垂径定理 (2)

27.3 垂径定理（2）[推论及应用]第一组 27-71、如图27-7-1，在圆O 中，AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC=60º，则∠B=（ ） A 、30º B 、45º C 、60º D 、15º2、如图27-7-2，圆O 的半径OA=10，设AB=16，P 为AB 上一个动点，则点P 到圆心的最短距离为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、83、边长为3的等边三角形的外接圆的半径是（ ）A 、√3B 、2√3C 、3√3D 、4√34、如图27-7-3，在圆O 中，弦AB ⊥弦CD ，AB 被CD 分成7 cm 和13 cm 两段，则CD 的弦心距为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、55、如图27-7-4，已知弦AB 、CD 相交于点E 。

（1）若CD 是直径，且CD ⊥AB ，写出图中的等量 ；（2）若CD 是直径，且E 是AB 的中点，AB 与CD 的位置关系 ； （3）弦CD 垂直平分AB ，且CD=10，则这个圆的半径 。

6、如图27-7-5，AD 是圆O 的直径，AB=AC ，∠BAC=120º，根据以上条件写出三个正确的结论（OA=OB=OC=OD 除外） ， ， 。

图 27- 7 - 3图 27- 7 - 2图 27- 7 - 1BCOAD图 27- 7 - 6图 27- 7 - 5图 27- 7 - 4OE FBDCAGOCABD7、如图27-7-6，AB 是圆O 的直径，弦CD 与AB 相交一点E ，∠BED=45º，OF ⊥CD 于点F ，若OF=1cm ，ED=1.5cm 。

则CD= 。

8、如图27-7-7，圆O 的弦AB 、AC 的夹角为50º，M 、N 分别是AB̂=AC ̂ 的中点，则 ∠MON= 。

9、如图27-7-8，在圆O 中，M 是AB̂ 的中点，N 是弦AB 的中点，AB=2√3，MN=1，则圆心O 到AB 的距离等于 。

9下-§3.3垂径定理（2）（垂径定理逆定理及推论）课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.2. 垂径定理逆定理解读：（1）条件：“弦”不可以是直径；因为任意两直径都被圆心平分,不一定有垂直关系.（2）结论：“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧.3. 垂径定理逆定理的三种语言：文字语言 图形语言 几何语言是直径（AB 过圆心）二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.回顾（补充）学习：轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.2. 垂径定理逆定理证明方法:构造等腰三角形,由平分弦得出垂直于弦;由圆心角相等得出弧相等.3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构造直角三角形，利用勾股定理解答.4.定理推论：以下五个条件：“过圆心、垂直于弦、平分弦、平分劣弧、平分优弧”知二推三.三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）;CD AB ⊥∴AB DM CM ,= ;AD AC =;BD BC =【典例】如图 ，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD ，点O 是弧CD 所在圆的圆心），其中m CD 600=，E 为弧CD 上一点，且OE 平分弦CD ，交CD 于F ，m EF 90=． 求这段弯路的半径．一读：关键词：点O 是圆心，OE 平分弦CD .二联：重要结论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦.重要方法：垂径定理逆定理应用，构造直角三角形.进而用勾股解决问题.三解：解：连接.OC设,R OE OC ==则有.)90(m R OF -=OE 是半径（点O 是圆心），OE 平分弦CDCD OE CD CF ⊥==∴，30021 在OCF RT ∆中，由勾股定理得222OF CF OC +=22290300）（-+=∴R R ∴解得：545=R所以这条弯路的半径为m 545四悟：渗透用代数方法（列方程法）解决几何问题的思想.四、金题核思点拨（学习抓重点，思维抓核心，学必须学的.）1. 下列命题中，假命题是（ ）（A ）平分弧的直径必平分这条弧所对的弦.（B ）圆的任意两条弦的垂直平分线的交点是该圆的圆心.（C ）平分弦的直径垂直于弦.（D ）垂直平分一条弦的直线平分弦所对的两条弧.核思点拨: 理解“①过圆心、②垂直于弦、③平分弦、④平分劣弧、⑤平分优弧”知二推三.并能灵活应用.答案：选（C ）选项（A ）是由①④(⑤)推③,正确; 选项（B ）是②③推①,正确; 选项（C ）被平分的弦没有说明不是直径,不正确; 选项（D ）②③推④⑤,正确2. 如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE ，FG ， , ，的中点分别是Q P N M ，，，.若14=+NQ MP ，18=+BC AC ，则直径AB 的长.核思点拨: 垂径定理与逆定理及有关推论的综合运用,求直径AB 长，即求半径长，与条件有关的半径为OQ OP ,,所以连接OQ OP ,,由垂径定理及有关知识说明OQN OPM ,三点共线，再由条件中的两个与线段有关的等式求出OQ OP ,长.答案：连接OP 交AC 于H ，连接OQ 交BC 于KOP 为半径，点P 是 的中点. 点Q 是 的中点.OP AC OP ,⊥∴平分AC ，OQ BC OQ ,⊥∴平分BC在正方形ACDE 中，DE AC DE AC =，//在正方形BCFG 中，FG BC FG BC =，//OP DE OP ,⊥∴平分DE ，OQ FG OQ ,⊥∴平分FGN M ， 是DE ，FG 的中点，OQN OPM ,∴三点共线.18=+BC AC ，92121=+∴BC AC ，18=+NK MH 9=+∴OH OK27918=+=+++OK OH NK MH14=+NQ MP131427=-=+∴OQ OP∴直径13=+=OQ OP ABAC BC AC BC H K。

3.3 垂径定理（2）教学目标知识目标1．理解和掌握垂径定理的两个逆定理．2．会运用这两个逆定理解决有关弦、弧、弦心距及半径之间关系的证明和计算．能力目标：通过画图探索垂径定理的逆定理，培养学生探究能力和应用能力．情感目标：经历垂径定理逆定理的探索过程，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质．教学重点难点重点：垂径定理的逆定理的探索及其应用．难点：利用垂径定理的逆定理解决有关实际问题．课堂教与学互动设计创设情境，引入新课1．垂径定理是指什么？你能用数学语言加以表达吗？2．若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分AB，你能得到什么结论？3．若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分弧AB，你又能得到什么结论？合作交流，探究新知一、自主探索1．垂直于弦的直径平分这条弦的逆命题是什么？它是真命题吗？为什么？2．平分弦的直径一定垂直于弧所对的弦吗？画图试一试．二、叙一叙定理1：_______弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分_______．【答案】平分弦所对应的弧定理2：平分弦的直径________平分弦所对的________．【答案】垂直弦三、证一证已知：如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，弧AC=弧BC.证明：连结OA,OB,则AO=BO∴△AOB是等腰三角形∵AP=BP∴CD⊥AB∴弧AC=弧BC例题解析，当堂练习例1如图，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别是AB和AC的中点，求∠MON 的度数．w&ww.z*zste%^~hslx3y3h∵OC⊥AB，∴AB=2AD=2×56=112mm．。

NO.3 垂径定理（2）（复习课）教学目标：进一步理解垂径定理及其推论，并能灵活应用垂径定理及推论解决相关的几何问题． 教学重点：垂径定理、推论及其运用教学难点：熟练添加辅助线，利用垂径定理及推论进行几何证明与计算，并掌握代数方程思想在垂径定理问题中的计算应用。

教学过程： 一、知识回顾：1、 请口述垂径定理及其推论的内容；2、 依照图形，完成垂径定理及其推论的表述；3、 如图，直径AB ，非直径的弦CD 。

（1）若AB ⊥CD ，则 ,,CE DE BCBD AC AD ===. （2）若CE ＝DE ，则 ,,AB CD ACAD BC BD ^==. （3）若弧BC ＝弧BD ，则 ,,CE DE AB CD ACAD =^=. 4、 请归纳我们所学的的圆中常用辅助线。

（①连接半径；②过圆心作弦的垂线）5、 请谈谈我们所学的与圆有关的计算技巧。

（代数方法：设出未知数，构建方程）二、例题剖析：1、已知⊙O 的半径为13xm ，弦AB ∥CD ，AB ＝10cm ，CD ＝24cm ,求AB 与CD 间的距离。

2、如图①，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过A 、B 分别作CD 的垂线，垂足为E 、F ，求证CE ＝DF ，如图②，若CD 与AB 相交，其它不变，CE 与DF 是否仍然相等？三、变式练习： 1、如图，有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图示，正常水位下水面宽AB =60m ，水面到拱顶距离CD ＝18m ，当洪水泛滥时，水面到拱顶只有2m 时就需采取紧急措施，问当洪水到来时，水面宽MN =32m 时是否需要采取紧急措施?请说明理由．2、如图①，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过C 、D 分别作AB 的垂线，垂足为E 、F ，求证CE ＝DF ，如图②，若CD 与AB 相交，其它不变，CE 与DF 是否仍然相等？ 3、如图，⊙O 的直径AB ＝16，P 为AB 的中点，CD 是过P 点的弦，且∠APC ＝30o ，求CD 的长。