题】三个大于1000的正整数满足：其中任意两个数之和的个位数字都等于第三个数的个位数字，那么3个数之积的末尾3位数有______种可能数值.22、【第20届华杯赛决赛B卷第9题】将1234567891011的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数？请说明理由.23、【第20届华杯赛决赛B卷第14题】设“一家之言”，“言扬行举”，“举世皆知”，“知行合一”四个成语中的每个汉字代表11个连续的非零自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是21，则“行”可以代表的数最大是多少？24、【第20届华杯赛决赛C 卷第7题】5321-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x ，这里的[]x 表示不超过x 的最大整数，则______=x .25、【第20届华杯赛决赛C 卷第10题】将2015个分数2016120151413121，，，，，⋅⋅⋅化成小数，共有多少个有限小数？26、【第20届华杯赛决赛C 卷第11题】 b a 、为正整数，小数点后三位经四舍五入后，式子51.175≈+b a ，求 =+b a27、【第20届华杯赛决赛C 卷第12题】 已知原式e aad abcd ⨯=，式中不同字母代表不同的数字，问四位数abcd 的最大值是多少？28、【第20届华杯赛决赛D 卷第5题】由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数中最大的是______.29、【第20届华杯赛决赛D 卷第9题】两个自然数之和为667，它的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120，求这两个数？30、【第20届华杯赛决赛D 卷第12题】当n 取遍1，2，3，…，2015中的所有的数时，形如33n n 的数中能够被7整除的有多少个？31、【第20届华杯赛决赛D 卷第14题】“虚有其表”，“表里如一”，“一见如故”，“故弄玄虚”四个成语中每个汉字代表11个非零连续自然数中的一个，相同的汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数，且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚”，且 各个成语中四个汉字所代表的数的和都是21，则“弄”可以代表的数最大 是多少？32、【第21届华杯赛决赛B A 、卷第7题】如果832⨯能表示成k 个连续正整数的和，则k 的最大值为______.33、【第21届华杯赛决赛A 卷第14题】设n 是正整数.若从任意n 个非负整数中一定能找到四个不同的数d c b a 、、、使得d c b a --+能被20整除，则n 的最小值是多少？34、【第21届华杯赛决赛B 卷第12题】试找出这样的最大的五位正整数，它不是11的倍数，通过划去它的若干数字也不能得到可被11整除的数.35、【第21届华杯赛决赛C 卷第7题】n 为正整数，形式为12-n 的质数称为梅森数，例如：712,31232=-=-是梅森数.最近，美国学者刷新了最大梅森数，74207281=n ，这个梅森数也是目前已知的最大的质数，它的个位数字是______.36、【第22届华杯赛决赛B A 、卷第12题】 使1523++n n 不为最简分数的三位数n 之和等于多少.37、【第22届华杯赛决赛B 卷第10题】求能被7整除且各位数字均为奇数，各位数字和为2017的最大正整数.第五部分：应用题篇1、【第18届华杯赛决赛A卷第10题】小明与小华同在小六(1)班，该班学生人数介于20和30之间，且每个人的出生日期均不相同.小明说:“本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”，小华说:“本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”问这个班的有多少名学生？2、【第18届华杯赛决赛B卷第11题】若干人完成了植树2013棵的任务，每人植树的棵数相同.如果有5人不参加植树，其余的人每人多植2棵不能完成任务，而每人多植3棵可以超额完成任务.问：共有多少人参加了植树？3、【第18届华杯赛决赛C卷第10题】某高中根据入学考试成绩确定了录取分数线，录取了四分之一的考生.所有被录取者的成绩平均分比录取分数线高10分，所有没有被录取的平均分比录取分数线低26分，所有考生的平均成绩是70分.求录取分数线是多少？4、【第19届华杯赛决赛A卷第7题】学校组织1511人去郊游，租用42座大巴和25座中巴两种汽车.如果要求恰好每人一座且每座一人，则有______种租车方案.5、【第19届华杯赛决赛A卷第10题】有一杯子装满了浓度为16%的盐水.有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为10:4:3.首先将小球沉入盐水杯中，结果盐水溢出10%，取出小球；其次把中球沉入盐水杯中，又将它取出；接着将大球沉入盐水杯中后取出；最后在杯中倒入纯水至杯满为止.此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数）B、卷第7题】6、【第19届华杯赛决赛D学校组织482人去郊游，租用42座大巴和20座中巴两种汽车.如果要求每人一座且每座一人，则有______种租车方案.。

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级A组）一、选择题(每小题10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1.平面上的四条直线将平面分割成八个部分, 则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．（A）0（B）2（C）3（D）42.某次考试有50道试题, 答对一道题得3分, 答错一道题扣1分, 不答题不得分．小龙得分120分, 那么小龙最多答对了（）道试题．（A）40（B）42（C）48（D）503.用左下图的四张含有4个方格的纸板拼成了右下图所示的图形. 若在右下图的16个方格分别填入1, 3, 5, 7（每个方格填一个数）, 使得每行、每列的四个数都不重复, 且每个纸板内四个格子里的数也不重复, 那么A, B, C, D四个方格中数的平均数是（）．．（A）4（B）5（C）6（D）74.小明所在班级的人数不足40人, 但比30人多, 那么这个班男、女生人数的比不可能是（）．（A）2:3（B）3:4（C）4:5（D）3:75.某学校组织一次远足活动, 计划10点10分从甲地出发, 13点10分到达乙地,但出发晚了5分钟, 却早到达了4分钟. 甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的, 那么到达丙地的时间是（ ）．（A ）11点40分 （B ）11点50分 （C ）12点（D ）12点10分6.如右图所示, 7=AF cm, 4=DH cm, 5=BG cm, 1=AE cm.若正方形ABCD 内的四边形EFGH 的面积为78 cm 2, 则正方形的边长为（ ）cm.（A ）10（B ）11（C ）12（D ）13二、填空题 (每小题 10 分, 满分40分)7.五名选手A, B, C, D, E 参加“好声音”比赛, 五个人站成一排集体亮相. 他们胸前有每人的选手编号牌, 5个编号之和等于35．已知站在E 右边的选手的编号和为13；站在D 右边的选手的编号和为31；站在A 右边的选手的编号和为21；站在C 右边的选手的编号和为7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是_____． 8.甲乙同时出发, 他们的速度如下图所示, 30分钟后, 乙比甲一共多行走了________米．9.四个黑色1×1×1的正方体和四个白色1×1×1的正方体可以组成________种不同的2×2×2的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种情况）． 10.在一个圆周上有70个点, 任选其中一个点标上1, 按顺时针方向隔一个点的点上标2, 隔两个点的点上标3, 再隔三个点的点上标4, 继续这个操作, 直到1, 2, 3, …, 2014都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数, 那么标记了2014的点上标记的最小整数是________．乙甲分第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题答案（小学高年级组）一、选择题（每小题10 分，满分60分）二、填空题（每小题10 分，满分40分）。

第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(初赛试题)1.平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行。

（A）0（B）2（C）3（D）42.某次考试有50道试题，答对一道题得3分，答错一道题扣1分，不答题不得分，小龙得分120分，那么小龙最多答对了（）道试题。

（A）40（B）42（C）48（D）503.用左下图的四张含有4个方格的纸板拼成了右下图所示的图形，若在右下图的16个放个分别填入1,3,5,7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A,B,C,D四个方格中数的的平均数是（）。

（A）4（B）5（C）6（D）74.小明所在班级的人数不足40人，但比30人多，那么这个班男、女人数的比不可能是（）（A）2:3（B）3:4（C）4:5（D）3:75.某学校组织一次远足活动，计划10点10分从甲地出发，13点10分到达乙地，但出发完了5分钟，却早到达了4分钟，甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（）。

（A）11点40分（B）11点50分（C）12点（D）12点10分6.如右图所示，AF=7cm，DH=4cm，BG=5cm，AE=1cm，若正方形ABCD内的四边形EFGH的面积为78cm2，则正方形的边长为（）cm2.（A）10（B）11（C）12（D）137.五名选手A,B,C,D,E参加“好声音”比赛,五个人站成一排集体亮相.他们胸前有每人的选手编号牌,5个编号之和等于35．已知站在E右边的选手的编号和为13；站在D右边的选手的编号和为31；站在A右边的选手的编号和为21；站在C右边的选手的编号和为7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是___________．8.甲乙同时出发,他们的速度如下图所示,30分钟后,乙比甲一共多行走了________米．9.四个黑色1×1×1的正方体和四个白色1×1×1的正方体可以组成________种不同的2×2×2的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种情况）．10.在一个圆周上有70个点,任选其中一个点标上1,按顺时针方向隔一个点的点上标2,隔两个点的点上标3,再隔三个点的点上标4,继续这个操作,直到1,2,3,…,2014都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数,那么标记了2014的点上标记的最小整数是________。

寿黑智皇名师教肓JUZHITANGMINGSHIJIAOYU第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A (小学高年级组)一、填空题(每题10分,共80分)1.如右图,边长为12米的正方形池塘的周围是草地,池塘边A, B, C, D 处各有一根木桩，且AB=BC=CD=3米.现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上 为了使羊在草地上活动区域的面积最大 ,应将绳子拴在 __________ 处的木桩上• 【考点】圆与扇形 【答案】B3 【解析】拴在B 处活动区域最大，为3圆42. ___________________________________________________________________ 在所有是20的倍数的正整数中,不超过2022并且是14的倍数的数之和是 _____________ 【考点】最小公倍数，等差数列 【答案】147003. _______________________________________________________________ 从1〜8这八个自然数中任取三个数，其中没有连续自然数的取法有 _______________ 种.【考点】计数 【答案】20【解析】解法一：枚举法(1) 三奇数：135、137、157、357, 4个； (2) 三偶数：246、248、268、468，4个；(3) 两奇一偶：136、138、158、147、358、257，6个;(4) 两偶一奇：247、258、146、148、168、368，6个; 共 4+4+6+6=20种.您身边的教学专家【解析】20,14140，202214014，1401 2 31414700 .昜黑智皇名师教肓JUZHITANGMINGSHIJIAOYU您身边的教学专家解法二：排除法1〜8中任取三个数，有C8 56种不同的取法其中三个连续数有6种〔123〜678〕两个连续数有5+4+4+4+4+4+5=30种〔如124、125、126、127、128等〕那么满足题意的取法有56—6—30=20种.4. 如右图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米.小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影〔马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上〕，那么这个剪影的面积为_________ 平方厘米•【考点】格点与面积【答案】56.5【解析】如图〔见下页〕，通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米。

19华杯赛试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的？A. 2+2=5B. 3+3=6C. 4+4=8D. 5+5=10答案：D2. 以下哪个数是素数？A. 4B. 9C. 11D. 15答案：C3. 一个数的平方等于其本身，这个数是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A、B二、填空题1. 一个数的立方等于其本身，这个数是____。

答案：0、1、-12. 计算：(3x-2)-(2x+3)=____。

答案：x-53. 已知一个等差数列的首项是2，公差是3，求第5项。

答案：17三、解答题1. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边的长度。

答案：斜边长度为5。

2. 一个数列的前三项为2, 4, 7，且每一项是前一项的2倍加1，求第5项。

答案：第5项为26。

3. 计算：(2x+3)(x-1)-(3x-2)(x+1)。

答案：x^2 - 2x - 5。

四、证明题1. 证明：对于任意实数x，x^2 - 4x + 4 总是大于等于0。

答案：证明过程略。

2. 证明：勾股定理。

答案：证明过程略。

五、应用题1. 一个农场主有100亩地，他计划种植小麦和玉米。

如果小麦的亩产量是500公斤，玉米的亩产量是300公斤，他希望总产量达到45000公斤。

他应该种植多少亩小麦？答案：种植60亩小麦。

2. 一个水池有A和B两个注水管，A管每小时注水10立方米，B管每小时注水15立方米。

如果A管先注水2小时后，B管再开始注水，且两管同时注水2小时，问水池注满需要多少小时？答案：水池注满需要4小时。

六、综合题1. 已知一个函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

答案：f(-2) = 1。

2. 一个圆的直径是10厘米，求这个圆的面积。

答案：圆的面积为78.5平方厘米。

3. 一个数列的前三项为1, 2, 4，且每一项是前一项的2倍，求第10项。

答案：第10项为1024。

2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）如图，边长为12米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，且AB＝BC＝CD＝3米，现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在处的木桩上．2．（10分）在所有是20的倍数的正整数中，不超过2014并且是14的倍数的数之和是．3．（10分）从1～8这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有种．4．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为平方厘米．5．（10分）如果＜＜，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为．6．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是．7．（10分）学校组织1511人去郊游，租用42座大巴和25座中巴两种汽车．如果要求恰好每人一座且每座一人，则有种租车方案．8．（10分）平面上的五个点A、B、C、D、E满足：AB＝8厘米，BC＝4厘米，AD＝5厘米，DE＝1厘米，AC＝12厘米，AE＝6厘米．如果三角形EAB的面积为24平方厘米．则点A到CD的距离等于．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上．如图给出了n＝6时所有不同放置的方法，那么n＝9时有多少种不同放置方法？10．（10分）有一杯子装满了浓度为16%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为10：4：3，首先将小球深入盐水杯中．结果盐水溢出10%，取出小球；其次把中球深入盐水杯中，又将它取出；接着将大球深入盐水杯中后取出；最后在杯中倒入纯水至杯满为止．此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数）11．（10分）清明节，同学们乘车去烈士陵园招募．如果汽车行驶1小时后，将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到；如果该车先按原速行驶72km，再将车速提高三分之一，就可以比预定时间提前30分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少km？12．（10分）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，AF＝2BF，CE＝3AE，连接CF交DE于P点，求的值．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n个数满足：任意取出两个数，不会有一个数是另一个数的5倍，试求n的最大值，并说明理由．14．（15分）在如图的算式中，字母a、b、c、d和“□”代表十个数字0到9中的一个，其中a、b、c、d四个字母代表不同的数字，求a、b、c、d数字之和．2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）如图，边长为12米的正方形池塘周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，且AB＝BC＝CD＝3米，现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在 B 处的木桩上．【分析】分别把A、B、C、D这四个点为圆心的扇形面积算出来，再进行比较即可选择出正确答案．【解答】解：①S A＝π×42+×π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；②S B＝π×42＝12π（平方米）；③S C＝π×42+×π×（4﹣3）2＝8.25π（平方米）；④S D＝π×42＝8π（平方米），π＜8.25π＜12π，所以为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在B处的木桩上．故答案为：B．2．（10分）在所有是20的倍数的正整数中，不超过2014并且是14的倍数的数之和是14700 ．【分析】在所有20的倍数中不超过2014并且是14的倍数最小是140，最大是1960，共14个，根据“高斯求和”的方法解答．【解答】解：20和14的最小公倍数是140，在所有20的倍数中不超过2014并且是14的倍数最小是140，最大是1960，共14个，（140+1960）×14÷2＝2100×14÷2＝14700．答：在所有20的倍数中不超过2014并且是14的倍数的数之和是14700．故答案为：14700．3．（10分）从1～8这八个自然数中，任取三个数，其中没有连续自然数的取法有20 种．【分析】首先取3个所有的方法有＝56种连续的有两个连续另外一个不连续，如果这两个连续的数在两端，是12或78，则各有5种不同的方法，如：124，125，126，127，128，如果这两个两个数在中间，是23、34、45、56、67，则各有4种不同的方法，如：235，236，237，238；这样一共有5×2+5×4种方法；三个连续的有123，234，345，456，567，678，6种情况；用总种数减去有连续自然数的种数，就是符合要求的数．【解答】解：＝＝56（种）有两个连续数的可能是：5×2+5×4＝30（种）有三个连续的数的可能有6种：56﹣30﹣6＝20（种）答：没有连续自然数取法为20种．故答案为：20．4．（10分）如图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上），则这个剪影的面积为56 平方厘米．【分析】按题意，可以将图中剪影分割成若干部分，然后标出每部分的面积，利用剪切和拼接的性质求得每部分的面积，最后求和．【解答】解：根据分析，如图，将剪影分割，通过分割和格点面积公式可得小马剪影的总面积＝0.5+3+16+2+1+2.5+3+0.5+1.5+12+3+2+0.5+3+0.5+1+2+1.5+0.5＝56（平方厘米）故答案是：56．5．（10分）如果＜＜，则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为77 ．【分析】将与，和都通分，然后根据分数大小比较的方法以及不等式的性质确定“○”与“□”的和的最大值即可解决问题．【解答】解：＜通分为：所以，4×□＞35，则□≥9；与通分为：所以，○×□＜77，则，○×□的乘积最大为76，只要使“○”与“□”之和最大，应当使两数的差最大，76＝1×76，所以，当○＝1，□＝76时，两数之和最大，即，○+□＝1+76＝77．答：“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最大为 77．故答案为：77．6．（10分）如图，三个圆交出七个部分，将整数0～6分别填入七个部分中，使得每个圆内的四个数字的和都相等，那么和的最大值是15 ．【分析】因为使得每个圆内的四个数字的和都相等，且和最大值时，6最大，就把6写在最中间，还剩的3个较大数字5、4、3，填在两圆公共的部分，最后剩下的0、1、2；0与6、4、5结合；1与6、5、3结合；2与6、3、4结合，那么每个圆内的四个数字的和都是15，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，所以，6+5+4+0＝6+4+3+2＝6+5+3+1＝15；所以，和的最大值是 15．故答案为：15．7．（10分）学校组织1511人去郊游，租用42座大巴和25座中巴两种汽车．如果要求恰好每人一座且每座一人，则有 2 种租车方案．【分析】全部坐满座，设大巴车有x辆，中巴车有y辆，得到不定方程42x+25y＝1511，然后讨论x和y的值即可．【解答】解：设大巴车有x辆，中巴车有y辆，得到不定方程：42x+25y＝1511所以x＝因为42是偶数，而1511是奇数，所以1151﹣25y必须是偶数；所以y必须是奇数；而1511÷25＝6 (11)所以42x除以25也必须余数是11，所以42与x的乘积个位数字是6，所以当x＝8，而y＝47或者x＝8+25＝33时，而y＝5时符合条件．所以第一种租车方式为租33辆大巴，5辆中巴；第二种租车方式为租8辆大巴，47辆中巴；故共有2种租车方案．答：有2种租车方案．故答案为：2．8．（10分）平面上的五个点A、B、C、D、E满足：AB＝8厘米，BC＝4厘米，AD＝5厘米，DE＝1厘米，AC＝12厘米，AE＝6厘米．如果三角形EAB的面积为24平方厘米．则点A到CD的距离等于4．【分析】由AB＝8cm，BC＝4cm，AC＝12cm，可知，A、B、C三点不可能构成三角形，因此A、B、C三点在同一条直线上，同理可知，A、D、E三点也在同一条直线上，由此，可画出图，可知，由AE＝6cm，AB＝8cm，△EAB 的面积为24cm2，可以判断三角形ABE为直角三角形，即∠EAB＝90°，因而三角形ADC是一个直角三角形，利用勾股定理不难求得点A到CD的距离．【解答】解：根据分析，A、B、C三点在同一条直线上，A、D、E三点也在同一条直线上，画出图形如图所示：＝24，即×6×8×sin∠EAB＝24，所以sin∠EAB＝1，所以∠EAB＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理可得，CD＝＝＝13（cm），设AF×CD＝AD×AC，即AF×13＝5×12，故AF＝，即点A到CD距离为．故答案是：（或写作4）．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）把n个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上，拼成至少两层的多层长方形（含正方形）组成的图形，并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自在某个下层的正方形纸片一边的中点上．如图给出了n＝6时所有不同放置的方法，那么n＝9时有多少种不同放置方法？【分析】通过分析可知：当层数为2时：8+1排列时有7种；7+2排列有5种；6+3排列时3种；5+4排列时1种；当层数为3时：6+2+1排列时有4种；5+3+1排列时有4种；4+3+2排列时有1种；层数为4时无法满足，因此共有7+5+3+1+4+4+1＝25种不同的放置方法．据此解答即可．【解答】解：当层数为2时：（1）8+1：7种（2）7+2：5种（3）6+3：3种（4）5+4：1种当层数为3时：（1）6+2+1：4种（2）5+3+1：4种（3）4+3+2：1种层数为4时无法满足．因此共有：7+5+3+1+4+4+1＝25（种）答：n＝9时有25种不同放置方法．10．（10分）有一杯子装满了浓度为16%的盐水，有大、中、小铁球各一个，它们的体积比为10：4：3，首先将小球深入盐水杯中．结果盐水溢出10%，取出小球；其次把中球深入盐水杯中，又将它取出；接着将大球深入盐水杯中后取出；最后在杯中倒入纯水至杯满为止．此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数）【分析】溢出水量实际就是大球的体积，即整杯盐水的10%×＝，所以倒满水后浓度变为，据此解答即可．【解答】解：10%×＝，，答：此时杯中盐水的浓度是10.7%．11．（10分）清明节，同学们乘车去烈士陵园招募．如果汽车行驶1小时后，将车速提高五分之一，就可以比预定时间提前20分钟赶到；如果该车先按原速行驶72km，再将车速提高三分之一，就可以比预定时间提前30分钟赶到．那么从学校到烈士陵园有多少km？【分析】先求出行驶1个小时后的预定时间，所用的时间就是预定时间的1÷（1+）＝，则预定时间是20÷（1﹣）＝120分钟，所以全程的预定时间就是1小时+120分钟＝180分钟；再求出所用时间，所用时间就是预定时间的1÷（1+）＝，即提前180×（1﹣）＝45分钟，最后求出72千米所对应的分率即1﹣，解答即可．【解答】解：如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，则行驶1个小时后所用的时间就是预定时间是1÷（1+）＝，则预定时间是20÷（1﹣）＝120分钟，所以全程的预定时间就是1小时+120分钟＝180分钟；如果先按原速度行驶72千米，再将车速提高三分之一，则所用时间就是预定时间的1÷（1+）＝，即提前180×（1﹣）＝45分钟，但实际却提前了30分钟，说明有30÷45＝的路程提高了速度；72÷（1﹣）＝216（千米）．答：从学校到烈士陵园有216千米．12．（10分）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，AF＝2BF，CE＝3AE，连接CF交DE于P点，求的值．【分析】连接EF、DF．易知EP：DP＝S△EFC：S△DFC，求出S△EFC：S△DFC即可解决问题．【解答】解：连接EF、DF．∵EP：DP＝S△EFC：S△DFC，又∵S△DFC＝S△BFC，S△EFC＝S△AFC，S△FBC＝S△AFC，∴EP：DP＝S△AFC：S△BFC＝S△AFC：S△AFC＝3：1，∴＝3．三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）从连续自然数1，2，3，…，2014中取出n个数满足：任意取出两个数，不会有一个数是另一个数的5倍，试求n的最大值，并说明理由．【分析】首先分析2014除以5结果是402余数是4，那么403和以上的数字的5倍都是大于2014的，继续推理即可求解．【解答】解：依题意可知：2014÷5＝402…4．则403的5倍大于2014．那么从403﹣2014这些数字中不会有一个数是另一个数的5倍．402÷5＝80…2说明数字可以取值80时，也没有5倍数的存在．80÷5＝16，那么在17﹣80这些数字中没有5倍数的存在．16÷5＝3…1．说明取值1，2，3时没有5倍数的存在．取值为1﹣3，17﹣80，403﹣20142014﹣403+1+80﹣17+1+3﹣1+1＝1679．综上所述答案为：1679．14．（15分）在如图的算式中，字母a、b、c、d和“□”代表十个数字0到9中的一个，其中a、b、c、d四个字母代表不同的数字，求a、b、c、d数字之和．【分析】根据竖式，四位数减去三位数是2，由998+2＝1000，999+2＝1001可得a6b+4cd的结果是1000或1001，然后再根据加法的计算方法进行解答．【解答】解：根据竖式可得：a6b+4cd＝1000或a6b+4cd＝1001；（1）c＝3时，b+d进位，假设a6b+4cd＝1000；个位上b+d＝10，向十位进1；十位上：6+c+1＝10，c＝3，向百位进1；百位上：a+4+1＝10，a＝5；那么a+b+c+d＝5+10+3＝18；假设a6b+4cd＝1001；个位上b+d＝11，向十位进1；十位上：6+c+1＝10，c＝3，向百位进1；百位上：a+4+1＝10，a＝5；那么a+b+c+d＝5+11+3＝19．（4）c＝4时，b+d不进位，此时b+d＝1，0+1＝1符合要求．a+b+c+d＝5+1+4＝10．答：a、b、c、d数字之和是10、18或19．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 10:51:10；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@；学号：20913800。

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C （小学高年级组）（时间: 2014 年4月12日）一、填空题 (每小题10分, 共80分)1. 计算: =-⨯++⨯-5213.23.0241225.095.22.3 . 【答案】1【解答】132319.06.075.025.0=+=+=原式 2. 在右边的算式中, 每个汉字代表0至9这十个数字中的一个, 相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字. 求“ 数学竞赛”所代表的四位数.【答案】1962【解答】由算式可得：4202赛竞赛竞学数+. 因为“赛”+“赛”和的个位数为4, 所以“赛”表示的数为2或7.若“赛”表示的数字为7, 则“竞”+“竞”和的个位数为1, 显然不存在满足这样的数.所以“赛”表示的数为2, “竞”+“竞”和的个位数为2, 所以“竞”表示的数字为1或6.若“竞”表示数字1, 则“学”表示的数字为0, “数”表示的数字为2; 此时, 2012=数学竞赛，但数和赛不能表示同一个数字，舍去; 若“竞”表示的数字为6, 则“学”表示的数字为9, “数”数字为1, 此时, 1962=数学竞赛.·· 3. 如右图, 在直角三角形ABC 中, 点F 在AB 上且FB AF 2=, 四边形EBCD 是平行四边形, 那么EF FD :为 .【答案】2:1【解答】连接FC , BD , 设kEF FD =, S S BFE =∆, 那么kS S BDF =∆,S k S S FBC BCD )1(+==∆∆. 由FB AF 2=可知kS S AFD 2=∆, 进而S k S A B C )41(+=∆, 得kk S S AFD ABC 2)41(+=∆∆. 又kk S S S BC FB S BC AB S S AFD FBC AFD AFD AFD ABC 2)1(33232+==⨯=⨯=∆∆∆∆∆∆, 所以)1(341k k +=+.解得, 2=k . 因此, EF FD 2=.4. 右图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图, 上面标出了若干个点. 一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面. 如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米, 向下爬行的速度为每秒3厘米, 水平爬行的速度为每秒4厘米, 则蚂蚁至少爬行了________秒.【答案】40【解答】蚂蚁要从立体的左侧地面经所标出的点爬到右侧的地面, 向上至少爬行6212236⨯+⨯=厘米, 需要18秒钟, 向下至少爬行36厘米, 需要12秒钟, 平行爬行40122422=⨯+⨯⨯厘米, 需要10秒钟. 因此至少需要40秒钟.5. 设a , b , c , d , e 均是自然数, 并且e d c b a <<<<, 3005432=++++e d c b a , 则b a +的最大值为________.【答案】35【解答】因为 e d c b a <<<<, 所以b b a 2<+, 并且.32)(21532)(7267)1(62614)3(5)2(4)1(325432300++>+++=+++++≥++=+++++++≥++++=b a b b a b b a a b a b b b b a e d c b a 由此得到151135+<+b a . 所以b a +最大不能超过35. 另一方面, 令 22,20,19,18,17=====e d c b a , 则35=+b a 且满足3005432=++++e d c b a .最终得到, b a +的最大值为35.6. 现有甲、乙、丙三个容量相同的水池. 一台A 型水泵单独向甲水池注水, 一台B 型水泵单独向乙水池注水, 一台A 型和一台B 型水泵一起向丙水池注水. 已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时, 注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时, 则注满丙水池的三分之二需要________个小时.【答案】4【解答】A 型和B 型水泵一起向丙水池注水, 设注满水池需要t 小时, 则注满乙和甲水池需要的时间分别是 )4(+t 个小时和 )9(+t 个小时. 可列出方程:14191=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++t t t , 解得6=t , 4326=⨯. 7. 用八块棱长为1 cm 的小正方块堆成一立体, 其俯视图如右图所示, 问共有多少种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）?【答案】10【解答】底层已用了四块小方体, 考虑第二层分别有一、二、三、四块的情况. 见下图, 第二层有一块, 只有1种堆法; 第二层有两块, 有5种堆法; 第二层有三块, 有3种堆法; 第二层有四块, 只有1种堆法,总计有10种堆法.8. 如右图, 在三角形ABC 中, BF AF 2=, AE CE 3=, BD CD 4=. 连接CF 交DE 于P 点, 求DPEP 的值. 【答案】815 【解答】如右图所示, 设x SBDF =∆. 因为BD CD 4=, 所以x S FDC 4=∆,x S CFB 5=∆.因为BF AF 2=, 所以2==∆∆BF AF S S CFB CAF , 得x S CAF 10=∆. 因为31==∆∆CE AE S S EFC AFE , 所以x S EFC 215=∆. 因为DPPE S S S S CPD CEP DPF EFP ==∆∆∆∆, 所以815==∆∆FDC EFC S S DP PE . 9. 答案：A 处（1）讨论变化趋势，比较A 、B 两点设仓库可知A →B 运费越来越高，而B →A 则运费越来越低，同理可知C →B 运费越来越低，而B →C 则运费越来越高。

1 第19届华杯赛公开赛题详解
【小学中年级】两个正整数的和小于100，其中一个是另一个的2被，则这两个正整数的和的最大值是( )
A. 83
B. 99
C. 96
D. 98
分析：其中一个数是另一个数的2倍，因此这两个数的和是3较小数的3倍。

因此和的最大值是99，此时这两个数分别是33和66.选B 。

【小学高年级】平面上的四条直线将平面分成8个部分，则这四条直线中至多有( )条直线互相平行
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
分析：4条直线不能全部互相平行，但可以3条互相平行，如下图所示，满足题意。

因此选C 。

【初一】用7块棱长为1厘米的小正方块堆成一立体，其俯视图如图所示，则共有______种不同的堆法(经旋转能重合的算一种堆法
).
分析：一共有5种方法，如下图所示.
22
213121
32
1111324111
【初二】已知22422x y x xy y ++=++，那么2x y 的值是（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
分析：等式两边同时乘以2，移项、配方，得222()(2)(2)0x y x y -+-+-=，
因此x=y=2，因此2x y =8.选D.。