高中数学必修2测试卷及答案

一、选择题1．设m ，n 是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ）A ．过m 且与n 平行的平面有且只有一个B ．过m 且与n 垂直的平面有且只有一个C ．m 与n 所成的角的范围是()0,πD ．过空间一点P 与m 、n 均平行的平面有且只有一个2．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，9021ABC SA AC AB ︒∠====,,，则该四面体的外接球的表面积为（ ）A ．23πB ．43πC ．4πD ．5π3．球面上有,,,A B C D 四个点，若,,AB AC AD 两两垂直，且4AB AC AD ===，则该球的表面积为（ ）A ．803πB ．32πC ．42πD ．48π 4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠= ，将ABD ∆沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD . 给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为22； ③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '.其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直于⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点，M ，N 分别为VA ，VC 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．MN //AB B ．MN 与BC 所成的角为45°C ．OC ⊥平面VACD ．平面VAC ⊥平面VBC 6．已知m ，n 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ） A ．若m ⊂α，n ⊂α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若n αβ=，//m n ，则//m α且//m βD ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,2,4AA AB AD ===，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内的一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）A ．[3,17]B ．[2,3]C ．[6,22]D ．[17,5] 8．已知平面α与平面β相交，直线m ⊥α，则( )A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直C ．β内必存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直D ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面积（单位：2cm ）是（ ）A ．10B ．105+C ．1625+D ．135+10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,EFGH 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有（ ）A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面ABCDD ．平面//EFGH 平面11A BCD11．已知三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，ABC 是边长为3的正三角形，BCD 是直角三角形，且90BCD ∠=︒，2CD =，则此三棱锥外接球的体积等于( )A ．43πB ．323πC ．12πD ．643π 12．在长方体1111ABCD A B C D -中，P 为BD 上任意一点，则一定有（ ） A ．1PC 与1AA 异面B ．1PC 与1A C 垂直 C ．1PC 与平面11ABD 相交 D ．1PC 与平面11AB D 平行13．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中:①AF 与CN 是异面直线； ②BM 与AN 平行； ③AF 与BM 成60角； ④BN 与DE 平行. 以上四个命题中，正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④ 14．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行截面间的距离是( )A ．1B ．2C ．1或7D ．2或6二、解答题15．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 是底面圆周上异于,A B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离. 16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形， PA ⊥底面ABCD ，2AB AP ==，E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）求证CD AE ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离.17．如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）证明：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 平面1ABB 所成的角的正弦值．18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为棱1DD 的中点.（1）证明：1//BD 平面PAC ；（2）求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,3,5PA CD CD AD ⊥==.（1）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；（2）求证：PA ⊥平面PCD ；（3）求三棱锥-D PAC 的体积.20．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O .E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ，AO ⊥平111A B C .已知90BCA ∠=︒，12AA AC BC ===.（1）求证：//EF 平面11BB C C ；（2）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值.21．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 是CC 1上的中点，且BC ＝1，BB 1＝2.（1）证明：B 1E ⊥平面ABE ；（2）若三棱锥A －BEA 1的体积是33，求异面直线AB 和A 1C 1所成角的大小. 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD 交于点O ，6AC =，8BD =，E 是棱PC 上的动点，连接DE ．（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（2）当BED 面积的最小值是6时，求此时点E 到底面ABCD 的距离．23．如图，在三棱锥D -ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =a ，E 为BC 中点，F 在棱AC 上，且AF =3FC .（1）求三棱锥D -ABC 的体积；（2）求证：AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且3,8CN CA =求证：MN //平面DEF . 24．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，60DAB ∠=︒．点G ，H 分别在边CD ，CB 上，点G 与点C ，D 不重合，GH AC ⊥，GH 与AC 相交于点O ，沿GH 将CGH 翻折到EGH 的位置，使二面角E GH B --为90°，F 是AE 的中点．（1）请在下面两个条件：①AB AD =，②AB BD ⊥中选择一个填在横线处，使命题P ：若________，则BD ⊥平面EOA 成立，并证明．（2）在（1）的前提下，当EB 取最小值时，求直线BF 与平面EBD 所成角的正弦值． 25．如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，且2PB AB ==．（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）求点C 到平面 APD 的距离． 26．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证：（1）//PA 平面EDB ；（2）PB ⊥平面EFD .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】在A 中，过m 上一点作n 的平行线，只能作一条l ，l 与m 是相交关系，故确定一平面与n 平行；在B 中，只有当m 与n 垂直时才能；在C 中，两异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭； 在D 中，当点P 与m ，n 中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在．【详解】在A 中，过m 上一点P 作n 的平行直线l ，m l P ⋂=，由公理三的推论可得m 与l 确定唯一的平面α，l ⊂α，n ⊄α，故//n α．故A 正确．在B 中，设过m 的平面为β，若n ⊥β，则n ⊥m ，故若m 与n 不垂直，则不存在过m 的平面β与n 垂直，故B 不正确． 在C 中，根据异面直线所成角的定义可知，两异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故C 不正确．在D 中，当点P 与m ，n 中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，故D 不正确．故选：A ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．2．C解析：C【分析】根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积.【详解】因为SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA ⊥BC ，又90ABC ∠=，SA AB A ⋂=，且AB平面SAB ，SA ⊂平面SAB ， 所以BC ⊥平面ABC ，所以BC SB ⊥. 因为21SA AC AB ===,，所以2SC =，3SB =，1BC =，根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于SC 的中点，则外接球半径112R SC ==， 故该四面体的外接球的表面积为244R ππ=.故选：C.,【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键.3．D解析：D【分析】分析：首先求得外接球半径，然后求解其表面积即可.详解：由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为R ，由题意可得：()22222444R =++,据此可得：212R =，外接球的表面积为：2441248S R πππ==⨯=.本题选择D 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.4．B解析：B【分析】利用折叠前四边形ABCD 中的性质与数量关系，可证出BD DC ⊥，然后结合平面A BD ' ⊥平面BCD ，可得CD ⊥平面A BD '，从而可判断①③；三棱锥'A BCD -的体积为1132⋅=，可判断②；因为CD ⊥平面A BD '，从而证明CD A B '⊥，再证明'A B ⊥平面A DC '，然后利用线面垂直证明面面垂直.【详解】①90,BAD AD AB ︒∠==，45ADB ABD ︒∴∠=∠=，//,45AD BC BCD ︒∠=，BD DC ∴⊥，平面A BD ' ⊥平面BCD ，且平面A BD '平面BCD BD =， CD 平面A BD '，A D '⊂平面A BD '，CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥则A D '⊥面BCD ，则A D '⊥BD ，显然不成立， 故A D BC '⊥不成立，故①错误；②棱锥'A BCD -的体积为1132⋅=，故②错误； ③由①知CD ⊥平面A BD '，故③正确；④由①知CD ⊥平面A BD '，又A B '⊂平面A BD '，CD A B '∴⊥， 又A B A D ''⊥，且'A D 、CD ⊂平面A DC '，A D CD D '=，A B '∴⊥平面A DC '，又A B '⊂平面'A BC ，∴平面'A BC ⊥平面A DC '，故④正确.故选：B .【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形ABCD 中的性质与数量关系.5．D解析：D【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN 不与AB 平行，根据异面直线平面角知MN 与BC 所成的角为90°，应用反证知OC 不与平面VAC 垂直，由面面垂直的判定知面VAC ⊥面VBC ，即可知正确选项.【详解】M ，N 分别为VA ，VC 的中点，在△VAC 中有//MN AC ，在面ABC 中AB AC A =，MN 不与AB 平行；AC BC C =，知：MN 与BC 所成的角为90BCA ∠=︒；因为OC ⋂面VAC C =，OC 与平面内交线,AC VC 都不垂直，OC 不与平面VAC 垂直； 由VA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC 即VA BC ⊥，而90BCA ∠=︒知AC BC ⊥，AC VA A ⋂=有BC ⊥面VAC ，又BC ⊂面VBC ，所以面VAC ⊥面VBC ；故选：D【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.6．D解析：D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定逐一分析四个选项得答案.【详解】对于A ，若m ⊂α，n ⊂α，则//m n 或m 与n 相交，故A 错误；对于B ，若//m α，//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ，若n αβ=，//m n ，则//m α且//m β错误，m 有可能在α或β内； 对于D ，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故D 正确，故选：D.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题.7．C解析：C【分析】首先找出过点1C 且与平面CMN 平行的平面，然后可知点P 的轨迹即为该平面与侧面四边形11ADD A 的交线段，进而可以利用解三角形的知识求出线段1C P 长度的取值范围．【详解】如图所示：，取11A D 的中点G ，取MD 的中点E ，1A G 的中点F ，1D D 的三等分点H 靠近D ，并连接起来．由题意可知1//C G CM ，//GH MN ，所以平面1//C GH 平面CMN ．即当点P 在线段GH 上时，1//C P 平面CMN ．在1H C G 中，2212222C G =+=，2212222C H =+=，22GH =， 所以1H C G 为等边三角形，取GH 的中点O ，122sin606C O ==，故线段1C P 长度的取值范围是[6,22]．故选：C ．【点睛】本题主要考查线面平行，面面平行的判定定理和性质定理的应用，以及解三角形，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．8．D解析：D【分析】可在正方体中选择两个相交平面，再选择由顶点构成且与其中一个面垂直的直线，通过变化直线的位置可得正确的选项．【详解】如图，平面ABCD 平面11D C BA AB =，1BB ⊥平面ABCD ，但平面11D C BA 内无直线与1BB 平行，故A 错．又设平面α平面l β=，则l α⊂，因m α⊥，故m l ⊥，故B 、C 错，综上，选D ．【点睛】本题考察线、面的位置关系，此种类型问题是易错题，可选择合适的几何体去构造符合条件的点、线、面的位置关系或不符合条件的反例．9．B解析：B【分析】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，由矩形的面积公式得出该几何体的侧面积.【详解】由三视图可知，该几何体的直观图为直四棱柱1111ABCD A B C D -，如下图所示2211125AD A D ==+=∴该几何体的侧面积为122222521025⨯+⨯+⨯=+故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图计算几何体的侧面积，属于中档题.10．D解析：D【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB 选项的正确性，根据平行直线的性质判断C 选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D 选项的正确性.【详解】选项A:由中位线定理可知：1//GH D C ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以1,BD GH 不可能互相平行，故A 选项是错误的；选项B: 由中位线定理可知：1//EF A B ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以,BD EF 不可能互相平行，故B 选项是错误的；选项C: 由中位线定理可知：1//EF A B ，而直线1A B 与平面ABCD 相交，故直线EF 与平面ABCD 也相交，故平面EFGH 与平面ABCD 相交，故C 选项是错误的；选项D:由三角形中位线定理可知：111//,//EF A B EH A D ，EF ⊄平面11A BCD ，1A B ⊂平面11A BCD ，EH ⊄平面11A BCD ，11A D ⊂平面11A BCD ,所以有//EF 平面11A BCD ，//EH 平面11A BCD ，而EF EH E =，因此平面//EFGH 平面11A BCD .所以D 选项正确.故本选：D【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.11．B解析：B【分析】把三棱锥放入长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再计算三棱锥外接球的体积．【详解】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示；且333AM AB == 设三棱锥外接球的球心为O ，则2233333AG AM ===112OG CD ==， 所以三棱锥外接球的半径为22221(3)2R OA OG AG =+=+=， 所以三棱锥外接球的体积为3344232333R V πππ===．故选：B ．【点睛】本题考查了三棱锥外接球的体积计算问题，也考查了数形结合与转化思想，是中档题． 12．D解析：D【分析】取P 为BD 的中点可判断A 、B 、C 选项的正误；证明平面1//BC D 平面11AB D ，可判断D 选项的正误.【详解】如下图所示：对于A 选项，当点P 为BD 的中点时，1PC ⊂平面11AAC C ，则直线1PC 与1AA 相交，A 选项错误；对于B 选项，当点P 为BD 的中点时，1AC P ∠为锐角，1PC 与1A C 不垂直，B 选项错误；对于C 选项，当点P 为BD 的中点时，连接11A C 、11B D 交于点O ，则O 为11A C 的中点， 在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =， O 、P 分别为11A C 、AC 的中点，则1//AP OC 且1AP OC =，∴四边形1OAPC 为平行四边形，1//PC AO ∴，AO ⊂平面11AB D ，1PC ⊄平面11AB D ，1//PC ∴平面11AB D ，C 选项错误；对于D 选项，在长方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD 且11BB DD =，则四边形11BB D D 为平行四边形，11//BD B D ∴，BD ∴⊄平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D ，//BD ∴平面11AB D ，同理可证1//BC 平面11AB D ，1BD BC B ⋂=，∴平面1//BC D 平面11AB D ，1PC ⊂平面1BC D ，1//PC ∴平面11AB D .D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题. 13．A解析：A【分析】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，对选项逐一判断，即得答案.【详解】将正方体的展开图还原为正方体ABCD -EFMN ，如图所示可得：AF 与CN 是异面直线，故①正确；连接AN ，则BM 与AN 平行，故②正确；//,BM AN NAF ∴∠是异面直线AF 与BM 所成的角，NAF 为等边三角形，60NAF ∴∠=，故③正确； BN 与DE 是异面直线，故④错误.故选：A .【点睛】本题考查空间两直线的位置关系，属于基础题.14．C解析：C【分析】求出两个平行截面圆的半径,由勾股定理求出球心到两个截面的距离.分两个平行截面在球心的同侧和两侧讨论，即得两平行截面间的距离.【详解】设两平行截面圆的半径分别为12,r r ，则121226,28,3,4r r r r ππππ==∴==.∴球心到两个截面的距离分别为222212534,543d d =-==-=.当两个平行截面在球心的同侧时，两平行截面间的距离为12431d d -=-=；当两个平行截面在球心的两侧时，两平行截面间的距离为12437d d +=+=.故选：C .【点睛】本题考查球的截面间的距离，属于基础题.二、解答题15．（1）详见解析；（2【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，根据题中所给的垂直关系，证明AF ⊥平面DEB ；（2）首先确定点E 的位置，再根据等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）由圆柱性质可知，DA ⊥平面ABE ，EB ⊂平面AEB ，DA EB ∴⊥， AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，AE EB ∴⊥，又AE DA A ⋂=，BE ∴⊥平面DAE ，AF ⊂平面DAE ，EB AF ∴⊥，又AF DE ⊥，且EB DE E =，AF ∴⊥平面DEB ，DB ⊂平面DEB ，AF DB ∴⊥；（2）13D AEB AEB V S DA -=⨯⨯，3DA =， 当D AEB V -最大时，即AEB S 最大，即AEB △是等腰直角三角形时，2DA AB ==∵，BE ∴=DE ==，并且点E 到平面ABCD 的距离就是点E 到直线AB 的距离112AB =, 设点C 到平面EBD 的距离为h ，则11112213232C DBE E CBD V V h --==⨯=⨯⨯⨯⨯，解得：h =【点睛】方法点睛：本题重点考查垂直关系，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.16．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ；（Ⅲ【分析】（Ⅰ）根据PA ⊥底面ABCD ，PA ⊥CD ，再由底面ABCD 为正方形，利用线面垂直的判定定理证得CD PAD ⊥面即可.（Ⅱ）以点A 为原点建立空间直角坐标系，不妨设2AB AP ==，求得向量AE 的坐标，和平面PBD 的一个法向量(,,)n x y z =， 由cos ,AEn AE n AE n ⋅=⋅求解.（Ⅲ）利用空间向量法，由AE n d n ⋅=求解.【详解】 （Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，因为AD CD ⊥，PA AD A ⋂=所以CD PAD ⊥面.因为AE PAD ⊂面，所以CD AE ⊥.（Ⅱ）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设2AB AP ==，可得()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P ，由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E . (0,1,1)AE =，向量(2,2,0)BD =-，(2,0,2)PB =-.设平面PBD 的一个法向量(,,)n x y z =，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩， 令y=1，可得n =（1，1，1），所以 6cos ,3AE nAE n AE n ⋅==⋅. 所以直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值为3. （Ⅲ）由（Ⅱ）知：(0,1,1)AE =，平面PBD 的一个法向量n =（1，1，1）， 所以点A 到平面PBD 的距离 33AE n d n ⋅===. 【点睛】方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．17．（1）证明见解析；（2． 【分析】（1）由已知条件可得2221111A B AB AA +=，2221111AB B C AC +=，则111AB A B ⊥，111AB B C ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，可证得1C D ⊥平面1ABB ，从而1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，然后在1Rt C AD 求解即可【详解】（1）证明： 由2AB =，14AA =，12BB =，1AA AB ⊥，1BB AB ⊥得111AB A B ==，所以2221111A B AB AA +=，由111AB A B ⊥．由2BC =，12BB =，11CC =，1BB BC ⊥，1CC BC ⊥得11B C =， 由2AB BC ==，120ABC ∠=︒得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =，所以2221111AB B C AC +=，故111AB B C ⊥，又11111A B B C B =，因此1AB ⊥平面111A B C ．（2）解 如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ．由1AB ⊥平面111A B C ，1AB ⊂平面1ABB ，得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥，得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角． 由115B C =，1122AB =，1121AC =得1116cos 7C A B ∠=，111sin 7C A B ∠=， 所以13CD =，故11139sin C D C AC AD ∠==． 因此，直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是3913．【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定和线面角的求法，解题的关键是通过过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连接AD ，然后结合条件可证得1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角，从而在三角形中求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题 18．（1）证明见解析；（2）30.【分析】（1）AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点．推导出1//PO BD ．由此能证明直线1//BD 平面PAC ；（2）由1//PO BD ，得APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角．由此能求出异面直线1BD 与AP 所成角的大小．【详解】（1）证明：设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点.连结PO ，又因为P 是1DD 的中点，所以1//PO BD .又因为PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC所以直线1//BD 平面PAC.（2）解：由（1）知，1//PO BD ，所以APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角或其补角.因为2PA PC ==212AO AC ==且PO AO ⊥， 所以212sin 22AO APO AP ∠===. 又(0,90APO ︒︒⎤∠∈⎦，所以30APO ∠=︒ 故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30. 【点睛】方法点睛：异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形） 方法二：（向量法）cos m n m nα=，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m n 分别是直线,m n 的方向向量.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）33【分析】（1）通过证明//GH PD 来证得//GH 平面PAD .（2）取PC 的中点M ，连接DM ，根据面面垂直的性质定理证得DM ⊥平面PAC ，由此证得DM PA ⊥，结合PA CD ⊥证得PA ⊥平面PCD . （3）利用D PAC A PCD V V --=求得三棱锥-D PAC 的体积. 【详解】（1）连BD ，则H 为BD 中点，因为G 为BP 中点，故GH //PD ， 由于GH ⊂/平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH //平面PAD .（2）取PC 中点M ，连DM ，则DM PC ⊥，因为PCD ⊥平面PAD ，则DM ⊥平面PAC ，所以DM PA ⊥， 又PA CD ⊥，DMCD D =，所以PA ⊥平面PCD .（3）因为PA ⊥平面PCD ，所以PA PD ⊥，所以224PA AD PD =-=，21343333D PAC A PCD V V --==⨯⨯⨯=.【点睛】要证明线面平行，则先证线线平行.要证明线面垂直，可通过面面、线线垂直相互转化来证明.20．（1）证明见解析；（2）217. 【分析】（1）由题意可得11//OE B C ，1//OF C C ，利用面面平行的判定定理可得平面//OEF 平面11BB C C ，由面面平行的性质定理即可证明.（2）利用等体法111112A A B C C AA B V V --=，求出点1C 到平面11AA B 的距离2217d =，由11sin dA C θ=即可求解. 【详解】证明：（1）∵O ，E 分别是11A C 、11A B 的中点，1A C 与1AC 交于点F ， ∴11//OE B C ，1//OF C C ，1111B C C C C ⋂=，//OE ∴平面11B C C ，//OF ∴平面11B C C ，又OE OF O ⋂=，∴平面//OEF 平面11BB C C ，∵EF ⊂平面OEF ，∴//EF 平面11BB C C . （2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ， ∵111112A A B C C AA B V V --=， ∴111111111323AA B AC B C AO S d ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，22113AO AA AO =-=2211115OB B C OC =-= 221122AB AO OB =+=，∵11AA B 中，11122A B AB ==，12AA =，∴117AA B S =∴1112237323d ⨯⨯⨯=， 解得217d =， 设11A C 与平面11AA B 所成角为θ，∴11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值为：1121sin 7d AC θ==. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法： （1）利用线面平行的定义（无公共点）. （2）利用线面平行的判定定理. （3）利用面面平行的性质. 21．（1）证明见解析；（2）30. 【分析】（1）由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得1AB B E ⊥，由勾股定理可得1BE B E ⊥，即可证明；（2）由11//A B AB 可得111C A B ∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，由等体积法可求得AB 长度，即可求出角的大小. 【详解】 （1）AB ⊥侧面BB 1C 1C ，1B E ⊂侧面BB 1C 1C ，1AB B E ∴⊥，BC ＝1，BB 1＝2，E 是CC 1上的中点，1BE B E ∴=22211BE B E BB +=，1BE B E ∴⊥，AB BE B ⋂=，∴B 1E ⊥平面ABE ；（2）11//A B AB ，111C A B ∴∠即为异面直线AB 和A 1C 1所成角，且1A 到平面ABE 的距离等于1B 到平面ABE 的距离，由（1）B 1E ⊥平面ABE ，故B 1E 的长度即为1B 到平面ABE 的距离， 由AB ⊥侧面BB 1C 1C 可得AB ⊥BE ，则111111332A BEA A ABE ABE V V S B E AB --==⋅=⨯⨯=，解得AB =则11A B AB == 在111Rt A B C △中，1111111tan 3B C C A B A B ∠===，11130A C B ∴∠=， 即异面直线AB 和A 1C 1所成角为30. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 22．（1）证明见解析；（2）4． 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证得BD ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理可得证．（2）由（1）知BD ⊥平面PAC ，根据三角形的面积公式求得()min 32OE =，作//EH PA 交AC 于H ，可得EH ⊥平面ABCD ，从而求得点E 到底面ABCD 的距离．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥．PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥．又PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PAC ．（2）解：如图（1），连接OE ，由（1）知BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ．BD OE ∴⊥．∵8BD =，由()min 162BDE S BD OE =⋅⋅=△，得()min 32OE =，∵当OE PC ⊥时，OE 取到最小值32，此时2222333322CE OC OE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭． 作//EH PA 交AC 于H ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴EH ⊥平面ABCD ， 如图（2），由33OE CE EH OC ⋅==，得点E 到底面ABCD 的距离33．【点睛】本题考查线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，以及求点到面的距离，关键在于逐一满足判定定理所需的条件，在求点到面的距离时，可以采用几何法，由题目的条件直接过已知点作出面的垂线，运用求解三角形的知识，求点到面的距离，属于中档题. 23．（133a ；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）根据三棱锥的体积公式计算；（2）证明AC 与EF 和DF 垂直，然后可得线面垂直；（3）连接CM 交DE 于点H ，证明//MN FH 即可得线面平行． 【详解】（1）由题意234BCD S a =△，231133·33D ABC A DBC DBCV V SAB a --===⨯=； （2）由AB ⊥平面BCD ，得,AB BC AB BD ⊥⊥，AB BC a ==，则2AC AD a ==，如图，在ADC 中，取CD 中点G ，连接AG ，则AG DC ⊥，∵3AF FC =，∴24CF a=，又12CG a =， ∴CF CDCG CA =，C ∠公用，∴CDF ∽CAG ，∴90CFD CGA ∠=∠=︒，即AC DF ⊥，取AC 中点K ，连接BK ，则BK AC ⊥， 又由3AF FC =得12CF CK =，而12CE CB =，∴//EF BK ，∴EF AC ⊥，EF DF F =，∴AC ⊥平面DEF ；（3）连接CM 交DE 于点H ，∵,M E 分别是,BD BC 中点，∴H 是DBC △的重心，23CH CM =， 又38CN AC =，14CF AC =，∴23CF CN =，即CF CH CN CM =， ∴//HF MN ，HF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，∴//MN 平面DEF ．【点睛】关键点点睛：本题考查求棱锥的体积，考查证明线在垂直与线面平行，掌握线面平行与垂直的判定定理是解题关键．证明时定理的条件缺一不可，一般都需一一证明列举出来，才能得出相应的结论． 24．（1）答案见解析；（2）3311. 【分析】（1）选择①，结合直二面角的定义，证明BD ⊥平面EOA 内的两条相交直线,EO AO ； （2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则43AC =CO x =，可得EB 关于x 的函数，求出EB 取得最小值时x 的值，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ，求出sin QBF ∠的值，即可得答案； 【详解】解：（1）命题P ：若AB AD =，则BD ⊥平面EOA . ∵AC GH ⊥，∴AO GH ⊥，EO GH ⊥， 又二面角E GH B --的大小为90°， ∴90AOE ∠=︒，即EO AO ⊥， ∴EO ⊥平面ABCD ， ∴EO BD ⊥，又AB BC =，∴AO BD ⊥，AO EO O =，∴BD ⊥平面EOA .（2）设AC 与BD 交于点M ，4AB =，60DAB ∠=︒，则43AC =， 设CO x =，23OM x =-，22224316OB OM MB x x =+=-+，222224316EB EO OB x x =+=-+，当3x =，min 10EB =，连结EM ，作QF EM ⊥于F ，连结BF ， 由（1）知BD ⊥平面EOA ， ∴BD QF ⊥，∴QF ⊥平面EBD ， ∴QBF ∠即为QB 与平面EBD 所成角， 在Rt EMB 中，10EB =，2BM =，6EM =，30AE =，由()222222(2)22QB AE AB BE QB +=+⇒=， 6QF =， ∴33sin 11QF QBF QB ∠==，即QB 与平面EBD 所成角得正弦值为3311.【点睛】求线面角首先要根据一作、二证、三求找出线面角，然后利用三角函数的知识，求出角的三角函数值即可.25．（1）证明见解析；（22． 【分析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ，再利用面面平行的性质定理即可证明//DM 平面PBC ；（2）先证明AD ⊥平面ABPM ，设点C 到平面APD 的距离为d ，利用等体积法得13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△，通过计算即可得d .【详解】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ， 又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ， 因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，所以平面//AMD 平面PBC ，又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC ； （2）因为AM ⊥平面ABCD ，∴AM ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，又∵AD ⊥AB ，AM AB A =，∴AD ⊥平面ABPM ， ∴AD ⊥AP又AP =设点C 到平面APD 的距离为d∵11142223323P ACD ACD V PB S -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又∵13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△122APD S =⨯⨯=△∴1433⨯=; ∴d =即点C 到平面APD 【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明. 26．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，通过//OE PA 即可证明；（2）通过PD BC ⊥， CD BC ⊥可证BC ⊥平面PDC ，即得DE BC ⊥，进而通过DE ⊥平面PBC 得DE PB ⊥，结合EF PB ⊥即证.【详解】证明：（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，底面ABCD 是正方形，∴O 是AC 中点， 点E 是PC 的中点，//OE PA ∴.OE ⊂平面EDB ， PA ⊄平面EDB ，∴//PA 平面EDB . （2）PD DC =，点E 是PC 的中点，DE PC ∴⊥.底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， ∴PD BC ⊥， CD BC ⊥，且 PD DC D ⋂=， ∴BC ⊥平面PDC ，∴DE BC ⊥， 又PC BC C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC ， ∴DE PB ⊥，EF PB ⊥，EF DE E ⋂=， PB ∴⊥平面EFD . 【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.。

第一章 空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第8题)(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π．7．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160． 8．D解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．13．参考答案：361a ．解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3． 另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．14．参考答案：平行四边形或线段．15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1， l ＝1＋2＋3＝6． 16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12． 三、解答题 17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．18．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第18题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2，即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 19．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥 ＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π．20．解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积COAV 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)．(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ． 棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45， 仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m ．棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10，仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．。

10.2 事件的相互独立性一、选择题1．下列事件A,B是独立事件的是()A．一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”B．袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D．A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”【答案】A【解析】对于A选项，,A B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，,A B是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故,A B不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.2．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为A．0.28B．0.12C．0.42D．0.16【答案】B【解析】甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.30.40.12⨯=．选B.3．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（）A．34B．23C．57D．512【答案】D【解析】设甲、乙获一等奖的概率分别是23(),()34P A P B ==，不获一等奖的概率是2131()1,()13344P A P B =-==-=，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：13215()()()()()()()343412P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+=⨯+⨯=。

4．甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( )A ．34B ．23C ．35D ．12【答案】A【解析】甲赢的方式分为两种：第一场赢，或者第一场输且第二场赢.甲第一场赢的概率为12，甲第一场输第二场赢的概率为1111224⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭.故甲赢得冠军的概率为311244+=.故选A. 5．（多选题）下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )A ．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标”D ．甲､乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”【答案】ACD【解析】在A 中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B 中,甲､乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C 中,甲,乙各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D 中,设“至少有1人射中目标”为事件A ,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B ,则AB B =,因此当()1P A ≠时,()()()P AB P A P B ≠⋅,故A ､B 不独立,6．（多选题）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以1A ，2A 表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）A ．23()30PB = B ．事件B 与事件1A 相互独立C ．事件B 与事件2A 相互独立D ．1A ，2A 互斥【答案】AD 【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此()1183305P A ==，()2122305P A ==，15823()3030P B +==，A 正确； 又115()30P A B =，因此()()11()P A B P A P B ≠，B 错误；同理，C 错误； 1A ，2A 不可能同时发生，故彼此互斥，故D 正确，故选：AD ．二、填空题7．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么甲、乙不全击中靶心的概率为__________． 【答案】56【解析】由于两个人射击是相互独立的，故不全中靶心的概率为1151326-⋅=. 8．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____．【答案】0.3【解析】甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2:1获胜的概率是：0.60.50.60.40.50.60.3P=⨯⨯+⨯⨯=.9．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于.【答案】【解析】根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128.法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.12810．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是______．【答案】2 3【解析】设此射手每次射击命中的概率为p ，分析可得，至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中，由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为80118181-=． 则41(1)81p -=，可解得23p =，故答案为23． 三、解答题 11．假定生男孩和生女孩是等可能的，令A =｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝，B =｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性.（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩.【答案】（1）A ，B 不相互独立 （2）A 与B 是相互独立【解析】（1）有两个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={（男,男）,（男,女）,（女,男）,（女,女）},它有4个样本点 由等可能性可知每个样本点发生的概率均为14这时A ={（男,女）,（女,男）},B ={（男,男）,（男,女）,（女,男）},AB ={（男,女）,（女,男）} 于是()()()131,,242P A P B P AB === 由此可知()()()P AB P A P B ≠所以事件A ,B 不相互独立.（2）有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={（男,男,男）,（男,男,女）,（男,女,男）,（女,男,男）,（男,女,女）,（女,男,女）,（女,女,男）,（女,女,女）}. 由等可能性可知每个样本点发生的概率均为18, 这时A 中含有6个样本点,B 中含有4个样本点,AB 中含有3个样本点.于是()()()63413,,84828P A P B P AB =====, 显然有()()()P AB P A P B =成立,从而事件A 与B 是相互独立的.12．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.【答案】（1）丙；（2）1130【解析】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ， 则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大.（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.。

必修二月考卷时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1．如图，已知△ABC ，AA ′∥BB ′∥CC ′，CC ′⊥平面ABC ，且3AA ′＝32BB ′＝CC ′＝AB ，则多面体ABC －A ′B ′C ′的主视图是( )2．圆台上、下底面的面积之比为1:4，则截得这个圆台的圆锥体积和圆台体积之比是( )A ．2:1B ．4:1C ．8:1D ．8:73．若直线a ，b 与直线l 所成的角相等，则a ，b 的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行 C ．相交D ．相交、平行、异面均有可能4．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若将△ABC 绕边BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A.92πB.72πC.52πD.32π 5．已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1，BC ＝2，则球O 的表面积等于( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π6．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．不确定7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是( )A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥ABC．AC1与DC成45°角D．A1C1与B1C成60°角8．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )A．α，β都与平面γ垂直B．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β9．给出下列命题：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数有( )A．4个B．1个C．2个D．3个10．已知α－l－β是一个大小确定的二面角，若a，b是空间两条直线，则能使a与b所成的角为定值的一个条件是( )A．a∥α，b∥βB．a∥α，且b⊥βC．a⊥α，且b∥βD．a⊥α，且b⊥β11．A、B两点相距4 cm，且A、B与平面α的距离分别为3 cm和1 cm，则AB与平面α所成角的大小是( )A．30° B．60°C．90° D．30°或90°12．在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能的是( )二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分，把正确的答案填在题中横线上)13．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．14．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的________倍．15．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成的角为________．16．如下图是正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②点P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③点P 在直线BC 1上运动时，二面角P －AD 1－C 的大小不变；④点M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则点M 的轨迹是过点D 1的直线． 其中真命题的编号是________． 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)已知ABCD 是梯形，AD ∥BC ，P 是平面ABCD 外一点，BC ＝2AD ，点E 在棱PA 上，且PE ＝2EA .求证：PC ∥平面EBD .18．(本小题12分)如下图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 矩形，AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点．(1)求证：平面AGC⊥平面BGC；(2)求GB与平面AGC所成角的正弦值．19．(本小题12分)如下图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图(尺寸如图所示)．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG.20．(本小题10分)已知一四棱锥P－ABCD的三视图和直观图如下，E是侧棱PC上的动点．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE成立？证明你的结论．21．(本小题满分12分)(2012·广东卷)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC 上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PH＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．22．(本小题满分12分)如下图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于点C、D的点，AE＝3，圆O的直径为9.(1)求证：平面ABCD⊥平面ADE；(2)求二面角D－BC－E的平面角的正切值．详解答案1[答案] D2[答案] D3[答案] D4[答案] D5[答案] A6[答案] A7[答案] D8[答案] D[解析] 对于D，设过l和α内的一点的平面与平面α的交线为l′，∵l∥α，∴l′∥l，又l∥β，l′⊄β，∴l′∥β.设过m和α内的点的平面与α的交线为m′，同理可证m′∥β.∵m与l是异面直线，∴m′与l′相交，∴α∥β.故选D.9[答案] C10[答案] D[解析] 由于直线与平面平行时，直线在空间的方向不确定，所以当一条直线确定，而另一条直线的方向可以变化时，它们所成的角也可能发生变化，所以排除A 、B 、C ，选D.11[答案] D 12[答案] A 13[答案] 614[答案] 2415[答案] 60° 16[答案] ①③④17[证明] 连接AC 交BD 于点G ，连接EG ，∴AG GC ＝AD BC ＝12.又AE EP ＝12，∴AG GC ＝AE EP . ∴PC ∥EG .又EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ， ∴PC ∥平面EBD .18[解析] (1)证明：正方形ABCD ⇒CB ⊥AB ， ∵平面ABCD ⊥平面ABEF 且交于AB ， ∴AB ⊥平面ABEF ， ∵AG ，GB ⊂平面ABEF ， ∴CB ⊥AG ，CB ⊥BG ，又AD ＝2a ，AF ＝a ，四边形ABEF 是矩形， G 是EF 的中点，∴AG ＝BG ＝2a ，AB ＝2a ，AB 2＝AG 2＋BG 2， ∴AG ⊥BG ，∵BC ∩BG ＝B ，∴AG ⊥平面CBG ，而AG ⊂面AGC ， 故平面AGC ⊥平面BGC .(2)解：由(1)知平面AGC ⊥平面BGC ，且交于GC ， 在平面BGC 内作BH ⊥GC ，垂足为H ， 则BH ⊥平面AGC ，∴∠BGH 是GB 与平面AGC 所成的角， ∴在Rt △CBG 中，BH ＝BC ·BG CG ＝BC ·BG BC 2＋BG 2＝233a ，又BG ＝2a ， ∴sin ∠BGH ＝BHBG ＝63.19[解析] (1)由几何体的三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ∥EB ，且PA ＝42，BE ＝22，AB ＝AD ＝CD ＝CB ＝4，∴V P －ABCD ＝13PA ·S 四边形ABCD ＝13×42×4×4＝6423.(2)连接BP ， ∵EB AB ＝BA PA ＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°， ∴∠PBA ＝∠BEA .∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°. ∴PB ⊥AE .又BC ⊥平面APEB ， ∴BC ⊥AE .∴AE ⊥平面PBG . ∴AE ⊥PG .20[解析] (1)由三视图可知，四棱锥中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，PC ＝2，∴V P －ABCD ＝13·PC ·S 底＝13×2×1＝23.(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE 成立．连接AC ， ∵BD ⊥AC ，BD ⊥PC ， ∴BD ⊥平面PAC ，当E 在PC 上运动时，AE ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥AE 恒成立．∴二面角B －PC －A 的正切值为13.[点评] 2012年广东省立体几何考试题是实行新课程标准以来最简单的一年．但是对于只会用坐标法同学来说，复杂的计算也会占用很多时间．21[解析] (1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊆平面ABCD ，∴BD ⊥PA 又因为PC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，∴BD ⊥PC 而PA ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面PAC ；(2)由(1)BD ⊥平面PAC ，∴BD ⊥AC ，又四边形ABCD 为矩形 ∴四边形ABCD 是正方形．设AC 交BD 于O 点，∵PC ⊥平面BDE ，∴∠BEO 即二面角B －PC －A 的平面角QPA ＝1，AD ＝2，∴AC ＝22，BO ＝OC ＝2，∴PC ＝PA 2＋AC 2＝13，又OE ＝OE PA ＝CO PC ＝213在直角三角形BEO 中，tan ∠BEO ＝BO EO＝2213＝13.22[解析] (1)∵AE 垂直于圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面内， ∴AE ⊥CD .在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ， ∵AD ∩AE ＝A ， ∴CD ⊥平面ADE . ∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADE .(2)∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴CD ⊥DE .∴CE 为圆O 的直径，即CE ＝9. 设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，DE 2＝CE 2－CD 2＝81－a 2，在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2－AE 2＝a 2－9，由81－a 2＝a 2－9，解得a ＝3 5. ∴由DE ＝6.过点E 作EF ⊥AD 于点F ，作FG ∥AB 交BC 于点G ，连接GE . 由于AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ， ∴EF ⊥AB . ∵AD ∩AB ＝A ， ∴EF ⊥平面ABCD . ∵BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥EF .∵BC ⊥FG ，EF ∩FG ＝F ， ∴BC ⊥平面EFG . ∵EG ⊂平面EFG ， ∴BC ⊥EG .∴∠FGE 是二面角D －BC －E 的平面角． 在Rt △ADE 中，AD ＝35，AE ＝3，DE ＝6， ∴AD ·EF ＝AE ·DE ，∴EF ＝AE ·DE AD ＝3×635＝655.在Rt △EFG 中，FG ＝AB ＝35，∴tan ∠EGF ＝EF FG ＝25.故二面角D －BC －E 的平面角的正切值为25.。

Q PC'B'A'C BA高中数学必修一必修二综合测试题（时间90分钟，满分150分）姓名___________________ 总分：________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( )A ．12B ．32 C ．1 D ．34．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)5．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)-1.5，则( )A ．y3>y1>y2B ．y2>y1>y3C ．y1>y2>y3D ．y1>y3>y26．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34 D ．－68 7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是（ ）A ．15B ．13 C ．12D 39. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( )A ．30B ．45C ．60D ．9010．如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A ．2V B ．3V C ．4V D ．5V（10题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥12x ，x <1的值域为________．12．两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切， 则实数a 的值为13．已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________.14.过点A (4,0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．(本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1分别是AC ，A 1C 1的中点．求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.（17题）16．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围．17．(本小题满分12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（1）证明：PQ∥平面ACD；（2）求AD与平面ABE所成角的正弦值（17题）18．(本小题满分15分)已知圆C1：x2+y2－2x－4y+m=0，（1）求实数m的取值范围；（2）若直线l：x+2y－4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值。

高中数学必修2精选习题（含答案）一、选择题：（每小题3分，共30分）1．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2. 下列说法正确的是（ ）A 、三点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、梯形一定是平面图形D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3. 若直线l ∥平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是 （ ）A 、 l ∥αB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有 4. 直线k 10x y -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A (0,0)B (0,1)C (3,1)D (2,1)5．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为（ ）A ．9与13B ．7与10C ．10与16D ．10与156．如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝1，则梯形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5C ．5 2D ．1027．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝08．与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=09. 已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是 ( )俯视图主视图A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12 或k ≤－2D ．－2≤k ≤1210. 在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条二、填空题：（每小题4分，共16分）11若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值等于________．12.点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________13. 正四棱锥S ABCD -S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________。

高中数学必修二期末考试试卷（三）（含答案解析）(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.直线l 经过原点和(1，－1)，则l 的倾斜角是( ) A.45° B.－45° C.135° D.45°和135° 答案 C解析 ∵直线l 经过坐标原点和点(1，－1)，∴直线l 的斜率k ＝－11＝－1，∴直线l 的倾斜角α＝135°，故选C.2.已知过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则|MN |等于( )A.10B.180C.6 3D.6 5考点 两点间的距离公式 题点 求两点间的距离 答案 D 解析 k MN ＝a －4－2－a＝－12，解得a ＝10，即M (－2,10)，N (10,4)，所以|MN |＝(－2－10)2＋(10－4)2＝65，故选D.3.设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A.k ≥34或k ≤－4B.－4≤k ≤34C.－34≤k ≤4D.以上都不对考点 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 题点 倾斜角和斜率关系的其他应用 答案 A解析 建立如图所示的直角坐标系.由图可得k ≥k PB 或k ≤k P A .∵k PB ＝34，k P A ＝－4，∴k ≥34或k ≤－4.4.若光线从点P (－3,3)射到y 轴上，经y 轴反射后经过点Q (－1，－5)，则光线从点P 到点Q 走过的路程为( ) A.10 B.5＋17 C.4 5D.217考点 对称问题的求法 题点 光路可逆问题 答案 C解析 Q (－1，－5)关于y 轴的对称点为Q 1(1，－5)，易知光线从点P 到点Q 走过的路程为|PQ 1|＝42＋(－8)2＝4 5.5.到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程是( ) A.3x －4y －11＝0B.3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0C.3x －4y ＋9＝0D.3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0 答案 B解析 直线3x －4y －11＝0与3x －4y ＋9＝0到直线3x －4y －1＝0的距离均为2， 又因为直线3x －4y ＋11＝0到直线3x －4y －1＝0的距离为125，故不能选择A ，C ，D ，所以答案为B.6.过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A.－32 B.－23 C.25 D.2考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 A解析 由两点式y －19－1＝x ＋13＋1，得y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32，即为在x 轴上的截距.7.若直线mx ＋ny ＋2＝0平行于直线x －2y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为1，则m ，n 的值分别为( ) A.1和2 B.－1和2 C.1和－2D.－1和－2 考点 直线的一般式方程与直线的平行关系 题点 根据平行求参数的值答案 C解析 由已知得直线mx ＋ny ＋2＝0过点(0,1)，则n ＝－2，又因为两直线平行，所以－m n ＝12，解得m ＝1.8.若直线(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0恒过某个点P ，则点P 的坐标为( ) A.(3,5) B.(－3,5) C.(－3，－5) D.(3，－5)答案 C解析 方程(2m －3)x －(m －2)y ＋m ＋1＝0可整理得m (2x －y ＋1)－(3x －2y －1)＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，3x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－5.故P (－3，－5).9.若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(－2,4)D.(4，－2)考点 对称问题的求法 题点 直线关于点的对称问题 答案 B解析 ∵l 1：y ＝k (x －4)过定点M (4,0)， 而点M 关于点(2,1)的对称点为N (0,2)， 故直线l 2过定点(0,2).10.直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )考点 直线的斜截式方程 题点 直线斜截式方程的应用 答案 B解析 根据斜截式方程知，斜率与直线在y 轴上的纵截距同正负.11.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A.－1 B.1 C.12 D.－12考点 直线的一般式方程与直线的垂直关系 题点 根据垂直求参数的值 答案 B解析 由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 12.已知直线x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线x ＋ny －3＝0互相平行，且两者之间的距离是5，则m ＋n 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2考点 两条平行直线间的距离公式及应用 题点 利用两条平行直线间的距离求参数的值 答案 B解析 由题意知，所给两条直线平行，∴n ＝－2. 由两条平行直线间的距离公式，得d ＝|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，∴m ＋n ＝0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.过点(－2，－3)且在x 轴，y 轴上的截距相等的直线方程为____________. 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 x ＋y ＋5＝0或3x －2y ＝0解析 当直线过原点时，所求直线的方程为3x －2y ＝0；当直线不过原点时，所求直线的方程为x ＋y ＋5＝0.14.过两直线x －3y ＋1＝0和3x ＋y －3＝0的交点，并且与原点的最短距离为12的直线的方程为________.答案 x ＝12或x －3y ＋1＝0解析 易求得两直线交点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，当斜率不存在时，显然直线x ＝12满足条件.当斜率存在时，设过该点的直线方程为y －32＝k ⎝⎛⎭⎫x －12， 化为一般式得2kx －2y ＋3－k ＝0， 因为直线与原点的最短距离为12，所以|3－k |4＋4k 2＝12，解得k ＝33，所以所求直线的方程为x －3y ＋1＝0.15.已知直线x －2y －2k ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是________________. 答案 [－1,0)∪(0,1]解析 令x ＝0，得y ＝－k ，令y ＝0，得x ＝2k ， ∴三角形的面积S ＝12|xy |＝k 2.又S ≤1，即k 2≤1.∴－1≤k ≤1.又当k ＝0时，直线过原点，与两坐标轴构不成三角形，故应舍去. ∴实数k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1].16.已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为________. 考点 中点坐标公式 题点 求过中点的直线方程 答案 －23解析 设P (x,1)，则Q (2－x ，－3)，将点Q 的坐标代入x －y －7＝0，得2－x ＋3－7＝0. ∴x ＝－2，∴P (－2,1)，∴k l ＝－23.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得直线l ′的方程. 考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化 解 在3x －y ＋3＝0中，令y ＝0，得x ＝－3， 即M (－3，0).∵直线l 的斜率k ＝3，∴其倾斜角θ＝60°. 若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°， 则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°， 此时斜率不存在，故其方程为x ＝－ 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan 30°＝33， 故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.18.(12分)已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角的大小是60°. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积.解 (1)由直线的点斜式方程得直线l 的方程为y ＋2＝tan 60°·x ，即3x －y －2＝0. (2)设直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ， 令y ＝0得x ＝233；令x ＝0得y ＝－2.所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12×233×2＝233，故所求三角形的面积为233.19.(12分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程. 解 (1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0， 因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3， 即l 2：2x －y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.直线l 1与l 2的交点坐标为(2,1). (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x .当l 3不过原点时，设l 3的方程为x a ＋y2a ＝1(a ≠0)，又直线l 3经过l 1与l 2的交点， 所以2a ＋12a ＝1，得a ＝52，l 3的方程为2x ＋y －5＝0.综上，l 3的方程为x －2y ＝0或2x ＋y －5＝0.20.(12分)已知点A (5,1)关于x 轴的对称点为B (x 1，y 1)，关于原点的对称点为C (x 2，y 2). (1)求△ABC 中过AB ，BC 边上中点的直线方程； (2)求△ABC 的面积. 考点 中点坐标公式 题点 与中位线有关的问题解 (1)∵点A (5,1)关于x 轴的对称点为B (x 1，y 1)，∴B (5，－1)， 又∵点A (5,1)关于原点的对称点为C (x 2，y 2)， ∴C (－5，－1)，∴AB 的中点坐标是(5,0)，BC 的中点坐标是(0，－1).过(5,0)，(0，－1)的直线方程是y －0－1－0＝x －50－5， 整理得x －5y －5＝0.(2)易知|AB |＝|－1－1|＝2，|BC |＝|－5－5|＝10，AB ⊥BC ， ∴△ABC 的面积S ＝12|AB |·|BC |＝12×2×10＝10.21.(12分)已知直线l 1：y ＝－k (x －a )和直线l 2在x 轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l 1过点P (－3,3).如果点Q (2,2)到直线l 2的距离为1，求l 2的方程. 考点 直线的一般式方程题点 求直线的一般式方程及各种方程的互化 解 由题意，可设直线l 2的方程为y ＝k (x －a )， 即kx －y －ak ＝0，∵点Q (2,2)到直线l 2的距离为1，∴|2k －2－ak |k 2＋1＝1，①又∵直线l 1的方程为y ＝－k (x －a )， 且直线l 1过点P (－3,3)，∴ak ＝3－3k .② 由①②得|5k －5|k 2＋1＝1，两边平方整理得12k 2－25k ＋12＝0，解得k ＝43或k ＝34.∴当k ＝43时，代入②得a ＝－34，此时直线l 2的方程为4x －3y ＋3＝0；当k ＝34时，代入②得a ＝1，此时直线l 2的方程为3x －4y －3＝0.综上所述，直线l 2的方程为4x －3y ＋3＝0或3x －4y －3＝0.22.(12分)已知直线l ：y ＝4x 和点P (6,4)，点A 为第一象限内的点且在直线l 上，直线P A 交x 轴的正半轴于点B ，(1)当OP ⊥AB 时，求AB 所在直线的方程；(2)求△OAB 面积的最小值，并求当△OAB 面积取最小值时点B 的坐标. 考点 点到直线的距离题点 与点到直线的距离有关的最值问题解 (1)∵点P (6,4)，∴k OP ＝23.又∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－32.∵AB 过点P (6,4)，∴直线AB 的方程为y －4＝－32(x －6)，化为一般式可得3x ＋2y －26＝0.(2)设点A (a,4a )，a >0，点B 的坐标为(b,0)，b >0，当直线AB 的斜率不存在时，a ＝b ＝6，此时△OAB 的面积S ＝12×6×24＝72.当直线AB 的斜率存在时，有4a －4a －6＝0－4b －6，解得b ＝5aa －1， 故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫5a a －1，0，故△OAB 的面积S ＝12·5a a －1·4a ＝10a 2a －1，即10a 2－Sa ＋S ＝0.①由题意可得方程10a 2－Sa ＋S ＝0有解， 故判别式Δ＝S 2－40S ≥0，∴S ≥40，故S 的最小值为40，此时①为a 2－4a ＋4＝0，解得a ＝2. 综上可得，△OAB 面积的最小值为40， 当△OAB 面积取最小值时，点B 的坐标为(10,0).。

高中数学必修 2 立体几何考题13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N 分别是A1B1，B1C1 的中点．问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D1B 和CC1 是否是异面直线？说明理由．解析：(1)由于M、N 分别是A1B1 和B1C1 的中点，可证明MN ∥AC，因此AM 与CN 不是异面直线．(2) 由空间图形可感知D1B 和CC1 为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法．探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等)，如第(1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题，这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的．解：(1)不是异面直线．理由如下：∵M、N 分别是A1B1、B1C1 的中点，∴MN ∥A1C1.又∵A1A∥D1D，而D1D綊C1C，∴A1A綊C1C，∴四边形A1ACC1 为平行四边形．∴A1A∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C 在同一个平面内，故AM 和CN 不是异面直线．(2)是异面直线．理由如下：假设D1B 与CC1 在同一个平面CC1D1 内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC? 平面CC1D1，这与在正方体中BC⊥平面CC1D1 相矛盾，∴假设不成立，故D1B 与CC1 是异面直线．14．如下图所示，在棱长为 1 的正方体ABCD －A1B1C1D1 中，M 为AB 的中点，N 为BB1 的中点，O 为面BCC1B1 的中心．(1)过O 作一直线与AN 交于P，与CM 交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ 的长(不必证明)．解析：(1)由ON∥AD 知，AD 与ON 确定一个平面α.又O、C、M 三点确定一个平面β(如下图所示)．∵三个平面α，β和ABCD 两两相交，有三条交线OP、CM 、DA，其中交线DA 与交线CM 不平行且共面．∴DA 与CM 必相交，记交点为Q.∴OQ 是α与β的交线．连结OQ 与AN 交于P，与CM 交于Q，故OPQ 即为所作的直线．(2)解三角形APQ 可得PQ＝14 3 .15．如图，在直三棱柱A BC－A1B1C1 中，AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，D、E 分别为BB1、AC1 的中点．(1)求异面直线BB1 与AC1 所成的角的正切值；(2)证明：DE 为异面直线BB1 与AC1 的公垂线；(3)求异面直线BB1 与AC1 的距离．解析：(1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1，所以∠A1AC1 就是异面直线BB1 与AC1 所成的角．又AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，所以A1C1＝2a，tan∠A1AC1＝2，即异面直线BB1 与AC1 所成的角的正切值为 2.(2)证明：解法一：如图，在矩形ACC1A1中，过点 E 作AA1 的平行线MM 1分别交AC、A1C1 于点M、M1，连结BM，B1M1，则BB1 綊MM 1.又D、E 分别是BB1、MM 1 的中点，可得DE 綊BM.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，由条件AB＝BC 得BM⊥AC，所以BM⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE 为异面直线BB1 与AC1 的公垂线．解法二：如图，延长C1D、CB 交于点F，连结AF，由条件易证 D是C1F 的中点，B 是CF 的中点，又 E 是AC1 的中点，所以DE ∥AF.在△ACF 中，由AB＝BC＝BF 知AF ⊥AC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AF ⊥AA1，故AF⊥平面ACC1A1，故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，即DE 为异面直线BB1 与AC1 的公垂线．(3)由(2)知线段DE 的长就是异面直线BB1 与AC1 的距离，由于AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，所以DE ＝2 2 a.反思归纳：两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线，两条异面直线的公垂线是惟一的，两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离．证明一直线是某两条异面直线的公垂线，可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直．本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直，而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内，另一条直线与这个平面平行．16．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O，M 分别是BD1，AA1 的中点．(1)求证：MO 是异面直线AA1 和BD1 的公垂线；(2)求异面直线AA1 与BD1 所成的角的余弦值；(3)若正方体的棱长为a，求异面直线AA1 与BD1 的距离．解析：(1)证明：∵O 是BD1 的中点，∴O 是正方体的中心，∴OA＝OA1，又M 为AA1 的中点，即OM 是线段AA1 的垂直平分线，故OM⊥AA1.连结MD 1、BM，则可得MB＝MD 1. 同理由点O 为BD1 的中点知MO⊥BD1，即MO 是异面直线AA1 和BD1 的公垂线．(2)由于AA1∥BB1，所以∠B1BD1 就是异面直线AA1 和BD1 所成的角．在Rt△BB1D1 中，设BB1＝1，则BD1＝3，所以cos∠B1BD1＝3 ，3故异面直线AA1 与BD1所成的角的余弦值等于(3)由(1)知，所求距离即为线段MO 的长，3 . 31由于OA＝2AC 1＝32 a，AM＝a2，且OM ⊥AM，所以OM ＝22 a.13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1 中，侧面对角线AB1，BC1 上分别有两点E、F，且B1E＝C1F，求证：EF∥ABCD .证明：解法一：分别过E、F 作EM⊥AB 于M，FN⊥BC 于N，连结MN.∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN.又B1E＝C1F，∴EM＝FN，故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF∥MN ，又MN 在平面ABCD 中，所以EF ∥平面ABCD .解法二：过 E 作EG∥AB 交BB1 于G，连结GF ，则B1E B1G＝，B1A B1B∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1F＝C1BB1G，∴FG∥B1C1∥BC.B1B又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG ∥平面ABCD，而EF? 平面EFG，∴EF∥平面ABCD .14．如下图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC .过BD 作与P A平行的平面，交侧棱PC 于点E，又作DF⊥PB，交PB 于点 F.(1)求证：点 E 是PC 的中点；(2)求证：PB⊥平面EFD .证明：(1)连结AC，交BD 于O，则O 为AC 的中点，连结EO.∵PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE ＝OE，∴PA∥OE.∴点E 是PC 的中点；(2)∵PD⊥底面ABCD 且DC? 底面ABCD ，∴PD⊥DC，△PDC 是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，∴DE⊥PC，①又由PD ⊥平面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD 是正方形，CD⊥BC，∴BC⊥平面PDC .而DE? 平面PDC .∴BC⊥DE .②由①和②推得DE⊥平面PBC .而PB? 平面PBC，∴DE⊥PB，又DF ⊥PB 且DE∩DF＝D，所以PB⊥平面EFD .15．如图，l1、l 2 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A、B 在l1 上，C 在l2 上，AM＝MB＝MN.(1)求证AC⊥NB；(2)若∠ACB＝60°，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．证明：(1)如图由已知l2⊥MN ，l2⊥l1，MN ∩l1＝M，可得l2⊥平面ABN .由已知MN ⊥l1，AM＝MB＝MN，可知AN＝NB 且AN⊥NB.又AN 为AC 在平面ABN 内的射影，∴AC⊥NB.(2)∵Rt△CNA≌Rt△CNB，∴AC＝BC，又已知∠ACB＝60°，因此△ABC 为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC＝NA＝NB，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心．连结BH，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt△NHB 中，HBN B cos∠NBH＝＝33 AB＝22 AB6.316．如图，在四面体A BCD 中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F 分别是AB、BD 的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD .命题意图：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．证明：(1)在△ABD 中，∵E、F 分别是AB、BD 的中点，所以EF∥AD.又AD? 平面ACD ，EF ?平面ACD，∴直线EF ∥平面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD 中，∵CD＝CB，F 为BD 的中点，∴CF⊥BD.∵EF? 平面EFC，CF? 平面EFC ，EF 与CF 交于点F，∴BD⊥平面EFC .又∵BD? 平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD .13．如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是边长为 a 的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2AB.(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；(2)求二面角B－PC－D 的余弦值．解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵ABCD 为正方形，∴AC⊥BD.∴BD⊥平面PAC，又BD 在平面BPD 内，∴平面PAC⊥平面BPD .(2)在平面BCP 内作BN⊥PC，垂足为N，连结DN，∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC 得DN⊥PC；∴∠BND 为二面角B－PC－D 的平面角，5在△BND 中，BN＝DN＝a，BD＝2a，65 2＋52－2a2a a6 6 1∴cos∠BND＝＝－55. 23a14．如图，已知ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在AA1 上，点F 在CC1 上，G 在BB1 上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H 是B1C1 的中点．(1)求证：E、B、F、D1 四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED 1F.证明：(1)连结FG.∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2，∴BG綊A1E，∴A1G綊B E.∵C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1 是平行四边形．∴FG綊C1B1綊D1A1，∴四边形A1GFD1 是平行四边形．∴A1G綊D1F，∴D1F綊E B，故E、B、F、D1 四点共面．(2)∵H 是B1C1的中点，∴B1H＝B1G 3又B1G＝1，∴＝.B1H 2 3 . 2又F CBC＝23，且∠FCB ＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG ∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG ，∴HG∥FB.又由(1)知A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.15．在三棱锥P－ABC 中，PA⊥面ABC，△ABC 为正三角形，D、E 分别为BC、AC 的中点，设A B＝PA＝2.(1)求证：平面PBE⊥平面PAC；(2)如何在BC 上找一点F，使AD∥平面PEF，请说明理由；(3)对于(2)中的点F，求三棱锥B－PEF 的体积．解析：(1)证明：∵PA⊥面ABC，BE? 面ABC，∴PA⊥BE.∵△ABC 是正三角形， E 为AC 的中点，∴BE⊥AC，又PA 与AC 相交，∴BE⊥平面PAC，∴平面PBE⊥平面PAC.(2)解：取DC 的中点F，则点 F 即为所求．∵E，F 分别是AC，DC 的中点，∴EF∥AD，又AD ?平面PEF，EF? 平面PEF，∴AD∥平面PEF .－PEF＝V P (3)解：V B －BEF ＝1 1S△BEF·PA＝×3 312×3×232×2＝3.416．(2009 天·津，19)如图所示，在五面体ABCDEF 中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，1AB⊥AD，M 为CE 的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.2(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(2)求证：平面AMD ⊥平面CDE；(3)求二面角A－CD－E 的余弦值．解答：(1)解：由题设知，BF∥CE，所以∠CED (或其补角)为异面直线BF 与DE 所成的角．设P 为AD 的中点，连结EP，PC .因为FE 綊AP，所以FA 綊EP.同理，AB 綊PC.又FA⊥平面ABCD ，所以EP⊥平面ABCD .而PC，AD 都在平面ABCD 内，故EP⊥PC，EP⊥AD.由AB⊥AD，可得PC⊥AD .设FA＝a，则EP＝PC＝PD＝a，CD＝DE＝EC＝2a.故∠CED＝60°.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明：因为DC＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE .连结MP，则MP⊥CE.又MP∩DM ＝M ，故CE⊥平面AMD .而CE? 平面CDE，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)设Q 为CD 的中点，连结PQ，EQ.因为CE＝DE，所以EQ⊥CD .因为PC＝PD，所以PQ⊥CD，故∠EQP 为二面角A－CD－E 的平面角．由(1)可得，EP⊥PQ，EQ＝62 a，PQ＝22 a.于是在Rt△EPQ 中，cos∠EQP＝P QEQ＝33 .所以二面角A－CD－E 的余弦值为3 3 .13．(2009 重·庆)如图所示，四棱锥P－ABCD 中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，1PA＝AD＝DC＝2AB＝1，M 为PC 的中点，N 点在AB 上且AN＝13NB .(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求直线MN 与平面PCB 所成的角．解析：(1)证明：过点M 作ME∥CD 交PD 于E 点，连结AE.∵AN＝13 NB，∴AN＝14AB＝1DC＝EM.2又EM∥DC∥AB，∴EM 綊AN，∴AEMN 为平行四边形，∴MN∥AE，∴MN ∥平面PAD .(2)解：过N 点作NQ∥AP 交BP 于点Q，NF⊥CB 于点F.连结QF ，过N 点作NH⊥QF 于H，连结MH ，易知QN⊥面ABCD，∴QN⊥BC，而NF⊥BC，∴BC⊥面QNF，∵BC⊥NH，而NH⊥QF，∴NH⊥平面PBC，∴∠NMH 为直线MN 与平面PCB 所成的角．通过计算可得MN＝AE＝2，QN＝23 3，NF＝44 2，QN·N F ∴NH＝QF ＝ON·N F＝2＋NF2QN6，4 NHMN∴sin∠NMH ＝＝3，∴∠NMH ＝60°，2∴直线MN 与平面PCB 所成的角为60°.14．(2009 广·西柳州三模)如图所示，已知直平行六面体ABCD－A1B1C1D1 中，AD⊥BD，AD＝BD＝a，E 是CC1 的中点，A1D⊥BE.(1)求证：A1D⊥平面BDE；(2)求二面角B－DE－C 的大小．解析：(1)证明：在直平行六面体ABCD－A1B1C1D1 中，∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD.又∵BD⊥AD，∴BD⊥平面ADD1A1，即BD⊥A1D.又∵A1D⊥BE 且BE∩BD＝B，∴A1D⊥平面BDE .(2)解：如图，连B1C，则B1C⊥BE，易证Rt△BCE∽Rt△B1BC，∴C EBC＝BC，又∵E 为CC1 中点，B1B2＝12∴BC2BB1.BB1＝2BC＝2a.取CD 中点M，连结BM，则BM⊥平面CC1D1C，作MN⊥DE 于N，连N B，由三垂线定理知：BN⊥DE，则∠BNM 是二面角B－DE－C 的平面角．在Rt△BDC 中，BM＝B D·BC＝DC22 a，Rt△CED 中，易求得MN ＝1010 a，B MMNRt△BMN 中，tan∠BNM ＝＝5，则二面角B－DE－C 的大小为arctan 5.15．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E 为AB 的中点．(1)求直线B1C 与DE 所成的角的余弦值；(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD；(3)求二面角E－B1C－D 的余弦值．解析：(1)连结A1D，则由A1D∥B1C 知，B1C 与DE 所成的角即为A1D 与DE 所成的角．连结A1E，由正方体ABCD－A1B1C1D1，可设其棱长为a，则A1D＝2a，A1E＝DE＝5 2a，∴cos∠A1DE2＋DE2－A2 A1D 1E＝＝2·A1D·D E 10 5 .∴直线B1C 与DE 所成角的余弦值是10 5.(2)证明取B1C 的中点F，B1D 的中点G，连结BF，EG，GF . ∵CD⊥平面BCC1B1，且BF? 平面BCC1B1，∴DC⊥BF.又∵BF⊥B1C，CD∩B1C＝C，∴BF⊥平面B1CD.1 1又∵GF 綊2CD，BE 綊2CD，∴GF 綊BE，∴四边形BFGE 是平行四边形，∴BF∥GE，∴GE⊥平面B1CD.∵GE? 平面EB1D，∴平面EB1D⊥平面B1CD.(3)连结EF.∵CD⊥B1C，GF∥CD，∴GF⊥B1C.又∵GE⊥平面B1CD，∴EF⊥B1C，∴∠EFG 是二面角E－B1C－D 的平面角．设正方体的棱长为a，则在△EFG 中，1GF＝2a，EF＝32 a，∴cos∠EFG＝F GE F＝3，3∴二面角E－B1C－D 的余弦值为3 3 .16．(2009 全·国Ⅱ，18)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1 中，AB⊥AC，D、E 分别为AA1、B1C 的中点，DE⊥平面BCC1.(1)求证：AB＝AC；(2)设二面角A－BD－C 为60°，求B1C 与平面BCD 所成的角的大小．解析：(1)证明：取BC 中点F，连结EF，1则EF 綊B1B，从而EF 綊DA.2连结AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF∥DE.又DE⊥平面BCC1，故AF⊥平面BCC1，从而AF⊥BC，即AF 为BC的垂直平分线，所以AB＝AC.(2)解：作AG⊥BD，垂足为G，连结CG .由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC 为二面角A－BD－C 的平面角．由题设知，∠AGC＝60°.设AC＝2，则AG＝2.又AB＝2，BC＝32 2，故AF＝ 2.由AB·AD＝AG·BD 得2AD＝解得AD ＝2，故AD＝AF. 232＋22，·AD又AD⊥AF，所以四边形ADEF 为正方形．因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD＝A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF .连结AE、DF ，设AE∩DF ＝H，则EH⊥DF ，EH⊥平面BCD .连结CH，则∠ECH 为B1C 与平面BCD 所成的角．1因ADEF 为正方形，AD＝2，故EH＝1，又EC＝2B1C＝2，所以∠ECH＝30°，即B1C 与平面BCD 所成的角为30°.13．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，底面边长为 2 2，侧棱长为4，E、F 分别为棱AB、BC 的中点．(1)求证：平面B1EF⊥平面BDD 1B1；(2)求点D1 到平面B1EF 的距离 d.分析：(1)可先证EF⊥平面BDD 1B1.(2)用几何法或等积法求距离时，可由B1D1∥BD，将点进行转移：D1 点到平面B1EF 的距离是 B 点到它的距离的 4 倍，先求 B点到平面B1EF 的距离即可．解答：(1) 证明：E F⊥BDEF⊥B1B? EF⊥平面BDD1B1? 平面B1EF⊥平面BDD 1B1.(2)解：解法一：连结EF 交BD 于G 点．∵B1D1＝4BG，且B1D1∥BG，∴D1 点到平面B1EF 的距离是 B 点到它的距离的 4 倍．利用等积法可求．1由题意可知，EF＝AC＝2，B1G＝17.21S△B1EF＝EF ·B1G＝2 12×2×17＝17，1 1×2×2＝1. S△BEF＝BE·BF＝2 2∵VB－B1EF＝VB1－BEF，设B 到面B1EF 的距离为h1，则4 17∴h1＝.17 1 1×17×h1＝×1×4，3 316 17∴点D1 到平面B1EF 的距离为h＝4h1＝.17解法二：如图，在正方形BDD1B1 的边BD 上取一点G，使BG＝连结B1G，过点D1 作D1H⊥B1G 于H，则D1H 即为所求距离．14BD，可求得D1H＝16 1717(直接法)．14．如图直三棱柱ABC－A1B1C1 中，侧棱CC1＝2，∠BAC＝90°，AB ＝AC＝2，M 是棱BC 的中点，N 是CC1 中点．求：(1)二面角B1－AN－M 的大小；(2)C1 到平面AMN 的距离．解析：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，M 是棱BC 的中点，∴AM⊥BC，BC＝2，AM＝1.∴AM⊥平面BCC1B1. ∴平面AMN ⊥平面BCC1B1.作B1H⊥MN 于H，HR⊥AN 于R，连结B1R，∴B1H⊥平面AMN .又由三垂线定理知，B1R⊥AN.∴∠B1RH 是二面角B1－AN－M 的平面角．由已知得AN＝3，MN＝2，B1M＝5＝B1N，3 2则B1H＝，2RH HN 又Rt△AMN ∽Rt△HRN，＝AM AN ，∴RH＝6.6∴B1R＝143，∴cos∠B1RH＝R H＝B1R7.147∴二面角B1－AN－M 的大小为arccos.14(2)∵N 是CC1 中点，∴C1 到平面AMN 的距离等于 C 到平面AMN 的距离．设C到平面AMN 的距离为h，由V C－AMN＝V N－AMC得1 1 1 1×AM·M C .·MN·h＝×3 2 3 2∴h＝2 . 215．(2009 北·京海淀一模)如图所示，四棱锥P－ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 为直角梯形，且AB∥CD，∠BAD＝90°，PA＝AD＝DC＝2，AB＝4.(1)求证：BC⊥PC；(2)求PB 与平面PAC 所成的角的正弦值；(3)求点 A 到平面PBC 的距离．解析：(1)证明：如图，在直角梯形ABCD 中，∵AB∥CD，∠BAD＝90°，AD＝DC＝2，∴∠ADC＝90°，且AC＝2 2.取AB 的中点E，连结CE，由题意可知，四边形ABCD 为正方形，∴AE＝CE＝2.12又∵BE＝AB＝2.∴CE＝12 AB，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AC⊥BC.又∵PA⊥平面ABCD，且AC 为PC 在平面ABCD 内的射影，BC? 平面ABCD ，由三垂线定理得，BC⊥PC.(2)由(1)可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC.PC 是PB 在平面PAC 内的射影，∴∠CPB 是PB 与平面PAC 所成的角．又CB＝2 2，2＝PA2＋AB2＝20，PB＝2 5，PBBC ∴sin∠CPB＝＝PB 105，即PB 与平面PAC 所成角的正弦值为105.(3)由(2)可知，BC⊥平面PAC，BC? 平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.过A点在平面PAC 内作AF⊥PC 于F，∴AF⊥平面PBC，∴AF 的长即为点 A 到平面PBC 的距离．在直角三角形PAC 中，PA＝2，AC＝2 2，PC＝2 3，∴AF＝2 6 3.即点A 到平面PBC 的距离为2 63 .16．(2009 吉·林长春一模)如图所示，四棱锥P－ABCD 的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA＝45°，点E、F 分别为棱AB、PD 的中点．(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求二面角E－PD－C 的大小；(3)求点 A 到平面PCE 的距离．解析：(1)证明：如图取PC 的中点G，连结FG、EG，∴FG 为△PCD 的中位线，∴FG＝12CD 且FG∥CD.又∵底面四边形ABCD 是正方形， E 为棱AB 的中点，1∴AE＝2CD 且AE∥CD，∴AE＝FG 且AE∥FG.∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF∥EG.又EG? 平面PCE，AF?平面PCE，∴AF∥平面PCE .(2)解：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD.又AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD .又∵AF? 平面PAD，∴CD⊥AF .又PA＝2，∠PDA ＝45°，∴PA＝AD＝2.∵F 是PD 的中点，∴AF⊥PD.又∵CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PCD .∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD .又GF⊥PD，连结EF，则∠GFE 是二面角E－PD －C 的平面角．在Rt△EGF 中，EG＝AF＝2，GF＝1，GE∴tan∠GFE ＝＝ 2.GF∴二面角E－PD－C 的大小为arctan 2.(3)设A 到平面PCE 的距离为h，由V A－PCE＝V P－ACE，即13×1 1 1PC·EG·h＝PA·AE·CB，得h＝2 3 26，3∴点A 到平面PCE 的距离为6 . 313．(2009 陕·西，18)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，AB＝1，AC＝AA1＝3，∠ABC＝60°.(1)求证：AB⊥A1C；(2)求二面角A－A1C－B 的大小．解析：(1)证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1 为直三棱柱，∴AB⊥AA1，在△ABC 中，AB＝1，AC＝3，∠ABC＝60°，由正弦定理得∠ACB＝30°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.∴AB⊥平面ACC1A1，又A1C? 平面ACC1A1，∴AB⊥A1C.(2)解：如图，作AD⊥A1C 交A1C 于D 点，连结BD，由三垂线定理知BD⊥A1C，∴∠ADB 为二面角A－A1C－B 的平面角．在Rt△AA1C 中，AD＝A A1·AC＝A1C3× 3＝66，2在Rt△BAD 中，tan∠ADB＝A BAD＝6，3∴∠ADB＝arctan6，即二面角A－A1C－B 的大小为arctan363 .14．如图，三棱柱ABC－A1B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形，侧面ABB1A1 是菱形且垂直于底面，∠A1AB＝60°，M 是A1B1 的中点．(1)求证：BM⊥AC；(2)求二面角B－B1C1－A1 的正切值；(3)求三棱锥M－A1CB 的体积．解析：(1)证明：∵ABB1A1 是菱形，∠A1AB＝60°? △A1B1B 是正三角形，∵M是A1B1的中点，∴BM⊥A1B又∵平面AA1B1B⊥平面A1B1C1? BM⊥平面A1B1C1.∴BM⊥A1C1又∵AC∥A1C1? BM⊥AC.(2)过M作ME⊥B1C1且交于点E，∵BM⊥平面A1B1C1，?BE⊥B1C1，∴∠BEM 为所求二面角的平面角，△A1B1C1 中，ME＝MB1·sin60 ＝°31 中，MB＝MB1·tan60 ＝°4 a，Rt△BMB32 a，∴tan∠BEM＝M BME＝2，∴所求二面角的正切值是 2.(3)VM－A1CB＝11－A1CB＝2VB12VA－A1CB＝1 11－ABC＝×2VA213×324 a·32 a＝13.16a15．(2009 广·东汕头一模)如图所示，已知△BCD 中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB ＝60°，E、F 分别是AC、AD 上的动点，且A EAC＝A FAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：不论λ为何值，总有EF⊥平面ABC；(2)若λ＝12，求三棱锥A－BEF 的体积．解析：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又∵在△BCD 中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.∵又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC .又∵在△ACD 中，E、F 分别是AC、AD 上的动点，且∴不论λ为何值，都有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC .(2)在△BCD 中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，∴BD＝ 2.又∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD.又∵在Rt△ABD 中，∠ADB＝60°，A E AF＝AC AD＝λ(0<λ<1)，∴AB＝BD·tan60°＝6，由(1)知EF⊥平面ABC，∴V A－BEF＝V F－ABE＝13S△ABE·EF＝13×12S△ABC·EF＝16×12×1×6×12＝6.24故三棱锥A－BEF 的体积是6.2416．在四棱锥P－ABCD 中，侧面PDC 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是面积为 2 3的菱形，∠ADC 为菱形的锐角．(1)求证：PA⊥CD；(2)求二面角P－AB－D 的大小；(3)求棱锥P－ABCD 的侧面积；解析：(1)证明：如图所示，取CD 的中点E，由PE⊥CD，得PE⊥平面ABCD，连结AC、AE.∵AD·CD·sin∠ADC＝2 3，AD＝CD＝2，∴sin∠ADC ＝ 3，2即∠ADC＝60°，∴△ADC 为正三角形，∴CD⊥AE.∴CD⊥PA (三垂线定理)．(2)解：∵AB∥CD，∴AB⊥PA，AB⊥AE，∴∠PAE 为二面角P－AB－D 的平面角．在Rt△PEA 中，PE＝AE，∴∠PAE＝45°.即二面角P－AB－D 的大小为45°.(3)分别计算各侧面的面积：∵PD＝DA＝2，PA＝6，∴cos∠PDA＝14，sin∠PDA＝15.4△PCD＝3，SS △PAB＝1 1AB·PA＝·2·2·3＝6，2 2△PAD＝SS △PBC＝12PD·DA·sin∠PDA＝152.∴S P－ABCD 侧＝3＋6＋15.13．把地球当作半径为R 的球，地球上A、B 两地都在北纬45°，A、B 两点的球面距离π是R，A 点在东经20°，求 B 点的位置．3解析：如图，求 B 点的位置即求 B 点的经度，设 B 点在东经α，∵A、B 两点的球面距离是πR. 3∴∠AOB＝π，因此三角形AOB 是等边三角形，∴AB＝R，3又∵∠AO1B＝α－20°(经度差)问题转化为在△AO1B 中借助AO1＝BO1＝AO cos45°＝22 R，求出∠AO1B＝90°，则α＝110°，同理：B 点也可在西经70°，即B 点在北纬45°东经110°或西经70°.2 14．在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm 求球的表面积和体积．2 和400πcm，解析：如图，两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为AO1、BO2，则AO1∥BO2. 若O1、O2 分别为两截面圆的圆心，则由等腰三角形性质易知OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，2设球半径为R，∵πO2B＝49π，∴O2B＝7cm，同理O1A＝20cm.设OO1＝xcm，则OO2＝(x＋9)cm.在Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202，2 2 2在Rt△OO2B 中，R ＝(x＋9) ＋7，∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15cm.∴R＝25cm，∴S 2球＝2500πcm，，V 球＝4625003 3 πR＝πcm .3 315．设A、B、C 是半径为 1 的球面上的三点，B、C 两点间的球面距离为π，点 A 与B、3C 两点间的球面距离均为π，O 为球心，求：2(1)∠AOB、∠BOC 的大小；(2)球心O 到截面ABC 的距离．解析：(1)如图，因为球O 的半径为1，B、C 两点间的球面距离为π，3点A 与B、C 两点间的球面距离均为π，2 ππ，所以∠BOC＝，∠AOB＝∠AOC＝2 3(2)因为BC＝1，AC＝AB＝2，所以由余弦定理得cos∠BAC＝34，sin∠BAC＝7，设4截面圆的圆心为O1，连结AO1，则截面圆的半径r＝AO1，由正弦定理得r＝BC＝2sin∠BAC 2 772－r2＝21 ，所以OO1＝OA7 .16．如图四棱锥A－BCDE 中，AD⊥底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE.(1)求证：A、B、C、D、E 五点共球；(2)若∠CBE＝90°，CE＝3，AD＝1，求B、D 两点的球面距离．解析：(1)证明：取AB 的中点P，连结PE，PC，PD，由题设条件知△AEB、△ADB、△ABC 都是直角三角形．1故PE＝PD＝PC＝AB＝PA＝PB.2所以A、B、C、D、E 五点在同一球面上．(2)解：由题意知四边形BCDE 为矩形，所以BD ＝CE＝3，在Rt△ADB 中，AB＝2，AD＝1，∴∠DPB＝120°，D、B 的球面距离为2 3 π.17．(本小题满分10 分)如图，四棱锥S—ABCD 的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E 是SC 上一点．(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；(2)假设S A＝4，AB＝2，求点 A 到平面SBD 的距离；解析：(1)∵正方形ABCD，∴B D⊥AC，又∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD，则B D⊥平面SAC，又BD? 平面BED，∴平面BED⊥平面SAC.(2)设A C∩BD＝O，由三垂线定理得BD⊥SO.AO＝12AC＝122AB＝12·2·2＝2，SA＝4，1 1则S O＝SA △BSD＝2＋AO2＝16＋2＝3 2，SBD·SO＝·2 2·32＝6.设A到面BSD 的距离2 21为h，则V S－ABD ＝V A－BSD，即3S△ABD ·S A＝4.3 13S△BSD·h，解得h＝43，即点 A 到平面SBD 的距离为18．(本小题满分12 分)如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝2AB ＝4，点 E 在C1C 上且C1E＝3EC .(1)证明A1C⊥平面BED；(2)求二面角A1－DE－B 的大小．解析：依题设知AB＝2，CE＝1，(1)证明：连结AC 交BD 于点F，则B D⊥AC.由三垂线定理知，BD⊥A1C.在平面A1CA 内，连结EF 交A1C 于点G，由于AA1FC＝A CCE＝2 2，故Rt△A1AC∽Rt△FCE，∠AA1C＝∠CFE ，∠CFE 与∠FCA1 互余．于是A1C⊥EF.A1C 与平面BED 内两条相交直线BD、EF 都垂直．所以A1C⊥平面BED .(2)作GH⊥DE，垂足为H，连结A1H.由三垂线定理知A1H⊥DE，故∠A1HG 是二面角A1－DE－B 的平面角．EF＝CF 2＋CE2＝3，CG＝C E×CF＝23.EFEG＝CE 2－CG2＝ 3.3EG＝1，GH＝1×EF 3 3 EF×FDDE＝ 215 .又A1C＝AA1＋AC ，2＝2 6，A1G＝A1C－CG＝5 623 A1G＝5 5. tan∠A1HG ＝HG所以二面角A1－DE－B 的大小为arctan5 5.19．(本小题满分12 分)如图，四棱锥S－ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝SB＝SC＝2CD＝2，侧面SBC⊥底面ABCD .(1)由SA 的中点 E 作底面的垂线E H，试确定垂足H 的位置；(2)求二面角E－BC－A 的大小．解析：(1)作SO⊥BC 于O，则S O? 平面SBC，又面SBC⊥底面ABCD，面SBC∩面ABCD＝BC，∴SO⊥底面ABCD ①又SO? 平面SAO，∴面SAO⊥底面ABCD ，作EH⊥AO，∴EH⊥底面ABCD②即H 为垂足，由①②知，EH∥SO，又E 为SA 的中点，∴H 是AO 的中点．(2)过H作HF⊥BC 于F，连结EF ，由(1)知EH⊥平面ABCD，∴EH⊥BC，又EH∩HF＝H，∴BC⊥平面EFH ，∴BC⊥EF，∴∠HFE 为面EBC 和底面ABCD 所成二面角的平面角．在等边三角形SBC 中，∵SO⊥BC，∴O 为BC 中点，又BC＝2.∴SO＝22－12＝3，EH＝12－12＝3，EH＝12SO＝3 ，2又HF ＝1AB＝1，23∴在Rt△EHF 中，tan∠HFE ＝E HHF＝21＝3，2∴∠HFE＝arctan3 2 .即二面角E－BC－A 的大小为arctan3 2 .20．(本小题满分12 分)(2010 唐·山市高三摸底考试)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝1，AA1＝2，N 是A1D 的中点，M∈BB1，异面直线M N 与A1A 所成的角为90°.(1)求证：点M 是BB1的中点；(2)求直线M N 与平面ADD 1A1 所成角的大小；(3)求二面角A－MN－A1 的大小．解析：(1)取AA1 的中点P，连结P M，PN.∵N 是A1D 的中点，∴AA1⊥PN，又∵AA1⊥MN，MN ∩PN＝N，∴AA1⊥面PMN .∵PM? 面PMN，∴AA1⊥PM，∴PM∥AB，∴点M 是BB1 的中点．(2)由(1)知∠PNM 即为MN 与平面ADD1A1 所成的角．1在Rt△PMN 中，易知PM＝1，PN＝，2∴tan∠PNM ＝P MP N＝2，∠P NM＝arctan2.故MN 与平面ADD1A1 所成的角为arctan2.(3)∵N 是A1D 的中点，M 是BB1 的中点，∴A1N＝AN，A1M＝AM，又MN 为公共边，∴△A1MN≌△AMN .在△AMN 中，作AG⊥MN 交MN 于G，连结A1G，则∠A1GA 即为二面角A－MN－A1 的平面角．在△A1GA 中，AA1＝2，A1G＝GA＝30 5，2＋GA2－AA21A1G∴cos∠A1GA＝＝－2A1G·G A23，∴∠A1GA＝arccos(－23)，2故二面角A－MN－A1的大小为arccos(－)．321．(2009 安·徽，18)(本小题满分12 分)如图所示，四棱锥F－ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线A C＝2，BD＝ 2.AE、CF 都与平面ABCD 垂直，AE＝1，CF＝2.(1)求二面角B－AF－D 的大小；(2)求四棱锥E－ABCD 与四棱锥F－ABCD 公共部分的体积．命题意图：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．解答：(1)解：连接A C、BD 交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G 为垂足，连接B G、DG.由BD⊥AC，BD⊥CF 得BD⊥平面ACF ，故BD⊥AF.于是AF ⊥平面BGD，所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD 为二面角B－AF－D 的平面角．由FC⊥AC，FC＝AC＝2，得∠FAC＝π，OG＝42.2由OB⊥OG，OB＝OD＝2，得∠BGD＝2∠BGO＝2π.2(2)解：连接E B、EC、ED ，设直线AF 与直线CE 相交于点H，则四棱锥E－ABCD 与四棱锥F－ABCD 的公共部分为四棱锥H－ABCD .过H 作HP⊥平面ABCD，P 为垂足．因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，所以平面ACEF⊥平面ABCD，从而P∈AC，HP⊥AC.由H PCF＋H PAEAP PC 2＝＋.＝1，得HP＝AC AC 3又因为S 菱形ABCD＝12AC·B D＝2，13故四棱锥H－ABCD 的体积V＝S2 2 菱形ABCD·H P＝.922．(2009 深·圳调考一)(本小题满分12 分)如图所示，AB 为圆O的直径，点E、F 在圆O 上，AB∥EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1.(1)求证：平面DAF ⊥平面CBF；(2)求直线AB 与平面CBF 所成角的大小；(3)当AD 的长为何值时，二面角D－FE－B 的大小为60°？解析：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF ，CB⊥AB，平面ABCD ∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF .∵AF? 平面ABEF ，∴AF⊥CB，又∵AB 为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF .∵AF? 平面DAF ，∴平面DAF ⊥平面CBF .(2)解：根据(1)的证明，有A F⊥平面CBF，∴FB 为AB 在平面CBF 上的射影，因此，∠ABF为直线AB 与平面CBF 所成的角．∵AB∥EF，∴四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作FH⊥AB，交AB 于H.AB－EF 1AB＝2，EF＝1，则AH＝.＝2 2在Rt△AFB 中，根据射影定理AF2＝AH·A B，得AF＝1，AFAB sin∠ABF＝＝12，∴∠ABF＝30°，∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30°.(3)解：过点 A 作AM⊥EF，交EF 的延长线于点M，连结D M.根据(1)的证明，DA⊥平面ABEF ，则DM ⊥EF ，∴∠DMA 为二面角D－FE－B 的平面角，∠DMA ＝60°.在Rt△AFH 中，∵AH＝12，AF＝1，WORD 格式专业分享 ∴FH ＝ 3 .2又∵四边形 AMFH 为矩形， ∴MA ＝FH ＝ 3 .2∵AD ＝MA ·tan ∠DMA ＝ 3 3 · 3＝ . 2 2因此，当 AD 的长为 3 2时，二面角 D －FE －B 的大小为 60°.。

高中数学必修2立体几何部分试卷试卷满分100分。

时间70分钟考号 班级 姓名第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、垂直于同一条直线的两条直线一定 （ ）A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2、过直线l 外两点作与直线l 平行的平面，可以作（ ）A ．1个B ．1个或无数个C ．0个或无数个D ．0个、1个或无数个 3、正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为 （ ）A ．41 B ．21 C ．43 D ．49 4、右图是一个实物图形，则它的左视图大致为 （ ）5、已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面积之和，则该正四棱台的高是 （ ）A ．2B ．25C ．3D ．27 6、已知α、β是平面，m 、n 是直线，则下列命题不正确．．．的是 （ ） A ．若//,m n m α⊥，则n α⊥ B ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβ C ．若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥ D ．若//,m n ααβ=I，则//m n7、正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的侧面是正方形，若底面的边长为a ，则该正六棱柱的外接球的表面积是 ( )A ．4πa 2 B.5 πa 2 C. 8πa 2 D.10πa 28、如右下图，在ABC ∆中，2AB =，BC=1.5，120ABC ∠=o，如图所示。

若将ABC ∆绕BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ） （A ）92π （B ）72π （C ）52π （D ）32π（第8题图）9、如左上图是由单位立方体构成的积木垛的三视图，据此三视图可知，构成这堆积木垛的单 位正方体共有 （ ） A ．6块 B ．7块 C ．8块 D ．9块10、给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题（每小题4分，共16分）11、已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。

2019-2020学年高中数学必修二《第3章直线与方程》测试卷一．选择题（共30小题）
1．直线y﹣3＝﹣（x+4）的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有（）A．k ＝﹣，b＝3B．k ＝﹣，b＝﹣2C．k ＝﹣，b＝﹣3D．k ＝﹣，b＝﹣3 2．若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知点A（1，3）、B（﹣2，﹣1），若过点P（2，1）的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）
A．k ≥B．k≤﹣2C．k或k≤﹣2D．﹣2≤k ≤
4．若点A（﹣2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线L过点P（1，1）且与线段AB相交，则L的斜率k的取值范围是（）
A．k ≤或k ≥B．k ≤﹣或k ≥﹣
C ．≤k ≤
D ．﹣≤k ≤﹣
5．与直线垂直，且过（2，0）点的直线方程是（）
A．y＝﹣2x+4B ．C．y＝﹣2x﹣4D ．
6．已知O为△ABC 内一点，且，，若B，O，D三点共线，则t 的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若直线l1：ax+2y+a+3＝0与l2：：x+（a+1）y+4＝0平行，则实数a的值为（）A．1B．﹣2C．1或﹣2D．﹣1或2
8．下列说法正确的是（）
A．一条直线的斜率为k＝tanα，则这条直线的倾斜角是α
B．过点A（x1，y1）和点B（x2，y2）的直线的方程为＝
C．若两直线平行，则它们的斜率相等
D．若两直线斜率之积等于﹣1，则两直线垂直
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