柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数模型

柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数模型

齐微

辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000）

E-mail: qiwei1119@

摘 要：柯布-道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas production function ）用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数.本文对大量的生产数据进行处理，建立多项式拟合模型和线性规划模型对数据进行处理完成问题，对生产数据分析我们建立了多项式拟合，通过误差分析，多项式拟合模型是完全符合数据的.但通过使用线性回归方法求得的柯布-道格拉斯生产函数，通过对其进行误差分析我们知道柯布-道格拉斯生产函数与原始数据的误差比多项式拟合模型下的误差小的多.

关键词：柯布-道格拉斯生产函数；多项式拟合；线性回归

柯布-道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(P.H.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是在生产函数的一般形式上作了改进，引入了技术资源这一因素.他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，认为在技术经济条件不变的情况下，产出与投入的劳动力及资本的关系可以表示为：

Y AK L αβ=

其中： Y —— 产量；

A —— 技术水平；

K —— 投入的资本量；

L —— 投入的劳动量；

,αβ——K 和L 的产出弹性.

经济学中著名的柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数的一般形式为 (,),0,1Q K L aK L αβαβ=<< （1-1）

其中,,Q K L 分别表示产值、资金、劳动力，式中,,a αβ要由经济统计数据确定.现有《中国统计年鉴（2003）》给出的统计数据如表（其中总产值取自“国内生产总值”，资金 取自“固定资产投资”，劳动力取自“就业人员”）[3].

问题1：运用适当的方法，建立产值与资金、劳动力的优化模型，并做出模型的分析与检验.

问题2：建立Cobb-Douglas 优化模型，并给出模型中参数,αβ的解释.

问题3：将几个模型做出比较与分析.

表0-1 经济统计数据

年份 总产值/万亿元 资金/万亿元 劳动力/亿人

1984 0.7171 0.0910 4.8179 1985 0.8964 0.2543 4.9873 1986 1.0202 0.3121 5.1282 1987 1.1962 0.3792 5.2783 1988 1.4928 0.4754 5.4334 1989 1.6909 0.4410 5.5329 1990 1.8548 0.4517 6.4749 1991 2.1618 0.5595 6.5491 1992 2.6638 0.8080 6.6152 1993 3.4634 1.3072 6.6808 1994 4.6759 1.7042 6.7455 1995 5.8478 2.0019 6.8065 1996 6.7885 2.2914 6.8950 1997 7.4463 2.4941 6.9820 1998 7.8345 2.8406 7.0637 1999 8.2068 2.9854 7.1394 2000 9.9468 3.2918 7.2085 2001 9.7315 3.7314 7.3025 2002 10.4791 4.3500 7.3740

1.问题一求解

1.1 模型建立

假设：有()()()t L t K t Q ,,分别表示产值，资金和劳动力，并假设()t Q 仅与()()t L t K ,有关[1]..

由表0-1中的数据拟合出()()()t L t K t Q ,,的关系：

用Matlab 画出表1-1中数据的关系图，应用Matlab 中的plot 画出图形如图1-1.

图1-1产值、资金和劳动力数据关系图

由图1-1可知：选定()t Q 看作是()()t L t K +的一元多项式的优化模型.从而建立模型()()()()t L t K G t Q +=.

1.2 模型的求解

通过Matlab 计算出()t Q 和()()t L t K + 数据之间拟合误差如表1-1.

表1-1 数据拟合次数误差

拟合次数 1 2 3 4 5 6 误差 3.0313 2.4294 1.5141 1.2366 1.0898 1.0887

由上表得知五次拟合和六次拟合误差已经达到很接近，和四次拟合误差相差很大，所以本文选择五次拟合来求解模型()()()()t L t K G t Q +=.

本文选用的是Matlab 中的plotfit 来五次拟合数据求解模型并用rcoplot 来误差分析. 得到的拟合多项式系数p 如表1-2.

表1-2 多项式系数

多项式次数

5 4 3 2 1 0 相应系数 0.0062 -0.2711 4.6074-37.6090 148.3464 -226.4984

这样就知道了模型多项式为:

()()()()()()()()()

()()()()()()54320.00620.2711 4.607437.6090148.3464226.4984

Q K t L t K t L t K t L t K t L t K t L t =×+−×++×+−×++×+−(1-1) 多项式模型下，新的产值预测值如表1-3.

表1-3 多项式模型的产值预测值

年份

1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 预测值

0.5962 1.0362 1.1860 1.2929 1.3800 1.4008 1.9636 2.1686 2.6129 3.6773年份

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 预测值 4.7428 5.6358 6.5850 7.28598.23048.65859.27909.920810.4620

程序运行所得到的残差图如图1-2.