2014年普通高等学校招生全国统一考试——江苏卷数学

2014 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第 14 题）、解答题（第15 题第20题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务势必自己的姓名、准考据号用毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点．3．请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整，字迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面洁净，不要折叠、损坏．一律禁止使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参照公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh ，此中 s为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱 =cl ，此中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．（ 1）【 2014 年江苏， 1， 5 分】已知会合A{ 2 ， 1，3，4} ， B{1，2，3} ，则A I B _______ ．【答案】 {1，3}【分析】由题意得 A I B {1,3} ．（ 2）【 2014 年江苏， 2， 5 分】已知复数z(52i)2( i 为虚数单位)，则z的实部为_______．【答案】 21【分析】由题意z(52i) 225 2 52i(2i) 22120i，其实部为 21．（ 3）【 2014 年江苏， 3， 5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 _______．【答案】 5【分析】此题本质上就是求不等式2n20的最小整数解．2n20整数解为 n5，所以输出的 n 5．（ 4）【 2014 年江苏， 4， 5 分】从 1，2 ，3，6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 _______．【答案】132 个数共有 C42【分析】从1,2,3,6这 4 个数中任取6种取法，此中乘积为 6 的有1,6和2,3两种取法，所以所求概率为P2 1 ．63（ 5）【 2014年江苏， 5， 5 分】已知函数y cosx 与y sin(2 x)(0 ≤) ，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是 _______ ．3【答案】6【分析】由题意 cos sin(23) ，即 sin(2) 1 ， 2k( 1)k， (k Z ) ，因为 0，所33236以．6（ 6）【 2014 年江苏， 6， 5 分】为了认识一片经济林的生长状况，随机抽测了此中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80 ，130] 上，其频次散布直方图如下图，则在抽测的 60 株树木中，有株树木的底部周长小于 100 cm．【答案】 24【分析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025) 10 6024 ．（ 7）【 2014 年江苏， 7，5 分】在各项均为正数的等比数列 { a n } 中，若 a 2 1 ，a 8 a 6 2a 4 ，则 a 6 的值是 ________．【答案】 4【分析】设公比为 q ，因为 a 21 ，则由 a 8a 6 2a 4 得 q 6 q 42a 2 ， q 4 q 2 2 0 ，解得 q 22 ，所以a 6 a 2 q 4 4 ．（ 8）【 2014 年江苏， 8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1 ，S 2 ，体积分别为 V 1 ，V 2 ，若它们的侧面积相等，且S 19，则V 1的值是 _______．S 24V 2【答案】32r2h r 2S9 【分析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r 1、h 1 ， r 2、h 2 ，则 2 r 1 h 12 r 2 h 2 ，1，又11，所h 2r 1S 22r 24以r 1 3V 1r 12 h 1r 12 h 1 r 12 r 2r 1 3r 22 ，则r 22 h 2 r 22 h 2 r 22 r 1 r 2 ．V 2 2（ 9）【 2014 年江苏， 9，5 分】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x 2 y 3 0 被圆 ( x 2)2 ( y 1)2 4 截得的弦长为 ________．【答案】 2 555【分析】圆 (x2) 2 ( y 1)2 4 的圆心为 C (2, 1) ，半径为 r 2 ，点 C 到直线 x 2y 3 0 的距离为2 2 ( 1)3 3 ，所求弦长为 l 2 r 2 d 2 24 9 2 55 ． d12 2255 5 （ 10）【 2014 年江苏， 10， 5 分】已知函数 f ( x)x 2 mx 1 ，若对随意 x [ m ，m 1] ，都有 f (x) 0 成立，则实数 m 的取值范围是 ________．【答案】2 ，2【分析】据题意 f (m)m 2 m 2 1 0，解得2 m 0 ．f (m 1) (m1)2 m(m 1) 1 0 2（ 11）【 2014 年江苏， 11， 5 分】在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y ax 2bx ( a ，b 为常数 ) 过点 P(2 ， 5) ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7 x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是 ________． 【答案】3【分析】曲线y ax 2b过点 P(2, 5) ，则 4ab 5 ①，又 y ' 2ax b 2 ，所以 4a b 7②，由①②解得x2x42a1，所以 ab2 ．b 1（ 12）【 2014 年江苏， 12， 5 分】如图，在平行四边形 ABCD 中，已知， AB 8，AD 5 ，uuur uuur uuur uuur uuur uuurCP 3PD ， BP 2 ，则 AB AD 的值是 ________．AP【答案】 22 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur 3 uuur uuur 3 uuur【分析】由题意， AP AD DP AD AB ，BP BC CP BC 4 CD AD AB ，4 3 uuur 1 uuur 4uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuur 3 uuur 2所以 AP BP ( AD AB) (AD AB) AD AD AB AB ，4 4 2 16即 2 1 uuur uuur 3 uuur uuur25 AD AB 16 64 ，解得 AD AB 22．21（ 13）【 2014 年江苏， 13，5 分】已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数， 当 x [0 ，3) 时，2．2f ( x) x 2x若函数 y f ( x)a 在区间 [ 3 ，4] 上有 10 个零点 ( 互不同样 ) ，则实数 a 的取值范围是 ________．【答案】 10 ，2【分析】作出函数f ( x)x22x 1 , x [0,3) 的图象，可见 f (0)1，当 x 1时， f ( x)极大1 ，222f (3)7，方程 f (x) a 0 在 x [ 3,4] 上有 10 个零点，即函数y f ( x) 和图象与直线2ya 与函数ya 在 [ 3,4] 上有 10 个交点，因为函数f ( x) 的周期为 3，所以直线f ( x)x 2 2 x 1 , x [0,3) 的应当是4 个交点，则有 a (0, 1 ) ．22（ 14）【 2014 年江苏， 14， 5 分】若 ABC 的内角知足 sin A 2 sin B 2sin C ，则 cosC 的最小值是 _______ ．【答案】6 24a 2b 22a 2b 2( a2b )2【分析】由已知 sin A2sin B 2sin C 及正弦定理可得 a2b 2c ， cosCc 22ab2ab3a22b 22 2ab2 6ab 22ab6 2，当且仅当 3a 22b2，即 a2时等号成立， 所以 cosC8ab8ab4b3的最小值为6 2 ．4二、解答题：本大题共6 小题，合计 90 分．请在答题卡指定地区内 作答，解答时应写出必需的文字说明、证明．．．．．．．．过程或演算步骤．（ 15）【 2014 年江苏， 15， 14 分】已知， ， sin 5 ．25（ 1）求 sin4的值；（ 2）求 cos62的值．解：（ 1）∵2， ，sin 5，∴ cos1 sin 22 5 ，55sinsin coscos sin2(cos sin)10 ．444210（ 2）∵ sin 22sincos4，cos 2cos 2 sin 23 ，55∴cos62cos 6 cos2sinsin 233 14 3 3 4 ．6 25 2 5 10（ 16）【 2014 年江苏， 16， 14 分】如图，在三棱锥 PABC 中， D ，E ，F 分别为棱 PC ，AC ，AB 的中点．已知PA AC ，PA 6，BC 8，DF 5 ．（ 1）求证：直线 PA ∥平面 DEF ；（ 2）平面 BDE ⊥平面 ABC ．解：（ 1）∵ D ，E 为 PC ，AC 中点∴ DE ∥ PA ∵ PA平面 DEF ， DE 平面 DEF ∴PA ∥平面 DEF ．（ 2）∵ D ，E 为 PC ，AC 中点，∴ DE1PA3∵E ，F 为 AC ，AB 中点，∴EF1BC 4 ，2，∴ DE ⊥ EF ，∵2∴222，∴，，∴，DEEFDFDEF90°DE //PA PA ACDEAC∵ ACI EF E ，∴ DE ⊥平面 ABC ，∵ DE 平面 BDE ，∴平面 BDE ⊥平面 ABC ．（ 17）【 2014 年江苏， 17，14 分】如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 1 2 y 21(a b 0)的左、2分别是椭圆 x22F ，Fab右焦点，极点 B 的坐标为 (0 ，b) ，连结2C ，BF 并延伸交椭圆于点 A ，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点连结 FC 1 ．（ 1）若点 C 的坐标为4 1，且 BF 22 ，求椭圆的方程；3 ，3（ 2）若 FC 1AB ，求椭圆离心率 e 的值．4 1 16 1解：（ 1）∵ C9922 2 2 2( 2)2 22，，∴ a 2b 22b c a ，∴a，∴ b 1 ，3 39，∵ BF∴椭圆方程为x 2y 2 1 ．（ 2）设焦点 212A Cx 轴对称，∴A(xy)，∵ ， ，， 对于∵2b b y ，即 bx cy bc 0 ①B ，F ，A 三点共线，∴cx∵ 1AB ，∴ x yb1 ，即xc byc20 ②ccFCx ca 2a 2 c 2bc 2 ①②联立方程组，解得b 2c 2∴ C2bc 2b 2 2 ， 2 2yc b cb 2c 2a 2c22bc 22C 在椭圆上，∴b 2c 2b 2c 222c55a 2b 2 1 ，化简得 5c a ，∴ a 5 , 故离心率为 5 ．（ 18）【 2014 年江苏， 18，16 分】如图，为保护河上古桥 ，规划建一座新桥 ，同时建立一个圆形保护区．规OABC划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的界限为圆心M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两头 O和 A 到该圆上随意一点的距离均许多于 80m ．经丈量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向170m 处 ( OC 为河岸 ) ， tan BCO 43 ．（ 1）求新桥 BC 的长；（ 2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（ 1）如图，以 O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴，成立平面直角坐标系xOy ．由条件知 A (0, 60) ， C (170, 0) ，直线 BC 的斜率 k BC－tan BCO4 ．3又因为⊥，所以直线 的斜率k AB3．设点 B 的坐标为 ( a , b ) ，AB BCAB4则 k BC = b 04， kAB =b603，解得 a =80， b=120．a 1703a 04所以 =22．所以新桥 的长是 ．BC(17080)(0120) 150 150 mBC（ 2）设保护区的界限圆M 的半径为 r m,OM =d m,(0 ≤ d ≤60) ．由条件知，直线BC 的方程为 y4( x 170) ，即 4 x 3y680 0，3| 3d 680 |680 3d ．因为圆 M 与直线 BC 相切，故点 M (0 ，d ) 到直线 BC 的距离是 r ，即 r因为 O 和 A 到圆 M 上随意一点的距离均许多于 80 m ，5 5rd ≥ 806803dd ≥ 805，解得 10≤ d ≤35．所以 ，即r (60 d ) ≥ 80 3d680 (60 d ) ≥ 805故当 d =10 时 , r 6803d最大，即圆面积最大． 所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大． 解法二： 5（ 1）如图，延伸 OA , CB 交于点 F ．因为 tan ∠ BCO = 4 ．所以 sin ∠ FCO = 4 ，cos ∠ FCO = 3．3 5 5 因为 OA =60, OC =170，所以 OF =OC tan ∠ FCO = 680． CF = OC 850 ，3 cos FCO 3进而500 ．因为 ⊥ ，所以 ∠ ∠4，又因为⊥ ，所以=AF OF OAcos AFB =sin AB BCBF AF3OA OC FCO = 5cos ∠ AFB ==400，进而 BC =CF －BF =150．所以新桥 BC 的长是 150 m ．3（ 2）设保护区的界限圆 M 与 BC 的切点为 D ，连结 MD ，则 MD ⊥BC ，且 MD 是圆 M 的半径，并设 MD =r m ，OM =d m(0≤ d ≤60) ．因为 OA ⊥ OC ，所以 sin ∠ CFO =cos ∠ FCO ，故由（ 1）知， sin ∠ CFO =MDMD r 3所以 r 680 3d ．MFOF OM680 d 553因为 O 和 A 到圆 M 上随意一点的距离均许多于80 m ，rd ≥ 80680 3dd ≥ 80510≤ d ≤ 35所以，即，解得 ，r (60 d ) ≥ 80 680 3d(60 d ) ≥ 805故当 d =10 时， r6805 3d最大，即圆面积最大．所以当 OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．f (x) e x e x 此中 e 是自然对数的底数．（ 19）【 2014 年江苏， 19， 16 分】已知函数（ 1）证明： f ( x) 是 R 上的偶函数；（ 2）若对于 x 的不等式 mf x ≤ e x m1在 (0 ，)上恒成立，务实数m( )的取值范围；（ 3）已知正数 a 知足：存在[1，a(x 3a 1 与a e 1的大小，并证明x) ，使得 f ( x )3x ) 成立．试比较 e你的结论．解：（ 1）xR ，f (x ) e xe xf ( )x ，∴ f (x) 是 R 上的偶函数．（ 2）由题意， xxxxxxxx(e e )≤e m 1，即m(ee 1)≤ e 1，∵x (0 ，) ，∴e e 1 0 ，m即 m ≤x e xx 1对 x(0 ， ) 恒成立．令te x ( 1)，则 m ≤21 t对随意 t (1，) 恒成立．ee1ttt 1∵t 21 t1 (t2t11) 1 11≥ 1，当且仅当 t 2 时等号成立，∴ m ≤ 1 ．t1)(tt 1t 11 33'( ) e xe x（ 3） f ，当时∴在 ，上单一增， 令 h( x)33x) ，，x 1f '( x)f (x)) a( x3ax( x 1)(1h'( x)∵ a0 ，x 1，∴ h '(x)0 ，即 h( x) 在 x (1，) 上单一减，∵存在 x 0e-1∵ lnaa 1ea1e2[1，ln a e 11e ．当 ) ，使得f ( x 0 ) a( x 0 33x 0 ) ，∴ f (1) e 1 2a ，即 a1 e 1 ． e2 eln e a 1 (e 1)ln a a 1 ， 设 m(a) (e 1)ln a a1 ， 则 m'(a)e1 1 e 1 a ，a a1 e 1a e1时， m'(a) 0 ， m(a ) 单一增；当 a e1 时， m'(a ) 0 ， m(a ) 单一2e减，所以 m(a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0 ，∴当 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1 ；当1e 1 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1；当 a e 时， m(a) 0 ， a e 1 e a 1 ．2 e（ 20）【 2014 年江苏，20，16 分】设数列 { n} 的前 n nn ，总存在正整数nm，a 项和为 S ．若对随意的正整数m ，使得 Sa 则称 { a n } 是“ H 数列”．（ 1）若数列 { n }nnN )na 的前 n 项和 S 2 (n ，证明： { a } 是“ H 数列”；（ 2）设 a} 是等差数列，其首项 a1，公差 d．若 { a }是“ H 数列”，求 d 的值；{ n1n（ 3）证明：对随意的等差数列{ a n}nn，使得 a nnnN)成立．解：（ 1）当 n ≥ 2 时，，总存在两个“ H 数列” { b } 和 { c }bc (na nnn 12n2 n 12n 1 ，当n 1 时，11，S Sa S 2∴n 1 时，11na n 1，∴n} 是“ H 数列”．S a ，当 n ≥ 2 时， S{ a（ 2） n1n(n 1) d nn(n 1) dn N ， m N nmn n(n1)d 1 (m 1)dS na，对，22使 Sa ，即21取 n 2 得 1 d( m 1)d ， m 2 ，∵ d 0 ，∴ m 2 ，又 m N ，∴ m 1，∴ d1．d（ 3）设 ad ，令 b a (n 1)a (2 n) a ，对 n N， b b a c (n 1)(a d)，{ n} 的公差为 n111n 1n1， n1对 n N ， c c a d ，则 b c na 1(n 1)d a ，且 { b } ，{c } 为等差数列．n 1n1nnnnn的前 n 项和 T nna 1 n( n 1) ( a 1 ) ，令n1，则 mn(n 3)2 ．{ b }2T (2m)a2当 n 1时 m1；当 n 2 时 m 1；当 n ≥ 3 时，因为 n 与 n 3 奇偶性不一样， 即 n(n 3) 非负偶数， m N ．所以对n ，都可找到 m N T b {b } 为“ H 数列”．，使 n m 成立，即 n{c n } 的前ｎ项和 R nn(n1)(a 1d ) ，令 c n(m 1)(a 1 d ) R m ，则 m n(n 1) 1n22∵对N ， n(n 1) 是非负偶数，∴ mN，即对n N，都可找到 mN，使得Rcnm成立，即 {c n } 为“ H 数列”，所以命题得证．数学Ⅱ注意事项考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21 题有 A 、 B 、 C 、 D 4 个小题供选做，每位考生在4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了 3 题或 4 题，则按选做题中的前 2 题计分．第 22、 23 题为必答题．每题10 分，共 40 分．考试时间30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2． 答题前， 请您务势必自己的姓名、 准考据号用毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点． 3． 请在答题卡上依据次序在对应的答题地区内作答，在其余地点作答一律无效．作答一定用毫米黑色墨水的署名笔．请注意字体工整，字迹清楚． 4． 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】此题包含A 、B 、C 、D 四小题，请选定此中两题，并在相应的答题地区内作答 ，若多做，则按作答．．．．．． ．．．．．．．．．．．．的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（ 21-A ）【 2014 年江苏， 21-A ， 10 分】（选修 4-1 ：几何证明选讲）如图，AB 是圆 O 的直径， C 、 D是圆 O 上位于 AB 异侧的两点．证明：∠ OCB =∠ D ．解：因为 ， 是圆 O 上的两点，所以 = ．故∠ =∠ ．又因为 ,是圆 O 上位于 AB 异侧B COB OCOCBBC D的两点，故∠ B ，∠ D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠ D ．所以∠ OCB =∠ D ．（ 21-B ）【 2014 年江苏， 21-B ，10 分】（选修 4-2 ：矩阵与变换） 已知矩阵 A1 2112 1， B2，向量，x1yx ，y 为实数，若 A α= B α，求 x ，y 的值．解： A 2 y 2 ， B α 2 y ，由 A α= B α得2 y 2 2，1，y 4 ．y解得 x2 xy 4 y2 xy 4 y ， 2（ 21-C ）【 2014 年江苏， 21-C ， 10 分】（选修 4-4 ：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 lx1 2t ， 的参数方程为2 ( t 为参数 ) ，直线 l 与抛物线 y 2 4x 交于 A ，B 两点，求线段 AB 的长． y22 t2解：直线 l ：x y 3 代入抛物线方程 y 2 4x 并整理得 x 2 10x 9 0，∴交点 A(1，2) ，B(9， 6)，故| AB | 8 2 ．（ 21-D ）【 2014 年江苏，21-D ，10 分】（选修 4-5 ：不等式选讲）已知 x 0 ，y 0 ，证明： 1 x y 21 x2 y 9 xy ．解：因为 x >0, y >0, 所以 1+x +y 2≥ 3 3 xy 2 0 ，1+x 2+y ≥ 33 x 2 y0 ，所以 (1+ x +y 2)( 1+x 2+y ) ≥ 3 3 xy 2 33 x 2 y =9xy ． 【必做】第 22、 23 题，每题 10 分，计 20 分．请把答案写在答题 卡的指定地区内 ． ．．．． ．．．．．．． （ 22）【 2014 年江苏， 22，10 分】盒中共有 9 个球，此中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完整同样．（ 1）从盒中一次随机拿出 2 个球，求拿出的 2 个球颜色同样的概率 ；P（ 2）从盒中一次随机拿出 4 个球，此中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1 ，x 2 ，x 3 ，随机变量 X 表示 x 1 ，x 2 ，x 3中的最大数，求 X 的概率散布和数学希望 E ( X ) ．解：（ 1）一次取 2 个球共有 C 92 36 种可能状况， 2 个球颜色同样共有 C 42C 32 C 22 10种可能状况，∴拿出的 2 个球颜色同样的概率P10536 18 ．43131（ 2）X 的全部可能取值为 4 ，3，2 ，则 P( X4)C 4 1；P(X 3)C 4 C 5C 3C 613 ；43C 9126C 963P( X 2) 1 P( X3) P( X4)11 ．∴ X 的概率散布列为： X142 3 4P11 13114 63126故X 的数学希望E(X )2 113 134 1 20 ．14631269（ 23）【 2014 年江苏， 23， 10 分】已知函数 f 0 ( x)sin x (x 0) ，设 f n (x) 为 f n 1 ( x) 的导数， n N ．x（ 1）求2 f 1 2 2 f 2 2的值；（ 2）证明：对随意的 n N ，等式 nf n14f n 4 2成立．42解：（ 1）由已知，得 f (x)f (x) sin xcos x sin x ，1x x x 2于是 f 2 ( x)f 1 (x)cos xsin x sin x 2cos x2sin x，所以 f 1 () 4) 216 xx 2xx 2x 32 2 , f 2 (3 ，2故 2 f 1 ( ) f 2 ( ) 1 ．2 2 2 x 求导，得（ 2）由已知，得 xf (x) sin x, 等式两边分别对 f 0(x) xf ( x) cosx ，即 f 0( x) xf ( x) cos x sin( x 2 ) ，近似可得 2 f 1(x) xf (x) sin x sin(x ) ，123 f 2 ( x) xf 3 ( x)cos x sin( x3 ) ，4 f 3 ( x) xf 4 (x) sinx sin(x 2 ) ．2下边用数学概括法证明等式nf n 1 ( x) xf n ( x) sin( xn ) 对全部的 n N * 都成立． （ i ）当 n =1 时，由上可知等式成立．2（ ii ）假定当 n =k 时等式成立 ,即 kf k 1 ( x) xf k (x) sin( x k ) ．2因为 [kf k 1 ( x) xf k (x)] kf k 1 (x) f k ( x) xf k ( x)(k 1) f k ( x) f k 1 ( x),[sin( xk )]cos( x k ) ( xk ) sin[ x ( k 1) ]，所以22( k 1) 22( k 1) f k( x) f k 1( x) sin[ x ] ．2所以当 n=k +1时, 等式也成立．综合 (i),(ii)可知等式 nf n 1 ( x) xf n ( x) sin( x n ) 对全部的 n N * 都成立．2n *2*令 x 4 ，可得 nf n 1 ( 4 )4 f n ( 4 ) sin( 42 ) ( n N ) ．所以 nf n 1 ( 4 )4 f n ( 4 )2 ( n N ) ．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{－2，－1，3，4}，B ＝{－1，2，3}，那么A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝(5－2i)2，那么z 的实部为________．3. 如图是一个算法流程图，则输出的n 的值是________．(第3题)4. 从1，2，3，6这四个数中一次随机地取两个数，则所取两个数的乘积为6的概率是________．5. 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，那么φ的值是________．6. 为了了解一片经济林的生长状况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在[80，130]内，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.(第6题)7. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 8. 已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2＝________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．10. 已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意的x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，那么AB →·AD →的值是________．(第12题)13. 已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．14. 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55.(1) 求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值；(2) 求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥P-ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC ＝8，DF ＝5.(1) 求证：直线PA ∥平面DEF ； (2) 求证：平面BDE ⊥平面ABC.(第16题)17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b)，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C.(1) 若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2) 若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．(第17题)18. (本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43. (1) 求新桥BC 的长；(2) 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x ＋e －x .(1) 求证：f(x)是R上的偶函数；(2) 若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(3) 已知正数a满足：存在x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)＜a(－x30＋3x0)成立，试比较e a－1与a e－1的大小，并证明你的结论．20. (本小题满分16分)设数列{a n}的前n项和为S n.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n＝a m，则称{a n}是“H数列”．(1) 若数列{a n}的前n项和为S n＝2n(n∈N*)，求证：数列{a n}是“H数列”；(2) 设{a n}是等差数列，其首项a1＝1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；(3) 求证：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n＝b n＋c n(n∈N*)成立．2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1. {－1，3} 【解析】由题意知A ∩B ＝{－1，3}．2. 21 【解析】由题意知z ＝(5－2i)2＝52－2×5×2i ＋(2i)2＝21－20i ，实部为21，虚部为－20.3. 5 【解析】当n ＝1时，21＝2<20；当n ＝2时，22＝4<20；当n ＝3时，23＝8<20；当n ＝4时，24＝16<20；当n ＝5时，25＝32>20.故输出的n 的值是5.4. 13 【解析】从1，2，3，6中随机取两个数，基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6个．其中满足乘积为6的基本事件为(1，6)和(2，3)，共2个，故所求的概率为13.5.π6 【解析】由题意知cos π3＝12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ，解得2π3＋φ＝π6＋2k π，k ∈Z 或2π3＋φ＝5π6＋2k π，k ∈Z ，故φ＝－π2＋2k π，k ∈Z 或φ＝π6＋2k π，k ∈Z .又φ∈[0，π]，则φ＝π6.6. 24 【解析】由题图知底部周长在[80，90)内的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)内的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，则(0.15＋0.25)×60＝24(株)．7. 4 【解析】设数列{a n }的公比为q ，则a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4，得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，故a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.8. 32 【解析】由题意知，S 1S 2＝πr 21πr 22＝r 21r 22＝94，所以r 1r 2＝32，圆柱的侧面积S 侧＝2πrh ，又S 侧1＝2πr 1h 1＝S 侧2＝2πr 2h 2，则h 1h 2＝r 2r 1＝23，所以V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝94×23＝32.9.2555 【解析】由题意知圆心为(2，－1)，半径r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝355，则弦长＝2r 2－d 2＝24－95＝2555. 10. ⎝⎛⎭⎫－22，0 【解析】因为二次函数开口向上，在区间[m ，m ＋1]上始终满足f(x)<0，所以只需解得故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－22，0. 11. －3 【解析】由题意知，y ′＝2ax －b x 2，k ＝－72，将P(2，－5)代入得故a ＋b ＝－3.12. 22 【解析】以AB →，AD →为基底，因为CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2， 又AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝2＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2. 因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝25－316×64－12AB →·AD →，故AB →·AD →＝22.13. ⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】根据题意作出f(x)在[－3，4]上的图象如图所示，若要函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个互不相同的零点，只需f(x)的图象与直线y ＝a 有10个不同的交点，则a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.(第13题)14. 6－24 【解析】由题意及正弦定理知a ＋2b ＝2c ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab＝34a 2＋12b 22ab－24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当a ＝6b3时取等号． 15. (1) 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255，故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22(cos α＋sin α)＝22×⎝⎛⎭⎫－55＝－1010.(2) 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－33＋410.16. (1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥PA.因为PA 平面DEF ，DE 平面DEF ，所以PA ∥平面DEF.(2) 因为D ，E 分别为PC ，AC 的中点，所以DE ＝12PA ＝3.因为E ，F 分别为AC ，AB 的中点，所以EF ＝12BC ＝4，所以DE 2＋EF 2＝DF 2，所以∠DEF ＝90°，所以DE ⊥EF. 因为DE ∥PA ，PA ⊥AC ，所以DE ⊥AC. 因为AC ∩EF ＝E ，AC ，EF 平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC. 因为DE平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC.17. (1) 因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1，即16a 2＋1b2＝9. 因为BF 22＝b 2＋c 2＝a 2，所以a 2＝(2)2＝2，所以b 2＝1，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2) 设焦点F 1的坐标为(－c ，0)，F 2的坐标为(c ，0)， 因为点B 的坐标为(0，b)， 所以直线BF 2的方程为y ＝－bcx ＋b.联立整理得⎝⎛⎭⎫1a 2＋1c 2x 2－2c x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a 2ca 2＋c2.因为点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 2，b －2a 2ba 2＋c 2，且A ，C 关于x 轴对称，所以点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 2，2a 2b a 2＋c 2－b ，所以kF 1C ＝2a 2ba 2＋c 2－b 2a 2c a 2＋c 2＋c ＝a 2b －bc 23a 2c ＋c 3. 因为AB ⊥CF 1，所以a 2b －bc 23a 2c ＋c 3×⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，由b 2＝a 2－c 2，得c 2a 2＝15，即e ＝55.18. (1) 如图(1)，过点B 作BE ⊥OC 于点E ，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，因为∠ABC ＝90°，∠BEC ＝90°，所以∠ABF ＝∠BCE ，所以tan ∠ABF ＝tan ∠BCO ＝43.,图(2)) (第18题)设AF ＝4x m ，则BF ＝3x m ，因为∠AOE ＝∠AFE ＝∠OEF ＝90°，所以四边形AOEF 为矩形， 所以OE ＝AF ＝4x m ，EF ＝AO ＝60 m ，所以BE ＝(3x ＋60)m. 因为tan ∠BCO ＝43，所以CE ＝34BE ＝⎝⎛⎭⎫94x ＋45m ， 所以OC ＝⎝⎛⎭⎫4x ＋94x ＋45m ，所以4x ＋94x ＋45＝170， 解得x ＝20，所以BE ＝120 m ，CE ＝90 m ，所以BC ＝150 m.(2) 如图(2)，设BC 与圆M 切于点Q ，延长QM ，CO 交于点P. 因为∠POM ＝∠PQC ＝90°，所以∠PMO ＝∠BCO.设OM ＝x m ，则OP ＝43x m ，PM ＝53x m ，所以PC ＝⎝⎛⎭⎫43x ＋170m. 所以PQ ＝⎝⎛⎭⎫1615x ＋136m ，设圆M 的半径为R ， 所以R ＝MQ ＝⎝⎛⎭⎫1615x ＋136－53x m ＝⎝⎛⎭⎫136－35x m. 因为A ，O 到圆M 上任一点的距离不少于80 m ，所以R －AM ≥80 m ，R －OM ≥80 m ，所以136－35x －(60－x)≥80，136－35x －x ≥80，所以10≤x ≤35，所以R 最大，当且仅当x ＝10时取到，所以OM ＝10 m 时，保护区面积最大．19. (1) 任意的x ∈R ，f(－x)＝e －x ＋e x ＝f(x)，所以f(x)是R 上的偶函数．(2) 由题意，m(e x ＋e －x )≤e －x ＋m －1，即m(e x ＋e －x －1)≤e －x －1.因为x ∈(0，＋∞)，所以e x ＋e －x －1＞0， 即m ≤e －x －1e x ＋e －x －1对x ∈(0，＋∞)恒成立．令t ＝e x (t ＞1)，则m ≤1－tt 2－t ＋1对任意t ∈(1，＋∞)恒成立．因为1－t t 2－t ＋1＝－t －1（t －1）2＋（t －1）＋1＝－1t －1＋1t －1＋1≥－13， 当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立， 所以实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|m ≤－13.(3) f′(x)＝e x －e －x ，当x ＞1时，f ′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 令h(x 0)＝a(－x 30＋3x 0)，h ′(x 0)＝－3a(x 0＋1)(x 0－1)， 因为a ＞0，x 0＞1，所以h′(x 0)＜0， 即h(x 0)在x ∈(1，＋∞)上单调递减．因为存在x 0∈[1，＋∞)，使得f(x 0)＜a(－x 30＋3x 0)成立，所以f(1)＝e ＋1e ＜2a ，即a ＞12⎝⎛⎭⎫e ＋1e . 因为ln a e －1ea －1＝ln a e －1－ln e a －1＝(e －1)ln a －a ＋1，设m(a)＝(e －1)ln a －a ＋1，则m′(a)＝e －1a －1＝e －1－a a ，a ＞12⎝⎛⎭⎫e ＋1e . 当12⎝⎛⎭⎫e ＋1e ＜a ＜e －1时，m ′(a)＞0，m(a)单调递增； 当a ＞e －1时，m ′(a)＜0，m(a)单调递减． 因此m(a)至多有两个零点，又m(1)＝m(e)＝0，所以当a ＞e 时，m(a)＜0，当12⎝⎛⎭⎫e ＋1e ＜a ＜e 时，m(a)＞0， 当a ＝e 时，m(a)＝0.因为m(a)＜0a e －1＜e a －1，m(a)＞0a e －1＞e a －1，m(a)＝0a e －1＝e a －1.综上，当12(e ＋e －1)＜a ＜e 时，a e －1＞e a －1；当a ＝e 时，a e －1＝e a －1；当a ＞e 时，a e －1＜e a －1.20. (1) 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，所以当n ＝1时，S 1＝a 1，当n ≥2时，S n ＝a n ＋1.所以{a n }是“H 数列”． (2) S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n （n －1）2d ， 对任意的n ∈N *，存在m ∈N *，使S n ＝a m ， 即n ＋n （n －1）d2＝1＋(m －1)d.取n ＝2，得1＋d ＝(m －1)d ，m ＝2＋1d.因为d ＜0，所以m ＜2，又m ∈N *，所以m ＝1，所以d ＝－1. 当d ＝－1时，a m ＝2－m, S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－（3－n ）n2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”，因此d 的值为－1.(3) 设{a n }的公差为d ，令b n ＝a 1－(n －1)a 1＝(2－n)a 1，对任意的n ∈N *，b n ＋1－b n ＝－a 1， c n ＝(n －1)(a 1＋d)，对任意的n ∈N *，c n ＋1－c n ＝a 1＋d ， 则b n ＋c n ＝a 1＋(n －1)d ＝a n ，且{b n }，{c n }为等差数列．{b n }的前n 项和T n ＝na 1＋n （n －1）2(－a 1)，令b m ＝(2－m)a 1＝T n ，则m ＝n （n －3）2＋2. 当n ＝1时，m ＝1；当n ＝2时，m ＝1；当n ≥3时，由于n 与n －3奇偶性不同，即n(n －3)为非负偶数，m ∈N *，因此对任意的n ∈N *，都可找到m ∈N *，使T n ＝b m 成立，即{b n }为“H 数列”．{c n }的前n 项和R n ＝n （n －1）2(a 1＋d)，令c m ＝(m －1)(a 1＋d)＝R n ，则m ＝n （n －1）2＋1，所以对任意的n ∈N *，n(n －1)是非负偶数，m ∈N *.即对任意的n ∈N *，都可找到m ∈N *，使得R n ＝c m 成立，即{c n }为“H 数列”．综上，原命题得证．2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，那么集合A ∪B 中元素的个数为________． 2. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________． 3. 若复数z 满足z 2＝3＋4i ，则z 的模为________．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．(第4题)5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．6. 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．7. 不等式2x2－x<4的解集为________．8. 已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，那么tan β的值为________．9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．11. 已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．13. 已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝⎩⎨⎧0，0<x ≤1，|x 2－4|－2，x>1，那么方程|f(x)＋g(x)|＝1实数根的个数为________．14. 若向量a k ＝⎝⎛⎭⎫cosk π6，sin k π6＋cosk π6(k ＝0，1，2，…，12)，则k ＝011(a k ·a k ＋1)的值为________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1) 求BC的长；(2) 求sin 2C的值．16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱AB-CA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.若AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.(1) 求证：DE∥平面AA1C1C；(2) 求证：BC1⊥AB1.(第16题)17. (本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l.如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5 km 和40 km ，点N 到l 1，l 2的距离分别为20 km 和 2.5 km ，以l 1，l 2所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝a x 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1) 求a ，b 的值；(2) 设公路l 与曲线C 相切于点P ，点P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．(第17题)18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋b(a ，b ∈R )．(1) 试讨论f(x)的单调性；(2) 若b ＝c －a(实数c 是与a 无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞，求c 的值．20. (本小题满分16分)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d(d ≠0)的等差数列． (1) 求证：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次成等比数列；(2) 是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次成等比数列，并说明理由；(3) 是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k 4依次成等比数列，并说明理由．2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1. 5 【解析】由题意知A ∪B ＝{1，2，3，4，5}，则集合中有5个元素．2. 6 【解析】平均数为4＋6＋5＋8＋7＋66＝366＝6.3. 5 【解析】方法一：由z 2＝3＋4i ，知|z 2|＝|z|2＝5，所以|z|＝ 5.方法二：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )代入z 2＝3＋4i ，得解得所以z ＝±(2＋i)，所以|z|＝ 5.4. 7 【解析】由题意知，在循环的过程中，S 与I 的值依次为3，4；5，7；7，10.最后输出的S 的值为7.5. 56 【解析】方法一：从4只球中一次摸出2只，基本事件共有6个，2只颜色相同的事件只有1个，根据对立事件的概率公式知所求的概率为1－16＝56.方法二：基本事件共有6个，其中颜色不同的事件有5个：(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，故所求的概率为56.6. －3 【解析】由题意知m(2，1)＋n(1，－2)＝(9，－8)，所以错误!解得错误!所以m －n ＝－3.7. (－1，2) 【解析】由2x 2－x<4，知x 2－x<2，解得－1<x<2，所以原不等式的解集为(－1，2)．8. 3 【解析】方法一：tan β＝tan (α＋β－α)＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝17＋21＋17×（－2）＝3.方法二：由tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，得－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.9. 7 【解析】底面半径为5，高为4的圆锥的体积是1003π；底面半径为2，高为8的圆柱的体积是32π，故总体积是1963π.设重新制作后的圆锥、圆柱的底面半径为r ，则13πr 2·4＋πr 2·8＝1963π，所以r 2＝7，所以r ＝7.10. (x －1)2＋y 2＝2 【解析】方法一：圆半径r ＝|－m －1|m 2＋1，由r 2＝m 2＋2m ＋1m 2＋1＝1＋2m m 2＋1≤2，知r ≤2，所以半径最大的圆为(x －1)2＋y 2＝2.方法二：直线mx －y －2m －1＝0过定点(2，－1)，该点必须不在以(1，0)为圆心的圆(x－1)2＋y 2＝r 2内，所以(2－1)2＋(－1)2≥r 2，从而r 2≤2，即所求半径最大的圆为(x －1)2＋y 2＝2.11.2011【解析】由a n ＋1－a n ＝n ＋1知，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n （n ＋1）2.当n ＝1时上式也成立，所以a n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *，所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为2(11－12＋12－13＋…＋110－111)＝2⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 12.22【解析】方法一：如图，数形结合，双曲线右支上点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于渐近线y ＝x 到x －y ＋1＝0的距离22，即c 的最大值为22. 方法二：设右支上点P ⎝⎛⎭⎫1cos α，tan α，－π2<α<π2，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪1cos α－tan α＋12＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－sin αcos α＋1＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22cos 2α2－sin 2α2＋1＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2cos α2＋sin α2＋1＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos α2cos α2＋sin α2＝2·cosα2cos α2＋sinα2＝2·11＋tanα2>22，即c 的最大值为22.(第12题)13. 4 【解析】若|f(x)＋g(x)|＝1，即f(x)＋g(x)＝±1.令h(x)＝f(x)＋g(x)，分段考虑函数．当x ∈(0，1]时，h(x)＝－lnx ，函数h(x)的值域为[0，＋∞)，且函数单调递减，故存在1个实数根；当x ∈(1，2]时，h(x)＝lnx －x 2＋2，h ′(x)＝1－2x 2x<0，所以函数单调递减，所以函数h(x)的值域为[ln2－2，1)，因为ln2－2<－1，故存在1个实数根；当x ∈(2，＋∞)时，h(x)＝lnx ＋x 2－6，函数单调递增，函数的值域为(ln2－2，＋∞)，故存在2个实数根．综上，一共存在4个实数根．14. 93 【解析】方法一：a 0·a 1＝(1，1)·⎝⎛⎭⎫32，32＋12＝3＋12，a 1·a 2＝334＋1，a 2·a 3＝32＋12，a 3·a 4＝32－12，a 4·a 5＝334－1，a 5·a 6＝3－12，a 6·a 7＝a 0·a 1，a 7·a 8＝a 1·a 2，…，所以(a k ·a k ＋1)＝2×932＝9 3.方法二：a k ·a k ＋1＝⎝⎛⎭⎫cosk π6，sin k π6＋cos k π6·(cos （k ＋1）π6，sin （k ＋1）π6＋cos（k ＋1）π6)＝cos k π6cos （k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋cos π6＝12cos （2k ＋1）π6＋sin （2k ＋1）π6＋334，根据三角函数的周期性，(a k ·a k ＋1)＝12cos（2k ＋1）π6＋sin（2k ＋1）π6＋334＝0＋0＋12×334＝9 3. 15. (1) 由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2) 由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB<BC ，所以C 为锐角， 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277， 所以sin 2C ＝2sin Ccos C ＝2×217×277＝437. 16. (1) 由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，所以DE ∥AC. 又因为DE平面AA 1C 1C ，AC平面AA 1C 1C ，所以DE ∥平面AA 1C 1C.(2) 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC. 因为AC平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1，BC 平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1. 又因为BC 1平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC.因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，所以BC 1⊥B 1C. 因为AC ，B 1C平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC.又因为AB 1平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.17. (1) 由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b，得(2) ①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，1 000t 2. 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于点A ，B ，y ′＝－2 000x 3，则直线l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t)， 由此得A ⎝⎛⎭⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎫0，3 000t 2， 故f(t)＝⎝⎛⎭⎫3t 22＋⎝⎛⎭⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20]．②设g(t)＝t 2＋4×106t 4，则g′(t)＝2t －16×106t 5.令g′(t)＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t)<0，g(t)单调递减； 当t ∈(102，20)时，g ′(t)>0，g(t)单调递增．所以，当t ＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，g(t)min ＝300，此时f(t)min ＝15 3. 答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为15 3 km. 18. (1) 由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2) 当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），所以PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k|（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k|（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.19. (1) f′(x)＝3x 2＋2ax ，令f′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a3.当a ＝0时，因为f′(x)＝3x 2>0(x ≠0)， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)，f ′(x)>0，函数f(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－2a3，(0，＋∞)上单调递增；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a 3，0，f ′(x)<0，函数f(x)在⎝⎛⎭⎫－2a3，0上单调递减； 当a<0时，x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞，f ′(x)>0，函数f(x)在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a 3，＋∞上单调递增；x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a 3时，f ′(x)<0，函数f(x)在⎝⎛⎭⎫0，－2a3上单调递减． (2) 由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b ，f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝427a 3＋b ， 则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f ⎝⎛⎭⎫－2a 3＝b(427a 3＋b)<0，又因为b ＝c －a ，所以当a>0时，427a 3－a ＋c>0；当a<0时，427a 3－a ＋c<0.设g(a)＝427a 3－a ＋c ，因为函数f(x)有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞， 则在(－∞，－3)上，g(a)<0，且在⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞上，g(a)>0均恒成立， 从而g(－3)＝c －1≤0，且g ⎝⎛⎭⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f(x)＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x ＋1－a]， 因为函数f(x)有三个不同的零点，所以x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不相等的实数根， 所以Δ＝(a －1)2－4(1－a)＝a 2＋2a －3>0， 且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 综上，c 的值为1.20. (1) 因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．(2) 令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d(a>d ，a>－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d)(a ＋d)3，且(a ＋d)6＝a 2(a ＋2d)4. 令t ＝da ，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4⎝⎛⎭⎫－12<t<1，t ≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式， t(t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14.显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3) 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k 4依次构成等比数列， 则a n 1(a 1＋2d)n ＋2k＝(a 1＋d)2(n ＋k)，且(a 1＋d)n ＋k (a 1＋3d)n ＋3k ＝(a 1＋2d)2(n ＋2k)． 分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1，并令t ＝da 1⎝⎛⎭⎫t>－13，t ≠0， 则(1＋2t)n ＋2k ＝(1＋t)2(n ＋k)，且(1＋t)n ＋k (1＋3t)n ＋3k ＝(1＋2t)2(n ＋2k)，将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k)ln(1＋2t)＝2(n ＋k)ln(1＋t)，且(n ＋k)ln(1＋t)＋(n ＋3k)ln(1＋3t)＝2(n ＋2k)ln(1＋2t)． 化简得2k[ln(1＋2t)－ln(1＋t)]＝n[2ln(1＋t)－ln(1＋2t)]， 且3k[ln(1＋3t)－ln(1＋t)]＝n[3ln(1＋t)－ln(1＋3t)]． 再将这两式相除，化简得ln(1＋3t)ln(1＋2t)＋3ln(1＋2t)ln(1＋t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)． (**) 令g(t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)－ln(1＋3t)ln(1＋2t)－3ln(1＋2t)ln(1＋t)， 则g′(t)＝2[（1＋3t ）2ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2ln （1＋t ）]（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）.令φ(t)＝(1＋3t)2ln(1＋3t)－3(1＋2t)2ln(1＋2t)＋3(1＋t)2ln(1＋t)， 则φ′(t)＝6[(1＋3t)ln(1＋3t)－2(1＋2t)ln(1＋2t)＋(1＋t)ln(1＋t)]． 令φ1(t)＝φ′(t)，则φ′1(t)＝6[3ln(1＋3t)－4ln(1＋2t)＋ln(1＋t)]． 令φ2(t)＝φ′1(t)，则φ′2(t)＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）>0.由g(0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t)>0，知φ2(t)，φ1(t)，φ(t)，g(t)在⎝⎛⎭⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g(t)只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k4依次构成等比数列．2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{－1，2，3，6}，B ＝{x|－2<x<3}，那么A ∩B ＝________．2. 若复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．3. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．4. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，那么该组数据的方差是________． 5. 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．6. 如图所示的算法流程图，输出的a 的值是________．(第6题)7. 将一枚质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．8. 已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 9. 定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________．10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，若直线y＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．(第10题)11. 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x<0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x<1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f(5a)的值是________．12. 已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，那么x 2＋y 2的取值范围是________．13. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，若BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．(第13题)14. 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin Bsin C ，则tan Atan Btan C 的最小值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1) 求边AB 的长； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值．\16. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.(1) 求证：直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2) 求证：平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.(第16题)17. (本小题满分14分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，如图，上部分的形状是正四棱锥PA 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1) 若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？(第17题)18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A(2，4)．(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3) 设点T(t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝a x ＋b x (a>0，b>0，a ≠1，b ≠1)． (1) 设a ＝2，b ＝12.①求方程f(x)＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m 的最大值． (2) 若0<a<1，b>1，函数g(x)＝f(x)－2有且只有1个零点，求ab 的值．20. (本小题满分16分)记U ＝{1，2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 对任意正整数k(1≤k ≤100)，若T {1，2，…，k}，求证：S T <a k ＋1； (3) 设S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .2016年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)1. {－1，2} 【解析】由题意知A ∩B ＝{－1，2}．2. 5 【解析】由题意知z ＝5＋5i ，所以z 的实部是5.3. 210 【解析】由题意知c ＝a 2＋b 2＝7＋3＝10，所以焦距为2c ＝210.4. 0.1 【解析】因为x ＝15(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，所以s 2＝15(0.42＋0.32＋02＋0.32＋0.42)＝0.1.5. [－3，1] 【解析】由题意知3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1，所以原函数的定义域为[－3，1]．6. 9 【解析】由流程图可知，在循环的过程中，a 与b 的值依次为1，9；5，7；9，5.因为9>5，所以输出的a ＝9.7. 56 【解析】由题意知，先后抛掷骰子2次，共有36个基本事件．其中点数之和大于等于10的基本事件有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个，则点数之和小于10的基本事件共有30个．故所求的概率为3036＝56.8. 20 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意知a 1＋(a 1＋d)2＝－3，5a 1＋10d ＝10，解得a 1＝－4，d ＝3，所以a 9＝－4＋8×3＝20.9. 7 【解析】如图，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝sin 2x 与y ＝cos x 在区间[0，3π]上的图象，可知共有7个交点．(第9题)10.63【解析】由题意知焦点F 的坐标为(c ，0)，联立解得x ＝±32a ，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3a 2，b 2，点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫3a 2，b 2. 因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0.又BF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋3a 2，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎫c －3a 2，－b 2，所以c 2－34a 2＋14b 2＝0.因为b 2＝a 2－c 2，所以34c 2＝12a 2，即c 2a 2＝23，所以e ＝ca ＝23＝63.11. －25 【解析】由题意知f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 因为f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，所以－12＋a ＝110，解得a ＝35， 所以f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋a ＝－1＋35＝－25.12. ⎣⎡⎦⎤45，13 【解析】作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y)到原点O 的距离的平方．由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B到原点O 的距离最远．点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2)min ＝45；点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤45，13.(第12题)13. 78 【解析】方法一：设DF →＝a ，DB →＝b ，则DC →＝－b ，DE →＝2a ，DA →＝3a ，所以BA→＝DA →－DB →＝3a －b ，CA →＝DA →－DC →＝3a ＋b ，BE →＝DE →－DB →＝2a －b ，CE →＝DE →－DC →＝2a ＋b ，BF →＝DF →－DB →＝a －b ，CF →＝DF →－DC →＝a ＋b ，所以BA →·CA →＝9a 2－b 2，BF →·CF →＝a 2－b 2，BE →·CE →＝4a 2－b 2.又因为BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，所以9a 2－b 2＝4，a 2－b 2＝－1，解得a 2＝58，b 2＝138，所以BE →·CE →＝4a 2－b 2＝4×58－138＝78. 方法二：以D 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设点B 的坐标为(－a ，0)，点C 的坐标为(a ，0)，点A 的坐标为(b ，c)，所以BA →＝(b ＋a ，c)，CA →＝(b －a ，c)，BF →＝⎝⎛⎭⎫b 3＋a ，c 3，CF →＝⎝⎛⎭⎫b 3－a ，c 3. 因为BA →·CA →＝b 2－a 2＋c 2＝4，BF →·CF →＝b 29－a 2＋c 29＝－1，所以b 2＋c 2＝458，a 2＝138.又因为BE →＝BD →＋DE →＝⎝⎛⎭⎫23b ＋a ，2c 3，CE →＝CD →＋DE →＝(23b －a ，2c 3)， 所以BE →·CE →＝49b 2－a 2＋4c 29＝49×458－138＝78.14. 8 【解析】因为sin A ＝2sin Bsin C ，所以sin(B ＋C)＝2sin Bsin C ，所以sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bsin C ，等式两边同时除以cos Bcos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan Btan C. 又因为tan A ＝－tan(B ＋C)＝tan B ＋tan Ctan Btan C －1，所以tan Atan Btan C －tan A ＝2tan Btan C ，即tan Btan C(tan A －2)＝tan A.因为A ，B ，C 为锐角，所以tan A ，tan B ，tan C>0，且tan A>2， 所以tan Btan C ＝tan A tan A －2，所以原式＝tan 2Atan A －2.令tan A －2＝t(t>0)，则tan 2A tan A －2＝（t ＋2）2t ＝t 2＋4t ＋4t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝2，即tan A ＝4时取等号． 故tan Atan Btan C 的最小值为8.15. (1) 因为cos B ＝45，0<B<π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2) 在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C)， 所以cos A ＝－cos(B ＋C)＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos Bcos π4＋sin Bsin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0<A<π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210，所以cos ⎝⎛⎫A －π6＝cos Acos π6＋sin Asin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.16. (1) 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC.在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以DE ∥AC ，所以DE ∥A 1C 1. 又因为DE平面A 1C 1F ，A 1C 1平面A 1C 1F ，所以直线DE ∥平面A 1C 1F.(2) 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1. 因为A 1C 1平面A 1B 1C 1，所以A 1A ⊥A 1C 1.又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A平面ABB 1A 1，A 1B 1平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1. 因为B 1D平面ABB 1A 1，所以A 1C 1⊥B 1D.又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1平面A 1C 1F ，A 1F平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F. 因为直线B 1D平面B 1DE ，所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.17. (1) 由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m ，因为A 1B 1＝AB ＝6 m ， 所以正四棱锥PA 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)， 正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)， 所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2) 设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ，则0<h<6，O 1O ＝4h m.如图，连接O 1B 1.在Rt △PO 1B 1中，因为O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)， 所以仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h<6，所以V′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍去)． 当0<h<23时，V ′>0，V 在(0，23)上是单调增函数； 当23<h<6时，V ′<0，V 在(23，6)上是单调减函数． 故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 所以，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．(第17题)18. 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M(6，7)，半径为5.(1) 由圆心N 在直线x ＝6上，可设N(6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，所以圆N 的 半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1， 所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2) 因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m|5＝|m ＋5|5.(第18题)如图，因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，又MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝（m ＋5）25＋5， 解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3) 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，因为A(2，4)，T(t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25. ② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25，所以点P(x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5， 解得2－221≤t ≤2＋221.所以实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]． 19. (1) 因为a ＝2，b ＝12，所以f(x)＝2x ＋2－x .①方程f(x)＝2，则2x ＋2－x ＝2，即(2x )2－2×2x ＋1＝0， 所以(2x －1)2＝0，所以2x ＝1，解得x ＝0.②由题意知f(2x)＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f(x))2－2， 因为f(2x)≥mf(x)－6对于x ∈R 恒成立，且f(x)>0，所以m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立．又（f （x ））2＋4f （x ）＝f(x)＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0）＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2) 因为函数g(x)＝f(x)－2只有1个零点，又g(0)＝f(0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g(x)的唯一零点． 因为g′(x)＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0<a<1，b>1，知ln a<0，ln b>0，所以g′(x)＝0有唯一解x 0＝log b a⎝⎛⎭⎫－ln aln b .令h(x)＝g′(x)， 则h′(x)＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a)2＋b x (ln b)2，从而对任意x ∈R ，h ′(x)>0，所以g′(x)＝h(x)是(－∞，＋∞)上的单调增函数， 所以当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x)<g′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x)>g ′(x 0)＝0.所以函数g(x)在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0<0，则x 0<x 02<0，所以g ⎝⎛⎭⎫x 02<g(0)＝0.又g(log a 2)＝alog a 2＋blog a 2－2>alog a 2－2＝0，且函数g(x)在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g(x)的零点，记为x 1.因为0<a<1，所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾． 若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾．综上，x 0＝0. 所以－ln aln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1. 20. (1) 由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.所以当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2) 因为T{1，2，…，k}，a n ＝3n －1>0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k ，所以S T <a k ＋1.(3) 下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集． 令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ，则E ≠，F ≠，E ∩F ＝，所以S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，又由S C ≥S D ，得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l.由(2)知，S E <a k ＋1，所以3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k ，所以l －1<k ，即l ≤k. 又k ≠l ，故l ≤k －1，所以S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1，即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1.综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D .。

在 答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮 擦干净后，再正确涂写。 3．答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它
位 置作答一律无效。 一4、．填如空有题作：图本需大要题，共可用14 2小B题铅，笔每作小答题，并5 分请，加共黑加70粗分，．描请写把清答楚案。直接填写在答题卡相应位置上．
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错点和薄弱点，主要是由于对正弦值为 的角的惯性思维为 ，这个问题也是今年的热点问题，在模拟
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽 纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2014年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共计70分）1．（5分）已知集合A={﹣2,﹣1,3,4},B={﹣1,2,3},则A∩B=．2．（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位）,则z的实部为．3．（5分）如图是一个算法流程图,则输出的n的值是．4．（5分）从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是．5．（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π）,它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是．6．（5分）为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位:cm）,所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有株树木的底部周长小于100cm．7．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是．8．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．10．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f（x）＜0成立,则实数m的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+（a,b为常数）过点P（2,﹣5）,且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是．12．（5分）如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,•=2,则•的值是．13．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3）时,f（x）=|x2﹣2x+|,若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点（互不相同）,则实数a的取值范围是．14．（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题,共计90分）15．（14分）已知α∈（,π）,sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．16．（14分）如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PA ⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5．求证:（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．17．（14分）如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点,顶点B的坐标为（0,b）,连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x 轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C．（1）若点C的坐标为（,）,且BF2=,求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值．18．（16分）如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸）,tan ∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大？19．（16分）已知函数f（x）=e x+e﹣x,其中e是自然对数的底数．（1）证明:f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0,+∞）上恒成立,求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞）,使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立,试比较e a﹣1与a e﹣1的大小,并证明你的结论．20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n,若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得S n=a m,则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*）,证明:{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列,其首项a1=1,公差d＜0,若{a n}是“H数列”,求d的值；（3）证明:对任意的等差数列{a n},总存在两个“H数列”{b n}和{c n},使得a n=b n+c n （n∈N*）成立．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题,请选定其中两个小题作答,若多做,则按作答的前两个小题评分）【选修4-1:几何证明选讲】21．（10分）如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点,证明:∠OCB=∠D．【选修4-2:矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=,B=,向量=,x,y为实数,若A=B,求x+y的值．【选修4-3:极坐标及参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为（t为参数）,直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长．【选修4-4:不等式选讲】24．已知x＞0,y＞0,证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．(二）必做题（本部分包括25、26两题,每题10分,共计20分）25．（10分）盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数,求X的概率分布和数学期望E（X）．26．（10分）已知函数f0（x）=（x＞0）,设f n（x）为f n﹣1（x）的导数,n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明:对任意n∈N*,等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．2014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,共计70分）1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2,﹣1,3,4},B={﹣1,2,3},则A∩B={﹣1,3} ．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解:∵A={﹣2,﹣1,3,4},B={﹣1,2,3},∴A∩B={﹣1,3},故答案为:{﹣1,3}【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础．2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位）,则z的实部为21．【分析】根据复数的有关概念,即可得到结论．【解答】解:z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i,故z的实部为21,故答案为:21【点评】本题主要考查复数的有关概念,利用复数的基本运算是解决本题的关键,比较基础．3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图,则输出的n的值是5．【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值,代入正整数n验证可得答案．【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值,∵24=16＜20,25=32＞20,∴输出n=5．故答案为:5．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．4．（5分）（2014•江苏）从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是．【分析】首先列举并求出“从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数,利用概率公式计算即可．【解答】解:从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1,2）,（1,3）,（1,6）,（2,3）,（2,6）,（3,6）共6个,所取2个数的乘积为6的基本事件有（1,6）,（2,3）共2个,故所求概率P=．故答案为:．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用,关键是一一列举出所有的基本事件．5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π）,它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是．【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ）,它们的图象有一个横坐标为的交点,可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．【解答】解:∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ）,它们的图象有一个横坐标为的交点,∴=．∵0≤φ＜π,∴,∴+φ=,解得φ=．故答案为:．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值,属于基础题．6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位:cm）,所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有24株树木的底部周长小于100cm．【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm 的频率,再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．【解答】解:由频率分布直方图知:底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4,∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．故答案为:24．【点评】本题考查了频率分布直方图,在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是4．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q＞0,a1＞0．∵a8=a6+2a4,∴,化为q4﹣q2﹣2=0,解得q2=2．∴a6===1×22=4．故答案为:4．【点评】本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题．8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是．【分析】设出两个圆柱的底面半径与高,通过侧面积相等,推出高的比,然后求解体积的比．【解答】解:设两个圆柱的底面半径分别为R,r；高分别为H,h；∵=,∴,它们的侧面积相等,∴,∴===．故答案为:．【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用,是基础题目．9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．【分析】求出已知圆的圆心为C（2,﹣1）,半径r=2．利用点到直线的距离公式,算出点C到直线直线l的距离d,由垂径定理加以计算,可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．【解答】解:圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2,﹣1）,半径r=2,∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==,∴根据垂径定理,得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=故答案为:．【点评】本题给出直线与圆的方程,求直线被圆截得的弦长,着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题．10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f（x）＜0成立,则实数m的取值范围是（﹣,0）．【分析】由条件利用二次函数的性质可得,由此求得m的范围．【解答】解:∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上,对于任意x∈[m,m+1],都有f（x）＜0成立,∴,即,解得﹣＜m＜0,故答案为:（﹣,0）．【点评】本题主要考查二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想,属于基础题．11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+（a,b为常数）过点P（2,﹣5）,且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是﹣3．【分析】由曲线y=ax2+（a,b为常数）过点P（2,﹣5）,且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,可得y|x=2=﹣5,且y′|x=2=,解方程可得答案．【解答】解:∵直线7x+2y+3=0的斜率k=,曲线y=ax2+（a,b为常数）过点P（2,﹣5）,且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,∴y′=2ax﹣,∴,解得:,故a+b=﹣3,故答案为:﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,其中根据已知得到y|x=2=﹣5,且y′|x=2=,是解答的关键．12．（5分）（2014•江苏）如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,•=2,则•的值是22．【分析】由=3,可得=+,=﹣,进而由AB=8,AD=5,=3,•=2,构造方程,进而可得答案．【解答】解:∵=3,∴=+,=﹣,又∵AB=8,AD=5,∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2,故•=22,故答案为:22．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用,平面向量数量积的运算,其中根据已知得到=+,=﹣,是解答的关键．13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3）时,f（x）=|x2﹣2x+|,若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点（互不相同）,则实数a的取值范围是（0,）．【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象,利用数形结合判断a 的范围即可．【解答】解:f（x）是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3）时,f（x）=|x2﹣2x+|,若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点（互不相同）,在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图:由图象可知．故答案为:（0,）．【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法,数形结合的应用．14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是．【分析】根据正弦定理和余弦定理,利用基本不等式即可得到结论．【解答】解:由正弦定理得a+b=2c,得c=（a+b）,由余弦定理得cosC====≥=,当且仅当时,取等号,故≤cosC＜1,故cosC的最小值是．故答案为:．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,结合基本不等式的性质是解决本题的关键．二、解答题（本大题共6小题,共计90分）15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（,π）,sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．【分析】（1）通过已知条件求出cosα,然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；（2）求出cos2α,然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．【解答】解:α∈（,π）,sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为:﹣．（2）∵α∈（,π）,sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=,sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为:﹣．【点评】本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力．16．（14分）（2014•江苏）如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5．求证:（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点,得出DE∥PA,从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC,只需证DE⊥平面ABC,即证DE⊥EF,且DE⊥AC即可．【解答】证明:（1）∵D、E为PC、AC的中点,∴DE∥PA,又∵PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点,∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点,∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2,∴∠DEF=90°,∴DE⊥EF；∵DE∥PA,PA⊥AC,∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E,∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABC．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题,解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系,是基础题目．17．（14分）（2014•江苏）如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点,顶点B的坐标为（0,b）,连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C．（1）若点C的坐标为（,）,且BF2=,求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值．【分析】（1）根据椭圆的定义,建立方程关系即可求出a,b的值．（2）求出C的坐标,利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系,解方程即可求出e的值．【解答】解:（1）∵C的坐标为（,）,∴,即,∵,∴a2=（）2=2,即b2=1,则椭圆的方程为+y2=1．（2）设F1（﹣c,0）,F2（c,0）,∵B（0,b）,∴直线BF2:y=﹣x+b,代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0,解得x=0,或x=,∵A（,）,且A,C关于x轴对称,∴C（,﹣）,则=﹣=,∵F1C⊥AB,∴×（）=﹣1,由b2=a2﹣c2得,即e=．【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题,要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系,运算量较大．18．（16分）（2014•江苏）如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸）,tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大？【分析】（1）在四边形AOCB中,过B作BE⊥OC于E,过A作AF⊥BE于F,设出AF,然后通过解直角三角形列式求解BE,进一步得到CE,然后由勾股定理得答案；（2）设BC与⊙M切于Q,延长QM、CO交于P,设OM=xm,把PC、PQ用含有x的代数式表示,再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围,得到x取最小值时圆的半径最大,即圆形保护区的面积最大．【解答】解:（1）如图,过B作BE⊥OC于E,过A作AF⊥BE于F,∵∠ABC=90°,∠BEC=90°,∴∠ABF=∠BCE,∴．设AF=4x（m）,则BF=3x（m）．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°,∴OE=AF=4x（m）,EF=AO=60（m）,∴BE=（3x+60）m．∵,∴CE=（m）．∴（m）．∴,解得:x=20．∴BE=120m,CE=90m,则BC=150m；（2）如图,设BC与⊙M切于Q,延长QM、CO交于P,∵∠POM=∠PQC=90°,∴∠PMO=∠BCO．设OM=xm,则OP=m,PM=m．∴PC=m,PQ=m．设⊙M半径为R,∴R=MQ=m=m．∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m,则R﹣AM≥80,R﹣OM≥80,∴136﹣﹣（60﹣x）≥80,136﹣﹣x≥80．解得:10≤x≤35．∴当且仅当x=10时R取到最大值．∴OM=10m时,保护区面积最大．【点评】本题考查圆的切线,考查了直线与圆的位置关系,解答的关键在于对题意的理解,是中档题．19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=e x+e﹣x,其中e是自然对数的底数．（1）证明:f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0,+∞）上恒成立,求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞）,使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立,试比较e a﹣1与a e﹣1的大小,并证明你的结论．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；（2）利用参数分离法,将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0,+∞）上恒成立,进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；（3）构造函数,利用函数的单调性,最值与单调性之间的关系,分别进行讨论即可得到结论．【解答】解:（1）∵f（x）=e x+e﹣x,∴f（﹣x）=e﹣x+e x=f（x）,即函数:f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0,+∞）上恒成立,即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1,∵x＞0,∴e x+e﹣x﹣1＞0,即m≤在（0,+∞）上恒成立,设t=e x,（t＞1）,则m≤在（1,+∞）上恒成立,∵=﹣=﹣,当且仅当t=2时等号成立,∴m．（3）令g（x）=e x+e﹣x﹣a（﹣x3+3x）,则g′（x）=e x﹣e﹣x+3a（x2﹣1）,当x＞1,g′（x）＞0,即函数g（x）在[1,+∞）上单调递增,故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a,由于存在x0∈[1,+∞）,使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立,故e+﹣2a＜0,即a＞（e+）,令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1,则h′（x）=1﹣,由h′（x）=1﹣=0,解得x=e﹣1,当0＜x＜e﹣1时,h′（x）＜0,此时函数单调递减,当x＞e﹣1时,h′（x）＞0,此时函数单调递增,∴h（x）在（0,+∞）上的最小值为h（e﹣1）,注意到h（1）=h（e）=0,∴当x∈（1,e﹣1）⊆（0,e﹣1）时,h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0,当x∈（e﹣1,e）⊆（e﹣1,+∞）时,h（x）＜h（e）=0,∴h（x）＜0,对任意的x∈（1,e）成立．①a∈（（e+）,e）⊆（1,e）时,h（a）＜0,即a﹣1＜（e﹣1）lna,从而e a﹣1＜a e﹣1,②当a=e时,a e﹣1=e a﹣1,③当a∈（e,+∞）⊆（e﹣1,+∞）时,当a＞e﹣1时,h（a）＞h（e）=0,即a﹣1＞（e﹣1）lna,从而e a﹣1＞a e﹣1．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定,函数单调性和最值的应用,利用导数是解决本题的关键,综合性较强,运算量较大．20．（16分）（2014•江苏）设数列{a n}的前n项和为S n,若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得S n=a m,则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*）,证明:{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列,其首项a1=1,公差d＜0,若{a n}是“H数列”,求d的值；（3）证明:对任意的等差数列{a n},总存在两个“H数列”{b n}和{c n},使得a n=b n+c n （n∈N*）成立．【分析】（1）利用“当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1,当n=1时,a1=S1”即可得到a n,再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n,对∀n∈N*,∃m∈N*使S n=a m,取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d,构造数列:b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1,c n=（n﹣1）（a1+d）,可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．【解答】解:（1）当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1,当n=1时,a1=S1=2．当n=1时,S1=a1．当n≥2时,S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==,对∀n∈N*,∃m∈N*使S n=a m,即,取n=2时,得1+d=（m﹣1）d,解得,∵d＜0,∴m＜2,又m∈N*,∴m=1,∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d,令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1,对∀n∈N*,b n+1﹣b n=﹣a1,c n=（n﹣1）（a1+d）,对∀n∈N*,c n+1﹣c n=a1+d,则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n,且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=,令T n=（2﹣m）a1,则．当n=1时,m=1；当n=2时,m=1．当n≥3时,由于n与n﹣3的奇偶性不同,即n（n﹣3）为非负偶数,m∈N*．因此对∀n∈N*,都可找到m∈N*,使T n=b m成立,即{b n}为H数列．数列{c n}的前n项和R n=,令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n,则m=．∵对∀n∈N*,n（n﹣3）为非负偶数,∴m∈N*．因此对∀n∈N*,都可找到m∈N*,使R n=c m成立,即{c n}为H数列．因此命题得证．【点评】本题考查了利用“当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1,当n=1时,a1=S1”求a n、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、构造法,属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题,请选定其中两个小题作答,若多做,则按作答的前两个小题评分）【选修4-1:几何证明选讲】21．（10分）（2014•江苏）如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点,证明:∠OCB=∠D．【分析】利用OC=OB,可得∠OCB=∠B,利用同弧所对的圆周角相等,即可得出结论．【解答】证明:∵OC=OB,∴∠OCB=∠B,∵∠B=∠D,∴∠OCB=∠D．【点评】本题考查同弧所对的圆周角相等,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题．【选修4-2:矩阵与变换】22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=,B=,向量=,x,y为实数,若A=B,求x+y的值．【分析】利用矩阵的乘法,结合A=B,可得方程组,即可求x,y的值,从而求得x+y 的值．【解答】解:∵矩阵A=,B=,向量=,A=B,∴,∴x=﹣,y=4,∴x+y=【点评】本题考查矩阵的乘法,考查学生的计算能力,属于基础题．【选修4-3:极坐标及参数方程】23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为（t为参数）,直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长．【分析】直线l的参数方程化为普通方程,与抛物线y2=4x联立,求出A,B的坐标,即可求线段AB的长；或用参数方程直接求解．【解答】解:解法一:直线l的参数方程为,化为普通方程为x+y=3,与抛物线y2=4x联立,可得x2﹣10x+9=0,∴交点A（1,2）,B（9,﹣6）,∴|AB|==8．解法二:4+2t+t2=4﹣2t4t+t2=0t2+8t=0解得:t1=0或t2=﹣8|AB|=|t1﹣t2|=8【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系:相交关系的应用,考查学生的计算能力,属于基础题．【选修4-4:不等式选讲】24．（2014•江苏）已知x＞0,y＞0,证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．【分析】由均值不等式可得1+x+y2≥3,1+x2+y≥,两式相乘可得结论．【解答】证明:由均值不等式可得1+x+y2≥3,1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1,x2=y=1时等号成立,∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．【点评】本题考查不等式的证明,正确运用均值不等式是关键．(二）必做题（本部分包括25、26两题,每题10分,共计20分）25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数,求X的概率分布和数学期望E（X）．【分析】（1）先求出取2个球的所有可能,再求出颜色相同的所有可能,最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可能值,在分别求出所有可能值的概率,列出分布列,根据数学期望公式计算即可．【解答】解（1）一次取2个球共有=36种可能,2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=．（2）X的所有可能值为4,3,2,则P（X=4）=,P（X=3）=于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=,X的概率分布列为X234P故X数学期望E（X）=．【点评】本题考查了排列组合,概率公式以概率的分布列和数学期望,知识点比较多,属基础题．26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0）,设f n（x）为f n﹣1（x）的导数,n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明:对任意n∈N*,等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦,根据条件和结论先将原函数化为:xf0（x）=sinx,然后两边求导后根据条件两边再求导得:2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx,把x=代入式子求值；（2）由（1）得,f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx,利用相同的方法再对所得的式子两边再求导,并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳,再进行猜想得到等式,用数学归纳法进行证明等式成立,主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明,最后再把x=代入所给的式子求解验证．【解答】解:（1）∵f0（x）=,∴xf0（x）=sinx,则两边求导,[xf0（x）]′=（sinx）′,∵f n（x）为f n﹣1（x）的导数,n∈N*,∴f0（x）+xf1（x）=cosx,两边再同时求导得,2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx,将x=代入上式得,2f1（）+f2（）=﹣1,（2）由（1）得,f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+）,恒成立两边再同时求导得,2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π）,再对上式两边同时求导得,3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+）,同理可得,两边再同时求导得,4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π）,猜想得,nf n（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立,﹣1下面用数学归纳法进行证明等式成立:①当n=1时,成立,则上式成立；②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立,即,（x）+xf k（x）]′=kf k﹣1′（x）+f k（x）+xf k′（x）∵[kf k﹣1=（k+1）f k（x）+xf k+1（x）又===,∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式也成立,（x）+xf n（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立,由①②得,nf n﹣1（）+f n（）=sin（+）=±cos=±,令x=代入上式得,nf n﹣1所以,对任意n∈N*,等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．【点评】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式,以及数学归纳法证明命题、转化思想等,本题设计巧妙,题型新颖,立意深刻,是一道不可多得的好题,难度很大,考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力,以及逻辑思维能力．参与本试卷答题和审题的老师有:maths；清风慕竹；whgcn；沂蒙松；qiss；caoqz；豫汝王世崇；742048；sxs123；刘长柏；gongjy（排名不分先后）菁优网2017年3月24日。