2018年上海市徐汇区高三一模数学试卷(2018.12)

参考答案一、 填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. 22. (],0-∞ 3. 4. 1- 5. 221520x y -= 6. 2- 7. 84- 8. 15 9. []310,0,lg2x y x =-∈10. 43π 11. (]()1,34,+∞U 12. 8 二、 选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. C 15. B 16. D三、 解答题17、解：(1)由异面直线的定义可知，棱,,',','',''AD DC CC DD D C B C 所在的直线与直线'A B 是异面直线 ……………….6分(2)连结',''BC A C ，因为,M N 分别是','A B BC 的中点，所以MN ∥''A C ，又因为BC ∥''B C ，所以异面直线MN 与BC 所成角为'''A C B ∠(或其补角)，…….9分由于'''','''90A B B C A B C =∠=于是'''45A C B ∠= ， ………………13分所以异面直线MN 与BC 所成角的大小为45 . ………….14分18、解：（1）不等式()1f x ≤-即为2(1)10.22ax a x x x -+≤-⇔≤++……….3分 当1a <-时，不等式解集为[)(,2)0,-∞-+∞ ； ……………….4分 当1a =-时，不等式解集为(,2)(2,)-∞--+∞ ； ……………….5分 当1a >-时，不等式解集为(]2,0.- ……………….6分（2）任取120,x x <<则12121222()()22ax ax f x f x x x ---=-=++12122(1)(),(2)(2)a x x x x +-++……….9分 120x x << 12120,20,20,x x x x ∴-<+>+> ……………….11分 所以要使()f x 在(0,)+∞递减即12()()0,f x f x ->只要10a +<即1,a <- ………13分 故当1a <-时，()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数 ……………….14分19、解：（1）100AB =（海里） ,3AOB π∠= 则100120AO BO OC OD ====（海里），（海里） ……………….2分2211220012010023233ABCD S πππ=⋅⋅-⋅⋅=（平方海里） ……………….5分 所以，海域ABCD 的面积为22003π平方海里. ……………….6分 （2）100AB =（海里）40,AP BP ==（海里）22240100cos 240100PAB +-∴∠=⨯⨯12= ……………….8分 3PAB π∴∠=，23PAO π∠=……………….10分PO ∴= ……………….12分=2120=>（海里） ∴这艘不明船只没有进入海域ABCD . ……………….14分20、解：（1）2a =a ∴= ……………….1分 又1a c +=，1,c ∴= ……………….2分 222a b c =+1b ∴= ……………….3分故椭圆Γ方程为2212x y += ……………….4分（2） y kx m =+过(0,1)A ，1m ∴=22221(12)4012y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，222412,11212B B B k k x y kx k k --∴==+=++ 222412(,)1212k k B k k--∴++，则2221(,)1212k M k k -++ ……………….6分ON = ,∴(N ,代入椭圆Γ方程， ……………….8分得428210k k +-=，即22(41)(21)0k k -+=，所以12k =± ……………….10分 （3） 原点O 到直线l 的距离为1，2211m k =⇒=+ ……………….12分设11221212(,),(,),A x y B x y OA OB x x y y λ∴⋅=+= 联立22222(12)4220(*)12y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 22222164(12)(22)800k m k m k k ∆=-+-=>⇒≠由(*)式知，2121222422,1212km m x x x x k k --+=⋅=++ 2212121212()()(1)()x x kx m kx m k x x km x x m λ∴=+++=++++222222223223(1)22145,12121256m k k k k k k k --+--+⎡⎤===∈⎢⎥+++⎣⎦，得211,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦……14分12AB x x =-====1OAB S ∆∴==……………….15分 令2213512,,,223t k t k t -⎡⎤+=∴=∈⎢⎥⎣⎦AOB S ∆∴==⎣⎦ ……………….16分 21、解：(1)若数列{}:1,2,3,4,5,6n a 是Ω数列，取数列{}n a 中的两项1和2，则剩下的4项中不存在两项,()s t a a s t ≠，使得12s t a a +=+，故数列{}n a 不是Ω数列；……….4分(2)若13d ≤，对于1,2p q ==，若存在2s t <<，满足p q s t a a a a +=+，因为2s t <<，于是3,4s t ≥≥，所以2s a a ≥，1t a a >，从而21s t a a a a +>+，矛盾，所以14d ≥，同理34d ≥ .……………….8分下面证明22d ≥：若21d =，即2出现了1次，不妨设2k a =，1k s t a a a a +=+，等式左边是3；等式右边有几种可能，分别是11+或13+或33+，等式两边不相等，矛盾， 于是12d ≥ .……………….10分 (3)设1出现1d 次，2出现2d 次，…，2019出现2019d 次，其中*122019,,,d d d N ∈… 由(2)可知，120194,4d d ≥≥，且22d ≥，同理20182d ≥， ……………….12分 又因为*342017,,,d d d N ∈…，所以项数01220192027n d d d =+++≥… .……….14分下面证明项数0n 的最小值是2027：取12342017201820194,2,1,2,4d d d d d d d ========…，可以得到数列 {}:1,1,1,1,2,2,3,4,,2016,2017,2018,2018,2019,2019,2019,2019n a ….接下来证明上述数列是Ω数列：若任取的两项分别是1,1，则其余的项中还存在2个1，满足1111+=+，同理，若任取的两项分别是2019,2019也满足要求；若任取的两项分别是1,2，则其余的项中还存在3个1,1个2，满足要求，同理，若任取的两项分别是2018,2019也满足要求；若任取1,3p q a a =≥，则在其余的项中选取2,1s t q a a a ==-，满足要求，同理，若2017,2019p q a a ≤=也满足要求；若任取的两项,p q a a 满足12019p q a a <≤<，则在其余的项中选取1,1s p t q a a a a =-=+， 每个数最多被选取了1次，于是也满足要求.从而，项数0n 的最小值是2027. ……………….18分。

参考答案一、 填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. 22. (],0-∞3. 1- 5. 221520x y -= 6. 2- 7. 84- 8. 15 9. []310,0,lg2x y x =-∈ 10. 43π 11. (]()1,34,+∞U 12. 8 二、 选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. C 15. B 16. D三、 解答题17、解：(1)由异面直线的定义可知，棱,,',','',''AD DC CC DD D C B C 所在的直线与直线'A B 是异面直线 ……………….6分(2)连结',''BC A C ，因为,M N 分别是','A B BC 的中点，所以MN ∥''A C ，又因为BC ∥''B C ，所以异面直线MN 与BC 所成角为'''A C B ∠(或其补角)，…….9分由于'''','''90A B B C A B C =∠=于是'''45A C B ∠=， ………………13分所以异面直线MN 与BC 所成角的大小为45. ………….14分18、解：（1）不等式()1f x ≤-即为2(1)10.22ax a x x x -+≤-⇔≤++……….3分 当1a <-时，不等式解集为[)(,2)0,-∞-+∞； ……………….4分 当1a =-时，不等式解集为(,2)(2,)-∞--+∞； ……………….5分 当1a >-时，不等式解集为(]2,0.- ……………….6分（2）任取120,x x <<则12121222()()22ax ax f x f x x x ---=-=++12122(1)(),(2)(2)a x x x x +-++……….9分 120x x <<12120,20,20,x x x x ∴-<+>+> ……………….11分 所以要使()f x 在(0,)+∞递减即12()()0,f x f x ->只要10a +<即1,a <- ………13分故当1a <-时，()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数 ……………….14分19、解：（1）100AB =（海里）,3AOB π∠= 则100120AO BO OC OD ====（海里），（海里） ……………….2分2211220012010023233ABCD S πππ=⋅⋅-⋅⋅=（平方海里） ……………….5分 所以，海域ABCD 的面积为22003π平方海里. ……………….6分 （2）100AB =（海里）40,AP BP ==（海里）22240100cos 240100PAB +-∴∠=⨯⨯12=……………….8分 3PAB π∴∠=，23PAO π∠=……………….10分PO ∴=……………….12分 ∴这艘不明船只没有进入海域ABCD . ……………….14分20、解：（1）2a =a ∴= ……………….1分又1a c +=，1,c ∴= ……………….2分 1b ∴= ……………….3分故椭圆Γ方程为2212x y += ……………….4分（2）y kx m =+过(0,1)A ，1m ∴=22221(12)4012y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，222412,11212B B B k k x y kx k k --∴==+=++ 222412(,)1212k k B k k --∴++，则2221(,)1212k M k k -++ ……………….6分 6ON OM=,∴22(,)122(12)N k k -++,代入椭圆Γ方程， ……………….8分 得428210k k +-=，即22(41)(21)0k k -+=，所以12k =± ……………….10分 （3）原点O 到直线l 的距离为1，2211m k =⇒=+ ……………….12分设11221212(,),(,),A x y B x y OA OB x x y y λ∴⋅=+=联立22222(12)4220(*)12y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩由(*)式知，2121222422,1212km m x x x x k k --+=⋅=++ 222222223223(1)22145,12121256m k k k k k k k --+--+⎡⎤===∈⎢⎥+++⎣⎦，得211,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦……14分1OAB S ∆∴==……………….15分 令2213512,,,223t k t k t -⎡⎤+=∴=∈⎢⎥⎣⎦65AOB S ∆∴==⎢⎣⎦……………….16分 21、解：(1)若数列{}:1,2,3,4,5,6n a 是Ω数列，取数列{}n a 中的两项1和2，则剩下的4项中不存在两项,()s t a a s t ≠，使得12s t a a +=+，故数列{}n a 不是Ω数列；……….4分(2)若13d ≤，对于1,2p q ==，若存在2s t <<，满足p q s t a a a a +=+，因为2s t <<，于是3,4s t ≥≥，所以2s a a ≥，1t a a >，从而21s t a a a a +>+，矛盾，所以14d ≥，同理34d ≥ .……………….8分 下面证明22d ≥：若21d =，即2出现了1次，不妨设2k a =，1k s t a a a a +=+，等式左边是3；等式右边有几种可能，分别是11+或13+或33+，等式两边不相等，矛盾， 于是12d ≥ .……………….10分(3)设1出现1d 次，2出现2d 次，…，2019出现2019d 次，其中*122019,,,d d d N ∈…由(2)可知，120194,4d d ≥≥，且22d ≥，同理20182d ≥， ……………….12分又因为*342017,,,d d d N ∈…，所以项数01220192027n d d d =+++≥… .……….14分下面证明项数0n 的最小值是2027：取12342017201820194,2,1,2,4d d d d d d d ========…，可以得到数列{}:1,1,1,1,2,2,3,4,,2016,2017,2018,2018,2019,2019,2019,2019n a ….若任取的两项分别是1,1，则其余的项中还存在2个1，满足1111+=+， 同理，若任取的两项分别是2019,2019也满足要求；若任取的两项分别是1,2，则其余的项中还存在3个1,1个2，满足要求， 同理，若任取的两项分别是2018,2019也满足要求；若任取1,3p q a a =≥，则在其余的项中选取2,1s t q a a a ==-，满足要求， 同理，若2017,2019p q a a ≤=也满足要求；若任取的两项,p q a a 满足12019p q a a <≤<，则在其余的项中选取1,1s p t q a a a a =-=+， 每个数最多被选取了1次，于是也满足要求.从而，项数0n 的最小值是2027. ……………….18分。

2018年一模汇编——排列组合与概率统计专题一、知识梳理排列组合【知识点1】排列模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素做排列的种数记为m n P ，由乘法原理易知)!(!m n n P m n -=.【例1】一只蚂蚁从四面体的某个顶点出发，沿着棱走遍所有顶点，任何顶点只走一次，这样的路径有几条？【知识点2】组合模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素的组合数记为mn C .由乘法原理可知m n mm m n P P C =⋅，由此知!)!(!m m n n C m n-=.【例1】一个圆上有n 个点，这n 个点互相联接形成若干条线段，这些线段任三线不共点，问在圆内一共有几个交点？【例2】点P 的坐标为),(n m ，m ，n 均为正整数，一只蚂蚁从原点出发，每次只能向上或向右走一格，最终走到P 点，问有多少种可能的路径？【知识点3】含组合数的代数式的化简.组合数有如下两个基本公式：m n n m n C C -=；111+++=+m n m n m nC C C . 【例1】化简：2241302-++++n n C C C C .【知识点4】排列组合基本方法所谓的方法，某种意义上可以认为就是把问题转换成基本模型的方式. 【知识点4.1】 应用乘法原理 【例1】120有多少个正约数？【例2】1,2,3,4,5这五个数排成一列，要求1必须在5前，2在4前，求可能的种数.【例3】现有8个不同的球，放在三个相同的箱子里，要求3+3+2分组，问有多少种分法？【知识点4.2】应用加法原理【例1】有三名男生，四名女生，从中选出四人参加辩论赛，要求至少有一名男生，问有多少种选法. 【例2】ABCDE五人排队，要求A不能站排头，B不能站排尾，问有几种排法？【知识点4.3】捆绑法与插空法、隔板法【例1】（捆绑法）有5人排队，其中甲乙相邻，问有多少种排法？【例2】（插空法）有5人排队，其中甲乙不相邻，问有多少种排法？【例3】（隔板法）有七个相同的球放入三个不同的盒子，要求所有盒子都要有球放入，问几种放法？二项式定理【知识点1】二项式定理公式nn n k k n k n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(n ∈N通项公式：k k n k n k b a C T -+=1(0,1,2,,)k n = ;其中：k n C (0,1,2,,)k n = 叫做二项式系数.【例1】求291()2x x-展开式中9x 的系数？【例2】在二项式3241()nx x+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数.【知识点2】二项式系数的性质① 在二项展开式中，与首、尾“等距离”的两项的二项式系数相等，即：kn nk n C C -= ； ② 在二项展开式中，所有的二项式系数之和等于：n2，即：n n n n n n n C C C C 2)11(210=+=++++ ；奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和等于：12-n ，即：1531422-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C N n ∈.【例1】若35211()nx x +的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项.概率论初步【知识点1】古典概率把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率 （1）一次试验所有的基本事件只有有限个例如掷一枚硬币的试验只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.掷一颗骰子试验中结果有六个，即有六个基本事件.（2）每个基本事件出现的可能性相等【例1】盒子中装有编号为9,8,7,6,5,4,3,2,1的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率为（结果用最简分数表示）.【例2】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每个人选择其中的两个项目，则有且只有两个人选择一样的项目的概率是．（结果用最简分数表示）【知识点2】事件概率的和一般的，事件B A ，的和的概率等于事件B A ，出现的概率减去事件B A ，同时出现的概率()()()()AB P B P A P B A P -+=⋃公式叫做概率加法公式.不可能同时出现的两个事件叫做不相容或互斥事件，如果B A ，为互不相容事件，那么其和的概率就等于概率和，()()()B P A P B A P +=⋃.【例1】抛掷一枚骰子，记向上的点数为偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于5的事件为B ，事件B A ⋃的概率为()=⋃B A P .【例2】袋中有20个球，其中17个红球，3个黄球，从中任取3个.求至少有一个黄球的概率.【知识点3】独立事件积的概率互相独立事件定义：如果事件A 和事件B 出现之间没有影响，那么事件B A ,互相独立.两个相互独立事件发生的概率，等于积的概率为：()()()B P A P AB P ⋅=.【例1】一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲、乙需要维护的概率分别为0.9,、0.8，则一小时内有机床需要维护的概率为.【例2】甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以21A A 、和3A 表示从甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号) ①();52=B P ② 时间B 与事件1A 相互独立； ③321A A A 、、是两两互斥的事件；④()B P 的值不能确定，因为它与321A A A 、、中哪一个事件发生关系. 统计统计的基本思想方法是用样本来估计总体，即用局部推断整体.这就要求样本应具有很好的代表性.而样本的良好客观代表性，则完全依赖抽样方法，主要有：随机抽样、分层抽样、系统抽样.用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法，即用样本的平均数去估计总体的平均数，用关于样本的方差（标准差）去估计总体的方差（标准差）. 基本统计量：若样本容量为n ，其个体数值分别为,,,21n x x x 则 样本平均数：nx x x x n+++= 21样本方差：()()()[]()[]22222122221211x n x x x nx x x x x x n S n n -++=-++-+-=样本标准差S 是2S 的算术平方根，它们依次作为总体平均数μ、总体方差2σ、总体标准差σ的估计值 总体均值的点估计值：12nx x x x n+++=总体标准差的点估计值：()()()222121n x x xx x x s n -+-++-=- 其中,x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的σ区间估计，2,2x s x s ⎡⎤-+⎣⎦叫做均值的2σ区间估计. 【例1】某学校高一年级有x 个学生，高二年级有y 个学生，高三年级有z 个学生，采用分层抽样抽取一个容量为45人的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有学生300人，则此学校共有多少人？【例2】若数据,,,21n x x x 的平均数为x ，方差为2S ，则53,531++n x x 的平均数和方差分别为（ ）A.2,S xB.2,53S x +C.29,53S x +D.25309,532+++S S x【例3】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）.A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差D.该把班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数二、一模真题汇编一、填空题1.在5(21)x +的二项展开式中，3x 的系数是.2.某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为.3.若从五个数1-，0，1，2，3中任选一个数m ，则使得函数2()(1)1f x m x =-+在R 上单调递增的概率为 （结果用最简分数表示）. 4.在23()nx x+的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则常数项的值等于. 5.二项式41()2x x-的展开式中的常数项为. 6.已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a=. 7.同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为.8.若1(2)nx x+的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为.9.91()x x-的二项展开式中的常数项的值为.10.设1a 、2a 、3a 、4a 是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （1,2,3,4i =）使得i a i =成立，则满足此条件的不同排列的个数为.11.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要 求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则 该生的可能选法总数是.12.在62()x x-的二项展开式中，常数项的值为.13.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）， 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是.14.从一副混合的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽 得为黑桃”，则概率()P A B = （结果用最简分数表示）.15.从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 不同选法种数是（用数字作答）.16.在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为（用数字作答）.17.用1,2,3,4,5共个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有________个.518.的二项展开式中，常数项的值为________. 19.在代数式721()x x +的展开式中，一次项的系数是（用数字作答）. 20.从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）二、选择题1.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为（ ）.A. 3353P P ⋅B. 863863P P P -⋅C. 3565P P ⋅D.8486P P -2.二项式10(3)i x -（i 为虚数单位）的展开式中第8项是（ ）. A. 7135x - B. 7135x C.73603ix D.73603ix -921()x x+。

2018年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P∩C U M={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2．【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n=1，∴a n﹣1+a n+1=a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，则a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，则a≠b，则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f （x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2 D．4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即===2，故选：C．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．故选：D．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，==1．∴S△ABC故V P==．﹣ABC（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为S n，求S n的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=n，∴a1+a2+a3+…+a n=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（﹣﹣﹣）=3•+n （﹣﹣﹣）=n2，（3）∵∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，可得a﹣1≥，由x＞0时，=≤1，则a﹣1≥1，即a≥2；又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，则＞（a﹣1）x，x=0时，显然成立；x＞0时，a﹣1＜，可得a﹣1≤1，即a≤2．则a=2．。