2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,解析版)

Y

N

输出n 开始

1a2n，1nn32aa20a结束

（第5题） 2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）

数学Ⅰ

注意事项

绝密★启用前

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.

1.函数)42sin(3xy的最小正周期为 ▲ .

解析：2==2T

2.设2)2(iz(i为虚数单位)，则复数z的模为 ▲ .

解析：2234,34=5ZiZ

3.双曲线191622yx的两条渐近线的方程为 ▲ .

解析：3y=4x

4.集合1,0,1共有 ▲ 个子集.

解析：328（个）

5.右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ▲

解析：经过了两次循环，n值变为3

6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：

运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次

甲 87 91 90 89 93

乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ .

解析：易知均值都是90，乙方差较小，22222221118990909091908890929025niisxxn

7.现有某类病毒记作nmYX，其中正整数)9,7(,nmnm可以任意选取，则nm,都取到奇数的概率为 ▲ .

解析：

m可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个

n可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个

所以总共有7963种可能

符合题意的m可以取1,3,5,7共4个

符合题意的n可以取1,3,5,7,9共5个

所以总共有4520种可能符合题意

所以符合题意的概率为2063

8.如图，在三棱柱ABCCBA111中，FED,,分别是1,,AAACAB的中点，设三棱锥ADEF的体积为1V，三棱柱ABCCBA111的体积为2V，则21:VV ▲ .

解析：

所以121:24VV

9.抛物线2xy在1x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点),(yxP是区域D内的任意一点，则yx2的取值范围是 ▲ .

解析：

易知切线方程为：21yx

所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为0,00.5,00,1ABC

易知过C点时有最小值2，过B点时有最大值0.5

10.设ED,分别是ABC的边BCAB,上的点，ABAD21,BCBE32,若ACABDE21(21,为实数)，则21的值为 ▲ .

解析：

易知121212232363DEABBCABACABABAC

所以1212

11.已知)(xf是定义在R上的奇函数.当0x时，xxxf4)(2，则不等式xxf)(的解集用区间表示为 ▲ .

解析：

因为)(xf是定义在R上的奇函数，所以易知0x时，2()4fxxx

解不等式得到xxf)(的解集用区间表示为5,05,

12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为)0,0(12222babyax，右焦点为F,右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为1d，F到l的距离为2d.若126dd，则椭圆的离心率为 ▲ .

解析：

由题意知2212,bcabddcacc

所以有26bbcca 两边平方得到2246abc，即42246aacc

两边同除以4a得到2416ee，解得213e，即33e

13.平面直角坐标系xOy中，设定点),(aaA，P是函数)0(1xxy图像上一动点，若点AP,之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为 ▲

.

解析：

由题意设0001,,0Pxxx 则有222222200000200000111112++2=+-2+22PAxaaxaxaxaxaxxxxx 令001t2xtx

则222=(t)=t2222PAfatat

对称轴ta

1.2a时，22min2(2)2422428PAfaaaa

1a ， 3a（舍去）

2.2a时，22min2()228PAfaaa

10a ， 10a（舍去）

综上1a或10a

14.在正项等比数列na中，215a，376aa.则满足nnaaaaaaaa......321321的最大正整数n的值为 ▲ .

解析：

又12n时符合题意，所以n的最大值为12

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分14分）

已知cossina，，cossinb，，0.

(1) 若2ab，求证：ab；

(2) 设01c,，若abc，求，的值.

解：(1)cos,sin,cos,sin,0ab

(2)

22+①②得：2+2cos1

又coscos05,66

16. （本小题满分14分） 如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC,ASAB. 过A作AFSB，垂足为F，点E,G分别是侧棱SA,SC的中点.

求证：(1) 平面EFG//平面ABC;

(2) BCSA.

解：(1),EG分别是侧棱,SASC的中点

AC在平面ABC中，EG在平面外

EG∥平面ABC

F为SB中点

AB在平面ABC中，EF在平面外

EF∥平面ABC

EF与EG相交于E

,EFEG在平面EFG中

 平面EFG//平面ABC

(2) 平面SAB⊥平面SBC

SB为交线

AF在SAB中，AFSB⊥

AF⊥平面SBC

AF与AB相交于A

,AFAB在平面SAB中

BC⊥平面SAB

17. （本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，点03A,，直线24lyx：.设圆的半径为1，圆心在l上.

(1) 若圆心C也在直线1yx上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2) 若圆C上存在点M，使2MAMO，求圆心C的横坐标a的取值范围.

解：（1）241yxyx①②

①与②联立得到圆心坐标3,2C

圆方程为22321xy

切线斜率不存在时，不合题意 设切线方程为3ykx

解得0k或34k

切线方程为3y或334yx

（2）设,24Caa

则圆方程为22241xaya

设00(,)Mxy

由题意2200241xaya

即220014xy

M存在

圆22241xaya与圆2214xy有交点

即两圆相交或相切

即221024(1)9aa

18. （本小题满分16分）

如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径. 一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.

现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min. 在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C. 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，12cos13A，3cos5C.

(1) 求索道AB的长；

(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3) 为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

解：(1)

(2)

设乙出发t8t分钟后，甲到了D处，乙到了E处

则有=50t+100AD 130AEt

根据余弦定理2222cosDEAEADAEADA 即2274001400010000DEtt

当14000352740037t时，2DE有最小值

(3)设甲所用时间为t甲，乙所用时间为t乙，乙步行速度为V乙

由题意1260126==min505t甲

解不等式得12506254314V乙

19. （本小题满分16分）

设na是首项为a，公差为d的等差数列0d，nS是其前n项和. 记2nnnSbnc，Nn*，其中c为实数.

(1) 若0c，且1b，2b，4b成等比数列，证明：2NnkkSnSk,n*；

(2) 若nb是等差数列，证明：0c.

解：

（1）10naandd

0c时，nnSbn

124,,bbb成等比

（2）

由已知23222222nnnSnandndbncnc

nb是等差数列

设nbknb（k,b为常数）

有32222220kdnbdancknbc对任意nN恒成立