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北师大版数学九年级下册《第三章 圆 ※3 垂径定理 第2课时 垂径定理(2)》教学课件

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9年级 数学北师大版下 册教案第 3章《垂径定理》

9年级 数学北师大版下 册教案第 3章《垂径定理》

教学设计垂径定理难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．教学策略：类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结。

本节课的另一个难点是如何添加辅助线，这在最后的归纳反思中应该要有足够的时间让学生交流讨论，但是限于本节课的时间，这是一个客观限制，不应该勉强在课堂上完成，效果并不理想，应该留作课后作业，让学生能通过更充分的讨论才得出结论，这样才能起到更好地交流和反思的作用。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、类比引入二、猜想探索活动内容：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。

（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①CD是直径；②CD⊥AB结论（等量关系）：③AM=BM；④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD。

学生思考并回答通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力。

证明：连接OA ,OB ,则OA =OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中,∵OA =OB ，OM =OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM . ∴AM =BM .∴点A 和点B 关于CD 对称. ∵⊙O 关于直径CD 对称,∴当圆沿着直径CD 对折时, 点A 与点B 重合,⌒AC 和⌒BC 重合, ⌒AD 和⌒BD 重合. ∴ ⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD .2．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦。

通过以上辨析，让学生对垂径定理的两证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

【精品】2018数学九年级下北师大版3.3垂径定理同步课件(20张)

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的直径CD，交AB于点M.
D
（1）上图是轴对称图形吗？如 果是，其对称轴是什么？
上图是轴对称图形，对称轴是CD.
（2）你能发现图中有哪些等量 关系？说一说你的理由.
AM＝BM AC＝BC AD＝BD
证明：连接OA，OB，
A
则OA＝OB，
∵ AM＝BM ，
∴ CD⊥AB ，∠AOC＝∠BOC，
∴ ¼AC ＝B»C ，
A
点拨：
O B
本例为垂径定理的应用。利用圆中 常规辅助线“过圆心作弦的垂线”，与 圆半径、弦，构成直角三角形，再利用 解直角三角形的知识求解.
1.如图，⊙O的半径为
5cm，弦 AB为 6cm。求圆心
O 到弦 AB 的距离.
O
解：连接OA，过圆心O作 OE⊥AB于E，则：
A
E
B
AE＝EB ＝ 1 AB＝ 1 ×6 ＝ 3（cm）
C
A
B
M
O
（1） 右图是轴对称图形吗？若是， D 其对称轴是什么？
右图是轴对称图形，对称轴是CD.
（2）你能发现图中有哪些等量关系吗？说 一说你的理由.
AM＝BM AC＝BC AD＝BD
证明：连接OA，OB， 则OA ＝ OB，
∵CD⊥AB，
C
A
B
M
O
∴AM ＝ BM，∠AOC ＝ ∠BOC， D
2.垂径定理的逆定理： 平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的弧.
布置作业
课本第76～77页： 作业：习题3.3
垂径定理
知识回顾，引入新课
问题：
同学们想一想：圆是轴对称图形吗？ 如果是，它的对称轴是什么？ 圆是中心对 称图形吗？它的对圆既是轴对称图形也是中心对称图 形，它有无数多条对称轴，其对称轴是 任意一条过圆心的直线，它的对称中心 是圆的圆心.

北师大版九年级下册数学3.3垂径定理(教案)

北师大版九年级下册数学3.3垂径定理(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，学生们对于垂径定理在实际生活中的应用提出了很多有趣的见解。这让我感到很高兴，因为他们能够将所学知识应用到实际问题中。但同时，我也发现部分学生在讨论中较为拘谨，不敢大胆地表达自己的观点。为了鼓励学生们更加积极地参与讨论，我将在今后的教学中多给予他们肯定和鼓励，营造一个轻松、自由的学习氛围。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理指的是直径垂直于弦且平分弦的定理。它在解决与圆相关的几何问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个体的案例。这个案例展示了如何运用垂径定理来求解一个圆的半径，以及它如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定理的证明和运用这两个重点。对于难点部分，如证明过程中辅助线的构造，我会通过举例和步骤分解来帮助大家理解。
-理解垂径定理与圆的其他性质（如圆心角、弧、弦的关系）之间的联系。
举例解释：
-证明过程：解释为何需要通过构造辅助线，如何利用全等三角形或相似三角形的性质来完成证明。
-灵活运用：通过设置不同难度的练习题，引导学生掌握垂径定理在不同情境下的应用，如非直径垂直弦、圆内接四边形等。
-性质联系：强调垂径定理与圆的其他基本性质（如圆心角定理、弧弦定理等）之间的关系，通过对比和联系加深理解。

九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件

九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件

⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
挑战自我找一找
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 :
. 图中相等的劣弧有:
.
挑战自我算一算
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
⌒ AB
的中点，OC交AB
于D
例题解析
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8
㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的
半径。
A
E
B
O
练习1:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB， 计算：⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
O
D
A
B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
C
A M└ B 你可以写出相应的命题吗?
●O
相信自己是最棒的!
D
C
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤

北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例

北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
在教学过程中，我注重引导学生从实际问题出发，通过观察和操作，发现垂径定理的内在规律。我设计了一系列的教学活动，包括直观演示、小组讨论、几何画板软件操作等，旨在激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
同时，我还注重培养学生的逻辑思维能力，引导学生从特殊到一般，从具体到抽象的思考问题，让学生在理解垂径定理的同时，能够灵活运用该定理解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性和综合性的小组合作任务，让学生在合作中思考、交流、探究，提高学生的学习效果。
2.组织学生进行小组讨论，鼓励学生提出问题、分享思路、互相启发、互相学习，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
3.教师在小组讨论过程中给予及时的反馈和指导，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
（四）反思与评价
1.引导学生对学习过程进行反思，培养学生自我评价和自我调整的能力。
2.设计具有针对性和全面性的评价指标体系，对学生的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观进行全面评价。
3.利用自评、互评、师评等多种评价方式，给予学生客观、公正的评价，提高学生的自信心和积极性。
4.根据评价结果，调整教学策略和教学方法，为下一阶段的教学提供有益的参考。
北师大版九年级下册3.3垂径定理优秀教学案例
一、案例背景
北师大版九年级下册3.3垂径定理是圆的知识点中的一个重要定理，它揭示了圆中关于垂直于弦的直径的一系列性质。在本节课中，学生需要理解和掌握垂径定理的内容，并能够运用该定理解决相关问题。
在进行本节课的教学设计时，我充分考虑了学生的年龄特点和学习需求，以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力为目标，力求通过丰富的教学活动和合理的教学设计，帮助学生理解和掌握垂径定理。
2.要求学生对自己的作业进行自我评价，培养学生的自我反思和自我调整能力。

北师大版九年级下册3.3垂径定理教学设计

北师大版九年级下册3.3垂径定理教学设计
1.概念讲解：明确垂径定理的定义，即圆的直径垂直于弦，并且平分弦。
2.证明过程：引导学生通过几何画板或实际操作，观察并思考如何证明垂径定理。在此基础上，给出严格的证明过程，强调证明方法与逻辑推理。
3.推论介绍：介绍垂径定理的两个重要推论，即弦的一半、弦心距和圆半径构成直角三角形，以及圆的弦垂直平分线相交于圆心。
4.通过对垂径定理及其推论的学习，使学生体会几何知识之间的联系，培养他们运用几何知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何学的兴趣，培养他们主动探究、积极思考的学习态度。
2.通过对垂径定理的学习，使学生体会数学的简洁美和逻辑美，提高他们对数学的审美能力。
3.培养学生的团队合作精神，使他们学会在合作中交流、分享和互助，共同解决问题。
3.情感态度培养：鼓励学生勇于提出问题、发表见解，培养他们的自信心和批判性思维。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请同学们完成课本第63页的练习题1、2、3，这些题目主要考察对垂径定理基本概念的理解和简单应用。
5.请同学们按时提交作业，教师将及时批改、反馈，帮助大家查漏补缺，提高学习效果。
2.教学难点：垂径定理的证明过程，以及在实际问题中的应用。
-证明过程涉及严密的逻辑推理，对于部分学生来说可能存在理解上的困难。
-在实际应用中，学生需要能够灵活运用定理，结合其他几何知识，解决更为复杂的问题。
（二）教学设想
1.采定理及其推论。
-教师应以鼓励和表扬为主，营造积极向上的课堂氛围，让学生在轻松的环境中学习。

3-3 垂径定理 -2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)

∴AC=AE﹣CE=8﹣2 7．
随堂测试
7.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则
AC的长为（
A．2 5cm
）
B．4 5 cm
C．2 5cm或4 5cm
D．2 3cm或4 3cm
【解析】
连接AC，AO，
1
1
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=2AB=2×8=4cm,OD=OC=5cm,
O
⌒
⌒
BC =BD.
E
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：
C
∵ CD是直径， CD⊥AB
·
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ AE=BE，AC=BC，AD=BD.
O
E
B
A
D
概念理解
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
不一定
情况二：弦不是直径
C
A
C
·
O
D
O
B
E
A
B
课堂基础练
⌒
ＡＣ＝ AD
⌒
⌒
， BC＝ ＢＤ
A
已知：线段CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，
垂足为E。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
求证：CE=DE, AC = AD, BC =BD.
C
证明：连接OC、OD,在△OCD中，
∵OC=OD，且OE⊥CD,
∴CE=DE，∠COB=∠BOD,
⌒ =AD,
⌒
∴ ∠AOC=∠AOD, ∴AC
则OE=
3
，AB=
8
?
.

3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册

弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.

3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册


*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其 本质是“过圆心”； 特别提醒 （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 （ ）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （ ）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于 弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可 知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是 等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.

9下-§3.3 垂径定理(2)


3. 垂径定理逆定理的三种语言：
文字语言
图形语言
几何语言
2
深度学习离不开归纳，没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的。
1.回顾（补充）学习： 轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，两部分能够完全重合.
2. 垂径定理逆定理证明方法:构造等腰三角形,由平分弦得出垂 直于弦;由圆心角相等得出弧相等.
3.有关圆的常用辅助线: 连接圆心与弦一端点(半径),过圆心作 弦的垂线段(弦心距),再由半径、弦心距、半弦构造直角三角形， 利用勾股定理解答.
长，与条件有关的半径为 OP,OQ ,所以
若 MP NQ 14 ， AC BC 18 ，
连接 OP,OQ ,由垂径定理及有关知识说
则直径 AB 的长.
明 OPM,OQN 三点共线，再由条件中的
HK
两个与线段有关的等式求出 OP,OQ 长.
6
学习抓关键，思维抓核心，学必须学的。
答案：连接OP 交 AC 于 H ，连接OQ 交 BC 于 K
在正方形 ACDE 中， AC// DE，AC DE
,BC ，的中点分别是 M，N，P，Q .若
在正方形 BCFG中， BC// FG，BC FG OP DE,OP 平分 DE ，OQ FG,OQ平分 FG
MP NQ 14 AC BC 18，则直径 AB 的长.
M，N 是 DE ， FG 的中点， OPM,OQN 三点共线.
二 平分弦（非直径） 联 的直径垂直于弦.
重要方法：
三 渗垂透用径代定数理方逆法定理 解 （应列方用程，法构）造解直决角
三角形.进而用勾
几股何问解题决的问思题想..
四 悟
4
学习抓关键，思维抓核心，学必须学的。
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第2课时 垂径定理（2）
北师版 九年级下册
复习导入
回顾垂径定理：
③AM = BM A
由 ①CD为直径 ②CD⊥AB
可推出
④AC BC
⑤AD BD
C B
M
O
垂直于弦的直径平分这条弦， D 并且平分弦所对的弧.
思考探究
如图，AB 是⊙O 的弦（不是 直径），作一条平分 AB 的直径 A CD，交 AB 于点 M ．
（1）这个图形是轴对称图形 吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等 量关系？说一说你的理由.
C B
M O
D
条件
①CD为直径 ②③CADM⊥= ABBM
结论 ②CD⊥AB ④AC BC ⑤AD BD
CD⊥AB吗？
C
A
B
M
O
D
理由是：连接OA，OB，则OA=OB.
在△OAM和△OBM中，
2.如图所示，OC 交 AB 于点 D，AD = DB，
AB = 6cm，CD = 1cm，求⊙O 的半径长. 解：设圆的半径为 R，则 OB = OC = R， ∵ AD = DB， ∴ OC⊥AB， 根据勾股定理，得
32+（R – 1）2 = R2， 解得 R = 5 cm. 即⊙O 的半径长为 5 cm.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其 他三个结论.
垂径定理的逆定理： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的弧. （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦 所对的两条弧. （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对的另一条弧.
……
1.判断：
随堂演练
（ ×）
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
谢谢 大家
郑重申明
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诚信赢天下，精品得人心！
D
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的弧．
还有如下正确结论：
①CD为直径
由
④AC BC
可推出
②CD⊥AB于M ③AM = BM ⑤AD BD
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直 线来说，如果具备
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；
（4）平分弦所对的平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.
（2）平分弦的直线，必定过圆心. （ ×）
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这条直线垂直这条弦.
（×）
（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径. （ ×） （5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦. （ ×） （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分. （ ×）
A
∵ OA=OB，OM=OM，AM=BM.
∴ △OAM≌△OBM.
∴ ∠AMO=∠BMO.
∴ CD⊥AB
∵ ⊙O关于直径CD对称，
C MB O
D
∴ 当圆沿着直径CD对折时， A 点A与点B重合，
C MB
A C 和 B C 重 合 ， A D 和 B D 重 合 . O
A CB C ， A D B D .
方法归纳
1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常 （1）连接半径； （2）过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，
为应用垂径定理创造条件。
课堂小结
请围绕以下两个方面小结本节课： 1、从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理及其推论 2、从方法上学习了什么？
（1）垂径定理和勾股定理结合。 （2）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线