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数学奥林匹克高中训练题（一）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题22)集合111{|log 2,}23nn n N -<<-∈的真子集的个数是(A)． (A) 7 (B)8 (C)31 (D)322．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．(A){1,2,3,4,5,6} (B) {0,1,2,3,4,5,6} (C) {0,1,3,4,5,6} (D) {0,1,2,3,5,6}4．(训练题22) 函数(),()y f x y g x ==的定义域及值域都是R ，且都存在反函数，则11((()))y f g f x --=的反函数是(B)．(A)1((()))y f g f x -= (B) 1((()))y f g f x -= (C) 11((()))y f g f x --= (D) 11((()))y f g f x --=5．(训练题22) 若cos 40sin 40o o ω=+,则1239239ωωωω-++++等于(D)． (A)1cos 2018o (B) 1sin 409o (C) 1cos 409o (D) 2sin 209o 6．(训练题22) 当01x <<时，222sin sin sin ,(),x x x x x x的大小关系是(B)． (A) 222sin sin sin ()x x x x x x << (B) 222sin sin sin ()x x x x x x << (C) 222sin sin sin ()x x x x x x << (D) 222sin sin sin ()x x x x x x<< 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题22) 已知211(),()5,()2f x x g x x g x -==-+表示)(x g 的反函数，设11()(())(())F x f g x g f x --=-．则()F x 的最小值是 703． 2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有 840 个．3．(训练题22) 四面体P ABC -中，,8,6,9,120o PC ABC AB BC PC ABC ⊥===∠=面，则二面角B AP C --的余弦值是 ． 4．(训练题22) 设{}P =不少于3的自然数，在P 上定义函数f 如下：若,()n P f n ∈表示不是n 的约数的最小自然数，则(360360)f = 16 ．5．(训练题22)n 为不超过1996的正整数，如果有一个θ，使(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+成立，则满足上述条件的n 值共有 498 个．6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则红色子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ． 第二试一、(训练题22)(本题满分25分) 点M 是正三角形内一点，证明：由线段,MA MB 和MC 为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的13． 二、(训练题22)(本题满分25分) 若21x y +≥，试求函数2224u y y x x =-++的最小值．95- 三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数x 和y ，使得如下不等式成立0212x y x y xy-≤<+++． 四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边．数学奥林匹克高中训练题（二）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题23)119963+除以19971996⨯所得的余数是(D)．(A) 1 (B) 1995 (C) 1996 (D) 19972．(训练题23)若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A)． (A)a 21 (B)a1 (C)a (D)a2 3．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线段），则正确的命题是(B)．(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．(B)任何三条线段都可组成一个三角形，其中每个内角都是锐角．(C)任何三条线段都可组成一个三角形，其中必有一个是钝角三角形．(D)任何三条线段都可组成一个三角形，其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”，随长方体的长，宽，高而变化，不能确定．4．(训练题23)若20π<<x ，则11tan cot sin cos x x x x++-的取值范围是(D)． (A)()+∞∞-, (B)()+∞,0 (C)),21(+∞ (D)()+∞,1 5．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻，则其可能的排法个数是(A)． (A)!5!7!8⋅ (B)!4!6!7⋅ (C) !7!3!10⋅ (D) !3!7!10⋅ 6．(训练题23)使得11cos 51sin +>n 成立的最小正整数n 是(B)．(A)4 (B)5 (C)6 (D)7二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题23)设R a ∈，若函数310),(+==xy x f y 关于直线x y =对称，且)(x f y =与)lg(2a x x y +-=有公共点，则a 的取值范围是 6a <- ．2．(训练题23)设1,,2-=∈+i R b a 且存在C z ∈，适合⎪⎩⎪⎨⎧≤+=+1z bi a z z z 则ab 的最大值等于 18 ． 3．(训练题23)设 900<<α，若ααsin 1)60tan(31=-+ ，则α等于 3050o o 或 ． 4．(训练题23)设''''D C B A ABCD -是棱长为1的正方体，则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点'''',,,D C B A 的圆上的点Q 之间的最小距离=d2 ． 5．(训练题23)如图，在直角坐标系xOy 中，有一条周期性折线（函数）).(:1x f y l =现把该曲线绕原点O 按逆时针方向旋转45得到另一条曲线2l ，则这两条曲线与y 轴及直线()N n n x ∈=围成的图形的面积等于(12n +-- ．6．(训练题23)设b a ,都是正整数，且100)21(2+=+b a 则b a ⋅的个位数等于 4 ．第二试一、(训练题23)(本题满分25分) 求证：在复平面上，点集}01:{3=++∈=z z C z S 中，除去某一个点外的所有的点都在圆环45313<<z 中． 二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线),0(22>=p px y 其焦点为F .试问：是否存在过F 点的弦AB （B A ,均在抛物线上，且A 在第一象限内），以及y ）轴正半轴上的一点P ，使得B A P ,,三点构成一个以P 为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的，请求出直线AB 的方程．)2p y x =- 三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定321A A A ∆及点0P ，构造点列0P ，1P ， 2P ，使得13+k P 为点k P 3绕中心1A 顺时针旋转150时所到达的位置，而23+k P 和33+k P 为点13+k P 和23+k P 分别绕中心2A 和3A 顺时针旋转 105时所到达的位置， ,3,2,1,0=k .若对某个N n ∈，有03P P n =，试求321A A A ∆的各个内角的度数及三个顶点321,,A A A 的排列方向．四、(训练题23)(本题满分35分)设n ααα≤≤≤< 210，n b b b ≤≤≤< 210，且∑∑==≥n i i n i i b a 11又存在)1(n k k ≤≤使得当k i ≤时有i i a b ≤，当k i >时，有i i a b >.求证：∏∏==≥n i i n i ib a 11． 1。
数学奥林匹克高中训练题（10）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题15)正方体表面正方形的对角线中存在异面直线，如果其中两条异面直线距离是1，那么，正方形的体积(C)． (A) 1 (B) 33 (C) 1 或33 (D) 33 或232．(训练题15)设有长度为12345,,,,a a a a a 的五条线段，其中任何三条线段都能组成一个三角形，共组成了10个三角形，这些三角形中(A)．(A) 必有一个锐角三角形 (B) 必有一个直角三角形(C) 不可能有锐角三角形 (D) 是否存在锐角三角形与已知线段长有关3．(训练题15)在锐角ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠为其内角，设cot 2cot 2cot 2T A B C =++，则一定有(C)．(A) 0T > (B) 0T ≥ (C) 0T < (D) 0T ≤4．(训练题15)C 为复数集，设18{|1,}A z z z C ==∈，18{|1,}B C ωωω==∈，{|,}D z z A B ωω=∈∈．则D 中的元素的个数为(D)个．(A)864 (B)432 (C) 288 (D) 1445．(训练题15)已知正数,,a b c ，满足1995ab bc cd ++=，则c ab +a bc +bca 的最小值为(B)． (A) 1995 (B) 3665 (C) 2665 (D) 6656．(训练题15)已知函数()f x 在(0,)+∞上有定义且为增函数，并满足1()(())1f x f f x x+=．则(1)f =(D)． (A)1 (B)0 (C)251+ (D) 251- 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题15)已知抛物线方程(0)2x y h h =-+>，点(2,4)P 在抛物线上，直线AB 在y 轴上的截距大于0，且与抛物线交于,A B 两点，直线PA 与PB 的倾斜角互补，则PAB ∆的面积的最大值是9． 2．(训练题15)设p 是一个素数，4p 的各正约数之和是一个完全平方数，则p = 3p = ．3．(训练题15)方程cos(1)cos(2)cos(3)0a x b x c x +++++=在开区间(0,)π内至少有两个根，则此方程的所有根为 一切实数 ．4．(训练题15)设12,x x 是实系数方程2240x kx ++=的两个非零实根，且满足221221()()7x x x x +>，则k 取值范围是k k ><5．(训练题15)设多项式()p x 的次数不超过3次，且(0)1,(3)0,(2)(2)p p p x p x ==+=-．若()p x 的首项系数为负数，则()p x = 1(1)(2)(3)6x x x ---- ．6．(训练题15)在一次网球比赛中，n 个女子和2n 个男子参加，并且每个选手与其他所有选手恰好比赛一次，如果没有平局，女子胜的局数与男子胜的局数之比7：5，则n = 3 ．第二试 一、(训练题15)(本题满分25分)求所有的a 的值，(,)22a ππ∈-，使方程组1arcsin(sin )1tan ()10y x y x απ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 在110x π≥的条件下恰有10个解． 二、(训练题15)(本题满分25分)已知,A n 均为自然数，其中21,n A n ><，且2|[]1n n A+．求A 的值． 三、(训练题15)(本题满分35分) 某厂第一天产品不超过a 件，以后每天日产量都有所增加，但每日增产数量也不超过a 件，且设,0b aq r r a =+≤≤，证明，当日产量达到b 件时，工厂生产产品总数不少于2)2)(1(r qa q ++件． 四、(训练题15)(本题满分35分) 平面上有n 个点，其中每两个点之间的连线均染成红色或黑色，若图中总存在两个没有公共边的同色三角形，求n 的最小值．。
高中数学奥林匹克训练题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1． 已知函数1x ay x a -=---的反函数的图象关于点(1,3)-成中心对称图形，则实数a 等于(A)．(A) 2 (B)3 (C)-2 (D)-42． 我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称之为“优美椭圆”．设a by a x (12222=+＞b ＞0)为优美椭圆，,F A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于(C)．(A)60o (B)75o (C)90o (D)120o3． 已知ABC ∆三边的长分别是,,a b c ，复数12,z z 满足1212,,z a z b z z c ==+=，那么复数21z z 一定是(C)．(A)是实数 (B)是虚数 (C)不是实数 (D)不是纯虚数4． 函数21522223411(1)6()1x x C x x P f x C C C ++-⋅-⋅=+++的最大值是(D)． (A)20 (B)10 (C)10- (D) 20-5． 以O 为球心，4为半径的球与三条相互平行的直线分别切于,,A B C 三点．已知4=∆BOC S ，16ABC S ∆>，则ABC ∠等于(B)．(A)12π (B)512π (C)712π (D)1112π 6． 在集合{1,2,3,,10}M =的所有子集中，有这样一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，那么这族子集最多有(B)．(A)102个 (B)92个 (C)210个 (D) 29个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直线方程分别是31y x =+和2y mx =+，则实数m 的值是3124或 ．A 1 A C 1B 1BCD2． 设()(0,1)1xx a f x a a a =>≠+，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，则函数]21)([21)([--+-x f x f 的值域是 {1,0}- ．3．设,,a b c 是直角三角形的三条边长，c 为斜边长，那么使不等式kabc b a c a c b c b a ≥+++++)()()(222对所有直角三角形都成立的k 的最大值是4． 如图，正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是1，截面1BCD 在棱1AA 上的交点为D ，设这个截面与底面ABC 和三个侧面111111,,ABB A BCC B CAAC 所成的二面角依次为1234,,,αααα，若1234cos cos cos cos αααα+=+，则5． 已知()f x 是定义域在实数集的函数,且(2)[1()]1().(1)2f x f xf x f +-=+=若，则(1949)f 2 ．6． 设1x 是方程12cos 3sin 3-=-a x x 的最大负根，2x 是方程222cos 2sin x xa -=的最小正根，那么，使不等式12x x ≤成立的实数a 的取值范围是 1122a a ≤≤-=或 ．第二试一、 (本题满分25分)某眼镜车间接到一任务，需要加工6000个A 型零件和2000个B 型零件，这个车间有214名工人，他们每一个人加工5个A 型零件的时间可加工3个B 型零件．将这些人分成两组同时工作，每组加工同一型号的零件，为了在最短的时间完成，应怎样分组？77二、 (本题满分25分)已知一个四边形的各边长都是整数，并且任意一边的长都能整除其余三边之和．求证：这个四边形必有两边相等．三、 (本题满分35分)实数数列1231997,,,,a a a a 满足： 1223199619971997a a a a a a -+-++-=．若数列{}n b 满足：12(1,21997)kk a a a b k k++==．求199719963221b b b b b b -++-+- 的最大可能值．四、 (本题满分35分)给定两个七棱锥，它们有公共的底面1234567A A A A A A A ，顶点12,P P 在底面的两侧．现将下述线段中的每一条染红，蓝两色之一：12,P P ，底面上的所有的对角线和所有的侧棱．求证：图中心存在一个同色三角形．。
数学奥林匹克高中练习题〔12〕第一试一、选择题〔每题6分,共36分〕1．(练习题17)方程11122=---x y y x 所对应的曲线图形是〔D 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕 2．(练习题17)在数列{}n x 中,,7,221==x x 且当n ≥1时,2+n x 等于1+n n x x 的个位数字.那么1995x 等于〔B 〕〔A 〕2 〔B 〕4 〔C 〕6 〔D 〕83．(练习题17)四边形ABCD 的四边长d c b a ,,,满足320320320320a b c b c d c d a d a b -+=⎧⎪-+=⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩,那么四边形ABCD 一定是〔D 〕 〔A 〕梯形 〔B 〕圆内接四边形 〔C 〕矩形 〔D 〕菱形4．(练习题17)如果n xx ）（32213-的展开式中含常数项,那么正整数n 的最小值是〔B 〕 〔A 〕4 〔B 〕5 〔C 〕6 〔D 〕8 5．(练习题17)[]x 表示不超过x 的最大整数,+∈R c b a ,,,1=++c b a ,记13+=a M + 1313+++cb ,那么[]M 的值为〔B 〕〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕66．(练习题17)如果关于x 的方程,03222=-++a a ax x 至少有一个模等于1的根,那么实数a 的值〔C 〕〔A 〕不存在 〔B 〕有一个 〔C 〕有三个 〔D 〕有四个二、填空题〔每题9分,共54分〕1．(练习题17)求值︒-︒10cos 410cot 3 .2．(练习题17)函数x y πcos 2=(0≤x ≤)2和()R x y ∈=2的图象围成一个封闭的平面图形.那么这个图形的面积是 4 .3．(练习题17)实数y x ,满足1=+y x ,设y y x x S 2622-++=. 那么=min S -5 .4．(练习题17)ABC ∆的面积S 与内角A 均为定值．那么BC 边的长a 的取值范围是)+∞． 5．(练习题17)设由模为1的n 〔2＜n ＜6〕个复数满足下面2条组成一个集合S .〔1〕S ∈1；〔2〕假设,,21S z S z ∈∈那么S z z ∈-θcos 221,其中θ=21argz z . 那么集合S = {1,1,,}i i -- ．6．(练习题17)今有壹角币1张,贰角币1张,伍角币1张,壹元币5张,伍元币2张.那么可以付出不同数目的款额〔不包括不付款的情况〕的种数是 127 ． 第二试一、(练习题17)〔总分值25分〕.,,+∈R c b a 求证：cac c bc b b ab a a ++++++++111≤1 二、(练习题17)〔总分值25分〕设点P 是双曲线C ：=-2222by a x 1〔a ＞0,b ＞0〕上任意一点,过点P 的直线与两渐进线1l ：x a b y =,2l ：x ab y -=分别交于点21,P P ,设λ=21PP P P . 求证：S 21P OP ∆=||412λλ）（+ab 三、(练习题17)〔总分值35分〕在△ABC 的边AB 上任取一点P ,过P 作AC 的平行线交BC 于Q ,过P 作BC 的平行线交AC 于R ,是否存在C 点以外的一个定点M ,使得M R Q C ,,,四点共圆？证实你的结论.四、(练习题17)〔总分值35分〕在公差d ＞0的正项等差数列{}n a ：,,21a a …,n a 3中,任取2+n 个数.试证实其中必存在两个数j i a a ,满足不等式1＜nd a a j i ||-＜2.。
数学奥林匹克高中训练题(24)及答案数学奥林匹克高中训练题(24)第一试一.选择题(本题满分36分,每小题6分)1．(训练题29)(D)．(A) (B) (C)(D)2．(训练题29)复数满足且,则这样的复数有(D)．(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个3．(训练题29)已知都是正实数．则且是且的(B)．(A)充分不必要条件(B)必要不充分件(C)充要件(D)既不充分也不必要条件4．(训练题29)是两个正整数,最小公倍数为465696．则这样的有序正整数对共有(D) 个．(A)144 (B)724 (C)1008 (D)11555．(训练题29)方程的根是和．则在坐标平面上,点的图形是(B)．6．(训练题29) 对一个棱长为1的正方体木块,在过顶点的三条棱上分别取点,使．削掉四面体后,以截面为底面,在立方体中打一个三棱柱形的洞,使棱柱侧面都平行于体对角线．当洞打穿后,顶点C处被削掉,出口是一个空间多边形．则这个空间多边形共有(B) 条边．(A)3 (B)6 (C)8 (D) 9二.填空题(本题满分54分,每小题9分)1．(训练题29),．则被3除的余数是 1 ．2．(训练题29)函数是上定义的函数,且的解集为的解集是空集,则不等式的解集是．3．(训练题29)棱锥的底面是正三角形,侧面垂直于底面,另两个侧面同底面所成的二面角都是,则二面角的值是( 用反三角函数表示)．4．(训练题29)若,则函数的最小值等于．5．(训练题29)六个正方形放置如图所示,若三个正方形面积之和为三个正方形面积之和为,则 3．6．(训练题29)已知是一个直角三角形三边之长,且对大于２的自然数,成立．则4 ．三.(训练题29)(本题满分20分)棱锥中,．试求棱锥体积的最大值．四.(训练题29)(本题满分20分)数列,适合条件,当时,,证明．五.(训练题29)(本题满分20分)已知和都是关于的二次三项式,证明:方程不能有根１,２,３,４,５,６,７,８．第二试一.(训练题29)(本题满分50分)有限数集的全部元素的乘积,称为数集的〝积数〞．今给出数集,试确定的所有偶数个(2个,4个,…,98个)元素子集的〝积数〞之和的值．24.255二.(训练题29)(本题满分50分)凸四边形的对角线交点为．证明:是圆外切四边形的充分必要条件是...的内切圆半径满足关系式．三.(训练题29)(本题满分50分) ;是1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11的两种不同的排列．证明:中至少有两个被11除所得的余数相同．。
数学奥林匹克高中训练题（30）第一试一、选择题（本题满分36分：每小题6分）1．(训练题37)a 是由1998个9组成的1998位数：b 是由1998个8组成的1998位数：则b a ⋅的各位数字之和为(C)．(A)19980 (B)19971 (C)17982 (D)179912．(训练题37)已知)2,0(π∈x ：则方程03832=++ctgx x ctg 的所有根的和为(C)．(A)π3 (B)π4 (C)π5 (D)π63．(训练题37)已知三个正数a 、b 、c 之和为10：如果它们之中没有一个大于其余数的2倍：那么abc 的最小值是(B)．(A)32 (B)4131 (C)9727(D)16137 4．(训练题37)已知])32()32[(21n n n x -++=)(N n ∈：n x 为正整数：则19981999x 的个位数字为(B)．(A)1 (B)2 (C)6 (D)75．(训练题37)已知ABC ∆中：2lg ,2lg ,2lg C tg B tg A tg 成等差数列：则B ∠的取值范围是(B)． (A)60π≤∠<B (B)30π≤∠<B (C)323ππ≤∠≤B (D)ππ≤∠≤B 32 6．(训练题37)一只小球放入一长方形容器内：且与共点的三个面相接触：小球上有一点到这三个面的距离分别是cm 3：cm 3：cm 6：则这只小球的半径(D)．(A)只为cm 3 (B)只为cm 6 (C)只为cm 9 (D)以上说法不对二、填空题（本题满分54分：每小题9分）1．(训练题37)已知!1999|1998n ：则正整数n 的最大值为 55 ．2．(训练题37)已知0O 是正ABC ∆的内切圆：1O 与0O 外切且与ABC ∆的两边相切：…：1n O +与n O 外切且与ABC ∆两边相切)(N n ∈．那么：在ABC ∆内所有这些可能的圆（包括0O ：n O )(N n ∈）的面积之和与ABC ∆ 3．(训练题37)P 是边长为2的正ABC ∆所在平面上的一动点：且16222=++PC PB PA ：则动点P的轨迹为 以正ABC ∆的中心为圆心：2为半径的圆 ．4．(训练题37)已知方程)(88N n n z y x ∈=++有666组正整数解),,(z y x ．那么n 的最大值是 304 ．5．(训练题37)已知正四面体ABCD 的六条棱的长分别为cm 4：cm 7：cm 20：cm 22：cm 28：xcm 。
第1页共10页高中数学高中数学奥林匹克训练题奥林匹克训练题第一试一、填空题1.若集合22{(,)|(20)(12),}P x y x y x Z y Z =−+−≤∈∈,则集合P 中的元素个数为____________.2.已知矩形ABCD 的顶点依次为(1,0)A −,(1,0)B ,(1,1)C ,(1,1)D −.若抛物线2y ax =平分矩形ABCD 的面积,则实数a 的值为______.3.在各边长均为整数的直角三角形中,斜边上的高也是整数的三角形的周长的最小值为______.4.在四面体ABCD 中,3,1==CD AB ,直线AB 与CD 的距离为2,夹角为°60,则四面体ABCD 的体积为____________.5.若直线134=+y x 与椭圆191622=+y x 相交于B A ,两点,则在该椭圆上满足PAB ∆的面积为3的点P 的个数为____________.6.若关于x 的方程sin cos 2x x m =+在[,]2ππ−内有两个不同实根,则m 的取值范围为____________.7.圆周上有100个等分点,以其中三个点为顶点的钝角三角形的个数为____________.8.若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足:对任意的],[,21b a x x ∈,都有))()((21)2(2121x f x f x x f +≤+,则称函数)(x f 在],[b a 上具有性质P .如果已知函数)(x f 在]3,1[上具有性质P ,那么以下四个命题是真命题的有____________(写出相应命题的序号即可).①函数)(x f 在]3,1[上的图像是连续(不间断)的；②函数)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若函数)(x f 在2=x 处取得最大值1,且1)1(=f ,则1)(=x f ,]3,1[∈x ；④对任意的]3,1[,,,4321∈x x x x ,都有不等式))()()()((41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++成立.二、解答题9.已知F 是椭圆2222x y +=的左焦点,椭圆上的动点,A B 使得ABF ∆的内心总在直线1x =−上,求证:直线AB 过定点.10.数列}{n a 的前4项依次为⋯,5,8,9,1,且4+i a 是i i a a ++3的个位数字,求证:220002198621985|4a a a +++⋯.第2页共10页11.设函数)1ln(1)2()(2+−++++=x a x a x x f ,其中R a ∈.(1)已知曲线)(x f y =不经过第四象限,求实数a 的取值范围；(2)已知过坐标原点且与曲线)(x f y =相切的直线有且只有两条,求实数a 的取值范围.第二试一、已知直线,PB PC 分别是锐角ABC ∆外接圆的切线,点E 在线段PC 的延长线上,线段BE 交AC 于点D ,交AP 于点F ,且CE DE =,求证:BF DF =.二、已知p 为给定的奇素数,在数列{}n a 中,11a p=,12[]n n n a a a +=−(符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数),求证:存在实数t ,使得{}n a tn −为周期数列.三、设,,0a b c >,求证:()()()()25353533333a a a a a a a b c −+−+−+≥++.四、设123,,,,n a a a a ⋯是1,2,3,,n ⋯的一个排列,且对1,2,3,,k n =⋯都有122012k k k a a a ++++≤,其中规定11n a a +=,22n a a +=,求n 的最大值.第3页共10页高中数学高中数学奥林匹克训练题奥林匹克训练题第一试一、填空题1.若集合22{(,)|(20)(12),}P x y x y x Z y Z =−+−≤∈∈,则集合P 中的元素个数为____________.解析解析::由,x Z y Z ∈∈可知22(20)(12)x y k −+−=也一定是整数.当0k =时,元素(,)x y 有1个；当1k =时,元素(,)x y 有4个；当2k =时,元素(,)x y 有4个；当3k =时,无解；而4<,故,当4k ≥时,无解.综上可知,集合P 中的元素个数为9.2.已知矩形ABCD 的顶点依次为(1,0)A −,(1,0)B ,(1,1)C ,(1,1)D −.若抛物线2y ax =平分矩形ABCD 的面积,则实数a 的值为______.解析解析::由题意可得点E的坐标为(a,因此由抛物线、x 轴以及直线EF围成的封闭图形的面积为230)33a dx a a =⋅=.因此有132a a −=,解得169a =.3.在各边长均为整数的直角三角形中,斜边上的高也是整数的三角形的周长的最小值为______.解析解析::设直角三角形的三边长分别为2222,2,m n mn m n −+,其中(,)m n d =,且m n >,则由等面积法得斜边上的高22222()mn m n h m n −=+,令,m dx n dy ==,则(,)1x y =,222222()xy x y h d x y −=⋅+.故有22(2)1x y +=,,22()1xy x y +=,,2222()1x y x y −+=,,故222|x y d +.所以当2,1,5x y d ===时,h 为整数,此时的直角三角形周长取得最小值120.4.在四面体ABCD 中,3,1==CD AB ,直线AB 与CD 的距离为2,夹角为°60,则四面体ABCD 的体积为____________.解析解析::过点C 作CE 平行AB ,以CDE ∆为底面,BC 为侧棱作三棱柱ECD ABF −,则所求四面体ABCD 的体积V 为三棱柱ECD ABF −的体积'V 的三分之一.由于DCE CE CD S CDE ∠⋅⋅=∆sin 21,且直线AB 与CD 的距离MN 就是三棱柱ECD ABF −的高,因此232313221sin 21'=⋅⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=DCE CE CD MN V .所以,21'31==V.第4页共10页5.若直线134=+y x 与椭圆191622=+y x 相交于B A ,两点,则在该椭圆上满足PAB ∆的面积为3的点P 的个数为____________.解析:设)sin 3,cos 4(ααQ 20(πα<<是椭圆上在第一象限内的一点.因为四边形OAQB 的面积:26)4sin(26cos 4321sin 3421≤+=⋅⋅+⋅⋅=+=+=∆∆∆∆παααOBQ OAQ QABOAB S S S S S ,所以由3626<−≤∆QAB S 可知,符合题意的点P 有且只有两个点.6.若关于x 的方程sin cos 2x x m =+在[,]2ππ−内有两个不同实根,则m 的取值范围为____________.解析:由sin cos 2x x m =+可得22sin sin 1x x m +−=.设sin t x =,则由[,]2x ππ∈−可知[1,1]t ∈−,但当[1,0){1}t ∈−∪时,x 与t 之间是一一对应的关系；当[0,1)t ∈时,两个x 值对应着一个t 值.xy0.5-0.5-1-1O1另外,由2()21f t t t =+−,[1,1]t ∈−可知:①当98m =−时,方程()f t m =有唯一实根14t =−,此时有唯一的x 符合题意.②当9(,1)8m ∈−−时,方程()f t m =有实根121,(,0)2t t ∈−,此时有两个不同的x 符合题意.③当1m =−时,方程()f t m =有实根121,02t t =−=,此时有三个不同的x 符合题意.④当(1,0)m ∈−时,方程()f t m =有实根1211(1,),(0,)22t t ∈−−∈,此时有三个不同的x 符合题意.⑤当0m =时,方程()f t m =有实根1211,2t t =−=,此时有三个不同的x 符合题意.⑥当(0,2)m ∈时,方程()f t m =有唯一实根1(,1)2t ∈,此时有两个不同的x 符合题意.⑦当2m =时,方程()f t m =有唯一实根1t =,此时有唯一的x 符合题意.综上可知,当918m −<<−或02m <<时,关于x 的方程sin cos 2x x m =+在[,]2ππ−内有两个不同的实数根.第5页共10页7.圆周上有100个等分点,以其中三个点为顶点的钝角三角形的个数为____________.解一解一::将100个等分点按顺时针方向依次记为10021,,,P P P ⋯.以1P 为一个顶点,沿顺时针方向在半圆周5032P P P ⋯内再任取两个点,由此三点组成的三角形必为钝角三角形,共249C 个.同理,以iP )100,,2,1(⋯=i 为一个顶点,沿顺时针方向在半圆周4921+++i i i P P P ⋯(规定:若100>k ,则100−=k k P P )内再任取两个点,由此三点组成的三角形必为钝角三角形,共249C 个.也就是说,对每一个点,对应的钝角三角形均有249C 个.所以,钝角三角形的个数为117600100249=C .解二解二::任取三点均可构成三角形,即三角形共有3100C 个；任意一条直径的两个端点以及另外任意一点均可构成直角三角形,共9850×个；任意一个锐角三角形,以其中两个顶点以及另一顶点关于圆心的对称点为顶点的三角形必为钝角三角形；同时,对任意一个钝角三角形,只有当钝角所在的顶点关于圆心的对称点与另两个顶点为顶点的三角形才是锐角三角形.即是说,钝角三角形的个数应当是锐角三角形个数的三倍.综上可知,钝角三角形的个数为117600)9850(433100=×−C .8.若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足:对任意的],[,21b a x x ∈,都有))()((21)2(2121x f x f x x f +≤+,则称函数)(x f 在],[b a 上具有性质P .如果已知函数)(x f 在]3,1[上具有性质P ,那么以下四个命题是真命题的有____________(写出相应命题的序号即可).①函数)(x f 在]3,1[上的图像是连续(不间断)的；②函数)(2x f 在]3,1[上具有性质P ；③若函数)(x f 在2=x 处取得最大值1,且1)1(=f ,则1)(=x f ,]3,1[∈x ；④对任意的]3,1[,,,4321∈x x x x ,都有不等式))()()()((41)4(43214321x f x f x f x f x x x x f +++≤+++成立.解析:对于①,函数⎩⎨⎧≤<≤≤=32,321,1)(x x x f 就是一个反例；对于②,函数x x f −=)()31(≤≤x 就是一个反例；而对于③,④,则不难证明其正确性.故,本题答案应为③,④.二、解答题9.已知F 是椭圆2222x y +=的左焦点,椭圆上的动点,A B 使得ABF ∆的内心总在直线1x =−上,求证:直线AB 过定点.证明证明::由题意知直线AB 的斜率存在,故可设方程为x my n =+(0)m ≠,且1122(,),(,)A x y B x y ,则:由2222x my n x y =+⎧⎨+=⎩得222(2)220m y mny n +++−=.故12222mn y y m +=−+,212222n y y m −=+.第6页共10页因点F 的坐标为(1,0)−,且ABF ∆内心在直线1x =−上,故可得直线,AF BF 的斜率都存在,且和为0,即1212011y yx x +=++.又由1122(,),(,)A x y B x y 在直线x my n =+上得11x my n =+,22x my n =+.从而有12122(1)()0my y n y y +++=.再结合韦达定理可得2n =−.综上可知直线AB 过定点(2,0)−.10.数列}{n a 的前4项依次为⋯,5,8,9,1,且4+i a 是i i a a ++3的个位数字,求证:220002198621985|4a a a +++⋯.证明证明::当i a 为奇或偶时,分别记i b 为0,1,则得}{n b :⋯;1,1,1,0,0,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1;1,1,1,0,0,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1且i a 与i b 的奇偶性相同.由于数列}{n a ,}{n b 的定义及前面得到的新数列}{n b 的一些项,可见}{n b 是以15为周期的周期数列,即可得i i b b =+15,而)15(mod 52000,),15(mod 61986),15(mod 51985≡≡≡⋯,于是有051985==b b ,161986==b b ,…,052000==b b ,即在1985到2000的这16项中,奇数、偶数各有8项,由于偶数的平方能被4整除,奇数的平方被4除余1,由此命题得证.11.设函数)1ln(1)2()(2+−++++=x a x a x x f ,其中R a ∈.(1)已知曲线)(x f y =不经过第四象限,求实数a 的取值范围；(2)已知过坐标原点且与曲线)(x f y =相切的直线有且只有两条,求实数a 的取值范围.解:(1)原问题等价于:0)1ln(1)2(2≥+−++++x a x a x 对0>x 均成立,也即是11)1ln(−−++≥x x x a 对0>x 均成立.令11)1ln()(−−++=x x x x g ,则1)1()1ln(1)('2−++−=x x x g ,而由0>x 得0)('<x g ,故)(x g 递减.故1)0()(−=<g x g .所以,实数a 的取值范围为1−≥a .(2)设过坐标原点且与曲线)(x f y =相切的直线l 的切点为))(,(00x f x ,则由题意可得:)1ln(1)2()(00200+−++++=x a x a x x f ,11)2(2)('000+−++=x a x x f .从而,切线l 的方程为:)()()('000x f x x x f y +−⋅=,即:)1ln(111122(0002000+−++++−⋅+−++=x x x a x x x a x y .第7页共10页又由于切线l 过坐标原点,故有1)1ln(100020−+++−=x x x x a ,其中10−>x .设1)1ln(1)(2−+++−=x x x x x h ,1−>x ,则由)1(12(11)1(12)('22++⋅=+++−=x x x x x x h 可知:当)0,1(−∈x 时,0)('<x h ,)(x h 递减；当),0(+∞∈x 时,0)('>x h ,)(x h 递增.所以,函数)(x h 的最小值为1−,即当1−>a 时,方程a x h =)(有且只有两个不同实根,即过坐标原点且与曲线)(x f y =相切的直线有且只有两条.(事实上,可以说明:1)0())((min −==h x h ；且当0→x 时,+∞→)(x h ；当+∞→x 时,+∞→)(x h .即,当1−>a 时,方程a x h =)(有且只有两个不同实根,即过坐标原点且与曲线)(x f y =相切的直线有且只有两条.)第二试一、已知直线,PB PC 分别是锐角ABC ∆外接圆的切线,点E 在线段PC 的延长线上,线段BE 交AC 于点D ,交AP 于点F ,且CE DE =,求证:BF DF =.证明证明::由CE DE =可得ECD EDC ∠=∠,而EDC ACB CBD ∠=∠+∠,ECD ABC ABD CBD ∠=∠=∠+∠,故ACB ABD ∠=∠.又由180PBA PBC ABC ACB ∠=∠+∠=°−∠可得sin sin sin PBA ACB FBA ∠=∠=∠,由180PCA PCB ACB ABC ∠=∠+∠=°−∠可得sin sin sin PCA ABC FDA ∠=∠=∠.故可得sin sin sin sin sin sin sin sin PB PB PA PAB PCA FAB FDA PC PA PC PBA PAC FBA FAD ∠∠∠∠=⋅=⋅=⋅∠∠∠∠.又显然有PB PC =.所以有sin sin 1sin sin BF BF AF FAB FDADF AF DF FBA FAD∠∠=⋅=⋅=∠∠,即BF DF =.第8页共10页二、已知p 为给定的奇素数,在数列{}n a 中,11a p=,12[]n n n a a a +=−(符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数),求证:存在实数t ,使得{}n a tn −为周期数列.证明证明::设[]n n n a a a <>=−,则121p d a a a −=<>+<>++<>⋯为定值.∵12[][]n n n n n n n n a a a a a a a a +=−=+−=+<>,∴12n n n n a a a a +<>=<+<>>=<>,从而可得12n n a p−<>=<>.∵p 为给定的奇素数,∴由费尔马小定理可得121p −≡(mod )p ,故1|(21)p p −−.设(1)n k p r =−+,,k N r N ∈∈,且01r p ≤<−,则有:(1)111112(2)1222k p r p k r r r n r a a p p p p−+−−−−−−<>=<>=<⋅+>=<>=<>.∴111221()()()n p n n p n p n p n p n n a a a a a a a a ++++−+−+−++−=−+−++−⋯121n p n p n a a a +−+−+=<>+<>++<>⋯11121r r p p r a a a a a a −−−+=<>+<>++<>+<>+<>++<>⋯⋯121p a a a d −=<>+<>++<>=⋯.∴11(())((1))()(1)0111n p n n p n d d da n p a n a a p p p p ++++−⋅+−−⋅+=−−⋅−=−−−.∴存在实数21122()11p d t p p p p p−==⋅<>+<>++<>−−⋯,使得{}n a tn −为周期数列.三、设,,0a b c >,求证:()()()()25353533333a a a a a a a b c −+−+−+≥++.证明:因为()()()()()25322321110,a a a a a a a −+−+=−+++≥所以53232a a a −+≥+．同理,再得二式,三式叠乘,得()()()()()()535353222333222a a a a a a a b c −+−+−+≥+++．于是,只要证明不等式()()()()22222223.a b c a b c +++≥++成立即可．事实上,由均值不等式,得第9页共10页()()22222222224bc b c b c ++=+++()()()()()222222222311322323231,2b c b c b c b c bc bc b c =++++++≥++++⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦故,()()()22222312b c b c ⎡⎤+++≥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．(*)由柯西不等式,得()()()22221212b c a b c a a ⎡⎤+⎛++=⋅+≤++⎢⎥⎜⎝⎢⎥⎣⎦，即()()()222212b c a a b c ⎡⎤+++≥++⎢⎢⎥⎣⎦．(**)于是,由不等式（*）和（**）,便得()()()()()()2222222223213.2b c a b c a a b c ⎡⎤++++≥++≥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦四、设123,,,,n a a a a ⋯是1,2,3,,n ⋯的一个排列,且对1,2,3,,k n =⋯都有122012k k k a a a ++++≤,其中规定11n a a +=,22n a a +=,求n 的最大值.解析解析::第一步:通过整体估计n 的范围令12k k k k b a a a ++=++,则1232012n b b b b n ++++≤⋅⋯,另一方面,由于有12312323434512()()()()n n b b b b a a a a a a a a a a a a ++++=++++++++++++⋯⋯12333()3(123)(1)2n a a a a n n n =++++=++++=+⋯⋯.因此由3(1)20122n n n +≤可得40213n ≤,故1340n ≤.第二步:说明n 不能为1340①若1340n =,则12331340134167040232n b b b b ++++=××=×⋯.②在12,,,n b b b ⋯中至少有一个为2012,否则12134020116704023n b b b +++≤×<×⋯.于是不妨设122012k k k k b a a a ++=++=,则1123122012k k k k k k k b a a a a a a ++++++=++≠++=,同理12012k b −≠.也就是说,在12,,,n b b b ⋯中2012的个数不会超过[]2n .第10页共10页③下面说明在12,,,n b b b ⋯中至少有一个小于2011.若2012k b =,则12011k b +=,否则结论已成立.故31k k a a +=−.由21k k b b ++≠得22012k b +=,否则结论已成立.故411k k a a ++=+.同理,521k k a a ++=−,且631k k a a ++=+.但由31k k a a +=−可得6=k k a a +,这与题意中的6k k a a +≠相矛盾.故必有62k k a a +≤−,从而4456121122010k k k k k k k b a a a a a a ++++++=++≤++−+−=.故在12,,,n b b b ⋯中至少有一个小于2011.由②,③可知12[2012([]1)201120102011[]1222n n n n b b b n n +++≤⋅+−−⋅+=+−⋯.因此,假设1340n =,则有1213402011670167040231n b b b +++≤×+−=×−⋯与①矛盾！所以,1340n ≠.第三步:通过构造说明n 能取到1339当1339n =时,如下给出121339,,,a a a ⋯:前669个数为21,671,1340i i i −−−(1,2,,223)i =⋯；第670个数为447；后669个数为4482,670,893j j j −++(1,2,,223)j =⋯.经验证,符合题意.综上可知n 的最大值为1339.陕西师大附中王全710061wangquan1978@。
