2013年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题(2013年江苏省高考数学)

2013年普通高等学校招生全国统一考试

江苏卷数学试题

数学Ⅰ试题

参考公式：

样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝1𝑛∑𝑖＝1𝑛(xi﹣𝑥)2，其中𝑥＝1𝑛∑𝑖＝1𝑛xi.棱锥的体积公式：V＝13Sh，其中S是锥体的底面积，h为高.棱柱的体积公式：V＝Sh，其中S是柱体的底面积，h为高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.．

1.函数y＝3sin(2𝑥＋𝜋4)的最小正周期为__________.

答案：π

解析：函数y＝3sin(2𝑥＋π4)的最小正周期T＝2π2＝π.

2.设z＝(2﹣i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为__________.

答案：5

解析：|z|＝|(2﹣i)2|＝|4﹣4i＋i2|＝|3﹣4i|＝√32＋(﹣4)2＝5.

3.双曲线𝑥216−𝑦29＝1的两条渐近线的方程为__________.

答案：y＝±34x

解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y＝±34x.

4.集合{﹣1，0，1}共有__________个子集.

答案：8

解析：由于集合{﹣1，0，1}有3个元素，故其子集个数为23＝8.

5.下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是__________.

答案：3

解析：第一次循环后：a←8，n←2;

第二次循环后：a←26，n←3;

由于26>20，跳出循环，

输出n＝3.

6.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次

甲 87 91 90 89

93

乙 89 90 91 88 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________.

答案：2

解析：由题中数据可得𝑥甲＝90，𝑥乙＝90.

于是𝑠甲2＝15[(87﹣90)2＋(91﹣90)2＋(90﹣90)2＋(89﹣90)2＋(93﹣90)2]＝4，𝑠乙2＝15[(89﹣90)2＋(90﹣90)2＋(91﹣90)2＋(88﹣90)2＋(92﹣90)2]＝2，

由𝑠甲2>𝑠乙2，可知乙运动员成绩稳定.故应填2.

7.现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为__________.

答案：2063

解析：由题意知m的可能取值为1，2，3，…，7;n的可能取值为1，2，3，…，9.由于是任取m，n：若m＝1时，n可取1，2，3，…，9，共9种情况;同理m取2，3，…，7时，n也各有9种情况，故m，n的取值情况共有7×9＝63种.若m，n都取奇数，则m的取值为1，3，5，7，n的取值为1，3，5，7，9，因此满足条件的情形有4×5＝20种.故所求概率为2063.

8.如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1∶V2＝__________.

答案：1∶24

解析：由题意可知点F到面ABC的距离与点A1到面ABC的距离之比为1∶2，S∶ADE∶S∶ABC＝1∶4.

因此V1∶V2＝13AF·𝑆△𝐴𝐸𝐷2𝐴𝐹·𝑆△𝐴𝐵𝐶＝1∶24.

9.抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是__________.

答案：[﹣2，12]

解析：由题意可知抛物线y＝x2在x＝1处的切线方程为y＝2x﹣1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：

当直线x＋2y＝0平移到过点A(12，0)时，x＋2y取得最大值12.

当直线x＋2y＝0平移到过点B(0，﹣1)时，x＋2y取得最小值﹣2.

因此所求的x＋2y的取值范围为[﹣2，12].

10.设D，E分别是∶ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC．若𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λ2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________.

答案：12

解析：

由题意作图如图.∶在∶ABC中，𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ＝𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＋𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )＝﹣16𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ＋23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λ1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

＋λ2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，∶λ1＝﹣16，λ2＝23.

故λ1＋λ2＝12.

11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2﹣4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________.

答案：(﹣5，0)∶(5，＋∞)

解析：∶函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x2﹣4x，则f(x)＝{x2﹣4x，x>0，0，x＝0，﹣x2﹣4x，x<0，∴∶原不等式等价于{x>0，x2﹣4x>x，或{x<0，﹣x2﹣4x>x.

由此可解得x>5或﹣5

故应填(﹣5，0)∶(5，＋∞).

12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B．设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2＝√6d1，则椭圆C的离心率为__________.

答案：√33

解析：设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为xc＋yb＝1，即bx＋cy﹣bc＝0.于是可知d1＝bc√b2＋c2＝bca，d2＝a2c﹣c＝a2﹣c2c＝b2c.

∶d2＝√6d1，∶b2c＝√6bca，即ab＝√6c2. ∶a2(a2﹣c2)＝6c4.∶6e4＋e2﹣1＝0.∶e2＝13.

∶e＝√33.

13.在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝1x(x>0)图象上一动点.若点P，A之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a的所有值为__________.

答案：﹣1，√10

解析：设P点的坐标为(x，1x)，则|PA|2＝(x﹣a)2＋(1x﹣a)2＝(x2＋1x2)﹣2a(x＋1x)＋2a2.令t＝x＋1x≥2，则|PA|2＝t2﹣2at＋2a2﹣2＝(t﹣a)2＋a2﹣2(t≥2).

结合题意可知

(1)当a≤2，t＝2时，|PA|2取得最小值.此时(2﹣a)2＋a2﹣2＝8，解得a＝﹣1，a＝3(舍去).

(2)当a>2，t＝a时，|PA|2取得最小值.此时a2﹣2＝8，解得a＝√10，a＝﹣√10(舍去).故满足条件的实数a的所有值为√10，﹣1.

14.在正项等比数列{an}中，a5＝12，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为__________.

答案：12

解析：设正项等比数列{an}的公比为q，则由a5＝12，a6＋a7＝a5(q＋q2)＝3可得q＝2，于是an＝2n﹣6，

则a1＋a2＋…＋an＝132(1﹣2n)1﹣2＝2n﹣5﹣132.

∶a5＝12，q＝2，

∶a6＝1，a1a11＝a2a10＝…＝a62＝1.

∶a1a2…a11＝1.当n取12时，a1＋a2＋…＋a12＝27﹣132>a1a2…a11a12＝a12＝26成立;当n取13时，a1＋a2＋…＋a13＝28﹣132∴13时，随着n增大a1＋a2＋…＋an将恒小于a1a2…an.因此所求n的最大值为12.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分14分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0

(1)若|a﹣b|＝√2，求证：a∶b;

(2)设c＝(0，1)，若a﹣b＝c，求α，β的值.

(1)证明：由题意得|a﹣b|2＝2，即(a﹣b)2＝a2﹣2a·b＋b2＝2.

又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，

所以2﹣2a·b＝2，即a·b＝0.

故a∶B．

(2)解：因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，所以{𝑐𝑜𝑠α＋𝑐𝑜𝑠β＝0，𝑠𝑖𝑛α＋𝑠𝑖𝑛β＝1， 由此得cosα＝cos(π﹣β).由0β，所以α＝5𝜋6，β＝𝜋6.

16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB∶平面SBC，AB∶BC，AS＝AB．过A作AF∶SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.

求证：(1)平面EFG∶平面ABC;

(2)BC∶SA．

证明：(1)因为AS＝AB，AF∶SB，垂足为F，所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点，所以EF∶AB．

因为EF∶平面ABC，AB∶平面ABC，

所以EF∶平面ABC．

同理EG∶平面ABC．又EF∩EG＝E，

所以平面EFG∶平面ABC．

(2)因为平面SAB∶平面SBC，且交线为SB，又AF∶平面SAB，AF∶SB，所以AF∶平面SBC．因为BC∶平面SBC，所以AF∶BC．

又因为AB∶BC，AF∩AB＝A，AF，AB∶平面SAB，所以BC∶平面SAB．

因为SA∶平面SAB，所以BC∶SA．

17.(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x﹣4.设圆C的半径为1，圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程;

(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x﹣4和y＝x﹣1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.

设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，

由题意，|3k＋1|√k2＋1＝1，解得k＝0或﹣34，

故所求切线方程为y＝3或3x＋4y﹣12＝0.

(2)因为圆心在直线y＝2x﹣4上，所以圆C的方程为(x﹣a)2＋[y﹣2(a﹣2)]2＝1.

设点M(x，y)，因为MA＝2MO，

所以√x2＋(y﹣3)2＝2√x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y﹣3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，﹣1)为圆心，2为半径的圆上.

由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2﹣1|≤CD≤2＋1，

即1≤√a2＋(2a﹣3)2≤3.

由5a2﹣12a＋8≥0，得a∶R;